二次函数几种解析式的求法

二次函数的解析式求法

求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考

试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。

一、 三点型

例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函

数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2

+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2

-3x+5.

这种方法是将坐标代入y=ax 2

+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2

+bx+c.

二、交点型

例2 已知抛物线y=-2x 2

+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2

+bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。

分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2

+8x-9

的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y=

x

x 23

212 .

三、顶点型

例 3 已知抛物线y=ax 2

+bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2

+k.在本题中可设y=a(x+1)2

+4.

再将点(1,2)代入求得a=-21

∴y=-,

4)1(21

2++x 即y=-.27

2

12+

-x x

由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。

四、平移型

例 4 二次函数y=x 2

+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函

数

,122

+-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.

分析 逆用平移分式，将函数y=x 2

-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。

∴y=x

3)3(2

2

--=++x c bx =x .662

+-x ∴b=-6,c=6.

因此选（B ）

五、弦比型

例 5 已知二次函y=ax 2

+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=

a ∆

就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2

+8x-6.

六、识图型

例 6 如图1，抛物线y=

c

x

b

x+

+

+)2

(

2

1

2

与y=

d

x

b

x+

-

+)2

(

2

1

2

其中一条的顶点为P，另一条与X轴交于M、N两点。

（1）试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点？

（2）求两条抛物线的解析式。

解（1）抛物线y=

c

x

b

x+

+

+)2

(

2

1

2

与x轴交于M，N两点（过程从略）；

（2）因y=

d

x

b

x+

-

+)2

(

2

1

2

的顶点坐标为（0，1），

∴b-2=0,d=1, ∴b=2.

∴Y=

1

2

1

2+

x

.

将点N的坐标与b=2分别代入y=

2

2

1

x

+(b+2)x+c得c=6.

∴y=

2

2

1

x

+4x+6

七、面积型

例 7 已知抛物线y=x c

bx+

+2的对称轴在 y轴的右侧，且抛物线与 y轴交于Q（0，-3），与x轴的交点为A、B，顶点为P，ΔPAB的面积为8。求其解析式。

解将（0，-3）代入y=c

bx

x+

+

2

得 c=-3.

由弦长公式，得

12

2+

=b

AB

点P 的纵坐标为4122

b --

由面积公式，得

.841212212

2=--⋅+b b

解得.2±=b

因对称轴在y 轴的右侧,∴ b=-2.

所以解析式为y=322

--x x

八、几何型

例 8 已知二次函数y=2

x -mx+2m-4如果抛物线与x 轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。 解 由弦比公式，得AB=

4

)42(42-=--m m m

顶点C 的纵坐标为-4)4(2

-m

∵ΔABC 为等边三角形

∴

4

32

1

4)4(2-⋅=--m m

解得m=4,32±故所求解析式为 y=,344)324(2

+++-x x

或y=

344)324(2-+--x x

九、三角型

例 9已知抛物线y=c bx x ++2

的图象经过三点（0，2512

）、（sinA ，0）、（sinB ，0）且

A 、

B 为直角三角形的两个锐角，求其解析式。 解 ∵A+B=900

，∴sinB=cosA. 则由根与系数的关系，可得