行程问题综合 (一)

行程问题综合（1）基本模式（一）相遇问题和相离问题：（1）相遇问题：“两物体分别从两地出发，相向而行”，注意关键词“相向”，如果两物体同时出发，相遇时所用时间一定相同，注意对速度和的理解图示:关系式：相遇时间=总路程÷速度和总路程=速度和×相遇时间例1：甲、乙两车的速度比是3：4，两车同时从两地相向而行，在离中点6千米处相遇，求两地相距多少千米？巩固：1、甲乙两车同时从AB两地出发相向而行。

甲车每小时行45千米，两车相遇后乙车再行135千米到A地，甲车再行2小时到B地。

求乙车行全程共用了几小时？2、甲乙两队学生从相隔17km的两地出发，相向而行，一个同学骑自行车以每刻钟3.5km的速度在两队之间往返联络，如果甲队每小时走4.5km，乙队每小时走4km，问：两队相遇时骑自行车的同学一共行了多少千米？<4>某轮船公司较长时间以来，每天中午有一只轮船从哈佛开往纽约，并且在每天的同一时间也有一只轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中所花的时间，来去是六昼夜，问今天中午从哈佛开出的轮船，在整个航运途中，将会遇到只同一公司的轮船从对面开来。

<5>甲乙分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲在早上9点到达C地，而乙到达C地时已经是下午5点了，已知甲乙速度比为5:3,则甲乙相遇时间时是几点？（2）相离问题：“两物体（从同一地点）同时出发，相背而行”，注意对“速度和”的理解，注意时间的因素图示：A B关系式：相离距离=速度和×相背而行的时间例2：甲乙两人上午8时分别从AB两地同时相向出发，到10时两车相距112.5km两车继续行驶到下午1时，两车还是相距112.5千米，求AB两地之间的距离？基本模式（二）追及问题和领先问题（1）追及问题：“两物体同向而行，一快一慢，慢者先行，快者追之”图示：基本数量关系式：追及时间=需要追及的距离÷速度差；追及距离=速度差×追及时间速度差=追及距离÷所用时间，近而再根据其他已知条件求出各自速度，从而解决问题。

速度差=速度（快的）-速度（慢的）需要追及的距离也就是慢者先行的距离或者快者开始出发时距慢者的距离。

比的思想：快者与慢者的速度比=快者与慢者的路程比，追及距离的份数=快者的路程份数-慢者的路程份数例3：上午8时8分，小明骑自行车从家里出发。

8分钟后，爸爸骑摩托车去追他。

在离家4千米的地方追上了小明，然后爸爸立即回家。

到家后，爸爸又立即回头去追小明。

再追上他的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？巩固：甲乙丙三辆车先后从A地开往B地。

乙比丙晚出发5分钟，出发后45分钟追上丙；甲比乙晚出发15分钟，出发后1小时追上丙。

甲出发后几小时追上乙？（2）领先问题：“两物体同向而行，在同一出发点同时出发，一快一慢，则快者必领先于慢者”图示：两者在同一出发点同时出发关系式：领先距离=速度差×所用时间，速度差=领先距离÷所用时间，所用时间=领先距离÷速度差例4、小李和老王同时从A地出发去B地，小李骑电动车，老王开汽车，2分钟后小李在老王的后方0.5千米，A、B两地相距90千米，老王用了3个小时到达B地，问小李到达B地时，老王已经到达B地多长时间了？巩固1、两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的工地。

甲车比乙车早到48分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米。

问：甲车行完全程用了多少小时？2、甲乙两人上午8时从东村骑车到西村，甲每小时比乙快6km，中午12时，甲到西村后立即返回东村，在距西村15km处，遇到乙，问东西两村相距多少千米？3、A车每小时行驶50km，B车每小时行驶40km，这两辆汽车同时从甲城出发，沿同一路线送货到乙城，A车在途中发生故障，停车2小时，结果，AB两车同时到达乙城，求：甲乙两城之间的距离？4、一辆汽车以每小时72千米的速度向回音壁驶去，汽车上的司机按了一下喇叭，4.5秒后听到回声，已知声音的速度是每秒钟340米，求：司机听到回声时，汽车距回音壁有多远？与“封闭路程”有关的行程问题：注意以下两点：一是两人同地背向运动，从一次相遇到下次相遇共行一个全程；二是同地同向运动时，甲追上乙时，甲比多行一个全程。

例5：如图，A 、B 是圆形跑道的两端，小张在A 点，小陈在B 点同时出发，反向行走，他们在C 点第一次相遇，C 点离A 点的跑道长80米；在D 点第二次相遇，D 点离B 点跑道长60米，求这个圆形跑道的长度。

DB巩固1、甲乙丙三人沿着湖边散步，同时从湖边的一个地点出发。

甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走。

甲第一次遇到乙后141分钟遇到丙，再过343分钟第二次遇到乙。

已知乙的速度是甲的32，湖的周长是600米，求丙的速度。

2、甲乙两人在同一条椭圆形轨道上做训练，他们同时从一点出发，沿反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的32 ，跑第二圈时，甲的速度提高了31乙的速度提高了51，已知甲乙两人第二次相遇点距第一次相遇点190米，求椭圆形跑道长度？（2）多次相遇：第一次相遇，甲、乙共同完成1个全程（相当于封闭路线的半圈），以后的每次折返相遇，两个人都要共同完成两个全程（相当于封闭路线的一圈）。

甲乙若保持各自的速度不变，那么每共同走出一个全程，甲乙完成的路程的比不变。

例1、甲乙两辆汽车同时从A 、B 两地相对开出，甲每小时行75千米，乙每小时行65千米。

甲、乙两车第一次相遇后继续前进，分别到达B 、A 两地后，立即按原路返回，两车从出发到第二次相遇共行了6小时，A 、B 两地相距多少千米？巩固1、一个游泳池长90米。

甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。

照这样往、返游，两人游10分钟，甲每秒游3米，乙每秒游2米，二人会相遇几次？2、客货两车同时从甲乙两地相对开出，在途中相遇后继续前进，各自到达对方出发点后立即返回，途中第二次相遇，两次相遇点相距120km，已知客车每小时行60km，货车每小时行48km，求：甲乙两地之间的距离？3、客货两车同时从甲乙两站相对开出，第一次相遇在离乙地80km的地方，相遇后继续行驶，均在到达对方出发点的地方立即返回，第二次相遇在距甲地50km的地方相遇，求甲乙两地之间的距离？行程问题基本模式综合题一、行程问题中转化假设的基本思想<1>小明家离体育馆2300米，有一天，他以每分钟100米的速度去体育馆看球赛，出发几分钟后发现，如果以这样的速度走下去一定迟到，他马上改用每分钟180米的速度跑步前进，途中共用15分钟准时到达了体育馆。

问，小明在离体育馆多少米的地方开始跑步的？<2>甲乙两车同时从相距160千米的两站相向开出，到达对方站后立即返回，经过4小时两车在途中第二次相遇。

相遇时甲车比乙车多行了120千米，求两车的速度。

<3>客车和货车同时从甲乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇又以原速前进。

到达对方站后立即返回，两车再次相遇时客车比货车多行21.6千米。

甲乙两站间的路程是多少千米？二、比例在行程问题中的应用：行程问题常常借助时间比、速度比、路程比来解决，尤其当题意中缺乏某方面的数量时，注意用正反比的思想去讨论和转化条件。

<1>甲、乙两车分别从AB两地同时出发，在AB之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙的速度是每小时35千米，并且甲乙两车第三次相遇的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，那么AB两地相距多少千米？<2>A、B 两地之间公路长96千米，甲骑自行车自A往B行驶，乙骑摩托车自B往A行驶，他们同时出发，经过80分钟后两人相遇，乙到A地后又马上折回，在第一次相遇后40分钟追上甲，乙到B地后马上折回，问：再经过多长的时间甲乙又一次相遇？<3>甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。

相遇后，甲继续向B地行驶，乙继续向A地行驶，两车保持各自的速度不变。

从相遇时算起，甲到B地用了4小时，乙到A地用1小时。

求甲乙两车的速度比。

<4>甲、乙、丙三人同时从A地向B地跑，当甲跑到B时，乙离B地还有35米，丙离B地还有68米；当乙跑到B时，丙离B地还有40米，设甲、乙、丙的跑步速度都是匀速，则A、B两地相距多少米？<5>在60米赛跑中，甲冲过终点线时，比乙领先10米，比丙领先20米，假如乙和丙的速度始终不变，那么当乙到达终点时，将比丙领先多少米？三、行程中的变速解决变速类行程问题基本思路是：①把条件密集段做为解答突破口求得该段上的未知量，这是解决问题的关键；②把问题进行适当分析，转化成基本类型,多注意用比和比例的思想解决问题，用份数的方法来解决问题；③利用假设、类比等方法求解，注意隐含条件的挖掘；④按题意作图，将抽象的信息具体化，辅助解题。

典型例题：<1>李明骑自行车从甲地到乙地开会，如果他每小时行16千米就能准时到达，可是当行了全程的32时，自行车漏气，他改成步行，速度减少了62.5%，结果迟到半小时，问：甲乙两地相距多少千米？<2>小明打算在课前5分钟到校，他以每小时4千米的速度步行从家去学校，当他走了1千米的时候发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，结果恰好准时到校，后来算了一下，如果小明从一开始就跑步上学，可以比原来早9分钟到校，求小明家到学校的路程？<3>如图，甲、乙分别从A 、C 两地同时出发，匀速相向而行，它们的速度比是5：4，相遇于B 地后，甲继续以原来的速度向C 地的方向前进，而乙则立即调头返回C ，且乙的速度比相遇前降低了51，这样，当乙回到C 地时，甲刚好到达离C 地18千米处的D 地，那么A 、C 之间的距离是多少千米？<4>如图，从A 到B 是1千米长的下坡路，从B 到C 是3千米长的平路，从C 到D 是2.5千米的上坡路，平路的速度是每小时4千米，上坡的速度是每小时2千米，下坡的速度是每小时6千米，小明和小亮分别从A 、D 两点同时出发，问多长时间两人相遇？C DB A<5>如图，A 到B 是下坡，从B 到C 是平路，从C 到D 是上坡，小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米，小张和小王分别从A 、D 两点同时出发，1小时后两人在E 点相遇，已知E 在BC 段上，并且E 至C 的距离是B 至C 距离的51，当小王到达A 后9分钟，小张到达D ，那么A 至D 全长多少千米？<6>从甲城到乙城有一条公路，将它分成3段，已知第一段公路的长恰好是第三段公路长的2倍，在第一段上，汽车的速度是每小时40千米，在第二段上汽车的速度是每小时90千米，在第三段上，汽车的速度是每小时50千米，现在两辆汽车分别从甲乙两城同时出发，相向而行，1小时20分钟后在第二段的31处（从甲到乙方向的31处）相遇，求甲乙两城之间的距离？综合练习：1、甲乙两辆汽车分别从A 、B 两点出发，相向而行，乙车先行了全程的51还多40千米，这时甲车才出发，一直到两车相遇时，乙车一共行了全程的74，已知甲、乙两车的速度比为5：3，A 、B 两地全程多少千米？2、A 、B 两城同时对开客车，两车第一次在距A 城50千米处相遇，到站后各停20分钟上下乘客再返回，返回时在距B 城40千米处相遇，问：A 、B 两城相距多少千米？3、一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高1/9，那么要比原定时间提前一小时到达，如果以原速行162千米后，再把速度提高1/6，也比原定时间提前一小时到达。