量纲分析法 PPT
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量纲分析法PPT课件
开尔
堪德
摩尔N
其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到。
量纲齐次原则
引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
对无量纲量，[]=1(=L0M 0T 0)
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
单摆运动示例
例:单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
[ t ] L 0 M T0 1
[
m
]
L0M
1T
0
[
l
]
L1M
0T
0
[ g ] L 1 M 0 T 2
(L0M0T1)y1(L0M1T0)y2(L1M0T0)y3 (L1M0T2)y4 L0M0T0
LM T L M T y 3 y 4 y 2 y 1 2 y 4
0 00
y3
y 4
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1,0,0)T y2 ( 0, 2, 0, 0,1,0)T y3 ( 1, 3, 1, 0,0,1)T
m
q ysj
s
j
j 1
而且存在一个未定的函数关系：
l
假设：1、不考虑空气阻力；
2、忽略地球自转对单摆运动的影响；
m
3、摆线是刚体，在摆动中无形变；
4、摆轴部分没有摩擦。
mg
在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有：
t、m、l、g、
单摆运动的规律由公式 F(t, l, m, g, ) = 0 给出。
假设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
堪德
摩尔N
其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到。
量纲齐次原则
引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
对无量纲量，[]=1(=L0M 0T 0)
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
单摆运动示例
例:单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
[ t ] L 0 M T0 1
[
m
]
L0M
1T
0
[
l
]
L1M
0T
0
[ g ] L 1 M 0 T 2
(L0M0T1)y1(L0M1T0)y2(L1M0T0)y3 (L1M0T2)y4 L0M0T0
LM T L M T y 3 y 4 y 2 y 1 2 y 4
0 00
y3
y 4
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1,0,0)T y2 ( 0, 2, 0, 0,1,0)T y3 ( 1, 3, 1, 0,0,1)T
m
q ysj
s
j
j 1
而且存在一个未定的函数关系：
l
假设：1、不考虑空气阻力；
2、忽略地球自转对单摆运动的影响；
m
3、摆线是刚体，在摆动中无形变；
4、摆轴部分没有摩擦。
mg
在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有：
t、m、l、g、
单摆运动的规律由公式 F(t, l, m, g, ) = 0 给出。
假设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
量纲分析和相似原理ppt课件
dim q L TM
几何学量纲：α≠0,
分类 动力学量纲：γ≠0
β=0,
γ=0，
运动学量纲：β≠0，γ=0
二、量纲一的量
基本量和导出量可以组合成量纲为1的量，称 为量纲一的量，即α=0,β=0,γ=0。 特点： （1）无单位，它的大小与所选单位无关； （2）量纲表示式中的指数均为零。 几个互相独立，不能结合成量纲一的量称为基 本量。如长度L、流速v和密度ρ就可以作为基本量。
量，独立，可作为基本量。
如长度L、速度V、密度ρ三个物理量满足：
1 2 3 D 1 2 3 0ຫໍສະໝຸດ 1 2 3，可作为基本量。
问题
1. 速度v，长度l，重力加速度g的量纲1的集合是： A. B. C. D. 2. 速度v,密度ρ,压强p的量纲1的集合是： A. B. C. D. 3. 速度v，长度l，时间t的量纲1的集合是： D. A. B. C. 4. 压强△p，密度ρ，长度l，流量Q的量纲的集合是： A. B. C. D.
§4-2 量纲分析法
量纲和谐原理最重要的用途在于能确定方程式中 物理量的指数，从而找到物理量间的函数关系，以建 立合理的方程式。这种利用量纲和谐原理探求物理量 之间的函数关系称为量纲分析法。 • 依据：量纲和谐原理 • 方法：瑞利法：适用于单项指数形式。 π定理：适用于普遍性的问题。
一 瑞利法
计算步骤： 1. 确定与所研究的物理现象有关的n个物理量； 2. 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如： FD=kDx Uyρz μa 3. 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相 同，确定物理量的指数x,y,z,a ，代入指数方程式即得 各物理量之间的关系式。 应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数n小 于等于4~5个。
几何学量纲：α≠0,
分类 动力学量纲：γ≠0
β=0,
γ=0，
运动学量纲：β≠0，γ=0
二、量纲一的量
基本量和导出量可以组合成量纲为1的量，称 为量纲一的量，即α=0,β=0,γ=0。 特点： （1）无单位，它的大小与所选单位无关； （2）量纲表示式中的指数均为零。 几个互相独立，不能结合成量纲一的量称为基 本量。如长度L、流速v和密度ρ就可以作为基本量。
量，独立，可作为基本量。
如长度L、速度V、密度ρ三个物理量满足：
1 2 3 D 1 2 3 0ຫໍສະໝຸດ 1 2 3，可作为基本量。
问题
1. 速度v，长度l，重力加速度g的量纲1的集合是： A. B. C. D. 2. 速度v,密度ρ,压强p的量纲1的集合是： A. B. C. D. 3. 速度v，长度l，时间t的量纲1的集合是： D. A. B. C. 4. 压强△p，密度ρ，长度l，流量Q的量纲的集合是： A. B. C. D.
§4-2 量纲分析法
量纲和谐原理最重要的用途在于能确定方程式中 物理量的指数，从而找到物理量间的函数关系，以建 立合理的方程式。这种利用量纲和谐原理探求物理量 之间的函数关系称为量纲分析法。 • 依据：量纲和谐原理 • 方法：瑞利法：适用于单项指数形式。 π定理：适用于普遍性的问题。
一 瑞利法
计算步骤： 1. 确定与所研究的物理现象有关的n个物理量； 2. 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如： FD=kDx Uyρz μa 3. 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相 同，确定物理量的指数x,y,z,a ，代入指数方程式即得 各物理量之间的关系式。 应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数n小 于等于4~5个。
量纲分析与相似原理ppt课件
三个独立的无量纲量：Eu、Re、Fr
Eu可由Re、Fr导出。 故，保证Re、Fr相等就可达到动力相似。 事实上，即使只有这两个，也很难做到相等的要求。
20
分析Re和Fr
首先，Fr
v2
gl
由Frm = Frp 得
vm2 vp2 gmlm gplp
vm2 lm vp2 lp
v2 l
数得 Ma2
l 2v 2
FE
l 2v 2
EVl 2
v2
EV
v Ma
EV /
Ma表示惯性力与弹性力的比值
16
（5）韦伯数（We）
表面张力起主导作用，则F = Fσ，作为分母代入牛
顿数得 We2
l 2v 2
l 2v 2
v2
We v
F
l /(l)
/(l)
9
Fν —— 粘性力； Fp —— 压力； FG —— 重力；
FI —— 惯性力； FE —— 弹性力； Fσ —— 表面张力力
F
Fp,m Fp,p
F ,m F ,p
FG , FG ,p
FI ,m FI ,p
FE ,m FE ,p
F ,m F ,p
四 定界条件相似 初始条件与边界条件相似。 对于稳定流动，不需要初始条件。 可把边界条件相似归于几何相似。
对于动力粘度： dimμ = ML1T1
即α＝－1，β＝－1，γ＝1
二 量纲和谐原理 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都
必须是一致的。因为只有相同类型的物理量才能相加减。 否则无意义。
Eu可由Re、Fr导出。 故，保证Re、Fr相等就可达到动力相似。 事实上，即使只有这两个，也很难做到相等的要求。
20
分析Re和Fr
首先，Fr
v2
gl
由Frm = Frp 得
vm2 vp2 gmlm gplp
vm2 lm vp2 lp
v2 l
数得 Ma2
l 2v 2
FE
l 2v 2
EVl 2
v2
EV
v Ma
EV /
Ma表示惯性力与弹性力的比值
16
（5）韦伯数（We）
表面张力起主导作用，则F = Fσ，作为分母代入牛
顿数得 We2
l 2v 2
l 2v 2
v2
We v
F
l /(l)
/(l)
9
Fν —— 粘性力； Fp —— 压力； FG —— 重力；
FI —— 惯性力； FE —— 弹性力； Fσ —— 表面张力力
F
Fp,m Fp,p
F ,m F ,p
FG , FG ,p
FI ,m FI ,p
FE ,m FE ,p
F ,m F ,p
四 定界条件相似 初始条件与边界条件相似。 对于稳定流动，不需要初始条件。 可把边界条件相似归于几何相似。
对于动力粘度： dimμ = ML1T1
即α＝－1，β＝－1，γ＝1
二 量纲和谐原理 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都
必须是一致的。因为只有相同类型的物理量才能相加减。 否则无意义。
量纲分析与相似理论-PPT课件
答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选 （M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基 本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。 （2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说， 不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量 在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 （3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列式 应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、动 力学量中各选一个，即可满足要求。
2. 将N写成γ ，Q，H的指数乘积形式，即
Nk QH
a b
c
解题步骤
3. 写出量纲表达式
a b c d i m N d i m ( Q H )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[ L T M ][ L T M ] [ L T ] [ L ]
2 3
2 2 a3 1 b c
MF2Hf0611001
题
目
量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？
答：1.提出根据
（1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用
完整的物理方法来表示。
（2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。 2.作用 可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；
检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程 根据题意可知，压强差△p与通过的流量Q，流体的 密度ρ ，液体的粘度η 以及大小直径D1,D2有关，用函 数关系式表示为：
q f( H , ,g )
2. 将q写成H，ρ ，g的指数乘积形式，即
qk Habgc
解题步骤
3. 写出量纲表达式
2. 将N写成γ ，Q，H的指数乘积形式，即
Nk QH
a b
c
解题步骤
3. 写出量纲表达式
a b c d i m N d i m ( Q H )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[ L T M ][ L T M ] [ L T ] [ L ]
2 3
2 2 a3 1 b c
MF2Hf0611001
题
目
量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？
答：1.提出根据
（1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用
完整的物理方法来表示。
（2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。 2.作用 可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；
检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程 根据题意可知，压强差△p与通过的流量Q，流体的 密度ρ ，液体的粘度η 以及大小直径D1,D2有关，用函 数关系式表示为：
q f( H , ,g )
2. 将q写成H，ρ ，g的指数乘积形式，即
qk Habgc
解题步骤
3. 写出量纲表达式
第五章 量纲分析与相似原理ppt课件
4 1 2 n m
或显解一个 参数，如：
f , , . . . ,
或求得一个因变量的表达式。
例1：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差 p 与下 , ,v ,l, 列变量有关：管径 d ，管壁粗糙度 ，试求 p 的 表达式。
解 ： fdv ,,, l ,,, p 0
z 3 a 1 1
为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。因此
M : 1 z a L : 0 x y 3z a T : 2 y a
故 Fk D U D
1 a2 a1 aa
得 x 1 a , y 2 a , z 1 a
l 设 f4 R e ,
l v2 则 h d 2g
例2：已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压 强降落 p 随流量Q，流体密度 ，液体粘性系数 ，管 壁粗糙高度 ，流量计长度L以及大小直径 D 1 , D 2 变化。 试用 定律求出的压强降落 p 表示的流量公式。 解：函数式为：
f D ,, v , ,, 0 0
（动力量）为基 从各独立影响因素中选取D（几何量），v（运动量）， 本量建立 项：
, , D v D v D v
1 0 a bc 1 1 1 2 a bc 2 2 2 3 a bc 3 3 3
f , Q , DD , ,2 , p 0 1
选取 , Q, D1 为基本变量， 则存在6-3=3个 数
1 Q D p 2 Q D 3 Q D D2
3 3 3 1 2 2 2 1
1
1
1 1
或显解一个 参数，如：
f , , . . . ,
或求得一个因变量的表达式。
例1：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差 p 与下 , ,v ,l, 列变量有关：管径 d ，管壁粗糙度 ，试求 p 的 表达式。
解 ： fdv ,,, l ,,, p 0
z 3 a 1 1
为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。因此
M : 1 z a L : 0 x y 3z a T : 2 y a
故 Fk D U D
1 a2 a1 aa
得 x 1 a , y 2 a , z 1 a
l 设 f4 R e ,
l v2 则 h d 2g
例2：已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压 强降落 p 随流量Q，流体密度 ，液体粘性系数 ，管 壁粗糙高度 ，流量计长度L以及大小直径 D 1 , D 2 变化。 试用 定律求出的压强降落 p 表示的流量公式。 解：函数式为：
f D ,, v , ,, 0 0
（动力量）为基 从各独立影响因素中选取D（几何量），v（运动量）， 本量建立 项：
, , D v D v D v
1 0 a bc 1 1 1 2 a bc 2 2 2 3 a bc 3 3 3
f , Q , DD , ,2 , p 0 1
选取 , Q, D1 为基本变量， 则存在6-3=3个 数
1 Q D p 2 Q D 3 Q D D2
3 3 3 1 2 2 2 1
1
1
1 1
《水力学》课件——第六章 量纲分析与相似理论
• 物理过程的有量纲表达形式为 f (x1, x2,", xn ) = 0 ，其中 m 个物
理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m
个物理量组合成无量纲量 1, 2,", ， 定理的结论是：物理
过程的无量纲表达形式为 F(
1,
nm
2,", n m =
)0
例 初速为零的自由落体运动位移s
形）得到流动的相似准数：
斯特劳哈尔数
S UT
t
L
弗劳德数
Fr U gL
欧拉数
P
En
U2
雷诺数
Re UL
它们分别是时变惯性力、重力、压差力、粘性力相似的准数。
斯特劳哈尔数
UT St L
表征
位变惯性力 时变惯性力
雷诺数
R UL e
表征
位变惯性力
弗劳德数
Fr U gL
表征 位变惯性力
欧拉数
P
En
U2
粘性力 表征
• 应用 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物
理量时，既不能遗漏，也不要多列。
ห้องสมุดไป่ตู้6—2 相似理论
一. 流动相似概念
• 本节在量纲分析基础上，讨论两个规模不同的不可压流体流
动的相似问题。这是进行有关流体力学模型试验时必须面对的 问题。
• 几何相似：流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度
• 在两个相似
流动中，对应 的无量纲量是 相同的。
• 不可压流体的流动都受N-S方程的控制，那么
我们怎样来保证两个不同规模的流动是相似的 呢？两个相似的不可压流体流动的无量纲解应 是相等的，这意味着控制流动的无量纲方程和 无量纲边界条件和初始条件应是完全一样的。
量纲分析法课件
量的待定幂指数，从而可得到 j 的表达式。 如在该问题中，令：
4
5
M M
0 L0 t 0 0 L0 t 0
L ML3 A1
Lt2 ML3
Mt2 A2 L A3
Mt L B1
2 B2
B3
4
5
M M
0 0
L0t0 L0t0
毛细现象。管中水柱上升的高度 h和水的密度 、表面张
力系数 、重力加速度 g 和玻璃管的内径 d 有关。
试用 定理确定 h的表达式。
解： 步骤 1：设其一般的函数关系为
h f , ,g,d
步骤 2：列写变量的量纲幂指数矩阵
设有变量 qi i 1, ,n影响某个流动过程，则 n个
变量的量纲幂指数矩阵为 4
Re)
CD
A
2
2
此即为著名的雷利（Rayleigh)绕流阻力计算公式。
式中：CD f (Re) 称绕流阻力系数，在不可压缩流体中与Re 有 关，可由实验测取二者的关系曲线。
23
水射流的加工过程中非常复杂，涉及到许多参数，可以写成如下 式:
Vm f m , m , dm , s , H , E
式中：Vm —单个颗粒的切削率；m —颗粒的速度； m —磨料 的密度； dm —颗粒的平均直径； s —被加工材料的屈服强度；H 、E —材料的刚度和弹性模量。对其模型的描述也较为困难。
燕山大学的王军、于超、耿鹏飞等基于量纲分析法，建立了水射 流打孔过程的新数学模型，
通过试验验证该模型的误差仅为3 % ～ 1 0 % 。
24
而这些物理量包括有 m 个基本变量时，则可以用因次 分析的方法获得(n-m)个无因次数群。这个现象的特征 可以用这(n-m)个无因次数群的关系形式来表示。这即 π 定理，是因次分析的基本定理，它是由 Bucking-ham 于 1914 年根据物理方程式因次和谐的原理导出的。 3
量纲分析法ppt课件
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 量 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 纲 力 F 的量纲 [F]=LMT-2
——“质”的表征。 基本量纲
（动力学中L, M, T）
导出量纲
量纲公式
某物理量q的量纲[q]可用3个基本量纲的指数乘积表示
[q] M LT
分 类
无量纲量：
几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0，0，0
L M T L M T y3y4
y2 y1 2 y4
0 00
y3 y4 0
y 2
0
y 1
2y 4
0
y1 2, y2 0, y3 1, y4 1
t 2l 1g F ( ) 0 (t l / g )
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
： 各物理量之间的关系式。
qi q1aq2 b ...qn1p
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 f t, m, l, g 0
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2 g3
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t] [m]1 [l]2 [g]3
qm1, qm2 ,..., qn
qm j
q x1 j 1
q2 x2 j ... qm xmj ( j 1,2,...,n m)
ln qm j x1 j lnq1 x1 j lnq2 ... xmj lnqm
——“质”的表征。 基本量纲
（动力学中L, M, T）
导出量纲
量纲公式
某物理量q的量纲[q]可用3个基本量纲的指数乘积表示
[q] M LT
分 类
无量纲量：
几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0，0，0
L M T L M T y3y4
y2 y1 2 y4
0 00
y3 y4 0
y 2
0
y 1
2y 4
0
y1 2, y2 0, y3 1, y4 1
t 2l 1g F ( ) 0 (t l / g )
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
： 各物理量之间的关系式。
qi q1aq2 b ...qn1p
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 f t, m, l, g 0
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2 g3
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t] [m]1 [l]2 [g]3
qm1, qm2 ,..., qn
qm j
q x1 j 1
q2 x2 j ... qm xmj ( j 1,2,...,n m)
ln qm j x1 j lnq1 x1 j lnq2 ... xmj lnqm
第一节-量纲分析方法
第一节量纲分析方法量纲分析是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。
利用这种方法可以从某些条件出发，对某一物理现象进行推断，可将这个物理现象表示为某些具有量纲的变量的方程，从而可以用此来分析个物理量之间的关系。
1.1量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。
概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。
它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。
在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J。
按照国家标准（GB3101—93），物理量•的量纲记为dim•，国际物理学界沿用的习惯记为[•]。
实际中，有些物理量的量纲是基本的，成为基本量纲。
系统因选定的基本单位不同，而分成绝对系统与工程系统两大类。
工程系统的基本单位：质量、长度、时间、力。
绝对系统的基本单位：质量、长度、时间。
绝对系统以长度(length)、质量(mass)、时间(time)及温度(temperature)为基本量纲，各以符号L 、M 、T 、θ表示其量纲。
其他可由基本量纲推导出的量纲称为导出量纲。
但在工程系统中，除了长度L 、质量M 、时间T 及温度θ等基本量纲外，也将力定义为基本量纲，而以符号F 表示其量纲。
此外在探讨热量 (heat)时，热量亦被定义为基本量纲，而以H 表示。
而其他的物理量的量纲可以由这些基本量纲来表示，比如：速度v = ds/dt 量纲：[]V =1LT - 加速度a = dv/dt 量纲：2[]a LT -= 力F = ma 量纲：22[][][]F M LT MLT --==压强P = F/S 量纲： 22[]P MLTL --= 21MT L --= 实际中，也有些量是无量纲的，比如,e π等，此时记为[][]1e π==。
量纲分析课件
模型试验的无量纲准则
如果物理方程转换成只包含无量纲量的函数 这个函数关系将不随单位的改变而改变。 式，这个函数关系将不随单位的改变而改变。 单位改变后物理量的数值要改变一个倍数而 物理模型也是改变了实物的大小， 物理模型也是改变了实物的大小，从而把各 物理量改变一个倍数，二者有共同之处。 物理量改变一个倍数，二者有共同之处。
模型试验的无量纲准则
量纲分析正是确定无量纲数的重要手段之一， 量纲分析正是确定无量纲数的重要手段之一， 所求得的须保持为同量的无量纲数， 所求得的须保持为同量的无量纲数，称为模 型试验的无量纲准则。 型试验的无量纲准则。
量纲分析的方法
具体进行无量纲分析有不同的方法。 具体进行无量纲分析有不同的方法。常用 的方法有下列两种： 的方法有下列两种：①白金汉法和 ②瑞利 法。 ①白金汉法：先选取几个独立变量（基本单 白金汉法：先选取几个独立变量（ ），再按 定理算出应有无量纲数的个数， 位），再按̟定理算出应有无量纲数的个数， 并设定无量纲乘积的形式， 并设定无量纲乘积的形式，然后按量纲一 致性原则解出无量纲乘积中各变量的指数， 致性原则解出无量纲乘积中各变量的指数， 就得出各̟。
量纲分析能阐明物理运动中诸物理量之间 的关系，初步反映出某些运动规律。 的关系，初步反映出某些运动规律。 无量纲数求得后又可减少函数中变量的个 也能订出模型试验的相似准则， 数，也能订出模型试验的相似准则，这是 一种简单而有效的方法。 一种简单而有效的方法。 但量纲分析有局限性，应用时必须慎重。 但量纲分析有局限性，应用时必须慎重。 正确的量纲分析基于对物理实质的正确认 分析的结果也须以实验来验证。 识，分析的结果也须以实验来验证。
无量纲数计算式写成： 无量纲数计算式写成：
π=
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量纲分析与无量纲化
概念与意义
量纲分析法
物 l 的量纲记 L=[l] 理 质量 m的量纲记 M=[m] 量 t 的量纲记 T=[t]
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 量 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 纲 力 F 的量纲 [F]=LMT-2
——“质”的表征。 基本量纲
（动力学中L, M, T）
q m j q 1 x 1 jq 2 x 2 j.q m .x m ( . j j 1 , 2 ,n . m . ). ,
q m j q 1 x 1 jq 2 x 2 j.q .m x .m q m j j(m j)
角函数等超越函数的运算是没有意义的。只有无量纲化才能
进行超越函数运算。如气体等温压缩计算式：W
p1V1
ln
V2 V1
量纲分析与无量纲化
研概究念方与法意义
量纲分析法
方法一：瑞利法（Rayleigh） ——量纲和谐原理的直接应用
具 1、 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量；
体 2、 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：
导出量纲
量纲公式
某物理量q的量纲[q]可用3个基本量纲的指数乘积表示
[q]MLT 几何学量纲： = 0，0，=0
无量纲量：
分 类
运动学量纲： = 0，0，0
动力学量纲：0，0，0
对无量纲量q，[q]=1(=L0M0T0) 0
两个具有相同量纲的物理量相比； 几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零。
t2l1g F()0(t l/g)
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
定理是量纲分析更为普遍的原理，由美国物理学家布金汉提出：
若某一物理过程包含n个物理量，即 f(q1,q2,..q.n,)0
q x 1 a 1x 2a 2..x m .a m l q n a 1 l x n 1 a 2 l x n 2 .a m .l. x n m
可以把它看成是m维空间的正交基矢，则 a1,a2,..a.m ,就是矢量
ln[q]在各个基矢量上的投影。则物理量q的“量纲”可以记做：
ln q a 1 ,a 2,.a .m .,l q n i a 1 i,a 2 i,. a m . ( i . i1 , , 2 ,. n ) ..,
可以互相讨论下，但要小声点
定理的解题步骤
（3）基本变量依次与其余物理量组成(n-m)个无量纲项( 项)，即
qm1,qm2,...q,n
q q m j q 1 x 1 jq 2 x 2 j.q m .x m ( . j j 1 , 2 ,n . m . ).1 ,a1
4 b1
c1
q q q lq m n j x 1 j lq 1 n x 1 j lq 2 n . . x m l .q m n j 1 2 3
如：一般取m=3，取基矢量q1、 q2、 q3
q1 M a1 Lb1 T c1 q2 M a2 Lb2 T c2 q3 M a3 Lb3 T c3
a1 b1 c1 a2 b2 c2 0 a3 b3 c3
满足基本量量纲 独立的条件是量 纲式中的指数行 列式不等于0
大家有疑问的，可以询问和交流
意义
(1)无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性：
凡有量纲的物理量，都有单位，同一物理量，因选取的度
量单位不同，数值也不同，运动方程式的计算结果会受人主
观选取单位的影响；
(2)不受运动规律的影响：
无量纲量是常数，数值大小与度量单位无关，也不受运动
规律的影响；
(3)可进行超越函数运算：
由于有量纲量只能做简单的代数运算，做对数、指数、三
其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量）
则该物理过程可由n个物理量构成的(n-m)个无量纲项所表达
的关系式来描述 ，即 F(1,2,...n ,m )0
定理的解题步骤
（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响
这个现象的各个物理量及其关系式 f(q1,q2,..q.n,)0
（2）确定基本变量：从n个物理量中选取m个基本物理量
a11 a12 ... a1m x1j a1,m j
将其写出分量的形式： a21 a22 ... a2m x2j a2,mj
... ... ... ... x3j a3,mj
（4）满足π为无量纲项，
am1 am2 ... amm x4 j a4,m j
定出上面各项中基本量的指数ai , bi , ci
1 2
0 1
/
2
3 1 / 2
t l 对比 t 2 l
g
g
例题：
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 f(t,m ,l,g)0
t ml g y1 y2 y3 y4
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
[ t ] L 0 M T0 1
[
m
]
L0M
1T
0
[
l
]
L1M
0T
0
[ g ] L 1 M 0 T 2
(L0M0T1)y1(L0M1T0)y2(L1M0T0)y3 (L1M0T2)y4 L0M0T0
LM T L M T y 3 y 4 y 2 y 1 2 y 4
0 00
y3 y4 0
y
2
0
y 1
2
y 4
0
y 12 ,y20 ,y3 1 ,y4 1
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2g3
l
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t][m ]1[l]2[g]3
m
(4)以基本量纲表示 T M 1 L 2L 2 3 T M 1 L 2 3 T 2 3 mg
(5)根据量纲和谐原理
1 0 2 3 0 2 3 1
分 析
qi K1aqq2b..q.np1
步 3、 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，
骤 确定物理量的指数a，b，……p，代入指数方程式即得
： 各物理量之间的关系式。
q i q 1 a q 2b ..q n .1 p
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 ft,m ,l,g0
概念与意义
量纲分析法
物 l 的量纲记 L=[l] 理 质量 m的量纲记 M=[m] 量 t 的量纲记 T=[t]
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 量 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 纲 力 F 的量纲 [F]=LMT-2
——“质”的表征。 基本量纲
（动力学中L, M, T）
q m j q 1 x 1 jq 2 x 2 j.q m .x m ( . j j 1 , 2 ,n . m . ). ,
q m j q 1 x 1 jq 2 x 2 j.q .m x .m q m j j(m j)
角函数等超越函数的运算是没有意义的。只有无量纲化才能
进行超越函数运算。如气体等温压缩计算式：W
p1V1
ln
V2 V1
量纲分析与无量纲化
研概究念方与法意义
量纲分析法
方法一：瑞利法（Rayleigh） ——量纲和谐原理的直接应用
具 1、 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量；
体 2、 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：
导出量纲
量纲公式
某物理量q的量纲[q]可用3个基本量纲的指数乘积表示
[q]MLT 几何学量纲： = 0，0，=0
无量纲量：
分 类
运动学量纲： = 0，0，0
动力学量纲：0，0，0
对无量纲量q，[q]=1(=L0M0T0) 0
两个具有相同量纲的物理量相比； 几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零。
t2l1g F()0(t l/g)
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
定理是量纲分析更为普遍的原理，由美国物理学家布金汉提出：
若某一物理过程包含n个物理量，即 f(q1,q2,..q.n,)0
q x 1 a 1x 2a 2..x m .a m l q n a 1 l x n 1 a 2 l x n 2 .a m .l. x n m
可以把它看成是m维空间的正交基矢，则 a1,a2,..a.m ,就是矢量
ln[q]在各个基矢量上的投影。则物理量q的“量纲”可以记做：
ln q a 1 ,a 2,.a .m .,l q n i a 1 i,a 2 i,. a m . ( i . i1 , , 2 ,. n ) ..,
可以互相讨论下，但要小声点
定理的解题步骤
（3）基本变量依次与其余物理量组成(n-m)个无量纲项( 项)，即
qm1,qm2,...q,n
q q m j q 1 x 1 jq 2 x 2 j.q m .x m ( . j j 1 , 2 ,n . m . ).1 ,a1
4 b1
c1
q q q lq m n j x 1 j lq 1 n x 1 j lq 2 n . . x m l .q m n j 1 2 3
如：一般取m=3，取基矢量q1、 q2、 q3
q1 M a1 Lb1 T c1 q2 M a2 Lb2 T c2 q3 M a3 Lb3 T c3
a1 b1 c1 a2 b2 c2 0 a3 b3 c3
满足基本量量纲 独立的条件是量 纲式中的指数行 列式不等于0
大家有疑问的，可以询问和交流
意义
(1)无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性：
凡有量纲的物理量，都有单位，同一物理量，因选取的度
量单位不同，数值也不同，运动方程式的计算结果会受人主
观选取单位的影响；
(2)不受运动规律的影响：
无量纲量是常数，数值大小与度量单位无关，也不受运动
规律的影响；
(3)可进行超越函数运算：
由于有量纲量只能做简单的代数运算，做对数、指数、三
其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量）
则该物理过程可由n个物理量构成的(n-m)个无量纲项所表达
的关系式来描述 ，即 F(1,2,...n ,m )0
定理的解题步骤
（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响
这个现象的各个物理量及其关系式 f(q1,q2,..q.n,)0
（2）确定基本变量：从n个物理量中选取m个基本物理量
a11 a12 ... a1m x1j a1,m j
将其写出分量的形式： a21 a22 ... a2m x2j a2,mj
... ... ... ... x3j a3,mj
（4）满足π为无量纲项，
am1 am2 ... amm x4 j a4,m j
定出上面各项中基本量的指数ai , bi , ci
1 2
0 1
/
2
3 1 / 2
t l 对比 t 2 l
g
g
例题：
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 f(t,m ,l,g)0
t ml g y1 y2 y3 y4
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
[ t ] L 0 M T0 1
[
m
]
L0M
1T
0
[
l
]
L1M
0T
0
[ g ] L 1 M 0 T 2
(L0M0T1)y1(L0M1T0)y2(L1M0T0)y3 (L1M0T2)y4 L0M0T0
LM T L M T y 3 y 4 y 2 y 1 2 y 4
0 00
y3 y4 0
y
2
0
y 1
2
y 4
0
y 12 ,y20 ,y3 1 ,y4 1
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2g3
l
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t][m ]1[l]2[g]3
m
(4)以基本量纲表示 T M 1 L 2L 2 3 T M 1 L 2 3 T 2 3 mg
(5)根据量纲和谐原理
1 0 2 3 0 2 3 1
分 析
qi K1aqq2b..q.np1
步 3、 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，
骤 确定物理量的指数a，b，……p，代入指数方程式即得
： 各物理量之间的关系式。
q i q 1 a q 2b ..q n .1 p
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 ft,m ,l,g0