《圆幂定理》课件(15张PPT)
圆幂定理
一知识再现1. 圆幂定理一般地，把相交弦定理、切割线定理、割线定理等统称为圆幂定理。
它的基本内容是，在平面上经过；点P的直线与⊙O相交于A、B两点，有向线段PA、PB的乘积PA·PB是一个定值。
如下列图形，经过一定点P作圆的弦或割线或切线，设⊙O半径为R在图(1)中，PA·PB＝PC·PD=PE·PF＝(R-OP)(R-OP)=R2-OP2在图(2)中，PA·PB＝PT2=OP2-OT2==OP2-R2在图(3)中，PA·PB＝PC·PD= PT2==OP2-R2可得PA·PB均等于，为一常数，所以叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.2.角平分线定理角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶角），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，则AD ：DC=AB ：BC 3.平行线分线段定理定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.二 例题讲解例1如图4AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，AB = 10cm ，P A : PB = 2 : 3，OP = 5cm ，则⊙O 的半径等于 ．解析：设⊙O 的半径为R ．∵AB = 10cm ，P A : PB = 2 : 3，∴PA = 4 cm ，PB = 6 cm ． 由相交弦定理，得P A ·PB = PC ·PD = R 2－OP 2，即4×6 = R 2－52． 所以，R = 7． 故⊙O 的半径等于7 cm ． 例2．如图5，已知P AC 为⊙O 的割线，连接PO 交⊙O 于B ，PB = 2，OP = 7，P A= AC ，则P A 的长为（ ）A ．7B ．23C ．14D ．32解析：延长PO 交⊙O 于D ．∵PB = 2，OP = 7，∴OB = 5，即PC = 12． 由切割线定理的推论，得 P A ·AC = PB ·PC ． ∵P A = AC ，∴2 P A 2 = 2×12． 所以，P A = 23．故应选B ．一、“四心”分类讨论1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。
弦切角、圆幂定理苏教版苏三数学九年级课件
∠CTB＝ ∠A
∠DTA＝ ∠ABT
从而⊿CTB∽ ⊿CAT
C
切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这 点到割线与圆交点的两条线段长的比例中16项。
相交弦定理 圆内的两条弦相交，
被交点分成的两条线段长的积相等。
PA .PB=PC. PD
A
D P
C
A D
P C
B
B
当交点P在特殊位置——圆周上时，
C G
21
思考题：如图，BC切⊙O于B，CE⊥AF于E， AF是直径，求证：CD＝CB.
A
.E
3
D
O· .1 2.
F B
E O· F . . A 3 D 1 2 B
C
EO
. .·. A
3
D
1
4 2
F G
B
C
C 22
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
14
练一练
已知AB是⊙O的切线A为切点，由图填空：
30º
O 70º
21
AB
O
3
25º
AB
O
80º
4
AB
∠1= 30º；∠2= 70º；∠3= 65º；∠4= 40º。
15
如图，经过⊙O上的点T的切线和弦 AB的延长线交于点C，证:CT2=CA×CB
D T
A ··O ·
即 PA·PB = PC·PD
19
思考题：如图，BC切⊙O于B，CE⊥AF于E， AF是直径，求证：CD＝CB.
A
E3.
D
O· .1 2.
F B
C
20
思考题：如图，BC切⊙O于B，CE⊥AF于E， AF是直径，求证：CD＝CB.
圆幂定理
圆幂定理圆幂定理是对、及（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。
=PO^2-R^2（该结论为）所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切定理：从圆外一点引圆的和割线，是这点到割线与圆交点的两条线段长的。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
问题1相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。
证明：连结AC，BD，由的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。
∴△PAC∽△PDB∴PA/PD=PC/PB∴PA·PB=PC·PD问题2割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于则有PA·PB=PC·PD，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线时得到切线定理PA^2=PC·PD证明：（令A在P、B之间，C在P、D之间）∵ABCD为∴∠CAB+∠CDB=180°又∠CAB+∠PAC=180°∴∠PAC=∠CDB∵∠APC公共∴△APC∽△DPB∴PA/PD=PC/PB∴PA·PB=PC·PD切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT^2=PA·PB（切割线定理）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）问题3过点P任作直线交定圆于两点A、B，证明PA·PB为定值（圆幂定理）。
2020全国数学竞赛提升篇 平面几何 圆幂与根轴课件 (共30张PPT)
证明：假设A,B,C,D 不共圆，并设AK交 三角形ABC外接圆 与D’ 连结CD’并延 长交AM延长线与M’
同样得到N’ 连结 M’N’。设AK延长线 交MN,M’N’与R,R’。
由例二的结论，OK⊥M’N’.而已知OK ⊥MN。 ∴MN∥ M’N’. 且有MR/RN=M’R’/R’N’
三角形AMN中， AR,CM,BN交于一点。 由赛瓦定理，
2020数学竞赛（提升篇）·平面几何·圆幂与根轴
中学生数学奥林匹克竞赛 （提升篇）
平面几何——圆幂与根轴
2019.8
一.圆幂
• 1.概念： • 圆的幂是表示平面上一点P与圆O的位置关
系的一个量。 定义：点P对圆O的幂=PO2-R2 • 2.圆幂定理 圆幂定理实质上是三个定理的统一概括： ——切线定理，割线定理，以及相交弦定理
• 又在PR上取点M，连 CM,满足∠PAC= ∠CMR= ∠CDB,于是 又P,A,C,M共圆， M,C,D,R共圆。故有 RM×RP=RC×RA,P M×PR=PC×PD,两 式相加即有PR2=P的 幂+R的幂
评注：这个结论十分重要，应作为定理牢记。 用本题结论可以很容易地证明国家集训队的一道试 题以及全国高中数学联赛加试第一题。
下面来看几道关于根轴根心的题目。
例五.设三角形ABC的边AB,AC上分别有N,K两点， 且N,K,C,B四点共圆。若三角形ABC,三角形ANK外 接圆还交于异于A的点M。求证：AM⊥OM 由根轴及圆幂，有
故BO32-CO32=BD×BC-CD×BC=(BD-CD) ×BC =(BDCD) (BD+CD) =BD2-CD2 所以 DO3⊥BC
例二：设P是圆O外一点，PAB,PCD是两条切线， AD,BC交于点Q，延长BD,AC交于点R.求证： PQ2=P的幂+Q的幂 PR2=P的幂+R的幂
高中数学 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1.3.1 圆幂定理课件 新人教B版选修41
相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题， 利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二 求一．
2.(北京高考)如图，AB 为圆 O 的直径，PA 为圆 O 的 切线，PB 与圆 O 相交于 D.若 PA＝3，PD∶DB＝9∶ 16，则 PD＝________；AB＝________. 解：设 PD＝9t，DB＝16t，则 PB＝25t，根据切割线定理 得 32＝9t×25t，解得 t＝15，所以 PD＝95，PB＝5.在直角 三角形 APB 中，根据勾股定理得 AB＝4. 答案：95 4
1.3
圆
幂
定
第 一 章
理 1.3.1 与 圆 圆幂 内 定理
接
四
边
形
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
读教材·填要点 小问题·大思维
考点一 考点二 考点三
1.3
圆幂定理与圆内接四边形
1．3.1 圆 幂 定 理
[读教材·填要点]
1．相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 ． 2．切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的 比例中项．
3．如图所示，过点 P 的直线与⊙O 相交于 A，B 两点．若 PA ＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O 的半径等于________．
(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA， ∴△DEF∽△PEA. ∴DE∶PE＝EF∶EA. 即 EF·EP＝DE·EA. ∵弦 AD、BC 相交于点 E， ∴DE·EA＝CE·EB. ∴CE·EB＝EF·EP.
(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4， ∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6. ∵CE·EB＝EF·EP， ∴9×6＝4×EP. 解得：EP＝227. ∴PB＝PE－BE＝125，PC＝PE＋EC＝425. 由切割线定理得：PA2＝PB·PC， ∴PA2＝125×425. ∴PA＝125 3.
园幂定理
圆幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．相交弦定理: 在图(1)中⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD切割线定理: 在图(2)中 PAB为⊙O的割线；PT为⊙O的切线，则PA·PB＝PT2割线定理：在图(3)中，PAB、PCD为⊙O的两条割线，则PA·PB＝PC·PD 相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．熟悉以下基本图形、基本结论：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的.【例题求解】练习1 已知P 为⊙O 外一点，OP 与⊙O 交于点A ，割线PBC 与⊙O 交于点B ，C ，且PB ＝BC.如果OA ＝7，PA ＝2，求PC 的长.练习2 如图7-175，⊙O 和⊙O ′都经过点A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q ，M ，交AB 的延长线于N.求证：PN 2＝NM ·NQ.【例1】 如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ． (成都市中考题)思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长．注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段： (1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) (全国初中数学联赛题)A ．3B ．4C ．415D ．516思路点拨 连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件． 注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是∠O 的直径，PA 是过A 点的直线，∠PAC=∠B ．(1)求证：PA 是⊙O 的切线；(2)如果弦CD 交AB 于E ，CD 的延长线交PA 于F ，AC=8，CE ：ED=6：5， AE ：BE=2：3，求AB 的长和∠ECB 的正切值． (北京市海淀区中考题)思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的方程．【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE(四川省竞赛题) 思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长． (成都市中考题)思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F∽△EAF，Rt△AEB入手．拓展练习：1．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，交弦CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长为．2．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ．3．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点F，若AB=CD=2，则CE= ．4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为( )A ．6．4B ．3．2C ．3．6D ．85．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．226．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．如下图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．8．如上图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ；(2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长．⌒⌒⌒9．如上图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆 与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a2B ．a 1C ．2aD ．3a13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ， 若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215- C ．23D ．114．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，BE交⊙O于F，AF交CE于P，求证：PE=PC． (太原市竞赛题)15．已知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O相交于P、C两点，连结AC、AP、CP，并延长CP、AP分别交AB、BC、⊙O 于E、H、F三点，连结OF．(1)求证：△AEP∽△CEA；(2)判断线段AB与OF的位置关系，并证明你的结论；(3)求BH:HC (四川省中考题)16．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE=2，CD=1，求DE的长．(国家理科实验班招生试题)。
人教B版高中数学选修4-1课件 1.3.1圆幂定理课件2
∴r＝12(AC－CD)＝12
14－2
714＝5
14 14 .
反思感悟 (1)应用切割线定理的一般步骤： ①观察图形，寻找切割线定理成立的条件； ②找准相关线段的长度，列出等式； ③解方程，求出结果． (2)应用切割线定理及割线定理的前提条件： 只有从圆外一点才可能产生割线定理或切割线定理，切割线定理 是指一条切线和一条割线，而割线定理则是指两条割线，只有弄 清前提，才能正确运用定理．
【考题1】 (2012·北京高考)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点 D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )． A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2 解析 ∵CD⊥AB，∴以BD为直径的圆与CD相切．∴CD2＝ CE·CB. 在 Rt△ABC 中 ， CD 为 斜 边 AB 上 的 高 ， 有 CD2 ＝ AD·DB，因此，CE·CB＝AD·DB. 答案 A 反思感悟 本题考查直角三角形射影定理．切割线定理等基 础知识，考查推理论证能力．
根据切割线定理，得 AB2＝BM·BN，即 22＝x(x＋x)．
解得 x＝ 2，∴BC＝3x＝3 2.
(2)在 Rt△ABC 中，
AC＝ BC2－AB2＝ 14，
由割线定理，得
CD·AC＝CN·CM，由(1)可知，
CN＝ 2， CM＝BC－BM＝3 2－ 2＝2 2，AC＝ 14，
∴CD＝CNA·CCM＝2 714，
答案
9 8a
反思感悟 本小题主要考查解直角三角形知识及相交弦定理的应 用．
3.圆幂定理：
已知⊙(O ， r)，通过一定点 的任意一条割线交圆于A ， B两点，则：
当点P在圆外时，k= PO2 - r2 ； 当点P在圆内时，k= r2 - PO2； 当点P在⊙O上时，k= 0.
《1.3.1圆幂定理》课件1-优质公开课-人教B版选修4-1精品
而对于任意位置一点P，过点P的割线交 圆于A、B两点，割线 PA ·PB 的值又与哪些 因素有关系呢？ 这就是本节我们即将探讨的问题.
B A P
O
教学内容
探究
如图，弦 AB 和 CD 交⊙O内一点P，那么， 图中相等的角有哪些？由此能得到哪两个三角 形相似？并推出哪些线段成比例呢？ 下面，我们利用圆周角定理 和弦切角定理以及相似三角形进 行讨论.
B
3.AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上 的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别 交AC、 ⊙O、BC于点F、M、G . (1) 求证：AE ·BE = EF ·EG. 求 AE、MG. (2) 连结BD，若BD⊥BC于且EF=MF=2 ， 解： (1)证明 △AEF∽ △GEB 即可. (2) DE⊥AB，所以DE=EM=4，连结AD，可得 △AEF∽ △GEA，所以AE2=DE ·EF，所以 AE=2 2，由相交弦定理 DE ·EM=AE ·BE . 因 为 △AEF∽△GEB 所以 EF ·EG=AE ·BE ，
P A B
下面对相交弦定理和切割弦定理作进一步分析：
由切割线定理和相交弦定理不难看出， 不论点P在圆内或圆外，通过圆的任一条割线 交圆于A ， B两点，只要点P的位置确定了， 则 PA • PB 都是定值.
P A
B O
设定植为k，则：
当点P在圆外时，如图，由切割线定理，可得
k = PA • PB = PT2 = PO2 - r2 ( r表示⊙O的半径 )
解： 因为DC切⊙O于点C，DB切⊙O 于点B，所以CD=BD=3， 因为∠CDB=90°，PD=4，所以
PB BD 2 PD 2 32 42 5.又因为 PC2 PB PA, 所以 (4+3)2 =5 PA. 49 所以PA .因此 5 49 24 AB PA PB 5 . 5 5
圆幂定理课件15张PPT
结束
PA·PB=PC·PD C
A
D
OP
B
A D
P
C
O
• 如图，CD是弦，AB是直 径，CD⊥AB，垂足为P。 求证：PC2＝PA·PB
B
• 相交弦定理推论 如果弦与直径垂直相交， 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的
比例中项。 PC2= PA·PB
• 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，
切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的
比例中项。
T
PT2= PA·PB
O P
A B
D • 如图，PAB和PCD是⊙O
C
O
P
的两条割线。 求证：PA·PB＝PC·PD
A B
PA·PB＝PC·PD
• 切割线定理推论（割线定理） 从圆外一 点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆 的交点的两条线段长的积相等。
运动观点看本质
• 相交弦定理 • 相交弦定理推论 • 切割线定理 • 割线定理
B
D
DO
C
BC
P
O
P
D O
B C (D)
P
O
A
A (B)
A (B)
PAPB＝r2－OP2 (P在圆内)
PAPB＝OP2－r2(P在圆外)
PAPB＝OP2－r2=0(P在圆上)
定 值 O P 2 r 2称 做 点 P 对 圆 O 的 " 幂 "
圆幂定理：过一个定点P的任何一条直线 与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两 条线段的乘积为定值 O P 2 r 2 .=d （等 于点P到圆心的距离与半径的平方差的绝 对值） z.x.x.k
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们
圆幂定理
圆幂定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
或：经过圆内一点引两条弦,各弦被这点所分成的两段的积相等。
定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）概述相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定理为：切割线定理割线定理2证明证明：连结AC，BD由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。
（圆周角推论2：同(等)弧所对圆周角相等。
）∴△PAC∽△PDB∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。
其逆定理也可用于证明四点共圆。
P 不是圆心3比较相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及他们的推论统称为圆幂定理.一般用于求线段长度。
4相交弦定理推论定理如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。
说明几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P,则=PA·PB（相交弦定理推论）切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.是圆幂定理的一种.切割线定理示意图几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT²=PA·PB(切割线定理)推论:从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT²=PA·PB=PC·PD2证明切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠PAT（弦切角定理 )切割线定理的证明∠APT=∠APT（公共角)∴△PBT∽△PTA（两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT²=PB·PA3比较相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。
圆幂定理浙教版八年级上册
圆幂定理浙教版八年级上册摘要：一、圆幂定理简介1.圆幂定理的定义2.圆幂定理的意义二、圆幂定理的推导1.圆幂定理的数学表达式2.圆幂定理的推导过程三、圆幂定理的应用1.利用圆幂定理求解相关问题2.圆幂定理在日常生活中的应用四、圆幂定理与相关知识的联系1.圆幂定理与相似三角形2.圆幂定理与三角函数正文：一、圆幂定理简介圆幂定理，又称圆的幂定理或圆的面积公式，是指一个关于圆面积与半径平方之间关系的数学定理。
这一定理在解决与圆相关的几何问题时具有重要意义，也是学习圆的面积计算、圆的周长计算等知识的基础。
二、圆幂定理的推导圆幂定理的数学表达式为：πr = 2πr·h，其中r 为圆的半径，h 为圆心到圆上任意一点的距离。
推导过程如下：1.在一个圆中，连接圆心与圆上任意一点，得到一个直角三角形。
2.这个直角三角形的斜边就是圆的半径r，高就是圆心到圆上任意一点的距离h。
3.根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，即r = h + (r-h)。
4.将上式化简得到r = 2h - 2hr + r，即r = 2πr·h。
三、圆幂定理的应用1.利用圆幂定理求解相关问题：例如，已知圆的半径r，可以求解圆的面积；已知圆的面积和半径，可以求解圆的周长等。
2.圆幂定理在日常生活中的应用：例如，在建筑设计中，需要计算圆形结构的面积和周长；在机械制造中，需要根据圆幂定理来确定零件的尺寸等。
四、圆幂定理与相关知识的联系1.圆幂定理与相似三角形：当两个圆的半径成比例时，它们的面积也成比例。
这表明圆幂定理与相似三角形有密切的联系。
2.圆幂定理与三角函数：在解决与圆相关的三角问题时，可以利用三角函数与圆幂定理相互转换，简化问题的求解过程。
第四讲圆幂定理及射影定理
地区二中
张文军
圆幂定理
1、切割线定理
A
O B C
P
PA = PB PC
2
已知：P为⊙O外 一点，PA为⊙O的 切线，PBC为⊙O 的割线，如图示
A
O B C
P求证：PA =源自PB PC2分析:证明与乘积有关的问题，应考 虑三角形相似或面积相等（成比例）
已知：P为⊙O外 一点，PA为⊙O的 切线，PBC为⊙O 的割线，如图示
则：PM = PA PB PM = PC PD
2
∴ PAPB=PCPD
还能想出 其他证明 方法吗
3、相交弦定理 在圆内有两条弦相交，则交 点把弦分成两部分的积相等 已知：AB、CD是⊙O 的两条相交弦，交于点P 求证： APBP=CPDP 证明：连接AC、BD
A D O P C B
∠A = ∠D ACP ∽ DBP ∠C = ∠B AP BP = AP BP = CP DP DP CP
BC = BD AB
2
已知：在RtABC中， ∠C=Rt∠,CD是斜边AB上的高， 如图，求证：
CD = AD BD
2
AC = AD AB
2
∠ACD = ∠B
CD AC = BD CD 证明： 2 ∠A + ∠B = Rt∠ CD = BD AC ∠A + ∠ACD = Rt∠ 其余证明作为练习 ∠B = ∠ACD
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高是 两直角边在斜边上的射影的比例 中项；一直角边是该直角边在斜 边上的射影与斜边的比例中项 已知：在RtABC中， ∠C=Rt∠,CD是斜边AB上的高， C=Rt ,CD AB 如图，求证：CD 2 = AD BD
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D
A
A P D
A
C
P
C
C
D
B
P C O B
P C (D) O
O
C P A
D
O
P
D
BC
O B
O
A (B)
A (B)
PA PB＝r －OP (P在圆内)
2 2
PA PB＝OP －r (P在圆外)
2 2
PA PB＝OP －r =0(P在圆上)
2 2
定值 OP r 称做点P对圆O的" 幂"
2 2
圆幂定理：过一个定点P的任何一条直线 与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两 条线段的乘积为定值 OP r .=d （等 于点P到圆心的距离与半径的平方差的绝 对值）
2 2
z.x.x.k
B
PA· PB＝PC· PD
• 切割线定理推论（割线定理） 从圆外一 点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆 的交点的两条线段长的积相等。
运动观点看本质
• • • • 相交弦定理 相交弦定理推论 切割线定理 割线定理
本质一样
圆幂定理
几个定理得统一
相交弦定理 割线定理 切割线定理 切线长定理 A •P B D PA•PB=PC•PD PA²=PC•PD PA=PC
B
学会用半径加减或加减半径
• 如图，已知PAB是⊙O的割线，PO＝14cm， PA＝4cm，AB＝16cm。求⊙O的半径。
B A P
O
C
• 如图，两个以O为圆心的同心圆，AB切大 圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D、E。 AB=12，AO=15，AD=8，求两圆的半径。
B
A D C E O
• 如图，⊙O和⊙O′都经 过点A、B，PQ切⊙O于 P，交⊙O ′于Q、M，交 AB的延长线于N。 求证：PN2＝NM· NQ
B
• 相交弦定理推论 如果弦与直径垂直相交， 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的 比例中项。 2
PC = PA· PB
• 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项。 T
PT2= PA· PB
P
A
O B
D•
C P A O
如图，PAB和PCD是⊙O 的两条割线。 求证：PA· PB＝PC· PD
C
PA•PB=PC•PD
统一叙述为：过一点P（无论点P在圆内，还是在圆外） 的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重合 的“交点”）于点A、B、C、D，PA•PB=PC•PD 。
zxxk
• 如图，在⊙O中，P是弦AB上一点， OP⊥PC，PC交⊙O于C。 求证：PC2＝PA· PB
C A D P O
。
O
1 2
A
P
几何语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠1=∠2
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等
提供了新的方法。
圆幂定理
A
• 相交弦定理 圆内的两条相交 弦，被交点分成的两条线段长 的积相等。
O
C
D
P
B
PA· PB=PC· PD
A
P
C O
D
• 如图，CD是弦，AB是直 径，CD⊥AB，垂足为P。 求证：PC2＝PA· PB
A
O' M
O B N P
Q
• 如图，C为AB的中点， BCDE是以BC为一边的 D 正方形，以B为圆心， BD为半径的圆与AB及其 延长线相交于H、K。 A H C 2 求证：AH· AK=2AC 。
E
B
K
(1)经过⊙O内或外一点P作两条直线交⊙O于 A,B,C,D四点,得到了如图所示的六种不同情 况.在六种情况下,PA,PB,PC,PD四条线段在数 量上满足的关系式可用同一个式子表示.请先 写出这个式子，然后只就图②给予证明；
我们把圆的切线上某一点与切点之间 的线段的长叫做这点到圆的切线长。
zxxk
A
· O
PHale Waihona Puke B切线与切线长的区别与联系： （1）切线是一条与圆相切的直线； （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角。 B