上海市闸北区2016年高三数学二模(理)试卷及解析

闸北区2015学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷

一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每

个空格填对得6分，否则一律得零分．

1．设函数()(01x x

f x a a a a -=+>≠且），且(1)3f =，则(0)(1)(2)f f f ++的值是 ．

2．已知集合{||2|}A x x a =-<，2

{|230}B x x x =--<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．

3．如果复数z 满足||1z =且2

z a bi =+，其中,a b R ∈，则a b +的最大值是 ． 4．在直角坐标系xoy 中，已知三点(,1),(2,),(3,4)A a B b C ，若向量OA ，OB 在向量OC 方向上的投影相同，则34a b -的值是 ．

5．某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a 为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是 元．

6．已知1F 、2F 是椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且

12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积为9，则b = ．

7．ABC ∆中，,,a

b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边且2

2

2

ac c b a +=-，若ABC ∆最大边长sin 2sin C A =，则ABC ∆最小边的边长为 ．

8．在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________． 9．如右图，A 、B 是直线l 上的两点，且2AB =，两个半径相等的动圆分别与l 相切于A 、B 两点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，圆弧CB 与线段

AB 围成图形面积S 的取值范围是 ．

10．设函数2

()1f x x =-，对任意⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23

x ，2

4()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+

⎪⎝⎭

恒成立，则实数m 的取值范围是 ．

二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确

的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 11．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:P ||1a b ->是命题5:[

,

)26Q ππ

θ∈的

( )

C

B

A

l

D 1 . A 1

C

E

A

B

C

D B 1

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充分且必要条件

D ．非充分且非必要条件

12．已知,,,S

A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB == BC =

O 的表面积等于（ ）

A ．π4

B ．π3

C ．π2

D ．π

13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的论

断中正确的是（ ）

A ．一定是等差数列

B ．一定是等比数列

C ．可能是等差数列，但不会是等比数列

D ．可能是等比数列，但不会是等差数列

三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对

应的题号）内写出必要的步骤．

14．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）

在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11AA =，点E 在棱AB 上移动. （1）探求AE 等于何值时，直线1D E 与

平面11AA D D 成45角；

（2）点E 移动为棱AB 中点时，求点E 到

平面11A DC 的距离．

15、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满

足42+=

x P (其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本)1

(6P

P +万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为)20

4(P

+元／件．

（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；

（2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 16．（本题满分15分，第（1）小题7分，第（2）小题8分）

已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的周期为π，图象的一个对称中心为

π,04⎛⎫

⎪⎝⎭

.将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到

的图象向右平移2

π

个单位长度后得到函数()g x 的图象． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；

（2）求证：存在0(

,)64

x ππ

∈，使得0()f x ，0()g x ，00()()f x g x ⋅能按照某种顺序．．．．

成等差数列．

17．（本题满分16分，第（1）小题8分，第（2）小题8分）

若动点M 到定点(0,1)A 与定直线:3l y =的距离之和为4．

（1）求点M 的轨迹方程，并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图；

（2）记（1）得到的轨迹为曲线C ，问曲线C 上关于点(0,)()B t t R ∈对称的不同点有几对？

请说明理由．

18．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（2）小题8分）

已知数列{}n a ，n S 为其前n 项的和，满足(1)

2

n n n S +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列1

{

}n

a 的前n 项和为n T ，数列{}n T 的前n 项和为n R ，求证：当2,*n n N ≥∈时1(1)n n R n T -=-；

（3）已知当*n N ∈，且6n ≥时有1(1)()32

n m

m n -<+，其中1,2,,m n =，求满足

34(2)(3)n a n n n n n a ++

++=+的所有n 的值．

高三数学（理科）期中练习卷参考答案

一、

填空题

1、12

2、3a ≥ 3 4、2 5、5000