高中数学课件 第二章 第13节 《定积分与微积分基本定理》

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(2x－3x2)dx＝ － ＝
2xdx－ －
3x2dx＝x2 ＝
－
＝k2－k3＝0.∴k＝0或k＝1.又k＞0，∴k＝1. ∴ ＝ 或 ＝ 又 ＞ ， ＝
答案： 答案：B
3.设函数 ＝xm＋ax的导函数 ′(x)＝2x＋1，则 设函数f(x)＝ 的导函数f′ ＝ ＋ ， 设函数 的导函数 x)dx的值等于 的值等于 A. C. B. D. (
区间[－ ， 上连续 上连续， 区间 －a，a]上连续，则
(2)如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用 如果被积函数是绝对值函数或分段函数， 如果被积函数是绝对值函数或分段函数 定积分的性质 f(x)dx＝ ＝ f(x)dx＋ ＋ f(x)dx，根据函数 ，
的定义域，将积分区间分解为若干部分， 的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析 式，分别求出积分值，相加即可. 分别求出积分值，相加即可
[f1(x)±f2(x)]dx＝ ± ＝ f(x)dx＝ ＝ f(x)dx＋ ＋
f(x)dx(其中 ＜c＜b) 其中a＜ ＜ 其中
2.微积分基本定理 微积分基本定理 一般地，如果 ′ ＝ ， 是区间[a， 上的连续的 一般地，如果F′(x)＝f(x)，且f(x)是区间 ，b]上的连续的 是区间 函数, 函数 － f(x)dx＝ F(b)－F(a) . ＝ 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿 莱布尼兹公式 莱布尼兹公式. 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式 其中F(x)叫做 的一个原函数 叫做f(x)的一个原函数 其中 叫做 的一个原函数. 为了方便，我们常把 为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作 － 记作 f(x)dx＝ ＝ F(x) F(x) ，即
求曲线y＝ 直线y＝ ， ＝ 围成的图形的面积 围成的图形的面积. 求曲线 ＝x2，直线 ＝x，y＝3x围成的图形的面积 [思路点拨 思路点拨] 思路点拨
[课堂笔记 作出曲线 ＝x2，直线 课堂笔记] 作出曲线y＝ 课堂笔记 y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图 ＝ ， ＝ 的图象 的图象， 中阴影部分的面积. 中阴影部分的面积 解方程组 解方程组 得交点(1,1)， ， 得交点 得交点(3,9)， ， 得交点
[课堂笔记 因列车停车在车站时，速度为 故应先求出速 课堂笔记] 因列车停车在车站时，速度为0.故应先求出速 课堂笔记 度的表达式，之后令 ＝ ，求出t.再根据 再根据v和 应用定积分求 度的表达式，之后令v＝0，求出 再根据 和t应用定积分求 出路程. 出路程 已知列车速度v 已知列车速度 0＝72 km/h＝20 m/s，列车制动时获得的加 ＝ ， 速度为a＝－ 速度为 ＝－0.4 m/s2， ＝－ 设列车开始制动到经过t秒后的速度为 ， ＝ 设列车开始制动到经过 秒后的速度为v，则v＝v0＋ 秒后的速度为 ＝20－ － 0.4dt＝20－0.4t，令v＝0，得t＝50(s). ＝ － ， ＝ ， ＝ adt
(2)由三条直线 ＝a、x＝b(a＜b)、x 由三条直线x＝ 、 ＝ ＜ 、 由三条直线 轴、一条曲线y＝f(x)[f(x)≤0]围成 一条曲线 ＝ 围成 的曲边梯形的面积(如图 ： 的曲边梯形的面积 如图(2))： 如图
(3)由两条直线 ＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线 ＝f(x)、y＝ 由两条直线x＝ 、 ＝ ＜ 、两条曲线y＝ 、 ＝ 由两条直线 g(x)[f(x)≥g(x)]围成的平面图形的面积 如图 ： 围成的平面图形的面积(如图 围成的平面图形的面积 如图(3))：
定积分在物理中的应用，主要包括①求变速直线运动的路 定积分在物理中的应用，主要包括① 程；②求变力所做的功两部分内容. 求变力所做的功两部分内容 (1)要求一个物体在一段时间内的位移，只要求出其运动的 要求一个物体在一段时间内的位移， 要求一个物体在一段时间内的位移 速度函数， 速度函数，再利用微积分基本定理求出该时间段上的定 积分即可，即物体做变速直线运动的路程 ， 积分即可，即物体做变速直线运动的路程s，等于其速度 函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间 ，b]上的定积分 函数 ＝ 在时间区间[a， 上的定积分 在时间区间 v(t)dt.另外物体做变速直线运动的速度 ，等于其加速度 另外物体做变速直线运动的速度v， 另外物体做变速直线运动的速度 函数a＝ 在时间区间 在时间区间[a， 上的定积分 函数 ＝a(t)在时间区间 ，b]上的定积分 a(t)dt.
S2的面积等于曲线y＝x2与x轴、x＝t，x＝1围成面积 的面积等于曲线 ＝ 轴 ＝ ， ＝ 围成面积 去掉矩形面积，矩形边长分别为 去掉矩形面积，矩形边长分别为t2，(1－t)，即 － ，
所以阴影部分面积S为 所以阴影部分面积 为
∵S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－ ′ ＝ ＝ － ∴当t＝ ＝ 答案： 答案：
)＝0时，得t＝0，t＝ ＝ 时 ＝ ，＝ )＝ ＝ .
.
最小， 时，S最小，且最小值为 最小 且最小值为S(
1.(2009·福建高考 福建高考) 福建高考 A.π C.π－2 －
[考题印证 考题印证] 考题印证 (2009·广东高考 已知甲、乙两车由同 广东高考)已知甲 广东高考 已知甲、 一起点同时出发，并沿同一路线 假定为直 一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直 行驶.甲车 线)行驶 甲车、乙车的速度曲线分别为 甲和 行驶 甲车、乙车的速度曲线分别为v v乙(如图所示 那么对于图中给定的 0和 如图所示).那么对于图中给定的 如图所示 那么对于图中给定的t t1，下列判断中一定正确的是 A.在t0时刻，两车的位置相同 在 时刻， B.t0时刻后，乙车在甲车前面 时刻后， C.在t1时刻，甲车在乙车前面 在 时刻， D.t1时刻后，甲车在乙车后面 时刻后， ( )
.
－ln2
利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函 利用微积分基本定理求定积分， 数的原函数， 数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是 互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数 互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数.
[特别警示 (1)若函数 为偶函数，且在区间 －a，a]上 特别警示] 若函数f(x)为偶函数 特别警示 若函数 为偶函数，且在区间[－ ， 上 连续， 连续，则 f(x)dx＝2 ＝ f(x)dx；若f(x)是奇函数，且在 ； 是奇函数， 是奇函数 f(x)dx＝0. ＝
因此， 因此，所求图形的面积为
若将本例中“直线 ＝ ， ＝ 改为 改为“y＝ 若将本例中 直线y＝x，y＝3x”改为 ＝x3－2x”，又 直线 ， 该如何求解？ 该如何求解？ 解：由x3－2x＝x2⇒x＝－ ＝－1,0,2， ＝ ＝－ ， 所以面积为S＝ 所以面积为 ＝ 2x)dx＝ ＝ (x3－2x－x2)dx＋ － ＋ (x2－x3＋
2.几种典型的曲边梯形面积的计算方法 几种典型的曲边梯形面积的计算方法 (1)由三条直线 ＝a、x＝b(a＜b)、x 由三条直线x＝ 、 ＝ ＜ 、 由三条直线 轴，一条曲线y＝ f(x)[f(x)≥0]围成 一条曲线 ＝ 围成 的曲、边梯形的面积 如图 如图(1))走的路程是s， 设该列车由开始制动到停止时所走的路程是 ，则 S＝ ＝ vdt＝ ＝ (20－0.4t)dt＝500(m)， － ＝ ，
所以列车应在进站前50 ，以及离车站500 m处开始制动 处开始制动. 所以列车应在进站前 s，以及离车站 处开始制动
高考对该部分内容的常规考法为： 高考对该部分内容的常规考法为：利用微积分基 本定理求已知函数在某一区间上的定积分或求曲边梯 形的面积.09年广东高考以物理知识为载体， 形的面积 年广东高考以物理知识为载体，考查了定 年广东高考以物理知识为载体 积分的几何意义以及考生运用所学知识分析问题和解 决问题的能力， 决问题的能力，是高考对该部分内容考查的一个新方 向.
1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本 了解定积分的实际背景， 了解定积分的实际背景 思想,了解定积分的概念. 思想,了解定积分的概念. 了解定积分的概念 2.了解微积分基本定理的含义 了解微积分基本定理的含义. 了解微积分基本定理的含义
1.定积分的性质 定积分的性质 (1) (2) (3) kf(x)dx＝ ＝ f(x)dx(k为常数 ； 为常数) 为常数 f1(x)dx± ± f2(x)dx ； .
(2)如果变力 如果变力F(x)使得物体沿力的方向由 ＝a运动到 ＝b(a＜ 使得物体沿力的方向由x＝ 运动到 运动到x＝ ＜ 如果变力 使得物体沿力的方向由 b)，则变力F(x)对物体所做的功 ＝ ，则变力 对物体所做的功W＝ 对物体所做的功 F(x)dx.
列车以72 的速度行驶， 列车以 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加 的速度行驶 速度a＝－ 问列车应在进站前多长时间， 速度 ＝－0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离 ＝－ 车站多远处开始制动？ 车站多远处开始制动？ [思路点拨 思路点拨] 思路点拨
求下列定积分： 求下列定积分：
[思路点拨 思路点拨] 思路点拨
[课堂笔记 课堂笔记] 课堂笔记
(4)令f(x)＝3x3＋4sinx，x∈[－ 令 ＝ ， ∈－ ∵f(x)在[－ 在－ 上为奇函数， ， ]上为奇函数， 上为奇函数
，
]
1.求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤 (1)画出图形； 画出图形； 画出图形 (2)确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出 确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标， 确定图形的范围 积分的上、下限； 积分的上、下限； (3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； 确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； 确定被积函数 (4)写出平面图形面积的定积分的表达式； 写出平面图形面积的定积分的表达式； 写出平面图形面积的定积分的表达式 (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积. 运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积 运用微积分基本定理计算定积分