数学高考综合能力题选讲5
河南省开封市(新版)2024高考数学人教版能力评测(综合卷)完整试卷
河南省开封市（新版）2024高考数学人教版能力评测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题第19届亚运会于2023年9月至10月在杭州举行，来自浙江某大学的4名男生和3名女生通过了志愿者的选拔，若从这7名大学生中选出2人或3人去某场馆担任英语翻译，并且至少要选中1名女生，则不同的挑选方案共有（）A．15种B．31种C．46种D．60种第(2)题设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（）A．B．C．D．第(3)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(4)题在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与轴交于两点，设直线的方程为，直线与圆相交于两点，直线与直线相交于点，直线、直线、直线的斜率分别为，则（）A．B．C．D．第(5)题已知，则（）A．B．C．D．第(6)题设集合，，则（）A．B．或C．D．第(7)题下图是2022年5月一2023年5月共13个月我国纯电动汽车月度销量及增长情况统计图（单位：万辆），则下列说法错误的是（）（注：同比：和上一年同期相比）A．2023年前5个月我国纯电动汽车的销量超过214万辆B．这13个月我国纯电动汽车月度销量的中位数为61.5万辆C．这13个月我国纯电动汽车月度销量的众数为52.2万辆D．和上一年同期相比，我国纯电动汽车月度销量有增有减第(8)题2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化．这次晚宴菜单中有“全家福”、“沙葱牛肉”、“北京烤鸭”、“什锦鲜蔬”、“冰花锅贴”、“蟹黄烧麦”、“天鹅酥”、“象形枇杷”．假设在上菜的过程中服务员随机上这8道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”、“北京烤鸭”相邻上的概率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在正三棱锥中，设，，则下列结论中正确的有（）A ．当时，到底面的距离为B．当正三棱锥的体积取最大值时，则有C．当时，过点A作平面分别交线段，于点，不重合，则周长的最小值为D．当变大时，正三棱锥的表面积一定变大第(2)题为了得到函数的图象，可将函数的图象（）A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍B．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的C．向上平移一个单位长度D．向下平移一个单位长度第(3)题已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（）A．的最大值是1B．的最小值是4C．的最大值是2D．的最小值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题函数的最小正周期与最大值的和为______．第(2)题某红绿灯十字路口早上9点后的某分钟内10辆汽车到达路口的时间依次为（单位：秒）：1，2，4，7，11，16，21，29，37，46，令表示第i辆车到达路口的时间，记，则的方差为________．第(3)题若满足约束条件，则的最大值为___________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆E：()的左焦点为，过F的直线交E于A、C两点，的中点坐标为.（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O的直线和相交且交E于B、D两点，求四边形面积的最大值.第(2)题锚定2060碳中和，中国能源演进“绿之道”，为响应绿色低碳发展的号召，某地在沙漠治理过程中，计划在沙漠试点区域四周种植红柳和梭梭树用于防风固沙，中间种植适合当地环境的特色经济作物，通过大量实验发现，单株经济作物幼苗的成活率为0.8，红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率均为p，且已知任取三种幼苗各一株，其中至少有两株幼苗成活的概率不超过0.896．(1)当p最大时，经济作物幼苗的成活率也将提升至0.88，求此时三种幼苗均成活的概率（）；(2)正常情况下梭梭树幼苗栽种5年后，其树杆地径服从正态分布（单位：mm）．㈠梭梭树幼苗栽种5年后，若任意抽取一棵梭梭树，则树杆地径小于235mm的概率约为多少？（精确到0.001）㈡为更好地监管梭梭树的生长情况，梭梭树幼苗栽种5年后，农林管理员随机抽取了10棵梭梭树，测得其树杆地径均小于235mm，农林管理员根据抽检结果，认为该地块土质对梭梭树的生长产生影响，计划整改地块并选择合适的肥料，试判断该农林管理员的判断是否合理？并说明理由．附：若随机变量Z服从正态分布，则，，．第(3)题孟德尔在观察豌豆杂交时发现了以下规律：豌豆的各种性状是由其遗传因子决定的. 以子叶颜色为例，豌豆的子叶分黄、绿两种颜色，其中黄色为显性性状，绿色为隐性性状. 我们用表示子叶为黄色的豌豆的遗传因子对，用表示子叶为绿色的豌等概率随机组合，子一代的遗传豆的遗传因子对. 当这两种豌豆杂交时，父本的其中一个遗传因子与母本的其中一个遗传因子等概率因子对全部为，如图所示，其中为显性遗传因子，为隐性遗传因子. 当生物的遗传因子对中含有显性遗传因子时呈现显性性状，否则呈现隐性性状. 例如：均指示黄色子叶，指示绿色子叶. 我们称以上定律为孟德尔定律.(1)若仅考虑子叶颜色若仅考虑子叶颜色，在子一代豌豆间进行相互交配得到存在不同遗传因子的子二代豌豆，继续在子二代豌豆中将含有相同遗传因子对的豌豆（如与）进行交配得到子三代豌豆，求子三代豌豆中子叶颜色为绿色的概率.(2)已知人的单、双眼皮性状服从孟德尔定律，其中双眼皮是显性性状，记其遗传因子对为或；单眼皮是隐性性状，记其若仅考虑眼皮性状，已知你的祖父、祖母和母亲的遗传因子对均为:遗传因子对为. 若仅考虑眼皮性状（ⅰ）在你是双眼皮的条件下，求父亲是单眼皮的概率；（ⅱ）祖父和祖母育有伯父、父亲、叔父和姑母三子一女，除父亲外，其余三人均与单眼皮配偶婚配并各育有一子，求你及你的三代以内父系亲属（如图）中双眼皮人数的数学期望.第(4)题柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，则当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立.(1)请你写出柯西不等式的二元形式；(2)设P是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值；(3)已知无穷正数数列满足：①存在，使得；②对任意正整数，均有.求证：对任意，，恒有.第(5)题如图，三棱锥的底面和侧面都是等边三角形，且平面平面，点在侧棱上．（1）当为侧棱的中点时，求证：平面；（2）若二面角的大小为60°，求的值．。
2020年高考数学专题+一+第一关+以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题 (4)
2020年高考数学专题一 压轴选择题第五关 以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题 【名师综述】近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理.平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.类型一 平面向量与解三角形的结合典例 1 ． 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足222b c a bc +-=，0AB BC ⋅>，a ，则b c +的取值范围是（ ） A ．31 , 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B．32⎫⎪⎪⎝⎭C ．13 , 22⎛⎫⎪⎝⎭ D ．13( , ]22 【答案】B【解析】∵bc a c b =-+222，由余弦定理可得2122cos 222==-+=bc bc bc a c b A ，因为C 是三角形内角，∴ 60=A ，23sin =A ．0AB BC ⋅>，∴()0o s >-=⋅B π，∴B 是钝角．由正弦定理可得B B Aab sin sin sin =⨯=，同理C C sin =．三角形ABC 中，3π=A ，∴32π=+B C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=-+=+=+6sin 3cos 23sin 32)32sin(sin sin sin ππB B B B B C B c b ，∵ππ322<<B ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+55,326πππB ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+23,236sin 3πB ，∴c b +的取值范围为：32⎫⎪⎪⎝⎭，故选项为B ．【名师指点】由余弦定理可得角A 的大小，平面向量数量积向量式是实现向量和三角形边、角转化的桥梁，而正弦定理又是进行三角形边角转化的工具．最值将的取值范围问题转化为三角函数的值域问题处理．【举一反三】已知O 是ABC 所在平面内一点，若对m R ∀∈，恒有()1O A m O C m O BO B O A +--≥-，则ABC 一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【答案】B【解析】由题知： ()1OA m OC mOB OB OA +--≥-化简得到CA mBC BA +≥， 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，两边平方可得，22222cos b m a mab C c +-≥即22222cos 0m a mab C b c -+-≥， 由题意可得2220cos 0c b b C ≤⇒≤-≤ ， 即为c≤bsinC ，由正弦定理可得sinC≤sinBsinC ，则sinB≥1，但sinB≤1，则sinB=1，可得B=90°． 即三角形ABC 为直角三角形． 故答案为：B 。
2025版高考数学全程一轮复习第六章数列高考大题研究课五数列的综合课件
50项和S50.
题型三 数列与不等式的综合 例 3 (12 分 )[2023·新 课 标 Ⅱ 卷 ] 已 知 {an} 为 等 差 数 列 ， bn ＝ ൝an2a−n，6，n为n为偶奇数数.记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32， T3＝16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tn>Sn.
巩固训练1
[2024·安徽马鞍山模拟]已知数列{an}，a1＝3，a2＝5，数列{bn}为等 比数列，满足bn＋1＝an＋1bn－anbn，且b2，2a4，b5成等差数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)记数列{cn}满足：cn＝൝bann，，
n为奇数 n为偶数
，中的新定义数列问题的一般步骤
巩固训练2 [2024·河 南 郑 州 模 拟 ] 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 之 积 为 Tn ＝
n n−1
2 2 (n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前
题型二 数列中的新定义数列问题 例 2 [2024·河 北 石 家 庄 模 拟 ] 已 知 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 记 为 Sn(n∈N*)，满足3a2＋2a3＝S5＋6. (1)若数列{Sn}为单调递减数列，求a1的取值范围； (2)若a1＝1，在数列{an}的第n项与第n＋1项之间插入首项为1，公比 为2的等比数列的前n项，形成新数列{bn}，记数列{bn}的前n项和为Tn， 求T95.
十年(2012-2021)高考数学真题分项汇编(全国通用)-专题16 选修4-5不等式选讲(学生版)
专题16 选修4-5不等式选讲【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．3．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知()11f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.9．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)()()554a b a b ++≥；(2)2a b +≤.12．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.13．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））（2016高考新课标Ⅰ，理24）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )=|x +1|−|2x −3|.（Ⅰ）画出y =f (x )的图象；（Ⅰ）求不等式|f (x )|>1的解集．14．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））选修4-5：不等式选讲已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ； （Ⅰ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+.15．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.16．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标））已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.17．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））选修4-5不等式选讲设a b c d ,,,均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab cd >>；（Ⅰ>是a b c d -<-的充要条件．18．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））若且 （I ）求的最小值； （II ）是否存在，使得？并说明理由.19．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷））设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．20．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g （x ）＝x ＋3．（1）当a ＝－2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集；（2）设a ＞－1，且当xⅠ1,22a ⎛⎫-⎪⎝⎭时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围．21．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅰ）2221a b c b c a++≥.22．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））已知函数()f x =2x a x ++-. (Ⅰ)当3a =-时，求不等式()f x ≥3的解集；(Ⅰ) 若()f x ≤4x -的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.（命题意图）本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题.。
高考数学真题：不等式选讲含答案
专题十六 不等式选讲 第四十二讲 不等式选讲2019年1.（2019全国I 理23）[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．2. （2019全国II 理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.3.（2019全国III 理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.2010-2018年解答题1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|=-+--f x x a x ． (1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；(2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()|21||1|f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．4．(2018江苏)D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值． 5．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围． 6．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)55()()4a b a b ++≥； (2)2a b +≤．7．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．8．（2017江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +≤．9．（2016年全国I 高考）已知函数()|1||23|f x x x =+--．（I ）在图中画出()y f x =的图像； （II ）求不等式|()|1f x >的解集．10．（2016年全国II ）已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+． 11．（2016年全国III 高考）已知函数()|2|f x x a a =-+（Ⅰ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围． 12．（2015新课标1）已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 13．（2015新课标2）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab >cd a b c d >a b c d >||||a b c d -<- 的充要条件．14．（2014新课标1）若0,0a b >>，且11a b+=． (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由． 15．（2014新课标2）设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围．16．（2013新课标1）已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.（Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集； （Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 17．（2013新课标2）设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（Ⅰ）13ab bc ca ++≤（Ⅱ）2221a b c b c a++≥ 18．（2012新课标）已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当|3-=a 时，求不等式()3f x 的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x -的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．19．（2011新课标）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值．专题十六 不等式选讲第四十二讲 不等式选讲答案部分2019年1.解析（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.2．解析（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---. 当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞. （2）因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x ----- 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.3．解析（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43.（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-， 当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +，解得3a -或1a -．2010-2018年1．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21≥a，故02<≤a ． 综上，a 的取值范围为(0,2]．2．【解析】(1)当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ． (2)()1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x ．而|||2||2|++-+≥x a x a ，且当2=x 时等号成立．故()1≤f x 等价于|2|4+≥a ． 由|2|4+≥a 可得6-≤a 或2≥a ，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．3．【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x xf x x xx x⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x=的图像如图所示．(2)由(1)知，()y f x=的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a≥且2b≥时，()f x ax b+≤在[0,)+∞成立，因此a b+的最小值为5．4．D．【证明】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z++++++≥．因为22=6x y z++，所以2224x y z++≥，当且仅当122x y z==时，不等式取等号，此时244333x y z===，，，所以222x y z++的最小值为4．5．【解析】（1）当1a=时，不等式()()f xg x≥等价于2|1||1|40x x x x-+++--≤．①当1x<-时，①式化为2340x x--≤，无解；当11x-≤≤时，①式化为220x x--≤，从而11x-≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而112x -+<≤． 所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x -+-<≤． （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥． 又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一， 所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤． 所以a 的取值范围为[1,1]-．6．【解析】（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++ 2224()ab a b =+-4≥（2）∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++ 23()2()4a b a b +++≤33()24a b +=+，所以3()8a b +≤，因此2a b +≤．7．【解析】（1）3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ． 所以()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．（2）由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤且当32x =时，2512=4x x x x +---+． 故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．8．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +++≤，因为22224,16,a b c d +=+= 所以2()64ac bd +≤， 因此8ac bd +≤. 9．【解析】(1)如图所示：(2)()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥，()1f x >．当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <，1x -∴≤． 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312x <<，当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >，综上，13x <或13x <<或5x >，()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，．10．【解析】（I ）当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．（Ⅱ）当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->， 即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++， 则()()221ab a b +>+， 即1a b ab +<+，证毕．11．【解析】（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+，得13x-.因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x-.（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +等价于|1|3a a-+. ①当1a时，①等价于13a a -+，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+，解得2a.所以a 的取值范围是[2,)+∞.12．【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->，当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤． 所以()1f x >的解集为2{|2}3x x <<． （Ⅱ）有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤，所以函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++，ABC ∆的面积为22(1)3a +．有题设得22(1)63a +>，故2a >．所以a 的取值范围为(2,)+∞． 13．【解析】（Ⅰ）∵2a b =++2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >得22>．>（Ⅱ）（ⅰ）若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-， 即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >>>则22>，即a b c d ++>++ 因为a bc d ，所以ab cd ，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-． 因此||||a b c d -<-，>||||a b c d -<-的充要条件．14．【解析】（I11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==时取等号． 故33ab+≥≥，且当a b ==时取等号．所以33ab +的最小值为（II ）由（I）知，23a b +≥≥．由于6>，从而不存在,a b ， 使得236a b +=．15．【解析】（I ）由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥． 所以()f x ≥2. （Ⅱ）1(3)33f a a=++-. 当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a＜52．当0＜a ≤3时，(3)f =16a a-+，由(3)f ＜5得12+＜a ≤3．综上，a，52+）． 16．【解析】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<． （Ⅱ）当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤，∴2x a -≥对x ∈[2a -，12)都成立，故2a-≥2a -，即a ≤43，∴a 的取值范围为(-1，43]．17．【解析】（Ⅰ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得222a b c ab bc ca ++≥++由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=．所以()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤（Ⅱ）∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥ ∴222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++ 即222a b c a b c b c a++≥++ ∴2221a b c b c a++≥ 18．【解析】(1)当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+-2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩1x⇔或4x．(2)原命题()4f x x ⇔-在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++--在[1,2]上恒成立 22x ax ⇔---在[1,2]上恒成立30a ⇔-．19．【解析】（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．由此可得 3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-．( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩，即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x aa x ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤，因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-，由题设可得2a-=1-，故2a =．。
2018届高考数学复习不等式选讲(选修4-5)练习题
2018届高考数学复习不等式选讲(选修4－5)练习题1．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.2．设函数f (x )＝|2x ＋2|－|x －2|.(1)求不等式f (x )＞2的解集；(2)若∀x ∈R ，f (x )≥t 2－72t 恒成立，求实数t 的取值范围．解析：(1)不等式f (x )＞2等价于⎩⎨⎧ x ＜－1，－(2x ＋2)＋(x －2)＞2或⎩⎨⎧ －1≤x ≤2，(2x ＋2)＋(x －2)＞2或⎩⎨⎧x ＞2，(2x ＋2)－(x －2)＞2，解得x ＜－6或23＜x ≤2或x ＞2，∴x ＞23或x ＜－6.∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞23或x ＜－6. (2)∵f (x )＝⎩⎨⎧ －x －4，x ＜－1，3x ，－1≤x ＜2，x ＋4，x ≥2，∴f (x )min ＝f (－1)＝－3， 若∀x ∈R ，f (x )≥t 2－72t 恒成立，则只需f (x )min ＝－3≥t 2－72t ⇒2t 2－7t ＋6≤0⇒32≤t ≤2，综上所述，32≤t ≤2.3．(2017·安徽皖南八校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|.(1)求不等式f (x )≥2的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＜a 的解集为∅，求a 的取值范围．解析：(1)当x ＞12时，f (x )＝3x ≥2，解得x ≥23，当－1≤x ≤12时，f (x )＝2－x ≥2，解得－1≤x ≤0，当x ＜－1时，f (x )＝－3x ≥2，解得x ＜－1.综上，不等式的解集为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. (2)由题意知，f (x )≥a 对一切实数x 恒成立，当x ＞12时，f (x )＝3x ＞32，当－1≤x ≤12时，f (x )＝2－x ≥32，当x ＜－1时，f (x )＝－3x ＞3，综上，f (x )min ＝32，故a ≤32.4．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|.(1)求不等式f (x )＜2的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≤a －a 22有解，求a 的取值范围． 解析：(1)当x ＞1时，f (x )＝2x ＋1－(x －1)＝x ＋2，∵f (x )＜2，∴x ＜0，此时无解；当－12≤x ≤1时，f (x )＝2x ＋1－(1－x )＝3x ，∵f (x )＜2，∴x ＜23，此时－12≤x ＜23；当x ＜－12时，f (x )＝－2x －1－(1－x )＝－x －2，∵f (x )＜2，∴x ＞－4，此时－4＜x ＜－12.综上所述，不等式f (x )＜2的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，23. (2)f (x )≤a －a 22有解⇔f (x )min ≤a －a 22.由(1)可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －2，x ＜－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x ＞1.当x ＜－12时，f (x )＞－32；当－12≤x ≤1时，－32≤f (x )≤3； 当x ＞1时，f (x )＞3. ∴f (x )min ＝－32，故－32≤a －a 22⇒a 2－2a －3≤0⇒－1≤a ≤3.。
高考数学专题不等式、推理与证明及不等式选讲(选修4-5)
第六章不等式、推理与证明及不等式选讲(选修4－5)第一节不等关系与不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b＞0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a<b.2．不等式的基本性质1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b<c⇒a<c.2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．[试一试]1．(2013·北京高考)设a，b，c∈R，且a>b，则()A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2D. a 3>b 3解析：选D 由性质知选D. 2.12－1________3＋1(填“>”或“<”)． 解析：12－1＝2＋1＜3＋1. 答案：<1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b ；(2)a <0<b ⇒1a <1b ；(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd ；(4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .2．不等式的分数性质 (1)真分数的性质：b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)； (2)假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)． [练一练]若0<a <b ，c >0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c 的大小关系为________．答案：b ＋c a ＋c >a ＋c b ＋c的大小1.已知a 121212，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <NB ．M >NC．M＝N D．不确定解析：选B M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.2．若实数a≠1，比较a＋2与31－a的大小．解：a＋2－31－a＝－a2－a－11－a＝a2＋a＋1a－1∴当a>1时，a＋2>31－a；当a<1时，a＋2<31－a.[类题通法]比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．不等式的性质[典例]>b且c>d”的A．充分不必要条件B．既不充分也不必要条件C ．充分必要条件D ．必要不充分条件(2)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)由“a ＋c >b ＋d ”不能得知“a >b 且c >d ”，反过来，由“a >b 且c >d ”可得知“a ＋c >b ＋d ”，因此“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件，选D.(2)法一：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②正确． ∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )， 故④正确，故选C. 法二：取特殊值． [答案] (1)D (2)C [类题通法]判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等． [针对训练](2014·北京东城区综合练习)若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又2a >2b ，∴⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b ，选C. 不等式性质的应用[典例] ，2≤f (1)≤4.求 [解] f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10]．解：由本例知f (－2)＝f (1)＋3f (－1)． 又∵1<f (－1)≤2,2≤f (1)<4， ∴5<3f (－1)＋f (1)<10， 故5<f (－2)<10.故f (－2)的取值范围为(5,10)． [类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[针对训练]若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．第二节一元二次不等式及其解法一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集为R 还是∅. [试一试]1．(2013·浙江高考)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选C T ＝ {x |－4≤x ≤1}，根据补集定义， ∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}，选C.2．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b 的值是( ) A ．10 B ．－10 C ．14D ．－14解析：选D 由题意知－12、13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根．则a ＝－12，b ＝－2.a ＋b ＝－14.故选D.3．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.2．分类讨论思想解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．[练一练]若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立． ②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1， 由①②知0≤m <1. 答案：[0,1)一元二次不等式的解法[典例] (1)0＜x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． [解] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (2)由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0. 由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论． 当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ； 当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a 或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a 或x ＜－a . [类题通法]1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．[针对训练] 解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2 ≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1.一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(x ∈R )确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围； (3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围.角度一 形如f (x )≥0(x ∈R )确定参数的范围1．(2013·重庆高考)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析：根据题意可得(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，2sin 2α－(1－2sin 2α)≤0，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∪56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 答案：06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∪56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 角度二 形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求a 的取值范围． 解：函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的对称轴为x ＝－a －42＝4－a2.①当4－a2<－1，即a >6时，f (x )的值恒大于零等价于f (－1)＝1＋(a －4)×(－1)＋4－2a >0， 解得a <3，故有a ∈∅；②当－1≤4－a2≤1，即2≤a ≤6时，只要f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 22＋(a －4)×4－a 2＋4－2a >0，即a 2<0，故有a ∈∅； ③当4－a 2>1，即a <2时，只要f (1)＝1＋(a －4)＋4－2a >0，即a <1，故有a <1.综上可知，当a <1时，对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零． 角度三 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求x 的取值范围． 解：由f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4， 令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (a )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x <1或x >3时，对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． [类题通法]恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．一元二次不等式的应用[典例] 件，年销量是a 件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k .该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式；(2)设k ＝2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?[解] (1)设该商品价格下降后为x 元/件，则由题意可知年销量增加到⎝ ⎛⎭⎪⎫k x －4＋a 件，故经销商的年收益y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k x －4＋a (x －3)，5.5≤x ≤7.5.(2)当k ＝2a 时，依题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫2a x －4＋a (x －3)≥(8－3)a ×(1＋20%)，化简得x 2－11x ＋30x －4≥0，解得x ≥6或4<x ≤5.又5.5≤x ≤7.5，故6≤x ≤7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%.[类题通法]构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解．[针对训练]某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解：(1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价， 所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0,2]． (2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0. 解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.第三节绝对值不等式(选修4－5)1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法有以下几种：①利用绝对值不等式的几何意义求解的思想；②利用“零点分段法”求解；③通过构造函数，利用函数的图象求解．1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a>－b>0时，等号成立，对|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，如果a<－b<0当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时左边等号成立，当且仅当ab≤0时右边等号成立．2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c<0则不等式解集为R.[试一试]1．(2013·广东高考)不等式|x2－2|<2的解集是()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－2,0)∪(0,2)解析：选D由|x2－2|<2得－2<x2－2<2，即0<x2<4，所以－2<x<0或0<x<2.2．不等式|x －2|－|x －1|>0的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－32 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ 解析：选A 原不等式等价于|x －2|>|x －1|， 则(x －2)2>(x －1)2，解得x <32.含绝对值不等式的常用解法1．基本性质法：对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a . 2．平方法：两边平方去掉绝对值符号．3．零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．4．几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． 5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．[练一练]1．已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为(－12，12)，则t ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选B |2x －t |<1－t ，t －1<2x －t <1－t ， 2t －1<2x <1，t －12<x <12，∴t ＝0.2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：利用绝对值不等式的性质求解． ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案：[－2,4]绝对值不等式的解法1．在实数范围内，不等式|x －12|＋|x ＋12|≤3的解集为____________．解析：法一：分类讨论去绝对值号解不等式．当x >12时，原不等式转化为2x ≤3⇒x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为1≤3，恒成立；当x <－12时，原不等式转化为－2x ≤3⇒x ≥－32.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.法二：利用几何意义求解．不等式⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－32≤x ≤32 2．(2013·西安质检)若关于x 的不等式|x －a |<1的解集为(1,3)，则实数a 的值为________． 解析：原不等式可化为a －1<x <a ＋1，又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得a ＝2. 答案：23．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：法一：令y 1＝|x －3|－|x －4| ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x >4，2x －7， 3≤x ≤4，－1，x <3.y 2＝a . 如图要使|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则a 的取集范围是a >－1.法二：注意到||x －3|－|x －4||≤|(x －3)－(x －4)|＝1，－1≤|x －3|－|x －4|≤1.若不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集是空集，则有|x－3|－|x －4|≥a 对任意的x ∈R 都成立，即有(|x －3|－|x －4|)min ≥a ，a ≤－1.因此，由不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集可得，实数a 的取值范围是a >－1.答案：(－1，＋∞) [类题通法]利用零点分类讨论法解绝对值不等式时，注意分类讨论时要不重不漏．绝对值不等式的证明[典例] ，不等式f (x )<4M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. [解] (1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1，当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4，∴－1≤x ≤1； 当x >1时，由2x <4，得1<x <2，∴M ＝(－2,2)．(2)证明：a ，b ∈M 即－2<a <2，－2<b <2.∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)·(4－b 2)<0，∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2，∴2|a ＋b |<|4＋ab |.解：由f (x )≥0知a ≤|x ＋1|＋|x －1|， 又|x ＋1|＋|x －1|≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2，∴a ≤2. 故a 的取值范围为(2，＋∞)． [类题通法]证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明； (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明； (3)转化为函数问题，数形结合进行证明． [针对训练](2014·乌鲁木齐高三诊断性测验)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求证：f (x )≥1； (2)若f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，求x 的取值范围．解：(1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1. (2)∵a 2＋2a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1≥2，∴要使f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，需且只需|x －1|＋|x －2|≥2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，1－x ＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x <2，x －1＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≥2，解得x ≤12或x ≥52，故x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞.绝对值不等式的综合应用[|2x ＋a |，g (x )＝(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎨⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0＜x＜2}．(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43. [类题通法]1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．2．对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．[针对训练](2013·辽宁模拟)已知f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－1时，解关于x 的不等式f (x )>5；(2)已知关于x 的不等式f (x )＋a <2 014(a 是常数)的解集是非空集合，求实数a 的取值范围． 解：(1)构造函数g (x )＝|x －1|＋|x －2|－5， 则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2(x ≤1)，－4(1<x <2)，2x －8(x ≥2).令g (x )>0，则x <－1或x >4，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)． (2)∵f (x )＋a ＝|x ＋a |＋|x －2|＋a ≥|a ＋2|＋a ，又关于x 的不等式f (x )＋a <2 014的解集是非空集合， ∴|a ＋2|＋a <2 014，解得a <1 006.第四节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2．1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．[试一试]1．(2013·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( ) A ．－7 B ．－6 C ．－5D ．－3解析：选B 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，∴z min ＝2×3－3×4＝－6，故选B. 2．如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________．答案：x ＋y －1>01．确定二元一次不等式表示平面区域的方法二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值的方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；(2)当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．[练一练](2013·陕西高考)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．解析：由题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(x ≥1)，1－x (x <1)，作出曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，如图中阴影部分所示，即得过点A (－1,2)时，2x －y 取最小值－4.答案：－41.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43， |BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43.2．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C.3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．解析：两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0[类题通法]二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．求目标函数的最值线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数. 角度一 求线性目标函数的最值1．(1)(2013·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53D.52(2)如果函数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，那么z ＝2x －y 的最大值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－3解析：(1)选C 不等式组表示的平面区域为图中阴影部分．平行移动y ＝－12x ＋12z ，可知该直线经过y ＝2x 与x ＋y ＝1的交点A ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 有最大值为13＋43＝53.(2)选B 如图作出可行域，当z 经过直线y ＋1＝0与x ＋y ＋1＝0的交点(0，－1)时，z max＝1.角度二 求非线性目标的最值2．(1)(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12解析：选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13.(2)(2014·长春调研)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ≤1，y ≥－x ＋1，y ≤x ＋1，则y ＋1x的取值范围是________．解析：由题可知y ＋1x ＝y －(－1)x －0，即为求不等式所表示的平面区域内的点与(0，－1)的连线斜率k 的取值范围，由图可知k ∈[1,5]．答案：[1,5]角度三 求线性规划中的参数3．(1)(2013·浙江高考)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析：画出可行域，根据线性规划知识，目标函数取最大值12时，最优解一定为(4,4)，这时12＝4k ＋4，k ＝2.答案：2(2)(2014·江西七校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －8≤0，x ≤3.若点⎝⎛⎭⎫3，52是使ax －y 取得最小值的唯一的可行解，则实数a 的取值范围为________．解析：记z ＝ax －y ，注意到当x ＝0时，y ＝－z ，即直线z ＝ax －y 在y 轴上的截距是－z .在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，满足题意的实数a 的取值范围为a <－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 [类题通法]1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a .注意：转化的等价性及几何意义．线性规划的实际应用[典例] (2013·两种型号的客车安排名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元[解析] 设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36800(元)．[答案] C [类题通法]求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[针对训练]某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元解析：选C 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A (4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．第五节基本不等式与柯西不等式(选修4－5)1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)4．平均值不等式(1)定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．我们称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均值，3abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式．(2)一般形式的算术—几何平均值不等式：如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．5．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2(当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|. (3)二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么 x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.(4)柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件． 2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性． 3．使用柯西不等式或平均值不等式时易忽视等号成立的条件． [试一试]1．“a >0且b >0”是“a ＋b2≥ab ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A2．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13B.12C.34D.23解析：选B 由0<x <1，故3－3x >0，则x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．3．已知x 2＋y 2＝10，则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．510 B ．410 C ．310D ．210解析：选A ∵(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2， 当且仅当3y ＝4x 时等号成立， ∴25×10≥(3x ＋4y )2， ∴(3x ＋4y )max ＝510.1．活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 2．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．[练一练] 若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5利用基本不等式求最值[典例] (1)(2013·四川高考)已知函数f (x )＝4x ＋ax(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.[解析] f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝ax，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36.[答案] 36(2)(2014·长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．[解析] x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝2＋4y x ＋x y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y ＝4时等号成立．由x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，可知m 2＋2m <8，m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2.[答案] (－4,2)(3)(2013·山东高考改编)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则zxy 的最小值为________．[解析] z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥2x y ·4yx－3＝1. 当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y ＝4时“＝”成立．[答案] 1解：由(3)知当zxy取最小值时x ＝2y .∴z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2. ∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. [类题通法]两个正数的和与积的转化基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．[针对训练](1)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． (2)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．(3)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．(2)由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3a ＋2b2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时取等号)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)， ∴3a ＋9b ≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18.(3)由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥22xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m ≤10.故m 的最大值为10.答案：(1)1 (2)18 (3)10基本不等式的实际应用[典例] 经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ [解] (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，。
高考数学试题(23)选修4-5不等式选讲
1.（福建理科）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设不等式1|12|<-x 的解集为M.（I ）求集合M ；（II ）若a ，b ∈M ，试比较ab+1与a+b 的大小.解：（１）{}10|<<=x x M（２）)1)(1()()1(--=+-+b a b a ab ，M b a ∈, 1,1<<∴b a ，01,01<-<-∴b a0)1)(1(>--∴b a ，b a ab +>+∴1。
2.（广东文科）不等式13x x +--≥0的解集是 ．[1,)+∞． 13x x +--≥0 ⇒1x +≥3x -⇒2(1)x +≥2(3)x -⇒x ≥13.（湖南理科10）设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x ++的最小值为 。
答案：9 解析：由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+= 4.（江西理科）(不等式选做题）对于实数y x ,，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值为 .（2）此题，看似很难，但其实不难，首先解出x 的范围，20≤≤x ，再解出y 的范围，31≤≤y ，最后综合解出x-2y+1的范围[]1,5-，那么绝对值最大，就取55（江西文科）对于x R ∈，不等式1028x x +--≥的解集为_______ 答案：}0{≥x x 解析：两种方法，方法一：分三段，（1）当10-<x 时，不等式为8)2()10(≥----x x ，此时不等式无解；（2）当210≤≤-x 时，不等式为8)2()10(≥--+x x ，解得：20≤≤x（3）当2>x 时，不等式为8)2()10(≥--+x x ，解得：2>x综上：0≥x方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点10-和2的距离差大于等于8的所有点的集合，画出数轴线，找到0到10-的距离为=1d 10，到2的距离为=2d 2，821=-d d ，并当x 往右移动，距离差会大于8，所以满足条件的x 的范围是0≥x .6.（浙江理科）设正数z y x ,,满足122=++z y x（1）求zx yz xy ++3的最大值；（5分）（2）证明：26125111113≥+++++zx yz xy 。
2021年新高考数学函数压轴小题专题突破 专题5 函数嵌套问题(解析版)
专题5 函数嵌套1．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为( ) A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6【解析】解：22()(21))(1)(2)x x x f x e x x x e e x x ′=−++−−=+−， ∴当2x <−或1x >时，()0f x ′>，当21x −<<时，()0f x ′<，()f x ∴在(,2)−∞−上单调递增，在(2,1)−上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()f x 的极大值为25(2)f e −=，()f x 的极小值为f （1）e =−． 作出()f x 的函数图象如图所示：25()()()f x mf x m R e−=∈，25()()0f x mf x e ∴−−=，△2200m e=+>， 令()f x t =则，则125t t e=−．不妨设120t t <<，（1）若1t e <−，则2250t e <<，此时1()f x t =无解，2()f x t =有三解； （2）若1t e =−，则225t e =，此时1()f x t =有一解，2()f x t =有两解； （3）若10e t −<<，则225t e >，此时1()f x t =有两解，2()f x t =有一解； 综上，25()()f x mf x e−=有三个不同的实数解．故选：A ．2．已知函数())f x x R =∈，若关于x 的方程2()()10f x mf x m −+−=恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A．(1,1)2e+ B．(0 C ．1(1,1)e+ D．【解析】解：化简可得0()0x f x x =<…，当0x >时，()0f x …，()f x ′= 当102x <<时，()0f x ′>，当12x >时，()0f x ′<， 故当12x =时，函数()f x有极大值1()2f =； 当0x <时，()0f x ′=<，()f x 为减函数，作出函数()f x 对应的图象如图：∴函数()f x 在(0,)+∞上有一个最大值为1()2f =； 设()t f x =，当t >()t f x =有1个解，当t =()t f x =有2个解，当0t <<时，方程()t f x =有3个解， 当0t =时，方程()t f x =有1个解， 当0t <时，方程()m f x =有0个解，则方程2()()10f x mf x m −+−=等价为210t mt m −+−=，等价为方程21(1)[(1)]0t mt m t t m −+−=−−−=有两个不同的根1t =，或1t m =−， 当1t =时，方程()t f x =有1个解，要使关于x 的方程2()()10f x mf x m −+−=恰好有4个不相等的实数根，则1t m −∈，即01m <−<11m <<+， 则m的取值范围是1) 故选：A ．3．已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x − >= −−+…，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围()A ．(4,2)−− B．(4,−− C ．(3,2)−− D．(3,−−【解析】解：令()f x t =，则方程2()()20f x bf x ++=⇔方程220t bt ++=． 如图是函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x − >= −−+ …，的图象，根据图象可得：方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根⇔方程220t bt ++=．有两个不等实数解1t ，2t 且1t ，2(1,2)t ∈．可得22280112032220122b b b b b =−> ++> ⇒−<<− ++><−< ． 故选：D ．4．已知函数22,0()(1),0x x x f x ln x x −+>= −+< ，关于x 的方程2()2()10()f x af x a a R −+−=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(,0)−∞B ．[1，)+∞C ．(,0)[2−∞ ，)+∞D ．(−∞，0)(1∪，)+∞【解析】解：函数22,0()(1),0x x x f x ln x x −+>=−+< 的图象如图： 方程2()2()10()f x af x a a R −+−=∈有四个相异的实数根， 必须()f x 由两个解，一个()1f x >，一个()(0f x ∈，1)， 或者()(0f x ∈，1)，另一个()0f x …，2()2()10()f x af x a a R −+−=∈，可得()f x a =±，当1a >时，1a +>，(0,1)a −．满足题意．当1a =时，2a +=，0a −=，不满足题意． 考察选项可知，D 正确； 故选：D ．5．已知函数33,0()1,0xx x x f x x lnx x ex −= ++> …，若关于x 的方程2()()10f x mf x −−=恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(2−，11e + )B ．(2−，0 )(∪ 0，11e + )C ．2321(,)2e e e+−+D ．( 32−，0 )(∪ 0，221)e e e ++【解析】解：当0x …时，3()3f x x x =−，则2()333(1)(1)f x x x x ′=−=−+， 令()0f x ′=得：1x =−，∴当(,1)x ∈−∞−时，()0f x ′<，()f x 单调递减；当(1,0)x ∈−时，()0f x ′>，()f x 单调递增，且(1)2f −=−，(0)0f =，当0x >时，1()x x lnx f x e x +=+，则21()x x lnxf x e x−−′=+，显然f ′（1）0=，∴当(0,1)x ∈时，()0f x ′>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ′<，()f x 单调递减，且f （1）11e=+， 故函数()f x 的大致图象如图所示：，令()t f x =，则关于x 的方程2()()10f x mf x −−=化为关于t 的方程210t mt −−=， △240m =+>，∴方程210t mt −−=有两个不相等的实根，设为1t ，2t ， 由韦达定理得：12t t m +=，1210t t =−<，不妨设10t >，20t <，关于x 的方程2()()10f x mf x −−=恰好有6个不相等的实根， ∴由函数()f x 的图象可知：1101t e<<+，220t −<<，设2()1g t t mt =−−，则(2)0(0)01(1)0g g g e−>< +>，解得：23212e m e e+−<<+， 故选：C ．6．已知函数|1|221,0()21,0x x f x x x x − −= ++< …，若关于x 的方程22()(1)()20f x m f x m −++=有五个不同实根，则m 的值是( ) A ．0或12B ．12C ．0D ．不存在【解析】解：画出函数()f x 的图象，如图所示：，当()1f x =时，有三个根，把()1f x =代入方程22()(1)()20f x m f x m −++=得，21(1)20m m −++=， 解得：0m =或12， 当0m =时，方程22()(1)()20f x m f x m −++=为2()()0f x f x −=，所以()0f x =或1，所以有五个根， 当12m =时，方程22()(1)()20f x m f x m −++=为231()()022f x f x −+=，所以()1f x =或12，所以有7个根，舍去，综上所求，0m =时，方程22()(1)()20f x m f x m −++=有五个不同实根， 故选：C ．7．已知函数2(2),0()|2|,0x x f x x x += −>…，方程2()()0f x af x −=（其中(0,2))a ∈的实根个数为p ，所有这些实根的和为q ，则p 、q 的值分别为( ) A ．6，4B ．4，6C ．4，0D ．6，0【解析】解：2()()0f x af x −= ， ()0f x ∴=或()f x a =．作出()f x 的函数图象如图所示：由图象可知()0f x =有两解，()f x a =有四解． 6p ∴=．由图象可知()0f x =的两解为2x =−，2x =，()f x a =的四个解中，较小的两个关于直线2x =−对称，较大的两个关于直线2x =对称， 0q ∴=．故选：D ．8．已知函数()(1)(1)g x a x ln x =++的图象在点2(1e −，2(1))g e −处的切线与直线610x y ++=垂直( 2.71828e =…是自然对数的底数），函数()f x 满足3()(1)0xf x g x x +−−=，若关于x 的方程2()()0(f x bf x c b −+=，c R ∈，且0)c <在区间1[,]e e上恰有3个不同的实数解，则实数b 的取值范围是()A ．21(1,2]e + B ．221[2,2]e e+−C ．2221[2,]e e e−+ D ．221(2,]e e+ 【解析】解：函数()(1)(1)g x a x ln x =++的导数为()(1)g x aln x a ′=++， 可得()g x 图象在点2(1e −，2(1))g e −处的切线斜率为3a ， 由切线与直线610x y ++=垂直，可得36a =， 解得2a =，()2(1)(1)g x x ln x =++，3()(1)0xf x g x x +−−=，可得2()2f x x lnx =−， 导数为222(1)(1)()2x x f x x x x −+′=−=， 当1x >时，()0f x ′>，()f x 递增；当01x <<时，()0f x ′<，()f x 递减． 即有1x =处()f x 取得最小值1． 则()f x 在1[e，]e 的图象如右：若关于x 的方程2()()0(f x bf x c b −+=，c R ∈，且0)c < 在区间1[,]e e上恰有3个不同的实数解，可令()t f x =，则20t bt c −+=，（1） 可得t 的范围是[1，22]e −，方程（1）判别式为240b c −>，必有两不同的实数解， 设为1t ，2t ，12t t b +=， 可得11t =，22112t e<+…， 即21112b e <−+…， 解得2123b e <+…，① 又212122t e e +<−…， 22112t e <+…， 则21222113t t b e e e+<+=+…，② 由①②求并可得2212b e e <+…， 故选：D ．9．已知函数()1xf x x =+，(1,)x ∈−+∞，若关于x 的方程2()|()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，则m 的取值范围是( ) A ．3(2−，0)B ．3(2−，4)3−C ．3(2−，4]3−D ．4(3−，0)【解析】解：1()11f x x −=++，|()|y f x =，(1,)x ∈−+∞的图象如下：设|()|f x t =，则2|()||()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，即为2230t mt m +++=有两个根， ①0t =时，代入2230t mt m +++=得32m =−，即2302t t −=，另一根为32只有一个交点，舍去②一个在(0,1)上，一个在[1，)+∞上时， 设2()23h t t mt m =+++(0)230(1)1230h m h m m =+>=+++ …，解得3423m −<−…． 故选：C ．10．已知函数2()x x f x e=，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++−=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．1(1,2)e −C ．24{1,1}e −D ．24(1,1)e − 【解析】解：函数2()x x f x e=的导数为22()x x x f x e −′=， 当02x <<时，()0f x ′>，()f x 递增；当2x >或0x <时，()0f x ′<，()f x 递减，可得()f x 在0x =处取得极小值0，在2x =处取得极大值241e <， 作出()y f x =的图象，设()t f x =，关于x 的方程2()()10f x mf x m ++−=，即为210t mt m ++−=，解得1t =−或1t m =−，当1t =−时，()1f x =−无实根； 由题意可得当241(0,)t m e =−∈， 解得241m e −=或1m =， 所以24(1m e ∈−，1) 故选：D ．11．已知函数()1x x f x e=−，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++−=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值集合是( )A ．(−∞，2)(2∪，)+∞B ．1(2,)e −+∞C ．1(2,2)e −D ．12e −【解析】解：由题意1()x x f x e −′=．令1()0xx f x e −′==，解得1x =； 且1x >时，()0f x ′<，1x <时，()0f x ′>，所以()f x 在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 在1x =处取极大值11e=−． ()f x 大致图象如下：令()t f x =，则2[()]()10f x mf x m ++−=可化为210t mt m ++−=． 假设2m =，则2210t t ++=．解得1t =−，即()1f x =−．根据()f x 图象，很明显此时只有一个解，故2m =不符合题意，由此排除B 选项；假设3m =，则2320t t ++=，解得12t =−，21t =−．即()2f x =−，或()1f x =−．根据()f x 图象，很明显此时方程只有两个解，故3m =不符合题意，由此排除A 选项． 假设12m e=−时，则211(2)10t t e e +−+−=，解得111t e =−，21t =−． 即()1f x =−或1()1f x e=−， 根据()f x 的图象，很明显此时方程只有两个根， 故12m e=−不符合题意，由此排除D 故选：C ．12．已知函数||||()1x x f x e =+，2(),0()2,0f x x g x x x a x = −+>…，且g （1）0=，则关于x 的方程(())10g g x t −−=实根个数的判断正确的是( )A ．当2t <−时，方程(())10g g x t −−=没有相异实根B ．当110t e−+<<或2t =−时，方程(())10g g x t −−=有1个相异实根 C ．当111t e <<+时，方程(())10g g x t −−=有2个相异实根 D ．当111t e−<<−+或01t <…或11t e =+时，方程(())10g g x t −−=有4个相异实根 【解析】解：当0x …时，||||()111x x x x x f x xe e e−−=+=+=−+， 因为g （1）0=，所以120a −+=，所以1a =，所以21,0()21,0x xe x g x x x x −+= −+> …， 图象如图所示：当0x …时，0x −…，0x e >， 则11x xe −+…，当且仅当0x =时等号成立，()g x 在(,1)−∞−上是增加的，在(1,0)−上是减少的；当0x >时，()f x 在(0,1)上是减少的，在(1,)+∞上是增加的，故()(1)0g x g −=…恒成立．故()g x 在(,1)−∞−上是增加的，在(1,1)−上是减少的，在(1,)+∞上是增加的． 令()m g x t =−，则()10g m −=，解得：0m =或2m =，当0m =即()0g x t −=时，()g x t =，当2t <−时，()2g x <−，无解，当2m =即()2g x t −=时，()2g x t =+，当2t <−时，()0g x <，无解，故方程(())10g g x t −−=没有相异实根，故A 正确；当2t =−时，由A 可知：()0g x =，解得1x =， 当110t e −+<<时，12(1,2)t e+∈+， 由上可知()f x 在1x =−时取得极大值为1(1)1g e−=+， 结合图象可知，此时2y t =+与()g x 有且仅有一个交点，故B 正确； 当111t e<<+时，()g x t =或()2g x t =+， 若()g x t =，结合图象可知()g x 与y t =有三个不同的交点，若()2g x t =+，12(3,3)t e+∈+， 此时()g x 与y t =有一个交点，故方程(())10g g x t −−=有4个相异实根，故C 错误； 当111t e −<<−+时，1()2(1,1)g x t e=+∈+， 由C 可知此时有三个不等实根，当01t <…时，()g x t =或()2g x t =+，当()g x t =时，由图可知有两个不等实根，当()2g x t =+时，由图可知有一个实根， 当11t e=+时，()g x t =或()2g x t =+， 当()g x t =时，由图可知有两个不等实根，当()2g x t =+时，由图可知有一个实根，故此时方程(())10g g x t −−=共有9个不等实根，故D 错误．故选：AB ．13．已知函数,1()1,12lnx x f x x x = −< …，则函数()(()1)g x f f x =+的零点是 1 ，若()(()1)h x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x +的最小值是 ．【解析】解：()(()1)g x f f x =+，,1()1,12lnx x f x x x = −< …， 当1x …时，0lnx …，()11f x +…，则(()1)(1)f f x ln lnx +=+，当1x <时，1112x −+>，则(()1)(2)2x f f x ln +=−． (1),1()(()1)(2),12ln lnx x g x f f x x ln x + ∴=+= −< …， 令()0g x =，则1(1)0x ln lnx += …或1(2)02x x ln < −= ， 解得1x =．故函数()(()1)g x f f x =+的零点是1；由上可知，(()1)(()1)f f x ln f x +=+，()(()1)h x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，即(()1)ln f x m +=−有两根，也就是()1m f x e −+=，()1m f x e −=−有两根1x ，2x ，不妨设12x x <， 当1x …时，21m lnx e −=−，当1x <时，1112m x e −−=−， 令112m t e −=−>，则 2lnx t =，2t x e =，112x t −=，122x t =−， ∴1222t x x e t +=+−，12t >， 设()22t t e t ϕ=+−，12t >， 则()2t t e ϕ′=−，可得当1(2t ∈，)lnt 时，()0t ϕ′<， 当(,)t lnt ∈+∞时，()0t ϕ′>，则()t ϕ的最小值为(2)422ln ln ϕ=−．12x x ∴+的最小值是422ln −．故答案为：1；422ln −．14．已知函数,1()1,12lnx x f x x x = −< …，若()(()1)F x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x 的取值范围(−∞ ．【解析】解：当1x …时，()0f x lnx =…，则()11f x +…，(()1)(()1)f f x ln f x ∴+=+，当1x <时，1()122x f x =−>，则3()12f x +>， (()1)(()1)f f x ln f x ∴+=+，综上可知，()(()1)(()1)F x f f x m ln f x m =++=++，令()0F x =，得()1m f x e −+=，依题意，()1m f x e −=−有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <， 当1x …时，21m lnx e −=−，当1x <时，1112m x e −−=−， 令112m t e −=−>，则1221,,1,222t x lnx t x e t x t ==−==−， ∴121(22),2t x x e t t =−>， 设1()(22),2t g t e t t =−>，则()20t g t te ′=−<，()g t ∴在1(,)2+∞上单调递减，∴1()()2g t g <， 12x x ∴的取值范围为(−∞．故答案为：(−∞．15．已知函数,2()48,25x ex x e f x x x x= − > …（其中e 为自然对数的底数），若关于x 的方程22()3|()|20f x a f x a −+=恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围为 1{}2 ． 【解析】解：当2x …时，令()0xe exf x e −′==，解得1x =， 所以当1x …时，()0f x ′>，则()f x 单调递增，当12x 剟时，()0f x ′<，则()f x 单调递减， 当2x >时，4848()555x f x x x −==−单调递增，且()[0f x ∈，4)5作出函数()f x 的图象如图：（1）当0a =时，方程整理得2()0f x =，只有2个根，不满足条件；（2）若0a >，则当()0f x <时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a ++=++=，则()20f x a =−<，()0f x a =−<，此时各有1解，故当()0f x >时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a −+=−−=，()2f x a =有1解同时()f x a =有2解，即需21a =，12a =，因为f （2）22212e e e ==>，故此时满足题意；或()2f x a =有2解同时()f x a =有1解，则需0a =，由（1）可知不成立； 或()2f x a =有3解同时()f x a =有0解，根据图象不存在此种情况，或()2f x a =有0解同时()f x a =有3解，则21245a a e> < …，解得245a e <…， 故2[a e ∈，4)5（3）若0a <，显然当()0f x >时，()2f x a =和()f x a =均无解，当()0f x <时，()2f x a =−和()f x a =−无解，不符合题意．综上：a 的范围是12{}[2e ，4)5故答案为12{}[2e ，4)516．已知函数231,0()26,0a x x f x x lnx x x ++< = −> ，若关于x 的方程()()0f x f x +−=恰有四个不同的解，则实数a 的取值范围是 (2,0)− ．【解析】解：已知定义在(−∞，0)(0∪，)+∞上的函数231,0()26,0a x x f x x lnx x x ++< = −> ， 若()()0f x f x +−=在定义域上有四个不同的解 等价于231a y x x =++关于原点对称的函数231a y x x=−+−与函数()26(0)f x lnx x x =−>的图象有两个交点， 联立可得226310a lnx x x x −+−+=有两个解， 即23263a xlnx x x x =−++，0x >，可设23()263g x xlnx x x x =−++，0x >，2()32129g x lnx x x ′=+−+，2()1812120g x x x ′′=+−−=…，可得()g x ′在(0,)+∞递增， 由g ′（1）0=，可得01x <<时，()0g x ′<，()g x 递减；1x >时，()0g x ′>，()g x 递增， 即()g x 在1x =处取得极小值且为2−，作出()y g x =的图象，可得20a −<<时，226310a lnx x x x−+−+=有两个解， 故答案为：(2,0)−．17．已知函数21,0()21,0x x f x x x x + = −+> …，若关于x 的方程2()()0f x af x −=恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是 (0,1) ．【解析】解：作()f x 的图象如下，，2()()()(())0f x af x f x f x a −=−=， ()0f x ∴=或()f x a =； ()0f x = 有两个不同的解， 故()f x a =有三个不同的解， 故(0,1)a ∈；故答案为：(0,1)．18．已知函数()|1|33f x x x x =−−+．（1）求函数()f x 的零点；（2）若关于x 的方程2()()0(f x mf x n m −+=、)n R ∈恰有5个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【解析】解：（1）由题得2223,(1)()|1|3343,(1)x x x f x x x x x x x −−+<=−−+= −+…， ①当1x <时，令()0f x =，得3x =−或1x =（舍)；②当1x …时，令()0f x =，得1x =或3x =， ∴函数()f x 的零点是3−，1，3；（2）作出函数2223,(1)()|1|3343,(1)x x x f x x x x x x x −−+<=−−+= −+…的大致图象，如图：令()t f x =，若关于x 的方程2()()0f x mf x n −+=恰有5个不同的实数解， 解法一：则函数2()g t t mt n =−+的零点分布情况如下：①当11t =−，2(1,4)t ∈−时，则(1)0(4)0142g g b a −= > −<−< ，得101640142m n m n m ++= −+> −<< ，故(2,3)m ∈−； ②当14t =，2(1,4)t ∈−时，则(4)0(1)0142g g b a = −> −<−< ，得164010142m n m n m −+= ++> −<< ，故(3,8)m ∈．综上所述，实数m 的取值范围为(2m ∈−，3)(3∪，8)； 解法二：则方程20t mt n −+=的根的情况如下： ①当11t =−，2(1,4)t ∈−时，由11t =−得10m n ++=，则方程2(1)0t mt m −−+=，即(1)(1)0t t m +−−=，故21(1,4)t m =+∈−，所以(2,3)m ∈−； ②当14t =，2(1,4)t ∈−时，由14t =得1640m n −+=，则方程24(4)0t mt m −+−=，即(4)(4)0t t m −−+=，故24(1,4)t m =−∈−，所以(3,8)m ∈．综上所述，实数m 的取值范围为(2m ∈−，3)(3∪，8)．19．已知函数2()sin()2cos 1,468f x x x x R πππ=−−+∈． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于x 的方程()()24410,43f x mf x x −+=∈在内有实数解，求实数m 的取值范围． 【解析】解：（1）23()sin()2cos 1sin cos cos sin cos cos sin()4684646442443f x x x x x x x x ππππππππππππ=−−+=−−=−=−… （3分） ∴函数()f x 的最小正周期为8．…（4分） 令222432k x k ππππππ−−+剟，k Z ∈，求得2108833k x k −+剟，k z ∈，故函数的单调递增区间为210[8,8]33k k −+，k Z ∈…（6分）（2）设()t f x =，4(3x ∈ ，4)，∴2(0,)433x πππ−∈，()(0f x ∴∈，∴方程2410t mt −+=在(0t ∈内有实数解，即当(0t ∈时方程有实数解．…（10分） 11442t t t += 当且仅当…时取等号，4m ∴…，…（8分） 故实数m 的取值范围是[4，)+∞．…（12分） 20．已知函数()g x 对一切实数x ，y R ∈都有()()(22)g x y g y x x y +−=+−成立，且g （1）0=，()(1)(h x g x bx c b =+++，)c R ∈，()()g x f x x=． （Ⅰ）求(0)g 的值和()g x 的解析式；（Ⅱ）记函数()h x 在[1−，1上的最大值为M ，最小值为m ．若4M m −…，当0b >时，求b 的最大值；（Ⅲ）若关于x 的方程2(|21|)30|21|x x k f k −+−=−有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）令1x =，0y =得g （1）(0)1g −=−，g （1）0=，(0)1g ∴=， 令0y =得()(0)(2)g x g x x −=−，即2()21g x x x =−+．（Ⅱ）2()(1)h x g x bx c x bx c =+++=++．①当12b −<−，即2b >时，M m h −=（1）(1)24h b −−>，与题设矛盾②当102b −−<…时，即02b <…时，M m h −=（1）2()(1)422b b h −−+…恒成立， 综上可知当02b <…时，b 的最大值为2．（3）当0x =时，210x −=则0x =不是方程的根， 方程2(|21|)30|21|x x k f k −+−=−可化为： 2|21|(23)|21|(12)0x x k k −−+−++=，|21|0x −≠， 令|21|x t −=，则方程化为2(23)(12)0t k t k −+++=，(0)t >， 方程2(|21|)310|21|x x k f k −+−−=−有三个不同的实数解， ∴由|21|x t =−的图象知， 2(23)(12)0t k t k −+++=，(0)t >，有两个根1t 、2t ， 且1201t t <<<或101t <<，21t =． 记2()(23)(12)h t t k t k =−+++，则(0)210(1)0h k h k =+> =−<，此时0k >， 或(0)210(1)032012h k h k k =+> =−= + << ，此时k 无解， 综上实数k 的取值范围是(0,)+∞．。
高考数学一轮总复习 2不等式证明的基本方法课件(选修4-5)
放缩法等．
A
9
对点自测
知识点一
基本不等式
1.若 0<a<b<1，则 a＋b,2 ab，a2＋b2,2ab 中最大的一个是 ________．
A
10
解析 ∵a＋b>2 ab，a2＋b2>2ab. 又(a2＋b2)－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)． ∵0<a<1,0<b<1，∴a(a－1)＋b(b－1)<0. ∴a2＋b2<a＋b.
由平均不等式可得a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc. 所以a13＋b13＋c13＋abc≥a3bc＋abc.
而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3.
所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
A
16
R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
答案 a＋b
A
11
2．已知 x，y∈R，且 xy＝1， 则1＋1x1＋1y的最小值为 ________．
解析 1＋1x1＋1y≥1＋ 1xy2＝4. 答案 4
A
12
知识点二
柯西不等式
3.已知 x，y，z 为正数，且 x＋y＋z＝1，则 x2＋y2＋z2 的最小
值是__________．
解析 x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)×13≥(1·x＋1·y＋ 1·z)2×13＝13.
A
19
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进 行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就 不是反证法．
(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与 假设矛盾，有的与定理、公理相违背等等，但推导出的矛盾必须 是明显的．
中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第01讲集合与简易逻辑
数学高考综合能力题选讲 1集合与简易逻辑100080 北京中国人民大学附中题型预测《考试说明》中，对于集合、充要条件已做出明确的要求 .高考中，对于这一部分的考查，主要集中在：（1）集合本身的性质和运算；（2）集合语言和集合思想的运用；（3）充分 条件和必要条件的判定•范例选讲例1命题甲：x 2或y 3 ；命题乙：x y 5，则（）A. 甲是乙的充分非必要条件；B. 甲是乙的必要非充分条件；C. 甲是乙的充要条件；D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 .讲解 为了进行判断，首先需要构造两个命题：甲 =>乙；乙=> 甲.但是，这两个命题都是否定性的命题，正面入手较为困难 .考虑到原命题与 逆否命题的等价性，可以转化为判断其逆否命题是否正确 .“甲=>乙”即“ x 2 或 y 3 ” => “ x y 5 ”其逆否命题为：“ x y 5 ” => “ x 2且y 3 ” 显然不正确.同理，可判断命题“乙=> 甲”为真命题. 故选择B.点评 本题虽然看上去是一个基本的不等量关系，但实质逻辑性很强，容 易选错，解本题的关键：一是从反面入手，利用原命题与逆否命题的等价性，二 是要对逻辑联结词“或” “且”深刻理解与领悟.(1)求 A B ；梁丽平 例2已知集合A tt 使 xx 2 2tx 4t 3 0 R 2B tt 使 xx 2tx 2t 0，其中x,t 均为实数.(2) 讲解 设m 为实数，gm m " (1)集合A 实际上是： '3，求 M mg m A B .0恒成立的所有实数t 的使得 2 x 2tx 4t 3 集合.故令1 (2t)1 2 4( 4t 3) 0， 解得 : 3 t 1.集合 B 实际上是：使得方程 x 2 2tx 2t 0有解的所有实数 t 的集合. 故令2 2t 2 4 ( 2t) 0，解得：t 0或t2所以, A 3, 1，B ,2 0, A B 3, 2 .(2) 设g m u ，则问题(2) 可转化为： 已知函数u g m 的值域(u 3 ,2 ) ，求其定义域.令3 m 2 3 2，可解得： 1 m 0或 0 m1 .所以, M = m 1 m 0或 0 m 1 .点评 学习数学，需要全面的理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这 就离不开对逻辑知识的掌握和运用•而集合作为近、现代数学的重要基础，集合 语言、集合思想也已经渗透到数学的方方面面.集合和简易逻辑，是学习、掌握 和使用数学语言的基础.本题以集合和逻辑为背景，主要考查对数学符号语言的 阅读、理解以及迁移转化的能力.1. (1985年全国高考)设a,b 是两个实数，A={(x,y) | x=n,y=na+b,n 是整数}，B={(x,y) | x=,m,y=3m 2+15,m 是整数}，C={(x,y) | x 2+y 2< 144}是平面 XOY 内的点集合.讨论是否存在a 和b 使得(1) A B ( 表示空集)；(2) (a,b)€ C 同时成立.1 l(1) 设 是方程x 丄 2的一个根，用列举法表示集合M .若在M 中 x任取两个数，求其和为零的概率.(2) 设复数w M z ，求证：M w M z(1993年全国高考)已知关于x 的实系数二次方程x 2 + ax +b =0有两个实2. ( 2001年上海高考)对任意一个非零复数z，定义集合.. 2n 1 ..M z ww z ,n N数根证明(I )如果| | < 2,| | < 2,那么2| a | < 4 + b且| b | < 4 ;(II)如果2| a | < 4 + b 且| b | < 4 ,那么| | < 2 , | | < 2 . [答案与提示：1•不存在• 2.M — li^^li.—li,— 1i ，在2 2 2 21其中任取两数，其和为零的概率为 1 * 3;证明略.3•略.]3。
2012年-2021年(10年)全国高考数学真题分类汇编(理科) 不等式选讲(精解精析版)
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（理科）不等式选讲（精解精析版）1．(2021年高考全国乙卷理科)已知函数()3f x x a x =-++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;(2)若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞ ．（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．解析：（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ ．（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-．所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集．【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【解析】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x 的解集；(2)若()4f x ，求a 的取值范围．【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ ．解析：（1）当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭．（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型．4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．解析：（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=．当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥．【答案】【答案】(1)43；(2)见详解．【官方解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤-++++⎣⎦故由已知得232(1)(1)143()x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以232(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-，当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +由题设知2(2)133a +，解得3a -≤或1a -≥．【解法2】柯西不等式法(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++-++++=+++=≥，故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．(2)2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥．当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立．所以2(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a -≥．【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．6．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知函数()()2f x x a x x x a =-+--．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】()1(),1-∞；()2[)1,+∞【官方解析】()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥.所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞.()2因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----所以，a 的取值范围是[1,)+∞.【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x <≤，2x ≥三种情况，即可求出结果；()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【解析】()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为，即()210x ->，显然成立，此时解集为(),1-∞；当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，即()210x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(),1-∞；()2当1a ≥时，因为(),1x ∈-∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a -+--<，即()()10x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，()()()2,1()21,x a a x f x x a x x a-<⎧⎪=⎨--<⎪⎩≤，因为1a x <≤时，()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[)1,+∞.【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.7．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤；(2)333()()()24a b b c c a +++++≥．【答案】解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++++==++≥．所以222111a b c a b c++++≤.（2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥3(+)(+)(+)a b b c a c=324⨯⨯⨯=≥所以333()()()24a b b c c a +++++≥．8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】【官方解析】（1）()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．【民间解析】（1）()211f x x x =++-3,112,12132x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，可作出函数()f x的图象如下图（2）依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b -+≥在[)1,+∞上恒成立所以30a -≥，且30a b -+≥，此时3a ≥，3a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b -+-≥恒成立结合3a ≥，可知20b -≥即2b ≥综上可知32a b ≥⎧⎨≥⎩，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．9．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数()5|||2|f x x a x =-+--．(1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】解析：（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤ ≤可得()0≥f x 的解集为{}|23≤≤x x -．（2）()1f x ≤等价于|||2|4≥x a x ++-．而|||2||2|≥x a x a ++-+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +．由|2|4≥a +可得6≤a -或2≥a ，所以a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞ ．10．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】解析：（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．11．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)[选修4—5:不等式选讲]已知函数()24f x x ax =-++,()11g x x x =++-．(1)当1a =时,求不等式()()f x g x ≥的解集;(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-,求a 的取值范围2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科【答案】(1)112x x ⎧-+⎪-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭;(2)[]1,1-．【分析】(1)将1a =代入,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤,对x 按1x <-,11x -≤≤,1x >讨论,得出最值的解集;(2)当[1,1]x ∈-时,()2g x =．若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,等价于当[]1,1x ∈-时,()2f x ≥,则()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一,所以()12f -≥且()12f ≥,得11a -≤≤,所以a的取值范围为[]1,1-．【解析】(1)当1a =时,不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--<①当1x <-时,①式化为2340x x --≤,无解;当11x -≤≤时,①式化为220x x --≤,从而11x -≤≤;当1x >时,①式化为240x x +-≤,从而11712x -+<≤所以不等式()()f x g x ≥的解集为11712x x ⎧-+⎪-≤≤⎨⎪⎪⎩⎭(2)当[]1,1x ∈-时,()2g x =所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-,等价于当[]1,1x ∈-时,()2f x ≥又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一,所以()()1212f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩,得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[]1,1-．【考点】绝对值不等式的解法,恒成立问题【点评】零点分段法是解答绝对值不等式问题的常用方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图像解题．12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数()12f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【答案】(Ⅰ){}1x x ≥;(Ⅱ)5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()3, 11221, 123, 2x f x x x x x x -<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪>⎩所以不等式()1f x ≥等价于131x <-⎧⎨-≥⎩或12211x x -≤≤⎧⎨-≥⎩或231x >⎧⎨≥⎩由131x <-⎧⎨-≥⎩⇒x 无解；由1222x x -≤≤⎧⎨≥⎩12x ⇒≤≤；由231x >⎧⎨≥⎩2x ⇒≥综上可得不等式()1f x ≥的解集为[)1,+∞．（2）解法一：先求不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集时m 的取值范围不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集等价于不等式()2m f x x x >-+恒成立记()()2F x f x x x =-+2223, 131, 123, 2x x x x x x x x x ⎧-+-<-⎪-+-≤≤⎨⎪-++>⎩，则()maxm F x >⎡⎤⎣⎦当1x <-时，()()2211131524F x x x x F ⎛⎫=-+-=---<-=- ⎪⎝⎭当12x -≤≤时，()223535312424F x x x x F ⎛⎫⎛⎫=-+-=--+≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2x >时，()()2211332124F x x x x F ⎛⎫=-++=--+<= ⎪⎝⎭所以()max 3524F x F ⎛⎫==⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭所以不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集时，54m >所以不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空时，m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．解法二：原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥成立，即2max [()]f x x x m-+≥设2()()g x f x x x=-+由（1）知2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，2()3g x x x =-+-，其开口向下，对称轴112x =>-所以()()11135g x g ≤-=---=-当12x -<<时，()231g x x x =-+-，其开口向下，对称轴为32x =所以()399512424g x g ⎛⎫≤=-+-=⎪⎝⎭当2x ≥时，()23g x x x =-++，其开口向下，对称轴为12x =所以()()24231g x g ≤=-++=综上()max 54g x =⎡⎤⎣⎦所以m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【考点】绝对值不等式的解法【点评】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．13．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知330,0,2a b a b >>+=，证明：(1)33()()4a b a b ++≥；(2)2a b +≤．【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式【基本解法】（1）解法一：由柯西不等式得：55222222332()()))()4a b a b a b a b⎡⎤⎡⎤++=+⋅+≥+=⎣⎦⎣⎦解法二：5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b++=+++=+++-33233332()2()4a b a b a b ≥++-=+=解法三：()()()()()2555533553342a b a b a b a b a bab a b a b ++-=++-+=+-又0,0a b >>，所以()255332220ab a b a b ab a b +-=-≥．当a b =时，等号成立．所以，()()5540a b a b++-≥，即55()()4a b ab ++≥．（2）解法一：由332a b +=及2()4a b ab +≤得2222()()()()3a b a b ab a b a b ab ⎡⎤=+⋅+-=+⋅+-⎣⎦2233()()()4()4a b a b a b a b ⎡⎤+≥+⋅+-⎢⎥⎣⎦+=所以2a b +≤．解法二：（反证法）假设2a b +>，则2a b >-，两边同时立方得：3323(2)8126a b b b b >-=-+-，即3328126a b b b +>-+，因为332a b +=，所以261260b b -+<，即26(1)0b -<，矛盾，所以假设不成立，即2a b +≤．解法三：因为332a b +=，所以：()()()3333322333843344a b a b a baa b ab b a b +-=+-+=+++--()()()()222333a b a b a b a b a b =-+-=-+-．又0,0a b >>，所以:()()230a b a b -+-≤。
高考数学真题 不等式选讲
专练1．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －2a |.(1)当a ＝1时，求f (x )≤3的解集；(2)当x ∈[1，2]时，f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围．2．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集不是空集，求实数a 的取值范围．3．已知函数f (x )＝|x ＋3|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≥|a －4|有解，求a 的取值范围．4．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：|13a ＋16b |＜14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．5．设函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )<－1；(2)设函数g (x )＝|x ＋a |－4，且g (x )≤f (x )在x ∈[－2，2]上恒成立，求实数a 的取值范围．6．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；7．已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为[0，4]．(1)求m 的值；(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值．8．已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，证明：(1)(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2；≥252.9．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1，1]，且|f (x )|的最大值为M .(1)证明：|1＋b|≤M；(2)证明：M≥12.10．已知a，b，c为非零实数，且a2＋b2＋c2＋1－m＝0，1a2＋4b2＋9c2＋1－2m＝0.(1)求证：1a2＋4b2＋9c2≥36a2＋b2＋c2；(2)求实数m的取值范围．11．已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x－2|，m∈R，且f(x＋1)≥0的解集为[0，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c，x，y，z∈R，且x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m，求证：ax＋by＋cz≤1. 12．已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．13．设函数f(x)＝|x＋1a|＋|x－a|(a>0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．14．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤14.15．设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：|13a＋16b|＜14(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．16．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|，g(x)＝a－|x－2|.(1)若关于x的不等式f(x)<g(x)有解，求实数a的取值范围；(2)若关于x的不等式f(x)<g(x)a＋b的值．17．已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若对x∈[0,4]不等式f(x)≤3恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a＝2时，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．18．已知x，y∈R，m＋n＝7，f(x)＝|x－1|－|x＋1|.(1)解不等式f (x )≥(m ＋n )x ；(2)设max{a ，b }，a ≥b ，，a <b ，求F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |}的最小值．19．已知x ，y ∈R .(1)若x ，y 满足|x －3y |＜12，|x ＋2y |＜16，求证：|x |＜310；(2)求证：x 4＋16y 4≥2x 3y ＋8xy 3.20．已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1.(1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1；(2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1.21．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式2f (x )－x ≥2的解集；(2)对∀x ∈R ，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .22．已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f 的解集；(2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r ＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值．23．设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12；(2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．高考押题专练1．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －2a |.(1)当a ＝1时，求f (x )≤3的解集；(2)当x ∈[1，2]时，f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时，由f (x )≤3，可得|2x －1|＋|x －2|≤3，＜12，－2x ＋2－x ≤3x ＜2，－1＋2－x ≤3≥2，x －1＋x －2≤3.解①得0≤x ＜12，解②得12≤x ＜2，解③得x ＝2.综上可得，0≤x ≤2，即不等式的解集为[0，2]．(2)∵当x ∈[1，2]时，f (x )≤3恒成立，即|x －2a |≤3－|2x －1|＝4－2x ，故2x －4≤2a －x ≤4－2x ，即3x －4≤2a ≤4－x .再根据3x －4在x ∈[1，2]上的最大值为6－4＝2，4－x 的最小值为4－2＝2，∴2a ＝2，∴a ＝1，即a 的取值范围为{1}．2．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集不是空集，求实数a 的取值范围．【解析】(1)原不等式等价于>32，2x ＋1）＋（2x －3）≤6－12≤x ≤32，2x ＋1）－（2x －3）≤6或<－12，2x ＋1）－（2x －3）≤6，解得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x <－12.∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．(2)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，∴|a －1|>4，∴a <－3或a >5，∴实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．3．已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．【解析】(1)f(x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，当x≥2时，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；当x≤－3时，－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈∅；当－3<x<2时，有2x＋1≥3，解得1≤x<2.综上，f(x)≥3的解集为{x|x≥1}．(2)由绝对值不等式的性质可得，||x＋3|－|x－2||≤|(x＋3)－(x－2)|＝5，则有－5≤|x＋3|－|x－2|≤5.若f(x)≥|a－4|有解，则|a－4|≤5，解得－1≤a≤9.所以a的取值范围是[－1，9]．4．设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：|13a＋16b|＜14；(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．【解析】(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|，x≤－2，2x－1，－2＜x＜1，3，x≥1.由－2＜－2x－1＜0，解得－12＜x＜12，则M－12，所以|13a＋16b|≤13|a|＋16|b|＜13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a2＜14，b2＜14.因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|.5．设函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|，x∈R.(1)解不等式f(x)<－1；(2)设函数g(x)＝|x＋a|－4，且g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，求实数a的取值范围．【解析】(1)函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|，x<－1－2x，－1≤x≤3，4，x>3，故由不等式f(x)<－1可得，x>3－2x<－1，1≤x≤3.解得x>32.(2)函数g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在x∈[－2，2]上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示．故当x∈[－2，2]时，若0≤－a≤4，则函数g(x)的图象在函数f(x)的图象的下方，g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[－4，0]．6．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)1a＋1b＋1ab≥8；【解析】证明：(1)∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴1a＋1b＋1ab＝1a＋1b＋a＋bab＝＝4≥4ba ·ab＋4＝8(当且仅当a＝b＝12时，等号成立)，∴1a＋1b＋1ab≥8.(2)＝1a＋1b＋1ab＋1，由(1)知1a＋1b＋1ab≥8.7．已知关于x的不等式m－|x－2|≥1，其解集为[0，4]．(1)求m的值；(2)若a，b均为正实数，且满足a＋b＝m，求a2＋b2的最小值．【解析】(1)不等式m－|x－2|≥1可化为|x－2|≤m－1，∴1－m≤x－2≤m－1，即3－m≤x≤m＋1.∵其解集为[0，4]－m＝0，＋1＝4，∴m＝3.(2)由(1)知a＋b＝3，∵(a2＋b2)(12＋12)≥(a×1＋b×1)2＝(a＋b)2＝9，∴a2＋b2≥92，∴a2＋b2的最小值为92.8．已知a，b均为正数，且a＋b＝1，证明：(1)(ax＋by)2≤ax2＋by2；≥252.【解析】证明：(1)(ax＋by)2－(ax2＋by2)＝a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy，因为a＋b＝1，所以a－1＝－b，b－1＝－a.又a ，b 均为正数，所以a (a －1)x 2＋b (b －1)y 2＋2abxy＝－ab (x 2＋y 2－2xy )＝－ab (x －y )2≤0，当且仅当x ＝y 时等号成立．所以(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.＝4＋a 2＋b 24＋a 2＋b 2＋（a ＋b ）2a 2＋（a ＋b ）2b 2＝4＋a 2＋b 2＋1＋2b a ＋b 2a 2＋a 2b 2＋2a b ＋1＝4＋(a 2＋b 2)＋2＋＋（a ＋b ）22＋2＋4＋2＝252.当且仅当a ＝b 时等号成立．9．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1，1]，且|f (x )|的最大值为M .(1)证明：|1＋b |≤M ；(2)证明：M ≥12.【解析】证明：(1)∵M ≥|f (－1)|＝|1－a ＋b |，M ≥|f (1)|＝|1＋a ＋b |，∴2M ≥|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝2|1＋b |，∴M ≥|1＋b |.(2)依题意，M ≥|f (－1)|，M ≥|f (0)|，M ≥|f (1)|.又|f (－1)|＝|1－a ＋b |，|f (1)|＝|1＋a ＋b |，|f (0)|＝|b |.∴4M ≥|f (－1)|＋2|f (0)|＋|f (1)|＝|1－a ＋b |＋2|b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )－2b ＋(1＋a ＋b )|＝2.∴M ≥12.10．已知a ，b ，c 为非零实数，且a 2＋b 2＋c 2＋1－m ＝0，1a 2＋4b 2＋9c 2＋1－2m ＝0.(1)求证：1a 2＋4b 2＋9c 2≥36a 2＋b 2＋c2；(2)求实数m 的取值范围．【解析】(1)证明：由柯西不等式得2(a 2＋b 2＋c 2a ＋2b ·b ＋3c·，2(a2＋b2＋c2)≥36.∴1a2＋4b2＋9c2≥36a2＋b2＋c2.(2)由已知得a2＋b2＋c2＝m－1，1a2＋4b2＋9c2＝2m－1，∴(m－1)(2m－1)≥36，即2m2－3m－35≥0，解得m≤－72或m≥5.又a2＋b2＋c2＝m－1>0，1a2＋4b2＋9c2＝2m－1>0，∴m≥5.即实数m的取值范围是[5，＋∞)．11．已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x－2|，m∈R，且f(x＋1)≥0的解集为[0，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c，x，y，z∈R，且x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m，求证：ax＋by＋cz≤1.【解析】(1)由f(x＋1)≥0得|x|＋|x－1|≤m.∵|x|＋|x－1|≥1恒成立，∴若m<1，不等式|x|＋|x－1|≤m的解集为∅，不合题意．若m≥1，①当x<0时，得x≥1－m2，则1－m2≤x<0；②当0≤x≤1时，得x＋1－x≤m，即m≥1恒成立；③当x>1时，得x≤m＋12，则1<x≤m＋12.综上可知，不等式|x|＋|x－1|≤m的解集为1－m2，m＋12.由题意知，原不等式的解集为[0，1]，0，1，解得m＝1.(2)证明：∵x2＋a2≥2ax，y2＋b2≥2by，z2＋c2≥2cz，三式相加，得x2＋y2＋z2＋a2＋b2＋c2≥2ax＋2by＋2cz.由题设及(1)，知x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m＝1，∴2≥2(ax ＋by ＋cz )，即ax ＋by ＋cz ≤1，得证．12．已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝2x ＋6，x ≤2，，2<x <4，x ＋6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4.解得x ≥5.所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x －1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )2a ，x ≤0，x －2a ，0<x <a ，a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}．1，2，∴a ＝3.13．设函数f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．【解析】(1)证明：由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －x －a |＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 14．设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.【解析】(1)f (x )x －3，x ∈[1，＋∞ ，－x ，x ∈－∞，1 .当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集M ＝{x |0≤x ≤43}．(2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得≤4，解得－14≤x ≤34，因此N ＝{x |－14≤x ≤324}，故M ∩N ＝{x |0≤x ≤34}．当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x )＝x (1－x )＝14－≤14.15．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：|13a ＋16b |＜14(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．【解析】(1)证明：设f (x )＝|x －1|－|x ＋2|，x ≤－12x －1，－1＜x ＜13，x ≥1由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，则M －12，所以|13a ＋16b |≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，所以|1－4ab |2＞4|a －b |2，故|1－4ab |＞2|a －b |.16．已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，g (x )＝a －|x －2|.(1)若关于x 的不等式f (x )<g (x )有解，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的不等式f (x )<g (x )a ＋b 的值．【解析】(1)当x ＝2时，g (x )＝a －|x －2|取得最大值a ，∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|≥4，当且仅当－1≤x ≤3，f (x )取得最小值4，又∵关于x 的不等式f (x )<g (x )有解，∴a >4，即实数a 的取值范围是(4，＋∞)．(2)当x ＝72时，f (x )＝5，则＝－72＋a ＋2＝5，解得a ＝132，∴当x <2时，g (x )＝x ＋92，令g (x )＝x ＋92＝4，得x ＝－12∈(－1,3)，∴b ＝－12，则a ＋b ＝6.17．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若对x ∈[0,4]不等式f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝2时，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3，∴不等式f (x )≤3的解集M ＝[a －3，a ＋3]，根据题意知[0,4]⊆M －3≤0，＋3≥4，∴1≤a ≤3.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，∴g (x )的最小值为5，因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是(－∞，5]．18．已知x ，y ∈R ，m ＋n ＝7，f (x )＝|x －1|－|x ＋1|.(1)解不等式f (x )≥(m ＋n )x ；(2)设max{a ，b }，a ≥b ，，a <b ，求F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |}的最小值．【解析】(1)f (x )≥(m ＋n )x ⇔|x －1|－|x ＋1|≥7x ，当x ≤－1时，2≥7x ，恒成立，当－1<x <1时，－2x ≥7x ，即－1<x ≤0；当x ≥1时，－2≥7x ，即x ∈∅，综上可知，不等式的解集为{x |x ≤0}．(2)∵F ≥|x 2－4y ＋m |，F ≥|y 2－2x ＋n |，∴2F ≥|x 2－4y ＋m |＋|y 2－2x ＋n |≥|(x －1)2＋(y －2)2＋m ＋n －5|＝|(x －1)2＋(y －2)2＋2|≥2，∴F ≥1，F min ＝1.19．已知x ，y ∈R .(1)若x ，y 满足|x －3y |＜12，|x ＋2y |＜16，求证：|x |＜310；(2)求证：x 4＋16y 4≥2x 3y ＋8xy 3.【证明】(1)∵|5x |＝|2(x －3y )＋3(x ＋2y )|≤|2(x －3y )|＋|3(x ＋2y )|<2×12＋3×16＝32，∴|x |<310.(2)∵x 4＋16y 4－(2x 3y ＋8xy 3)＝x 3(x －2y )－8y 3(x －2y )＝(x －2y )(x 3－8y 3)＝(x －2y )2(x 2＋2xy ＋4y 2)＝(x －2y )2[(x 2＋2xy ＋y 2)＋3y 2]≥0，∴x 4＋16y 4≥2x 3y ＋8xy 3.20．已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1.(1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1；(2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1.【证明】(1)因为|am ＋bn ＋cp |≤|am |＋|bn |＋|cp |，a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以|am |＋|bn |＋|cp |≤a 2＋m 22＋b 2＋n 22＋c 2＋p 22＝a 2＋b 2＋c 2＋m 2＋n 2＋p 22＝1，即|am ＋bn ＋cp |≤1.(2)因为a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2＋n 4b 2＋a 2＋b 2＋c 2)a ＋n 2b ·b ＋p 2c ·＝(m 2＋n 2＋p 2)2＝1.所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1.21．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式2f (x )－x ≥2的解集；(2)对∀x ∈R ，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .(1)【解析】令g (x )＝2f (x )－x ＝2|x －1|－x－2，x ≥1，3x ＋2，x <1，当x ≥1时，由x －2≥2，得x ≥4，当x <1时，由－3x ＋2≥2，得x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．(2)【证明】|x －1|－|x ＋5|≤|x －1－(x ＋5)|＝6，又∵a ，b ，c >0，∴1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc≥331a 3·1b 3·1c 3＋3abc＝3abc ＋3abc ≥23abc ·3abc ＝6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，∴|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .22．已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f 的解集；(2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r ＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值．【解析】(1)f 4－|x ＋32|－|x －32|≥0，根据绝对值的几何意义，得|x ＋32|＋|x －32|表示点(x,0)到－32，B 接下来找出到A ，B 距离之和为4的点．将点A 向左移动12个单位长度到点A 1(－2,0)，这时有|A 1A |＋|A 1B |＝4；同理，将点B 向右移动12个单位长度到点B 1(2,0)，这时有|B 1A |＋|B 1B |＝4.∴当x ∈[－2,2]时，|x ＋32|＋|x －32|≤4，即f 的解集为[－2,2]．(2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r ，由柯西不等式，得a 21＋a 22＋a 23)a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·＋12q ＋p ＋2q ＋r )≥9，∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94.上述不等式当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43，即p ＝14，q ＝38，r ＝34时取等号．∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94.23．设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12；(2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于|x ＋1|－|x |≥12，①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解；②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12，解得－14≤x <0；③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12，解得x ≥0.综上所述，不等式f (x )≥12的解集为－14，＋(2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a |＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，当且仅当x ≥1－a 时取等号，∴f (x )max ＝a ＋1－a ，对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a )＝1＋2∵当a ∈0，12时单调递增，a ∈12，1时单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1，g (a )min ＝1，∴b的取值范围为(－∞，1]．。
数学高考二轮热点难点微专题五隐圆问题
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
2. 已知|O→A|＝|O→B|＝ 2，且O→A·O→B＝1，若点 C 满足|O→A＋O→B|＝1，则|O→C|的取值范 围是________． [ 6－1， 6＋1] 解析：O→A·O→B＝|O→A|×|O→B|×cos〈O→A，O→B〉＝1，cos〈O→A，O→B〉 ＝12，cos〈O→A，O→B〉＝π3.以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，建立平面直角 坐标系，则 O(0,0)，令 A( 2，0)，B 22， 26，令O→P＝O→A＋O→B＝32 2， 26，|O→P |＝ 6，|O→A＋O→B|＝|O→A＋O→B－O→C|＝|O→P－O→C|＝1，
转化为两个圆有公共点的问题，利用圆心距与半径关系求出 x0 的取值范围．
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
(3)
－
33，
3 3
解析：记线段 AB 的中点为 M，因为△ABC 为等腰直角三角形(C
为直角顶点)，所以点 C 在以 M 为圆心，半径为 1 的圆上．又因为点 C 在圆 O 上，
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
课 后时 作 业
1. 已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝4 外，则直线 ax＋by＝4 与圆 O 的位置关系是 ________．
相交 解析：因为点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝4 外，所以 a2＋b2>4，圆心 O(0,0) 到直线 ax＋by＝4 的距离为 d＝ a24＋b2<2＝r，故直线 ax＋by＝4 与圆 O 的位置关 系是相交．
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专题05 不等式之恒成立问题(填空题)(解析版))2021年新高考数学考前压轴冲刺(新高考地区专用)
专题05 不等式之恒成立问题2021年新高考填空题考点预测新高考近几年不等式常以压轴题的题型出现，常见的考试题型有恒成立，有解问题，此类题型丰富多变，综合性强，有一定的难度，但只要我们理解问题的本质，就能解决这类问题，常用的知识点如下：1.若)(x f 在区间D 上存在最小值，A x f >)(在区间D 上恒成立，则A x f >min )(.2.若)(x f 在区间D 上存在最大值，B x f <)(在区间D 上恒成立，则B x f <max )(.3.若)(x f 在区间D 上存在最大值，A x f >)(在区间D 上有解，则A x f >max )(.4.若)(x f 在区间D 上存在最小值，B x f <)(在区间D 上有解，则B x f <min )(.5.],,[,21b a x x ∈∀)()(21x g x f ≤，则min max )()(x g x f ≤.6.],,[1b a x ∈∀],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max max )()(x g x f ≤.7.],,[1b a x ∈∃],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max min )()(x g x f ≤.8.],,[b a x ∈∀)()(x g x f ≤,则0)()(≤-x g x f .典型例题1.若不等式|x ﹣2|﹣|x +2|≤21﹣3a 对任意实数x 都成立，则实数a 的最大值为 ．【分析】依据题设借助绝对值的几何意义得|x ﹣2|﹣|x +2|≤4，然后由不等式恒成立可得a 的范围．【解答】解：由绝对值的几何意义知|x ﹣2|﹣|x +2|≤|（x ﹣2）﹣（x +2）|＝4，当且仅当（x ﹣2）（x +2）≤0，即﹣2≤x ≤2时取等号，∵|x ﹣2|﹣|x +2|≤21﹣3a 对任意实数x 都成立，∴21﹣3a≥（|x﹣2|﹣|x+2|）max＝4＝22，∴1﹣3a≥2，∴a≤﹣，∴实数a的最大值为：﹣．故答案为：﹣．【知识点】不等式恒成立的问题2.已知a是实数，若对于任意的x＞0，不等式恒成立，则a的值为．【分析】设y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣，分别作出y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣的图象，讨论4a ﹣2≥0，不符题意；4a﹣2＜0，且y＝（4a﹣2）x+经过二次函数y＝x2+ax﹣图象的B（x2，0），将B的坐标分别代入一次函数和二次函数解析式，解方程可得a，检验可得所求值．【解答】解：设y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣，由△＝a2+＞0，可得y＝x2+ax﹣的图象与x轴有两个交点，分别作出y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣的图象，可得4a﹣2≥0，不满足题意；则4a﹣2＜0，即a＜，且y＝（4a﹣2）x+经过二次函数y＝x2+ax﹣图象的B（x2，0），即有（4a﹣2）x2+＝0，即x2＝，代入x2+ax﹣＝0，化为48a2﹣40a+7＝0，解得a＝或a＝＞（舍去），故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题3.若对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，|a|+|a+b+25|的范围为．【答案】[25，57]【分析】由题意不等式恒成立化为﹣b≤a（x+）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x+，x∈[1，4]，求出f（x）的值域，根据一次函数的性质转化为，即；设，求出a、b的表达式，把目标函数z＝|a|+|a+b+25|化为关于y、x的解析式，利用线性规划的知识求出z的取值范围，即可得出结论．【解答】解：对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，可得当x∈[1，4]时，不等式﹣b≤a（x+）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x+，x∈[1，4]；可得x∈[1，2]时f（x）递减，x∈[2，4]时f（x）递增，可得f（2）时取得最小值4，f（1）＝f（4）时取得最大值5，所以f（x）的值域为[4，5]；所以原不等式恒成立，等价于，（y＝af（x）为f（x）的一次函数，最大值与最小值都在端点处）即，设，则，所以，所以目标函数z＝|a|+|a+b+25|＝|y﹣x|+|4x+3y+25|＝|y﹣x|+4x+3y+25，画出不等式组表示的平面区域，如图所示；当y≥x时，目标函数z＝3x+4y+25，所以x＝0，y＝0时z min＝25，x＝4，y＝5时z max＝57；当y＜x时，目标函数z＝5x+2y+25，所以x＝0，y＝0时为临界值z min＝25，x＝4，y＝4时z max＝53；综上可得，|a|+|a+b+25|的范围是[25，57]．故答案为：[25，57]．【知识点】不等式恒成立的问题专项突破一、填空题（共14小题）1.设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a＝．【分析】分类讨论，（1）a＝1；（2）a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．【解答】解：（1）a＝1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y1＝（a﹣1）x﹣1，y2＝x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1＝（a﹣1）x﹣1：令y＝0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2＝x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，∴y2＝x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：，解之得：a＝，或a＝0（舍去）．故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题2.若存在实数b使得关于x的不等式|a sin2x+（4a+b）sin x+13a+2b|﹣2sin x≤4恒成立，则实数a的取值范围是﹣．【答案】[-1，1]【分析】运用正弦函数的值域可得2+sin x∈[1，3]，可得|a（2+sin x）++b|≤2恒成立，讨论a＝0，a ＞0，a＜0，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立思想，可得所求范围．【解答】解：|a sin2x+（4a+b）sin x+13a+2b|﹣2sin x≤4，即为|a（sin2x+4sin x+4）+b（2+sin x）+9a|≤2（2+sin x），即有|a（2+sin x）2+b（2+sin x）+9a|≤2（2+sin x），由2+sin x∈[1，3]，可得|a（2+sin x）++b|≤2恒成立，当a＝0时，显然成立；当a＞0，可得a（2+sin x）+∈[6a，10a]，﹣2﹣b≤a（2+sin x）+≤2﹣b，可得﹣2﹣b≤6a且2﹣b≥10a，可得﹣2﹣6a≤b≤2﹣10a，即﹣2﹣6a≤2﹣10a，可得0＜a≤1；当a＜0，可得a（2+sin x）+∈[10a，6a]，可得﹣2﹣b≤10a且2﹣b≥6a，可得﹣2﹣10a≤b≤2﹣6a，即﹣2﹣10a≤2﹣6a，可得﹣1≤a＜0；综上可得a的范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【知识点】不等式恒成立的问题3.若不等式≥a对x＜2恒成立，则a的最大值是﹣【分析】设t＝2﹣x，得出x＝2﹣t，其中t＞0，把化为f（t），利用基本不等式求出f（t）的最小值，由此求出a的最大值．【解答】解：不等式≥a对x＜2恒成立，设t＝2﹣x，则x＝2﹣t，其中t＞0，所以化为f（t）＝＝+t﹣3≥2﹣3＝2﹣3，当且仅当＝t，即t＝时取“＝”，∴f（t）的最小值为2﹣3；∴不等式≥a对x＜2恒成立时，a的最大值是2﹣3．故答案为：2﹣3．【知识点】不等式恒成立的问题4.若不等式|x﹣2|﹣|x+2|≤21﹣3a对任意实数x都成立，则实数a的最大值为．【分析】依据题设借助绝对值的几何意义得|x﹣2|﹣|x+2|≤4，然后由不等式恒成立可得a的范围．【解答】解：由绝对值的几何意义知|x﹣2|﹣|x+2|≤|（x﹣2）﹣（x+2）|＝4，当且仅当（x﹣2）（x+2）≤0，即﹣2≤x≤2时取等号，∵|x﹣2|﹣|x+2|≤21﹣3a对任意实数x都成立，∴21﹣3a≥（|x﹣2|﹣|x+2|）max＝4＝22，∴1﹣3a≥2，∴a≤﹣，∴实数a的最大值为：﹣．故答案为：﹣．【知识点】不等式恒成立的问题5.已知a，b∈R，若关于x的不等式lnx≤a（x﹣2）+b对一切正实数x恒成立，则当a+b取最小值时，b的值为﹣．【分析】由题意可得只要考虑直线y＝a（x﹣2）+b与y＝lnx相切，设出切点（m，lnm），运用导数的几何意义，可得a，b，m的方程，再由x＝3时，a+b取得最小值，结合构造函数法，运用导数求得最小值，即可得到所求b的值．【解答】解：设y＝lnx的图象与直线y＝a（x﹣2）+b相切的切点为（m，lnm），由y＝lnx的导数为y′＝，可得a＝，lnm＝a（m﹣2）+b，可得b＝2a﹣lna﹣1，由x＝3时，可得a+b≥ln3，可得a+b的最小值为ln3，即有2a﹣lna﹣1＝ln3﹣a，即3a﹣lna＝1+ln3，由y＝3x﹣lnx的导数为y′＝3﹣，可得0＜x＜时，函数y＝3x﹣lnx递减，在x＞时，函数y＝3x﹣lnx递增，可得x＝处函数y取得最小值1+ln3，则3a﹣lna＝1+ln3的解为a＝，即有b＝ln3﹣．故答案为：ln3﹣．【知识点】不等式恒成立的问题6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝，若对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则实数λ的取值范围是．【分析】根据等比数列前n项和公式，求得a n，即可求得t的值，代入根据函数的单调性即可求得实数λ的取值范围．【解答】解：由题意可知：2S n＝3n+1+t，当n≥2时，2a n＝2S n﹣2S n﹣1＝3n+1+t﹣3n﹣t＝2×3n，∴a n＝3n，由数列{a n}为等比数列，则a1＝3，当n＝1，则a1＝S1＝＝3，则t＝﹣3，∴S n＝（3n﹣1），对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5），即3n+1λ≥27（n﹣5），∴λ≥＝，n∈N*，由对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则λ≥（）max，由函数f（x）＝在[1，+∞），f′（x）＝＝，令f′（x）＝0，则x＝+5，则f（x）在[1，+5）单调递增，在（+5，+∞）单调递减，由n∈N*，f（5）＝0，f（6）＝，∴当n＝6时，取最大值，最大值为，∴实数λ的取值范围[，+∞），故答案为：[，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题、利用导数研究函数的单调性7.已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是﹣【分析】根据题意，分段讨论x≤1和x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，去掉绝对值，利用函数的最大、最小值求得a的取值范围，再求它们的公共部分．【解答】解：函数f（x）＝，当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y＝﹣x2+x﹣3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最大值为﹣；由y＝x2﹣x+3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最小值为，则﹣≤a≤；…①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y＝﹣（x+）≤﹣2＝﹣2（当且仅当x＝＞1）取得最大值﹣2；由y＝x+≥2＝2（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2；…②由①②可得，﹣≤a≤2；综上，a的取值范围是﹣≤a≤2．故答案为：﹣≤a≤2．【知识点】不等式恒成立的问题8.若不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，则a的取值范围是．【分析】当x＞0时a＞在x＞0恒成立，设g（x）=，g（x）﹣=，求得y=2（x+1）ln（x+1）﹣x（x+2），x＞0的导数和符号，即可得到所求a的范围．【解答】解：不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，即有a＞在x＞0恒成立，设g（x）=，由y=lnx﹣x+1的导数为y′=﹣1=，x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，可得y=lnx﹣x+1的最大值为0，即lnx≤x﹣1，则g（x）﹣=，由y=2（x+1）ln（x+1）﹣x（x+2），x＞0的导数为y′=2（1+ln（x+1））﹣2（x+1）=2[ln（x+1）﹣x]，由ln（x+1）＜x，即ln（x+1）﹣x＜0，（x＞0），可得g（x）﹣＜0，即g（x）＜，可得a≥，则a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题9.对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．【分析】通过变形，换元可得，接下来只需求出在（1，+∞）上的最小值即可．【解答】解：依题意，，令，则，令μ＝2t+1＞1，则，而函数在（1，+∞）上的最小值为，故，即k的最大值为．故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题10.设a＞0，若关于x的不等式x≥9在x∈（3，+∞）恒成立，则a的取值范围为．【答案】3【分析】利用基本不等式，确定x的最小值，即可求得a的最小值．【解答】解：∵a＞0，x＞1，∴x＝（x﹣3）+3≥2+1∵a＞0，若关于x的不等式x≥9在x∈（3，+∞）恒成立，∴2+3≥9．∴a≥3∴a的最小值为3．故答案为：3．【知识点】不等式恒成立的问题11.不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】[2，6）【分析】由于二次项系数含有参数，故需分a﹣2＝0与a﹣2≠0两类讨论，特别是后者：对于（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，有求出a的范围，再把结果并在一起．【解答】解：当a＝2时，原不等式即为1＞0，原不等式恒成立，即a＝2满足条件；当a≠2时，要使不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，必须解得，2＜a＜6．综上所述，a的取值范围是2≤a＜6，故答案为：[2，6）．【知识点】不等式恒成立的问题12.若对任意a∈[1，2]，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0恒成立，则实数x的取值范围是﹣∞﹣【答案】（-∞，-1）∪（1，+∞）【分析】通过变换主元，利用函数恒成立转化为不等式组求解即可．【解答】解：由题意对任意a∈[1，2]，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0恒成立，即为a（x2+x）﹣x﹣1＞0对任意a∈[1，2]恒成立，所以，解得x＜﹣1或x＞1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题13.若不等式2kx2+kx+＜0对于一切实数x都成立，则k的取值范围是﹣∞﹣．【答案】（-∞，-2）【分析】根据不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立，讨论k＝0和k≠0时，即可求出k的取值范围．【解答】解：不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立，k＝0时，不等式化为＜0不成立，k≠0时，应满足，解得k＜﹣2．综上，不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【知识点】二次函数的性质与图象、不等式恒成立的问题14.若关于x的不等式（x2﹣a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，则2a+b的最小值为．【答案】0【分析】设f（x）＝（x2﹣a）（2x+b），x∈（a，b），讨论a＞0和a≤0时，利用f（x）≥0在x∈（a，b）恒成立，即可求出2a+b的最小值．【解答】解：关于x的不等式（x2﹣a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，当a＞0时，b＞a＞0，f（x）＝（x2﹣a）（2x+b）的三个零点分别为±，﹣；显然有＞﹣，＞﹣；则f（x）在（a，b）上是单调增函数，f（x）≥0在（a，b）上恒成立，则f（a）＝（a2﹣a）（2a+b）＝a（a﹣1）（2a+b）≥0，即或；则2a+b≥0或无最小值；当a≤0时，x2﹣a≥0恒成立，f（x）≥0时只需2x+b≥0恒成立，又x∈（a，b），∴2a+b≥0；综上所述，2a+b的最小值为0．故答案为：0．【知识点】不等式恒成立的问题。
高考数学 数列与函数、不等式综合问题选讲经典回顾讲义 理
数列与函数、不等式问题经典回顾开篇语数列与函数、不等式等知识的综合问题历来是高考的重点之一，考试大纲对这一部分的考试要求是，能综合运用数列、函数、方程和不等式灵活地解决这些知识相互之间的交汇问题．在本讲中，我们将选配相关的综合问题进行求解训练，以帮助同学们提高推理论证能力和运算求解能力．开心自测题一：已知函数()2x f x =,等差数列{}n a 的公差为2．若246810()4f a a a a a ++++=, 则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=L ．题二：已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．金题精讲题一：等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---L ，则()0f '=（ ）．A ．62 B. 92 C. 122 D. 152题二：设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+．（Ⅰ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．题三：已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x 且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(，数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S 2n ≥）．（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20091000的最小正整数n 是多少?名师寄语数列综合问题一向是高考的重点，两类数列与函数、方程、不等式的交汇问题历来是高考的热点，并且选择题、填空题、解答题三种题型都有可能涉及．这类试题一般较为灵活，尤其是解答题，往往具有一定的难度．因此在第二轮复习中，我们应当加大数列与函数、方程、不等式等知识综合问题的复习力度，争取在这一类问题的求解中取得满意的成绩．数列与函数、不等式问题经典回顾讲义参考答案开心自测题一：62123102log [()()()()]log 26f a f a f a f a -⋅⋅⋅⋅==-L ．题二：（Ⅰ）321)=2+1n a n n =+-（；2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+；（Ⅱ）n T =4(+1)n n ． 金题精讲题一：C ．题二：（Ⅰ）略；（Ⅱ）2(31)2n n a n -=-⋅题三：（Ⅰ）12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *()n N ∈．21n b n =-(*n N ∈)；（Ⅱ）112．。
辽宁省大连市(新版)2024高考数学部编版能力评测(综合卷)完整试卷
辽宁省大连市（新版）2024高考数学部编版能力评测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数为偶函数，则（）A．-1B．-2C．2D．1第(2)题若，则（）A．B．C．D．第(3)题设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)第(4)题已知个大于2的实数，对任意，存在满足，且，则使得成立的最大正整数为（）A．14B．16C．21D．23第(5)题设定义在上的函数单调递增恒成立，且满足，则（）A．B．C．D．第(6)题函数，若存在正实数，其中且，使得，则的最大值为（）A．6B．7C．8D．9第(7)题在△ABC中，，则边AC上的高为（）A．B．C．D．第(8)题已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（），则k的值是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（）A．B．C．的最大值为D．的前10项和为第(2)题关于的展开式，下列说法正确的是（）A．二项式系数之和为32B．最高次项系数为32C ．所有项系数之和为D．项的系数为40第(3)题若a＞b＞0＞c，则( )A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知向量，，，且、、三点共线，则_______第(2)题已知圆，直线，在区间上任取一个数，则圆O与直线l有公共点的概率为______．第(3)题将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为，其中，记桌面为平面.若，且与平面所成的角为，则点到平面的距离的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在斜三棱柱中，底面ABC是边长为2的正三角形，，侧棱AD与底面ABC所成角为60°．(1)求证：四边形BCFE为矩形；(2)求平面DBC与平面BCFE夹角的余弦值．第(2)题已知椭圆与抛物线有四个公共点A、B、C、D，分别位于第一、二、三、四象限内．(1)求实数a的取值范围；(2)直线、与y轴分别交于M、N两点，求的取值集合．第(3)题已知、是双曲线的左、右焦点，直线经过双曲线的左焦点，与双曲线左、右两支分别相交于、两点.(1)求直线斜率的取值范围；(2)若，求的面积.第(4)题已知椭圆的焦点为，，离心率为，点P为椭圆C上一动点，且的面积最大值为，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)设点，为椭圆C上的两个动点，当为多少时，点O到直线MN的距离为定值.第(5)题如图，已知分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的动点，若到左焦点距离的最大值为，最小值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过动点作椭圆的切线，分别与直线和相交于两点，记四边形的对角线相交于点，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由.。
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数学高考综合能力题选讲5
三角恒等变换
题型预测
三角恒等变形是运用三角解题的基础．高考中对于三角部分的考查，主要集中于三角恒等变换．难度一般控制在中、低档水平，复习时要注重通法和常规题型的掌握．
范例选讲
例1 求值：
︒
+︒︒
⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.
讲解 原式的分子︒
︒
︒+︒︒+︒=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2
︒︒+︒=20cos 10cos 20sin 2︒
︒
+︒=
20cos 10cos 40sin 320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =︒
︒︒=︒︒+︒=，
原式的分母＝︒
︒
+︒=︒︒+︒80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1
()︒︒+︒+︒=80sin 80cos 40cos 40cos ︒
︒
︒+︒=80sin 20cos 60cos 240cos
310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =︒
︒︒=︒︒+︒=，
所以，原式＝１．
点评 三角函数式的化简和求值，是训练三角恒等变换的基本题型，在化简和求值中，常用的方法有：切割化弦、异名化同名、角的配凑、拆项、降幂与升幂等． 例2
已知5
4sin cos ,5
3cos sin =+=+βαβα，求βαsin cos 的值．
讲解 由条件直接解出βαsin cos 、的值是不可取的．由于
()()()βαβαβα--+=
sin sin 2
1
sin cos ，所以，应该设法由已知求出βα+及βα-的三角函数值．
已知可以让我们联想到形如n m =+=+βαβαcos cos ,sin sin 的式子，但二者又不完全相同．即后者可以直接和差化积，前者则不然．其实，只要作一个变换，令γπ
β-=
2
，则可将本题转化为我们熟悉的问题．
解1：令γπ
β-=
2
，则原题等价于： 已知5
4cos cos ,5
3
sin sin =+=+γαγα，求γαcos cos 的值． 两式分别和差化积并相除得：4
3
2
tan
=
+γ
α，所以 ()2572tan
12tan
1cos 2
2
=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
++⎪
⎭⎫ ⎝⎛
+-=
+γαγαγα. 分别将已知两式平方并求和得：()2
1
cos -=-γα,
所以，()()()100
11
cos cos 21cos cos -=-++=γαγαγα.
在对式子n m =+=+βαβαcos cos ,sin sin 进行变形的过程中，我们不难联想到，既然可以平方相加，为什么不能平方相减呢？尝试的结果可以使我们得到下面的解法：
解2：由54sin cos ,53cos sin =+=+βαβα平方相加得：()2
1sin -=+βα． 上述两式平方相减得：()25
7
sin 22cos 2cos -
=-+-βααβ． 将上式前两项和差化积，得：()()()25
7sin 2sin sin 2-
=-+-+βαβαβα， 结合()2
1sin -=+βα，可解得：()25
7
sin -
=-βα． 所以，()()()βαβαβα--+=sin sin 21sin cos 100
11
-=．
点评 联想和类比，常常可以促成问题转化，并最终达到解决问题的目的．
例3 已知函数()x x
m x f cos sin 2-=
在区间⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,0π上单调递减，试求实数m 的取值范围．
讲解 已知条件实际上给出了一个在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛2,0π上恒成立的不等
式．
任取∈21,x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,0π，且21x x <，则不等式()()21x f x f >恒成立，即
>-11cos sin 2x x m 2
2
cos sin 2x x m -恒成立．化简得
()()2112sin 2cos cos x x x x m ->-
由2
021π
<
<<x x 可知：0cos cos 12<-x x ，所以
()
1
221cos cos sin 2x x x x m --<
上式恒成立的条件为：()上的最小值，在区间⎪⎭⎫
⎝⎛⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--<20cos cos sin 21221πx x x x m . 由于
()2
sin 2cos 22sin 2sin 22cos 2sin
4cos cos sin 221
2
1
212121211
221x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+--=-- 2
sin
2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 221212121x x x x x x x x +⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
+=2
tan
2tan 2tan 2tan 122121x x x x +⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+=
且当2
021π
<
<<x x 时，42,2021π<<
x x ，所以 12
tan ,2tan 021<<x
x , 从而 02tan 12tan 12tan 2
tan 2tan 2
tan 1212121>⎪⎭
⎫
⎝
⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x x x x x ,
有 22
tan
2tan 2tan 2tan 122121>+⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛
+x x x x , 故 m 的取值范围为]2,(-∞. 点评 求()的最小值⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--1221cos cos sin 2x x x x 时，要注意能否取到的问题．请思考，下面的解法有什么问题：
当2
021π
<
<<x x 时，2
20,024
2121π
π
<+<<-<
-
x x x x ，有 12
sin 0,12cos 22
2121<+<<-<x x x x ， 从而
()2122
22
sin 2cos
2cos cos sin 221
211221=⋅
>+-=--x x x x x x x x ， 故 m 的取值范围为]2,(-∞.
高考真题
.
1. （2002年全国高考） 已
知
.2,0,12cos cos 2sin 2sin 2⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=-+πααααα求ααtg ,sin .
2. （2001
年上海春季高考）已知
)2
4(12sin sin 22π
<α<π=α+α+αk tg ，试用k 表示ααcos sin -的值．
3. （1994年全国高考）已知函数f(x)＝tg x ，x ∈(0，2
π)，若1x ，
2x ∈(0，2π
)，且1x ≠2x ，证明:21[f(1x )＋f(2x )]＞f(
2
x x 2
1+).
[答案与提示： 1．,21sin =α3
3
=
αtg ． 2．k -1． 3．略]。