自动控制原理根轨迹法PPT课件
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自动控制理论 第四章根轨迹分析法PPT课件
s3 不是根轨迹上的点。
根据相角方程得系 统的根轨迹为：
第一节 根轨迹的基本概念
作业习题： 4-2 4-3 4-7
返回
第四章 根轨迹分析法
第二节 绘制根轨迹的基本方法
根据根轨迹方程，无需对闭环特征方程式 求解，只需寻找所有满足相角方程的 s ，便可 得到闭环特征方程式根的轨迹。同时，可由幅
值方程来确定根轨迹所对应的Kr值。
闭s环s22 +特K2rs=征0+↑KKr 方1r=程s110 式 特征-2 方程-1的根0 σ
(1R)左(从s) 半根- 平轨s面(迹sK+r为2可) 稳C知(s定): 极点；右半平面为 不稳Kr定极s1点；虚s2轴 上为0临界0极点。-2
(2)有01<2呈Kr过<-11-阻1+时j 尼，状-系1-1-态j统。
根据根轨迹的基本特征和关键点，就能比较 方便地近似绘制出根轨迹曲线。
根轨迹基本特征为以下八条：
第二节 绘制根轨迹的基本方法
一、根轨迹的对称性和分布性 二、根轨迹的起点和终点 三、实轴上的根轨迹段 四、根轨迹的渐近线 五、根轨迹的分离点和会合点 六、根轨迹的出射角和入射角 七、根轨迹与虚轴的交点 八、开环极点与闭环极点的关系
p2
p1
-2
0σ
环传递函数的极点
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2. 终点
根轨迹方程：
m
i
n=1((ss--pzji))=
-
1 Kr
m
j =1
Kr
i n=1((ss--pzji))=0
j =1
m
则 i =1(s-zi) =0 即 s=zi
8 8
m条根轨迹终止于开环传递函数的零点
自动控制系统课件第三章根轨迹分析法(本章四次课)
自动控制系统课件第三章根轨迹分 析法(本章四次课)
第一节 根轨迹的基本概念
一、根轨迹定义：特征方程中某待定参数从0-∞发生 变化时，特征根随之行走的轨迹。
二、简单系统根轨迹的绘制举例
(
1G k )(
s )k ( s 2
; )
(
2G k )(
s )k s (2 s)
三、根轨迹与系统性能之间的关系
1、稳定性——系统所有特征根在S平面的位置 2、稳态性能——系统型别、开环增益 3、动态性能——确定主导极点及其位置
i1
j1
jb
举例 G k (： s s) (3 K * s (2 ) s 2 2 ( s )2 s； )G k ( s (K ) 2 s * (2 s 2 5 s))
开环零极点与闭环极点特性
m
Kg (szi)
n
n
m
1Gk( s)1
i1 n
0 (ssj) (spj)Kg (szi)
(spj)
j1
j1
Байду номын сангаас
i1
j1
n
n
当n-m≥2时，闭环极点之和等于开环极点之和，即
sj pj
j1
j1
n
n
m
闭环极点之积和开环零、极点有如下关系： sj pj Kg zi
j1
j1
i1
举
例k(： s)sG(s 1 k*)(2s )1
K*6 ω2
求另一闭环极点
当n-m≥2时根轨迹分布规律：对称放射性分布。
二、根据开环零极点分布，绘制根轨迹草图。 1、复平面上两个极点、实轴上一个零点； 2、复平面上两个极点、实轴上两个零点； 3、复平面上两个极点和两个零点； 4、复平面上两个零点、实轴上两个极点。
第一节 根轨迹的基本概念
一、根轨迹定义：特征方程中某待定参数从0-∞发生 变化时，特征根随之行走的轨迹。
二、简单系统根轨迹的绘制举例
(
1G k )(
s )k ( s 2
; )
(
2G k )(
s )k s (2 s)
三、根轨迹与系统性能之间的关系
1、稳定性——系统所有特征根在S平面的位置 2、稳态性能——系统型别、开环增益 3、动态性能——确定主导极点及其位置
i1
j1
jb
举例 G k (： s s) (3 K * s (2 ) s 2 2 ( s )2 s； )G k ( s (K ) 2 s * (2 s 2 5 s))
开环零极点与闭环极点特性
m
Kg (szi)
n
n
m
1Gk( s)1
i1 n
0 (ssj) (spj)Kg (szi)
(spj)
j1
j1
Байду номын сангаас
i1
j1
n
n
当n-m≥2时，闭环极点之和等于开环极点之和，即
sj pj
j1
j1
n
n
m
闭环极点之积和开环零、极点有如下关系： sj pj Kg zi
j1
j1
i1
举
例k(： s)sG(s 1 k*)(2s )1
K*6 ω2
求另一闭环极点
当n-m≥2时根轨迹分布规律：对称放射性分布。
二、根据开环零极点分布，绘制根轨迹草图。 1、复平面上两个极点、实轴上一个零点； 2、复平面上两个极点、实轴上两个零点； 3、复平面上两个极点和两个零点； 4、复平面上两个零点、实轴上两个极点。
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
自动控制原理第四章根轨迹课件
幅值条件
s z
i 1
Hale Waihona Puke mi s p
j 1
n
j
1 Kg
Kg=0
(s p ) 0
j 1 j
n
根轨迹起始于开环极点
Kg=∞
(s z ) 0
i 1 i
m
根轨迹终止于开环零点
根轨迹分支数 • n阶系统的根轨迹有n条分支
s z
i 1
m
i
s p
j 1
jω
-p3
ⅹ
j4
K1 G( s) H ( s) s( s 4)( s 2 4s 20)
规则1、2、3、4 根轨迹对称于实轴， 有四条根轨迹分支，分别起 始于极点0,－4和－2±j4，终止 于无限远零点。 实轴上0~－4区段为根轨迹. 相角条件 -p3、-p4的连接线为 根轨迹
-p2
s1 z1 ( z1 p1 )(z1 p2 )
s2 z1 ( z1 p1 )( z1 p2 )
7.根轨迹的出射角和入射角(1)
出射角：根轨迹离开复数极点处的切线方向与实轴 正方向的夹角 入射角：而进入开环复数零点处的切线方向与实轴 正方向的夹角
7.根轨迹的出射角和入射角(2)
i 1 i 1
每对共轭复数极点所提供的相角 之和为360°； s1右边所有位于实轴上的每一个极 点或零点所提供的相角为180°；
ⅹ ⅹ
-p3 s2
-p4
jω
-θ -z1
○
ⅹ
-p2 s1
ⅹ
-p1
σ
s1左边所有位于实轴上的每一个极
点或零点所提供的相角为0°。
自动控制原理第四章 根轨迹法PPT
第二节 绘制根轨迹的基本方法
四、根轨迹的渐近线
趋于无穷远处的根轨迹的渐近线 由下式确定 渐近线与实轴的夹角： +(2k+1)π K= 0,1,2,3 θ= n-m 渐近线与实轴的交点： σ=
pj zi ∑ ∑ i =1 j=1 n-m
n m
第二节 绘制根轨迹的基本方法
例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。 Kr G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 渐近线与实轴的夹角 : jω 解： 1）开环零、极点： +(2k+1)π O+ O p =-3 p =0 p =-2 + 180 60 = , θ= 1 3 2 3 p2 60 p p3 2 ）实轴上的根轨迹段： 渐近线与实轴的交点 : 0 1 -1 -2 p ~ p1~p-1-2 3 -1 = σ= 2 3 n-m= 3 3 4）根轨迹的渐近线： ）系统的根轨迹
ב-
ב
ב
ב
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2） <T (1)开环零、极点分布 1 1 p1=0 p2=T z1= (2) 实轴上根轨迹段 p1~p2 z1~-∞ ב ב
jω
z1
1 בp2 1 -T p
1 0
(3)系统的根轨迹
p1和p2为根轨迹 的起点 Z1和-∞为根轨迹 的终点
第二节 绘制根轨迹的基本方法
五、根轨迹的分离点和会合点
闭环特征方程的根在 S 平面上的重合 闭环特征方程式： K B ( s)+A(s)=0 r 注意：只有位于根轨迹上的重根才是 点称为根轨迹的分离点或会合点。 重根必须同时满足以下两式 分离点或会合点。 一般将根轨迹 KrB'(s)+A'(s)=0 KrB(s)+ A(s)=0 若不在根轨迹上的分离点或会 离开实轴进入复平面的点称为分离点 即 A'(s) 合点应该舍去。 dB ( s ) dA ( s ) 离开复平面进入实轴的点称为会合点 Kr =K + =0 B'(s) ds ds r 设系统的开环传递函数为 解上式得 Kr B(s) G H((s A (s)B' s)= )=A' A((s s))B(s)
自动控制原理04ppt课件全
➢……
.
.. . ..
-2 -1
.
➢当K= ∞时，s1=-1+j∞,s2=-1-j∞
.
jw 2 1
s -1 -2
6
二. 根轨迹与系统性能
D(s) s2 2s K * 0
1,2 1 1 K *
1
0 1
7
1.稳定性
G(s) K s(0.5s 1)
根轨迹没有穿越虚轴进入s的右半平面，则系统稳
16
例4-1 设系统的开环传函为: G(s)H (s) k (s 4)
检验点s1= -1.5+j2.5是否
s(s 2)(s 6.6)
在根轨迹上; 并确定与其相对应的 k 值。
解:满足幅角条件的点都是根轨迹上的点,所以
1)利用幅角条件(s1 z1) (s1 p1) (s1 p2 ) (s1 p3)
[讨论]：➢当K=0时，s1=0,s2=-2
开环极点
➢当K=0.125时，s1=-0.13,s2=-1.866
.
➢根当轨K迹=0：.25时，s1=-0.29,s2=-1.707 ➢参当数K从当=0系0.5统到时中+，∞某s变个1=化（-1时或,s，2几=系个-1统）闭 ➢环在当特根K征平=1方面时程（，的S平s根1面=（-）1即+上闭j,移s环2动=极-的1点-轨j） ➢迹当。K=2.5时，s1=-1+2j,s2=-1-2j
i 1
K
* G
KG
1 2
T1T22
K G*：前向通道根轨迹增益
10
反馈通路传函：
H
(s)
K
* H
l
(s z j )
j 1
h
(s p j )
.
.. . ..
-2 -1
.
➢当K= ∞时，s1=-1+j∞,s2=-1-j∞
.
jw 2 1
s -1 -2
6
二. 根轨迹与系统性能
D(s) s2 2s K * 0
1,2 1 1 K *
1
0 1
7
1.稳定性
G(s) K s(0.5s 1)
根轨迹没有穿越虚轴进入s的右半平面，则系统稳
16
例4-1 设系统的开环传函为: G(s)H (s) k (s 4)
检验点s1= -1.5+j2.5是否
s(s 2)(s 6.6)
在根轨迹上; 并确定与其相对应的 k 值。
解:满足幅角条件的点都是根轨迹上的点,所以
1)利用幅角条件(s1 z1) (s1 p1) (s1 p2 ) (s1 p3)
[讨论]：➢当K=0时，s1=0,s2=-2
开环极点
➢当K=0.125时，s1=-0.13,s2=-1.866
.
➢根当轨K迹=0：.25时，s1=-0.29,s2=-1.707 ➢参当数K从当=0系0.5统到时中+，∞某s变个1=化（-1时或,s，2几=系个-1统）闭 ➢环在当特根K征平=1方面时程（，的S平s根1面=（-）1即+上闭j,移s环2动=极-的1点-轨j） ➢迹当。K=2.5时，s1=-1+2j,s2=-1-2j
i 1
K
* G
KG
1 2
T1T22
K G*：前向通道根轨迹增益
10
反馈通路传函：
H
(s)
K
* H
l
(s z j )
j 1
h
(s p j )
控制系统的根轨迹分析方法 自控原理 教学PPT课件
P3×
分别起始于p1, p2, p3,4，
P2
终止于无穷远。
×
-2
Im(s)
× 0 P1
Re(s)
根据规则四、实轴上存在
根轨迹是从-2到0之间。
P4×
例4-2-6
p1=0, p2= -2, p3,4= -1±j2
根据规则五、n-m=4条渐近线
与实轴交点： 渐近线相角分别为：
P3×
Im(s)
P2 ×
j5.66
×
-j5.66
例4-2-5 作
的根轨迹。
该系统 n=3 ，m=1。
有三个开环极点：
一个零点：
根据规则一、二、三： 该根轨迹有三个分支,
分别起始于p = 0(两条)和p = -12处，
有一个分支终止于z = -1,
另两个分支趋于无穷远。
× -12 -6 -4
根据规则四：
实轴上存在根轨迹是从-12到-1之间。
s1是分离点，s2是会合点。 ×
-12 -6
作完业整：的A绘-4-出7，根A轨-4-迹11，如图4-9所示。
看书p130，表4-1常规根轨迹。
●× -4 -2
图4-9
例4-2-6
分析：n=4，m=0。
根据规则一、二、三、有四个极点：
p1=0, p2= -2, p3,4= -1±j2
该根轨迹共有四个分支，
例如系统的开环零、极点分布如图。
要判断 和 之间的线段是否存
在根轨迹，取实验点
开环共轭极点和零点提供的相角 相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的 开环零极点决定。 。
×
● ● × ××
﹣5
﹣2 ﹣1 0
处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度 × 均为零， 相角条件由其右边的零极点决定。
自动控制原理胡寿松根轨迹法ppt资料
法则3 根轨迹的条数
n阶系统，其闭环特征方程有n个根。当Kg 从0连续
变化时，n个根将绘出有n条轨迹分支。因此根轨迹的条 数或分支数等于其闭环特征根的个数，即系统的阶数。
K j
K= 0
K= 0
0
K Kg
j Kg
0
Kg
j
0
j
0
j
-21
j
1
0
法则4 根轨迹的起点和终点
根轨迹起始于系统开环极点， 终止于系统开环零点。
在s 平面内满足幅角条件的所有s1 点，将这些点连成光滑 曲线，即是闭环系统根轨迹。
在1948年，伊凡思（W.R.Evdns）提出了用图解法 绘制根迹的一些基本法则，可以迅速绘制闭环系统的根 轨迹草图，在根轨迹草图的基础上，必要时可用幅角条 件使其精确化，从而使整个根规迹的绘制过程大为简化。
4-2 绘制系统根轨迹的基本法则
上式说明Kg= 0时，闭环特征方程的根就是开环极点。
将特征方程改写为：
1 n
m
Kg
(s pj ) (s zi ) 0
j 1
i 1
当 Kg 时，有
s = zi
( i =1, 2, … , m)
所以根轨迹必终止于开环零点。
在实际系统中，开环传函中 m n ，有m 条根轨迹终 点为开环零点处，另有nm条根轨迹的终点将在无穷远处， 可以认为有nm 个无穷远处的开环零点。
法则5 根轨迹的渐近线
根据法则4，当开环传递函数中m < n 时，将有n m 条
根轨迹分支沿着与实轴夹角为a ，交点为a 的一组渐近
线趋于无穷远处，且有：
a
(2k 1)
nm
(k = 0,1, … , n m 1)
n阶系统，其闭环特征方程有n个根。当Kg 从0连续
变化时，n个根将绘出有n条轨迹分支。因此根轨迹的条 数或分支数等于其闭环特征根的个数，即系统的阶数。
K j
K= 0
K= 0
0
K Kg
j Kg
0
Kg
j
0
j
0
j
-21
j
1
0
法则4 根轨迹的起点和终点
根轨迹起始于系统开环极点， 终止于系统开环零点。
在s 平面内满足幅角条件的所有s1 点，将这些点连成光滑 曲线，即是闭环系统根轨迹。
在1948年，伊凡思（W.R.Evdns）提出了用图解法 绘制根迹的一些基本法则，可以迅速绘制闭环系统的根 轨迹草图，在根轨迹草图的基础上，必要时可用幅角条 件使其精确化，从而使整个根规迹的绘制过程大为简化。
4-2 绘制系统根轨迹的基本法则
上式说明Kg= 0时，闭环特征方程的根就是开环极点。
将特征方程改写为：
1 n
m
Kg
(s pj ) (s zi ) 0
j 1
i 1
当 Kg 时，有
s = zi
( i =1, 2, … , m)
所以根轨迹必终止于开环零点。
在实际系统中，开环传函中 m n ，有m 条根轨迹终 点为开环零点处，另有nm条根轨迹的终点将在无穷远处， 可以认为有nm 个无穷远处的开环零点。
法则5 根轨迹的渐近线
根据法则4，当开环传递函数中m < n 时，将有n m 条
根轨迹分支沿着与实轴夹角为a ，交点为a 的一组渐近
线趋于无穷远处，且有：
a
(2k 1)
nm
(k = 0,1, … , n m 1)
自动控制课件第四章根轨迹法.ppt
第四章
根轨迹法
1
主要内容
4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 开环零、极点变化时的根轨迹 4-4 系统闭环零、极点分布与阶跃
响应的关系 4-5 系统阶跃响应的根轨迹分析
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2
基本要求
1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极 点、偶极子等概念。
2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。 熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益 和开环增益。
f
(s zi )
K
* G
i 1 q
(s pi )
i 1
（4-5）
12
K
G
为前向通道增益，K
* G
为前向通道根轨迹增益
KG*
KG
1
2…
2
T1 T22…
（4-6）
l
(s z j)
H
(s)
K
* H
j 1 h
(s p j)
j 1
（4-7）
式中：K
* H
为反馈通道的根轨迹增益。
13
f
l
(s zi) (s z j)
G
(s)H
(s)
K
* G
K
* H
i1 q
j1 l
(s pi ) (s p j)
i1
i1
f
l
(s zi ) (s z j)
K*
i1 q
j1 h
(s pi ) (s p j)
i1
j1
（4-8）
14
闭环传递函数
f h
(s zk )
(s)
K
* G
k 1 n
根轨迹法
1
主要内容
4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 开环零、极点变化时的根轨迹 4-4 系统闭环零、极点分布与阶跃
响应的关系 4-5 系统阶跃响应的根轨迹分析
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2
基本要求
1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极 点、偶极子等概念。
2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。 熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益 和开环增益。
f
(s zi )
K
* G
i 1 q
(s pi )
i 1
（4-5）
12
K
G
为前向通道增益，K
* G
为前向通道根轨迹增益
KG*
KG
1
2…
2
T1 T22…
（4-6）
l
(s z j)
H
(s)
K
* H
j 1 h
(s p j)
j 1
（4-7）
式中：K
* H
为反馈通道的根轨迹增益。
13
f
l
(s zi) (s z j)
G
(s)H
(s)
K
* G
K
* H
i1 q
j1 l
(s pi ) (s p j)
i1
i1
f
l
(s zi ) (s z j)
K*
i1 q
j1 h
(s pi ) (s p j)
i1
j1
（4-8）
14
闭环传递函数
f h
(s zk )
(s)
K
* G
k 1 n
自动控制原理胡寿松线性系统的根轨迹法详解PPT课件
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例4-9 自动平衡称系统 要求完成以下工作： 1）建立系统的模型及信号流图 2）在根轨迹图上确定根轨迹增益的取值 3）确定系统的主导极点 并使设计后的系统达到以下性能指标要求： 1）阶跃输入作用下无稳态误差。
2）欠阻尼响应: 0.5
3）调节时间： ts 2s轨迹，利用主导极点的概念和希望的阻尼比确定 出期望的主导极点，最后算出根轨迹增益。（本质上此题很简单，只是建模复 杂。）
1800 根轨迹绘制(考试重点） 00 根轨迹的绘制(考研会考）
根轨迹图分析(考试、考研） 参量根轨迹的绘制(考研会考）
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本章目录
4-1 根轨迹的基本概念 4-2 180度根轨迹的绘制 4-3 0度根轨迹的绘制 4-4 参量（数）根轨迹的绘制 4-5 利用根轨迹分析系统性能 4-6 控制系统复域设计
根轨迹增益与开环增益的转换关系
K*
K
1
2 2
T1T22
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5. 绘制根轨迹的两个基本条件
第8页/共86页
也就是说，绘制根轨迹时，
只需要使用相角条件即可。
第9页/共86页
4-2 180度根轨迹（常规根轨迹）的绘制
纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分巨大的， 而且对全貌的把握也很困难，于是人们研究根轨迹图的基本 规则，以便使根轨迹绘图更快更准。
[例 ] 考虑负反馈系统,设其中
G(s)H(s)
K(s2 2s 4)
s(s 4)(s 6)(s2 1.4s 1)
用Matlab绘制根轨迹只要知道开环传递函数分子分母的系数， 并分别填入分子向量num和分母向量den中，然后调用绘制根 轨迹的专用函数rlocus就行了。
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例4-9 自动平衡称系统 要求完成以下工作： 1）建立系统的模型及信号流图 2）在根轨迹图上确定根轨迹增益的取值 3）确定系统的主导极点 并使设计后的系统达到以下性能指标要求： 1）阶跃输入作用下无稳态误差。
2）欠阻尼响应: 0.5
3）调节时间： ts 2s轨迹，利用主导极点的概念和希望的阻尼比确定 出期望的主导极点，最后算出根轨迹增益。（本质上此题很简单，只是建模复 杂。）
1800 根轨迹绘制(考试重点） 00 根轨迹的绘制(考研会考）
根轨迹图分析(考试、考研） 参量根轨迹的绘制(考研会考）
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本章目录
4-1 根轨迹的基本概念 4-2 180度根轨迹的绘制 4-3 0度根轨迹的绘制 4-4 参量（数）根轨迹的绘制 4-5 利用根轨迹分析系统性能 4-6 控制系统复域设计
根轨迹增益与开环增益的转换关系
K*
K
1
2 2
T1T22
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5. 绘制根轨迹的两个基本条件
第8页/共86页
也就是说，绘制根轨迹时，
只需要使用相角条件即可。
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4-2 180度根轨迹（常规根轨迹）的绘制
纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分巨大的， 而且对全貌的把握也很困难，于是人们研究根轨迹图的基本 规则，以便使根轨迹绘图更快更准。
[例 ] 考虑负反馈系统,设其中
G(s)H(s)
K(s2 2s 4)
s(s 4)(s 6)(s2 1.4s 1)
用Matlab绘制根轨迹只要知道开环传递函数分子分母的系数， 并分别填入分子向量num和分母向量den中，然后调用绘制根 轨迹的专用函数rlocus就行了。
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1 G(s)H (s) 1 Kg
i 1 n
0
(s poj )
j 1
(4.3)
根轨迹法：根据开环传函(开环零点、极点)，找出开环
增益(或别的某个参数)由0→∞变化时，闭环系统特征根的 轨迹。
根轨迹法的基本思想：开环传函等于-1的s值，必为特
征根。
4.2 根轨迹的基本概念
6
幅角条件与幅值条件
特征方程(4.1)即为
j (s)
1 Kg
j 1
或
n
m
(s poj ) Kg (s zoi ) 0
j 1
i1
(4.7) (4.10)
考察Kg: 0→∞(Kg≥0), 闭环系统特征根的轨迹。
4.3 绘制根轨迹的基本规则
15
规则1：根轨迹是连续的，且对称于实轴；
规则2：根轨迹起始于开环极点，终止于开环 零点；根轨迹的分支数(条数)为max{n,m}， n为 开环(有限)极点数， m为开环(有限)零点数；
K由0→1变化时,特征根 s1,s2: K= 0， s1= 0 , s2 = -2；
K= 1， s1 = s2 = -1 ( = 1)； 0<K<1，( >1), s1,s2:为两个实根
K
:
0
1.ss12
: 0 1; : 2 1;
4.2 根轨迹的基本概念
11
1 < K < ∞, (0 < < 1),
1948年，W.R.Evans提出了根轨迹法：
当开环增益或别的某个参数变化时特征根的轨迹
图——找特征根的简单的图解法。
返回
4.2 根轨迹的基本概念
4
反馈控制系统的闭环传函
T(s) Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H (s)
特征方程 开环传函
1 G(s)H(s) 0
m
G(s)H
(s)
2) 根轨迹上各点的Kg值可由幅值条件确定。
由(4.8)和(4.9)也反映了根轨迹的几何意义。故在 分析和绘制根轨迹时，幅角和幅值应可进行图 解测量，故：
横坐标和纵坐标采用同样的尺度等分
4.2 根轨迹的基本概念
10
<例4.1>:绘制某二阶系统
的根轨迹图；
特征方程: s2 2s K s2 2 n n2 0 特征根: s1, s2 n n 2 1 1 1 K
4.2 根轨迹的基本概念
7
将特征方程写成：
m
P(s) Q(s)
i 1 n
(s (s
zoi ) poj )
A(s)e
j (s)
1 Kg
幅角条件
j 1
(4.7)
(s) G(s)H (s)
m
n
(s zoi ) (s poj ) 180(2k 1)
i 1
j 1
(4.8)
(s zoi ) i，开环有限零点到 s的矢量的幅角；
s1,s2:为共轭复根：
s1, s2 1 j K 1 此时,根轨迹为过(－1,0)点的垂线
K
:1
.ss12
: 1 : 1
1 1
j; j;
4.2 根轨迹的基本概念
根轨迹上的任何一点均满足幅角条件：
对于任意一点 s1 , 显然 ∠ s1＋ ∠ (s1＋2)＝180°
对于s1= -1+ j, 对应的K 值：
(s poj ) j，开环有限极点到 s的矢量的幅角；
(矢量的幅角以逆时针方 向为正)
4.2 根轨迹的基本概念
8
将特征方程写成：
m
P(s) Q(s)
i 1 n
(s (s
zoi ) poj )
A(s)e
j (s)
1 Kg
幅值条件
j 1
(4.7)
m
A(s)
i 1 n
|s |s
zoi poj
m
G(s)H (s)
Kg
P(s) Q(s)
Kg
(s zoi )
i 1 n
(s poj )
j 1
特征方程
P(s) 1 G(s)H (s) 1 Kg Q(s) 0
(4.2)
4.3 绘制根轨迹的基本规则
14
特征方程写成： m
P(s) Q(s)
i 1 n
(s (s
zoi ) poj )
A(s)e
s(s 2) 1 2 K s s1
1, s1 1 j1, K 2 2, s1 1 j2, K 5
12
返回
4.3 绘制根轨迹的基本规则
13
开环传函 (开环零点、极点) →闭环系统根轨迹
根轨迹性质→作图规则→特殊点→根轨迹(手工绘制 根轨迹概略图)
绘制根轨迹时，将开环传递函数写成：
西南交通大学 电气工程学院
2009
第四章 根轨迹法
2
4.1 引言 4.2 根轨迹法的基本概念 4.3 绘制根轨迹的基本规则 4.4 绘制根轨迹举例 4.5 参数根轨迹 本章小结
4.1 引言
3
系统的稳定性 ← 闭环极点(系统的特征根) 系统响应特性 ← 闭环极点和零点
系统的稳定性 闭环极点决定了
系统响应的大致特性
| |
1 Kg
j 1
(4.9)
| s zoi | li，开环有限零点到 s的矢量长度之积
| s poj | L j，开环有限极点到 s的矢量长度之积
4.2 根轨迹的基本概念
9
由(4.8)和(4.9)给出了根轨迹的基本原理： 1) 以Kg为可变参数，s平面上满足幅角条件的点构
成的曲线就是根轨迹；
G(s)H (s) 1
(4.4)
开环传函G(s)H(s)为复数，故由(4.4),有
幅角条件 : G(s)H (s) (2k 1)180,k 0,1,2, (4.5)
幅值条件 : G(s)H (s) 1
(4.6)
满足幅角条件、幅值条件的 s 值就是特征方程的 根，即闭环极点。幅角条件和幅值条件构成根轨 迹的基本条件。
起点: Kg= 0, 由(4.7), s = -poj , j=1,…,n; 即Kg= 0时，闭环极点 = 开环极点
终点: Kg →∞,由(4.7), s = -zoi , i=1,…,m; 即Kg →∞时，闭环极点 = 开环零点
4.3 绘制根轨迹的基本规则
16
n>m时,
m个开环有限零点决定了m个闭环极点的位置; 另(n - m)个闭环极点趋向于无穷远(开环无限零点).
Kg
P(s) Q(s)
Kg
(s zoi )
i 1 n
(s poj )
j 1
(4.1) (4.2)
Kg : 传递系数(开环根轨迹增益)
－zoi : 开环(传函的)零点, i=1,2,…,m.
－poj : 开环(传函的)极点, j=1,2,..,n.
4.2 根轨迹的基本概念
5
于是，Байду номын сангаас征方程
m
(s zoi )
注: 如果包括无限零点,则G(s)H(s)的零点数和极点数相
等.
P(s) s m bm1s m1 b1s b0