向量自回归模型简介

一、Var模型的基本介绍

向量自回归模型（Vector Autoregressive Models，VAR）最早由Sims（1980）提出。他认为，如果模型设定和识别不准确，那么模型就不能准确地反应经济系统的动态特性，也不能很好地进行动态模拟和政策分析。因此，VAR模型通常使用最少的经济理论假设，以时间序列的统计特征为出发点，通常对经济系统进行冲击响应（Impulse-Response）分析来了解经济系统的动态特性和冲击传导机制。由于VAR模型侧重于描述经济的动态特性，因而它不仅可以验证各种经济理论假设，而且在政策模拟上具有优越性。

VAR模型主要用于替代联立方程结构模型，提高经济预测的准确性。用联立方程模型研究宏观经济问题，是当前世界各国经济学者的一种通用做法，它把理论分析和实际统计数据结合起来，利用现行回归或非线性回归分析方法，确定经济变量之间的结构关系，构成一个由若干方程组成的模型系统。联立方程模型适合于经济结构分析，但不适合于预测：联立方程模型的预测结果的精度不高，其主要原因是需要对外生变量本身进行预测。与联立方程模型不同，VAR模型相对简洁明了，特别适合于中短期预测。目前，VAR模型在宏观经济和商业金融预测等领域获得了广泛应用。

二、VAR模型的设定

VAR模型描述在同一样本期间内的n个变量（内生变量）可以作为它们过去值的线性函数。

一个VAR(p)模型可以写成为：

或：

其中：c是n × 1常数向量，A i是n × n矩阵，p是滞后阶数，A(L)是滞后多项式矩阵，L是滞后算子。是n × 1误差向量，满足：

1. —误差项的均值为0

2. Ω—误差项的协方差矩阵为Ω（一个n × 'n正定矩阵）

3.（对于所有不为0的p都满足）—误差项不存在自相关

虽然从模型形式上来看比较简单，但在利用VAR模型进行分析之前，对模型的设定还需要意以下两点：

一是变量的选择。理论上来讲，既然VAR模型把经济作为一个系统来研究，那么模型中

包含的变量越多越好。而在实际应用中，模型中包含的变量并不是越多越好。变量个数太多会对模型估计的有效性产生影响，而且使冲击的识别更加困难，但模型中包含的变量也不能太少，太少不足以揭示经济变量之间的动态关系。因此，在使用VAR模型是，我们应根据研究问题的重点及数据样本的规模选择合适的变量个数。如果要从纯统计技术上选择变量的个数，那么我们可以利用前面章节介绍的似然函数比例方法和信息判据方法来进行变量的筛选。

二是滞后阶数的选择。对于一个包含n个变量的VAR模型，每增加一个滞后阶数，模型

中的参数就增加，增加的速度非常快，因此我们必须选择合适的滞后阶数。通常我们用信

息判据方法、似然函数比例方法及约束检验方法来选择模型的滞后阶数。

在模型设定后,VAR模型的估计比较简单，通常采用普通最小二乘法及极大似然方法来估计模型中的参数。

三、冲击响应分析

在满足稳定性条件下，可以将上面的VAR模型进行变换得到移动平均形式：

，

由此可以得到

从而，

= ,

如果确实对应实际中我们感兴趣的冲击，那么就可以利用上式进行冲击响应分析。根据此式，假设在t期经济系统受到一个单位的暂时冲击，那么系统对该冲击的响应就可以通过矩阵来刻画。如果经济系统自t期以后每期都受到一个单位的冲击，那么系统对该冲击的响应可通过矩阵来刻画。因此，通过了解系统对各种冲击的响应，我们可以详细了解系统的动态特性。

四、误差分解

对于VAR模型，我们还可以通过误差分解了解各个冲击对经济系统的影响程度。

从上面的公式可得到

)=

从而，

其中，矩阵V式误差向量的协方差矩阵。

从这里可以看出，各个冲击对系统的预测误差影响程度是不同的，我们通过误差分解，可以详细了解各个冲击在预测误差中的贡献度，从而了解各个冲击在动态分析中的重要性；而且我们可以针对不同的预测区间进行预测误差分解，从而更近一步地了解各个冲击在不同时期对系统影响的重要性。

五、VAR模型的特点

1.不以严格的经济理论为依据，在建模过程中只需明确：VAR模型中包含哪些变量和滞后期p

2.VAR模型对参数不施加零约束，即参数估计值显著与否都被保留在模型中

3.VAR模型估计的参数较多，当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大

4.VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量

5.非限制性VAR模型的应用之一是预测。由于模型右侧不含当期变量，用于预测时不必对解释变量在预测期内的取值作任何预测

六、SVAR模型

结构向量自回归模型（SVAR）可以捕捉模型系统内各个变量之间的即时的(instantaneous)结构性关系。而如果仅仅建立一个VAR模型，这样的结构关联性却被转移到了随机扰动向量的方差-协方差矩阵中了。也正是基于这个原因，VAR模型实质上是一个缩减形式，没有明确体现变量间的结构性关系。

一个结构向量自回归（Structural VAR）模型可以写成为：

其中：c0是n ×1常数向量，B i是n ×n矩阵，εt是n ×1误差向量。

一个有两个变量的结构VAR(1)可以表示为：

其中:

在一定的经济理论基础上的计量经济模型如果已经对各种冲击进行了显性的识别，那么这些模型通常可以变换为VAR或SVAR模型，VAR或SVAR模型是这些模型的简化式。但是有这些模型经过变换得到的VAR模型与一般的VAR模型并不完全相同，表现为两方面：

首先，这些模型经过变换得到的VAR模型是一种带有约束的VAR模型，我们可以通过约束检验和似然函数比例方法进行进一步检验来比较这两种模型。

其次，这些模型经过变换得到的VAR模型比一般的VAR模型有优越性的地方，但也有不足之处。通常这些模型对冲击进行了显性的识别，因而我们不需要进行冲击识别的过程，而一般的VAR模型所包含的冲击更为广泛，只有施加适当的识别条件，才能得到人们感兴趣的冲击，所以二者通常不能完全相互取代。

因此，要使这两种模型都避免Lucas批判（即当经济环境、政策体制、预期等发生变化导致深层次参数发生变化时，可能会导致模型中估计参数的变化及行为方程的不稳定，这将对政策分析和评价造成很大影响），我们需要对这两种模型进行有关的外生性检验。

参考文献：

刘斌.应用计量经济学.中国金融出版社.2010

潘省初.计量经济学中级教程.清华大学出版社.2009