初三数学.期末复习之图形中的动点问题.教师版

期末复习之图形的动点问题知识互联网题型一：点运动产生函数思路导航我们初二已经学过了三角形、四边形上动点产生的函数问题，初三已学习了新的图形——圆，出现了一些以圆为背景，因点的运动产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系.【例1】 ⑴ 如图，BC 是D 的直径，A 为圆上一点．点P 从点A 出发，沿AB运动到B 点，然后从B 点沿BC 运动到C 点．假如点P 在整个运动过程中保持匀速，则下面各图中，能反映点P 与点D 的距离随时间变化的图象大致是（ ）距离距离距离时间距离A ．B ．C ．D ．（房山期末）⑵ 如图，点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿线段OC CD --线段DO 的路线作匀速运动．设运动时间为t 秒，APB ∠的度数为y 度，则下列图象中表示y 与t 的函数关系最恰当的是（ ）9045Oy t4590ty O9045Oy t4590ty OA ．B ．C ．D ．（丰台、崇文期末）⑶ 如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，2AB =，设弦AP 的长为x ，APO △ 的面积为y ，则下列图象中，能表示y x 的函数关系的图象大致是（ ）DCBAy xxy y xy x1212121221122112(2013北京)典题精练P O DCBAOGFE D CBADCBGF D BEO A C⑷ 如图，AB 为半圆所在⊙O 的直径，弦CD 为定长且小于⊙O 的半径(点C 与点A 不重合)，CF ⊥CD 交AB 于F ，DE ⊥CD 交AB 于E ， G 为半圆中点, 当点C 在AG 上运动时，设AC 的长为x ，CF +DE = y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A B C D（2012海淀期中）【解析】 ⑴ B ．⑵ C ．⑶ A ．⑷ B ．【例2】 如图1，已知△ABC 中，AB=10cm ，AC =8cm ，BC =6cm ．如果点P 由B 出发沿BA 方向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm /s ．连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）（04t ≤≤）．解答下列问题：BPQQ ＇QPB图1图2（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ．（2）设△AQP 面积为S （单位：cm 2），当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值． （3）是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．（4）如图2，把△AQP 沿AP 翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．(2012六盘水)【解析】∵AB =10cm ，AC =8cm ，BC =6cm ，∴由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形，∠C 为直角． （1）BP =2t ，则AP =10-2t ．∵PQ ∥BC ，∴AP AQ AB AC =，即1022108t t-=，解得t =209， 题型二：点运动与面积变化O y x O O Ox x x y y y∴当t=209s时，PQ∥BC．（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．∴PD∥BC，∴AP PDAB BC=，即102106t PD-=，解得PD=6-65t．S=12×AQ×PD=12×2t×(6-65t)= -65t2+6t=-65(t-52)2+152，∴当t=52s时，S取得最大值，最大值为152cm2．（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，则有S△AQP=12S△ABC，而S△ABC=12AC•BC=24，∴此时S△AQP=12．由（2）可知，S△AQP=-65t2+6t，∴-65t2+6t=12，化简得：t2-5t+10=0，∵△=(-5)2-4×1×10=-15＜0，此方程无解，∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，∴AP PD ADAB BC AC==，即1021068t PD AD-==，解得：PD=6-65t，AD=8-85t，∴QD=AD-AQ=8-85t-2t=8-185t．在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（8﹣185t）2+（6﹣65t）2=（2t）2，化简得：13t2﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2=25 13，∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=25 13．由（2）可知，S△AQP=-65t2+6t∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（-65t2+6t）=2×[-65×(2513)2+6×2513]=2400169cm2．所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为2400169cm2．图2图1Q【例3】 已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy 中，A 、C 两点的坐标分别为(42)A ，，(2)C n -，（其中0n >），点B 在x 轴的正半轴上．动点P 从点O 出发，在四边形OABC 的边上依次沿O A B C ---的顺序向点C 移动，当点P 与点C 重合时停止运动．设点P移动的路径的长为1，POC △的面积为S ，S 与l 的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF 是等腰梯形．⑴ 结合以上信息及图2填空：图2中的______m =；⑵ 求B 、C 两点的坐标及图2中OF 的长；⑶ 若OM 是AOB ∠的角平分线,且点G 与点H 分别是线段AO 与射线OM 上的两个动 点，直接写出HG AH +的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由.图2S图3【解析】 ⑴m =⑵ ∵四边形ODEF 是等腰梯形∴可知四边形OABC 是平行四边形由已知可得：8AOC S =△,连接AC 交x 轴于R 点 又∵(42)A ，，(2)C n -， ∴PN MD CBA0.520.5228AOC AOR ROC S S S RO RO OR =+=⨯⨯+⨯⨯==△△△∴4OR =∴28OB RO ==,AR OB ⊥ ∴(80)B ， ,(42)C -，且四边形OABC 是菱形 ∴365OF AO ==(3) 如图3，在OB 上找一点N 使ON OG =,连接NH∵OM 平分AOB ∠ ∴AOM BOM ∠=∠ ∵OH OH =∴GOH NOH △≌△ ∴GH NH =∴GH AH AH HN +=+根据垂线最短可知，AN 是点A 到OB 的垂线段时，H 点是AN 与OM 的交点 ∴GH AH +的最小值2AN ==1. 因动点产生的等腰三角形问题【例4】 如图，四边形ABCD 为矩形，43AB AD ==，，动点M 从D 点出发以1个单位/秒的速度沿DA 向终点A 运动，动点N 从A 点出发以2个单位/秒的速度沿AB 向终点B 运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点N 作NP AB ⊥交AC 于点P ，连接MP ．已知动点运动了x 秒．⑴ 请直接写出PN 的长；（用含x 的代数式表示） ⑵ 试求MPA △的面积S 与时间x 秒的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出S 的最大值；⑶ 在这个运动过程中，MPA △能否为一个等腰三角形．若能，求出所有x 的对应值；若不能，请说明理由．（崇文期末）【解析】 ⑴ 32x ；⑵ ()21139322224S AM AN x x x ⎛⎫=⋅=-⋅=--+ ⎪⎝⎭其中02x <≤，典题精练题型三：点运动产生特殊图形∴当32x =时，S 取得最大值94． ⑶ 由⑴可知：52AP x =．①若AM AP =，则532x x -=，解得67x =，②若AM MP =，则过P 点作PQ AD ⊥于Q ，易得AQPN 是矩形，32AQ PN x ==，2PQ AN x ==又3AM PM x ==-，则353322MQ x x x =--=-，∴()()22252332x x x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，解得1236037x x ==，（舍去）∴3637x =，另解：过点M 作ME AC ⊥.3sin sin 5AME BAC ∠=∠=∴335AE x =-，∴()335AE x =- 又12AE AP =，∴()3153522x x -=⨯，解得3637x =.③若AP MP =，则过P 点作PH AD ⊥于H ，易得AHPN 是矩形，32AH PN x ==，且()11322AH AM x ==-，∴()31322x x =-，解得34x =． 综上所述，若MPA △可以成为等腰三角形，满足条件的x 的值可以为63637374，，．2. 因动点产生的直角三角形问题【例5】 如图，已知A B 、是线段MN 上的两点，4MN =，11MA MB =>，．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成ABC △，设AB x =． ⑴求x 的取值范围；⑵若ABC △为直角三角形，求x 的值； ⑶探究：ABC △的最大面积是多少？【解析】 ⑴ 在ABC ∆中，∵1AC =，AB x =，3BC x =-．∴1313x x x x +>-⎧⎨+->⎩，解得12x <<．⑵ ①若AC 为斜边，则221(3)x x =+-，即2340x x -+=，无解．②若AB 为斜边，则22(3)1x x =-+，解得53x =，满足12x <<．③若BC 为斜边，则22(3)1x x -=+，解得43x =，满足12x <<． ∴53x =或43x =．⑶ 在ABC △中，作CD AB ⊥于D ， 设CD h =，ABC △的面积为S ，则12S xh=． ①若点D在线段AB 上，x ．∴()2222321x hx h --=--，即34x =-． ∴()222192416x h x x -=-+，即22282416x h x x =-+-． ∴222221312642422S x h x x x ⎛⎫==-+-=--+ ⎪⎝⎭（423x <≤）当32x =时（满足423x <≤），2S 取最大值12，从而S ．②若点D在线段MA 上，x =．同理可得，222212644S x h x x ==-+-231222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（413x <≤），易知此时S <． 综合①②得，ABC △．3. 因动点产生的特殊四边形问题 【例6】 如图，在矩形ABCD 中，20cm BC =，P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若cm BQ x =()0x ≠，则2cm AP x =，CM =3x cm ，2cm DN x =．⑴当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形；⑵当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；⑶以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．【解析】 ⑴当点P 与点N 重合或点Q 与点M 重合时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P 与点N 重合时，由2220x x +=得1211x =-，2211x =--（舍去） 因为()3421120BQ CM x x +=+=-<，此时点Q 与点M 不重合． 所以211x =-符合题意． ②当点Q 与点M 重合时，由320x x +=得5x =此时22520DN x ==>，不符合题意． 故点Q 与点M 不能重合．所以所求x 的值为211-．⑵ 由⑴知，点Q 只能在点M 的左侧， ①当点P 在点N 的左侧时， 由220(3)20(2)x x x x -+=-+， 解得120()2x x ==舍去，．当2x =时，四边形PQMN 是平行四边形．②当点P 在点N 的右侧时，由220(3)(2)20x x x x -+=+-， 解得1210()4x x =-=舍去，．当4x =时四边形NQMP 是平行四边形．所以当24x x ==或时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形． ⑶ 过点Q ，M 分别作AD 的垂线，垂足分别为点E ，F ． 由于2x x >，所以点E 一定在点P 的左侧．若以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是等腰梯形，则点F 一定在点N 的右侧，且PE NF =， 即223x x x x -=-．解得120()4x x ==舍去，．由于当4x =时， 以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形， 所以以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形．【例7】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数333y x +的图象与x 轴交于点A ，与y轴交于点B ，点C 的坐标为()30，，连结BC ． ⑴求证：ABC △是等边三角形；⑵点P 在线段BC 的延长线上，连结AP ，作AP 的垂直平分线，垂足为点D ，并与y 轴交于点E ，分别连结EA 、EP ．①若6CP =，直接写出AEP ∠的度数；②若点P 在线段BC 的延长线上运动（P 不与点C 重11yOCBA合），AEP ∠的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出AEP ∠的度数； ⑶ 在⑵的条件下，若点P 从C 点出发在BC 的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度．EC 与AP 交于点F ，设AEF △的面积为1S ，CFP △的面积为2S ，12y S S =-，运动时间为()0t t >秒时，求y 关于t 的函数关系式．（西城一模）【解析】 ⑴证明：如图，∵一次函数333y x =+的图象与x 轴交于点()30A -，，()033B ，． ∵()30C ，，∴OA OC =．又y 轴AC ⊥，∴AB BC =．在Rt AOB △中，tan 3BOBAO AO∠==．∴60BAC ∠=°．∴ABC △是等边三角形． ⑵①答：120AEP ∠=° ②解：如图，作EH CP ⊥于点H ，∵y 轴垂直平分AC ，ABC △是等边三角形，∴EA EC =，12BEA BEC AEC ∠=∠=．∴60BEH ∠=°．∵ED 垂直平分AP ，∴EA EP =．∴EA EC EP ==，∴EH 垂直平分CP ，在CEP △中，12CEH PEH PEC ∠=∠=∠，∵116022BEH BEC CEH AEC PEC ∠=∠+∠=∠+∠=°．∴120AEP AEC PEC ∠=∠+∠=°． ⑶作PG x ⊥轴于点G ，在Rt PGC △中，PC t =，32t tCG PG ==，．在Rt BEH △中，36,2t EH ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2362t BE ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∴33,EO BE BO t =-=+ 又12y S S =-()()12ACF ACF S S S S =+-+△△EAC PAC S S =-△△．13332EAC S AC EO t =⋅=+△， PAC S =△12AC PG ⋅=33t ．∴()3330y t t =-+>．xO ABC1PEy 1训练1. 如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于Q ． 探究：设A 、P 两点间的距离为x ．⑴当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；⑵当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x之间的函数关系，并写出函数自变量x 的取值范围； ⑶当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？ 如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置．并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由．（通州二模）【解析】 ⑴PQ PB =过P 点作MN BC ∥分别交AB 、DC 于点M 、N在正方形ABCD 中，AC 为对角线 ∴AM PM = 又∵AB MN = ∴MB PN = ∵90BPQ ∠=°∴90BPM NPQ ∠+∠=° 又∵90MBP BPM ∠+∠=° ∴MBP NPQ ∠=∠∴Rt Rt MBP NPQ △≌△ ∴PB PQ =⑵∵S 四边形PBCQ =S △PBC ＋S △PCQ ∵ AP x =∴2AM x =∴212CQ CD NQ x =-=- 又∵112121222PBC S BC BM x x ⎛⎫=⋅=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭△ ()112121222PCQS CQ PN x x ⎛⎫=⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭△ 2132122x x =-+ ∴2122102PBCQ S x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭四边形≤≤ ⑶△PCQ 可能成为等腰三角形．① 当点P 与点A 重合时，点Q 与点D 重合，思维拓展训练(选讲)Q PDC BA N M Q PD CBA N MQPDC BAPQ QC = ，此时，0x =② 当点Q 在DC 的延长线上，且CP CQ =时，有：22QN AM PM ===，2CP x =， 221CN =- 221CQ QN CN x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭21x - ∴ 221x x =-时，1x =.另解：由CP CQ =，如上图，CPQ CQP PBC ∠=∠=∠，∴APB ABP ∠=∠ ∴1x AB ==.训练2. 如图，在梯形ABCD 中，3510AD BC AD DC BC ===∥，，，，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． ⑴当MN AB ∥时，求t 的值；⑵试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．（密云一模）【解析】 ⑴如图①，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点， 则四边形ADGB 是平行四边形．∵MN AB ∥，∴MN DG ∥． ∴3BG AD ==．∴1037GC =-=． 由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，．∵DG MN ∥，∴MNC GDC △∽△． ∴CN CM CD CG =．即10257t t -=． 解得，5017t =．⑵分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图②，即102t t =-．∴103t =．(图③)(图②)E H NDCM B ANM DC BA②当MN NC =时，如图③，过N 作NE MC ⊥于E ，DH BC ⊥于H ．则()11102522EC MC t t ==-=-，4DH =．∴3CH =．NMDCB A∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠，，∴NEC DHC △∽△． ∴NC EC DC HC =．即553t t -=．∴258t =． ③当MN MC =时，如图④，过M 作MF CN ⊥于F 点．则1122FC NC t ==．∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠，， ∴MFC DHC △∽△．∴FC MC HC DC =．即 1102235tt -=．∴6017t =． 综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形．训练3. 在ABC ∆中，90C ∠=︒，4cm AC =，5cm BC =，点D 在BC 上，且3cm CD =，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动．过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ，连结EQ ．设动点运动时间为x 秒．⑴用含x 的代数式表示AE 、DE 的长度； ⑵当点Q 在BD （不包括点B 、D ）上移动时，设EDQ △的面积为2(cm )y ，求y 与时间x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；⑶当x 为何值时，EDQ △为直角三角形．（浙江温州）【解析】 ⑴在Rt ADC △中，4AC =，3CD =，∴5AD =∵EP DC ∥　，∴AEP ADC △≌△ △AEP ∽△ADC ∴EA AP AD AC =，54EA x = 55544EA x DE x ==-，⑵∵53BC CD ==，，∴2BD =当点Q 在BD 上运动x 秒后，2 1.25DQ x =-，则21157(4)(2 1.25)42282y DQ CP x x x x =⨯⨯=--=-+即y 与x 的函数解析式为：257482y x x =-+，其中自变量的取值范围是：0 1.6x <<⑶分两种情况讨论： ①当90EQD ∠=︒显然有4EQ PC x ==-， ∵EQ AC ∥，EPQ CD B AABDCQ PE∴EDQ ADC △∽△，∴EQ DQAC DC=∴4 1.25243x x --=解得 2.5x = ②当90QED ∠=︒时， ∴90CDA EDQ QED C ∠=∠∠=∠=︒， ∴EDQ CDA △∽△∴5(4) 1.252125EQ DQ x x CA DA --==， 解得 3.1x =综上所述，当x 为2.5秒或3.1秒时，EDQ △为直角三角形．训练4. 如图，平行四边形ABCD 中，8AD =，4CD =，60D ∠=°，点P 与点Q 是平行四边形ABCD 边上的动点，点P 以每秒1个单位长度的速度，从点C 运动到点D ，点Q 以每秒2个单位长度的速度从点A →点B →点C 运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．点P 与点Q 同时出发，设运动时间为t ，CPQ △的面积为S ． ⑴求S 关于t 的函数关系式； ⑵求出S 的最大值；⑶t 为何值时，将CPQ △以它的一边为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形．（朝阳二模）【解析】 ⑴ ①当02t <≤时，如图1，过点B 作BE DC ⊥，交DC 的延长线于点E ，∵60BCE D ∠=∠=°，∴BE = ∵CP t =，∴1122CPQ S CP BE ∆=⋅=⨯=．② 当24t <≤时，如图2，CP t =，24BQ t =-，()824122CQ t t =--=-．过点P 作PF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ．∵60PCF D ∠=∠=°，∴PF =．∴211(122)22CPQ S CQ PF t =⋅=-=+△．⑵当02t <≤时，2t =时，S 有最大值．当24t <≤时，223)CPQ S t =+=-△3t =时，S综上所述，SB图2E PQ CD B A⑶当02t <≤时，CPQ △不是等腰三角形，∴不存在符合条件的菱形．当24t <≤时，令CQ CP =，即122t t =-，解得4t =． ∴当4t =时，CPQ △是等腰三角形．即当4t =时，以CPQ △一边所在直线为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形．题型一 点运动产生函数 巩固练习【练习1】 如图，直线4y x =-+与两坐标轴分别交于A 、B 两点，边长为2的正方形OCEF 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为()04a a ≤≤，正方形OCEF 与△AOB 重叠部分的面积为S ．则表示S 与a 的函数关系的图象大致是（ ） （石景山期末）D.2442SO 2442a SO O Sa 24422442aSOD.2442aS O 2442aS O OSa 2442 D.2442aSO 2442a SO D.2442aSO 【解析】 D .【练习2】 如图，在半径为1的O 中，直径AB 把O 分成上、下两个半圆，点C 是上半圆上一个动点（C 与点A 、B 不重合），过点C 作弦CD AB ⊥，垂足为E ，OCD ∠的平分线交O 于点P ，设CE x AP y ==，，下列图象中，最能刻画y 与x 的函数关系的图象是（ ） （昌平一模）122xyO122xyO12Oyx 212Oyx2A ．B ． D ．【解析】 A .题型二 点运动与面积变化 巩固练习【练习3】 已知：如图，在Rt ACB △中，90C ∠=°，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题： ⑴当t 为何值时，PQ BC ∥？⑵设AQP △的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式； ⑶是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由.复习巩固PO E DCBAAQP 1OF ECB A yx（平谷二模）【解析】 ⑴在Rt ABC △中，5AB ==，由题意知：5AP t =-，2AQ t =，若PQ BC ∥，则APQ ABC △∽△，∴AQ AC =AP AB ，∴2545t t -=，∴107t =． ⑵过点P 作PH AC ⊥于H ． ∵APH ABC △∽△， ∴PH BC =AP AB ，∴3PH =55t -，∴335PH t =-， ∴211332332255y AQ PH t t t t ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯-=-+ ⎪⎝⎭．⑶若PQ 把ABC △周长平分，则AP AQ BP BC CQ +=++．∴(5)23(42)t t t t -+=++-，解得：1t =． 若PQ 把ABC △面积平分，则12APQ ABC S S =△△， 即23335t t -+=．∵1t =代入上面方程不成立，∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt ACB △的周长和面积同时平分．题型三 点运动产生特殊图形 巩固练习【练习4】 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题：⑴过P 作PM AD ∥，交AB 于M ．当t 为何值时，四边形AMPE 是平行四边形？⑵设y =EQ PQ ⋅（cm 2），求y 与t 之间的函数关系式，并求t 为何值时，y 有最大值，最大值是多少； ⑶连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．（崇文一模）【解析】 ⑴∵四边形AMPE 是平行四边形．∴PE AB ∥，∴DE DPDA DB=． 而10DE t DP t ==-，，∴10610t t -=，∴154t =．∴当15(s)4t =，四边形AMPE 是平行四边形．⑵∵EF 平行且等于CD ，∴DQE BDC ∠=∠．∵AD BC ∥，∴EDQ CBD ∠=∠．∴DEQ BCD △∽△． ∴DE EQ BC CD =即104t EQ =．∴25EQ t =．AFE CBCDE F∵DQ BP t ==，∴102PQ t =-．∴y =EQ PQ ⋅=25t (102)t ⋅-245()552t =--+∴当52t =时，y 有最大值5．⑶在PDE △和FBP △中， 10DE BP t PD BF t PDE FBP PDE FBP ==⎫⎪==-⇒⎬⎪∠=∠⎭△≌△ ∴PDE PFCDE PFCD S S S =+△五边形四边形FBP PFCD S S =+△BCD S ==△． ∴在运动过程中，五边形PFCDE 的面积不变．【练习5】 已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．⑴求直线BC 的解析式；⑵动点P 在线段OA 上移动，t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27？⑶动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；⑷当动点P 在线段AB 上移动时，能否在线段OA 上找到一点Q ，使四边形CQPD 为矩形？请求出此时动点P 的坐标；若不能，请说明理由．（黄冈中考）（此图备用）【解析】 ⑴ 直线BC 的解析式为344y x =+． ⑵ 如图1，过点D 作DM y ⊥轴，垂足为M ．在Rt CDM △中，152CD CB ==，4DM =，3CM =． 所以1174478222OCD OPD OPDC S S S t t =+=⨯⨯+⨯=+△△四边形． 梯形COAB 的面积()14108562COAB S =+⨯=梯形．解方程7285627t +=⨯，解得167t =．因此，当167t =时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 的面积的27．⑶ 如图1，① 当P 在线段OA 上时，08t <≤，72S t =；② 如图2，当P 在线段AB 上时，818t <≤，244S t =-+；③ 如图3，当P 在线段BD 上时，1823t <<，818455S t =-+．⑷ 四边形CQPD 不可能成为矩形．说理如下：如图4，当PD CD ⊥时，作PQ PD ⊥交x 轴于Q ．在Rt BDP △中，5BD =，52533BP BD ==．在Rt APQ △中，53AP =，52539PQ AP ==．所以PQ CD ≠，因此四边形CQPD 不是矩形．。