1 晶体结构及其对称性(研)
晶体的对称性
对称性与人类思维方式的联系
对称性思维方式是人类认知世界的一 种重要方式。人们习惯于将事物进行 对称性的分类、比较和思考，从而更 好地理解和把握事物的本质和内在规 律。
VS
对称性思维方式在科学研究和工程技 术中也发挥着重要作用。科学家们利 用对称性原理探索自然界的奥秘，解 决各种复杂的科学问题。工程师们则 利用对称性设计各种结构，提高产品 的稳定性和可靠性。
晶体的对称性
• 对称性的基本概念 • 晶体中的对称元素 • 对称性和晶体结构 • 对称性在化学中的运用 • 对称性与生物学的关系 • 对称性的哲学思考
01
对称性的基本概念
Hale Waihona Puke 称性的定义对称性是指一个物体或图形在某种变 换下保持不变的性质。在晶体学中， 对称性是指晶体在空间变换下保持不 变的性质。
对称性可以通过对称操作来描述，对 称操作是指将晶体进行刚性旋转、平 移、反演等变换后仍能恢复原状的操 作。
对称性的分类
晶体可以根据其对称性进行分类，常 见的晶体分类包括立方晶系、四方晶 系、六方晶系等。
VS
不同晶系的晶体具有不同的对称性， 晶体的对称性与其内部原子或分子的 排列方式密切相关。
对称操作的数学表达
对称操作可以用数学矩阵来表示，通过矩阵变换可以描述晶体的对称性。
对称操作的数学表达包括旋转矩阵、平移矩阵、反演矩阵等，这些矩阵可以用来描述晶体在空间中的 变换。
02
晶体中的对称元素
点对称元素
定义
01
点对称元素是晶体中以某一点为中心的对称操作，包括旋转、
反演、反映等。
描述
02
点对称元素在晶体中起着关键作用，它们决定了晶体的空间群
对称性在生物医学中的应用
晶体结构的对称性
晶体的对称性1. 晶体的宏观和微观对称性晶体的对称性最直观地表现在其几何外形上，由于晶体外形为有限的几何图形，故晶体外形上所体现的对称性与分子一样为点对称性，称为宏观对称性。
有四种类型的对称操作和对称元素旋转旋转轴反映反映面(镜面)反演对称中心旋转反演反轴由于晶体内部结构为点阵结构，点阵结构是一种无限的几何对称图形。
故晶体结构具有这种基本的空间对称性(通过平移对称操作能使点阵结构复原)，常称为晶体的微观对称性。
有三种类型的对称操作和对称元素平移点阵螺旋螺旋轴滑移滑移面2. 晶体和晶体结构对称性的有关定理晶体和晶体结构的对称元素及相应的对称操作有上述七种。
晶体中点阵与对称元素的制约关系为：对称面和对称轴的取向定理在晶体结构的空间点阵图形中，对称轴必与一组直线点阵平行，并与一组平面点阵垂直；对称面则必与一组直线点阵垂直，并与一组平面点阵平行。
(对称轴包括旋转轴、反轴和螺旋轴；对称面包括反映面、滑移面)∙对称轴的轴次定理在晶体结构中存在的对称轴，其轴次只能为1、2、3、4、6这五种。
3. 7个晶系和32个晶体点群∙根据晶体的对称性，可将晶体分为7个晶系，每个晶系有它自己的特征对称元素。
晶体特征对称元素立方晶系四个按立方体的对角线取向的3重轴六方晶系唯一的6重轴四方晶系唯一的4重轴三方晶系唯一的3重轴正交晶系三个互相垂直的2重轴或二个互相垂直的对称面单斜晶系一个2重轴或对称面三斜晶系无∙由于晶体的对称性定理，限制了对称轴的轴次只能为1、2、3、4、6；又由于反轴中只有4重反轴是独立的对称元素，所以在晶体的宏观对称性中，只能找到8个独立的对称元素：1、2、3、4、6、m、i、。
∙与分子所含的对称元素相比，晶体中所含的对称元素有限，这八个对称元素按一定的组合规则组合后只能产生32个对称类型(对称元素系)，每个对称类型所具有的对称元素所对应的对称操作构成一个群。
由于晶体的宏观外形为有限图形，故各种对称元素至少要相交于一点，故称为32个晶体点群。
晶体结构的对称性-从点阵到空间群
晶胞的大小和形状可以用晶胞参数来表示，即用晶胞的三个 边的长度a， b， c三个边之间的夹角a， b， g表示。
晶胞包含描述晶体结构所需的最基本结构信息。如果知道了
晶胞中全部原子的坐标，就有了晶体结构的全部信息。
一般写作：晶体结构=点阵+结构基元；但准确的描述应为：
晶体结构=点阵*结构基元 ；晶体结构=结构基元@点阵
周期性排列形成的固体物质。晶体有以下的共同
性质： 1. 均匀性; 2. 各向异性; 3. 自范性; 4. 对称性; 5.稳定性。
对称性的不同含义
物体的组成部分之间或不同物体之间特征的对应、 等价或相等的关系。（希腊字根=类似尺寸的。） 由于平衡或和谐的排列所显示的美。 形态和（在中分平面、中心或一个轴两侧的）组元 的排列构型的精确对应。
在二个C2轴之间角平分线的一个垂直平面叫作双面镜面，σ
d
（ dihedral
plane ）。
通过yz面的反映。
旋转倒反轴-反轴
旋转倒反轴，简称反轴 (Axis of inversion ，
Rotoinversion axis)，其对称操作是先进行旋转操
作(n)后立刻再进行倒反操作，这样的复合操作称
1. 2. 3. 4.
石墨晶体结构
三维点阵和晶胞
使用矢量a、b和c 指定点阵：在所有两个点阵点之间的矢量(r) 满足关系， r = ua + vb + wc, ， 其中u、v和w是整数。
指定晶体中的任意点： r = (u+x)a + (v+y)b + (w+z)c ，其中u， v， w为整数 r = (ua + vb +wc) + (xa + yb +zc)
固体物理（胡安）课后答案（可编辑）
固体物理(胡安)课后答案第一章晶体的结构及其对称性1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构,试问它是简单还是复式格子。
为什么?作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。
解:石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。
因为如图点A和点B的格点在晶格结构中所处的地位不同,并不完全等价,平移A→B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。
1.2在正交直角坐标系中,若矢量,,,为单位向量。
为整数。
问下列情况属于什么点阵?(a)当为全奇或全偶时;(b)当之和为偶数时。
解:当为全奇或全偶时为面心立方结构点阵,当之和为偶数时是面心立方结构1.3 在上题中若奇数位上有负离子,偶数位上有正离子,问这一离子晶体属于什么结构?解:是离子晶体,属于氯化钠结构。
1.4 (a)分别证明,面心立方(fcc)和体心立方(bcc)点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等,对fcc为,对bcc为(b)在金刚石结构中,作任意原子与其四个最近邻原子的连线。
证明任意两条线之间夹角θ均为解:(1)对于面心立方 (2)对于体心立方 (3)对于金刚石晶胞1.5 证明:在六角晶系中密勒指数为(h,k,l)的晶面族间距为证明:元胞基矢的体积倒格子基矢倒格矢:晶面间距1.6 证明:底心正交的倒点阵仍为底心正交的。
证明:简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体底心正交点阵的惯用晶胞如图: 初级晶胞体积: 倒易点阵的基矢: 这组基矢确定的面是正交底心点阵1.7 证明:正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。
证明:倒易点阵初级元胞的体积:是初基元胞的体积而由于而或:现在证明: 又令又:代入同理 1.8 从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。
解: 1.9 试解释为什么:(a)四角(四方)晶系中没有底心四角和面心四角点阵。
(b)立方晶系中没有底心立方点阵。
(c)六角晶中只有简单六角点阵。
解:(a)因为四方晶系加底心,会失去4次轴。
(b)因为立方晶系加底心,将失去3次轴。
晶体的对称性理论
7
2、反映面——反映 对称要素：反映面，符号：m 对称动作：反映， 符号：M 阶次：2 一个面不动，反映能使左右手重合，一次反映不 能使相等的图形重合 特点：两个等同图形中相应点连线⊥反映面
30
问题：八种宏观对称要素之间究竟存在着多少种组 合方式？即晶体的宏观对称类型有多少种呢？ 组合要符合如下条件： (1)对称要素间是相互作用的，两个对称要素相组 合，必然产生新的对称要素来； (2)对称要素间的组合不是任意的，需要满足： A- 参加组合的对称要素必须至少相交于一点。 这是因为晶体的外形是有限的、封闭的多 面体。 B- 晶体是一种点阵结构，对称要素的组合结果 不容许产生与点阵结构不相容的对称要素 来。(5、7····等)
5、反轴 == 旋转+倒反(点在线上)
对称要素：反轴， 符 号：n 复合对称动作：旋转+倒反 (点在线上)又称旋转倒反 阶 次： 如果旋转轴的轴次n是偶数，那么反轴的阶次=n 如果旋转轴的轴次n是奇数，那么反轴的阶次=2n 旋转倒反动作只能使左右手重合，不能使相等图 形重合。
11
12
6、螺旋轴-旋转+平移
21
(3)对称轴、反映面、对称中心、反轴，对应的对 称动作是点动作，在动作中至少有一点不动， 既存在于无限结构中，又存在于有限晶体外形 的结构中； 点阵、螺旋轴、滑移面，对应的对称动作 是空间动作，每一点都移动了只能存在于无限 结构中，而不能存在于有限晶体外形的结构 中。 旋转轴、螺旋轴→统称对称轴； 反映面、滑移面→统称对称面。
晶体对称性
晶体对称性晶体对称性是晶体学研究的一个重要组成部分，它是晶体结构的关键，可以解释晶体的外观、性质以及界面问题。
其中，最常见的是空间群，它用数学表示法确定变换的形式。
接下来，让我们来更多地了解晶体对称性：一、空间群1. 什么是空间群：空间群是一种变换群，也是对称性理论的基础，可以描述物体在特定坐标系中的集合子空间上的空间操作。
举个例子，如果一个物体只可以在空间系中做180°旋转，那么它就只具有一种（即旋转）拓扑群。
2. 空间群划分：空间群可以根据对称性来划分，主要包括有限对称群、无限对称群和单调对称群三类。
其中，有限对称群表示法子群的形状、大小或空间构造不变；无限对称群指的是无限种变换，其轴心、空间点或空间构造不变；而单调的对称群是单一的元素组成的，在该空间群中任何对称性都不变。
二、对称性1. 什么是对称性：对称性是空间群的基础，一般来说，它表示物体在某种坐标下有特定形状和空间操作的属性，也可以用数学表示法来表达这种特征。
2. 对称性的类型：对称性的类型可以分为四大类，分别是正交对称性、立体对称性、平面对称性和点对称性。
其中，正交对称性主要涉及空间中的空间坐标变换，立体对称性是指物体在立体坐标系下的操作，而平面对称性是指物体在平面坐标系下的操作，而点对称性则是指物体在特定空间构造下的操作。
三、晶体对称性1. 晶体对称性是什么：晶体对称性是晶体学研究的一个重要组成部分，它涉及到晶体结构的外观、性质以及界面问题的解释。
2. 晶体对称性的应用：晶体对称性可以用来研究和设计多种材料，如金属、半导体、有机分子晶体、生物晶体等，它们是将材料化学性质同物理性质关联起来，从而更好地理解材料的特性。
此外，晶体对称性也可用于分类、指导结构分析以及材料的设计和合成等。
四、总结从上文可以看出，晶体对称性是一个非常重要的概念，它不仅仅可以用来描述物体的形状、大小和空间结构，而且可以应用于许多不同的领域，如材料的研究与设计等。
晶体的对称性和分类
2
4
2 4
晶体中独立的宏观对称操作 (或对称元素)只有8种,
即：1、2、3、4、6、i、4m、 。其中数字n(1、2、
3、4、6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心
反演（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜
面这）。种表示方法属于国际符号(International not
ation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮(Ma
晶体结构可以用布拉维格子或布拉维点阵来描 述,这样以来,晶体变为无限大的空间点阵.从而, 晶体具有了平移对称性,借助于点阵平移矢量,晶 格能够完全复位.我们把考虑平移后的对称性称 为晶体的微观对称性.
由于晶体的宏观对称操作不包含平移,所以宏 观对称操作时,晶体至少保持有一个点不动,相应 的对称操作又称为点对称操作.
a23
y
z z a31 a32 a33 z
其中： r
x y
z
x
r
y
z
a11
A
a21
a31
a12 a22 a32
a13
a23
a33
x x a11 a12 a13 x
y
y
a21
a22
a23
y
z z a31 a32 a33 z
x x
y
y
cos
z
sin
z
y
sin
z
cos
x 1 0
0 x
y
0
cos
sin
y
z 0 sin cos z
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
1 0
0
Ax
0
cos
sin
[工学]第一章 晶体学基础-1
![[工学]第一章 晶体学基础-1](https://img.taocdn.com/s3/m/ebc83828de80d4d8d15a4fc7.png)
lattice 点阵
structural motif 结构基元
Crystal structure 晶体结构
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
晶体结构
点 阵
结构基元
+
直线点阵 所有点阵点分布在一条直线上。 所有点阵点分布在一个平面上。
点阵
平面点阵 空间点阵
所有点阵点分布在三维空间上。
1、直线点阵：一维点阵
世界上的固态物质可分为二类，一类是晶态，
另一类是非晶态。自然界存在大量的晶体物质 ，如高山岩石、地下矿藏、海边砂粒、两极冰 川都是晶体组成。人类制造的金属、合金器材、 水泥制品及食品中的盐、糖等都属于晶体，不 论它们大至成千上万吨，小至毫米、微米，晶 体中的原子、分子都按某种规律周期性排列。 另一类固态物质，如玻璃、明胶、碳粉、塑料 制品等，它们内部的原子、分子排列杂乱无章， 没有周期性规律，通常称为玻璃体、无定形物 或非晶态物质
晶胞的两个要素： 1.
晶胞的大小与形状：
由晶胞参数a，b，c，α
，β，γ表示， a，b，c 为 六面体边长， α，β，γ 分 别是bc，ca，ab 所组成的 夹角 晶胞的内容：粒子的种类、数目及它在晶胞 中的相对位置
2.
CsCl晶体结构
上图为CsCl的晶体结构。Cl与Cs的1:1存在 若
a≠b 。 a∧b≠120
（ a ）NaCl
（ b ）Cu
二维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）
b
a
（c）石墨 二维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）
3、空间点阵：三维点阵特点：
①空间点阵可以分解成一组组平面点阵 ②取不在同一平面的三个向量组成平行六面
晶体的结构及其对称性
原子半径：
r
3
V
atom
4 3 a 3 4
3 a 4
V
bcc
a
3
Body centered cubic lattice
原子数： 堆积密度：
8
1 1 2 8
atom
f V
2
V
bcc
3 8
具有此结构的金属原子：碱金属Li、Na、K、Rb、Cs；难熔金 属W、Mo、Nb、Ta等。
的平移对称性。
• 基元按点阵排布得到晶体结构： <点阵>+<基元>=<晶体结构>
三、基矢和元胞 对于一个给定的点阵，总可以选择三个不共面的基本平移矢量������1 、������2 、������3
（称为点阵的基矢），使任意一个结点
3
������������ =������1 ������������ +������2 ������������ +������3 ������������ =
关于常见晶体结构的一些定义： • 配位数：每个原子周围的最近邻原子数 • 堆积密度：原子球的体积与其所占据的有效空间体积之比
（1）简单立方(sc)晶体结构
配位数：6
a
3
原子半径： r 2
V
atom
4 3
a 2
V
原子数： 堆积密度：
sc
a
3
Simple cubic lattice
• 面心立方(fcc)晶体结构
配位数：12
原子半径：
r
3
4 2 V fcc V atom 3 4 a 1 1 8 6 4 原子数： 8 2
1-4 晶体结构的对称性
2.滑移反映面
先经过某面进行镜象操作，再沿平行于 该面的某个方向平移T/2后，晶体自身重合， 则称该面为滑移反映面。（见图）
考虑了平移操作后，晶体 共有230种对称类型，B格 子共有14种对称类型，称 为14种B格子。
2 2
2.中心反演对称性(用i表示) 中心反演对称性( 表示)
以晶体中一点O为中心。将 晶体中的位矢r变为－ r以后， 晶体完全重合的操作。 O点称为反演中心。
请看动画《对称操作》 请看动画《对称操作》
C1
3.镜象操作－－－用σ表示
在晶体中选一平面，以这平面为镜面进 行镜象操作，若操作后晶体能自身重合， 则说该晶体具有镜象操作对称性。 若镜面是与X轴垂直的Y－Z面，镜象操 作相当于坐标变换：x -x, y,z不变。 请看动画《对称操作》 请看动画《对称操作》
强调：
• 对称性不同的晶体属 于不同的群， • 结构不同的晶体，按 对称性分类，可以属 同一类，即可属于相 同的群，例如，NaCl 和Cu均属Oh群。 • σ３ σ２
•
σ1
1 ：E，C 3,
• c3V群
•
C32,
σ 1 σ 2, σ 3
把晶体按照点对称性进行分类， 可分成32类 把B格子按照点对称性进行分 B 类，可分成7类，称为七种晶系。
三.分数周期平移T/n 平移：a.周期平移T，晶体自身重合； b.分数周期平移T/n，本身并不
能使晶体自身重合，再与转动或镜象 操作结合后才能使晶体重合，即二者 结合构成一个操作。
1.n度螺旋轴U：绕轴旋转2π/n，再
沿该轴平移 T/n的k倍，其中T为轴方 向的周期，k为小于等于n的整数， n=1,2,3,4,6。
群的定义：
若有一个元素的集合G＝（E，A，B，……） 满足以下条件，则称该集合G构成一个群。 （1）封闭性； （2）G中有单位元E； （3）逆元素； （4）结合律 A（BC）＝（AB）C
结构化学晶体结构的对称性和基本定理
点击按钮观察动画.注意：反映滑移操作中
的“反映”是虚操作，可想象而难以实际表现, 故动画 中用幻影逗号的移动来模拟反映，请勿误解！
8.2.2 晶胞
设想把点阵放回晶体中去， 将把晶体切分成并置的平行六面 体小晶块，每个空间格子对应一 个小晶块. 这种小晶块就是晶胞, 是代表晶体结构的最小单元.
晶胞参数
NaCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 0
0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 B: 1/2 0 0
0 1/2 0 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2 结构基元: A-B （每个晶胞中有4个结构基元）
CsCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 0 B: 1/2 1/2 1/2
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：
14种布拉维格子之一：立方简单（cP）
14种布拉维格子二：立方体心（cI）
14种布拉维格子三：立方面心（cF）
晶胞参数:
a、b、c α、β、γ
晶
胞
两
要
（1）晶胞的大小、型式
素
晶胞的大小可由晶胞参数确定，晶胞的型式是
指素晶胞或复晶胞.
（2）晶胞的内容
晶胞中原子的种类和位置. 表示原子位置要用 分数坐标.
分数坐标
晶胞中原子P 的位置用向量OP=xa+yb+zc代表. x、y、z
就是分数坐标，它们永远不会大于1.
14种布拉维格子之八：正交简单（oP)
14种布拉维格子之九：正交体心（oI)
晶体结构与晶体化学-群论基础与分子对称
ˆ
a v
ˆ
b v
ˆ
c v
Eˆ
Cˆ31 Cˆ32
ˆ
b v
ˆ
b v
ˆ
c v
ˆ
a v
Cˆ 32
Eˆ
Cˆ 31
ˆ
c v
ˆ
c v
ˆ
a v
ˆ
b v
Cˆ 31
Cˆ 32
Eˆ
每个元素在同一行（同一列）中只出现一次。两实操作和 两虚操作的乘积都是实操作；一实一虚的乘积为虚操作。
2.2 群的基本概念
3. 对称元素的组合：两个对称元素组合必产生第三个对称元素。
Cl
F
F
Cl
H
二氟二氯乙烷
3) Cs 群：元素 E, ；操作 Eˆ ˆ
Br O
H Cl Cl
没有其它对称元素的平面分子
2.3 分子点群
判断分子构型
价电子对互斥 价键理论
分子构型取决于成键时采取何种杂化形式
杂化形式取决于键和孤对电子对
HO H
O
HH
HO Cl
H O Cl
2.3 分子点群
2. 单轴群——仅含一个Cn轴或Sn轴的群，如 Cn， Cnv，Cnh, Sn群
C2v Eˆ Cˆ2 ˆv ˆv '
Eˆ Eˆ Cˆ2 ˆv ˆv ' Cˆ2 Cˆ2 Eˆ ˆv ' ˆv ˆ v ˆv ˆv ' Eˆ Cˆ2 ˆ v ' ˆv ' ˆv Cˆ2 Eˆ
v’ C2 v
属4阶群
2.2 群的基本概念
例：NH3 ,对称元素，C3， va， vb , vc 对称操作
Eˆ ,
1 0
晶体结构和对称性
晶体宏观对称性受到的限制
晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的轴次n并不 是可以有任意多重，n仅为1,2,3,4,6，即在晶体结构中， 任何对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、 四重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴 次，这一原理称为“晶体的对称性定律”。
其对称操作是旋转反映。
sˆncˆnˆh
在晶体中反轴 n ，对应的操
作是先绕轴旋转 2P n，再过 轴的中心进行倒反。
L()I ＝ L() ● I
由此可知，n 与Sn都属于复合对称操作，且都由旋转与另
一相连的操作组合而成。
关于旋转反映轴与反轴的说明
❖ 用映轴表示的对称操作都可以用反轴表示，所以在新的晶体 学国际表中只用反轴。
(1)晶体多面体外形是有限图形，故对称元素组合时必通 过质心，即通过一个公共点。
(2)任何对称元素组合的结果不允许产生与点阵结构不相 容的对称元素，如5、7、…。
晶体宏观对称元素的组合
组合程序：
（1）组合时先进行对称轴与对称轴的组合， （2）再在此基础上进行对称轴与对称面的组合， （3）最后为对称轴、对称面与对称中心的组合。
格子。空间格子一定是平行六面体。
顶点的阵点，对每单位贡献1/8； 边上的阵点，对每单位贡献1/4； 面上的阵点，对每单位的献1/2； 六面体内的阵点，对每单位贡献1。
空间点阵与正当空间格子
C 空间点阵
空间点阵对应的平移群
T m n p m a n b p cm , n ,p = 0 , 1 , 2 ,
晶体化学(晶体对称性)
划分正当晶胞或单位的原则中，主要做了两方
面的规定：
划分了七个晶系
一、应当尽量选取较规则的形状；
二、应当尽量选取含点阵点少的.
划分出十四种空间 点阵型式
立方 P, I, F
六方 H
晶 三方 R 系 四方 P，I
简单P 型 底心C 式 体心I
正交 P，C（或侧心），I，F
面心F
单斜 P，C
侧心A或B
三斜 P
∴3垂直一平面点阵
3
b3 T3
T1
a1b1
b2 a2
T2
a3
3. 晶体中对称轴的轴次 A
设晶体中有一轴次为 n 的旋转轴，通
过点阵点O垂直纸面
B
则在晶体的空间点阵中，必有一平 面点阵与 n 垂直.
取直线点阵Tm=ma，并设素向量为 a
根据点阵与平移群的关系:
点阵点
平移群
a作用于O必得A点(为点阵点)，-a作用于O 得 A'
4
对称操作
倒反
I
反映
M
旋转 旋转 旋转 旋转 旋转 旋转倒反
L(0 ) L(180 ) L(120 ) L(90 ) L(60 ) L(90 )I
二、宏观对称元素的组合和32个点群
晶体宏观对称元素的组合 晶体的独立的宏观对称元素只有八种，但在某一晶体中可以只存在 一个独立的宏观对称元素，也可能有由一种或几种对称元素按照 组合程序及其规律进行合理组合的形式存在。 晶体中，宏观对称元素组合时，必受以下两条的限制：
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：
实验一晶体结构模型分析
一、实验目的
掌握测定粘土阳离子交换容量的方法； 熟悉鉴定粘土矿物组成的一种方法。
二、实验内容
对某种硅酸盐矿物的阳离子交换容量进行测定， 对实验结果进行处理，写出实验报告。
三、实验原理、方法和手段
实验原理
四、实验条件
试剂与仪器： (1) 粘土矿物试样 (3) H2SO4溶液（0.025 mol/L） (5) 酚酞溶液 (7) 离心分离机 (9) 锥形瓶 (11) 分析天平
(2) BaCl2溶液（1mol/L） (4) NaOH溶液（0.05 mol/L） (6) 离心试管 (8) 滴定管 (10) 烧杯 (12) 移液管
后会稠厚起来,但在机械作用影响下(如剧烈的搅拌,振动等)又恢复
其流动性。这个性能以稠固性(稠化度,厚化度)来评定,稠固性愈大,
表示该泥浆愈易沉积。
稠固性用泥浆在粘度计中静置一定时间后(本实验规定30分钟
及30秒钟)流出速度的比值表示。
稠固性=
静置30分钟后，100 静置30秒钟后，100
ml泥浆流出时间（秒） ml泥浆流出时间（秒）
三、实验原理、方法和手段
实验原理 一个多相系统的平衡状态是暂时的，有条件的，当系统的
温度压力或组分的浓度发生变化时，该系统的相平衡也随着 发生变化，在新的条件将达到新的平衡。
实验方法
研究相平衡的方法很多，淬冷法是一种静态法；它适用 于粘度高结晶慢的系统。例如硅酸盐系统。
淬冷法是把试样放在高温炉中，让炉温升到所要测量的 温度，保温一定时间，直到试样达到平衡状态，然后将高温 下的试样急剧冷却（在气浴，水浴，汞浴或油浴中）使相变 来不及进行，这样就可以保持高温时的平衡状态不变，以便 在室温下进行观察。
晶体结构之二：对称性
第二章晶体结构一、教学要求（1）内容提要：物质通常有三种聚集状态：气态、液态和固态。
而按照原子（或分子）排列的规律性又可将固态物质分为两大类，晶体和非晶体。
晶体中的原子在空间呈有规则的周期性重复排列；而非晶体的原子则是无规则排列的。
原子排列在决定固态材料的组织和性能中起着极重要的作用。
金属、陶瓷和高分子的一系列特性都和其原子的排列密切相关。
一种物质是否以晶体或以非晶体形式出现，还需视外部环境条件和加工制备方法而定，晶态与非晶态往往是可以互相转化的。
本章主要内容包括：：晶体学基础；金属的晶体结构；合金相结构；离子晶体结构；共价晶体结构；聚合物的晶态结构；非晶态结构。
（2）基本要求掌握晶体的空间点阵、晶胞、晶向和晶面指数、晶体的对称性等结晶学基础知识，了解32种点群和230种空间群等；掌握三种典型的金属晶体结构、合金相结构、离子晶体结构和硅酸盐晶体结构，了解共价晶体结构和分子与高分子晶体结构。
（3）重点难点重点：结晶学基本原理及典型的金属晶体、合金相、离子晶体结构。
难点：空间点阵、非化学计量化合物和鲍林规则。
（4）主讲内容①晶体学基础；②金属的晶体结构；③合金相结构；④离子晶体结构；⑤共价晶体结构；⑥聚合物晶体结构。
《第二章晶体结构》目录——引言——晶体的结构特征与基本性质（1.0h）2.1晶体结构的周期性（4.0-6.0h）2.2.1点阵与平移群一、点阵结构与点阵（1）一维点阵结构与直线点阵；（2）二维点阵结构与平面点阵（3）三维点阵结构与空间点阵二、点阵的条件与性质（1）定义；（2）条件；（3）点阵与点阵结构的对应关系。
2.2.2点阵单位与点阵参量一、点阵单位与点阵常数（1）直线点阵单位与线段参数（2）平面点阵单位与网格参数（3）空间点阵单位与晶胞参数二、其他晶体结构参数（1）（原子）阵点坐标与原子间距；（2）晶向（直线点阵）指数（3）晶面（平面点阵）指数；（4）晶面间距与晶面夹角（5）晶带与晶带定律三、极射投影*2.2.3 倒易点阵与晶体衍射*2.2晶体结构的对称性（4.0h）2.3.1对称性的基本概念——对称及其对称元素与对称操作2.3.2宏观对称性—晶体外形（有限）表现的对称性—点对称性一、点对称操作与宏观对称元素；二、点群及其表示方法——32个点群（晶类）；三、晶系与空间点阵型式——7种晶系与14种布拉菲点阵2.3.3微观称对性—晶格基元（无限）排列的对称性—体对称性一、空间对称操作与微观对称元素；二、空间群及其表示方法；三、等效点系——2.3.4点群与空间群的关系2.3.4 晶体结构符号2.3典型晶体结构分析（8.0h）2.3.1金属晶体结构2.3.2共价晶体结构2.3.3离子晶体结构2.3.4分子晶体结构2.3.5高分子(晶体)结构2.4 合金相结构2.2晶体结构的对称性——强调：对称操作与矩阵变换（点阵与矩阵）2.2.1对称性的基本概念——对称的概念（定义与划分）擅长形象思维的中国人在西汉〈韩诗外传〉就有：“凡草木花（注：有生命）多五出，雪花（注：无生命）独六出。
晶体的对称性与性质
晶体的对称性与性质晶体是指有着高度有序的内部结构的固体物质，其中原子、离子或分子的排列方式呈规则的、周期性的、三维的重复排列。
这种结构的复杂性不仅决定了晶体的物理和化学性质，还包括其独特的光学和电学特性。
而晶体的对称性是晶体结构的重要属性之一，它描述了晶体在对称性操作下是否保持不变，从而影响了晶体的性质。
本文中，我们将探讨晶体的对称性与性质之间的关系。
晶体系统与对称性晶体中的原子或离子按照一定的空间规律排列，这种排列方式称为晶体结构。
为了描述晶体结构中的对称性，科学家们引入了晶体系统，即描述不同晶体结构之间相对对称性的一组规则。
通常，晶体系统按照对称元素的数目和类型而分类。
晶体中存在23个对称元素，其中最简单的是旋转轴和反演中心，旋转轴将晶体沿特定轴旋转一定的角度后，晶体仍保持不变；反演中心是指沿特定平面反射能够将晶体完全翻转过来，即晶体具有中心对称性。
其他的对称元素包括旋转反演轴、镜面反射、滑移反射等。
根据对称元素的数目和类型，晶体可以划分为7个晶体系统。
相同晶体系统的晶体结构中具有相似的对称性和晶格参数，例如立方晶系中的晶体结构具有三个等价的轴和相同的晶胞角，这是晶体对称性的明显特征。
晶体对称性与物理性质与对称性密切相关的是晶体的物理性质，包括晶体的光学、电性质等。
这里我们介绍一些影响最大的性质。
1. 光学性质晶体的光学性质是晶体材料中最显著的性质之一，也是晶体对称性的重要体现。
晶体通过在自然光中的吸收、反射和折射等方式与光互作用。
光在晶体中传播时会遵循光电双折射规律，即一个光线会被折射成两个振动方向不同的光线。
而晶体对称轴和反演中心对光的传播方向和振动方向有着深刻的影响，因此，在晶体中，不同的对称性操作对光的传播和折射产生不同的影响，从而形成了不同的光学性质，例如双折射、偏振、旋光、吸光和荧光等。
2. 电学性质电学性质是晶体材料最重要的技术应用之一。
晶体材料中的电质子和电子一般是固定的，电学性质是由它们的内部结构和电场之间的相互作用所决定的。
结晶学讲7-晶体内部结构的微观对称
2、平行六面体的选择原则：
• 1）所选取的平行六面体应能反映点阵整 体所固有的对称性。
• 2）在上述前提下所选取的平行六面体中 棱与棱之间的直角关系最多。
• 3）在满足以上两个条件的基础上所选取 的平行六面体的体积力求最小。
•选择原则，按A方法来选取平行六面体才符合上述原
右旋----0<s<n/2； 31， 41， 61， 62 左旋----n/2<s<n： 32， 43， 64，65 中性---- s=n/2： 21， 42， 63
注：对于11种螺旋轴，其旋转方向和平移距离
t=（s/n)T都以右旋方式为标准给出
举例：41 意为按右旋方向旋转90度后移距1/4 T； 而43意为按右旋方向旋转90度后移距3/4 T。 那么， 41和43是什么关系？
3. 出现了一些特殊的对 称要素：平移轴、螺旋 轴、滑移面
2、晶体内部结构特有的对称要素
（1）平移轴：为一直线，图形沿此直线移动一定 距离，可使相同部分重合。
• 注：1）晶体结构沿着空间格子中的任意一条行 列平移一个或若干个结点间距，可使每一质点与 其相同的质点重合。 2）能使图形重复的最小平移距离称为平移轴的 移距。 3）空间格子中的任一行列方向均为一平移轴。
• 1、晶体的宏观对称和内部结构对称的联系、区别：
联系：内部结构的对称决定宏观对称，二者
相互联系，彼此统一
区别：
晶体的宏观对称
1. 宏观有限图形的对称 2. 平行于某一方向的对 称要素是唯一的，对称 要素的个数有限。
晶体内部结构的对称
1. 微观无限图形的对称
2. 平行于任何一个对称 要素有无穷多个与之相 同的对称要素。
• 旋转的方向：左旋：左手系，顺时针
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（1）简单立方（sc、 simple cubic） ：
在自然界中该晶体比较少见．如：钋Po在室温时 （ 相）． 配位数为6。
原胞即为晶胞。
简立方（sc）的原胞与晶胞
原胞即为晶胞，晶胞中含有1个格点。 格矢即为基矢 a1、a2、a3
a2 aj a3 ak
a1 ai
格点 与（n1, n2, n3）一一对应。
满足上述关系的空间点阵称为布拉菲点阵，相应 的空间格子称为布拉菲格子．
布拉菲格子
一个无限延展的理想点阵，没有边界，其中的 所有格点是等价的。 格点所代表的内容、它的环境与所处的地位是 相同的。（平移对称性, 晶体在上述任一平移下保 持不变）
判断1分布的具体细节，而用一 个几何点来代表它，这样的点称为结点。 实际的晶体结构就可以抽象为一个纯粹的 几何结构，称为点阵。 点阵是一个分立点的无限阵列，是结点在 空间有规则地作周期性排列。从这个阵列的任 何一个结点去看，周围结点的分布与方位都是 精确相同的。
——布拉菲点阵
由于晶体中所有的基元完全等价，所以整个 晶体的结构可看作是由基元沿空间3个不同方向, 各按一定的周期平移而构成。
原胞体积为：
a 、a2 2 (i j k )
a 、a3 2 (i j k )
3 a1 (a2 a3 ) a / 2
原胞体积为晶胞体积的一半。 晶胞中含有2个格点。
（3）面心立方(fcc、 face-centered cubic )：
判断2：石墨层晶体
A
B
虽然所有原子都是 化学性质完全相同的碳 原子，但是几何环境不 完全相同，存在两种几 何环境不同的碳原子A 和 B。 A 原子的右侧一定 距离处有一个碳原子而 左侧没有，但是B 原子 则相反。
如果将A、B两个原子看作为 一个基元，则点阵结构就如前页所 示，格子就是布拉菲格子了。
贵金属Cu、Ag、Au 及Al、Ni、Pb等金属． 面心立方的配位数为 12 . 面心立方是自然界最密集的堆积方式之一， 称为面心立方密堆积，简称立方密堆积或立方密积．
面心立方（fcc）的原胞与晶胞
a a a a1 ( j k ) 、 a 2 (i k ) 、 a 3 (i j ) 2 2 2
§1.1 晶体及其平移对称性
一、晶体结构 与 基元
晶体结构 = 点阵 + 基元
1、晶体结构 = 点阵 + 基元
基元：
构成晶体的基本结构单元。
基元是化学组成、空间结构、排列取向、周围 环境相同的原子、分子、离子或离子团的集合。 可以是一个原子(如铜、金、银等)，可以是两 个或两个以上的原子(如金刚石、氯化钠、磷化镓 等)，有些无机物晶体的一个基元可有多达100个以 上的原子，如金属间化合物NaCd2的基元包含1000 多个原子，而蛋白质晶体的一个基元包含多达 10000 个以上的原子。
即：晶体结构 = 点阵 + 基元。
2、原胞与晶胞
用平行的直线连接点阵中所有的格点所形成网 格，称为晶格。 构成晶格的最小周期性结构单元称为原胞. 原胞的选取不唯一。原胞中只含一个格点。 原胞基矢用a1、a2、a3来表示。
原胞往往不能反映晶格的对称性。 在能够保持晶格对称性的前提下，构成晶体 的最小的周期性结构单元，称为结晶学原胞，简 称晶胞。 晶胞一般不等于原胞。其体积（面积）可以 是原胞的整数倍。晶胞中可含多个格点。 晶胞基矢用a、b、c (晶格常数)来表示。
原胞体积为：
a1 (a2 a3 ) a3
（2）体心立方（bcc、 body-centered cubic）：
碱金属Li、Na、K、Rb、Cs, 难熔金属Cr、Mo、 W等． 体心立方的配位数是 8 .
体心立方（bcc）的原胞与晶胞
原胞基矢为： a a1 (i j k ) 2
二维蜂窝格子 (非布拉菲格子)
14种布拉菲格子:
1.简单三斜； 2.简单单斜， 3.底心单斜； 4.简单正交， 5.底心正交， 6.体心正交， 7.面心正交； 8.六角； 9.三角； 10.简单四方， 11.体心四方； 12.简单立方， 13.体心立方， 14.面心立方。
二、几种典型的晶体结构
1、立方晶系的布拉菲晶胞 由同一种元素的原子所组成，基元只有一个原子。 有：简单立方、体心立方、面心立方。
第一章 晶体结构及其对称性
§1.1 晶格及其平移对称性
§1.2 晶列与晶面 §1.3 倒点阵 §1.4 晶体的宏观对称性 §1.6 晶体X射线衍射
固体分类 晶体定义：原子、分子、离子、原子团有规则 地在三维空间的周期性重复排列形成的固体， 具有长程序。 晶体分单晶体和多晶体。 非晶体：内部粒子在三维空间不是周期性的有规 则的排列。长程无序，但在一个原子附近的若干 原子的排列是有一定规则的排列——短程有序。 准晶体：介于周期晶体和非晶玻璃之间的一种新 的固体物质形态。
由两个面心立方 子晶格相互位移套 构而成。
4、布拉菲（Bravais）格子
布喇菲(A. Bravais)，法国学者，1850年提出。 定义: 各晶体是由一些基元（或格点）按一定规则, 周 期重复排列而成。任一格点的位矢均可以写成形式 Rn n1a1 n2 a2 n3 a3 。其中， n3 取整数， n1 、 n2、 a1 、 a2 、 Rn 为布拉菲格子的格矢。 a3 为基矢，
3、简单晶格与复式晶格 简单晶格： 如果晶体由完全相同的一种原子组成，例 如铜晶体的基元只包含一个铜原子，这种晶体 的晶格称为简单晶格，简单晶格与晶体基元代 表点的空间格子相同。
复式晶格：
如果晶体的基元中包含两种或两种以上的原 子。显然 , 每一种等价原子各构成与晶体基元代 表点的空间格子相同的网格,称为晶体的子晶格. 每一种等价原子的子晶格具有相同的几何结构， 整个晶格可视为，子晶格相互位移套构而成。该 晶体晶格称为复式晶格． 例如：氯化钠晶体