第一基本概念与抽样分布优秀课件
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10.随机性： X1,X2,…,Xn每个结果等可能被抽取。 20.代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体
有相同的分布； 30.独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量,每
个样本值互不干扰。
由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样 本，它可以用与总体独立同分布的n个随机变量 X1,X2,…,Xn表示.
统计量实际上也是一个随机变量，它是一个 随机向量的函数。
如 X ~N (,2)其 , , 中 未 . 知
X n1in1 Xi Bk n 1 i n1(Xi X)k 是统计量.
1n
ni1
Xi
2
1
2
n i1
X
2 i
不是统计量.
统计量的两重性
(1). 统计量f(X1,X2,…,Xn)本身是随机向量,他有 确定的概率分布－抽样分布。
20. 相对确定性 经过一次抽样否，样本(X1,X2,…,Xn)又是 一组确定的样本值(x1,x2,…,xn)。
由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断， 为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息， 必须考虑抽样方法.
(2). 简单随机样本
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽 样”，它要求抽取的样本满足下面三点:
(2). 经过一次抽样否， f(X1,X2,…,Xn)又是由样 本值(x1,x2,…,xn)确定的一个统计值。
2. 常用的统计量（样本矩）
(1). 定义 样本k－阶原点矩
Ak
1 n
ni1
Xik
它们均是随机变量
它反映了总体k 阶矩 的信息
样本k－阶中心矩
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
Bk n 1 i n1(Xi X)k
通常a用 k,bk,x,sn2表示相应统计值。
(2). 矩的性质
性质1. 设总 X的 k 体 阶矩,则 存在
由大数定 律可知
liP m X E X 1
n
n l iP m S n 2 D X 1
大样本条件下，一次抽样后样本均值、方差可 作为总体的均值、方差的近似。
一般地，抽样分为大样本和小样本问题。
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为 5
样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机向量.
但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具 体的数 (X1,X2,…,Xn)，称为样本的一次观察值， 简称样本值 .
样本具有两重性：
10. 随机性 样本(X1,X2,…,Xn)本身是随机向量。
性质 2. 设 X 的 2k阶矩 2kE2X k存在，则
EkA k , DkA 2kn k 2
证
EA k En1 in1Xik
n1 in1 EXik
Hale Waihona Puke Baidu
1
n
EXk
ni1
k
DA k Dn1 in1Xik
1 n2
n
DXik
i1
1 n2
n
DXk
i1
n 12 i n1E2X kEkX 2
EX2k EXk 2
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、 确定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量 身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是 样本. 我们只能观察到随机变量取的值而见不到 随机变量.
总体（理论分布） ？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总 体的情况---总体分布F(x)的性质.
数学定义： n个随机变量X1,X2,…,Xn独立同分 布(X与同分布)，则称(X1,X2,…,Xn)来自总体X的容 量为n的简单随机样本，简称为样本.
简单随机样本是应用中最常见的情形，今后， 当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时， 若不特别说明，就指简单随机样本.
3. 总体、样本、样本值的关系
第一基本概念与抽 样分布
然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心 其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标 在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
某批 灯泡的寿命
国产轿车每公里 的耗油量
该批灯泡寿命的 全体就是总体
国产轿车每公里耗油 量的全体就是总体
由于每个个体的出现是随机的，所以相应 的数量指标的出现也带有随机性. 从而可以把 这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变 量的分布就是该数量指标在总体中的分布.
这样 总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.
统计中，总体这个概念的要旨是：
总体就是一个随机变(向)量或其概率分布.
数理统计研究的内容： 总体相应随机变(向)量
的概率分布及数字特征.
2. 样本 (1). 抽样、样本、样本值
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从 总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关 总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所 抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体 数目称为样本容量.
样本是联系二者的桥梁
总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是 样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断 总体.
实际上，样本的分布与总体分布的关系如下
定理1. 若总体的分布函数为F(x)，则其简单随 机样本的联合分布函数为
F ( x 1 , , x n ) F ( x 1 ) F ( x 2 ) F ( x n )
k=1,2,…
k=1时， A1称为样本均值
样本均值
X n1in1 Xi
它反映了总体 均值的信息
k=2时， B2称为样本方差
它反映了总体
样本方差 S2n 1 i n1(Xi X)2
方差的信息
修正 S n *2 方 n 1 1 差 i n 1(X i ： X )2
更加常用简称为 样本方差
两者关 Sn *2 系 nn 1： Sn 2
1. 定义 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行
“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样 本中所含的（某一方面）的信息集中起来. 设(X1,X2,…,Xn)为总体X的一个样本, f(X1,X2,…,Xn) 是一个不含任何有关总体分布未知参数的函数，称 为此总体的一个统计量，它是完全由样本决定的量.
n
F(xi )
i 1
P ( X 1 x 1 , , X n x n ) P ( X 1 x 1 ) P ( X n x n )
n
n
联合 f(x 1 , x n 密 ) f X i(度 x i) f(x i)
i 1 n
i 1
联合p 分 (x1, x 布 n) 律 p(xi)
i 1
二、统计量
有相同的分布； 30.独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量,每
个样本值互不干扰。
由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样 本，它可以用与总体独立同分布的n个随机变量 X1,X2,…,Xn表示.
统计量实际上也是一个随机变量，它是一个 随机向量的函数。
如 X ~N (,2)其 , , 中 未 . 知
X n1in1 Xi Bk n 1 i n1(Xi X)k 是统计量.
1n
ni1
Xi
2
1
2
n i1
X
2 i
不是统计量.
统计量的两重性
(1). 统计量f(X1,X2,…,Xn)本身是随机向量,他有 确定的概率分布－抽样分布。
20. 相对确定性 经过一次抽样否，样本(X1,X2,…,Xn)又是 一组确定的样本值(x1,x2,…,xn)。
由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断， 为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息， 必须考虑抽样方法.
(2). 简单随机样本
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽 样”，它要求抽取的样本满足下面三点:
(2). 经过一次抽样否， f(X1,X2,…,Xn)又是由样 本值(x1,x2,…,xn)确定的一个统计值。
2. 常用的统计量（样本矩）
(1). 定义 样本k－阶原点矩
Ak
1 n
ni1
Xik
它们均是随机变量
它反映了总体k 阶矩 的信息
样本k－阶中心矩
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
Bk n 1 i n1(Xi X)k
通常a用 k,bk,x,sn2表示相应统计值。
(2). 矩的性质
性质1. 设总 X的 k 体 阶矩,则 存在
由大数定 律可知
liP m X E X 1
n
n l iP m S n 2 D X 1
大样本条件下，一次抽样后样本均值、方差可 作为总体的均值、方差的近似。
一般地，抽样分为大样本和小样本问题。
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为 5
样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机向量.
但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具 体的数 (X1,X2,…,Xn)，称为样本的一次观察值， 简称样本值 .
样本具有两重性：
10. 随机性 样本(X1,X2,…,Xn)本身是随机向量。
性质 2. 设 X 的 2k阶矩 2kE2X k存在，则
EkA k , DkA 2kn k 2
证
EA k En1 in1Xik
n1 in1 EXik
Hale Waihona Puke Baidu
1
n
EXk
ni1
k
DA k Dn1 in1Xik
1 n2
n
DXik
i1
1 n2
n
DXk
i1
n 12 i n1E2X kEkX 2
EX2k EXk 2
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、 确定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量 身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是 样本. 我们只能观察到随机变量取的值而见不到 随机变量.
总体（理论分布） ？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总 体的情况---总体分布F(x)的性质.
数学定义： n个随机变量X1,X2,…,Xn独立同分 布(X与同分布)，则称(X1,X2,…,Xn)来自总体X的容 量为n的简单随机样本，简称为样本.
简单随机样本是应用中最常见的情形，今后， 当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时， 若不特别说明，就指简单随机样本.
3. 总体、样本、样本值的关系
第一基本概念与抽 样分布
然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心 其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标 在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
某批 灯泡的寿命
国产轿车每公里 的耗油量
该批灯泡寿命的 全体就是总体
国产轿车每公里耗油 量的全体就是总体
由于每个个体的出现是随机的，所以相应 的数量指标的出现也带有随机性. 从而可以把 这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变 量的分布就是该数量指标在总体中的分布.
这样 总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.
统计中，总体这个概念的要旨是：
总体就是一个随机变(向)量或其概率分布.
数理统计研究的内容： 总体相应随机变(向)量
的概率分布及数字特征.
2. 样本 (1). 抽样、样本、样本值
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从 总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关 总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所 抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体 数目称为样本容量.
样本是联系二者的桥梁
总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是 样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断 总体.
实际上，样本的分布与总体分布的关系如下
定理1. 若总体的分布函数为F(x)，则其简单随 机样本的联合分布函数为
F ( x 1 , , x n ) F ( x 1 ) F ( x 2 ) F ( x n )
k=1,2,…
k=1时， A1称为样本均值
样本均值
X n1in1 Xi
它反映了总体 均值的信息
k=2时， B2称为样本方差
它反映了总体
样本方差 S2n 1 i n1(Xi X)2
方差的信息
修正 S n *2 方 n 1 1 差 i n 1(X i ： X )2
更加常用简称为 样本方差
两者关 Sn *2 系 nn 1： Sn 2
1. 定义 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行
“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样 本中所含的（某一方面）的信息集中起来. 设(X1,X2,…,Xn)为总体X的一个样本, f(X1,X2,…,Xn) 是一个不含任何有关总体分布未知参数的函数，称 为此总体的一个统计量，它是完全由样本决定的量.
n
F(xi )
i 1
P ( X 1 x 1 , , X n x n ) P ( X 1 x 1 ) P ( X n x n )
n
n
联合 f(x 1 , x n 密 ) f X i(度 x i) f(x i)
i 1 n
i 1
联合p 分 (x1, x 布 n) 律 p(xi)
i 1
二、统计量