平面向量的等和线问题课件
平面向量的等和线定理
平面向量的等和线定理1. 引言大家好，今天我们要聊聊一个听上去挺复杂，但其实挺有趣的话题——平面向量的等和线定理。
别被这个名字吓到，其实就像在吃一碗好喝的鸡汤，先喝一口，慢慢品味，肯定能感受到它的美味。
这个定理其实在日常生活中也可以找到影子，像是你和朋友一起做事情，协作分工，结果反而比一个人单打独斗要有效得多。
好了，废话不多说，让我们一步一步来揭开这个神秘面纱！2. 平面向量的基本概念2.1 什么是向量？向量简单来说，就是一个有方向和大小的量，想象一下你在海边，拿着一个方向盘，往北、往南、往东、往西，方向和力度结合在一起，这就是向量。
比如说，你用力推一个滑板，它的移动方向和速度就是一个向量。
听起来是不是挺炫的？嘿，你可以把它想象成一个超能力，只要你使劲，向量就会朝着你希望的方向飞去！2.2 向量的加法现在说到向量加法，就像你和朋友一起合力搬一个大沙发。
假设你和朋友各自用力，虽然你们的力量是分开的，但合起来就是一个超级力量，沙发立马就能挪到新地方。
这就是向量的加法，简单来说，就是把不同方向的向量合成一个新的向量。
太神奇了吧？你看，物理和生活其实是紧紧相连的！3. 等和线定理的魅力3.1 定理的定义好，现在进入正题，什么是等和线定理呢？简单地说，就是如果你在平面上有两个向量，它们的和是相同的，那么这两个向量就能被看作是两个不同的路径，最终却能到达同一个地方。
这就像你和朋友约好一起去吃火锅，虽然你们各自的路线不同，但最终都能相聚在那间火锅店，齐心协力，畅快淋漓地享受美味。
3.2 实际应用这个定理在生活中可有着不少妙用。
比如，团队项目中，每个人都有自己的任务，可能方向各异，但只要大家都朝着同一个目标努力，最终就会水到渠成，像满载而归的船一样，啥都不落下。
再比如，你和朋友一起攒钱买个新游戏，虽然你们的钱不一样，但凑到一起，最终能实现目标，真是“众人拾柴火焰高”呀！所以说，这个等和线定理，不光是数学中的一个定理，生活中处处都有它的身影。
高考数学一轮总复习 4.1平面向量的概念及其线性运算课件
×2A→D＝A→D，故选A.
答案 A
精选ppt
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知识点三 共线向量定理
5.判一判 (1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．( ) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( ) (3)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则 λ＝－12.( ) (4)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分必要 条件．( )
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问题3 为什么共线定理b＝λa中要求a≠0？如何应用共线定
理证明三点共线？
(1)若a＝0，当b＝0时，λ有无数多个值，b≠0时，λ值不存
在，所以要求a≠0；
(2)证明三点共线，若存在实数λ，使
→ AB
＝λ
→ AC
，则A，B，C
三点共线．这里注意A→B与A→C有公共点A.
精选ppt
22
高频考点 考点一 向量的有关概念 【例1】 给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②若A→B＝D→C，则四边形ABCD为平行四边形； ③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
上，所以ABCD不一定是四边形．
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝
μb，但a与b不一定共线．
答【规律方法】 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④ 是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行 判定的行之有效的方法．
10
对点自测 知识点一 向量的有关概念 1.判一判 (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向 量．( ) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( )
等和线定理 9份
大招13 向量共线模型与等和线一、平面向量共线定理若点A,B,C 互不重合，P 是A,B,C 三点所在平面上的任意一点，且满足PB y PA x PC +=，则A ，B ，C 三点共线1=+⇔y x .证明:(1)由⇒=+1y x A ，B ，C 三点共线.由1=+y x 得BA x BC PB PA x PB PC PB x PA x PB y PA x PC =⇒-=-⇒-+=+=)()1(. 即BC ，BA 共线，故A ，B ，C 三点共线.(2)由A ，B ，C 三点共线1=+⇒y x .由A ，B ，C 三点共线得BC ，BA 共线，即存在实数x 使得BA x BC =.故PB x PA x PC PB PA x PB PC )1()(-+=⇒-=-.令x y -=1，则有1=+y x .“爪”字型图:在△ABC 中，D 是BC 上的点，如果n m CD BD ::=，则AB nm n AC n m m AD +++=，其中AD ，AB ，AC 知二可求一.如果AD 是BC 边上的中线，则AB AC AD 2121+=.二、等和线Q 平面内一组基底OA ，OB 及任一向量OP ，)(R OB OA OP ∈+=μλμλ，，若点P 在直线AB 上(即图中Q 的位置)或者在平行于AB 的直线上,则)(定值k =+μλ， 反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线.(1)当等和线恰为直线AB 时，1=k .(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，)1,0(∈k .(3)当直线AB 在O 点和等和线之间时，),1(+∞∈k .(4)当等和线过O 点时，0=k .(5)若两等和线关于O 点对称,则两定值(k )互为相反数.【解题步骤及说明】1.确定等值线为1的线；2.平移(旋转或伸缩)该线,结合动点的可行域,分析何处取得最大值和最小值；3.从长度比或点的位置两个角度,计算最大值和最小值.评注平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基地向量，使得需要研究的代数式为基地的系数和.例1 在ABC ∆中，已知D 是AB 边上的一点，若DB AD 2=，CB CA CD λ+=31，则λ=（ ）.A.32 B.31 C.31- D.32- 例2 若D 为ABC ∆所在平面的一点，CD BC 3=，则（ ）.A. AC AB AD 3431+-= B. AC AB AD 3431-= C. AC AB AD 3134+= D. AC AB AD 3134-=例3 已知D ，E ，F 分别是ABC ∆的三边BC ，CA ，AB 上的点，且BD DC 2=，EA CE 2=，FB AF 2=，则CF BE AD ++与BC （ ）.A. 反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直例4 ABC ∆中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB.若a CB =，b CA =，1=a ，2=b ，则CD =（ ）.A. b a 3231+B.b a 3132+C.b a 5453+D.b a 5354+例5 已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AB x AM =，AC y AN =，D 为边AB 的中点，求yx 11+的值.例6 在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点，过点H 作直线MN 分别交AB ，AC 于点M ，N ，若AB x AM =，AC y AN =，则y x 4+的最小值是（ ）.A.49 B.2 C.3 D.1例7 在PAB ∆所在平面上的点C 满足PB y PA x PC +=，且2=+y x ，请指出点C 的位置.例8、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动。
平面向量的等和线问题.ppt
平面向量 复习课(2)
平面向量共线定理 : 已知OA OB OC , 若 1, 则A, B , C 三点共线, 反之亦然. 等和线 : 平面内的一组基底OA, OB及任一向量OP , OP OA OB , 若点P 在直线AB上或平行于AB的直线上, 则 k (定值 ), 反之亦成立.我们把直线AB或平行于AB的直线叫做等和线. (1)当等和线恰为AB时, k 1; ( 2)当等和线恰在O点与AB之间时, k (0,1); (3)当直线AB在O点与等和线之间时, k (1, ); ( 4)当等和线过O点时, k 0; (5)若两等和线关于O点对称, 则定值互为相反数; (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办 A．打破了外商对中国航运业的垄断 B．阻止了外国对中国的经济侵略 C．标志着中国近代化的起步 ( )
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵
航空都获得了一定程度的发展。
(2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式，
一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的
联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
平面向量共线定理和等和线课件
平面向量和等和线的方向是相同的，即如果一个向量和一个等和线对应，那么它们的方向也是一致的。
平面向量与等和线在解析几何中的应用
解析几何的基本问题
在解析几何中，平面向量和等和线是解 决基本问题的工具。例如，两点间的距 离问题、直线的斜率问题等，都可以通 过平面向量和等和线来表示和解决。
定义
在平面上，如果一条直线上的任意点 与给定点（非该直线上任意点）所确 定的向量与该直线方向相反，则称该 直线为等和线。
性质
等和线上的任意点与定点的连线和该 直线方向相反。
等和线的判定与性质的应用
判定
若一直线上任意点与定点所确定的向量与该直线方向相反，则该直线为等和线。
应用
利用等和线性质可以证明共线定理，也可以解决一些解析几何问题。
等和线在解析几何中的应用
解析几何中常常涉及到直线、曲线等几何对象，而等和线是研究这些对象的重要工 具之一。
利用等和线可以研究直线与定点之间的位置关系，也可以研究曲线上的点的性质。
在一些较复杂的解析几何问题中，等和线还可以与其他数学工具结合使用，从而解 决更为复杂的问题。
平面向量与等和
03
的系
平面向量与等和线的相互转换
2. 已知点 P(2,3) ，圆 C ： x^2+y^2=100 ，求点 P 关于圆C的等和线方程。
等和线的习题与解析
解析
1. 根据等和线的定义，点A(1,2)关于点B(3,-1)的等和线方程就是向量AB与x轴正向夹角 的正切值的相反数的绝对值乘以x轴正向夹角的正切值。根据已知条件，可以计算出向 量AB与x轴正向夹角的正切值为-1/4，因此点A关于点B的等和线方程为y=-1/4x+5。
平面向量的等和线问题
例1 4.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的 夹角为1200.如图所示，点C 在以O为圆心的圆弧 AB上 变动.若OC xOA yOB , 其中x , y R, 则x y的最大值 是 ________ .
解法1 : 当点C 位于D点时, OD OA OB , x y 1, 所以, x y 2 OC OA xOA OA yOB OA, 解法2 : 设AOC , OC OB xOA OB yOB OB , 1 cos x y 2 即 , 1 cos(1200 ) x y 2 x y 2[cos cos(1200 )] cos 3 sin 2 sin( 解法3 : 设OC 与AB交于M , 则OC | OC | | OM |
平面向量 复习课(2)
平面向量共线定理 : 已知OA OB OC , 若 1, 则A, B , C 三点共线, 反之亦然. 等和线 : 平面内的一组基底OA, OB及任一向量OP , OP OA OB , 若点P 在直线AB上或平行于AB的直线上, 则 k (定值 ), 反之亦成立.我们把直线AB或平行于AB的直线叫做等和线. (1)当等和线恰为AB时, k 1; ( 2)当等和线恰在O点与AB之间时, k (0,1); (3)当直线AB在O点与等和线之间时, k (1, ); ( 4)当等和线过O点时, k 0; (5)若两等和线关于O点对称, 则定值互为相反数; (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
)
例1 3.如图,四边形OABC是边长为1的正方形,点D在OA 的延长线上, 且OD 2,点P为BCD内(含边界)的动点, 设OP OC OD, 则 的最大值等于 ____ .
第二章平面向量等和线法-浙江省台州市书生中学高中数学人教A版必修4课件(共13张PPT)
典型例题： 例1.(2013 .南通二模 )如图，正六边形 ABCDEF 中，
P是CDE内(包括边界 )的动点，设 AP AB AF （， R），则 的取值范围是 ___________ .
解析：
BF为k 1的等和线，P在CDE内时， EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的
AN AM
• 解题步骤
• ①选起点； • ②定基线（平移确定等和线值为1的线） • ③作平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取
得最大值和最小值；
典型例题
变式1.(2013杭州一模17)如图，在扇形OAB中，AOB ，
3 C为弧AB上的一个动点，若OC xOA yOB，
(1)求x y的取值范围； (2)求x 3y的取值范围；
,
AD AM
3,4
例2.如图在平行四边形 AB中C，D M ,三N等为分CD点的，
S为AM
BN的交点，P为AB上一动点， Q为SMN内(含边界)，若
PQ xAM yBN,则x y的取值范围是
D
N
M
Q
C
S
A
PBBiblioteka 思考：2011苏州一模13如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，
P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，
(2)当点C在直线AB外，则x y
C
O
B
深入研究
若OC KOD，那么OD 1 (xOA yOB) x OA y OB( A, B, D三点共线)
K
K
K
x y 1,即x y K KK
进一步探究
过C点作直线l // AB,在l上任作一点C'，连接OC 'AB D'
专题26平面向量的概念及其线性运算ppt课件
第1轮 ·数学
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为 深 入 学 习 习近平 新时代 中国特 色社会 主义思 想和党 的十九 大精神 ,贯彻全 国教育 大会精 神,充分 发挥中 小学图 书室育 人功能
栏 目 导 航
01 课前回扣·双基落实 02 课堂互动·考点突破
第五章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
平面向量、复数
解决平面向量概念问题的关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函 数图象移动混为一谈． (4)非零向量 a 与|aa|的关系：|aa|是 a 方向上的单位向量．
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第五章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
平面向量、复数
(4)平行向量：方向___相__同__或__相__反___的非零向量．平行向量又叫___共__线__向__量___.规 定：0与任一向量__平__行____.
平面向量、复数
4．(2019·宁夏银川期末)设点 P 是△ABC 所在平面内一点，且B→C＋B→A＝2B→P，则 P→C＋P→A＝__0______.
解析 因为B→C＋B→A＝2B→P，由平行四边形法则知，点 P 为 AC 的中点，故P→C＋P→A ＝0.
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第五章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
λ(a＋b)＝λa＋λb ＝0 时，λa＝0
平面向量的等和线问题
解 : 过点P作GH / /BC,交AC, AB的延长线于G, H ,则 uuur uuur uuur OP ? x AG? yAH, 且x ? y ? 1,
当点P位于D点时,G, H分别位于C ', B '
Q ? BCD与? ABC的面积之比为2，? AC' ? 3AC, AB ' ? 3AB
uuur 2 y AE,
2
如图, 连BE ,当点P在B点时,三点B, E , P共线, uuur uuur
且 AP ? AB,即x ? 2 y ? 1? 0 ? 1, uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2
2
uuur uuur 例1 ? 4.给定两个长度为 1的平面向量 OA和OB，它们的
夹角为1200.如图所示，点 C在以O为圆心的圆弧 ?AB上 uuur uuur uuur
变动.若OC ? xOA ? yOB,其中x, y ? R,则x ? y的最大值
是 ? ________.
解法 1 : 当点C位于 D点时 ,
所以,CG ? 1 OC, DH ? 1 OD
2
2
uuur 所以, OP
?
uuur OB ?
uuur ? OG ?
uuur ? OH
?
3
?
uuur OC
?
3
?
uuur OD
?
?
uuur OC ?
uuur ? OD
2
2
所以,? ? 3 ? , ? ? 3 ? ,
2
2
所以,? ? ? ? 3 (? ? ? ) ? 3
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.