2015年湖南卷数学试题及答案(理)
2015高考真题：文科数学(湖南卷)试卷(含答案)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知2(1)iz-=1+i（i为虚数单位），则复数z=( )A、1+iB、1-iC、-1+iD、-1-i 【答案】D【解析】试题分析：.由题根据所给复数式子进行化简即可得到复数z的代数式；由题22(1)(1)22(1i)1,1112i i i ii z iz i i-----=+∴====--++，故选D.考点：复数的运算2、在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图I所示;若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为( )A、3B、4C、5D、6【答案】B考点：茎叶图3、设x∈R，则“x>1”是“2x>1”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：.由题根据明天的关系进行发现即可得到所给两个明天的关系；由题易知“x>1”可以推得“2x>1”，“2x>1”可以得到“x>1”，所以“x>1”是“2x>1”的充要条件，故选C.考点：命题与条件4、若变量x、y满足约束条件111x yy xx+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z=2x-y的最小值为( )A、-1B、0C、1D、2 【答案】A考点：简单的线性规划5、执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=( )A、67B、37C、89D、49【答案】B考点：程序框图6、若双曲线22221x ya b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为A B、54C、43D、53【答案】D【解析】试题分析：由题利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线22221x ya b-=的一条渐近线经过点（3，-4），2225349163c b a c a a e a ∴=∴-=∴=，（），=． 故选D.考点：双曲线的简单性质7、若实数a ，b 满足12a b+=，则ab 的最小值为( )A B 、2 C 、 D 、4 【答案】C考点：基本不等式8、设函数f （x ）=ln （1+x ）-ln （1-x ），则f （x ）是( )A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【答案】A 【解析】试题分析：求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可． 函数f （x ）=ln （1+x ）-ln （1-x ），函数的定义域为（-1，1），函数f （-x ）=ln （1-x ）-ln （1+x ）=-[ln （1+x ）-ln （1-x ）]=-f （x ），所以函数是奇函数．()2111'111f x x x x =+=+-- ，已知在（0,1）上()'0f x > ，所以f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.考点：利用导数研究函数的性质9、已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++ 的最大值为A 、6B 、7C 、8D 、9 【答案】B【解析】试题分析：由题根据所给条件不难得到该圆221x y +=是一AC 位直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到24PA PB PC PO PB PB ++++==，易知当B 为（-1，0）时取得最大值.由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++== ,已知B 为（-1，0）时，4PB +取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质10、某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）A 、89πB 、827πC 、21)πD 、21)π【答案】A考点：三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11、已知集合U={}1,2,3,4，A={}1,3,B={}1,3,4,则A (U B ð)=_____.【答案】{1，2，3}.考点：集合的运算12、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为_____.【答案】2211x y +-=（） 【解析】试题分析：将极坐标化为直角坐标，求解即可．曲线C 的极坐标方程为222sn sn ρθρρθ=∴=，，它的直角坐标方程为222x y y += ， 2211x y ∴+-=（）． 故答案为：2211x y +-=（）． 考点：圆的极坐标方程13. 若直线3x-4y+5=0与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r=_____. 【答案】 【解析】试题分析：直线3x-4y+5=0与圆2220x y r r +=（＞）交于A 、B 两点，∠AOB=120°，则△AOB 为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x-4y+5=0的距离为12r ，代入点到直线距离公式，可构造关于r 的方程，解方程可得答案．如图直线3x-4y+5=0与圆2220x y r r +=（＞） 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离为12r 12r r =∴，=2 .故答案为2.考点：直线与圆的位置关系14、若函数f （x ）=| 2x-2 |-b 有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 【答案】0＜b ＜2考点：函数零点15、已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω =_____. 【答案】2πω=考点：三角函数图像与性质三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2015年湖南省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年湖南省高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每题5分，共50分1．〔5分〕〔2015•湖南〕已知=1+i〔i为虚数单位〕，则复数z=〔〕A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．解答：解：∵已知=1+i〔i为虚数单位〕，∴z===﹣1﹣i，故选：D．点评：此题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．2．〔5分〕〔2015•湖南〕设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：集合；简易逻辑．分析：直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．解答：解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B”，可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．故选：C．点评：此题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用．3．〔5分〕〔2015•湖南〕执行如下列图的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=〔〕A．B．C．D．考点：程序框图．分析：列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．解答：解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B点评：此题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4．〔5分〕〔2015•湖南〕假设变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为〔〕A．﹣7 B．﹣1 C．1D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C〔0，﹣1〕．由解得A〔﹣2，1〕，由，解得B〔1，1〕∴z=3x﹣y的最小值为3×〔﹣2〕﹣1=﹣7．故选：A．点评：此题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B点．5．〔5分〕〔2015•湖南〕设函数f〔x〕=ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕，则f〔x〕是〔〕A．奇函数，且在〔0，1〕上是增函数B．奇函数，且在〔0，1〕上是减函数C．偶函数，且在〔0，1〕上是增函数D．偶函数，且在〔0，1〕上是减函数考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．解答：解：函数f〔x〕=ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕，函数的定义域为〔﹣1，1〕，函数f〔﹣x〕=ln〔1﹣x〕﹣ln〔1+x〕=﹣[ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕]=﹣f〔x〕，所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f〔0〕=0；x=时，f〔〕=ln〔1+〕﹣ln〔1﹣〕=ln3＞1，显然f〔0〕＜f〔〕，函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．点评：此题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．6．〔5分〕〔2015•湖南〕已知〔﹣〕5的展开式中含x的项的系数为30，则a=〔〕A．B．﹣C．6D．﹣6考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x 的指数为求得r，再代入系数求出结果．解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；展开式中含x的项的系数为30，∴，∴r=1，并且，解得a=﹣6．故选：D．点评：此题考查二项式定理的应用，此题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．〔5分〕〔2015•湖南〕在如下列图的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分〔曲线C为正态分布N〔0，1〕的密度曲线〕的点的个数的估计值为〔〕附“假设X﹣N=〔μ，a2〕，则P〔μ﹣σ＜X≤μ+σ〕=0.6826．p〔μ﹣2σ＜X≤μ+2σ〕=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．4772考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：求出P〔0＜X≤1〕=×0.6826=0.3413，即可得出结论．解答：解：由题意P〔0＜X≤1〕=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C．点评：此题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8．〔5分〕〔2015•湖南〕已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，假设点P的坐标为〔2，0〕，则||的最大值为〔〕A．6B．7C．8D．9考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．B为〔﹣1，0〕时，|4+|≤7，即可得出结论．解答：解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．所以B为〔﹣1，0〕时，|4+|≤7．所以||的最大值为7．故选：B．点评：此题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9．〔5分〕〔2015•湖南〕将函数f〔x〕=sin2x的图象向右平移φ〔0＜φ＜〕个单位后得到函数g〔x〕的图象．假设对满足|f〔x1〕﹣g〔x2〕|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=〔〕A．B．C．D．考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．解答：解：因为将函数f〔x〕=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ〔0＜φ＜〕个单位后得到函数g〔x〕的图象．假设对满足|f〔x1〕﹣g〔x2〕|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g〔x〕在x2=，取得最小值，sin〔2×﹣2φ〕=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g〔x〕在x2=，取得最大值，sin〔2×﹣2φ〕=1，此时φ=，满足题意．故选：D．点评：此题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．10．〔5分〕〔2015•湖南〕某工件的三视图如下列图．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为〔材料利用率=〕〔〕A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：创新题型；空间位置关系与距离；概率与统计．分析：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=〔1﹣〕，0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．解答：解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=〔1﹣〕，0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2〔1﹣〕2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断〔0，〕单调递增，〔，2〕单调递减，Ω最大值=2〔1﹣〕2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A点评：此题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题．二、填空题，共5小题，每题5分，共25分11．〔5分〕〔2015•湖南〕〔x﹣1〕dx=0．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．解答：解：〔x﹣1〕dx=〔﹣x〕|=0；故答案为：0．点评：此题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．12．〔5分〕〔2015•湖南〕在一次马拉松比赛中，35名运发动的成绩〔单位：分钟〕的茎叶图如下列图．假设将运发动成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运发动人数是4．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．解答：解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运发动人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运发动应抽取7×=4〔人〕．故答案为：4．点评：此题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目．13．〔5分〕〔2015•湖南〕设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．假设C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F〔c，0〕，P〔m，n〕，〔m＜0〕，设PF的中点为M〔0，b〕，即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．解答：解：设F〔c，0〕，P〔m，n〕，〔m＜0〕，设PF的中点为M〔0，b〕，即有m=﹣c，n=2b，将点〔﹣c，2b〕代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．点评：此题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．14．〔5分〕〔2015•湖南〕设S n为等比数列{a n}的前n项和，假设a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．解答：解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，假设a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4〔1+q〕=1+q+q2+3，q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．点评：此题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查．15．〔5分〕〔2015•湖南〕已知函数f〔x〕=假设存在实数b，使函数g〔x〕=f 〔x〕﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1}．考点：函数的零点．专题：计算题；创新题型；函数的性质及应用．分析：由g〔x〕=f〔x〕﹣b有两个零点可得f〔x〕=b有两个零点，即y=f〔x〕与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围解答：解：∵g〔x〕=f〔x〕﹣b有两个零点，∴f〔x〕=b有两个零点，即y=f〔x〕与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f〔x〕的图象如下列图，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f〔x〕在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f〔x〕单调递增，故不符合题意④a=0时，f〔x〕单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f〔x〕的图象如下列图，此时存在b使得，y=f〔x〕与y=b有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}点评：此题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．〔6分〕〔2015•湖南〕如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相较于点F，证明：〔1〕∠MEN+∠NOM=180°〔2〕FE•FN=FM•FO．考点：相似三角形的判定．专题：选作题；推理和证明．分析：〔1〕证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°〔2〕证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．解答：证明：〔1〕∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，∴O，M，E，N四点共圆，∴∠MEN+∠NOM=180°〔2〕在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，∴△FEM∽△FON，∴=∴FE•FN=FM•FO．点评：此题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．选修4-4：坐标系与方程17．〔6分〕〔2015•湖南〕已知直线l：〔t为参数〕．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．〔1〕将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；〔2〕设点M的直角坐标为〔5，〕，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：〔1〕曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；〔2〕直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．解答：解：〔1〕∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为〔x﹣1〕2+y2=1；〔2〕直线l：〔t为参数〕，普通方程为，〔5，〕在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=〔5﹣1〕2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．点评：此题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．选修4-5：不等式选讲18．〔2015•湖南〕设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：〔ⅰ〕a+b≥2；〔ⅱ〕a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．考点：不等式的证明．专题：不等式的解法及应用．分析：〔ⅰ〕由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；〔ⅱ〕运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．解答：证明：〔ⅰ〕由a＞0，b＞0，则a+b=+=，由于a+b＞0，则ab=1，即有a+b≥2=2，当且仅当a=b取得等号．则a+b≥2；〔ⅱ〕假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，这与ab=1矛盾．a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．点评：此题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题．19．〔2015•湖南〕设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．〔Ⅰ〕证明：B﹣A=；〔Ⅱ〕求sinA+sinC的取值范围．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：〔Ⅰ〕由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；〔Ⅱ〕由题意可得A∈〔0，〕，可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2〔sinA﹣〕2+，由二次函数区间的最值可得．解答：解：〔Ⅰ〕由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin〔+A〕又B为钝角，∴+A∈〔，π〕，∴B=+A，∴B﹣A=；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知C=π﹣〔A+B〕=π﹣〔A++A〕=﹣2A＞0，∴A∈〔0，〕，∴sinA+sinC=sinA+sin〔﹣2A〕=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2〔sinA﹣〕2+，∵A∈〔0，〕，∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2〔sinA﹣〕2+≤∴sinA+sinC的取值范围为〔，]点评：此题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．20．〔2015•湖南〕某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，假设都是红球，则获一等奖，假设只有1个红球，则获二等奖；假设没有红球，则不获奖．〔1〕求顾客抽奖1次能获奖的概率；〔2〕假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：〔1〕记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．〔2〕顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．解答：解：〔1〕记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P〔A1〕=，P〔A2〕=，所以，P〔B1〕=P〔A1〕P〔A2〕==，P〔B2〕=P〔〕+P〔〕=+==，故所求概率为：P〔C〕=P〔B1+B2〕=P〔B1〕+P〔B2〕=．〔2〕顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由〔1〕可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P〔X=0〕==，P〔X=1〕==，P〔X=2〕==，P〔X=3〕==．故X的分布列为：X 0 1 2 3PE〔X〕=3×=．点评：期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．21．〔2015•湖南〕如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．〔1〕假设P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；〔2〕假设PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：〔1〕首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q〔6，y1，0〕，只需求即可；〔2〕设P〔0，y2，z2〕，根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P〔0，y2，12﹣2y2〕．由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q〔6，y2，0〕，设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．解答：解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如下列图空间直角坐标系，则：A〔0，0，0〕，B〔6，0，0〕，D〔0，6，0〕，A1〔0，0，6〕，B1〔3，0，6〕，D1〔0，3，6〕；Q在棱BC上，设Q〔6，y1，0〕，0≤y1≤6；∴〔1〕证明：假设P是DD1的中点，则P；∴，；∴；∴；∴AB1⊥PQ；〔2〕设P〔0，y2，z2〕，y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；∴，0≤λ≤1；∴〔0，y2﹣6，z2〕=λ〔0，﹣3，6〕；∴；∴z2=12﹣2y2；∴P〔0，y2，12﹣2y2〕；∴；平面ABB1A1的一个法向量为；∵PQ∥平面ABB1A1；∴=6〔y1﹣y2〕=0；∴y1=y2；∴Q〔6，y2，0〕；设平面PQD的法向量为，则：；∴，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；∴；解得y2=4，或y2=8〔舍去〕；∴P〔0，4，4〕；∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；∴V四面体ADPQ=V三棱锥P﹣ADQ=．点评：考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式．22．〔13分〕〔2015•湖南〕已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1〔a＞b＞0〕的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．〔Ⅰ〕求C2的方程；〔Ⅱ〕过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．〔ⅰ〕假设|AC|=|BD|，求直线l的斜率；〔ⅱ〕设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：〔Ⅰ〕根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；〔Ⅱ〕设出点的坐标，〔ⅰ〕根据向量的关系，得到〔x1+x2〕2﹣4x1x2=〔x3+x4〕2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；〔ⅱ〕根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．解答：解：〔Ⅰ〕抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为〔0，1〕，因为F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为〔±，〕，所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1．〔Ⅱ〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，C〔x3，y3〕，A〔x4，y4〕，〔ⅰ〕因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是〔x1+x2〕2﹣4x1x2=〔x3+x4〕2﹣4x3x4，③设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④由，得〔9+8k2〕x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤将④⑤代入③，得16〔k2+1〕=+，即16〔k2+1〕=，所以〔9+8k2〕2=16×9，解得k=±．〔ⅱ〕由x2=4y得y′=x，所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1〔x﹣x1〕，即y=x1x﹣x12，令y=0，得x=x1，M〔x1，0〕，所以=〔x1，﹣1〕，而=〔x1，y1﹣1〕，于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．点评：此题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题．23．〔13分〕〔2015•湖南〕已知a＞0，函数f〔x〕=e ax sinx〔x∈[0，+∞]〕．记x n为f〔x〕的从小到大的第n〔n∈N*〕个极值点．证明：〔Ⅰ〕数列{f〔x n〕}是等比数列；〔Ⅱ〕假设a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f〔x n〕|恒成立．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：〔Ⅰ〕求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；〔Ⅱ〕由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f〔x n〕|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a〔nπ﹣φ〕恒成立⇔＜，①设g〔t〕=〔t＞0〕，求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．解答：证明：〔Ⅰ〕f′〔x〕=e ax〔asinx+cosx〕=•e ax sin〔x+φ〕，tanφ=，0＜φ＜，令f′〔x〕=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，假设〔2k+1〕π＜x+φ＜〔2k+2〕π，即〔2k+1〕π﹣φ＜x＜〔2k+2〕π﹣φ，则f′〔x〕＜0，因此在〔〔m﹣1〕π，mπ﹣φ〕和〔mπ﹣φ，mπ〕上f′〔x〕符号总相反．于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f〔x〕取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f〔x n〕=e a〔nπ﹣φ〕sin〔nπ﹣φ〕=〔﹣1〕n+1e a〔nπ﹣φ〕sinφ，易知f〔x n〕≠0，而==﹣e aπ是常数，故数列{f〔x n〕}是首项为f〔x1〕=e a〔π﹣φ〕sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；〔Ⅱ〕由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f〔x n〕|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a〔nπ﹣φ〕恒成立⇔＜，①设g〔t〕=〔t＞0〕，g′〔t〕=，当0＜t＜1时，g′〔t〕＜0，g〔t〕递减，当t＞1时，g′〔t〕＞0，g〔t〕递增．t=1时，g〔t〕取得最小值，且为e．因此要使①恒成立，只需＜g〔1〕=e，只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，因此对n∈N*，ax n=≠1，即有g〔ax n〕＞g〔1〕=e=，故①亦恒成立．综上可得，假设a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f〔x n〕|恒成立．点评：此题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．2015年湖南省高考数学试卷〔理科〕一、选择题，共10小题，每题5分，共50分1．〔5分〕〔2015•湖南〕已知=1+i〔i为虚数单位〕，则复数z=〔〕A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．〔5分〕〔2015•湖南〕设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．〔5分〕〔2015•湖南〕执行如下列图的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=〔〕A．B．C．D．4．〔5分〕〔2015•湖南〕假设变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为〔〕A．﹣7 B．﹣1 C．1D．25．〔5分〕〔2015•湖南〕设函数f〔x〕=ln〔1+x〕﹣ln〔1﹣x〕，则f〔x〕是〔〕A．奇函数，且在〔0，1〕上是增函数 B．奇函数，且在〔0，1〕上是减函数C．偶函数，且在〔0，1〕上是增函数 D．偶函数，且在〔0，1〕上是减函数6．〔5分〕〔2015•湖南〕已知〔﹣〕5的展开式中含x的项的系数为30，则a=〔〕A．B．﹣C．6D．﹣67．〔5分〕〔2015•湖南〕在如下列图的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分〔曲线C为正态分布N〔0，1〕的密度曲线〕的点的个数的估计值为〔〕附“假设X﹣N=〔μ，a2〕，则P〔μ﹣σ＜X≤μ+σ〕=0.6826．p〔μ﹣2σ＜X≤μ+2σ〕=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．47728．〔5分〕〔2015•湖南〕已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，假设点P的坐标为〔2，0〕，则||的最大值为〔〕A．6B．7C．8D．99．〔5分〕〔2015•湖南〕将函数f〔x〕=sin2x的图象向右平移φ〔0＜φ＜〕个单位后得到函数g〔x〕的图象．假设对满足|f〔x1〕﹣g〔x2〕|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=〔〕A．B．C．D．10．〔5分〕〔2015•湖南〕某工件的三视图如下列图．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为〔材料利用率=〕〔〕A．B．C．D．二、填空题，共5小题，每题5分，共25分11．〔5分〕〔2015•湖南〕〔x﹣1〕dx=．12．〔5分〕〔2015•湖南〕在一次马拉松比赛中，35名运发动的成绩〔单位：分钟〕的茎叶图如下列图．假设将运发动成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运发动人数是．13．〔5分〕〔2015•湖南〕设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．假设C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．〔5分〕〔2015•湖南〕设S n为等比数列{a n}的前n项和，假设a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=．15．〔5分〕〔2015•湖南〕已知函数f〔x〕=假设存在实数b，使函数g〔x〕=f 〔x〕﹣b有两个零点，则a的取值范围是．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．〔6分〕〔2015•湖南〕如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相较于点F，证明：〔1〕∠MEN+∠NOM=180°〔2〕FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．〔6分〕〔2015•湖南〕已知直线l：〔t为参数〕．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．〔1〕将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；〔2〕设点M的直角坐标为〔5，〕，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．选修4-5：不等式选讲18．〔2015•湖南〕设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：〔ⅰ〕a+b≥2；〔ⅱ〕a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．〔2015•湖南〕设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．〔Ⅰ〕证明：B﹣A=；〔Ⅱ〕求sinA+sinC的取值范围．20．〔2015•湖南〕某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，假设都是红球，则获一等奖，假设只有1个红球，则获二等奖；假设没有红球，则不获奖．〔1〕求顾客抽奖1次能获奖的概率；〔2〕假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．21．〔2015•湖南〕如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．〔1〕假设P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；〔2〕假设PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．22．〔13分〕〔2015•湖南〕已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1〔a＞b＞0〕的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．〔Ⅰ〕求C2的方程；〔Ⅱ〕过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．〔ⅰ〕假设|AC|=|BD|，求直线l的斜率；〔ⅱ〕设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．〔13分〕〔2015•湖南〕已知a＞0，函数f〔x〕=e ax sinx〔x∈[0，+∞]〕．记x n为f〔x〕的从小到大的第n〔n∈N*〕个极值点．证明：〔Ⅰ〕数列{f〔x n〕}是等比数列；〔Ⅱ〕假设a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f〔x n〕|恒成立．。
2015年湖南省高考数学试卷(理科)及答案
2015年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．25．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．（5分）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣67．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．47728．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．99．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．10．（5分）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B． C．D．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（x﹣1）dx=．12．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是．13．（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=．15．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．选修4-5：不等式选讲18．设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．21．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．22．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．2015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．2．（5分）（2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．【解答】解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B”，可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．故选：C．3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B4．（5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．故选：A．5．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．6．（5分）（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣6【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；展开式中含x的项的系数为30，∴，∴r=1，并且，解得a=﹣6．故选：D．7．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．4772【分析】求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C．8．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由题意，AC为直径，所以||=|2+|．B为（﹣1，0）时，|2+|≤7，即可得出结论．【解答】解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|所以B为（﹣1，0）时，|2+|≤7．所以||的最大值为7．故选：B．9．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．故选：D．10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B． C．D．【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2015•湖南）（x﹣1）dx=0．【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．【解答】解：（x﹣1）dx=（﹣x）|=0；故答案为：0．12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是4．【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取7×=4（人）．故答案为：4．13．（5分）（2015•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．14．（5分）（2015•湖南）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1．【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．【解答】解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．15．（5分）（2015•湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1} ．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b 有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．【分析】（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．【解答】证明：（1）∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，∴O，M，E，N四点共圆，∴∠MEN+∠NOM=180°（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，∴△FEM∽△FON，∴=∴FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．选修4-5：不等式选讲18．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【分析】（ⅰ）由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；（ⅱ）运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．【解答】证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，则a+b=+=，由于a+b＞0，则ab=1，即有a+b≥2=2，当且仅当a=b取得等号．则a+b≥2；（ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，这与ab=1矛盾．a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：X0123PE（X）=3×=．21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．【分析】（1）首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q（6，y1，0），只需求即可；（2）设P（0，y2，z2），根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P（0，y2，12﹣2y2）．由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q（6，y2，0），设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ 的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．【解答】解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0≤y1≤6；∴（1）证明：若P是DD1的中点，则P；∴，；∴；∴；∴AB1⊥PQ；（2）设P（0，y2，z2），y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；∴，0≤λ≤1；∴（0，y2﹣6，z2）=λ（0，﹣3，6）；∴；∴z2=12﹣2y2；∴P（0，y2，12﹣2y2）；∴；平面ABB1A1的一个法向量为；∵PQ∥平面ABB1A1；∴=6（y1﹣y2）=0；∴y1=y2；∴Q（6，y2，0）；设平面PQD的法向量为，则：；∴，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；∴；解得y2=4，或y2=8（舍去）；∴P（0，4，4）；∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；∴V四面体ADPQ =V三棱锥P﹣ADQ=．22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．【分析】（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；（Ⅱ）设出点的坐标，（ⅰ）根据向量的关系，得到（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；（ⅱ）根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），（ⅰ）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，③设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤将④⑤代入③，得16（k2+1）=+，即16（k2+1）=，所以（9+8k2）2=16×9，解得k=±．（ⅱ）由x2=4y得y′=x，所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣x12，令y=0，得x=x1，M（x1，0），所以=（x1，﹣1），而=（x1，y1﹣1），于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．【分析】（Ⅰ）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）f′（x）=e ax（asinx+cosx）=•e ax sin（x+φ），tanφ=，0＜φ＜，令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π﹣φ，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，（m+1）π﹣φ）上f′（x）符号总相反．于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f（x）取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f（x n）=e a（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1e a（nπ﹣φ）sinφ，易知f（x n）≠0，而==﹣e aπ是常数，故数列{f（x n）}是首项为f（x1）=e a（π﹣φ）sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），g′（t）=，当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）递增．t=1时，g（t）取得最小值，且为e．因此要使①恒成立，只需＜g（1）=e，只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，因此对n∈N*，ax n=≠1，即有g（ax n）＞g（1）=e=，故①亦恒成立．综上可得，若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．。
【名师解析】湖南省长郡中学2015届高三月考试卷(三) 数学理试题 Word版含解析
湖南省长沙市长郡中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，解答：解：由图知，∴T=π，即=π，解得：ω=2．由五点作图的第二点可知，2×+φ=，即φ=﹣，满足|φ|＜，∴ω，φ的值分别是2，﹣．故选：A．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点列式求解φ的值，是基础题．2．在等比数列{a n}中，若a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，则a6的值是（）A．B．C．D．±2解答：解：∵a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，∴a4a8=2，a4+a8=3＞0．∴a4＞0，a8＞0．由等比数列{a n}，，∴．由等比数列的性质可得：a4，a6，a8同号．∴．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等比数列的性质，属于基础题．3．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）A．2097 B．2112 C．2012 D．2090解答：解：根据如图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a+7，a+8，a+9，第三层的五个数为a+14，a+15，a+16，a+17，a+18，这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104．由9a+104=2012，得a=212，是自然数．故选C．点评：本题考查简单的合情推理，得出9个数的关系是关键．4．“2a＞2b”是“lga＞lgb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解答：解：∵2a＞2b等价于a＞b，当0≥a＞b或a＞0≥b时，lga＞lgb不成立；∴充分性不成立；又∵lga＞lgb等价于a＞b＞0，能得出2a＞2b；∴必要性成立；∴“2a＞2b”是“lga＞lgb”的必要不充分条件．故选：B．点评：本题考查了充分与必要条件的判定问题，解题时需要判定充分性是否成立，必要性是否成立，是基础题．5．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．∴OP=OF，∴∠OFP=45°∴|0M|=|OF|•sin45°，即a=c•∴e==故选A点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用圆的切线的性质和数形结合的数学思想的运用．6．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）解答：解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．点评：本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．7．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算；简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：取E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形，利用正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，求出ME，AE的长，即可求AM的长．解答：解：如图所示，E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形．由正（主）视图为等腰梯形，可知MN=2，AB=4，由侧（左）视图为等腰三角形，可知AD=2，MO=2∴ME==在△AME中，AE=1，∴=故选C．点评：本题考查三视图与直观图的关系，考查学生的读图能力，考查学生的计算能力，属于中档题．8．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是（）A．①②③B．①③C．①②③④D．①③④考点：棱柱的结构特征．专题：综合题．分析：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面判断即可；②水面四边形EFGH的面积不改变；可以通过EF 的变化EH不变判断正误；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；利用直线与平面平行的判断定理，推出结论；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．通过水的体积判断即可．解答：解：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断①正确；②水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的EH不变的，所以面积是改变的，②是不正确的；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1∥EF，所以结论正确；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．故选D．点评：本题是基础题，考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识，考查计算能力，逻辑推理能力．9．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2 B．4C．6D．8考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．解答：解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）考点：其他不等式的解法；函数单调性的性质．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．解答：解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选D．点评：本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，若为实数，则实数m的值为．考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．分析：复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，代入后，把它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi（ab∈R）的形式，令虚部为0，可求m 值．解答：解：由z1=m+2i，z2=3﹣4i，则===+为实数，得4m+6=0，则实数m的值为﹣．故答案为：点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，是基础题．12．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离；球．分析：折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCD沿对角线AC的一半，求出球的半径即可求出球的表面积．解答：解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，∴长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的半径，是AC=所求球的体积为：×=．故答案为：．点评：本题考查球的内接多面体，求出球的半径，是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．13．已知x，y满足约束条件，则x2+4y2的最小值是．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：令t=2y，把原问题转化为在条件下求x2+t2的最小值，作出可行域后由点到直线的距离公式求出原点到直线2x+t=2的距离，则答案可求．解答：解：∵x2+4y2=x2+（2y）2，令t=2y，则问题转化为在条件下求x2+t2的最小值．作可行域如图，，则x2+t2≥．故答案为：．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．14．已知数列{a n}的首项a1=2，其前n项和为S n．若S n+1=2S n+1，则a n=．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：把已知递推式两边加1，得到等比数列{S n+1}，求出其通项公式后，由a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求解数列{a n}的通项公式．解答：解：∵S n+1=2S n+1，∴S n+1+1=2（S n+1），∵S1+1=a1+1=3≠0，∴．∴数列{S n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴S n+1=3•2n﹣1，∴S n=3•2n﹣1，∴a n=S n﹣S n﹣1=3•2n﹣1﹣1﹣3•2n﹣2+1=3•2n﹣2（n≥2），n=1时，a1=2不满足上式，∴．故答案为：．点评：本题考查了数列递推式，关键是把已知递推式变形，得到新的等比数列，是中档题．15．过x轴正半轴上一点P的直线与抛物线y2=4x交于两点A、B，O是原点，A、B的横坐标分别为3和，则下列：①点P是抛物线y2=4x的焦点；②•=﹣2；③过A、B、O三点的圆的半径为；④若三角形OAB的面积为S，则＜S＜；⑤若=λ，则λ=3．在这五个命题中，正确的是①③④⑤．考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：①设P（a，0），设直线方程，联立抛物线方程，消去y，得到二次方程，由两根之积，即可得到a；②求出A，B的坐标，由向量的数量积的坐标表示，即可得到；③运用两种方法求出三角形ABO的面积，注意面积公式S△ABC=absinC=；④由△ABO的面积，即可判断；⑤=λ，即=，由A，F，B的坐标，即可得到．解答：解：由图可得A（3，2），B（，﹣）①设P（a，0），过P的直线为y=k（x﹣a），联立抛物线方程消去y，得k2x2﹣（2ak2+4）x+k2a2=0，则3×=a2，a=1，即P（1，0）即为焦点F，故①对；②=（3，2）•（，﹣）=3×﹣2×=﹣3，故②错；③S△ABO=×1×（2）===，R=，故③对；④S△ABO=＞，＜，故④对；⑤若=λ，即=，λ==3，故⑤对．故答案为：①③④⑤点评：本题考查抛物线的定义、性质和方程，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，得到二次方程，应用韦达定理求解，同时考查平面向量的数量积的坐标表示，和向量共线定理，以及求外接圆的半径应用面积公式，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．专题：计算题；转化思想．分析：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=．解答：解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，因此．（6分）（II）解：由，可得accosB=2，，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2=12，所以（a﹣c）2=0，即a=c，所以．（13分）点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题．分析：（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．法二：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3．解答：（本小题满分15分）（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）解：（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；Q（0，0，0），，，．设M（x，y，z），则，，∵，∴，∴…（12分）在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为．…（13分）∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴t=3．…（15分）点评：本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．18．（12分）某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：（1）总面积为xy=3000，且2a+6=y，则y=，（其中6≤x≤500），从而运动场占地面积为S=（x﹣4）a+（x﹣6）a，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积S=3030﹣6x﹣=3030﹣（6x+），由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．解答：解：（1）由已知xy=3000，∴，其定义域是（6，500）．S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a，∵2a+6=y，∴，∴，其定义域是（6，500）．（2），当且仅当，即x=50∈（6，500）时，上述不等式等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题．19．（13分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．考点：数列递推式；等差数列的前n项和；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，继而可求得b n=，n∈N*，于是T n=+++…+，利用错位相减法即可求得T n．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得：，解得a1=1，d=2．∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，得：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，显然，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，∴T n=++…++，两式相减得：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣∴T n=3﹣．点评：本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题．20．（13分）已知圆N：（x+2）2+y2=8和抛物线C：y2=2x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当直线Z酌斜率为1时，求线段AB的长；（Ⅱ）设点M和点N关于直线y=x对称，问是否存在直线l，使得⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；向量与圆锥曲线．分析：（1）由圆N：（x+2）2+y2=8，知圆心N为（﹣2，0），半径r=2，设A（x1，y1），B（x2，y2），设l的方程为y=x+m，由直线l是圆N的切线，知，解得直线l的方程为y=x﹣2，由此能求出弦长|AB|．（2）设直线l的方程为y=kx+m，由直线l是圆N的切线，得，解得此时直线l的方程为y=﹣x+2；当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2﹣2，则得不成立．综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=﹣x+2．解答：解：（1）∵圆N：（x+2）2+y2=8，∴圆心N为（﹣2，0），半径r=2，设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线的斜率为1时，设l的方程为y=x+m，即x﹣y+m=0，∵直线l是圆N的切线，∴，解得m=﹣2，或m=6（舍去）此时直线l的方程为y=x﹣2，由，消去x得y2﹣2y﹣4=0，∴△=（﹣2）2+16=20＞0，y1+y2=2，y1•y2=4，，∴弦长|AB|=．（2）（i）设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0（k≠0），∵直线l是圆N的切线，∴，得m2﹣4k2﹣4mk﹣8=0，①由，消去x得ky2﹣2y+2m=0，∴△=4﹣4k×2m＞0，即km＜且k≠0，，，∵点M与点N关于直线y=x对称，∴M（0，﹣2），∴，，∵，∴x1x2+（y1+2）（y2+2）=0，将A，B在直线y=kx+m上代入并化简，得，代入，，得，化简，得m2+4k2+2mk+4k=0，②①+②得2m2﹣2mk+4k﹣8=0，即（m﹣2）（m﹣k+2）=0，解得m=2，或m=k﹣2．当m=2时，代入①，解得k=﹣1，满足条件，且k≠0，此时直线l的方程为y=﹣x+2．当m=k﹣2时，代入①整理，得7k2﹣4k+4=0，无解．（ii）当直线l的斜率不存在时，因为直线l是圆N的切线，所以l的方程为x=2﹣2．则得，y 1+y2=0，，即，由①得：=x1x2+y1y2+2（y1+y2）+4=20﹣12≠0，当直线l的斜率不存在时，不成立．综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=﹣x+2．点评：本题考查线段长的求法，探索直线是否存在，具体涉及到圆的简单性质、抛物线的性质及其应用、直线与圆锥曲线的位置关系的应用．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（13分）设函数f（x）=1﹣e﹣x，函数g（x）=（其中a∈R，e是自然对数的底数）．（1）当a=0时，求函数h（x）=f′（x）•g（x）的极值；（2）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由f（x）=1﹣e﹣x，知f′（x）=﹣e﹣x•（﹣1）=e﹣x，故函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe﹣x，h′（x）=（1﹣x）•e﹣x，由此能求出函数h（x）=f′（x）•g（x）的极值．（Ⅱ）由题1﹣e﹣x≤在[0，+∞）上恒成立，由x≥0，1﹣e﹣x∈[0，1），知≥0，分类讨论能够得到不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=1﹣e﹣x，∴f′（x）=﹣e﹣x•（﹣1）=e﹣x，函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe﹣x，∴h′（x）=（1﹣x）•e﹣x，当x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，故该函数在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴函数h（x）在x=1处取得极大值h（1）=．（Ⅱ）由题1﹣e﹣x≤在[0，+∞）上恒成立，∵x≥0，1﹣e﹣x∈[0，1），∴≥0，若x=0，则a∈R，若x＞0，则a＞﹣恒成立，则a≥0．不等式1﹣e﹣x≤恒成立等价于（ax+1）（1﹣e﹣x）﹣x≤0在[0，+∞）上恒成立，令μ（x）=（ax+1）（1﹣e﹣x），则μ′（x）=a（1﹣e﹣x）+（ax+1）e﹣x﹣1，又令v（x）=a（1﹣e﹣x）+（ax+1）e﹣x﹣1，则v′（x）=e﹣x（2a﹣ax﹣1），∵x≥0，a≥0．①当a=0时，v′（x）=﹣e﹣x＜0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，∴μ（x）在[0，+∞）上单减，∴μ（x）≤μ（0）=0，即f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（7分）②当a≥0时，v′（x）=﹣a•e﹣x（x﹣）．ⅰ）若2a﹣1≤0，即0＜a≤时，v′（x）≤0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，∴μ（x）在[0，+∞）上单调递减，∴μ（x）≤μ（0）=0，此时f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；ⅱ）若2a﹣1＞0，即a＞时，若0＜x＜时，v′（x）＞0，则v（x）在（0，）上单调递增，∴v（x）=μ′（x）＞v（0）=0，∴μ（x）在（0，）上也单调递增，∴μ（x）＞μ（0）=0，即f（x）＞g（x），不满足条件．综上，不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围是[0，]．点评：本题考查函数极值的求法，求实数的取值范围．考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识，属于难题．。
2015年高考湖南理科数学试题及答案(详解纯word版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理科）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i zi +=-1)1(2(i 是虚数单位)，则复数z=A. i +1B. i -1C. i +-1D. i --12. 设A 、B 是两个集合，则“A B A = ”是“B A ⊆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 执行如图所示的程序框图，如果输入的3=n ，则输出的S ＝A.76 B. 73C. 98D. 944. 若变量x, y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x ，则yx z -=3的最小值为A. 7-B. 1-C. 1D. 2 5. 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=，则)(x f 是A. 奇函数，且在)1,0(是增函数B. 奇函数，且在)1,0(是减函数C. 偶函数，且在)1,0(是增函数D. 偶函数，且在)1,0(是减函数 6. 已知5)(xa x -的展开式中含23x 的项的系数为30，则=aA. 3B. 3-C. 6D. 6- 7. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)1,0(N 的密度曲线）的点的个数的估计值为A. 2386B. 2718C. 3413D. 4772附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P , 9544.0)22(=+≤<-σμσμX P.8. 已知点A, B, C 在圆122=+y x 上运动，且BC AB ⊥ . 若点P 的坐标为)0,2(, 则||PC PB PA ++的最大值为A. 6B. 7C. 8D. 9 9. 将函数x x f 2sin )(=的图象向右平移ϕ)20(πϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图象，若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x ，2x ，有3||min 21π=-x x ，则=ϕA. 125πB. 3πC.4π D. 6π 10. 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率原工件的体积新工件的体积=） A. π98 B. π916C.π2124）－（ D.π21212）－（二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.⎰=-20)1(dx x __________.12. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成绩在区间]151,139[上的运动员的人数是_________.13. 设F 是双曲线C 1:2222=-by a x 的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________.14.设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若11=a ，且321,2,3S S S 成等差数列，则=n a ___________.15. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=.,,,)(23a x x a x x x f 若存在实数b ，使函数b x f x g -=)()(有两个零点，则a 的取值范围是___________.俯视图侧视图正视图三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)本小题有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题纸中相应题号的答题区域内，如果全做，则按所做的前两题计分. Ⅰ.（本小题满分6分）选修4－1 几何证明选讲如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（i ） 180=∠+∠NOM MEN ； （ii ）FO FM FN FE ⋅=⋅. Ⅱ.（本小题满分6分）选修4－4 坐标系与参数方程已知直线l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235:t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=.（i ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ii ）设点M 的直角坐标为)3,5(，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MB MA ⋅的值. Ⅲ.（本小题满分6分）选修4－5 不等式选讲 设0,0>>b a ，且ba b a 11+=+，证明： （i ） 2≥+b a ；（ii ）22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.F17. (本小题满分12分)设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A b a tan =，且B 为钝角. (Ⅰ) 证明：2π=-A B ；(Ⅱ) 求C A sin sin +的取值范围.18. (本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖. 每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球. 在摸出的2球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. (Ⅰ) 求顾客抽奖1次能获奖的概率； (Ⅱ) 若某顾客有3次抽奖的机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.19. (本小题满分13分)如图，在四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，61=AA ，且⊥1AA 底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上. (Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，证明：PQ AB ⊥1； (Ⅱ) 若//PQ 平面11A ABB ，二面角A QD P --的余弦值为73，求四面体ADPQ 的体积.BDQ20. (本小题满分13分)已知抛物线1C y x 4:2=的焦点F 也是椭圆2C )0(1:2222>>=+b a bx a y 的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为62. (Ⅰ) 求2C 的方程；(Ⅱ) 过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且与同向.（i ） 若||||BD AC =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.21. (本小题满分13分)已知0>a ，函数)),0[(sin )(∞+∈=x x e x f ax ，记n x 为)(x f 的从小到大的第n *)(N n ∈个极值点. 证明: (Ⅰ) 数列)}({n x f 是等比数列； (Ⅱ) 若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立.2015年高考湖南卷理科数学参考答案一、选择题D C B A A D C B D A 二、填空题 11. 0 12. 4 13.5 14. 13-n 15. ),1()0,(∞+-∞三、解答题 16. Ⅰ. 证明：(i )如图，因为M ，N 分别是两弦AB ，CD 的中点，所以AB OM ⊥, CD ON ⊥，即90=∠=∠ONE OME ，因此 180=∠+∠ONE OME ，又四边形的内角和等于 360，故 180=∠+∠NOM MEN .(ii ) 由（i ）知， O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FO FM FN FE ⋅=⋅.Ⅱ.解： (i )θρcos 2=等价于 θρρcos 22=，将222y x +=ρ，x =θρcos 代入上式即得曲线C 的直角坐标方程是0222=-+x y x .(ii ) 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235t y t x 代入0222=-+x y x 得018352=++t t .设这个方程的 两个实根分别为21,t t ，则由参数t 的几何意义知||||MB MA ⋅＝.18||21=t tⅢ.证明： 由abb a b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab （i ）由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a .(ii ) 设22<+a a 与22<+b b 可同时成立，则由22<+a a 及0>a 可得10<<a ，同理 10<<b ，从而10<<ab 这与1=ab 相矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.17. 解：（Ⅰ）由A b a ta n =及正弦定理，得BAb a A A sin sin cos sin ==，所以A B cos sin =，即)2sin(sin A B +=π. 又B 为钝角，),2(2πππ∈+A ，故A B +=2π，即2π=-A B .(Ⅱ) 由（Ⅰ）知 022)(>-=+-=A B A C ππ, 所以)4,0(π∈A . 于是)22sin(sin sin sin A A C A -+=+πA A 2cos sin +=.89)41(s i n2s i n 21s i n 22+--=-+=A A AF因为40π<<A ，所以 22sin 0<<A ，因此8989)41(sin 2222≤+--<A .由此可得C A sin sin +的取值范围是]89,22(.18. 解：（Ⅰ）记事件1A ={从甲箱中摸出的一个球是红球}，2A ={从乙箱中摸出的一个球是红球}，1B ＝{顾客抽奖一次获一等奖}，2B ＝{顾客抽奖一次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖一次能获奖}.由题意1A 与2A 相互独立，21A A 与21A A 互斥，1B 与2B 互斥，且 211A A B =，2B =21A A +21A A ，21B B C +=. 又因为52104)(1==A P ，21105)(2==A P ，所以 512152)()()()(21211=⨯===A P A P A A P B P ， )()()()(212121212A A P A A P A A A A P B P +=+=2121)521()211(52)()()()(2121=⨯-+-⨯=+=A P A P A P A P , 故所求概率为1072151)()()()(2121=+=+=+=B P B P B B P C P .(Ⅱ) 顾客抽奖3次可视为3次独立重复实验，由（Ⅰ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为51，所以)51,3(~B X ，于是 )3,2,1,0()54()51()(33===-K C K X P KK KX 的数学期望为553)(=⨯=X E . 19. 解法一： （Ⅰ）如图，取1AA 的中点R ，连结PR BR ,, 因为1AA ,1DD是梯形D D AA 11的两腰，点P 是1DD 的中点，所以AD PR //，于是由BC AD //知，BC PR //，所以C B R P ,,,四点共面. 由题设知 AB BC ⊥，1AA BC ⊥，A AA AB =1 ,所以⊥BC 平面11A ABB , ⊂1AB 平面11A ABB ，因此 1AB BC ⊥.因为11111tan 63tan AB A AA B A AB AR ABR ∠====∠,所以11AB A ABR ∠=∠，因此901111=∠+∠=∠+∠BAB AB A BABABR , 于是 1ABBR ⊥, 又已证得1AB BC ⊥，所以⊥1AB 平面BRPC ,显然有⊂PQ 平面BRPC , 故 PQ AB ⊥1.DB(Ⅱ) 如下图，过点P 作1//AA PM 交AD 于点M ，则//PM 平面11A ABB ， 因为⊥1AA 底面ABCD ，所以⊥PM 底面ABCD ，过点M 作QD MN ⊥于点N ，连结PN ，则QD PN ⊥，PNM ∠是二面角A QD P --的平面角. 所以 73cos =∠PNM ，即 73=PN MN ，从而340=MN PM . 连结MQ ，由//PQ 平面11A ABB 及//PM 平面11A ABB 知，平面//PQM 平面11A ABB ，所以AB MQ //，又ABCD 是正方形，所以ABQM 是矩形，故MQ=AB=6. 设MD ＝t ，则.366222ttMD MQ MD MQ MN +=+⋅=过点1D 作A A E D 11//交AD 于点E ，则E D AA 11是矩形，所以 611==AA E D ，311==D A AE ，因此 3=-=AE AD DE . 于是21==DEED MD PM , 所以t MD PM 22==，从而t t t MN PM 63623402+⨯==，解得2=t ，所以4=PM . 故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ .解法二：由题设知AB AD AA ,,1G 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标为)0,0,0(A ，)6,0,3(1B ，)0,6,0(D ，)6,3,0(1D , )0,,6(m Q ，其中m BQ =，60≤≤m .(Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，则)3,29,0(P ，)3,29,6(--=m PQ ，又)6,0,3(1=AB ，于是018181=-=⋅, 所以AB ⊥1，即PQ AB ⊥1.(Ⅱ) 由题设知，)0,6,6(-=m , )6,3,0(1-=DD 是平面PQD 内两个不共线的向量，设),,(1z y x n =是平面PQD 的一个法向量，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0111DD n 即⎩⎨⎧=+-=-+063,0)6(6z y y m x 取6=y ，得)3,6,6(1m n -=. 又平面AQD 的一个法向量是BD)1,0,0(2=n ，所以45)6(336)6(3||||,cos 2222212121+-=++-=⋅>=<m m n n n n ，而二面角A QD P --的余弦值为73，所以7345)6(32=+-m ，解得m=4或m=8(舍去)，此时)0,4,6(Q . 再设)10(1≤<=λλDD ，而)6,3,0(1-=DD ，由此得到)6,36,0(λλ-P ，)6,23,6(λλ--=. 因为//PQ 平面11A ABB ，且平面11A ABB 的一个法向量是)0,1,0(3=n ，所以 0233=-=⋅λn ，32=λ，从而)4,4,0(P .于是，将四面体ADPQ 视为ADQ ∆为底面的三棱锥ADQ P -，其高4=h ，故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ .20. 解：(Ⅰ) 由1C y x 4:2=知其焦点F 的坐标为（0，1），因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以 122=-b a （1）又1C 与2C 的公共弦长为62，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为y x 42=，由此易知1C 与2C 的公共点坐标为)23,6(±，所以164922=+ba （2） 联立（1）（2）得8,922==b a ，故2C 的方程为18922=+x y . (Ⅱ) 如图，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，),(44y x D .(i )因AC 与同向，且 ||||BD AC =，所以 =，从而 2413x x x x -=-，即4321x x x x -=-，于是43243212214)(4)(x x x x x x x x -+=-+. （3） 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y .由⎩⎨⎧=+=yx kx y 4,12 得0442=--kx x ，而21,x x 是这个方程的两根，所以 4,42121-==+x x k x x （4）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=189,122x y kx y 得06416)89(22=-++kx x k ，而43,x x 是这个方程的两根，所以2212438964,8916kx x k k x x +-=+-=+ （5）将(4)(5)代入(3)得 22222289644)89(16)1(16k k k k +⨯++=+，即22222)89()1(916)1(16k k k ++⨯=+， 所以 916)89(22⨯=+k ，解得 46±=k ，即直线l 的斜率为46±. (ii )由 y x 42=得 2'xy =，所以1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x x y y -=-，即42211x x x y -=，令0=y 得21x x =，即)0,2(1x M ，所以)1,2(1-=x ，而)14,(211-=x x ，于是014)14(2212121>+=--=⋅x x x ，因此AFM ∠总是锐角，从而AFM MFD ∠-=∠ 180是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.21. 解：(Ⅰ) )cos sin (cos sin )('x x a e x e x ae x f ax ax ax +=+=)sin(12ϕ+⋅+=x e a ax ，其中a 1tan =ϕ，20πϕ<<. 令 0)('=x f ，由0≥x 得 πϕm x =+，即*,N m m x ∈-=ϕπ.对N k ∈，若πϕπ)12(2+<+<k x k ，即ϕπϕπ-+<<-)12(2k x k ，则0)('>x f ;若πϕπ)22()12(+<+<+k x k ，即ϕπϕπ-+<<-+)22()12(k x k ，则0)('<x f . 因此，在区间),)1((ϕππ--m m 与),(πϕπm m -上，)('x f 的符号总相反，于是，当*,N m m x ∈-=ϕπ时，)(x f 取得极值，所以*,N n n x n ∈-=ϕπ. 此时，)(1)()1()sin()(ϕπϕπϕπ-+--=-=n a n n a n e n e x f ，易知0)(≠n x f ，且πϕπϕπa n a n n a n n n e ee xf x f -=--=-+-+++)(1])1[(21)1()1()()(是常数，故数列)}({n x f 是首项为ϕϕπsin )()(1-=a e x f ，公比为πa e -的等比数列.(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，11sin 2+=a ϕ，于是对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立，即)(211ϕπϕπ-+<-n a e a n 恒成立，等价于)(1)(2ϕπϕπ-<+-n a e a a n a （*）恒成立（因为a>0）. 设)0()(>=t t e t g t ，则0)1()('2=-=t t e t g t 得1=t ，当10<<t 时，0)('<t g ，所以)(t g 在)1,0(上单调递减；当1>t 时，0)('>t g ，所以)(t g 在),1(∞+上单调递增.从而当1=t 时，函数)(t g 取得最小值e g =)1(. 因此，要使（*）式恒成立，只需e g a a =<+)1(12，即只需112->e a . 而当112-=e a 时，由311t a n 2>-==e a ϕ且由20πϕ<<知，23πϕπ<<. 于是1322-<<-e πϕπ，第11页 共11页且当2≥n 时，12322->>-≥-e n πϕπϕπ，因此，对一切*N n ∈，112≠--=e n ax n ϕπ，所以a a e g ax g n 1)1()(2+==>，故（*）式也恒成立. 综上所述，若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立.。
2015年高考文科数学湖南卷(含详细答案)
20.（本小题满分13分）
已知抛物线C:x24y的焦点F也是椭圆C:
12
y2x2
a2b21(ab0)的一个焦点,C1
无
--------------------量x,y满足约束条件yx≤1,则z2xy的最小值为()
A.1B.0C.1D.2
C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
9.已知点A,B,C在圆x2y21上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则
|PAPBPC|的最大值为()
121212
各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.
（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果;
（Ⅱ）有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认
为正确吗?请说明理由.
效
数学试卷第1页（共36页）
数学试卷第2页（共36页）
数学试卷第3页（共36页）
17.（本小题满分12分）
C的极坐标方程为2sin,则曲线C的直角坐标方程为.
13.若直线3x4y50与圆x2y2r2(r0)相交于A,B两点,且AOB120(O为
坐标原点),则r.
14.若函数f(x)|2x2|b有两个零点,则实数b的取值范围是.
15.已知0,在函数y2sinx与y2cosx的图象的交点中,距离最短的两个交点的
A.6B.7C.8D.9
10.某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新
工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为
A.8
9π
B.8
27π
24(21)3
C.
π
D.8(21)3
湖南省长沙市雅礼教育集团度七年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版-新人教版初中七年级全册数学试
word某某省某某市雅礼教育集团2015-2016学年度七年级数学上学期期中试题一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一像是符合题意的，共10小题，每小题3分，满分30 分）1．在下列有理数中，﹣、2.03456、6、0、，正分数的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．12．下列关于单项式的说法中，正确的是（）A．系数是1，次数是2 B．系数是，次数是2C．系数是，次数是3 D．系数是，次数是33．下列说法正确的是（） A．0 是最小的有理数 B．一个有理数不是正数就是负数C．分数不是有理数 D．没有最大的负数4．我国第一艘航空母舰某某航空舰的电力系统可提供14 000 000 瓦的电力．14 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．14×106 ×107 ×108 ×1085．下列方程中，是一元一次方程的是（）A．x+y=1 B．x2﹣x=1C．+1=3x D．+1=36．已知x=2是关于x的方程2x﹣m=1 的解，则m的值是（）A．﹣3 B．3 C．2 D．77．如果a﹣b=0，那么下列结论中不一定成立的是（）A．=1 B．a2=b2C．2a=a+b D．a2=ab8．若x为有理数，则丨x丨﹣x表示的数是（）A．正数B．非正数C．负数D．非负数9．如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）A．点MB．点NC．点P D．点Q10．如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个相同长方形的两边长（x＞y），给出以下关系式：①x+y=m；②x﹣y=n；③xy=．其中正确的关系式的个数有（）A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．写出一个比﹣1大的负数．12．某种商品原价每件b元，第一次降价打八折，第二次降价每件又减10元，第二次降价后的售价是元．13．在数轴上，与表示﹣3的点距离2个单位长度的点表示的数是．14．如果关于x、y的单项式﹣x2y m+2与x n y的和仍然是一个单项式，则m+n的值是．15．当x=1时，代数式x2+x+m的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是．16．定义一种新的运算“*”，a*b=a•b，则方程（x*3）*2=1的解为．17．观察一组等式的规律：1×3+1=22，2×4+1=32，3×5+1=42，4×6+1=52…，则第n个等式为：．18．已知多项式2x2﹣4xy﹣y2与﹣4kxy+5的差中不含xy项，则k的值是．三、解答题（本大题共7 小题，总分66 分，满分66分）19．计算：（1）0.1+（﹣0.001）×|﹣+ |；﹣22+4+（﹣3）3×（﹣）2；（3）﹣x+﹣（3x+5）；（4）﹣4（﹣x2+）．20．解方程（1）9﹣3a=5a+5；﹣b+1=b+×6．21．先化简，再求值：5x2y+4﹣3x2y﹣（5xy2+2x2y﹣5）+4xy2，其中 x=3，y=﹣1．22．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，试化简：|c﹣b|﹣|a﹣b|+|c|．23．某校2015～2016学年度七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？24．（1）比较下列各式的大小（用＜或＞或=连接）①|﹣2|+|3||﹣2+3|；②|﹣2|+|﹣3||﹣2﹣3|；③|﹣2|+|0||﹣2+0|；通过以上的特殊例子，请你分析、补充、归纳，当a、b为有理数时，|a|+|b|与|a+b|的大小关系；（3）根据上述结论，求当|x|+2015=|x﹣2015|时，x的取值X围．25．点A 从原点出发沿数轴向左运动，同时，点B也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，两点的距离是15，已知点B的速度是A的速度的4 倍（1）求出点A、点B 的速度，并在数轴上标出A、B 两点从原点出发运动3秒时的位置．若 A、B 两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点A、点B的正中间？某某省某某市雅礼教育集团2015～2016学年度七年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一像是符合题意的，共10小题，每小题3分，满分30 分）1．在下列有理数中，﹣、2.03456、6、0、，正分数的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】正数和负数；有理数．【分析】根据有理数的分类，直接判断即可．【解答】解：根据有理数的分类，既是正数又是分数，正分数有：2.03456、，有两个．故选：C．【点评】本题主要考查有理数的分类，熟记有理数的分类是解决此类问题的关键．2．下列关于单项式的说法中，正确的是（）A．系数是1，次数是2 B．系数是，次数是2C．系数是，次数是3 D．系数是，次数是3【考点】单项式．【分析】根据单项式系数及次数的定义进行解答即可．【解答】解：∵单项式的数字因数是﹣，所有字母指数的和=1+2=3，∴此单项式的系数是﹣，次数是3．故选D．【点评】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键．3．下列说法正确的是（） A．0 是最小的有理数 B．一个有理数不是正数就是负数C．分数不是有理数 D．没有最大的负数【考点】有理数．【分析】根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）．【解答】解：A、没有最小的有理数，故本选项错误； B、一个有理数不是正数就是负数或0，故本选项错误； C、分数是有理数，故本选项错误； D、没有最大的负数，故本选项正确；故选D．【点评】此题考查了有理数，掌握有理数的分类和定义是本题的关键，是一道基础题．4．我国第一艘航空母舰某某航空舰的电力系统可提供14 000 000 瓦的电力．14 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．14×106 ×107 ×108 ×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于14 000000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．【解答】解：14 000×107．故选B．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．5．下列方程中，是一元一次方程的是（）A．x+y=1 B．x2﹣x=1C．+1=3x D．+1=3【考点】一元一次方程的定义．【分析】根据一元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、是二元一次方程，故本选项错误；B、是二元二次方程，故本选项错误； C、符合一元一次方程的定义，故本选项正确； D、是分式方程，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键．6．已知x=2是关于x的方程2x﹣m=1 的解，则m的值是（）A．﹣3 B．3 C．2 D．7【考点】一元一次方程的解．【分析】把x=2代入方程，即可得出关于m的方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵x=2是关于x的方程2x﹣m=1的解，∴代入得：4﹣m=1，解得：m=3，故选B．【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的应用，能根据题意得出关于m的方程是解此题的关键．7．如果a﹣b=0，那么下列结论中不一定成立的是（）A．=1 B．a2=b2C．2a=a+b D．a2=ab【考点】等式的性质．【分析】根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0 数（或字母），等式仍成立，可得答案．【解答】解：A、b=0时，两边都除以b无意义，故A符合题意；B、相等两数的平方相等，故B正确；C、两边都加（a+b），故C正确；D、两边都加b 都乘以a，故D 正确；故选：A．【点评】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．8．若x为有理数，则丨x丨﹣x表示的数是（）A．正数B．非正数C．负数D．非负数【考点】合并同类项；绝对值．【分析】先根据绝对值的定义化简丨x丨，再合并同类项．【解答】解：（1）若x≥0 时，丨x丨﹣x=x﹣x=0；若x＜0时，丨x丨﹣x=﹣x﹣x=﹣2x＞0；由（1）可得丨x 丨﹣x表示的数是非负数．故选D．【点评】解答此题要熟知绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0．9．如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）A．点MB．点NC．点P D．点Q【考点】有理数大小比较．【分析】先根据相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定绝对值最小的数即可．【解答】解：∵点 M，N表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在 O点，∴绝对值最小的数的点是P点，故选C．【点评】本题考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较的应用，解此题的关键是找出原点的位置，注意数形结合思想的运用．10．如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个相同长方形的两边长（x ＞y），给出以下关系式：①x+y=m；②x﹣y=n；③xy= ．其中正确的关系式的个数有（）A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个【考点】平方差公式的几何背景．【分析】利用大正方形的边长=长方形的长+长方形的宽，小正方形的边长=长方形的长一长方形的宽，大正方形的面积一小正方形的面积=4个长方形的面积判定即可．【解答】解：由图形可得：①大正方形的边长=长方形的长+长方形的宽，故x+y=m正确；②小正方形的边长=长方形的长一长方形的宽，故x﹣y=n正确；③大正方形的面积一小正方形的面积=4 个长方形的面积，故xy=正确．所以正确的个数为3．故选：D．【点评】本题主要考查了平方差的几何背景，解题的关键是正确分析图形之间的边长及面积关系．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．写出一个比﹣1大的负数﹣（答案不唯一）．【考点】有理数大小比较．【专题】开放型．【分析】根据有理数的大小比较法则即可得出答案．【解答】解：根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，如：﹣，答案不唯一．故答案为：﹣，答案不唯一．【点评】此题考查了有理数的大小比较，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是本题的关键．12．某种商品原价每件b元，第一次降价打八折，第二次降价每件又减10元，第二次降价后的售价是0.8b﹣10 元．【考点】列代数式．【专题】推理填空题．【分析】根据某种商品原价每件b元，第一次降价打八折，可知第一次降价后的价格为0.8b，第二次降价每件又减10元，可以得到第二次降价后的售价．【解答】解：∵某种商品原价每件 b元，第一次降价打八折，∴第一次降价后的售价为：0.8b．∵第二次降价每件又减 10元，∴第二次降价后的售价是0.8b﹣10．故答案为：0.8b﹣10．【点评】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，能列出每次降价后的售价．13．在数轴上，与表示﹣3 的点距离 2 个单位长度的点表示的数是﹣5或﹣1 ．【考点】数轴．【专题】探究型．【分析】由于所求点在﹣3 的哪侧不能确定，所以应分在﹣3 的左侧和在﹣3的右侧两种情况讨论．【解答】解：当所求点在﹣3的左侧时，则距离2个单位长度的点表示的数是﹣3﹣2=﹣5；当所求点在﹣3的右侧时，则距离2个单位长度的点表示的数是﹣3+2=﹣1．故答案为：﹣5 或﹣1．【点评】本题考查的是数轴的特点，即数轴上右边的点表示的数总比左边的大．14．如果关于x、y的单项式﹣x2y m+2与x n y的和仍然是一个单项式，则m+n的值是 1 ．【考点】同类项．【分析】根据同类项的定义，单项式x2y m+2与﹣3x n y的和仍然是一个单项式，意思是x2y m+2与﹣3x n y 是同类项，根据同类项中相同字母的指数相同得出．【解答】解：∵关于x、y 的单项式﹣x2y m+2与x n y的和仍然是一个单项式，∴单项式﹣x2y m+2 与 x n y是同类项，∴n=2，m+2=1，∴m=﹣1，n=2，∴m+n=1，故答案为：1．【点评】此题主要考查了同类项定义，同类项定义中的三个“相同”：所含字母相同，相同字母的指数相同，是易混点，因此成了2016届中考的常考点．15．当x=1时，代数式x2+x+m的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是5 ．【考点】代数式求值．【分析】将x=1代入得到关于m的方程，从而可求得m的值，然后将x=﹣1代入计算即可．【解答】解：将x=1代入得：12+1+m=7，解得：m=5．所以代数式x2+x+m=x2+x+5．当x=﹣1时，x2+x+5=（﹣1）2+（﹣1）+5=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查的是求代数式的值，求得m的值是解题的关键．16．定义一种新的运算“*”，a*b=a•b，则方程（x*3）*2=1的解为．【考点】解一元一次方程．【专题】新定义．【分析】利用题中的新定义化简所求方程，求出方程的解即可．【解答】解：根据题中的新定义化简（x*3）*2=1得：3x•2=1，解得：x=；故答案为：．【点评】本题考查了新定义运算、一元一次方程的解法；根据新定义运算得出方程是解决问题的关键．17．观察一组等式的规律：1×3+1=22，2×4+1=32，3×5+1=42，4×6+1=52…，则第 n 个等式为：n（n+2）+1=（n+1）2 ．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】根据1×3+1=22，2×4+1=32，3×5+1=42，4×6+1=52…，判断出每个加数、和的特征，求出第n 个等式即可．【解答】解：∵1×3+1=22，2×4+1=32，3×5+1=42，4×6+1=52…，∴第n个等式为：n（n+2）+1=（n+1）2．故答案为：n（n+2）+1=（n+1）2．【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结规律，并能正确的应用规律．18．已知多项式2x2﹣4xy﹣y2与﹣4kxy+5的差中不含xy项，则k的值是1 ．【考点】整式的加减．【分析】先根据题意列出整式相加减的式子，再合并同类项，令xy的系数为0即可得出k的值．【解答】解：﹣（﹣4kxy+5）=2x2﹣4xy﹣y2+4kxy﹣5=2x2﹣（4﹣4k）xy﹣y2+﹣5，∵多项式2x2﹣4xy﹣y2与﹣4kxy+5的差中不含xy项，∴4﹣4k=0，解得k=1．故答案为：1．【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．三、解答题（本大题共7 小题，总分66 分，满分66分）19．计算：（1）0.1+（﹣0.001）×|﹣+|；﹣22+4+（﹣3）3×（﹣）2；（3）﹣x+﹣（3x+5）；（4）﹣4（﹣x2+）．【考点】有理数的混合运算；整式的加减．【专题】计算题；实数．【分析】（1）原式先计算绝对值运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果；原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果；（3）原式去括号合并即可得到结果；（4）原式去括号合并即可得到结果．【解答】×=0.1﹣0.0008=0.0992；原式=﹣4+4﹣12=﹣12；（3）原式=﹣x+2x﹣2﹣3x﹣5=﹣2x﹣7；（4）原式=2x2﹣+4x2﹣2=6x2﹣．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．解方程（1）9﹣3a=5a+5；﹣b+1=b+×6．【考点】解一元一次方程．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】（1）方程移项合并，把a系数化为1，即可求出解；方程去分母，去括号，移项合并，把b 系数化为1，即可求出解．【解答】解：（1）移项合并得：8a=4，解得：a=0.5；去分母得：﹣3b+6=4b+24，移项合并得：7b=﹣18，解得：b=﹣．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．先化简，再求值：5x2y+4﹣3x2y﹣（5xy2+2x2y﹣5）+4xy2，其中 x=3，y=﹣1．【考点】整式的加减—化简求值．【专题】计算题；整式．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=5x2y+4﹣3x2y﹣5xy2﹣2x2y+5+4xy2=﹣xy2+9，当x=3，y=﹣1时，原式=﹣3+9=6．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，试化简：|c﹣b|﹣|a﹣b|+|c|．【考点】整式的加减；数轴；绝对值．【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵由图可知，c＜b＜0＜a，∴c﹣b＜0，a﹣b＞0，∴原式=b﹣c﹣a+b﹣c=﹣a+2b﹣2c．【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．23．某校2015～2016学年度七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？【考点】一元一次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】设每件衬衫降价x元，根据销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标，列出方程求解即可．【解答】解：设每件衬衫降价x元，依题意有120×400+（120﹣x）×100=80×500×（1+45%），解得x=20．答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程求解．24．（1）比较下列各式的大小（用＜或＞或=连接）①|﹣2|+|3| ＞|﹣2+3|；②|﹣2|+|﹣3| = |﹣2﹣3|；③|﹣2|+|0| = |﹣2+0|；通过以上的特殊例子，请你分析、补充、归纳，当a、b为有理数时，|a|+|b|与|a+b|的大小关系；（3）根据上述结论，求当|x|+2015=|x﹣2015|时，x的取值X围．【考点】绝对值．【分析】（1）依据绝对值的性质计算即可；通过计算找出其中的规律即可得出答案；（3）依据结论求解即可．【解答】解：（1）①|﹣2|+|3|=2+3=5，|﹣2+3|=1，故|﹣2|+|3|＞|﹣2+3|；②|﹣2|+|﹣3|=2+3=5，|﹣2﹣3|=|﹣5|=5，故|﹣2|+|﹣3|=|﹣2﹣3|；③|﹣2|+|0|=2，|﹣2+0|=2，故|﹣2|+|0|=|﹣2+0|．故答案为：①＞；②=；③=．当a，b异号时，|a|+|b|＞|a+b|，当a，b 同号时（包括零），|a|+|b|=|a+b|，∴|a|+|b|≥|a+b|；（3）∵|x|+2015=|x﹣2015|，∴|x|+|﹣2015|=|x﹣2015|．由可知：x 与﹣2015同号，∴x≤0．【点评】本题主要考查的是绝对值的性质，找出其中的规律是解题的关键．25．点A 从原点出发沿数轴向左运动，同时，点B也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，两点的距离是15，已知点B的速度是A的速度的4 倍（1）求出点A、点B 的速度，并在数轴上标出A、B 两点从原点出发运动3秒时的位置．若 A、B 两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点A、点B的正中间？【考点】一元一次方程的应用；数轴．【分析】（1）设点A的速度为每秒t 个单位，则点B的速度为每秒4t 个单位，由甲的路程+乙的路程=总路程建立方程求出其解即可；设x秒时原点恰好处在点A、点B的正中间，根据两点离原点的距离相等建立方程求出其解即可．【解答】解：（1）设点A的速度为每秒t个单位，则点B的速度为每秒4t个单位，由题意，得3t+3×4t=15，解得：t=1，∴点A的速度为每秒1个单位长度，则点B的速度为每秒4 个单位长度．如图：设x秒时原点位于线段AB 之间且分线段AB为1：2，由题意，得 3+x=12﹣4x，解得：x=1.8，秒时，原点恰好处在点A、点B 的正中间．【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用、数轴的运用、行程问题的相遇问题和追及问题的数量关系的运用，解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键．。
湖南省衡阳市2015年初中毕业学业水平考试数学试题(附答案)
湖南省衡阳市2015年初中毕业学业水平考试数学（本试卷满分120分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算(－1)0＋|－2|的结果是（）A．－3 B．1 C．－1 D．3答案：D 【解析】本题考查零指数幂和绝对值，难度较小．(－1)0＋|－2|＝1＋2＝3，故选D．2．下列计算正确的是（）A．a＋a＝2a B．b3·b3＝2b3C．a3÷a＝a3D．(a5)2＝a7答案：A 【解析】本题考查整式的运算，难度较小．a＋a＝2a，b3·b3＝b6，a3÷a＝a2，(a5)2＝a10，故选A．3．如图的几何体是由一个圆柱体和一个长方体组成的，则这个几何体的俯视图是（）A B C D答案：C 【解析】本题考查几何体的俯视图，难度较小．该几何体的俯视图是矩形内有一个圆，故选C．4．若分式的值为0，则x的值为（）A．2或－1 B．0 C．2 D．－1答案：C 【解析】本题考查分式方程的求解，难度较小．，则x－2＝0且x＋1≠0，解得x＝2，故选C．5．函数中自变量x的取值范围为（）A．x≥0 B．x≥－1 C．x＞－1 D．x≥1答案：B 【解析】本题考查函数自变量的取值范围，难度较小．函数有意义，则x＋1≥0，解得x≥－1，故选B．6．不等式组的解集在数轴上表示为（）A B C D答案：B 【解析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，难度较小．∵不等式组的解集为－2≤x＜1，点－2在数轴上用实心，点1用空心，故选B．7．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．16 C．17 D．16或17答案：D 【解析】本题考查等腰三角形的周长，难度较小．等腰三角形的两边长分别为5和6，则等腰三角形的腰可以为5或6，当腰为5时，周长16；当腰为6时，周长为17，故选D．8．若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为（）A．－2 B．2 C．4 D．－3答案：A 【解析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，难度较小．设方程的另一根为b，则b－1＝－3，∴b＝－2，即方程的另一根为－2，故选A．9．下列命题是真命题的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形答案：A 【解析】本题考查真命题的判定，难度较小．对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等垂直且互相平分的四边形是正方形，只有A正确，故选A．10．在2015年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（）A．50元，30元B．50元，40元C．50元，50元D．55元，50元答案：C 【解析】本题考查众数和中位数，难度较小．数据50，20，50，30，25，50，55中50有3个，∴这组数据的众数是50元，按从小到大的次序排列后为20，25，30，50，50，50，55，∴这组数据的中位数是50元，故选C．11．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（）A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900答案：B 【解析】本题考查一元二次方程的实际应用，难度中等．绿地的宽为x米，则绿地的长为(x＋10)米，∵矩形绿地的面积为900平方米，∴可列方程x(10＋x)＝900，故选B．12．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A．B．51C．D．101答案：C 【解析】本题考查解直角三角形的应用，难度中等．由题意知CE＝100米，∠ACE＝30°，∠AEG＝60°，∴AE＝CE＝100米，∴．∵BG＝1，∴米，故选C．第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中的横线上）13．在－1，0，－2这三个数中，最小的数是_________．答案：－2 【解析】本题考查有理数的大小比较，难度较小．0大于负数，两个负数相比绝对值大的反而小，∴在－1，0，－2中最小的数是－2．14．如图，已知直线a∥b，∠1＝120°，则∠2的度数是_________．答案：60°【解析】本题考查平行线的性质，难度较小．∵a∥b，∴∠1＋∠2＝180°．∵∠1＝120°，∴∠2＝60°．15．计算：_________．答案：【解析】本题考查二次根式的减法，难度较小．．16．方程的解为_________．答案：x＝－1 【解析】本题考查解分式方程，难度较小．去分母得x－2＝3x，移项得x－3x＝2，合并同类项得－2x＝2，系数化为1得x＝－1，经检验x＝－1是原方程的根．17．圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为_________（结果保留π）．答案：3π【解析】本题考查扇形的面积，难度较小．圆心角为120°的扇形的半径为3，则扇形的面积为．18．如图，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A，B两点的点O处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得MN＝20 m，则池塘的宽度AB为_________m．答案：40 【解析】本题考查中位线的性质，难度较小．∵M，N分别为OA，OB的中点，MN＝20 m，∴AB＝2MN＝40 m．19．已知a＋b＝3，a－b＝－1，则a2－b2的值为_________．答案：－3 【解析】本题考查代数式求值，难度较小．∵a＋b＝3，a－b＝－1，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝－3．20．如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△A n B n A n＋1都是等腰直角三角形，其中点A1，A2，…，A n在x轴上，点B1，B2，…，B n在直线y＝x上．已知OA1＝1，则OA2015的长为_________．答案：22014【解析】本题考查等腰直角三角形的性质、正比例函数、相似三角形的规律探究，难度中等．由题意知∠B1OA1＝45°，所有的等腰直角三角形均相似，∵OA1＝1，∴A1B1＝1，∴A2B2＝2，A3B3＝22，A4B4＝23，A5B5＝24，……，A n B n＝2n－1，∴OA2015＝22014．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）21．（本小题满分6分）先化简，再求值．a(a－2b)＋(a＋b)2，其中a＝－1，．答案：本题考查利用二次根式进行整式的化简求值，难度较小．解：a(a－2b)＋(a＋b)2＝a2－2ab＋a2＋2ab＋b2＝2a2＋b2，（4分）当a＝－1，时，．（6分）22．（本小题满分6分）为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格；根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答下列问题：扇形统计图条形统计图（1）在扇形统计图中，“合格”的百分比为_________；（2）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格”等级的学生有_________人；（3）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有_________人．答案：本题考查条形统计图、扇形统计图和用样本估计总体，难度较小．解：（1）40%．（2分）（2）16．（4分）（3）128．（6分）23．（本小题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(3，2)，B(3，5)，C(1，2)．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．①旋转角为多少度？②写出点B2的坐标．答案：本题考查图形的对称和旋转，难度较小．解：（1）如图所示．（2分）（2）①90．（4分）②B2(6，2)．（6分）24．（本小题满分6分）某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．答案：本题考查概率的计算，难度中等．解法一：列表法（4分）∴．（6分）解法二：画树状图（4分）∴．（6分）25．（本小题满分8分）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x ≤10时，y与x成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？答案：本题考查一次函数和反比例函数的实际应用，难度中等．解：（1）上升阶段：设y＝k1x，依题意得8＝4k1，k1＝2，∴y＝2x(0≤x≤4)．（3分）下降阶段：，依题意得，∴k2＝32，∴(4≤x≤10)．（5分）（2）由2x＝4得x＝2，∴A(2，4)，（6分）由得x＝8，∴B(8，4)，8－2＝6，故血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为6小时．（8分）26．（本小题满分8分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD 的延长线于点E．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．答案：本题考查圆的切线的判定、圆周角定理和菱形的判定，难度中等．解：（1）证明：∵点C，D为半圆O的三等分点，∴，∴∠DAB＝∠COB＝60°，∴AE∥CO．（2分）又∵CE⊥AE，∴CE⊥CO，∴CE为⊙O的切线．（4分）（2）四边形AOCD是菱形，理由如下：解法一：连接AC，∵，∴∠1＝∠2，∴DC∥AO．（6分）又∵AD∥CO，∴四边形AOCD是平行四边形．（7分）又∵AO＝CO，∴四边形AOCD是菱形．（8分）解法二：连接OD，易证△AOD和△COD为正三角形得AO＝OC＝CD＝DA．27．（本小题满分10分）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y＝x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．答案：本题考查一次函数、二次函数、直角三角形的判定和图形的平移的综合应用，难度较大．解：（1）当y＝0时，x＝－1，∴A(－1，0)．当x＝2时，y＝2＋1＝3，∴B(2，3)，（1分）依题意设抛物线的函数关系式y＝ax2＋c，则解得∴y＝x2－1．（3分）（2）△ABM为直角三角形，且∠BAM＝90°．解法一：易求M(0，－1)，C(0，1)，∴△AOM为等腰直角三角形，∴∠OAM＝45°，（4分）同理可求∠CAO＝45°，（5分）∴∠BAM＝90°，△ABM为直角三角形．（6分）解法二：过点B作BD⊥y轴于点D，BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得AB2＝32＋32＝18，BM2＝22＋42＝20，AM2＝12＋12＝2，（5分）∴AB2＋AM2＝BM2，∴△ABM为直角三角形且∠BAM＝90°．（6分）（3）设平移后的抛物线的函数关系式为y＝(x－m)2＋2m，依题意得有解，（8分）∴x2－2mx＋m2＋2m＝x，即x2－(2m＋1)x＋m2＋2m＝0有解，∴Δ＝[－(2m＋1)]2－4·1·(m2＋2m)＝4m2＋4m＋1－4m2－8m＝1－4m，（9分）当Δ≥0时，即1－4m≥0，解得，方程x2－2mx＋m2＋2m＝x总有实数根，∴当时，平移后的抛物线总有不动点．（10分）28．（本小题满分10分）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O，A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N连接ND，BM，OP＝t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）；（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由；（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．答案：本题考查正方形的性质、点的坐标、三角形全等与相似、二次函数的综合应用，难度较大．解：（1）过点M作ME⊥x轴于E点．∵PM⊥CP，∴∠1＋∠2＝90°．又∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3．（1分）又∵∠COP＝∠PEM，CP＝PM，∴△COP≌△PEM(AAS)，（2分）∴ME＝OP＝t，PE＝CO＝4，∴M(4＋t，t)．（3分）（2）MN的长度不随点P的位置变化而改变，理由如下：解法一：由B(4，4)可求得直线OB的函数关系式为y＝x．（4分）当y＝t时，x N＝t，∴N(t，t)，（5分）∴MN＝(4＋t)－t＝4．（6分）解法二：连接AM．∵四边形OABC为正方形，∴∠4＝45°．（4分）又由（1）知PE＝OA＝4，∴OP＝AE＝ME＝t，∴∠5＝45°，∴AM∥OB，∴四边形OAMN为平行四边形，（5分）∴MN＝OA＝4．（6分）解法三：易证△BNF为等腰直角三角形，∴NF＝BF，（4分）易证四边形AEMF为正方形，∴FM＝FA，（5分）∴MN＝NF＋FM＝BF＋FA＝AB＝4．（6分）（3）∵∠2＝∠3，∠COP＝∠PAD＝90°，∴△COP∽△PAD，∴，∴，（8分）∴，∴，（9分）当时，S四边形BNDM有最小值为6，故当t＝2时，四边形BNDM的面积有最小值6．（10分）综评：本套试卷覆盖面广，结构合理，难度中等，区分度明显．试题在考查方向上，体现注重基础、突出能力；在考查内容上，体现基础性、应用性、探究性和综合性．第1～10，13～17，19，21～23等题主要考查考生对数学基础知识内容的掌握和理解，第11，12，18，25等题主要考查数学知识的实际应用，第20题考查考生的规律探究，第26，27，28题侧重考查考生数学知识和数学思想方法的综合应用．。
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2015-2016学年湖南省郴州市湘南中学七年级(上)入学考试数学试卷及参考答案
29． （9 分）直接写出得数． 14÷35= 1.4﹣0.6= 5×0.2= + = × = 0.77+0.33= ×4+4× =
5﹣1.4﹣1.6= 2﹣ ﹣ =
30． （6 分）求未知数 x． ①6x+0.5×7=6.5 ②6×3﹣1.8x=7.2 ③（x﹣8）×25=1000 ④42：3=x：2． 31． （12 分）脱式计算，能简算的要简算． （1）807×99+807 （2） （3）0.6+3.1+5.4+6.9 （4） ．
时； 3800 平方米=
公
，比值是
．
7． （1 分）一项工作，甲乙合作 10 天可以完成，若甲单独做 30 天能完成，若乙 单独做，乙比甲少用 天． 平
8． （2 分） 用一张长 12.56 米， 宽 5 米的长方纸做一个圆柱， 圆柱的表面积 方米，体积 立方米． 人出勤．
9． （1 分）某班有学生 60 人，今天出勤率是 95%，有
26． （1 分）a 与 b 成反比例的条件是（
A．a÷b=c（一定） B．a+b=c （一定） C．a﹣b=c （一定） 定） 27． （1 分）圆是轴对称图形，它有（ A．1 B．3 C．4 D．无数条 ） ）条对称轴．
D．a×b=c（一
28． （1 分）下面是整除的算式是（ A．0.16÷0.2 B．18÷0.6 C．12÷6
四、计算题（40 分）
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2015湖南郴州中考数学试卷(含答案)
2015年湖南省郴州市中考数学试卷（满分130分，考试时间120分钟）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分。
） 1.（2015湖北郴州，1，3）2的相反数是 A. 21-B.21 C.﹣2 D. 2【答案】C2. （2015湖北郴州，2，3）计算(－3)2的结果是 A.﹣6 B. C.﹣9 D. 9 【答案】D3. （2015湖北郴州，3，3）下列计算正确的是 A. 43x x x =+B. 532x x x =⋅C. ()532x x =D. 339x x x =÷【答案】B4. （2015湖北郴州，4，3）下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是【答案】A5. （2015湖北郴州，5，3）下列图案是轴对称图形的是A B C D 【答案】A6. （2015湖北郴州，6，3）某同学在一次期末测试中，七科的成绩分别是92,100,96,93,96，98,95,则这位同学成绩的中位数和众数分别是A.93,96B.96,96C.96,100D.93,100 【答案】B7. （2015湖北郴州，7，3）如图为一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象，则下列正确的是 A.k ＞0，b ＞0 B. k ＞0，b ＜0 C. k ＜0，b ＞0 D. k ＜0，b ＜0【答案】C8. （2015湖北郴州，8，3）在矩形ABCD 中，AB =3，将△ABD 沿对角线BD 对折，得到△EBD ，DE 与BC 交于点F ，∠ADB =30°，则EF = A.3B. 32C.3D. 33【答案】A二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分.）9. （2015湖北郴州， 9，3）2015年5月在郴州举行的第三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会中，成交额高达32亿元，3200000000用科学记数法表示为____________. 【答案】3.2×10910. （2015湖北郴州， 10，3）已知圆锥的底面半径是1cm ，母线长为3cm ，则该圆锥的侧面积为____________cm 2. 【答案】3π11. （2015湖北郴州， 11，3）分解因式：2a 2－2=______. 【答案】2(a +1)( a －1)12. （2015湖北郴州， 12，3）函数21-=x y 中自变量x 的取值范围是____________. 【答案】x ≠2 13. （2015湖北郴州， 13，3）如图，已知直线m ∥n ，∠1=100°，则∠2的度数为____________.【答案】80°14. （2015湖北郴州， 14，3）如图，已知AB 是⊙O 上，若∠CAB =40°，则∠ABC 的度数为____________.【答案】50°15. （2015湖北郴州， 15，3）在m 2□6m □9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方式的概率为____________. 【答案】2116. （2015湖北郴州， 16，3）请观察下列等式的规律：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯31121311，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯513121531， ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯715121751，⎪⎭⎫⎝⎛-=⨯917121971，则=⨯++⨯+⨯+⨯101991751531311 ____________.【答案】10150三、解答题（17~19每题6分，20~23每题8分，24~25每题10分，26题12分，共82分）17．（2015湖北郴州， 17，6）︒--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-60sin 2320152101.【答案】原式=1232312=⨯-+-18. （2015湖北郴州， 18，6）解不等式组：()211231x x -≤-⎧⎪⎨+>⎪⎩①②，并把它的解集在数轴上表示出来.【答案】由①得，21≤x ，由②得，1->x ，所以不等式组的解集是-1<x <2119. （2015湖北郴州， 19，6）如图，点A (1，2)是正比例函数y 1= kx (k ≠0)与反比例函数2my x(m >0)的一个交点． (1)求正比例函数及反比例函数的表达式；(2)根据图象直接回答：在第一象限内，当x 取何值时，y 1 < y 2?【答案】（1）把点A(1，2)代入正比例函数y1= kx，得k=2 所以正比函数的表达式为y= 2x把点A(1，2)代入2myx，得m=2所以反比例函数的表达式为2 yx（2）0<x<120.（2015湖北郴州，20，8）郴州是某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本.为了了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计：A.艺术类；B.文学类；C.科普类；D.其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.（1）这次统计共抽取了______本书籍，扇形统计图中的m=______，∠α的度数是______ （2）请将条形统计图补充完整；（3）估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍.【答案】解：（1）∵A组的本数为40，占20%∴总人数为40÷20%=200（本）∵C组的本数为80∴m=80÷200×100=40∵D组的本数为20∴∠α=20÷200×360°=36°（2）B组的本数=200-40-80-20=60（本）（3）3000×60200＝900（本） 答:估计全校师生共捐赠了300本文学类书籍.21. （2015湖北郴州， 21，8）自2014年12月启动“绿茵行动，青春聚力”郴州共青林植树活动以来，某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元.已知桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵数. 【答案】解：设樱花树的单价为x 元，根据题意，得 ()30007000300030150%x x -+=+解得 x=200经检验x=200是所列分式方程的根且符合题意则7000300020200-=（棵）答：樱花树的单价是200元，棵数为20棵.22. （2015湖北郴州， 22，8）如图，要测量A 点到河岸BC 的距离，在B 点测得A 点在B 点的北偏东30°方向上，在C 点测得A 点在C 点的北偏西45°方向上，又测得BC =150m .求A 点到河岸BC 的距离.（结果保留整数）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）【答案】解：如图，过点A 做AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长为点A 到河岸BC 的距离. 由题意知∠BAD =30°，∠CAD =45°， ∴在Rt △ADC 中，CD =AD ,在Rt △ABD 中,BD =ADtan 30°，∵BD+CD=150∴AD+AD tan30°=150即311503AD⎛⎫+=⎪⎪⎝⎭解得450450953 1.7333AD=≈≈++（m）答：A点到河岸BC的距离是95 m.23.（2015湖北郴州，23，8）如图，AC是□ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E,F.（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由.【答案】(1)证明：∵在□ABCD中，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO.∵点O是AC的中点，∴AO=CO.又∵∠EOA=∠FOC,∴△AOE≌△COF.(2)当EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形.理由如下：由（1）知△AOE≌△COF∴OE=OF又∵AO=CO∴四边形AFCE是平行四边形.∴当EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形.24.（2015湖北郴州，24，10）阅读下面的材料：如果函数y= f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是增函数；（2） 若x 1＜x 2，都有f (x 1)＜ f (x 2)，则称f (x )是减函数； 例题：证明函数()xx f 2=（x ＞0）是减函数.证明：假设x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0， f (x 1)﹣f (x 2)=()211221122122222x x x x x x x x x x -=-=- ∵x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0，∴x 2-x 1＞0，且x 1x 2＞0， ∴()21122x x x x -＞0，即f (x 1)＞ f (x 2) ∴函数()xx f 2=（x ＞0）是减函数.根据以上材料，解答下面的问题： （1）函数()21x x f =（x ＞0），()11112==f ，()412122==f . 计算：()=3f _______，()=4f _______，猜想()21x x f =（x ＞0）是_______函数（填“增”或“减”）（2）请仿照材料中的例题证明你的猜想. 【答案】（1）()913132==f ，()1614142==f .（2）证明：假设x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0，f (x 1)﹣ f (x 2)= ()()2221121222212122222111x x x x x x x x x x x x -+=-=- ∵x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0，∴x 2-x 1＞0，且x 1x 2＞0， ∴()()22211212x x x x x x -+＞0，即f (x 1)＞ f (x 2)∴函数()21xx f =（x ＞0）是减函数.25. （2015湖北郴州， 25，10）如图，已知抛物线经过点A （4，0），B （0，4），C （6，6）. （1）求抛物线的表达式；（2）证明：四边形AOBC 的两条对角线互相垂直；（3）在四边形AOBC 的内部能否截出面积最大的□DEFG ？（顶点D,E,F,G 分别在线段AO ，OB,BC,CA 上，且不与四边形AOBC 的顶点重合）若能，求出□DEFG 的最大面积，并求出此时点D 的坐标；若不能请说明理由.【答案】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)由已知条件，得416403666ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得231134abc⎧=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎩（2）证明：设直线OC的表达式为y＝kx(k≠0)把点C（6,6）代入上式，得6=6k，解得k=1，∵直线OC的表达式为y＝x∴OC平分∠AOB又∵OA=OB=4∴OC⊥AB即四边形AOBC的两条对角线互相垂直.（3）能设点D的坐标为（m，0），如图，过点D作DE∥AB，交OB于点E，过点E作EF∥OC，交BC于点F，过点F作FG∥AB，交AC于点G，连接DG，则四边形DEFG是平行四边形.又OC⊥AB则□DEFG是矩形.设矩形DEFG的面积为S.易得：DE=2m，OC=26∵EF ∥OC ∴OB BEOC EF =即4426m EF -= 解得EF ()m -=422∴()()()1223434223222+--=--=-⋅=⋅=m m m m m EF DE S ∴当m=2时，□DEFG 的面积最大，且最大面积为12，此时点D 的坐标为（2，0）26. （2015湖北郴州， 26，12）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ⊥AB ，AD =4cm ，DC =5cm ,AB =8cm .如果点P 由B 点出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点Q 由A 点出发沿AB 方向向点B 匀速运动，它们的速度均为1cm /s .当P 点到达C 点时，两点同时停止运动.连接PQ ，设运动时间为ts .解答下列问题： （1）当t 为何值时，P ，Q 两点同时停止运动？（2）设△PQB 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值； （3）当△PQB 为等腰三角形时，求t 的值.【答案】解：（1）如图，作CE ⊥AB 于点E ，∵CD ∥AB ，DA ⊥AB ∴四边形AECD 是矩形；∴AE =CD =5，CE =AD =4∴BE =AB -AE =8-5=3 在Rt △CBE 中，5432222=+=+=CE BE BC ∴t =15=5s 即P 、Q 两点同时停止运动.（2）如图，作PF ⊥AB 于点F ，根据题意，得AQ =t ,BQ =8-t ,BP =t . ∵△BPF ∽△BCE ∴BC BP CE PF =即54t PF = ∴54t PF = ∴t PF 54=S △PQB =PF BQ ⋅21=()()532452548212+--=⋅-t t t当t =4时，△PQB 的面积最大，且S max =532(3)i.若BP =BQ ，则t =8-t ，∴t =4s ;ii.若QP =QB ,则53821=-t t，t =1148 s全面有效 学习载体 iii.若PQ =PB ，则()53821=-t t ，t =1140 s 综合以上，当t 等于4s ，1148 s ，1140 s 时，△PQB 为等腰三角形.。
2015年湖南省高考理科数学试卷和答案(分开
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的．1．已知2(1)1i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =( ) A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --2．设A ，B 是两个集合，则“A B A =”是“A B ⊆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( ) A ．76B ．73C ．98D ．944．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x ，则y x z -=3的最小值为( )A ．7-B ．1-C ．1D ．25． 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=，则)(x f 是( )A ． 奇函数，且在)1,0(是增函数B ． 奇函数，且在)1,0(是减函数C ． 偶函数，且在)1,0(是增函数D ． 偶函数，且在)1,0(是减函数 6．已知5)(xa x -的展开式中含23x 的项的系数为30，则=a ( )A ．3B ．3-C ．6D ．6-7． 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)1,0(N 的密度曲线）的点的个数的估计值为( )A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P , 9544.0)22(=+≤<-σμσμX P ．8． 已知点A ，B ，C 在圆122=+y x 上运动，且BC AB ⊥ ． 若点P 的坐标为)0,2(, 则||PC PB PA ++的最大值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．99． 将函数x x f 2sin )(=的图象向右平移ϕ)20(πϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图象，若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x ，2x ，有3||min 21π=-x x ，则=ϕ( )A ．125πB ．3πC ．4πD ．6π10． 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率原工件的体积新工件的体积=）( )A ．π98B ．π916C ．π2124）－（D ．π21212）－（二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．⎰=-2)1(dx x __________．12．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成绩在区间]151,139[上的运动员的人数是_________．13．设F 是双曲线C 1:2222=-by a x 的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．14．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若11=a ，且321,2,3S S S 成等差数列，则=n a ___________．15．已知函数32,,(),x x a f x x x a⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若存在实数b ，使函数b x f x g -=)()(有两个零点，则a 的取值范围是___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分12分)本小题有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个选做题，请考生任选两题．．．．作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内，如果全做，则按所做的前两题计分． Ⅰ．（本小题满分6分）选修4－1 几何证明选讲如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ．证明：（i ）180=∠+∠NOM MEN ； （ii ）FO FM FN FE ⋅=⋅．FⅡ．（本小题满分6分）选修4－4 坐标系与参数方程已知直线l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235:t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=．（i ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ii ）设点M 的直角坐标为)3,5(，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MB MA ⋅的值． Ⅲ．（本小题满分6分）选修4－5 不等式选讲 设0,0>>b a ，且ba b a 11+=+，证明： （i ）2≥+b a ；（ii ）22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立．17．(本小题满分12分)设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A b a tan =，且B 为钝角． (Ⅰ)证明：2π=-A B ；(Ⅱ) 求C A sin sin +的取值范围．18．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(Ⅰ)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(Ⅱ)若某顾客有3次抽奖的机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．19． (本小题满分13分) 如图，在四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，61=AA ，且⊥1AA 底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上． (Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，证明：PQ AB ⊥1；(Ⅱ) 若//PQ 平面11A ABB ，二面角A QD P --的余弦值为73，求四面体ADPQ 的体积．20． (本小题满分13分)已知抛物线1C y x 4:2=的焦点F 也是椭圆2C )0(1:2222>>=+b a bx a y 的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为62． (Ⅰ) 求2C 的方程；(Ⅱ) 过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且与BD 同向． （i ） 若||||BD AC =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形．21． (本小题满分13分)已知0>a ，函数)),0[(sin )(∞+∈=x x e x f ax，记n x 为)(x f 的从小到大的第n *)(N n ∈个极值点． 证明: (Ⅰ) 数列)}({n x f 是等比数列； (Ⅱ) 若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立．BD1.【解析】由题意得，得2(1)2111i iz i i i--===--++．故选D ． 考点：复数的运算．2.【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件．故选C ． 考点：集合的关系．3.【解析】由题意得，输出的S 为数列1(21)(21)n n ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前三项和，而1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+，所以11(1)22121n n S n n =-=++，从而337S =．故选B ． 考点：程序框图，裂项相消求数列的和．4.【解析】如图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当2x =-，1y =时，y x z -=3的最小值是7-．故选A ．考点：线性规划．5.【解析】试题分析：显然，()f x 定义域为(1,1)-，关于原点对称，又∵()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，∴()f x 为奇函数，显然()f x 在(0,1)上单调递增．故选A ． 考点：函数的性质． 6.【解析】5215(1)r r rrr T C a x -+=-，令1r =，可得530a -=，从而6a =-．故选D ．考点：二项式定理．7.【解析】根据正态分布的性质，1(01)(11)0.34132P x P x <<=-<<=．故选C ． 考点：正态分布．8.【解析】由题意得AC 为圆的直径，故可设(,)A m n ，(,)B m n --，(,)C x y ，∴(6,)PA PB PC x y ++=-，而22(6)371249x y x -+=-≤，∴||PC PB PA ++的最大值为7．故选B ． 考点：圆的9.【解析】向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨设ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min 3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-．故选D ．考点：三角函数的图象和性质．10.【解析】问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如下图所示，则有212x h-=，∴22h x =-， ∴长方体的体积为22(2)(22)x h x x =-4(22)x x x =-3224()3x x x ++-≤3227=，当且仅当2223x x x =-=即时，等号成立， ∴利用率为232162719123ππ=．故选A ． 考点：圆锥内接长方体，基本不等式求最值． 11.【解析】⎰=-2)1(dx x 2201|02x x -=．考点：定积分的计算． 12.13.【解析】根据对称性，不妨设(,0)F c ，短轴端点为(0,)b ，从而可知点(,2)c b -在双曲线上，∴222241c b a b -=，从而ce a==．考点：双曲线的标准方程及其性质．14.【解析】等比数列}{n a 中2111S a a q q =+=+，231S q q =++，∴24(1)31q q q +=+++，解得3q =，∴13n n a -=．考点：等比、等比数列的通项公式及其前n 项和．15.【解析】分析题意可知问题等价于方程)(3a xb x ≤=与方程)(2a xb x >=的根的个数为2，俯视图侧视图正视图若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->≤a b a b a b 31有解，从而1>a ；若方程)(3a xb x ≤=无解，方程)(2a xb x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab ab 31有解，从而0<a ； 综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ ． 考点：函数与方程，分类讨论的数学思想．16.Ⅰ．【解析】(i )如图，因为M ，N 分别是两弦AB ，CD 的中点，所以AB OM ⊥, CD ON ⊥，即90=∠=∠ONE OME ，因此180=∠+∠ONE OME ，又四边形的内角和等于360，故 180=∠+∠NOM MEN ．(ii ) 由（i ）知， O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FO FM FN FE ⋅=⋅．17.【解析】（Ⅰ）由A b a tan =及正弦定理，得BAb a A A sin sin cos sin ==，所以A B cos sin =，即)2sin(sin A B +=π． 又B 为钝角，),2(2πππ∈+A ，故A B +=2π，即2π=-A B ．(Ⅱ) 由（Ⅰ）知 022)(>-=+-=A B A C ππ, 所以)4,0(π∈A ． 于是 )22sin(sin sin sin A A C A -+=+πA A 2cos sin +=.89)41(sin 2sin 21sin 22+--=-+=A A A因为40π<<A ，所以 22sin 0<<A ，因此8989)41(sin 2222≤+--<A ． 由此可得C A sin sin +的取值范围是]89,22(． 16.Ⅱ．【解析】 (i )θρcos 2=等价于 θρρcos 22=，将 222y x +=ρ，x=θρcos 代入上式即得曲线C 的直角坐标方程是0222=-+x y x ．(ii )将5,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入0222=-+x y x 得018352=++t t ．设这个方程的两个实根16.Ⅲ．【解析】 由abba b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab (i )由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ．(ii ) 设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 可得10<<a ，同理10<<b ，从而10<<ab 这与1=ab 相矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立．分别为21,t t ，则由参数t 的几何意义知||||MB MA ⋅＝.18||21=t t18.【解析】（Ⅰ）记事件1A ={从甲箱中摸出的一个球是红球}，2A ={从乙箱中摸出的一个球是红球}，1B ＝{顾客抽奖一次获一等奖}，2B ＝{顾客抽奖一次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖一次能获奖}．由题意1A 与2A 相互独立，21A A 与21A A 互斥，1B 与2B 互斥， 且211A A B =，2B =21A A +21A A ，21B B C +=．又因为52104)(1==A P ，21105)(2==A P ， 所以512152)()()()(21211=⨯===A P A P A A P B P ，)()()()(212121212A A P A A P A A A A P B P +=+=2121)521()211(52)()()()(2121=⨯-+-⨯=+=A P A P A P A P ,故所求概率为1072151)()()()(2121=+=+=+=B P B P B B P C P ．(Ⅱ) 顾客抽奖3次可视为3次独立重复实验． 由（Ⅰ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为51，所以)51,3(~B X ， 于是 )3,2,1,0()54()51()(33===-K C K X P KKK．X 的数学期望为553)(=⨯=X E ．19.【解析】 解法一：（Ⅰ）如图，取1AA 的中点R ，连结PR BR ,,因为1AA ,1DD 是梯形D D AA 11的两腰，点P 是1DD 的中点，所以AD PR //， 于是由BC AD //知，BC PR //，所以C B R P ,,,四点共面．由题设知AB BC ⊥，1AA BC ⊥，A AA AB =1 ,所以 ⊥BC 平面11A ABB , 又⊂1AB 平面11A ABB ，因此 1AB BC ⊥．因为11111tan 63tan AB A AA B A AB AR ABR ∠====∠, 所以11AB A ABR ∠=∠，因此901111=∠+∠=∠+∠BAB AB A BAB ABR , 于是 1AB BR ⊥, 又已证得1AB BC ⊥，所以⊥1AB 平面BRPC ,显然有⊂PQ平面BRPC , 故PQ AB ⊥1．(Ⅱ) 如下图，过点P 作1//AA PM 交AD 于点M ，则//PM 平面11A ABB ，D因为⊥1AA 底面ABCD ，所以⊥PM 底面ABCD ， 过点M 作QD MN ⊥于点N ，连结PN ，则QD PN ⊥，从而PNM ∠是二面角A QD P --的平面角．所以73cos =∠PNM ，即73=PN MN ，从而340=MN PM ． 连结MQ ，由//PQ 平面11A ABB 及//PM 平面11A ABB 知， 平面//PQM 平面11A ABB ，所以AB MQ //，又ABCD 是正方形，所以ABQM 是矩形，故MQ=AB=6． 设MD ＝t ，则.366222ttMDMQ MD MQ MN +=+⋅=过点1D 作A A E D 11//交AD 于点E ，则E D AA 11是矩形，所以 611==AA E D ，311==D A AE ，因此 3=-=AE AD DE ．于是21==DE ED MD PM , 所以t MD PM 22==， 从而tt t MN PM 63623402+⨯==，解得2=t ，所以4=PM ． 故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ ．解法二：由题设知AB AD AA ,,1G 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标为)0,0,0(A ，)6,0,3(1B ，)0,6,0(D ，)6,3,0(1D ,)0,,6(m Q ，其中m BQ =，60≤≤m ．(Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，则)3,29,0(P ，)3,29,6(--=m ，又)6,0,3(1=AB ，于是018181=-=⋅, 所以AB ⊥1，即PQ AB ⊥1．(Ⅱ) 由题设知，)0,6,6(-=m , )6,3,0(1-=DD 是平面PQD 内两个不共线的向量，设),,(1z y x n =是平面PQD 的一个法向量，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0111DD n DQ n即⎩⎨⎧=+-=-+063,0)6(6z y y m x 取6=y ，得)3,6,6(1m n -=． 又平面AQD 的一个法向量是)1,0,0(2=n ， 所以 45)6(336)6(3||||,cos 2222212121+-=++-=⋅>=<m m n n n n ，而二面角A QD P --的余弦值为73，所以7345)6(32=+-m ，解得m=4或m=8(舍去)，此时)0,4,6(Q ．BD再设)10(1≤<=λλDD DP ，而)6,3,0(1-=DD ， 由此得到)6,36,0(λλ-P ，)6,23,6(λλ--=PQ ．因为//PQ 平面11A ABB ，且平面11A ABB 的一个法向量是)0,1,0(3=n ，所以 0233=-=⋅λn ，32=λ，从而)4,4,0(P ． 于是，将四面体ADPQ 视为ADQ ∆为底面的三棱锥ADQ P -，其高4=h ，故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ ．20.【解析】(Ⅰ) 由1C y x 4:2=知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以 122=-b a （1）又1C 与2C 的公共弦长为62，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为y x 42=，由此易知1C 与2C 的公共点坐标为)23,6(±，所以164922=+ba （2） 联立（1）、（2）得8,922==b a ，故2C 的方程为18922=+x y ． (Ⅱ) 如图，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，),(44y x D ．(i )因与BD 同向，且||||BD AC =， 所以 BD AC =，从而 2413x x x x -=-， 即4321x x x x -=-，于是43243212214)(4)(x x x x x x x x -+=-+． （3） 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y ．由⎩⎨⎧=+=yx kx y 4,12 得0442=--kx x ，而21,x x 是这个方程的两根，所以 4,42121-==+x x k x x （4） 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=189,122x y kx y 得06416)89(22=-++kx x k ，而43,x x 是这个方程的两根，所以2212438964,8916k x x k k x x +-=+-=+ （5） 将(4)(5)代入(3)得 22222289644)89(16)1(16k k k k +⨯++=+，即22222)89()1(916)1(16k k k ++⨯=+， 所以 916)89(22⨯=+k ，解得 46±=k ，即直线l 的斜率为46±． (ii )由 y x 42=得 2'x y =，所以1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x x y y -=-，即42211x x x y -=，令0=y 得21x x =，即)0,2(1xM ， 所以)1,2(1-=x ，而)14,(211-=x x ，2015年湖南省高考理科数学试卷和答案(分开11 / 11 于是014)14(2212121>+=--=⋅x x x ， 因此AFM ∠总是锐角，从而AFM MFD ∠-=∠ 180是钝角．故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形．21.【解析】(Ⅰ) )cos sin (cos sin )('x x a e x e x ae x f ax ax ax +=+=)sin(12ϕ+⋅+=x e a ax ，其中a 1tan =ϕ，20πϕ<<． 令 0)('=x f ，由0≥x 得 πϕm x =+，即*,N m m x ∈-=ϕπ．对N k ∈，若πϕπ)12(2+<+<k x k ，即ϕπϕπ-+<<-)12(2k x k ，则0)('>x f ;若πϕπ)22()12(+<+<+k x k ，即ϕπϕπ-+<<-+)22()12(k x k ，则0)('<x f ． 因此，在区间),)1((ϕππ--m m 与),(πϕπm m -上，)('x f 的符号总相反，于是，当*,N m m x ∈-=ϕπ时，)(x f 取得极值，所以*,N n n x n ∈-=ϕπ．此时，()1()()sin()(1)sin a n n a n n f x e n e πφπφπφϕ-+-=-=-，易知0)(≠n x f ， 且2[(1)]11()()(1)sin ()(1)sin n a n a n n a n n f x e e f x e πφππφϕϕ++-++--==--是常数， 故数列)}({n x f 是首项为ϕϕπsin )()(1-=a ex f ，公比为πa e -的等比数列． (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，11sin 2+=a ϕ，于是对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立， 即)(211ϕπϕπ-+<-n a e a n 恒成立，等价于)(1)(2ϕπϕπ-<+-n a e a a n a （*）恒成立（因为a >0）． 设)0()(>=t t e t g t ，则2(1)'()t e t g t t -=，由'()0g t =得1=t ， 当10<<t 时，0)('<t g ，所以)(t g 在)1,0(上单调递减；当1>t 时，0)('>t g ，所以)(t g 在),1(∞+上单调递增．从而当1=t 时，函数)(t g 取得最小值e g =)1(．因此，要使（*）式恒成立，只需e g aa =<+)1(12，即只需112->e a ． 而当112-=e a 时，由311tan 2>-==e a ϕ且20πϕ<<知，23πϕπ<<． 于是1322-<<-e πϕπ，且当2≥n 时，12322->>-≥-e n πϕπϕπ， 因此，对一切*N n ∈，112≠--=e n ax n ϕπ，所以a a e g ax g n 1)1()(2+==>，故（*）式也恒成立． 综上所述，若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n xf x <恒成立．。
2015年湖南省中学数学教师解题比赛考试试题和答案
2015年湖南省中学数学教师解题比赛高中组初赛试卷(考试时间：2015年10月24日9:00-11:00)说明：1. 请用蓝色、黑色或蓝黑色钢笔或签字笔作答；2. 答案请写在本试卷相应位置，试卷范围以外作答无效；一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分）1. 如果将整数集Z 中所有被3除所得余数为()2,1,0=k k 的整数构成的集合称为一个“类”，并记为[]k ，则下列结论中错误的是 （ ） A .[]22015∈ B.[][][]210 =Z C.“整数b a ,属于同一‘类’”的充要条件是“[]0∈+b a ”D ．“整数b a ,属于同一‘类’”的充要条件是“[]0∈-b a ”解：选C （提示：对于A 选项，由于2015被3除余2，所以[]22015∈；对于B 选项，任何一个正整数被3除的余数只可能是0,1,2，所以[][][]210 =Z ；对于C 选项，因为b a ,属于同一‘类’，不妨设5,2==b a 则7=+b a ，而[][]017∉∈，所以C 错；对于D 选项，因为b a ,属于同一‘类’，可设r k b r k a +=+=213,3（其中2,1,0=r ），则[]0)(321∈-=-k k b a ）. 2. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且()cos23cos 20B A C +++=，b =那么，ABC ∆周长的最大值是 （ ）B. C. D.解：C （提示：由已知()cos23cos 20B A C +++=得01cos 3cos 22=+-B B ， 即0)1)(cos 1cos 2(=--B B ，则)(1cos 21cos 舍或==B B ，所以3π=∠B .由正弦定理得2sin sin sin ===CcB b A a ，则)32sin(2sin 2,sin 2AC C A a -===π. 所以+=++3c b a )32sin(2sin 2A A -+π)6sin(323π++=A ）3. 若已知()θθθθn i n i ncos sin cos sin +=+,则由棣莫佛定理可知满足10241≤≤n的n 的个数为 ( )A .128B .256C .512D .1024 解：选B （提示：由棣莫佛定理可得：()nni i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=+)2sin()2cos(cos sin θπθπθθ)2sin()2cos(θπθπn n i n n -+-=. ① 又)2sin()2cos(cos sin θπθπθθn i n n i n -+-=+ ②由①②得))(2(22Z k n k n n ∈-+=-θππθπ解得14+=k n .又因为10241≤≤n ，N n ∈, 所以432550≤≤k ，故满足条件的共有256个）.4. 已知四面体有两个面为正三角形，因而有5条棱长相等，设第6条棱的长为x ，则体积)(x V （ ）A. 是增函数但无最大值 B . 是增函数且有最大值 C . 不是增函数且无最大值 D. 不是增函数但有最大值解：D （提示：不妨设1=====AC BD CD BC AB ，设x AD =；，取BC ，AD 的中点分别为E ，F ，可知平面AED 垂直BC ；由1,2AED S AD EF EF ∆=⨯== 得三棱锥体积()11312AED V x S BC ∆=⨯⨯=由()()223111121228x x V x +-=≤⨯=，知函数()y f x =在其定义域不是增函数但有最大值18．故选D .）5. 对所有满足15n m ≤≤≤的,m n ，极坐标方程1cos +=θρρnm C 表示的不同双曲线条数为 （ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15解：选A （提示：当m n =时，11cos nm C ρθ=-表示的是抛物线.当m n ≠时，令1nm e C =>，注意到1412132355334455,,,C C C C C C C C ====，所以离心率e >1的取值共有6410=-个还不同的值.）6. 已知非零向量,满足0=⋅⎪⎫ ⎛21=，则A B C ∆为 （ ）A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形解：选D+所在直线穿过ABC ∆的内心，则由0=⋅⎪⎫ ⎛BC=21=,知︒=∠60A ，则ABC ∆为等边三角形 .） 7. 已知d c b a ,,,均为正数，且ba d da d c c d cb bc b a a M +++++++++++=，则M 的取值范围为 （ ）A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡234，B. ⎥⎦⎤⎝⎛341， C. ()21， D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡344053，解：选C （提示：由1=+++++++++++++++>+++++++++++d c b a dd c b a c d c b a b d c b a a b a d d a d c c d c b b c b a a 2=+++++++<+++++++++++db dc a cd b b c a a b a d d a d c c d c b b c b a a则21<<M .）8. 华夏文化认为宇宙万事万物皆由阴阳或五行和合而成.和，指和谐、和平、详和；合，指结合、融合、合作.中华“和合”文化源远流长.作为文化重要组成部分的数学最讲“和合”.在数集的扩充的过程中，每一次扩充后同样适用于原来的数集，表现为高度“和合”的是 （ ） A. 大小关系 B. 运算法则 C. 几何意义 D.封闭性质解:选B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9. 已知实数z y x ,,满足0111=-+zy x ，则()2222z y x z y x ++-+ 值为 . 解:填1(提示:由0111=-+zy x ，有yz xz xy += 从而()22222222222()1x y z x y z xy yz zx x y z x y z +-+++--==++++.)10. 已知三角形三边所在的直线方程是：1l ：0y =； 2l ：210x y -+=；3l ：10x y --=.过三角形三顶点、对称轴为坐标轴的抛物线方程是 . 解：填41412-=x y (提示:由题意知三角形的三顶点即为 ⎩⎨⎧=+-=0120y x y ⎩⎨⎧=--=010y x y ⎩⎨⎧=--=+-01012y x y x 三个方程组的解,所以抛物线上三点分别为)23(),01(),0,1(，，C B A -.又由抛物线关于坐标轴对称知对称轴为y 轴，故可设抛物线方程为)1)(1(-+=x x a y .把)23(，C 代入得41=a ，所以41412-=x y .) 11. 如图所示，作一个边长为1的正三角形ABC ， 且AB 与x 轴的夹角为︒5，易知0=++CA BC AB . 令x 轴上的单位向量为i ，则有()0245cos 125cos 5cos =︒+︒+︒=++⋅CA BC AB i .仿照以上方法,推广以上结论可得0cos cos cos 21=+⋅⋅⋅++n a a a ,若α=1a ,则=n a .解：nn πα)1(2-+(提示:做一个首尾连接而成的正n 边形，取x 轴上的单位向量为i ， 则0)(113221=+++-A A A A A A A A i n n n ,即0))1(2cos()2cos(cos =-++⋅⋅⋅+++nn n παπαα, 所以=n a nn πα)1(2-+.) 12. 已知x x x c b a =+(b c a c >>,)，以c b a ,,为边长构成一个钝角三角形，则x 的取值范围为 .解：填21<<x (提示:由题设x x x c b a =+，b c a c >>,知1)()(=+x x cbc a .由于构成钝角三角形故有0cos <C ,即02cos 222<-+=ab c b a C ，即x x c b c a c b c a )()(1)()(22+=<+,由于1,1<<cbc a 因此有2<x .另一方面，由于b a c +<知x x cbc a c b c a )()(1+=>+，同理得1>x .综上x 的范围为21<<x .)13.已知数列{}n a 是公差0>d 的等差数列，则函数∑=-=191)(i i a x x f 的最小值为 .(用含有d 的式子表示)解：填d 90(提示:易知当10a x =时∑=-=191)(i i a x x f 有最小值，191011101010910310210110min )(a a a a a a a a a a a a a a x f -+-+-+-+-+-+-=d d d d d d 90789+++++++= d 90=14. 已知+∈R ,,z y x 且满足:)1)(1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(222222222222z y x x y z z x y z y x +++=++++++++, 则xyz 的取值范围为 .解：填⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛42,0(提示:已知原式可变形为1111222222=+++++z zy y x x ，令a x x =+221，b y y =+221，c z z =+221，则1,,0<<c b a 且1=++c b a ，求得cc z b b y a a x -=-=-=1,1,1222， 注意到abc ab ac bc b a a c c b c b a 8222))()(()1)(1)(1(=⋅⋅≥+++=---， 则81)1)(1)(1(≤---c b a abc ,即420≤<xyz .)三、解答题（本大题共4小题，每小题20分，满分80分）15. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分的茎叶图表示如下：现将用户满意度评分从低到高分为三个等级：生的概率，求事件“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”的概率． 解：记1A C 表示事件“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”；2A C 表示事件“A 地区用户满意度等级为非常满意”；1B C 表示事件“B 地区用户满意度等级为不满意”；2B C 表示事件“B 地区用户满意度等级为满意”，则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =⋃.…………………………………………………………………（10分）由所给数据得1212,,,A A B B C C C C 发生的概率分别为()11620A P C =，()2420A P C =，()11020B PC =，()2820B PC =，………………………………………………… ……（15分） 故()()()()()()()()221122112211A B A B A B A B A B A B C P C P C P C P C C P C C P C C C C P C P +=+==48.020420820162010=⨯+⨯=.……………………………………………………………（20分）16. 设+∈R ,,z y x ,且1=xyz .令xyz c z y x b z y x a 3,,333=++=++=.试将c b a ,,组成单调序列,并说明理由.解：可按c b a ,,组成单调递减序列.由323323323333131,333131,333131a z a z a y a y a x a x ≥++≥++≥++有323)(32a z y x a a ++≥+，即z y x a ++≥323，……………………………………………………………………（10分） 则)(9)()3()()()(323232z y x z y x xyz z y x z y x z y x a ++=++≥++++=++≥从而b a ≥， ……………………………………………………………………………………………（15分） 又c xyz z y x b =≥++=33，故c b a ≥≥.…………………………………………… （20分） 17. 如图，圆O 的半径是1，点A 是圆O 外一定点，3AO =.过A 作圆O 的割线，交圆O于点B ，延长AB 到点C ，使AB BC =.过点，作//CP OB ，作以AC 为底边，一腰在直线CP 上的等腰三角形ACD ，顶点为D .（1）建立适当的直角坐标系，求顶点D 的轨迹方程；（2）若定点A 在圆O 上或圆O 内，顶点D 的轨迹是什么，并写出其方程.解: 以O 为直角坐标系的原点，AO 所在直线为x 轴，过点O 垂直AO 的直线为y 轴，建立直角坐标系.（1）因为AO 为定长，且//CP OB ，则CP 与x 轴的交点E 是定点，且22CE OB ==.2DE CD CE CD =-=-，而AD CD =，所以 2AD DE -=.因为A ，E 是两定点，所以顶点D 的轨迹是以x 轴为实轴，A ，E 为焦点的双曲线（右半支）.…………………………………………………………………………………………（5分）由前面推导知，()3,0A -，()3,0E ，设(),D x y ，0x >，则2-=.化简，得()22108yx x -=>.……………………………………(10分)（2）当A 在圆上时，顶点D 的轨迹是圆O ，轨迹方程是221x y +=.当A 在圆内时，仿照（1），可证A ，E 是定点.2CE DE CD =+=，即有YXEDPCBAOYXE D P CBAO2AD DE +=.那么，顶点D 的轨迹是以x 轴为长轴，A ，E 为焦点的椭圆.………………(15分) 设(),D x y ，(),0A a ，则(),0E a -，11a -<<.2=.化简，得 22211y x a +=-，11a -<<.…………………………………………(20分)18. 采用某种洗涤设备清洗某类物品时，需要经过漂洗和甩干两道程序.洗涤过程由反复漂洗和甩干组成，每次漂洗后甩干前残留物均匀分布于水中，而每次甩干后该物品中含残留物与水分的重量和不变，均为w kg.（1）将漂洗并甩干的次数设计为2次，洗涤过程需要的总用水量为b kg ，确定2次漂洗时各自需要的用水量，使漂洗并甩干后衣物中所含残留物最少；（2）设一共需要n 次漂洗，第n 次洗涤并甩干后残留物的重量与衣物第一次开始洗涤前含残留物的重量之比为常数c ，若51≤≤n ，确定洗涤次数n 以及每次漂洗时需要的用水量，使总的用水量最少，并说明理由.解:设洗涤并甩干后，在进入漂洗阶段前，物品中所含残留物重量为0m ，每次甩干后物品剩余水分（含残留物）为w .（1）在漂洗阶段，两次漂洗并甩干后残留物重量分别为12,m m ，每次加入的清水重量分别为12,x x ，则根据题意，甩干前由于0m kg 的残留物均匀分布于1w x +的水中，因此，物品上残留的污物量1m 与残留的水量w 成正比，即有011m m w x w =+，即有101w m m x w =+，同理得到212w m m x w=+，因此有 0212(1)(1)m m x xw w=++，其中0m 为定值. ………………………………………(5分)因此，问题1事实上是在12x x b +=的条件下，求污物含量2m 最小的问题，利用基本不等式，当1211x x w w +=+，即122bx x ==时，2m 达到最小，故将b kg 清水平均分成两次使用可使物品上的污物最少. 7（1） 利用（1）的讨论并设第i 次漂洗并甩干后残留物的重量为i m ，加入清水重量为)1(n i x i ≤≤，则同样有)1(110wx m m c i ni n +∏===（1）. ………………………………………(10分) 对于每个给定的n ，求用水量最少的问题就转化为（1）式中乘积：c w x ni i 111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏=一定时求n x x x +⋅⋅⋅++21的最小值问题，该问题与求⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++w x w x w x n 111121 的最小值是等价的。
湖南省新化二中2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷Word版含答案
新化二中2015年下学期期中考试高二理科数学试卷 （试卷）命题：王斌 审核：伍清明 时量：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共75分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N = （ ） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞ 2．已知数列{},0n n a a ≠，若113,20n n a a a +=-=，则6a =（ ） A ．B ．C ．16D ．323.已知实数,x y 满足1000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最大值为 （ ）A 12-B 0C 1D 124.已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为 12 ，它的长轴长等于圆222150x y x +--=的半径，则椭圆的标准方程是（ ）A x 24＋y 2＝1 B x 216＋y 212＝1 C x 24＋y 23＝1 D x 216＋y 24＝1 5．阅读下面程序框图，为使输出的数据为11，则①处应填的数字可以为( )A ．4B ．5C ．6D ．76.设a ，b 都是不等于1的正数，则 “333ab>>”是“33log log a b <”的 （ ）A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件7.在三棱柱111ABC A B C -中，底面是正三角形，侧棱1AA⊥底面ABC ,点E 是侧面11BB C C 的中心，若13AA AB =,则直线AE 与平面11BB C C 所成角的大小为( )A 30︒B 45︒C 60︒D 90︒8.下列有关命题的叙述，错误的个数为( ) ①若q p ∨为真命题，则q p ∧为真命题②“5>x ”是“0542>--x x ”的充分不必要条件③命题R x p ∈∃0:使得01020<-+x x ，则R x p ∈∀⌝:，使得012≥-+x x④命题“若0232=+-x x ，则21==x x 或”的逆否命题为“若21≠≠x x 或，则0232≠+-x x ”A.1B. 2C. 3D.49. 函数()sin()(0)f x x ωϕϕ=+>，)(0<ϕ<π-的一段图象如图所示，则=ϕ( )A ．4π-B ．2πC ． 4π D ．2π-10.已知函数2||,(),x f x -≤⎧=⎨⎩2x 2(x-2) x>2，函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2015年湖南省高考理科数学试卷及答案(精校WORD版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的．1．已知2(1)1i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =( ) A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【解析】由题意得，得2(1)2111i iz i i i--===--++．故选D ． 考点：复数的运算．2．设A ，B 是两个集合，则“A B A =”是“A B ⊆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件．故选C ．考点：集合的关系．3．执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( ) A ．76B ．73C ．98D ．94【解析】由题意得，输出的S 为数列1(21)(21)n n ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前三项和，而1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+，所以11(1)22121n n S n n =-=++，从而337S =．故选B ． 考点：程序框图，裂项相消求数列的和．4．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x ，则y x z -=3的最小值为( ) A ．7- B ．1- C ．1 D ．2 【解析】如图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当2x =-，1y =时，y x z -=3的最小值是7-．故选A ．考点：线性规划．5． 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=，则)(x f 是( )A ． 奇函数，且在)1,0(是增函数B ． 奇函数，且在)1,0(是减函数C ． 偶函数，且在)1,0(是增函数D ． 偶函数，且在)1,0(是减函数 【解析】试题分析：显然，()f x 定义域为(1,1)-，关于原点对称，又∵()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，∴()f x 为奇函数，显然()f x 在(0,1)上单调递增．故选A ． 考点：函数的性质．6．已知5)(xa x -的展开式中含23x 的项的系数为30，则=a ( )A ．3B ．3-C ．6D ．6-【解析】5215(1)r rrrr T C a x-+=-，令1r =，可得530a -=，从而6a =-．故选D ．考点：二项式定理．7． 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)1,0(N 的密度曲线）的点的个数的估计值为( )A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P , 9544.0)22(=+≤<-σμσμX P ．【解析】根据正态分布的性质，1(01)(11)0.34132P x P x <<=-<<=．故选C ． 考点：正态分布．8． 已知点A ，B ，C 在圆122=+y x 上运动，且BC AB ⊥ ． 若点P 的坐标为)0,2(,则||++的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【解析】由题意得AC 为圆的直径，故可设(,)A m n ，(,)B m n --，(,)C x y ，∴(6,)PA PB PC x y ++=-，而22(6)371249x y x -+=-≤，∴||PC PB PA ++的最大值为7．故选B ．考点：圆的性质，平面向量数量积．9． 将函数x x f 2sin )(=的图象向右平移ϕ)20(πϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图象，若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x ，2x ，有3||min 21π=-x x ，则=ϕ( )A ．125πB ．3πC ．4π D ．6π【解析】向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨设ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-．故选D ．考点：三角函数的图象和性质．10． 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率原工件的体积新工件的体积=）( )A ．π98B ．π916C ．π2124）－（D ．π21212）－（【解析】问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如下图所示，则有212x h-=，∴22h x =-， ∴长方体的体积为22(2)(22)x h x x =-4(22)x x x =-3224()3x x x ++-≤3227=，当且仅当2223x x x =-=即时，等号成立， ∴利用率为232162719123ππ=．故选A ． 考点：圆锥内接长方体，基本不等式求最值．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．⎰=-2)1(dx x __________．俯视图侧视图正视图【解析】⎰=-2)1(dx x 2201|02x x -=． 考点：定积分的计算．12．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成绩在区间]151,139[上的运动员的人数是_________．【解析】由茎叶图可知，在区间]151,139[的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为435720=⨯人． 考点：系统抽样，茎叶图．13．设F 是双曲线C 1:2222=-by a x 的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．【解析】根据对称性，不妨设(,0)F c ，短轴端点为(0,)b ，从而可知点(,2)c b -在双曲线上，∴222241c b a b-=，从而c e a ==．考点：双曲线的标准方程及其性质．14．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若11=a ，且321,2,3S S S 成等差数列，则=n a ___________．【解析】等比数列}{n a 中2111S a a q q =+=+，231S q q =++，∴24(1)31q q q +=+++，解得3q =，∴13n n a -=．考点：等比、等比数列的通项公式及其前n 项和．15．已知函数32,,(),x x a f x x x a⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若存在实数b ，使函数b x f x g -=)()(有两个零点，则a 的取值范围是___________．【解析】分析题意可知问题等价于方程)(3a x b x ≤=与方程)(2a xb x >=的根的个数为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->≤a b a b a b 31有解，从而1>a ；若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a x b x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab ab 31有解，从而0<a ； 综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ ． 考点：函数与方程，分类讨论的数学思想．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分12分)本小题有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个选做题，请考生任选两题．．．．作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内，如果全做，则按所做的前两题计分． Ⅰ．（本小题满分6分）选修4－1 几何证明选讲如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ．证明：（i ）180=∠+∠NOM MEN ； （ii ）FO FM FN FE ⋅=⋅．【解析】(i )如图，因为M ，N 分别是两弦AB ，CD 的中点，所以AB OM ⊥, CD ON ⊥，即90=∠=∠ONE OME ，因此180=∠+∠ONE OME ，又四边形的内角和等于 360，故180=∠+∠NOM MEN ．(ii ) 由（i ）知， O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FO FM FN FE ⋅=⋅．Ⅱ．（本小题满分6分）选修4－4 坐标系与参数方程已知直线l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235:t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=．（i ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ii ）设点M 的直角坐标为)3,5(，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MB MA ⋅的值．【解析】 (i )θρcos 2=等价于θρρcos 22=，将 222y x +=ρ，x =θρcos 代入上式即得曲线C 的直角坐标方程是0222=-+x y x ．F(ii )将5,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入0222=-+x y x 得018352=++t t ．设这个方程的两个实根分别为21,t t ，则由参数t 的几何意义知||||MB MA ⋅＝.18||21=t t Ⅲ．（本小题满分6分）选修4－5 不等式选讲设0,0>>b a ，且ba b a 11+=+，证明： （i ）2≥+b a ；（ii ）22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立．【解析】 由abb a b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab (i )由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ．(ii ) 设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 可得10<<a ，同理10<<b ，从而10<<ab 这与1=ab 相矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立．17．(本小题满分12分)设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A b a tan =，且B 为钝角． (Ⅰ)证明：2π=-A B ；(Ⅱ) 求C A sin sin +的取值范围．【解析】（Ⅰ）由A b a tan =及正弦定理，得BAb a A A sin sin cos sin ==，所以A B cos sin =，即)2sin(sin A B +=π． 又B 为钝角，),2(2πππ∈+A ，故A B +=2π，即2π=-A B ． (Ⅱ) 由（Ⅰ）知 022)(>-=+-=A B A C ππ, 所以)4,0(π∈A ． 于是)22sin(sin sin sin A A C A -+=+πA A 2cos sin +=.89)41(sin 2sin 21sin 22+--=-+=A A A因为40π<<A ，所以 22sin 0<<A ，因此8989)41(sin 2222≤+--<A ．由此可得C A sin sin +的取值范围是]89,22(．18．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． (Ⅰ)求顾客抽奖1次能获奖的概率； (Ⅱ)若某顾客有3次抽奖的机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．【解析】（Ⅰ）记事件1A ={从甲箱中摸出的一个球是红球}，2A ={从乙箱中摸出的一个球是红球}，1B ＝{顾客抽奖一次获一等奖}，2B ＝{顾客抽奖一次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖一次能获奖}．由题意1A 与2A 相互独立，21A A 与21A A 互斥，1B 与2B 互斥， 且211A A B =，2B =21A A +21A A ，21B B C +=．又因为52104)(1==A P ，21105)(2==A P ， 所以512152)()()()(21211=⨯===A P A P A A P B P ，)()()()(212121212A A P A A P A A A A P B P +=+=2121)521()211(52)()()()(2121=⨯-+-⨯=+=A P A P A P A P ,故所求概率为1072151)()()()(2121=+=+=+=B P B P B B P C P ．(Ⅱ) 顾客抽奖3次可视为3次独立重复实验． 由（Ⅰ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为51，所以)51,3(~B X ， 于是 )3,2,1,0()54()51()(33===-K C K X P KKK．X 的数学期望为553)(=⨯=X E ．19． (本小题满分13分) 如图，在四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，61=AA ，且⊥1AA 底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上． (Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，证明：PQ AB ⊥1；(Ⅱ) 若//PQ 平面11A ABB ，二面角A QD P --的余弦值为73，求四面体ADPQ 的体积． 【解析】 解法一： （Ⅰ）如图，取1AA 的中点R ，连结PR BR ,,因为1AA ,1DD是梯形D D AA 11的两腰，点P 是1DD 的中点，所以AD PR //， 于是由BC AD //知，BC PR //，所以C B R P ,,,四点共面．由题设知AB BC ⊥，1AA BC ⊥，A AA AB =1 ,所以 ⊥BC 平面11A ABB , 又⊂1AB 平面11A ABB ，因此 1AB BC ⊥．因为11111tan 63tan AB A AA B A AB AR ABR ∠====∠, 所以11AB A ABR ∠=∠，因此901111=∠+∠=∠+∠BAB AB A BAB ABR ,BD于是 1AB BR ⊥, 又已证得1AB BC ⊥，所以⊥1AB 平面BRPC , 显然有⊂PQ 平面BRPC , 故PQ AB ⊥1．(Ⅱ) 如下图，过点P 作1//AA PM 交AD 于点M ，则//PM 平面11A ABB ， 因为⊥1AA 底面ABCD ，所以⊥PM 底面ABCD ， 过点M 作QD MN ⊥于点N ，连结PN ，则QD PN ⊥，从而PNM ∠是二面角A QD P --的平面角．所以73cos =∠PNM ，即73=PN MN ，从而340=MN PM ． 连结MQ ，由//PQ 平面11A ABB 及//PM 平面11A ABB 知， 平面//PQM 平面11A ABB ，所以AB MQ //，又ABCD 是正方形，所以ABQM 是矩形，故MQ=AB=6． 设MD ＝t ，则.366222ttMDMQ MD MQ MN +=+⋅=过点1D 作A A E D 11//交AD 于点E ，则E D AA 11是矩形， 所以 611==AA E D ，311==D A AE ，因此 3=-=AE AD DE ．于是21==DE ED MD PM , 所以t MD PM 22==， 从而tt t MN PM 63623402+⨯==，解得2=t ，所以4=PM ． 故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ ．解法二：由题设知AB AD AA ,,1G 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标为)0,0,0(A ，)6,0,3(1B ，)0,6,0(D ，)6,3,0(1D ,)0,,6(m Q ，其中m BQ =，60≤≤m ．(Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，则)3,29,0(P ，)3,29,6(--=m ，又)6,0,3(1=AB ，于是018181=-=⋅PQ AB , 所以PQ AB ⊥1，即PQ AB ⊥1．(Ⅱ) 由题设知，)0,6,6(-=m DQ , )6,3,0(1-=DD 是平面PQD 内两个不共线的向量，设),,(1z y x n =是平面PQD 的一个法向量，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0111DD n即⎩⎨⎧=+-=-+063,0)6(6z y y m x 取6=y ，得)3,6,6(1m n -=． 又平面AQD 的一个法向量是)1,0,0(2=n ， 所以 45)6(336)6(3,cos 2222212121+-=++-=>=<m m n n ，BD而二面角A QD P --的余弦值为73，所以7345)6(32=+-m ，解得m=4或m=8(舍去)，此时)0,4,6(Q ．再设)10(1≤<=λλDD ，而)6,3,0(1-=DD ， 由此得到)6,36,0(λλ-P ，)6,23,6(λλ--=．因为//PQ 平面11A ABB ，且平面11A ABB 的一个法向量是)0,1,0(3=n ，所以 0233=-=⋅λn PQ ，32=λ，从而)4,4,0(P ． 于是，将四面体ADPQ 视为ADQ ∆为底面的三棱锥ADQ P -，其高4=h ，故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ ．20． (本小题满分13分)已知抛物线1C y x 4:2=的焦点F 也是椭圆2C )0(1:2222>>=+b a bx a y 的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为62． (Ⅰ) 求2C 的方程；(Ⅱ) 过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向． （i ） 若||||BD AC =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形．【解析】(Ⅰ) 由1C y x 4:2=知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以 122=-b a （1）又1C 与2C 的公共弦长为62，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为y x 42=，由此易知1C 与2C 的公共点坐标为)23,6(±，所以164922=+ba （2） 联立（1）、（2）得8,922==b a ，故2C 的方程为18922=+x y ． (Ⅱ) 如图，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，),(44y x D ．(i )因与同向，且||||BD AC =， 所以 =，从而 2413x x x x -=-， 即4321x x x x -=-，于是43243212214)(4)(x x x x x x x x -+=-+． （3） 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y ． 由⎩⎨⎧=+=yx kx y 4,12得0442=--kx x ，而21,x x 是这个方程的两根，所以 4,42121-==+x x k x x （4）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=189,122x y kx y 得06416)89(22=-++kx x k ，而43,x x 是这个方程的两根，所以2212438964,8916kx x k k x x +-=+-=+ （5） 将(4)(5)代入(3)得 22222289644)89(16)1(16k k k k +⨯++=+，即22222)89()1(916)1(16k k k ++⨯=+， 所以 916)89(22⨯=+k ，解得 46±=k ，即直线l 的斜率为46±． (ii )由 y x 42=得 2'xy =，所以1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x x y y -=-，即42211x x x y -=，令0=y 得21x x =，即)0,2(1x M ， 所以)1,2(1-=x FM ，而)14,(211-=x x FA ，于是014)14(2212121>+=--=⋅x x x FA FM ，因此AFM ∠总是锐角，从而AFM MFD ∠-=∠180是钝角． 故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形．21． (本小题满分13分)已知0>a ，函数)),0[(sin )(∞+∈=x x e x f ax，记n x 为)(x f 的从小到大的第n *)(N n ∈个极值点． 证明: (Ⅰ) 数列)}({n x f 是等比数列； (Ⅱ) 若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n xf x <恒成立．【解析】(Ⅰ) )cos sin (cos sin )('x x a e x e x ae x f ax ax ax +=+=)sin(12ϕ+⋅+=x e a ax ，其中a 1tan =ϕ，20πϕ<<．令 0)('=x f ，由0≥x 得 πϕm x =+，即*,N m m x ∈-=ϕπ．对N k ∈，若πϕπ)12(2+<+<k x k ，即ϕπϕπ-+<<-)12(2k x k ，则0)('>x f ;若πϕπ)22()12(+<+<+k x k ，即ϕπϕπ-+<<-+)22()12(k x k ，则0)('<x f ． 因此，在区间),)1((ϕππ--m m 与),(πϕπm m -上，)('x f 的符号总相反， 于是，当*,N m m x ∈-=ϕπ时，)(x f 取得极值，所以*,N n n x n ∈-=ϕπ．此时，()1()()sin()(1)sin a n n a n n f x en e πφπφπφϕ-+-=-=-，易知0)(≠n x f ，且2[(1)]11()()(1)sin ()(1)sin n a n a n n a n n f x e e f x e πφππφϕϕ++-++--==--是常数， 故数列)}({n x f 是首项为ϕϕπsin )()(1-=a e x f ，公比为πa e -的等比数列．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，11sin 2+=a ϕ，于是对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立，湖南师大附中张天平整理第 11 页 共 11 页 即)(211ϕπϕπ-+<-n a e a n 恒成立，等价于)(1)(2ϕπϕπ-<+-n a e a a n a （*）恒成立（因为a >0）． 设)0()(>=t te t g t ，则2(1)'()t e t g t t -=，由'()0g t =得1=t ， 当10<<t 时，0)('<t g ，所以)(t g 在)1,0(上单调递减；当1>t 时，0)('>t g ，所以)(t g 在),1(∞+上单调递增．从而当1=t 时，函数)(t g 取得最小值e g =)1(．因此，要使（*）式恒成立，只需e g a a =<+)1(12，即只需112->e a ． 而当112-=e a 时，由311tan 2>-==e a ϕ且20πϕ<<知，23πϕπ<<． 于是1322-<<-e πϕπ，且当2≥n 时，12322->>-≥-e n πϕπϕπ， 因此，对一切*N n ∈，112≠--=e n ax n ϕπ，所以a a e g ax g n 1)1()(2+==>，故（*）式也恒成立． 综上所述，若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n xf x <恒成立．。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1. 已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i -- 2. 设A,B 是两个集合，则”A B A =I ”是“A B ⊆”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( )A.67 B.37 C.89 D.494. 若变量,x y 满足约束条件1,2,1x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =-的最小值为（ ）A.-7B.-1C.1D.25. 设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数6. 已知5()x x-的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ） A ．3 B.3- C.6 D.-67. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.47728. 已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为（2,0），则||PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.99. 将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12|()()|2f x g x -=的12,x x ，有12min ||3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512π B.3π C.4π D.6π10. 某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（ ）A.89πB.169πC.34(21)π-D.312(21)π-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 20(1)x dx ⎰-= .12. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.若将运动员按成绩由好到差编为135:号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .13. 设F 是双曲线2222:1x y C a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为_________________。
14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，则n a = .15．已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）本小题设有Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内。
如果全做，则按所做的前两题计分。
（Ⅰ）（本题满分6分）选修4-1：几何证明选讲如图5，在O e 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明： （ⅰ）180MEN NOM ∠+∠=o； （ⅱ）FE FN FM FO =g g（Ⅱ）（本题满分6分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线35,:132x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=（ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ⅱ）设点M 的直角坐标为(5,3)，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求||||MA MB g的值。
（Ⅲ）（本题满分6分）选修4-5：不等式选讲设0,0a b >>，且11a b a b+=+，证明： （ⅰ）2a b +≥；（ⅱ）22a a +<与22b b +<不可能同时成立。
17.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =，且B 为钝角。
（Ⅰ）证明：2B A π-=;（Ⅱ）求sin sin A C +的取值范围。
18.（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。
每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球。
在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖。
（Ⅰ）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（Ⅱ）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望。
19.（本小题满分13分）如图6，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16A A =，且1A A ⊥底面ABCD ，点,P Q 分别在棱1,DD BC 上。
（Ⅰ）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（Ⅱ）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积。
20.（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为26。
（Ⅰ）求2C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC u u u r 与BD u u u r同向。
（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率；（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD∆总是钝角三角形。
21.（本小题满分13分）已知0a >，函数()sin ([0,))axf x e x x =∈+∞。
记n x 为()f x 的从小到大的第*()n n N ∈个极值点。
证明：（Ⅰ）数列{()}n f x 是等比数列； （Ⅱ）若a ≥，则对一切*,|()|n n n N x f x ∈<恒成立。
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学参考答案一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的. 1.D 2.C 3.B 4.A 5. A6.D7.C8.B9.D10.A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 012.413.514.13n -15. (,0)(1,)-∞+∞U三、解答题： 16.（Ⅰ）证明：（ⅰ）如图a 所示，因为,M N 分别是弦,AB CD 的中点，所以,OM ON CD ⊥⊥，即90,90OME ENO ∠=∠=o o ，因此180OME ENO ∠+∠=o ，又四边形的内角和等于360o ，故180MEN NOM ∠+∠=o 。
（ⅱ）由（ⅰ）知，,,,O M E N 四点共圆，故由割线定理即得FE FN FM FO =g g （Ⅱ）解：（ⅰ）2cos ρθ=等价于22cos ρρθ=①将222,cos x y x ρρθ=+=代入①即得曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=②（ⅱ）将5,212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入②，得2180t ++=。
设这个方程的两个实根分别为，则由参数t 的几何意义即知，12||||||18MA MB t t ==g（Ⅲ）证明：由11,0,0a ba b a b a b ab++=+=>>，得1ab = （ⅰ）由基本不等式及1ab =，有2a b +≥=，即2a b +≥（ⅱ）假设22a a +<与22b b +<同时成立，则由22a a +<及0a >得01a <<；同理，01b <<，从而1ab <，这与1ab =矛盾。
故22a a +<与22b b +<不可能同时成立。
17.解：（Ⅰ）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，所以sin cos B A =，即 sin sin()2B A π=+又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈，故2B A π=+，即2B A π-= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()(2)2022C A B A A ππππ=-+=-+=->，所以(0,)4A π∈于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-sin cos2A A =+22sin sin 1A A =-++2192(sin )48A =--+因为04A π<<，所以0sin A <<21992(sin )2488A <--+≤由此可知sin sin A C +的取值范围是9]8解：（Ⅰ）记事件1A ={从甲箱中摸出的1个球是红球}，2A ={从乙甲箱中摸出的1个球是红球}， 1B ={顾客抽奖1次获一等奖}， 2B ={顾客抽奖1次获二等奖}，C ={顾客抽奖1次能获奖}由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1122121212,,B A A B A A A A C B B ==+=+因为124251(),()105102P A P A ====，所以 11212211()()()()525P B P A A P A P A ==+=⨯=212121212()()()()P B P A A A A P A A P A A =+=+1212()()()()P A P A P A P A =+1212()(1())(1())()P A P A P A P A =-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯= 故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=（Ⅱ）顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由（Ⅰ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以1~(3,)5X B 于是00331464(0)()()55125P X C ===，11231448(1)()()55125P X C ===，22131412(2)()()55125P X C ===， 3303141(3)()()55125P X C ===故X 的分布列为X 0 1 2 3P64125 48125 12125 1125X 的数学期望为13()355E X =⨯=19.解法一：由题设知，1,,AA AB AD 两两垂直，以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图b 所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为11(0,0,0),(3,0,6),(0,6,0),(0,3,6),(6,,0)A B D D Q m ，其中,06m BQ m =≤≤。