平差数学模型
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L
n1
，必要观测个
平差法。
数为t，则应列出r=n-t个条件方程 : 建模方法：找出观测值真值之间应该满
2020/先4/12看书上例子
足的 r 个关系式。
5
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
一般而言，其一般形式为
2. 附有参数的条件平差法
F (L~, X~) 0
将 L~ L 代入上式，并令
则：
l Ld
B X~ l
n1 nt t1 n1
上式就是间接平差的函数模型。
2020/4/12 7
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
L~ F ( X~)
4. 附有条件的间接平差法
n1
(
X~ )
0
如果在某平差问题中，选取u>t个参数，线性形式的S1函数模型为
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
3. 间接平差法
参选数择几X~何，模将型每中一t个个观独测立量量表为达平成差 u1
所选参数的函数，共列出 r+u=r+t=n个这种函数关系式，以 此作为平差的函数模型的平差方法 称为间接平差。（见例子）
建模方法：
将每一个观测量表达成所选参数的 函数，共列出r+u=r+t=n个这种函 数关系式。
的条件方程为平差函数模型的平差
W ( AL A0 )
方法，称为附有参数的条件平差法。
参见书中例子。
则得
A B X~W 0
cn n1 cu u1 c1
上式为附有参数的条件平差的函数
2020/4/12
模型。建模方法：找出观测值真值 之间或观测值与参数真值之间应该 满足的 C 个关系式。
6
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
其中包含t个独立参数，则多选的 s=u- t个参数必定是t个独立参数 的函数，即在u个参数之间存在着s 个函数关系式。方程的总数
L~ B X~ d
n1 nu u1 n1
C X~W 0
su u1 s1
c=r+u=r+t+s=n+s 个 ， 建 立 模 型 时 ， 除了列立n个观测方程外，还要增 因：
一般而言，如果某一平差问题中,观测值
个数为n，必要观测个数为t，多余
观 测 个 数 为 r=n-t ， 再 增 选 u 个 独 立
参 数 ， u=t ， 则 总 共 应 列 出
c=r+u=n 个 函 数 关 系 式 ， 其 一 般 形
式为
L~ F ( X~)
n1
或：
L~ B X~ d
n1 nt t1 n1
5.多余观测个数
假设对模型中的几何量总共观测n个，
n<t,显然无法确定模型的解；
n=t,则可唯一地确定该模型，但对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发 现。
n>t，
r=n-t
r称为多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学中也叫自由度。
2020/4/12 2
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 概 述
V称为观测值的改 正数
2020/4/12 4
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第二节 测量平差的数学模型
• 在科学技术领域，通常对研究对象
进行抽象概括，用数学关系式来描 述它的某种特征或内在的联系，这
F (L~) 0
种数学关系式就称为数学模型。 或
本节详细介绍平差的随机模型和常 见的平差函数模型及其建立方法。 令：
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 概 述
⑴如图三角形ABC中，为了确定它的形状，只需要知道其中任意两个内角的大小 就可以了
⑵要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两 角、任意的两边一角或者是三边。
⑶要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须 知道图中15个元素中的6个不同的元素，至少要包含一个点的坐标和一条边 的坐标方位角，这是确定其位置和方向不可缺少的元素，通常称其为外部配 置元素，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影 响该三角形的内部形状和大小。所以三角形中如果没有已知点坐标和已知方 位角时，也可以假定一个点的坐标和一条边的方位角，这就相当于将该三角 形定位于某个局部坐标系中，实际上只需要3个元素就可以了。如果A、B两 点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两 个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。
2020/4/12 1
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 概 述
4.必要观测个数
我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素。必 要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个数
一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何确定的函数关系的，即其中 的任何一个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。这些彼此 不存在函数关系的量称为函数独立量，简称独立量。
6.条件方程 现在模型中有r个多余观测量，因此，一定也存在着r个这样的函数关系式。 L~1 L~2 L~3 180 0
sinS~1L~1 sinS~2L~2 0
每增加一个多余观测，在它们中间就必然增加且只增加一个确定的函数关系 式，有多少个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种函数关系式， 在测量平差中称为条件方程。
c1
如果有n个观测值
L
n1
，必要观测个
数为t，则应列出r=n-t个条件方程。
现又增设了u个独立量作为未知参
如果条件方程是线性的，其形式为
A L~
cn n1
B X~
cu u1
A0
c1
0
数，且0 <u<t,每增加一个参数应
增加一个条件方程，因此，共需列 出c=r+u个条件方程，以含有参数
将 L~ L 代入上式，并令
A L~
rn n1
A0
r1
0
r1
L~ L
一、函数模型
函数模型是描述观测量与待求量之 间的数学函数关系的模型。下面简
则：
述各种经典平差方法的线性函数模
W ( AL A0 )
A W 0
型及其建立方法。
上式即为条件平差的函数模型。以
1. 条件平差
此模型为基础的平差计算称为条件
如果有n个观测值
2020/4/12 3
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 概 述
7.平差的概念 多余观测
产生矛盾
平差
求改正数V
L1 L2 L3 180 0
消除矛盾
Lˆi Li Vi
“观测值估值” （又叫平差值、 最或是值、最 或然值）来代 替观测值
我们把按照某一准则求得观测值新的 一组最优估值的计算过程叫平差。
L
n1
，必要观测个
平差法。
数为t，则应列出r=n-t个条件方程 : 建模方法：找出观测值真值之间应该满
2020/先4/12看书上例子
足的 r 个关系式。
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第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
一般而言，其一般形式为
2. 附有参数的条件平差法
F (L~, X~) 0
将 L~ L 代入上式，并令
则：
l Ld
B X~ l
n1 nt t1 n1
上式就是间接平差的函数模型。
2020/4/12 7
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
L~ F ( X~)
4. 附有条件的间接平差法
n1
(
X~ )
0
如果在某平差问题中，选取u>t个参数，线性形式的S1函数模型为
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
3. 间接平差法
参选数择几X~何，模将型每中一t个个观独测立量量表为达平成差 u1
所选参数的函数，共列出 r+u=r+t=n个这种函数关系式，以 此作为平差的函数模型的平差方法 称为间接平差。（见例子）
建模方法：
将每一个观测量表达成所选参数的 函数，共列出r+u=r+t=n个这种函 数关系式。
的条件方程为平差函数模型的平差
W ( AL A0 )
方法，称为附有参数的条件平差法。
参见书中例子。
则得
A B X~W 0
cn n1 cu u1 c1
上式为附有参数的条件平差的函数
2020/4/12
模型。建模方法：找出观测值真值 之间或观测值与参数真值之间应该 满足的 C 个关系式。
6
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
其中包含t个独立参数，则多选的 s=u- t个参数必定是t个独立参数 的函数，即在u个参数之间存在着s 个函数关系式。方程的总数
L~ B X~ d
n1 nu u1 n1
C X~W 0
su u1 s1
c=r+u=r+t+s=n+s 个 ， 建 立 模 型 时 ， 除了列立n个观测方程外，还要增 因：
一般而言，如果某一平差问题中,观测值
个数为n，必要观测个数为t，多余
观 测 个 数 为 r=n-t ， 再 增 选 u 个 独 立
参 数 ， u=t ， 则 总 共 应 列 出
c=r+u=n 个 函 数 关 系 式 ， 其 一 般 形
式为
L~ F ( X~)
n1
或：
L~ B X~ d
n1 nt t1 n1
5.多余观测个数
假设对模型中的几何量总共观测n个，
n<t,显然无法确定模型的解；
n=t,则可唯一地确定该模型，但对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发 现。
n>t，
r=n-t
r称为多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学中也叫自由度。
2020/4/12 2
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 概 述
V称为观测值的改 正数
2020/4/12 4
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第二节 测量平差的数学模型
• 在科学技术领域，通常对研究对象
进行抽象概括，用数学关系式来描 述它的某种特征或内在的联系，这
F (L~) 0
种数学关系式就称为数学模型。 或
本节详细介绍平差的随机模型和常 见的平差函数模型及其建立方法。 令：
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 概 述
⑴如图三角形ABC中，为了确定它的形状，只需要知道其中任意两个内角的大小 就可以了
⑵要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两 角、任意的两边一角或者是三边。
⑶要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须 知道图中15个元素中的6个不同的元素，至少要包含一个点的坐标和一条边 的坐标方位角，这是确定其位置和方向不可缺少的元素，通常称其为外部配 置元素，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影 响该三角形的内部形状和大小。所以三角形中如果没有已知点坐标和已知方 位角时，也可以假定一个点的坐标和一条边的方位角，这就相当于将该三角 形定位于某个局部坐标系中，实际上只需要3个元素就可以了。如果A、B两 点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两 个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。
2020/4/12 1
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 概 述
4.必要观测个数
我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素。必 要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个数
一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何确定的函数关系的，即其中 的任何一个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。这些彼此 不存在函数关系的量称为函数独立量，简称独立量。
6.条件方程 现在模型中有r个多余观测量，因此，一定也存在着r个这样的函数关系式。 L~1 L~2 L~3 180 0
sinS~1L~1 sinS~2L~2 0
每增加一个多余观测，在它们中间就必然增加且只增加一个确定的函数关系 式，有多少个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种函数关系式， 在测量平差中称为条件方程。
c1
如果有n个观测值
L
n1
，必要观测个
数为t，则应列出r=n-t个条件方程。
现又增设了u个独立量作为未知参
如果条件方程是线性的，其形式为
A L~
cn n1
B X~
cu u1
A0
c1
0
数，且0 <u<t,每增加一个参数应
增加一个条件方程，因此，共需列 出c=r+u个条件方程，以含有参数
将 L~ L 代入上式，并令
A L~
rn n1
A0
r1
0
r1
L~ L
一、函数模型
函数模型是描述观测量与待求量之 间的数学函数关系的模型。下面简
则：
述各种经典平差方法的线性函数模
W ( AL A0 )
A W 0
型及其建立方法。
上式即为条件平差的函数模型。以
1. 条件平差
此模型为基础的平差计算称为条件
如果有n个观测值
2020/4/12 3
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 概 述
7.平差的概念 多余观测
产生矛盾
平差
求改正数V
L1 L2 L3 180 0
消除矛盾
Lˆi Li Vi
“观测值估值” （又叫平差值、 最或是值、最 或然值）来代 替观测值
我们把按照某一准则求得观测值新的 一组最优估值的计算过程叫平差。