2020高考总复习创新设计数学理科北师大版教师文档第六章 第3节
2020版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第六章第4节
第4节 数列求和最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.知 识 梳 理1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n 项和公式: S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d .(2)等比数列的前n 项和公式:S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1Ｗ.2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. (2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. (3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,这个数列的前n 项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. [微点提醒]1.1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2. 2.12＋22＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.3.裂项求和常用的三种变形 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若数列{a n }为等比数列,且公比不等于1,则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( )(2)当n ≥2时,1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1).( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( )(4)若数列a 1,a 2－a 1,…,a n －a n －1是首项为1,公比为3的等比数列,则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( )解析 (3)要分a ＝0或a ＝1或a ≠0且a ≠1讨论求解. 【参考答案】(1)√ (2)√ (3)× (4)√2.(必修5P47B4改编)数列{a n }中,a n ＝1n （n ＋1）,若{a n }的前n 项和为2 0192 020,则项数n 为( ) A.2 018B.2 019C.2 020D.2 021解析 a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1,S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0192 020,所以n ＝2019.【参考答案】B3.(必修5P56例1改编)等比数列{a n }中,若a 1＝27,a 9＝1243,q >0,S n 是其前n 项和,则S 6＝________.解析 由a 1＝27,a 9＝1243知,1243＝27·q 8, 又由q >0,解得q ＝13, 所以S 6＝27⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1361－13＝3649.【参考答案】36494.(2018·东北三省四校二模)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2,a 1＝－5,则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A.9B.15C.18D.30解析 由题意知{a n }是以2为公差的等差数列,又a 1＝－5,所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 【参考答案】C5.(2019·昆明诊断)已知数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,b n －a n ＝2n ＋1,且S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2,则2T n ＝________________.解析 由题意知T n －S n ＝b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b n －a n ＝n ＋2n ＋1－2, 又S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2,所以2T n ＝T n －S n ＋S n ＋T n ＝2n ＋2＋n (n ＋1)－4. 【参考答案】2n ＋2＋n (n ＋1)－46.(2019·河北“五个一”名校质检)若f (x )＋f (1－x )＝4,a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为________.解析 由f (x )＋f (1－x )＝4,可得f (0)＋f (1)＝4,…,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＝4,所以2a n ＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…＋[f (1)＋f (0)]＝4(n ＋1),即a n ＝2(n ＋1). 【参考答案】a n ＝2(n ＋1)考点一 分组转化法求和【例1】 (2019·郴州质检)已知在等比数列{a n }中,a 1＝1,且a 1,a 2,a 3－1成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2n －1＋a n (n ∈N *),数列{b n }的前n 项和为S n ,试比较S n 与n 2＋2n 的大小.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q , ∵a 1,a 2,a 3－1成等差数列,∴2a 2＝a 1＋(a 3－1)＝a 3,∴q ＝a 3a 2＝2,∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N *).(2)由(1)知b n ＝2n －1＋a n ＝2n －1＋2n －1,∴S n ＝(1＋1)＋(3＋2)＋(5＋22)＋…＋(2n －1＋2n －1) ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(1＋2＋22＋…＋2n －1) ＝1＋（2n －1）2·n ＋1－2n 1－2＝n 2＋2n －1.∵S n －(n 2＋2n )＝－1<0,∴S n <n 2＋2n .规律方法 1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ,且{a n },{b n }为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n },{b n }是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【训练1】 (2019·南昌一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1＝1,S 3＋S 4＝S 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1a n ,求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,由S 3＋S 4＝S 5可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5,即3a 2＝a 5, ∴3(1＋d )＝1＋4d ,解得d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由(1)可得b n ＝(－1)n －1·(2n －1).∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(2n －3)－(2n －1)＝(－2)×n ＝－2n . 考点二 裂项相消法求和【例2】 (2019·郑州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2＝8,S n ＝a n ＋12－n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2×3n a n a n ＋1的前n 项和T n .解 (1)∵a 2＝8,S n ＝a n ＋12－n －1, ∴a 1＝S 1＝a 22－2＝2,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝a n ＋12－n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2－n ,即a n ＋1＝3a n ＋2,又a 2＝8＝3a 1＋2, ∴a n ＋1＝3a n ＋2,n ∈N *, ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1),∴数列{a n ＋1}是等比数列,且首项为a 1＋1＝3,公比为3, ∴a n ＋1＝3×3n －1＝3n ,∴a n ＝3n －1.(2)∵2×3n a n a n ＋1＝2×3n （3n －1）（3n ＋1－1）＝13n －1－13n ＋1－1. ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2×3n a n a n ＋1的前n 项和T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－132－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1－133－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋1－1＝12－13n ＋1－1.规律方法 1.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.2.将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【训练2】 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知S 3＝a 7,a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；(2)设b n ＝1S n ,求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，解得a 1＝3,d ＝2,∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1. (2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2), ∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.考点三 错位相减法求和【例3】 已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1＋a 2＝6,a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和为S n ,已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .解 (1)设{a n }的公比为q , 由题意知⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝6，a 21q ＝a 1q 2， 又a n >0,解得⎩⎨⎧a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由题意知:S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1,又S 2n ＋1＝b n b n ＋1,b n ＋1≠0,所以b n ＝2n ＋1. 令c n ＝b na n,则c n ＝2n ＋12n ,因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ,又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1,两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1, 所以T n ＝5－2n ＋52n .规律方法 1.一般地,如果数列{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,求数列{a n ·b n }的前n 项和时,可采用错位相减法. 2.用错位相减法求和时,应注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【训练3】 已知等差数列{a n }满足:a n ＋1>a n (n ∈N *),a 1＝1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,a n ＋2log 2b n ＝－1. (1)分别求数列{a n },{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则d >0,由a 1＝1,a 2＝1＋d ,a 3＝1＋2d 分别加上1,1,3后成等比数列, 得(2＋d )2＝2(4＋2d ),解得d ＝2(舍负),所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 又因为a n ＋2log 2b n ＝－1,所以log 2b n ＝－n ,则b n ＝12n . (2)由(1)知a n ·b n ＝(2n －1)·12n , 则T n ＝121＋322＋523＋…＋2n －12n ,① 12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1,② 由①－②,得12T n ＝12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋124＋…＋12n －2n －12n ＋1.∴12T n ＝12＋2×14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1, ∴T n ＝1＋2－22n －1－2n －12n ＝3－4＋2n －12n ＝3－3＋2n2n.[思维升华]非等差、等比数列的一般数列求和,主要有两种思想1.转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；2.不能转化为等差或等比的特殊数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和. [易错防范]1.直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如当等比数列公比为参数(字母)时,应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时,要注意观察未合并项的正负号.3.在应用裂项相消法时,要注意消项的规律具有对称性,即前剩多少项则后剩多少项.基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.－24B.－3C.3D.8解析 设{a n }的公差为d ,根据题意得a 23＝a 2·a 6,即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d ),解得d ＝－2,所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋6×52d ＝1×6＋6×52×(－2)＝－24. 【参考答案】A2.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3),则它的前100项之和S 100等于( ) A.200B.－200C.400D.－400解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 【参考答案】B3.数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1,前n 项和为9,则n 等于( )A.9B.99C.10D.100解析 因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ,所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(n ＋1－n )＋(n －n －1)＋…＋(3－2)＋(2－1)＝n ＋1－1, 令n ＋1－1＝9,得n ＝99. 【参考答案】B 4.(2019·合肥调研)已知T n 为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2n ＋12n 的前n 项和,若m >T 10＋1 013恒成立,则整数m 的最小值为( ) A.1 026B.1 025C.1 024D.1 023解析 ∵2n ＋12n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n,∴T n ＝n ＋1－12n ,∴T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210, 又m >T 10＋1 013恒成立, ∴整数m 的最小值为1 024. 【参考答案】C5.(2019·厦门质检)已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ＝2,则其前100项和为( ) A.250B.200C.150D.100解析 当n ＝2k (k ∈N *)时,a 2k ＋1－a 2k ＝2,当n ＝2k －1(k ∈N *)时,a 2k ＋a 2k －1＝2,当n ＝2k ＋1(k ∈N *)时,a 2k ＋2＋a 2k ＋1＝2,∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝4,a 2k ＋2＋a 2k ＝0,∴{a n }的前100项和＝(a 1＋a 3)＋…＋(a 97＋a 99)＋(a 2＋a 4)＋…＋(a 98＋a 100)＝25×4＋25×0＝100.【参考答案】D 二、填空题6.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2,则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析 由a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ,得(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0, 又a n >0,所以a n ＋1＝3a n ,又a 1＝2,所以{a n }是首项为2,公比为3的等比数列, 故S n ＝2（1－3n ）1－3＝3n －1.【参考答案】3n －17.(2019·武汉质检)设数列{(n 2＋n )a n }是等比数列,且a 1＝16,a 2＝154,则数列{3n a n }的前15项和为________.解析 等比数列{(n 2＋n )a n }的首项为2a 1＝13,第二项为6a 2＝19,故公比为13,所以(n 2＋n )a n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ,所以a n ＝13n （n 2＋n ）,则3n a n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1,其前n 项和为1－1n ＋1,n ＝15时,为1－116＝1516. 【参考答案】15168.(2019·福州调研)已知数列{na n }的前n 项和为S n ,且a n ＝2n ,且使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________. 解析 S n ＝1×21＋2×22＋…＋n ×2n ,则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1,两式相减得 －S n ＝2＋22＋ (2)－n ·2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ·2n ＋1,故S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1. 又a n ＝2n ,∴S n －na n ＋1＋50＝2＋(n －1)·2n ＋1－n ·2n ＋1＋50 ＝52－2n ＋1,依题意52－2n ＋1<0,故最小正整数n 的值为5.【参考答案】5三、解答题9.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ,求数列{b n }的前2n 项和. 解 (1)当n ＝1时,a 1＝S 1＝1；当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n . a 1也满足a n ＝n ,故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知a n ＝n ,故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ,则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n ). 记A ＝21＋22＋…＋22n ,B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ,则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2, B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.10.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝2,a n ＋1＝2＋S n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1＋log 2(a n )2,求证:数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n <16.(1)解 因为a n ＋1＝2＋S n (n ∈N *),所以a n ＝2＋S n －1(n ≥2),所以a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ,所以a n ＋1＝2a n (n ≥2).又因为a 2＝2＋a 1＝4,a 1＝2,所以a 2＝2a 1,所以数列{a n }是以2为首项,2为公比的等比数列, 则a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *).(2)证明 因b n ＝1＋log 2(a n )2,则b n ＝2n ＋1.则1b n b n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3, 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝16－12（2n ＋3）<16. 能力提升题组(建议用时:20分钟)11.(2019·广州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1－a n ≥2(n ∈N *),且S n 为{a n }的前n 项和,则( )A.a n ≥2n ＋1B.S n ≥n 2C.a n ≥2n －1D.S n ≥2n －1 解析 由题意得a 2－a 1≥2,a 3－a 2≥2,a 4－a 3≥2,…,a n －a n －1≥2, ∴a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋…＋a n －a n －1≥2(n －1), ∴a n －a 1≥2(n －1),∴a n ≥2n －1,∴a 1≥1,a 2≥3,a 3≥5,…,a n ≥2n －1,∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ≥1＋3＋5＋…＋2n －1,∴S n ≥n （1＋2n －1）2＝n 2. 【参考答案】B12.已知数列{a n }中,a n ＝－4n ＋5,等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2,则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________. 解析 由已知得b 1＝a 2＝－3,q ＝－4,∴b n ＝(－3)×(－4)n －1,∴|b n |＝3×4n －1,即{|b n |}是以3为首项,4为公比的等比数列,∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3（1－4n ）1－4＝4n －1. 【参考答案】4n －113.(2017·全国Ⅱ卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3＝3,S 4＝10,则∑nk ＝11S k＝________. 解析 设等差数列{a n }的公差为d ,则由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝1. ∴S n ＝n ×1＋n （n －1）2×1＝n （n ＋1）2, 1S n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴∑nk ＝11S k ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 【参考答案】2n n ＋114.(2019·河南、河北两省联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝5,nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋n .(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列； (2)令b n ＝2n a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .(1)证明 由nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋n 得S n ＋1n ＋1－S n n＝1, 又S 11＝5,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为5,公差为1的等差数列. (2)解 由(1)可知S n n ＝5＋(n －1)＝n ＋4,所以S n ＝n 2＋4n .当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝n 2＋4n －(n －1)2－4(n －1)＝2n ＋3. 又a 1＝5也符合上式,所以a n ＝2n ＋3(n ∈N *), 所以b n ＝(2n ＋3)2n ,所以T n ＝5×2＋7×22＋9×23＋…＋(2n ＋3)2n ,① 2T n ＝5×22＋7×23＋9×24＋…＋(2n ＋1)2n ＋(2n ＋3)2n ＋1,② 所以②－①得T n ＝(2n ＋3)2n ＋1－10－(23＋24＋…＋2n ＋1)＝(2n ＋3)2n ＋1－10－23（1－2n －1）1－2＝(2n＋3)2n＋1－10－(2n＋2－8) ＝(2n＋1)2n＋1－2.。
2020高考总复习创新设计数学理科北师大版教师文档第三章导数及其应用
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数 y＝f(x)在 x＝x0 附近的平均变化率.( ) (2)函数 f(x)＝sin(－x)的导数 f′(x)＝cos x.( ) (3)求 f′(x0)时，可先求 f(x0)，再求 f′(x0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( )
( ) 1 1
(2)y＝x x2＋x＋x3 ；
(3)f(x)＝ln 1＋2x.
( x＋ex(ln x)′＝exln x＋ ＝ex ln x＋ .
x
x
1
2
(2)因为 y＝x3＋1＋ ，所以 y′＝3x2－ .
x2
x3
1 (3)因为 y＝ln 1＋2x＝ ln(1＋2x)，
知识梳理 1.函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 (1)定义：当 x1 趋于 x0，即 Δx 趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那 么这个值就是函数 y＝f(x)在 x0 点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数 y ＝f(x)在 x0 点的导数，通常用符号 f′(x0)表示，记作
f(x)＝ln x
f(x)＝logax(a＞0，a≠1) 4.导数的运算法则 若 f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f′(x)＝cos__x
f′(x)＝－sin__x f′(x)＝ex
答案 B 5.(2018·天津卷)已知函数 f(x)＝exln x，f′(x)为 f(x)的导函数，则 f′(1)的值为________.
1 解析 由题意得 f′(x)＝exln x＋ex· ，则 f′(1)＝e.
【配套课件】《创新设计·高考一轮总复习》数学 北师大版(理)第六篇 第1讲 数列的概念与简单表示法
根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观 察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母
的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数
数列的通项公式就是相应的函数解析式. 2．数列的递推公式
第1项 或_______) 前n项 ，且从第二项(或某一项) 如果已知数列{an}的_______(
开始的任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用
一个式子来表示，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式． 3．an与Sn的关系 S1 ，n＝1， ___ 若数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 an＝ S －S －讲 数列的概念与简单表示法
【2014年高考会这样考】 1．考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项．
2．考查由数列的递推关系求数列的通项公式．
考点梳理
1．数列的概念
(1)定义 一定次序排列的一列数叫作数列．数列中的每一个数叫 按________ 做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1 首项 ． 项，通常也叫做_____ (2)数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…， n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大依次
考点自测
1．(2013· 汉中模拟)设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则a7的
值为 (A．13 )． 解析 答案 B B．14 C．15 D．16 a7＝S7－S6＝49＋7－36－6＝14.
2．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为 A．30
解析 答案
(
)．
B．31
解 (1)所给数列可改写为 1＋ 1， － 1＋ 1,1＋ 1， －1＋ 1， …，
2020高考总复习创新设计数学理科北师大版教师文档第八章 第3节
而 AC 与 BD 所成的角为 90°，所以∠EFG＝90°，故四边形 EFGH 为矩形.
答案 B
4.(2019·萍乡调研)α 是一个平面，m，n 是两条直线，A 是一个点，若 mα，nα，
且 A∈m，A∈α，则 m，n 的位置关系不可能是( )
A.垂直
B.相交
C.异面
D.平行
解析 依题意，m∩α＝A，nα，∴m 与 n 异面、相交(垂直是相交的特例)，一 定不平行. 答案 D 5.(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个 顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )
∴∠D1B1C＝60°.
答案 C 3.(必修 2P26 例 1 改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中
点的四边形一定是( )
A.梯形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
解析 如图所示，易证四边形 EFGH 为平行四边形，因为 E，F 分别为 AB，BC
的中点，所以 EF∥AC，又 FG∥BD，所以∠EFG 或其补角为 AC 与 BD 所成的角，
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(必修 2P28A4 改编)如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析 连接 B1D1，D1C，则 B1D1∥EF，故∠D1B1C 为所求的角.又 B1D1＝B1C＝D1C，
(1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点. 证明 (1)如图，连接 CD1，EF，A1B，
2020高考总复习创新设计数学理科北师大版教师文档第六章 第2节
第2节 等差数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就为等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N +，d 为常数).(2)如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b的等差中项，即A ＝.a ＋b 22.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋＝.n （n －1）d 2n （a 1＋a n ）23.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N +).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N +)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N +)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列也为等差数列.{S n n }[微点提醒]1.已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{a n}中，a1＞0，d＜0，则S n存在最大值；若a1＜0，d＞0，则S n存在最小值.3.等差数列{a n}的单调性：当d＞0时，{a n}是递增数列；当d＜0时，{a n}是递减数列；当d＝0时，{a n}是常数列.4.数列{a n}是等差数列⇔S n＝An2＋Bn(A，B为常数).基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N+，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.( )(2)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的.( )(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( )(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )解析 (3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数.答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P17练习1T3(2)改编)设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( )A.31B.32C.33D.34解析 由已知可得{a1＋5d＝2，5a1＋10d＝30，)解得∴S8＝8a1＋d＝32.{a1＝263，d＝－43，)8×72答案 B3.(必修5P38A6(2)改编)在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.答案 1804.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A.－12B.－10C.10D.12解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－a 1.32又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.答案 B5.(2019·皖南八校模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( )A.－3B.－C.－2D.－452解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为所以{a 2＝1，S 5＝－15，){a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15，)解得d ＝－4.答案 D6.(2019·江西赣中南五校联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1，S 2，…，S 9中最小的是______.解析 在等差数列{a n }中，∵a 3＋a 8>0，S 9<0，∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8>0，S 9＝＝9a 5<0，9（a 1＋a 9）2∴a 5<0，a 6>0，∴S 1，S 2，…，S 9中最小的是S 5.答案 S5考点一 等差数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A.1B.2C.4D.8(2)(2019·西安检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( )A.9B.10C.11D.15解析 (1)法一 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得所以d ＝4.{（a 1＋3d ）＋（a 1＋4d ）＝24，6a 1＋6×52d ＝48，)法二 等差数列{a n }中，S 6＝＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，（a 1＋a 6）×62又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，则d ＝4.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得解得{S 11＝11a 1＋11×（11－1）2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，){a 1＝－33，d ＝7，)∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10.答案 (1)C (2)B规律方法 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( )A.3B.4C.log 318D.log 324(2)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________.解析 (1)∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列，∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )，∴log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，则2x (4x ＋2)＝9x 2，解之得x ＝4，x ＝0(舍去).∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318，∴公差d ＝log 312－log 38＝log 3，32∴数列的第四项为log 318＋log 3＝log 327＝3.32(2)法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得解得{S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，){a 1＝0，d ＝2，)所以S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二 由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12可得{S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，)解得即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.{A ＝1，B ＝－1，)答案 (1)A (2)30考点二 等差数列的判定与证明 典例迁移【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝.12(1)求证：成等差数列；{1S n }(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以－＝2，1S n 1S n －1又＝＝2，1S 11a 1故是首项为2，公差为2的等差数列.{1S n }(2)解 由(1)可得＝2n ，∴S n ＝.1S n 12n当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－＝＝－.12n 12（n －1）n －1－n 2n （n －1）12n （n －1）当n ＝1时，a 1＝不适合上式.12故a n ＝{12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥ 2.)【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由.解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2).所以－＝2(n ≥2).1S n 1S n －1又＝＝2，1S 11a 1所以是以2为首项，2为公差的等差数列.{1S n }所以＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝.1S n 12n 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－＝，12n 12（n －1）－12n （n －1）所以a n ＋1＝，又a n ＋1－a n ＝－－12n （n ＋1）－12n （n ＋1）－12n （n －1）＝＝.－12n (1n ＋1－1n －1)1n （n －1）（n ＋1）所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列.【迁移探究2】 本例中，若将条件变为a 1＝，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求35数列{a n }的通项公式.解 由已知可得＝＋1，即－＝1，a n ＋1n ＋1a n n a n ＋1n ＋1a n n 又a 1＝，35∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，{a n n }a 1135∴＝＋(n －1)·1＝n －，∴a n ＝n 2－n .a n n 352525规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数.(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N +)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列.解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得解得{a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，){q ＝－2，a 1＝－2.)故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝＝－＋(－1)n .a 1（1－q n ）1－q 232n ＋13由于S n ＋2＋S n ＋1＝－＋(－1)n432n ＋3－2n ＋23＝2＝2S n ，[－23＋（－1）n ·2n ＋13]故S n＋1，S n，S n＋2成等差数列.考点三 等差数列的性质及应用 多维探究角度1 等差数列项的性质【例3－1】(2019·九江一模)在等差数列{a n}中，a1＋3a8＋a15＝120，则a2＋a14的值为( )A.6B.12C.24D.48解析 ∵在等差数列{a n}中，a1＋3a8＋a15＝120，由等差数列的性质，a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48.答案 D角度2 等差数列和的性质【例3－2】设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )A.63B.45C.36D.27解析 由{a n}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，所以a7＋a8＋a9＝45.答案 B规律方法 1.项的性质：在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N+)，则a m＋a n＝a p＋a q.2.和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)a n.【训练3】 (1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，－＝6，S 2 0152 015S 2 0092 009则S 2 019＝________.(2)(2019·荆州一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( )A.15B.30C.31D.64(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若＝，则等于( )S n T n 3n －22n ＋1a 7b 7A. B. C. D.37271914392943解析 (1)由等差数列的性质可得也为等差数列.{S n n }设其公差为d ，则－＝6d ＝6，∴d ＝1.S 2 0152 015S 2 0092 009故＝＋2 018d ＝－2 015＋2 018＝3，S 2 0192 019S 11∴S 2 019＝3×2 019＝6 057.(2)由a 3＋a 4＋a 5＝3及等差数列的性质，∴3a 4＝3，则a 4＝1.又a 4＋a 12＝2a 8，得1＋a 12＝2×8.∴a 12＝16－1＝15.(3)＝＝＝＝＝＝.a 7b 72a 72b 7a 1＋a 13b 1＋b 13a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13S 13T 133×13－22×13＋13727答案 (1)6 057 (2)A (3)A考点四 等差数列的前n 项和及其最值【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100，当n 为何值时，数列的前n 项和最大？{lg 1a n }解 (1)令n ＝1，得λa ＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0，21因为a 1≠0，所以a 1＝，2λ当n ≥2时，2a n ＝＋S n ，2a n －1＝＋S n －1，2λ2λ两式相减得2a n －2a n －1＝a n (n ≥2).所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }为等比数列，a n ＝a 1·2n －1＝.2n λ(2)当a 1>0，λ＝100时，由(1)知，a n ＝，2n 100则b n ＝lg ＝lg ＝lg 100－lg 2n ＝2－n lg 2，1a n 1002n 所以数列{b n }是单调递减的等差数列，公差为－lg 2，所以b 1>b 2>…>b 6＝lg ＝lg >lg 1＝0，1002610064当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg <lg 1＝0，10027所以数列的前6项和最大.{lg 1a n }规律方法 求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值.①当a 1>0，d <0时，满足的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0{a m ≥0，a m ＋1≤0)时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0{a m ≤0，am ＋1≥0)时，S m ＋1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n为数列{a n }的前n 项和，则数列的前n 项和取最小值时的n 为( ){S n n }A.3B.3或4C.4或5D.5(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知{（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，)由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，∴＝＝－3＋n －1＝n －4，S n nna 1＋n （n －1）2d n 则n －4≥0，得n ≥4，∴数列的前n 项和取最小值时的n 为3或4.{S n n }(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋d ＝20n －×2n （n －1）2n （n －1）2＝－n 2＋21n ＝－＋，(n －212)2 (212)2又因为n ∈N +，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.答案 (1)B (2)110[思维升华]1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n 项和S n ＝An 2＋Bn 及通项a n ＝pn ＋q 来判断一个数列是否为等差数列.2.等差数列基本量思想(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解.(2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d .若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.[易错防范]1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n 项和最值时，一定要注意自变量n 是正整数.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A.100B.99C.98D.97解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得所以{9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，){a 1＝－1，d ＝1，)所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98.答案 C 2.(2019·惠州调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若＝，则＝( )a 6a 5911S 11S 9A.1 B.－1 C.2 D.12解析 由于＝＝×＝1.S 11S 911a 69a 5119911答案 A3.(2019·中原名校联考)若数列{a n }满足－＝d (n ∈N +，d 为常数)，则称数列{a n }1a n ＋11a n 为调和数列，已知数列为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝{1x n }( )A.10B.20C.30D.40解析 依题意，－＝x n ＋1－x n ＝d ，11x n ＋111x n∴{x n }是等差数列.又x 1＋x 2＋…＋x 20＝＝200.20（x 1＋x 20）2∴x 1＋x 20＝20，从而x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝20.答案 B4.(2019·合肥质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤解析 用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋×17＝996，解之得a 1＝65.8×72∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.答案 B5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，－＝－4，则S n 取最大值时的n S 99S 55为( )A.4B.5C.6D.4或5解析 由{a n }为等差数列，得－＝a 5－a 3＝2d ＝－4，S 99S 55即d ＝－2，由于a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，令a n ＝－2n ＋11<0，得n >，112所以S n 取最大值时的n 为5.答案 B二、填空题6.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________.解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n 解得n ＝5，故这个数列的项数为10.答案 107.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a 6＝________.解析 将a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1，－＝2.1a n ＋11a n 所以是以＝1为首项，2为公差的等差数列，{1a n }1a 1所以＝1＋5×2＝11，即a 6＝.1a 6111答案 1118.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________.解析 依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝，因此S 100＝10S 10＋d ＝10×16＋×＝200.8910×9210×9289答案 200三、解答题9.(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意得解得{2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.){a 1＝1，d ＝25.)所以{a n }的通项公式为a n ＝.2n ＋35(2)由(1)知，b n ＝.[2n ＋35]当n ＝1，2，3时，1≤<2，b n ＝1；2n ＋35当n ＝4，5时，2≤<3，b n ＝2；2n ＋35当n ＝6，7，8时，3≤<4，b n ＝3；2n ＋35当n ＝9，10时，4≤<5，b n ＝4.2n ＋35所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10.已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .S n n(1)解 设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋·d ＝2k ＋×2＝k 2＋k ，k （k －1）2k （k －1）2由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)证明 由(1)得S n ＝＝n (n ＋1)，n （2＋2n ）2则b n ＝＝n ＋1，S n n 故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝＝.n （2＋n ＋1）2n （n ＋3）2能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·宝鸡模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N +)，则a 18＝( )A. B. C.3 D.259269289解析 令b n ＝na n ，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，所以{b n }为等差数列，因为b 1＝1，b 2＝4，所以公差d ＝3，则b n ＝3n －2，所以b 18＝52，则18a 18＝52，所以a 18＝.269答案 B12.(2019·成都诊断)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N +)，若＝，则＝( )S n T n 2n －1n ＋1a 12b 6A. B. C. D.3154158237解析 由题意不妨设S n ＝n (2n －1)，T n ＝n (n ＋1)，所以a 12＝S 12－S 11＝12×23－11×21＝45，b 6＝T 6－T 5＝6×(6＋1)－5×(5＋1)＝42－30＝12，所以＝＝.a 12b 64512154答案 A13.设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N +)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.解析 由a n ＝2n －10(n ∈N +)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案 13014.(2019·长沙雅礼中学模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 13＝26，S 9＝81.(1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若30T n －m ≤0对一切n ∈N +成立，求1a n ＋1a n ＋2实数m 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中，a 1＋a 13＝26，S 9＝81，∴解得{2a 7＝26，9a 5＝81，){a 7＝13，a 5＝9，)∴d ＝＝＝2，a 7－a 57－513－92∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝9＋2(n －5)＝2n －1.(2)∵b n ＝＝1a n ＋1a n ＋21（2n ＋1）（2n ＋3）＝，12(12n ＋1－12n ＋3)∴T n ＝12(13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3)＝，12(13－12n ＋3)∵随着n 的增大而增大，知{T n }单调递增.12(13－12n ＋3)又>0，∴T n <，∴m ≥5，12n ＋316∴实数m 的最小值为5.。
2020高考总复习创新设计数学理科北师大版教师文档第九章 第1节
( )π π
可以看出，直线 l 的倾斜角的取值范围为 ， . 62
答案 B 考点二 直线方程的求法
【例 2】 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点 P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点 A(－1，－3)，倾斜角等于直线 y＝3x 的倾斜角的 2 倍；
(3)经过点 B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
________.
解析 当纵、横截距均为 0 时，直线方程为 3x－2y＝0；
xy
23
当纵、横截距均不为 0 时，设直线方程为 ＋ ＝1，则 ＋ ＝1，解得 a＝5.所以直
aa
aa
线方程为 x＋y－5＝0.
答案 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0
4.(2019·衡水调研)直线 x－y＋1＝0 的倾斜角为( )
33
4 因此所求直线方程为 y－3＝－ (x－1)，即 4x＋3y－13＝0.
3
xy (2)当直线不过原点时，设所求直线方程为 ＋ ＝1，将(－5，2)代入所设方程，
2a a
1 解得 a＝－ ，所以直线方程为 x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为 y＝
2
2
2
kx，则－5k＝2，解得 k＝－ ，所以直线方程为 y＝－ x，即 2x＋5y＝0.故所求直
所有直线
[微点提醒]
1.直线的倾斜角 α 和斜率 k 之间的对应关系：
π
π
α 0 0<α<
2
2
k0
k>0
不存在
π <α<π
2 k<0
2.直线的斜率 k 和倾斜角 α 之间的函数关系：
基础自测
2020高考总复习创新设计数学理科北师大版教师文档第六章 第4节
第4节 数列求和最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.知 识 梳 理1.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝＝na 1＋d .n （a 1＋a n ）2n （n －1）2(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝{na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q，q ≠1Ｗ.)2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解.[微点提醒]1.1＋2＋3＋4＋…＋n ＝.n （n ＋1）22.12＋22＋…＋n 2＝.n （n ＋1）（2n ＋1）63.裂项求和常用的三种变形(1)＝－.1n （n ＋1）1n 1n ＋1(2)＝.1（2n －1）（2n ＋1）12(12n －1－12n ＋1)(3)＝－.1n ＋n ＋1n ＋1n 基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝.( )a 1－a n ＋11－q(2)当n ≥2时，＝(－).( )1n 2－1121n －11n ＋1(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( )(4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝.( )3n －12解析 (3)要分a ＝0或a ＝1或a ≠0且a ≠1讨论求解.答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2.(必修5P38A9引申改编)数列{a n }中，a n ＝，若{a n }的前n 项和为，1n （n ＋1） 2 0192 020则项数n 为( )A.2 018 B.2 019C.2 020D.2 021解析 a n ＝＝－，1n （n ＋1）1n 1n ＋1S n ＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n ＝2019.1212131n 1n ＋11n ＋1n n ＋1 2 0192 020答案 B3.(必修5P28练习1T1改编)等比数列{a n }中，若a 1＝27，a 9＝，q >0，S n 是其1243前n 项和，则S 6＝________.解析 由a 1＝27，a 9＝知，＝27·q 8，12431243又由q >0，解得q ＝，13所以S 6＝＝.27[1－(13)6]1－133649答案 36494.(2018·东北三省四校二模)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )A.9B.15C.18D.30解析 由题意知{a n }是以2为公差的等差数列，又a 1＝－5，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.答案 C5.(2019·榆林调研)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －a n ＝2n ＋1，且S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2，则2T n ＝________________.解析 由题意知T n －S n ＝b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b n －a n ＝n ＋2n ＋1－2，又S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2，所以2T n ＝T n －S n ＋S n ＋T n ＝2n ＋2＋n (n ＋1)－4.答案 2n ＋2＋n (n ＋1)－46.(2019·河北“五个一”名校质检)若f (x )＋f (1－x )＝4，a n ＝f (0)＋f ＋…＋f ＋(1n )(n －1n)f (1)(n ∈N +)，则数列{a n }的通项公式为________.解析 由f (x )＋f (1－x )＝4，可得f (0)＋f (1)＝4，…，f ＋f ＝4，所以2a n ＝(1n )(n －1n)[f (0)＋f (1)]＋＋…＋[f (1)＋f (0)]＝4(n ＋1)，即a n ＝2(n ＋1).[f(1n )＋f (n －1n)]答案 a n ＝2(n ＋1)考点一 分组转化法求和【例1】 (2019·郴州质检)已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 3－1成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2n －1＋a n (n ∈N +)，数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与n 2＋2n 的大小.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，a 2，a 3－1成等差数列，∴2a 2＝a 1＋(a 3－1)＝a 3，∴q ＝＝2，a 3a 2∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N +).(2)由(1)知b n ＝2n －1＋a n ＝2n －1＋2n －1，∴S n ＝(1＋1)＋(3＋2)＋(5＋22)＋…＋(2n －1＋2n －1)＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝·n ＋＝n 2＋2n －1.1＋（2n －1）21－2n 1－2∵S n －(n 2＋2n )＝－1<0，∴S n <n 2＋2n .规律方法 1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等{a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，)差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【训练1】 (2019·南昌一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＋S 4＝S 5可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5，∴3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)由(1)可得b n ＝(－1)n －1·(2n －1).∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(2n －3)－(2n －1)＝(－2)×n ＝－2n .考点二 裂项相消法求和【例2】 (2019·郑州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S n ＝－n －1.a n ＋12(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列的前n 项和T n .{2×3n a n a n ＋1}解 (1)∵a 2＝8，S n ＝－n －1，a n ＋12∴a 1＝S 1＝－2＝2，a 22当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n －1－，a n ＋12(a n2－n )即a n ＋1＝3a n ＋2，又a 2＝8＝3a 1＋2，∴a n ＋1＝3a n ＋2，n ∈N +，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是等比数列，且首项为a 1＋1＝3，公比为3，∴a n ＋1＝3×3n －1＝3n ，∴a n ＝3n －1.(2)∵＝＝－.2×3n a n a n ＋12×3n （3n －1）（3n ＋1－1）13n －113n ＋1－1∴数列的前n 项和{2×3n a n a n ＋1}T n ＝＋＋…＋＝－.(13－1－132－1)(132－1－133－1)(13n －1－13n ＋1－1)1213n ＋1－1规律方法 1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【训练2】 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3.(1)求a n ；(2)设b n ＝，求数列{b n }的前n 项和T n .1S n 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得{3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，)解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)由(1)得S n ＝na 1＋d ＝n (n ＋2)，n （n －1）2∴b n ＝＝.1n （n ＋2）12(1n －1n ＋2)∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12[(1－13)＋(12－14)＋…＋(1n －1－1n ＋1)＋(1n －1n ＋2)]＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝－.3412(1n ＋1＋1n ＋2)考点三 错位相减法求和【例3】 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列{b na n}的前n 项和T n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由题意知{a 1（1＋q ）＝6，aq ＝a 1q 2，)又a n >0，解得所以a n ＝2n .{a 1＝2，q ＝2，)(2)由题意知：S 2n ＋1＝＝(2n ＋1)b n ＋1，（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝，则c n ＝，b n a n 2n ＋12n 因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝＋＋＋…＋＋，325227232n －12n －12n ＋12n 又T n ＝＋＋＋…＋＋，123225237242n －12n 2n ＋12n ＋1两式相减得T n ＝＋－，1232(12＋122＋…＋12n －1)2n ＋12n ＋1所以T n ＝5－.2n ＋52n 规律方法 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【训练3】 已知等差数列{a n }满足：a n ＋1>a n (n ∈N +)，a 1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，a n ＋2log 2b n ＝－1.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则d >0，由a 1＝1，a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d 分别加上1，1，3后成等比数列，得(2＋d )2＝2(4＋2d )，解得d ＝2(舍负)，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.又因为a n ＋2log 2b n ＝－1，所以log 2b n ＝－n ，则b n ＝.12n(2)由(1)知a n ·b n ＝(2n －1)·，12n 则T n ＝＋＋＋…＋，①1213225232n －12n T n ＝＋＋＋…＋，②121223235242n －12n ＋1由①－②，得T n ＝＋2×－.1212(122＋123＋124＋…＋12n )2n －12n ＋1∴T n ＝＋2×－，121214(1－12n －1)1－122n －12n ＋1∴T n ＝1＋2－－＝3－＝3－.22n －12n －12n 4＋2n －12n 3＋2n2n [思维升华]非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想1.转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；2.不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.[易错防范]1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号.3.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A.－24B.－3C.3D.8解析 设{a n }的公差为d ，根据题意得a ＝a 2·a 6，23即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，解得d ＝－2，所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋d ＝1×6＋×(－2)＝－24.6×526×52答案 A2.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A.200B.－200C.400D.－400解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.答案 B3.数列{a n }的通项公式是a n ＝，前n 项和为9，则n 等于( )1n ＋n ＋1A.9B.99C.10D.100解析 因为a n ＝＝－，1n ＋n ＋1n ＋1n 所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)n ＋1n n n －13221＝－1，n ＋1令－1＝9，得n ＝99.n ＋1答案 B4.(2019·合肥调研)已知T n 为数列的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则{2n ＋12n }整数m 的最小值为( )A.1 026B.1 025C.1 024D.1 023解析 ∵＝1＋，∴T n ＝n ＋1－，2n ＋12n (12)n 12n ∴T 10＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－，12101210又m >T 10＋1 013恒成立，∴整数m 的最小值为1 024.答案 C5.(2019·厦门质检)已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ＝2，则其前100项和为( )A.250B.200C.150D.100解析 当n ＝2k (k ∈N +)时，a 2k ＋1－a 2k ＝2，当n ＝2k －1(k ∈N +)时，a 2k ＋a 2k －1＝2，当n ＝2k ＋1(k ∈N +)时，a 2k ＋2＋a 2k ＋1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝4，a 2k ＋2＋a 2k ＝0，∴{a n }的前100项和＝(a 1＋a 3)＋…＋(a 97＋a 99)＋(a 2＋a 4)＋…＋(a 98＋a 100)＝25×4＋25×0＝100.答案 D 二、填空题6.已知正项数列{a n }满足a －6a ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋12n ________.解析 由a －6a ＝a n ＋1a n ，2n ＋12n 得(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，又a n >0，所以a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，所以{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，故S n ＝＝3n －1.2（1－3n ）1－3答案 3n －17.(2019·武汉质检)设数列{(n 2＋n )an }是等比数列，且a 1＝，a 2＝，则数列{3n a n }16154的前15项和为________.解析 等比数列{(n 2＋n )a n }的首项为2a 1＝，第二项为6a 2＝，故公比为，所以(n 2131913＋n )a n ＝·＝，所以a n ＝，则3n a n ＝＝－，其前n 项13(13)n －1 13n 13n （n 2＋n ）1n 2＋n 1n 1n ＋1和为1－，n ＝15时，为1－＝.1n ＋11161516答案 15168.(2019·九江调研)已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，且使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________.解析 S n ＝1×21＋2×22＋…＋n ×2n ，则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，两式相减得－S n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－n ·2n ＋1，2（1－2n ）1－2故S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1.又a n ＝2n ，∴S n －na n ＋1＋50＝2＋(n －1)·2n ＋1－n ·2n ＋1＋50＝52－2n ＋1，依题意52－2n ＋1<0，故最小正整数n 的值为5.答案 5三、解答题9.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝，n ∈N +.n 2＋n 2(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和.解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－＝n .n 2＋n 2（n －1）2＋（n －1）2a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n ).记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝＝22n ＋1－2，2（1－22n ）1－2B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝2＋S n (n ∈N +).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1＋log 2(a n )2，求证：数列的前n 项和T n <.{1b n b n ＋1}16(1)解 因为a n ＋1＝2＋S n (n ∈N +)，所以a n ＝2＋S n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，所以a n ＋1＝2a n (n ≥2).又因为a 2＝2＋a 1＝4，a 1＝2，所以a 2＝2a 1，所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，则a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N +).(2)证明 因b n ＝1＋log 2(a n )2，则b n ＝2n ＋1.则＝，1b n b n ＋112(12n ＋1－12n ＋3)所以T n ＝12(13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3)＝＝－<.12(13－12n ＋3)1612（2n ＋3）16能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·广州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ≥2(n ∈N +)，且S n 为{a n }的前n 项和，则( )A.a n ≥2n ＋1B.S n ≥n 2C.a n ≥2n －1D.S n ≥2n －1解析 由题意得a 2－a 1≥2，a 3－a 2≥2，a 4－a 3≥2，…，a n －a n －1≥2，∴a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋…＋a n －a n －1≥2(n －1)，∴a n －a 1≥2(n －1)，∴a n ≥2n －1，∴a 1≥1，a 2≥3，a 3≥5，…，a n ≥2n －1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ≥1＋3＋5＋…＋2n －1，∴S n ≥＝n 2.n （1＋2n －1）2答案 B12.已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________.解析 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝＝4n －1.3（1－4n ）1－4答案 4n －113.(2017·全国Ⅱ卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则＝∑nk ＝11S k ________.解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则由得{a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，){a 1＝1，d ＝1.)∴S n ＝n ×1＋×1＝，n （n －1）2n （n ＋1）2＝＝2.1S n 2n （n ＋1）(1n －1n ＋1)∴＝＋＋＋…＋∑nk ＝11S k 1S 11S 21S 31S n＝2(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝2＝.(1－1n ＋1)2n n ＋1答案 2nn ＋114.(2019·河南、河北两省联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝5，nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋n .(1)求证：数列为等差数列；{S n n }(2)令b n ＝2n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(1)证明 由nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋n 得－＝1，S n ＋1n ＋1S n n又＝5，所以数列是首项为5，公差为1的等差数列.S 11{S n n }(2)解 由(1)可知＝5＋(n －1)＝n ＋4，所以S n ＝n 2＋4n .S n n当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋4n －(n －1)2－4(n －1)＝2n ＋3.又a 1＝5也符合上式，所以a n ＝2n ＋3(n ∈N +)，所以b n ＝(2n ＋3)2n ，所以T n ＝5×2＋7×22＋9×23＋…＋(2n ＋3)2n ，①2T n ＝5×22＋7×23＋9×24＋…＋(2n ＋1)2n ＋(2n ＋3)2n ＋1，②所以②－①得T n ＝(2n ＋3)2n ＋1－10－(23＋24＋…＋2n ＋1)＝(2n ＋3)2n ＋1－10－23（1－2n －1）1－2＝(2n ＋3)2n ＋1－10－(2n ＋2－8)＝(2n ＋1)2n ＋1－2.。
2020高考总复习创新设计数学理科北师大版教师文档第八章 第7节 第1课时
△PBC 均为等边三角形，且二面角 P－BC－A 的大小为 120°，则异面直线 PB 和 AC
答案 C 3.(选修 2－1P46 练习 2 改编)已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和
1 法向量，若 cos 〈m，n〉＝－ ，则 l 与 α 所成的角为( )
2
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
1 解析 由于 cos 〈m，n〉＝－ ，所以〈m，n〉＝120°，所以直线 l 与 α 所成的
答案 45°
考点一 用空间向量求异面直线所成的角 【例 1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ABC＝
120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( )
3 A.
2
15 B.
5
10 C.
5
3 D.
3
(2)(一题多解)(2019·河北、山西、河南三省联考)在三棱锥 P－ABC 中，△ABC 和
＝.
3×1 3
答案 B
5.(2019·延安联考)在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，则异
面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为________. 解析 建立如图所示的坐标系.
易得 A(2，0，0)，B(2，3，0)，B1(2，3，1)，C1(0，3，1)，
2
角为 30°.
答案 A
4.(2018·郑州调研)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，BB1 与平面 ACD1 所成角的正弦
值为( )
3
3
3
2
A.
B.
2020高考总复习创新设计数学理科北师大版教师文档第八章 第6节
一一组实数 λ1，λ2，λ3，使得 a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.
空间中不共面的三个向量 e1，e2，e3 叫作这个空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
→
→
①两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，
则∠AOB 叫作向量 a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝ π ，则称 a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b. 2 ②非零向量 a，b 的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
n·a＝0， n·b＝0.
6.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线 l1，l2 的方向向量分别 为 n1，n2 直线 l 的方向向量为 n，平
l1∥l2 l1⊥l2 l∥α
n1∥n2⇔n1＝λn2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 n⊥m⇔n·m＝0
面α的法向量为 m
l⊥α
n∥m⇔n＝λm
平面 α，β 的法向量分别为
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 模
a·b＝0(a≠0，b≠0) |a|
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 a＋a＋a
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3 cos〈a，b〉＝
2020高考总复习创新设计数学理科北师大版教师文档第九章 第5节 第1课时
是( )
A.2 3
B.6
C.4 3
D.2
x2 y2
(2)(2018·衡水中学调研)设
F1，F2
分别是椭圆 ＋ ＝1 25 16
的左、右焦点，P
为椭圆
上任意一点，点 M 的坐标为(6，4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________.
解析 (1)由椭圆的方程得 a＝ 3.设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定义得|BA|
98
x2 y2
c2 y
(2)由题意，设椭圆方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，将 a2 b2
A(c，y1)代入椭圆方程得a2＋b2＝1，
b4
2b2
由此求得 y21＝ ，所以|AB|＝3＝ ，又 c＝1，a2－b2＝c2，可解得 a＝2，b2＝3，
a2
a
x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.
43
答案 (1)B (2)C
解析 设 P(x，y)，由题意知 c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以 c＝1，则 F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y＝±1，
x2 y2
15
15
15
把 y＝±1 代入 ＋ ＝1，得 x＝± ，又 x＞0，所以 x＝ ，∴P 点坐标为( ，1)
54
2
2
标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考
虑焦点位置，用待定系数法求出 m，n 的值即可.
x2 y2 【训练 2】 (1)已知椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0)，若长轴长为 6，且两焦点恰好将
a2 b2
长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
2020高考总复习创新设计数学理科北师大版教师文档第九章 第5节 第2课时
1
F1，F2，且点
F1
到椭圆
C
上任意一点的最大距离为
3，椭圆
C
的离心率为 . 2
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)是否存在斜率为－1 的直线 l 与以线段 F1F2 为直径的圆相交于 A，B 两点，与
|CD| 8 3 椭圆相交于 C，D，且 ＝ ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明
|CD|＝ 2|x1－ x2|＝ 2×
－4 × 7
＝ 2× 7
＝ × 7－m2
49
7
83
83
＝ |AB|＝ × 2× 2－m2，
7
7
1
3
解得 m2＝ <7，得 m＝± .
3
3
3 即存在符合条件的直线 l，其方程为 y＝－x± .
3
规律方法 1.解决直线与椭圆相交的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方
|AB| 7
理由.
解 (1)根据题意，设 F1，F2 的坐标分别为(－c，0)，(c，0)，
{ ) a＋c＝3，
由题意可得 c 1 ＝， a2
解得 a＝2，c＝1，则 b2＝a2－c2＝3， x2 y2
故椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1. 43
(2)假设存在斜率为－1 的直线 l，设为 y＝－x＋m，
(2)(一题多解)(2019·陕西五校调研)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线 y＝
3x＋7 与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为 1，则这个椭圆的方程为( )
x2 y2 A. ＋ ＝1
12 20 x2 y2 C. ＋ ＝1 12 8
x2 y2 B. ＋ ＝1
4 12 x2 y2 D. ＋ ＝1 8 12
最新版高考数学理北师大版大一轮复习讲义第六章 6.4.docx
1．等差数列的前n项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .2．等比数列的前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.3．一些常见数列的前n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n (n ＋1)． (4)12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【知识拓展】 数列求和的常用方法 (1)公式法等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和． (2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1)．( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × )(4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .( × )(5)推导等差数列求和公式的方法叫作倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )1．(2016·潍坊模拟)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n 2＋7n4B.n 2＋5n 3C.2n 2＋3n 4D ．n 2＋n答案 A解析 设等差数列的公差为d ，则a 1＝2， a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d . 又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1·a 6. 即(2＋2d )2＝2(2＋5d )， 整理得2d 2－d ＝0. ∵d ≠0，∴d ＝12.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n .2．(教材改编)数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和S n ＝2 0172 018，则n 等于( )A ．2 016B ．2 017C ．2 018D ．2 019答案 B解析 a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1.令n n ＋1＝2 0172 018，得n ＝2 017. 3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400 答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案 2n ＋1－2＋n 2 解析 S n ＝21－2n 1－2＋n 1＋2n －12＝2n ＋1－2＋n 2.5．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝________. 答案 1 008解析 因为数列a n ＝n cos n π2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4.故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2.a 5＝0，a 6＝－6，a 7＝0，a 8＝8， 故a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2， ∴周期T ＝4. ∴S 2 017＝S 2 016＋a 2 017 ＝2 0164×2＋2 017·cos 2 0172π ＝1 008.题型一 分组转化法求和例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 引申探究本例(2)中，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 由(1)知b n ＝2n ＋(－1)n ·n .当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ] ＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n2－2；当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ] ＝2n ＋1－2＋n －12－n＝2n ＋1－n 2－52.∴T n＝⎩⎨⎧2n ＋1＋n2－2，n 为偶数，2n ＋1－n 2－52，n 为奇数.思维升华 分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n －1＋(－1)n ·(ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，求其前n 项和S n .解 S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3，所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋(n －12－n )ln 3＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.题型二 错位相减法求和例2 (2016·山东)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，满足上式，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧ 11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知，c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n＝3(n ＋1)·2n ＋1， 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]．两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4(1－2n )1－2－(n ＋1)×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2， 所以T n ＝3n ·2n ＋2.思维升华 错位相减法求和时的注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎨⎧a n ＝192n ＋79，b n ＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.题型三 裂项相消法求和 命题点1 a n ＝1n (n ＋k )型例3 (2015·课标全国Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3， 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.两式相减，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n3(2n ＋3).命题点2 a n ＝1n ＋n ＋k型例4 已知函数f (x )＝x a 的图像过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N ＋.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017＝________. 答案2 018－1解析 由f (4)＝2，可得4a ＝2，解得a ＝12，则f (x )＝12x . ∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 017－ 2 016)＋( 2 018－ 2 017)＝ 2 018－1.思维升华 (1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n ＋n ＋k＝1k(n ＋k －n )，1n n ＋k ＝1k (1n －1n ＋k)，裂项后可以产生连续相互抵消的项． (2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12， a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)] ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.四审结构定方案典例 (12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和为T n ，求证：T n <4.(1)S n ＝－12n 2＋kn ―――――→S n 是关于n的二次函数n ＝k 时，S n 最大 ―――――――→根据S n 的结构特征确定k 的值k ＝4；S n ＝－12n 2＋4n ――→根据S n 求a n a n ＝92－n (2)9－2a n 2n ＝n 2n －1――――――→根据数列结构特征确定求和方法T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1―――――→错位相减法求和 计算可得T n ―→证明：T n <4 规范解答(1)解 当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，[3分]当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .当n ＝1时，上式也成立． 综上，a n ＝92－n .[6分](2)证明 ∵9－2a n 2n ＝n2n －1，∴T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1， ①2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2.②[7分]②－①，得2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.[11分]∴T n ＝4－n ＋22n －1.∴T n <4.[12分]1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n答案 A解析 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(12＋122＋…＋12n )＝n 2＋1－12n .2．(2016·西安模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2 016，且a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N ＋)，则S 2 016等于( ) A ．0 B ．2 016 C ．2 015 D ．2 014答案 A解析 ∵a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N ＋)，∴a n ＋2a n q ＋a n q 2＝0，q 为等比数列{a n }的公比， 即q 2＋2q ＋1＝0，∴q ＝－1.∴a n ＝(－1)n －1·2 016， ∴S 2 016＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2 015＋a 2 016)＝0.3．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．100答案 C解析 因为S n n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.4．在数列{a n }中，若a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80 D ．82答案 B解析 由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1·a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.5．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2当n 为奇数时，－n 2当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( ) A ．0 B ．100 C ．－100 D ．10 200答案 B解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100.故选B.6．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|等于( ) A ．153 B ．210 C ．135 D ．120答案 A解析 令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥72.∴从第4项开始大于0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 15＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋(2×15－7) ＝9＋12×(1＋23)2＝153.7．(2016·福州模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n为________． 答案 120 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.8．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________． 答案 60解析 由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.9．(2016·大连模拟)若已知数列的前四项是112＋2，122＋4，132＋6，142＋8，则数列的前n 项和为______________． 答案 34－2n ＋32(n ＋1)( n ＋2)解析 由前四项知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n 2＋2n ，由1n 2＋2n ＝12(1n －1n ＋2)知， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n＝12[1－13＋12－14＋13－15＋…＋(1n －2－1n )＋(1n －1－1n ＋1)＋(1n －1n ＋2)] ＝12[1＋12－1n ＋1－1n ＋2] ＝34－2n ＋32(n ＋1)( n ＋2).10.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N ＋，2S n ＝a 2n ＋a n .令b n ＝1a na n ＋1＋a n ＋1a n，设{b n }的前n 项和为T n ，则在T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为________． 答案 9解析 ∵2S n ＝a 2n ＋a n ，①∴2S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1，②②－①，得2a n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1－a 2n －a n ，a 2n ＋1－a 2n －a n ＋1－a n ＝0，(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0.又∵{a n }为正项数列，∴a n ＋1－a n －1＝0， 即a n ＋1－a n ＝1.在2S n ＝a 2n ＋a n 中，令n ＝1，可得a 1＝1.∴数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴a n ＝n ， ∴b n ＝1n n ＋1＋(n ＋1)n＝n ＋1n －n n ＋1[nn ＋1＋(n ＋1)n ][(n ＋1)n －nn ＋1]＝(n ＋1)n －nn ＋1n (n ＋1)＝1n－1n ＋1， ∴T n ＝1－1n ＋1，∴T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为9.11．(2017·江西于都三中月考)已知各项为正数的数列{a n }满足对任意的正整数m ，n ，都有a m a n ＝2m＋n －2成立．(1)求数列{log 2a n }的前n 项和S n ；(2)设b n ＝a n ·log 2a n (n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)当m ＝n ＝1时，a 21＝21＋1－2＝1⇒a 1＝1； 当m ＝1时，a 1·a n ＝2n －1⇒a n ＝2n －1， 所以log 2a n ＝n －1， 所以{log 2a n }是等差数列，其前n 项和S n ＝0＋n －12×n ＝n (n －1)2.(2)b n ＝(n －1)·2n －1，所以T n ＝0×20＋1×21＋2×22＋…＋(n －1)·2n －1，从而2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －2)·2n －1＋(n －1)·2n ， 两式相减得－T n ＝(21＋22＋…＋2n －1)－(n －1)·2n ＝2n －2－(n －1)·2n ， 所以T n ＝(n －2)·2n ＋2.12．(2016·天津)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N ＋，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和． 解 (1)设数列{a n }的公比为q . 由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12， 即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列．设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2.13.若数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在y ＝16－13x 的图像上(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c 1＝0，且对任意正整数n 都有c n ＋1－c n ＝log 12a n .求证：对任意正整数n ≥2，总有13≤1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＜34. (1)解 ∵S n ＝16－13a n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －1－13a n ，∴a n ＝14a n －1.又∵S 1＝a 1＝16－13a 1，∴a 1＝18，∴a n ＝18⎝⎛⎭⎫14n －1＝⎝⎛⎭⎫122n ＋1.(2)证明 由c n ＋1－c n ＝12log n a ＝2n ＋1，得当n ≥2时，c n ＝c 1＋(c 2－c 1)＋(c 3－c 2)＋…＋(c n －c n －1)＝0＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2－1＝(n ＋1)(n －1)，1c n ＝1(n ＋1)( n －1)＝12(1n －1－1n ＋1)， ∴1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n＝12×⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1 ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋12－⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＜34. 又∵1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ≥1c 2＝13， ∴原式得证．。
【创新教程】2020版高考数学(文)总复习：教师用书(785页,含答案)
第1节集合1．集合的基本概念(1)集合元素的性质：确定性、无序性、互异性.(2)元素与集合的关系①属于，记为∈；②不属于，记为∉.(3)常见数集的记法(4)2．集合间的基本关系A B或BA3.集合的基本运算1.A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .2．若集合A 中含有n 个元素，则它的子集个数为2n ，真子集个数为2n －1，非空真子集个数为2n －2.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)∅＝{0}．( )(2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．( ) (3)a 在集合A 中，可用符号表示为a ⊆A .( ) (4)N ⊆N ＋⊆.( )(5)若A ＝{|y ＝2}，B ＝{(，y )|y ＝2}，则A ∩B ＝{|∈R }．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× [小题查验]1．若集合A ＝{∈N |≤10}，a ＝22，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈AD ．a ∉A解析：D [由题意知A ＝{0,1,2,3}，由a ＝22，知a ∉A .]2．(理科)(2017·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{(，y )|2＋y 2＝1}，B ＝{(，y )|y ＝}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：B [由题意可得：圆2＋y 2＝1与直线y ＝相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，所以A ∩B 中有两个元素．故选B.]2．(文科)(2017·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：B [由题意可得：A ∩B ＝{2,4}，故选B.]3．(2019·唐山市模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,4}，B ＝{2,5}，则(∁U A )∪B ＝( ) A ．{3,4,5} B ．{2,3,5} C ．{5}D ．{3}解析：B [因为U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,4}，所以∁U A ＝{3,5}，又B ＝{2,5}，所以(∁U A )∪B ＝{2,3,5}．]4．已知集合A ＝{|2－2＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是 ________ . 解析：∵1∉{|2－2＋a >0}， ∴1∈{|2－2＋a ≤0}， 即1－2＋a ≤0，∴a ≤1. 答案：(－∞，1]5．(教材改编)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,4,5}，B ＝{1,3,5,7}，则A ∩(∁UB )＝___________________.答案：{2,4}考点一 集合的基本概念(自主练透)[题组集训]1．(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{(，y )|2＋y 2≤3，∈，y ∈}，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5D ．4解析：A [∵2＋y 2≤3，∴2≤3，∵∈，∴＝－1,0,1， 当＝－1时，y ＝－1,0,1； 当＝0时，y ＝－1,0,1； 当＝1时，y ＝－1,0,1； 所以共有9个，选A.]2．若集合A ＝{∈R |a 2－3＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0D ．0或98解析：D [若集合A 中只有一个元素，则方程a 2－3＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为 ________ . 解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去．当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－324．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n ) 2019＝ ________ .解析：由M ＝N 知⎩⎨⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎨⎧n ＝m ，log 2n ＝1，∴⎩⎨⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎨⎧m ＝2，n ＝2.∴(m －n )2019＝－1或0. 答案：－1或01．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．考点二 集合间的基本关系(师生共研)[典例] (1)已知集合A ＝{|a ＝1}, B ＝{|2－1＝0}，若A ⊆B ，则a 的取值构成的集合是( ) A ．{－1} B ．{1} C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}(2)已知集合A ＝{|－2≤≤7}，B ＝{|m ＋1<<2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．[解析] (1)由题意，得B ＝{－1,1}， 因为A ⊆B ，所以当A ＝∅时，a ＝0； 当A ＝{－1}时，a ＝－1；当A ＝{1}时，a ＝1. 又A 中至多有一个元素，所以a 的取值构成的集合是{－1,0,1}．故选D.(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎨⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4. [答案] (1)D (2){m | m ≤4} [互动探究]本例(1)中若A ＝{|a >1(a ≠0)}，B ＝{|2－1>0}，其它条件不变，则a 的取值范围是 ________ .解析：由题意，得B ＝{|>1，或<－1}，对于集合A ，①当a >0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1a . 因为A ⊆B ，所以1a≥1.又a >0，所以0<a ≤1.②当a <0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a . 因为A ⊆B ，所以1a≤－1，又a <0，所以－1≤a <0，综上所述，0<a ≤1，或－1≤a <0. 答案：[－1,0)∪(0,1]由集合的关系求参数的关键点由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍．提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况． [跟踪训练](1) 若集合A ＝{|a 2＋a ＋1＝0}的子集只有两个，则实数a ＝ ________ .解析：∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素，即方程a 2＋a ＋1＝0只有一个根． 当a ＝0时方程无解．当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，∴a ＝4. 故a ＝4. 答案：4(2)已知集合A ＝{|log 2≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝ ________ .解析：由log 2≤2，得0<≤4，即A ＝{|0<≤4}，而B ＝(－∞，a )． 由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4. 答案：4考点三 集合的基本运算(多维探究)[命题角度1] 求交集、并集1．(理科)(2018·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{|－1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：C [∵A ＝{|－1≥0}＝{|≥1}，B ＝{0,1,2}， ∴A ∩B ＝{1,2}，故选C.]1．(文科)(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}解析：A [根据集合交集中元素的特征，可以求得A ∩B ＝{0,2}，故选A.] 2．(理科)(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A ＝{|<1}，B ＝{|3<1}，则( ) A ．A ∩B ＝{|<0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{|>1}D ．A ∩B ＝∅解析：A [A ＝{|<1}，B ＝{|3<1}＝{|<0}，所以A ∩B ＝{|<0}，A ∪B ＝{|<1}．] 2．(文科)(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A ＝{|＜2}，B ＝{|3－2＞0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＜32B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＜32D ．A ∪B ＝R解析：A [由3－2＞0得＜32，所以A ∩B ＝{|＜2}∩⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＜32＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＜32，故选A.][命题角度2] 集合的交、并、补的综合运算3．(理科)(2019·沈阳市模拟)已知全集U ＝R ，若集合A ＝{y |y ＝3－2}，B ＝{|(－2)≤0}，则A∩(∁U B)＝( )A．[0,2) B．(－∞，0]∪(2,3)C．(－∞，0)∪(2,3) D．[0,3)解析：C [全集U＝R，集合A＝{y|y＝3－2}＝{y|y＜3}＝(－∞，3)，B＝{|(－2)≤0}＝{|0≤≤2}，∴∁U B＝{|＜0或＞2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)；∴A∩(∁U B)＝(－∞，0)∪(2,3)．]3．(文科)(2019·和平区一模)设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{|2＜＜5}，则A∩(∁R B)等于( ) A．{2,3,4,5} B．{1,2,5,6}C．{3,4} D．{1,6}解析：B [因为∁R B＝{|≤2，或≥5}，A＝{1,2,3,4,5,6}；所以A∩(∁R B)＝{1,2,5,6}．][命题角度3] 利用集合的基本运算求参数的取值(范围)4．(2017·全国Ⅱ卷)设集合A＝{1,2,4}，B＝{|2－4＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( ) A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析：C [由题意知＝1是方程2－4＋m＝0的解，代入解得m＝3，所以2－4＋3＝0，解得＝1或＝3，从而B＝{1,3}．]5．已知集合A＝{|≤a}，B＝{|1≤≤2}，且A∪∁R B＝R，则实数a的取值范围是________ .解析：∁R B＝{|＜1，或＞2}，要使A∪(∁R B)＝R，则a≥2.答案：[2，＋∞)解集合运算问题应注意以下三点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．考点四集合的新定义问题(师生共研)数学抽象——集合新定义中的核心素养以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．[典例] 设A是自然数集的一个非空子集，对于∈A，如果2∉A，且k∉A，那么是A的一个“酷元”，给定S＝{∈N|y＝lg(36－2)}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有( )A．3个B．4个C．5个D．6个[解析] C [由36－2＞0可解得－6＜＜6，又∈N，故可取0,1,2,3,4,5，故S＝{0,1,2,3,4,5}．由题意可知：集合M不能含有0,1，且不能同时含有2,4.故集合M可以是{2,3}、{2,5}、{3,5}、{3,4}、{4,5}．]解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．[跟踪训练]定义一种新的集合运算△：A△B＝{|∈A，且∉B}．若集合A＝{|2－4＋3<0}，B＝{|2≤≤4}，则按运算△，B△A等于( )A．{|3<≤4} B．{|3≤≤4}C．{|3<<4} D．{|2≤≤4}解析：B [A＝{|1<<3}，B＝{|2≤≤4}，由题意知，B△A＝{|∈B，且∉A}＝{|3≤≤4}．]第2节命题、充分条件与必要条件1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件.1.互为逆否的两个命题具有相同的真假性，互逆的或互否的两个命题真假性没有关系．2．若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p ⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )(2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．( )(3)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.( )(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)×[小题查验]1．“＝1”是“2－2＋1＝0”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：A [因为2－2＋1＝0有两个相等的实数根为＝1，所以“＝1”是“2－2＋1＝0”的充要条件．]2．给出命题：“若实数，y满足2＋y2＝0，则＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：D [原命题显然正确，其逆命题为：若＝y＝0，则2＋y2＝0，显然也是真命题，由四种命题之间的关系知，其否命题、逆否命题也都是真命题. 故选D.]3．(2019·衡阳市一模)“a＝1”是“直线a＋y＋1＝0与直线(a＋2)－3y－2＝0垂直”的( ) A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：B [直线a＋y＋1＝0与直线(a＋2)－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线a＋y＋1＝0与直线(a＋2)－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件．]4．(教材改编)已知命题：若m>0，则方程2＋－m＝0有实数根．则其逆否命题为_________．答案：若方程2＋－m＝0无实根，则m≤05．下列命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a＝0”是“直线－2ay＝1和直线2－2ay＝1平行”的充要条件；④若f()＝log2，则f(||)是偶函数．其中正确命题的序号是________ .解析：对于①，∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④考点一命题的四种形式及其关系(自主练透)[题组集训]1．(2019·马鞍山市模拟)命题p：若a＞b，则a－1＞b－1，则命题p的否命题为( ) A．若a＞b，则a－1≤b－1B．若a≥b，则a－1＜b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a＜b，则a－1＜b－1解析：C [根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q，否命题为：若非p，则非q.∵原命题为：若a＞b，则a－1＞b－1，∴否命题为：若a≤b，则a－1≤b－1，故选C.]2．命题“若2＋3－4＝0，则＝4”的逆否命题及其真假性为( )A．“若＝4，则2＋3－4＝0”为真命题B．“若≠4，则2＋3－4≠0”为真命题C．“若≠4，则2＋3－4≠0”为假命题D．“若＝4，则2＋3－4＝0”为假命题解析：C [根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为2＋3－4＝0，所以＝4或－1，故选C.]3．以下关于命题的说法正确的有________ (填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f()＝log a(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若，y都是偶数，则＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f()＝log a在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若＋y是偶数，则、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．提醒：当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．2．命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．考点二充分、必要条件的判断与应用(多维探究)[命题角度1] 充分、必要条件的判定1．(2019·乌鲁木齐市模拟)设p∶0＜＜1，q∶2≥1，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A [q∶2≥1，解得≥0.又p∶0＜＜1，则p是q的充分不必要条件．]2．(2014·全国Ⅱ卷) 函数f()在＝0处导数存在，若p∶f′(0)＝0，q∶＝0是f()的极值点，则( )A．p是q的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：C [函数在＝0处有导数且导数为0，＝0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若＝0为函数的极值点，则函数在＝0处的导数一定为0 ，所以p 是q 的必要不充分条件．]3．(2019·日照市模拟)已知向量a ＝(－2，m )，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，m 2，m ∈R ，则“a ⊥(a ＋2b )”是“m＝2”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：B [∵a ＝(－2，m )，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，m 2，m ∈R ，∴a ＋2b ＝(4,2m )若a ⊥(2a ＋2b )，则－8＋2m 2＝0，解得m ＝±2， 故“a ⊥(a ＋2b )”是“m ＝2”的必要不充分条件．]命题的充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与非B ⇒非A ，B ⇒A 与非A ⇒非B ，A ⇔B 与非B ⇔非A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．[命题角度2] 利用充要条件求参数的取值(范围)逻辑推理——充分、必要条件关系中的核心素养充分、必要条件问题中常涉及参数取值(范围)问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题;解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养．4．已知p：－2≤≤10，q：(－a)(－a－1)>0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______ .[破题关键点] 若p是q成立的充分不必要条件，则{|－2≤≤10}{|>a＋1，或<a}，即转化为相对应的集合间的基本关系;求实数a的取值范围．解析：由(－a)(－a－1)>0，得>a＋1或<a，由题意，得{|－2≤≤10}{|>a＋1，或<a}，所以a＋1<－2或a>10，即a<－3或a>10.答案：(－∞，－3)∪(10，＋∞)[互动探究]本例中，若p：－2<<10，q：(－a)(－a－1)≥0，其他条件不变，则a的取值范围是______ .解析：由(－a)(－a－1)≥0，得≥a＋1或≤a，由题意得{|－2<<10}{|≥a＋1，或≤a}．所以a＋1≤－2，或a≥10，即a≤－3，或a≥10.答案：(－∞，－3]∪[10，＋∞)(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若非p是非q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．第3节量词与逻辑联结词1．全称量词与全称命题(1)“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题(1)“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．(2)含有存在量词的命题叫作特称命题．3．全称命题与特称命题的否定(1)要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了，实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．(2)要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的，特称命题的否定是全称命题．4．逻辑联结词(1)逻辑联结词通常是指“且”、“或”、“非”．(2)命题p且q，p或q，非p的真假判断．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)命题p且q为假命题，则命题p、q都是假命题．( )(2)p或q为假的充要条件是p，q至少有一个为假．( )(3)存在一个集合，它里面没有任何元素．( ) (4)“对顶角相等”是全称命题．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ [小题查验]1．(2015·全国Ⅰ卷)设命题p ：存在n ∈N ，n 2＞2n ，则p 为( )A ．任意n ∈N ，n 2＞2nB ．存在n ∈N ，n 2≤2nC ．任意n ∈N ，n 2≤2nD ．存在n ∈N ，n 2＝2n解析：C [命题p 的量词“存在”改为“任意”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”，∴p ：任意n∈N ，n 2≤2n .]2．有下列四个命题，其中真命题是( ) A ．任意n ∈R ，n 2≥nB ．存在n ∈R ，m ∈R ，m ·n ＝mC ．任意n ∈R ，m ∈R ，m 2<nD ．任意n ∈R ，n 2<n解析：B [对于选项A ，令n ＝12即可验证其不正确；对于选项C 、选项D ，可令n ＝－1加以验证，均不正确，故选B.]3．已知命题p 且q 为假命题，下列结论正确的是( ) A ．p 或q 为真命题 B ．(非p )且q 为真命题 C ．p ，q 有且只有一个假命题 D ．非p ，非q 至少有一个真命题解析：D [p 且q 为假命题时，p ，q 可能一个真命题一个假命题，也可能两个都是假命题．故选项A ，B ，C 中的结论都不正确；选项D 中结论等价于p ，q 至少有一个假命题，故正确．]4．(教材改编)命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为 ________ . 答案：存在两个等边三角形，它们不相似5．已知命题p ：存在a 0∈R ，曲线2＋y 2a 0＝1为双曲线；命题q ：2－7＋12<0的解集是{|3<<4}．给出下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且非q ”是假命题；③命题“非p 或q ”是真命题；④命题“非p 或非q ”是假命题．其中正确的是 ________ .解析：因为命题p 和命题q 都是真命题，所以命题“p 且q ”是真命题，命题“p 且非q ”是假命题，命题“非p 或q ”是真命题，命题“非p 或非q ”是假命题．答案：①②③④考点一 全称命题、特称命题的真假判断(自主练透)逻辑推理——全称命题与特称命题中的核心素养以学习过全称命题、特称命题的数学知识为基础，判断全称命题、特称命题的真假，充分体现了“逻辑推理”这一核心素养的具体应用．[题组集训]1．下列命题中的假命题是( ) A ．任意∈R ，2≥0 B ．任意∈R,2－1>0 C ．存在0∈R ，lg 0<1 D ．存在0∈R ，sin 0＋cos 0＝2解析：D [A 显然正确；由指数函数的性质知2－1>0恒成立，所以B 正确；当0<<10时，lg <1，所以C 正确；因为sin ＋cos ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin ＋cos ≤2，所以D 错误．]2．已知a >0，函数f ()＝a 2＋b ＋c ，若m 满足关于的方程2a ＋b ＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( )A ．存在0∈R ，f (0)≤f (m )B ．存在0∈R ，f (0)≥f (m )C ．任意∈R ，f ()≤f (m )解析：D [因为a >0，所以函数f ()＝a 2＋b ＋c 在＝－b2a处取得最小值．所以f (m )是函数f ()的最小值．故选D.]3．下列命题中，真命题是( )A ．存在0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin 0＋cos 0≥2B ．任意∈(3，＋∞)，2>2＋1C ．存在0∈R ，20＋0＝－1D ．任意∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan >sin解析：B [对于选项A ，sin ＋cos ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以此命题不成立；对于选项B ，2－2－1＝(－1)2－2，当>3时，(－1)2－2>0，所以此命题成立；对于选项C ，2＋＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以2＋＝－1对任意实数都不成立，所以此命题不成立；对于选项D ，当∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan <0，sin >0，命题显然不成立. ]全称命题与特称命题真假的判断方法的真假．考点二 含有一个量词的命题的否定(自主练透)[题组集训]1．已知命题p ：存在0∈R ，20＋20＋2≤0，则非p 为( ) A ．存在0∈R ，20＋20＋2＞0B ．存在0∈R ，20＋20＋2＜0C ．任意∈R ，2＋2＋2≤0解析：D [根据特称命题的否定，特称量词改为全称量词，同时把不等号改为大于号，选择D.]2．已知命题p ：所有指数函数都是单调函数，则非p 为( ) A ．所有的指数函数都不是单调函数 B ．所有的单调函数都不是指数函数 C ．存在一个指数函数，它不是单调函数 D ．存在一个单调函数，它不是指数函数解析：C [命题p ：所有指数函数都是单调函数，则非p 为：存在一个指数函数，它不是单调函数．选C.]3．(2019·咸阳市一模)已知命题p ：“存在0∈[1，＋∞)，使得(log 23)0>1”，则下列说法正确的是( )A ．非p ：“任意∈[1，＋∞)，使得(log 23)0<1”B ．非p ：“不存在0∈[1，＋∞)，使得(log 23)0<1”C ．非p ：“任意∈[1，＋∞)，使得(log 23)0≤1”D ．非p ：“任意∈(－∞，1)，使得(log 23)0≤1”解析：C [因为特称命题的否定是全称命题，所以非p ：“任意∈[1，＋∞)，使得(log 23)0≤1”．]4．若命题p ：任意∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan ＞sin ，则命题非p 为( )A ．存在0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan 0≥sin 0B ．存在0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan 0＞sin 0C ．存在0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan 0≤sin 0D ．存在0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞，tan 0＞sin 0解析：C [任意的否定为存在0，＞的否定为≤，所以命题非p 为存在0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan 0≤sin 0.]全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．考点三 含有逻辑联结词的命题的真假(师生共研)[典例] (1)已知命题p ：函数y ＝2－a ＋1(a >0且a ≠1)恒过(1,2)点；命题q ：若函数f (－1)为偶函数，则f ()的图像关于直线＝1对称，则下列命题为真命题的是( )A ．p 且qB ．非p 且非qC ．非p 且qD ．p 且非q(2)给定命题p ：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4和函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的图像关于原点对称；命题q ：当＝π＋π2(∈)时，函数y ＝2(sin 2＋cos 2)取得极小值．下列说法正确的是( )A ．p 或q 是假命题B ．非p 且q 是假命题C ．p 且q 是真命题D ．非p 或q 是真命题[解析] (1)当＝1时，y ＝2－a 2≠2，所以命题p 为假，故非p 为真；由函数f (－1)是偶函数知，函数y ＝f (－1)的图像关于y 轴对称，由函数图像的平移法则知，y ＝f ()的图像关于直线＝－1对称，所以命题q 为假，故非q 为真．所以非p 且非q 为真. 故选B.(2)命题p 中y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4与y ＝sin(2＋π4)关于原点对称，故p 为真命题；命题q 中y ＝2(sin 2＋cos 2)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取极小值时，2＋π4＝2π－π2，则＝π－3π8，∈，故q 为假命题，则非p 且q 为假命题，故选B. [答案] (1)B (2)B(1)“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式命题的真假判断步骤 ①准确判断简单命题p 、q 的真假；②判断“p 且q ”“p 或q ”“非p ”命题的真假． (2)含有逻辑联结词的命题的真假判断规律①p 或q ：p 、q 中有一个为真，则p 或q 为真，即一真全真； ②p 且q ：p 、q 中有一个为假，则p 且q 为假，即一假即假； ③非p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反．[跟踪训练](1)已知命题p ：存在实数，使sin ＝π2成立；命题q ：2－3＋2＜0的解集为(1,2)．给出下列四个结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且非q ”是假命题；③命题“非p 且q ”是真命题；④命题“非p 或非q ”是假命题．其中正确的结论是( )A ．②③B ．②④C ．①②④D ．①②③④(2)已知命题“非p 或非q ”是假命题，则下列命题：①p 或q ；②p 且q ；③非p 或q ；④非p 且q ，其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：(1)A (2)C [(1)由|sin |≤1得命题p 是假命题，则非p 是真命题；由一元二次不等式的解法得命题q 是真命题，则非q 是假命题．根据复合命题间的关系知②③正确，故选A.(2)因为“非p 或非q ”是假命题，所以非p 和非q 都是假命题，所以p 和q 都是真命题，由真值表可得“p 或q ”“p 且q ”“非p 或q ”都是真命题，而“非p 且q ”是假命题．故选C.]考点四 利用逻辑联结词探求参数问题(子母变式)[母题] 已知命题p ：关于的不等式a ＞1(a ＞0，a ≠1)的解集是{|＜0}，命题q ：函数y ＝lg(a 2－＋a )的定义域为R ，如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围为 ________ .[破题关键点] p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，等价于p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”．[解析] 由关于的不等式a ＞1(a ＞0，a ≠1)的解集是{|＜0}，知0＜a ＜1； 由函数y ＝lg(a 2－＋a )的定义域为R ， 知不等式a 2－＋a ＞0的解集为R ， 则⎩⎨⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，解得a ＞12. 因为p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”，故⎩⎨⎧a ≤0或a ≥1，a >12，或⎩⎨⎧0<a <1，a ≤12，解得a ≥1或0<a ≤12，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)[子题1] 本例条件不变，若p 且q 为真，则a 的取值范围为 ________ . 解析：由p 且q 为真知p ，q 都为真．∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1[子题2] 在本例条件下，若命题q 或(p 且q )真、非p 真，则实数a 的取值范围为 ________ . 解析：由命题q 或(p 且q )真、非p 真知p 假，q 真，p 假，a ≤0或a ≥1；q 真，a ＞12.∴实数a 的取值范围为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)[子题3] 若本例条件变为：已知命题p ：“任意∈[0,1]，a ≥e ”；命题q ：“存在0∈R ，使得2＋40＋a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为 ________ .解析：若命题“p 且q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由任意∈[0,1]，a ≥e ，得a≥e ；由存在0∈R ，使20＋40＋a ＝0， 知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4. 则实数a 的取值范围为[e,4]． 答案：[e,4]根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．第1节 函数的概念及其表示1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f ()，∈A 中，叫做自变量， 的取值范围A 叫做函数的定义域；与的值相对应的y 值叫做函数值， 函数值的集合{f ()|∈A } 叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应关系 . 3．函数的表示方法表示函数的常用方法有： 解析法 、 图像法 和 列表法 . 4．分段函数在函数的定义域内，如果对于自变量的不同取值范围，有着 不同的 对应关系，那么这样的函数通常叫做分段函数．1．函数是特殊的映射，是A ，B 为非空数集的映射，其特征：第一，在A 中取元素的任意性；第二，在B 中对应元素的唯一性．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数是建立在其定义域到值域的映射．( ) (2)函数y ＝f ()的图像与直线＝a 最多有2个交点．( ) (3)函数f ()＝2－2与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (5)f ()＝|x |x 与g ()＝⎩⎨⎧1x ≥0－1x ＜0表示同一函数．( )(6)若A ＝R ，B ＝{|>0}，f ：→y ＝||，其对应是从A 到B 的映射．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)× [小题查验]1．函数y ＝x ln (1－)的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1]D ．[0,1]解析：B [由⎩⎨⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤<1，所以函数y ＝x ln (1－)的定义域为[0,1)．故选B.]2．已知函数f ()＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是( )A ．9B.19 C ．－9D ．－19解析：B [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝log 22－2＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＝19.]3．下列图像可以表示以M ＝{|0≤≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )解析：C [由选项知A 值域不是[0,1]，B 定义域不是[0,1]，D 不是函数，只有C 符合题意. 故选C.]4．函数y ＝f ()的图像如图所示，那么f ()的定义域是 ________ ；值域是 ________ ；其中只与的一个值对应的y 值的范围是 ________ .答案：[－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]5．(教材改编)函数f ()＝x －4|x |－5的定义域是 ________ .答案：[4,5)∪(5，＋∞)6．已知f ()＝2＋p ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝ ________ .解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎨⎧ 12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎨⎧p ＝－3，q ＝2.所以f ()＝2－3＋2，所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6.答案：6考点一 函数的概念(自主练透)数学抽象——与函数概念有关的新定义问题中的核心素养以学习过的函数概念及相关知识为依托，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，分析新问题，运用所学函数概念的相关知识，解决新问题．[题组集训]1．下列所给图像是函数图像的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：B [①中当>0时，每一个的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图像，②中当＝0时，y 的值有两个，因此不是函数图像，③④中每一个的值对应唯一的y 值，因此是函数图像，故选B.]2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f ()＝||，g ()＝x 2 B ．f ()＝x 2，g ()＝(x )2C ．f ()＝x 2－1x －1，g ()＝＋1D ．f ()＝x ＋1·x －1，g ()＝x 2－1解析：A [A 中，g ()＝||，∴f ()＝g ()． B 中，f ()＝||，g ()＝ (≥0)， ∴两函数的定义域不同． C 中，f ()＝＋1 (≠1)，g ()＝＋1， ∴两函数的定义域不同．D 中，f ()＝x ＋1·x －1(＋1≥0且－1≥0)，f ()的定义域为{|≥1}，g ()＝ x 2－1(2－1≥0)，g ()的定义域为{|≥1或≤－1}．∴两函数的定义域不同．故选A.]3．设函数f ()的定义域为D ，若对任意的∈D ，都存在y ∈D ，使得f (y )＝－f ()成立，则称函数f ()为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：①f ()＝2；②f ()＝1x －1；③f ()＝ln(2＋3)；④f ()＝2－2－; ⑤f ()＝2sin －1.其中是“美丽函数”的序号有 ______________ .解析：由已知，在函数定义域内，对任意的都存在着y ，使所对应的函数值f ()与y 所对应的函数值f (y )互为相反数，即f (y )＝－f ()．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函。
【创新设计】高三数学一轮复习 第6知识块第4讲简单的线性规划课件 北师大 (2)
(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积 为28 800
cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a cm，b cm，铝合金 窗的透光部
分的面积为S cm2.
(2)∵9a＋8b≥2
＝2
＝2 880，
当且仅当9a＝8b时等号成立，此时b＝ a，代入①式得，a＝160，
【例3】 已知a>0，b>0，a＋b＝1.
求证：
≥9.
思维点拨：由于不等式左边含字母a，b，右边无字母，直接
使用基本不等式既无法约掉字母a，b，不等号方向又不对，
因a＋b＝1，因此考虑能否把左边展开，实行“1”的代换．
证明：证法一：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以 同理
所以
＝5＋2 ≥5＋4＝9.
•
(2)因为x>－1，所以
当且仅当x＋1＝
，即x＝1时函数取最小值9.
变式2： (1)已知x>0，y>0， ＝1，求x＋y的最小值；
(2)已知x<3，求f(x)＝
的最大值．
解：(1)∵x>0，y>0，
＝1，
当且仅当 即x＝2＋ ，y＝ ＋5时取等号， ∴x＋y的最小值为7＋2 .
(2)∵x<3，∴x－3<0.
解：从(1而)∵b铝＝合18金0，窗宽为a cm，高为b cm，a＞0，b＞0，
∴ab即＝当28a8＝001，60①，b＝180时，S取得最大值．
又设∴上铝栏合框金内窗高的度宽为为h16cm0 ，cm下，栏高框为内18高0 度cm为时2，h cm，
则3h可＋使18透＝光b，部∴分h的＝面积最大.，
∴透光部分的面积S＝(a－18)×
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4.(2019·马鞍山质检)已知等比数列{an}满足 a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则 a7 的值为
( )
9
A.2
B.4
C.
D.6
2
解析 根据等比数列的性质得 a3a5＝a24，∴a24＝4(a4－1)，即(a4－2)2＝0，解得 a4＝2.
又∵a1＝1，a1a7＝a24＝4，∴a7＝4. 答案 B 5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法
1
1
A.－
B.－2
C.2
D.
2
2
a5 1
1
解析 由题意知 q3＝ ＝ ，即 q＝ .
a2 8
2
答案 D
3.(必修 5P23 例 2 改编)在 9 与 243 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，
则这两个数为________. 解析 设该数列的公比为 q，由题意知，
243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3. ∴插入的两个数分别为 9×3＝27，27×3＝81. 答案 27，81
[微点提醒]
{ }1
1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}， an 也是等比数列. 2.由 an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证 a1≠0. 3.在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q＝1 与 q≠1 分类讨论，防止 因忽略 q＝1 这一特殊情形而导致解题失误.
基自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比 q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是 b2＝ac.( )
a（1－an） (3)数列{an}的通项公式是 an＝an，则其前 n 项和为 Sn＝ 1－a .( ) (4)数列{an}为等比数列，则 S4，S8－S4，S12－S8 成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q≠0.
an 数学语言表达式： ＝q(n≥2，q 为非零常数).
an－1 (2)如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使得 a，G，b 成等比数列，那么根据等比数列
Gb 的定义， ＝ ，G2＝ab，G＝± ab，我们称 G 为 a 与 b 的等比中项.即：G 是 a
aG 与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇔G2＝ab. 2. 等比数列的通项公式及前 n 项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m.
________.
解析 (1)由{an}为等比数列，设公比为 q.
{ ) { ) 由
a1＋a2＝－1， a1－a3＝－3，
得
a1＋a1q＝－1，① a1－a1q2＝－3，②
显然 q≠1，a1≠0，
②
得 ①
1－q＝3，即
q＝－2，代入①式可得
a1＝1，
所以 a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.
(2)设数列{an}首项为 a1，公比为 q(q≠1)，
a1（1－q3） 7
{ ) { ) S3＝
＝，
1
则
1－q a1（1－q6）
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解得
a1＝ ， 4
S6＝
＝，
q＝2，
1－q 4
1 所以 a8＝a1q7＝4×27＝32. 答案 (1)－8 (2)32
规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中
有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
第 3 节 等比数列及其前 n 项和
最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式；2.
能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.
了解等比数列与指数函数的关系.
知识梳理 1.等比数列的概念 (1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数， 那么这个数列叫作等比数列.
(2)若 a＝0，b＝0，c＝0 满足 b2＝ac，但 a，b，c 不成等比数列.
(3)当 a＝1 时，Sn＝na.
(4)若 a1＝1，q＝－1，则 S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
1 2.(必修 5P22 抽象概括改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝4，则公比 q 等于( )
此数列为{an}，则 a8＝12 27f，即第八个单音的频率为 12 27f.
答案 D 6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前 n 项和.若 Sn＝126，
则 n＝________. 解析 由 an＋1＝2an，知数列{an}是以 a1＝2 为首项，公比 q＝2 的等比数列，由 Sn＝ 2（1－2n）
a1（1－qn） (2)等比数列的前 n 项和公式：当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝ 1－q ＝ a1－anq
. 1－q 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn 是数列{an}的前 n 项和. (1)若 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有 ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak， ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 qm. (3)当 q≠－1，或 q＝－1 且 n 为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列， 其公比为 qn.
＝126，解得 n＝6. 1－2 答案 6
考点一 等比数列基本量的运算
【例 1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足 a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则 a4＝
________.
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(2)等比数列{an}的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn，已知 S3＝4，S6＝ 4 ，则 a8＝
计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音
程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它
的前一个单音的频率的比都等于12 2.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频
率为( ) A.3 2f
B.3 22f
C.12 25f
D.12 27f
解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为 f，公比为12 2的等比数列，设