群论-5 群论与量子力学

D4 D(1)：A1 D(4)：B2 E 1 1 2 c4 1 -1 c4 2 1 1 2 c2 1 -1 2 c2 ' 1 1
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
也可以这样来表述定理5.2： 设某一能级En的简并度是 f，则存在f 个简并本征函数{φni，i=1， 2，…f}，它们可以生成一个f 维的不可约表示
为什么表示不可约？ 假如将所有的Pg作用于某个本征函数φni上，得到m个独立的函 数，则 m不能大于f，否则与能级是f度简并矛盾；
(2m 1) 2 (1) E 2
2m 1 2m 1 Ψ cos x cos y 2 2
一维表示，不简并 所有群元作用在基矢上，基矢不变，故其对应A1表示
(2) E 2m2 Ψ sin mx sin my 一维表示，不简并 c4和c2作用在基函数Ψ上，得到-Ψ ，对应B2表示
j 1
l
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量子系统的能级用不可约表示分类 哈密顿算符的所有能级——本征值——可由哈密顿算符群的不 可约表示标记 不同的不等价不可约表示代表着不同的对称性，所以，这个标 记区别了体系不同的对称态。
φi (α) (r)为第α 个不可约表示的第i个基函数，则Ĥφi (α) (r)亦为该 不可约表示的第i个基函数。 群论方法虽然无法知道本征能量和本征函数的具体情况，但任 何能级和波函数都可以用其所属的不可约表示进行分类和标记 以上讨论是针对哈密顿算符得到的结果，这些结果对于量子力 学中任意力学量算符（线性厄密算符）同样适用。
必然简并和偶然简并： 必然简并：由对称性引起的简并称为必然简并，又称为正则简 并，必然简并波函数给出哈密顿群的不可约表示；
偶然简并：由非对称性因素引起的简并称为偶然简并，偶然简 并波函数给出哈密顿群的可约表示
例如，能级在磁场下产生分裂：
1)
2)
3)
4)
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3) 哈密顿算符的本征函数与群表示的基函数
以下三个定理揭示了群的表示理论与量子力学的内在联系
定理1 哈密顿算符 Ĥ 的具有相同本征能量的本征函数，构成 哈密顿算符群表示的基函数 证明：设哈密顿算符 Ĥ 的本征能量En为 l 重简并 则存在l个线性无关的本征函数φi，(i = 1，2，…l)，以它们为 基构成复数域上的线性空间，记为WH
物理学中的群论
—— 群论与量子力学
主讲 翦知渐
群论-群论与量子力学
第五章 群论与量子力学
量子力学中的群论应用
§5.1 §5.2 §5.3
§5.4
哈密顿算符群和相关定理 微扰引起的能级分裂 久期行列式的块对角化
矩阵元定理与选择定则
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§5.1 哈密顿算符群和相关定理
H
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定义2： 由哈密顿算符群的元素对应的函数变换算符组成的 集合构成群，也称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为 PG = {Pg | g∈GH} 函数变换算符集{Pg }与{g}一一对应，而且保持同态关系 ——{Pg } 与{g} 同构
哈密顿算符群中的任意元素与哈密顿算符对易
Y y sin ny , E2 n 2 2 2n 1 (2 n 1) Y y cos 2 y , E2 4
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能级： 哈密顿本征方程有如下类型的5种能级
变换算符作用在哈密顿量上的结果
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若坐标经过变换g作用后，哈密顿算符的形式不变 即：假定r' = gr，而有 Ĥ(gr) = Ĥ(r') = Ĥ(r) ，则可得 ˆ r P H ˆ r P 1 H
g g
即当哈密顿算符Ĥ(r)在函数变换算符 的作用下不变时，Ĥ(r) 与Pg对易： ˆ,P ]0 [H g 例如，氢原子的哈密顿算符在绕过原点的任意轴转动时保持 不变，但在平移变换下会发生改变； 晶体的单电子哈密顿算符，在周期性平移算符作用下不变 2) 哈密顿算符群 定义1： 所有保持系统哈密顿算符 Ĥ(r)不变的变换 {g} 组 成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符的对称群，或薛 定谔方程的对称群： ˆ gr H ˆ r } 很容易证明这确实是一个群 G {g | H
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定理5.3 设φi (r) (i = 1，2，…l )为哈密顿算符群PG表示的基， 则以 { Ĥφi (r) (i = 1，2，…l )}和{φi (r) (i = 1，2，…l )} 为基函数得到的群表示完全相同 φi (r)与Ĥφi (r)均按该表示的第i列基函数变换。
ˆ r f r P P 1 H ˆ r f r P H ˆ gr f gr P H ˆ gr P 1 f r H g g g g g
故有（因f(r)为任意函数）
ˆ r Baidu Nhomakorabea H ˆ gr P 1 H g g
D(2)：A2
D(3)：B1 D(4)：B2 D(5)：E
1
1 1 2
1
-1 -1 0
1
1 1 -2
-1
1 -1 0
-1
-1 1 0
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2) 用群的不可约表示对能级做分类 用分离变量法求解哈密顿方程： X'' E1 X 0 令Ψ(x,y) = X(x)Y(y)，代入哈密顿方程，得 Y'' E2Y 0
量子体系对称性的表达
量子体系的许多内在性质与其对称性是联系在一起的 通过剖析量子体系的对称群，可以将量子力学的许多问题 用群论来处理
1 哈密顿算符群 1) 哈密顿算符的对称性 设 Ĥ(r)为哈密顿算符，g为同一坐标中的线性变换，Pg为与之 对应的函数变换算符： Pg f(r) = f(g-1r)，f(r)为任意函数 有
ˆ (r ) D = H
j 1 l ( ) ji
g
( ) j
=
( ) ( ) D g E ji j j j 1
l
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即：
Ei D
j 1
l
( ) ji
g
( ) j
(r ) D(ji ) g E j (j )
哈密顿方程：HΨ = EΨ 1) 哈密顿算符群 这个系统的对称群为二面体群D4 D4的两个生成元为c4和c2：c4绕z轴转动π/2，c2绕x轴转π
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这两个生成元在坐标平面上的表示矩阵为（取基为x，y）：
0 1 D c4 1 0
Pgi r D ji g j (r )
j 1
l
这样得到的矩阵集合{ D(g)}是薛定谔方程群的一个表示 很容易证明其满足同态关系：若Ps Pt = Pst，则D(s)D(t) = D(st) l个基矢张成的本征函数空间作为哈密顿算符群的表示空间， 生成了群表示{D(g)}，本征函数φi (i = 1，2，…l)是表示空间 的基函数 因此，在不知道能量本征值的具体数值时，我们可以利用系 统的对称性来确定能级的简并度及本征函数的变换性质
j 1
l
上式两边乘以φk(α)*，并对整个空间积分，利用基函数的正交性 可得： EiDki(α)(g) = EkDki(α)(g)，即 (Ei - Ek) Dki(α)(g) = 0 由于Ei ≠ Ek，故Dki(α)(g) = 0，即D (α)(g)为对角矩阵——是可约 表示——与假设矛盾 故φi (α)基函数不可能分属于l个不同本征值 2) 若该l个不可约表示基函数分属于 m个不同的能级，同样有 (Ei - Ek) Dki(α)(g) = 0 它说明矩阵D(α)(g)为包含m个子矩阵的块对角矩阵，因而是可 约表示，与假设矛盾。 由1)和2)，构成哈密顿算符群不可约表示的基函数属同一能级
D c4
1
0 1 1 0
1 0 D c2 0 1
D4群的特征标： D4 D(1)：A1 E 1
1 0 1 D c2 0 1
c2
c2 '
2 c2 1 2 c2 ' 1
2 c4 1
c4 2 1
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定理5.2： 如果不存在偶然简并，构成哈密顿算符群不可约 表示的 Ĥ 的本征函数属于同一能级。
证明：使用反证法。 设 Ĥ(r)的l个本征函数φi (α) (i = 1，2，…l)，构成哈密顿算符 群的第α个不可约表示 1) 假定φi (α) (i = 1,2，…l ) 分属于l个不同的能级 Ei (i = 1，2，…l)，则有： Ĥ(r)φi (α) (r) = Eiφi (α) (r)， 两边以Pg作用（Pg∈PG），有 l Pg Ĥ(r)φi (α) (r) = EiPgφi (α) (r) = Ei D(ji ) g (j ) (r ) j 1 而 Pg Ĥ(r)φi (α) = Ĥ(r)Pgφi (α)
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2
应用
考虑一个无限深方形势阱的二维量子力学系统。 取ħ = 2m = 1，哈密顿量为：
0 x π, y π 2 2 H 2 2 V x, y , V x, y x y otherwise
m也不能小于f，否则说明除了{g}之外还有某个变换h，使得 Phφni也是属于能级En的本征函数，而且与以上获得的m个独立 函数是线性无关的，这样h也是体系的一个对称变换，而且 h∉{g}，这与{g}是体系的全对称群矛盾 所以{φni, i=1, 2, …f}构成的表示空间没有不变子空间：不可约
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证明： ∀Pg∈PG，有
Pgi r D ji g j (r )
j 1 l
故
ˆ r HP ˆ r H ˆ D g r Pg H ji i g i j
j 1


l
ˆ r ) D ji g ( H j
1) 无磁场条件下，费米子（电子）的两个能级A，B上的费米 子可取上、下两个方向，对应两个简并波函数，而能量相同， 这种能级简并是由系统的对称性决定的。为必然简并， 对应 不可约表示A和B。
2) 加磁场后系统对称性被破坏，费米子取向不同时具有不同能 量，能级发生分裂。系统对称性降低导致能级分裂。 3) 随磁场强度变化，A2、B1两能级重叠发生偶然简并。 4) P点为偶然简并点，对应的表示为A2⊕B1，随着磁场的变化， 偶然简并将会消失，在过程中系统对称性没有发生变化。 简并的波函数，构成不可约表示的基，代表着某种对称性； 偶然简并能级，和对称性无关，但也许代表着某种未知对称性
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可以证明WH为哈密顿算符群的表示空间： ∀Pg∈PG，有Pg Ĥ(r)φi(r) = PgEnφi(r)
由Pg Ĥ = ĤPg，可得： Ĥ(r)[Pg φi(r)] = En[Pgφi(r)] 这说明Pgφi(r)仍旧为本征值En的本征函数，因此Pgφi(r)可以 用l个基函数展开，即
X π X π 0 边界条件： Y π Y π 0
本征能量： E = E1 + E2
2 X x sin mx , E m 1 方程的解为： 2 2m 1 (2 m 1) X x cos 2 x , E1 4