8压杆的稳定计算

2020/3/12
【例8-1】试计算图示压杆(截面面 积相同的矩形、正方形和圆形)的
正 方 形 :F cr8 .3 3 k N
临界Biblioteka Baidu。
矩 形 :F cr3.7kN
⑶当截面改为边长为30mm的 正方形时，其惯性矩：
IyIzh 1 b 2 33 1 0 2 3 6 .7 5 1 0 4m m 4
Fcr 7.95kN
D y
z
30mm
30mm
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⒉ 细长压杆的临界应力计算
⑴细长压杆临界应力的计算公式 — 欧拉公式
cr

Fcr A
cr

1 A

2

EI
l 2
I i2A或i2 I A
cr 1A2lEI2 2Eli22
2E


l
2
形时，其惯性矩：
D2 b2 D
Iy
Iz
4
D4
64
422 b4
64
4
b
24 6 4 3046.45104m m 4
Fcr

2EI (l)2
2200 (1 20 92 )6 2.45108
Fcr 7.95kN
D y
z
30mm
30mm
7 9 5 0 N 7 .9 5 k N
矩 形 :F cr3.7kN
解：⑴计算截面的惯性矩
Im a x Iy h 1 b 2 3 4 5 1 2 2 0 3 3 .0 1 0 4 m m 4
⑵计算临界力
Fcr

2EI (l)2
2200(2 1 029) 23108
3 7 0 1 N 3 .7 k N
c

600040MP 305
a
长木条失效时：
30
c
305
0.2MP
a
两者失效原因存在本质区别：
短木条: 强度失效，由强度不足引起
长木条: 非强度失效(丧失稳定)，由 稳定性不足引起
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F30N
F6000N
1000
30
从谚语“直木顶千斤”谈轴心受压杆的稳定
这个试验告诉我们，同一材料、 同一截面尺寸和形状，当长度不同 时，其能承受的轴心压力值是不同 的。在结构计算中，构件有一个重 要特征，就是计算长度的影响。长 度越大，构件的计算长度也越大， 其能承受的轴心压力值越小，这就 是直木承受轴心压力的一个重要特 征。因此，笼统地说“直木顶千斤” 并不符合实际情况。
⑴两端铰支细长杆的临界力计算公式—欧拉公式
Fcr

2EI
l2
⑵其他约束情况下细长压杆的临界力计算公式—欧拉公式
Fcr

2EI
l 2
μ称为长度系数。
两 端 铰 支 时 ： 1 ； 一 端 固 定 ， 另 一 端 铰 支 时 ： 0 .7 两 端 固 定 时 ： 0 .5 ； 一 端 固 定 ， 另 一 端 自 由 时 ： 2
Fcr

2EI (l)2
22001096.75108
(22)2
y z
30mm
8 3 3 0 N 8 .3 3 k N
30mm
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【例8-1】试计算图示压杆(截面面 积相同的矩形、正方形和圆形)的 临界力。
⑷当截面改为面积相等的圆
正 方 形 :F cr8 .3 3 k N 矩 形 :F cr3.7kN

令

l
i
,则有：
cr

2E 2
i
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cr

2E 2
⒉ 细长压杆的临界应力计算
⑵欧拉公式的适用范围 欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导出的，而应用此
微分方程时，材料必须服从胡克定理。因此，欧拉公式的适 用范围应当是压杆的临界应力不超过材料的比例极限，即：
cr 22E≤P
≥
E P
设λP为压杆临界应力达到材料的比例极限时的柔度值，即：
则欧拉公式的适用范围为： ≥ P
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P =
E P
当压杆所受的轴向压力F小于临界力Fcr时，杆件就 能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定 性；而当压杆所受的轴向压力F等于或者大于Fcr时, 杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。
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子情境8.2 各种压杆的临界力和临界应力计算
8.2.1 细长压杆的临界力和临界应力计算
⒈ 细长压杆的临界力计算
F cr 称 为 临 界 荷 载
稳定的平衡：
能保持原有的
直线平衡状态
的平衡；
不稳定的平衡：
不能保持原有的
直线平衡状态的
平衡。
压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发 生突然弯曲，所以称为纵弯曲。这种丧失稳定的现 象也称为屈曲。
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子情境8.1 压杆的概念
压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡 时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力， 用Fcr表示
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【例8-1】试计算图示压杆(截面面 积相同的矩形、正方形和圆形)的
正 方 形 :F cr8 .3 3 k N
临界力。
矩 形 :F cr3.7kN
从以上三种情况的分析，其 截面面积相等、支承条件也相同, 但是，计算得到的临界力却不一 样。可见在材料用量相同的条件 下，选择恰当的截面形式可以提 高细长压杆的临界力。
学习情境8
压杆的稳定计算
学习要点：压杆稳定的概念、临界压力和欧 拉公式等。
教学目标：了解压杆稳定的概念；会计算细 长杆、中长杆和短粗杆的临界力；会对各种压杆 进行稳定校核。了解提高压杆稳定性的措施。
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引例
一个实验：
松木板条：截面尺寸5×30，抗压极 限应力40MPa。
短木条失效时：
F30N
F6000N
1000
30
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轴心受压杆件从直线状态突然变为曲线状态的现
象，在结构上称为“失稳”。这种情况对结构安全是
极为不利的。也是必须避免的。
F30N
截面形状也是轴心受压直杆 稳定性的又一个重要因素。
F6000N
1000
30
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子情境8.1 压杆的概念
2020/3/12
两 端 铰 支 时 ： 1 ； 一 端 固 定 ， 另 一 端 铰 支 时 ： 0 .7 两 端 固 定 时 ： 0 .5 ； 一 端 固 定 ， 另 一 端 自 由 时 ： 2
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【例8-1】试计算图示压杆(截面面 积相同的矩形、正方形和圆形)的 临界力。