二次函数几种解析式的求法

二次函数的解析式求法

求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考

试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。

一、 三点型

例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函

数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2

+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2

-3x+5.

这种方法是将坐标代入y=ax 2

+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2

+bx+c.

二、交点型

例2 已知抛物线y=-2x 2

+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2

+bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。

分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2

+8x-9

的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y=

x

x 23

212 .

三、顶点型

例 3 已知抛物线y=ax 2

+bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2

+k.在本题中可设y=a(x+1)2

+4.

再将点(1,2)代入求得a=-21

∴y=-,

4)1(21

2++x 即y=-.27

2

12+

-x x

由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。

四、平移型

例 4 二次函数y=x 2

+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函

数

,122

+-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.

分析 逆用平移分式，将函数y=x 2

-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。

∴y=x

3)3(2

2

--=++x c bx =x .662

+-x ∴b=-6,c=6.

因此选（B ）

五、弦比型

例 5 已知二次函y=ax 2

+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=

a ?

就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2

+8x-6.

六、识图型

例 6 如图1，抛物线y=

c

x

b

x+

+

+)2

(

2

1

2

与y=

d

x

b

x+

-

+)2

(

2

1

2

其中一条的顶点为P，另一条与X轴交于M、N两点。

（1）试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点？

（2）求两条抛物线的解析式。

解（1）抛物线y=

c

x

b

x+

+

+)2

(

2

1

2

与x轴交于M，N两点（过程从略）；

（2）因y=

d

x

b

x+

-

+)2

(

2

1

2

的顶点坐标为（0，1），

∴b-2=0,d=1, ∴b=2.

∴Y=

1

2

1

2+

x

.

将点N的坐标与b=2分别代入y=

2

2

1

x

+(b+2)x+c得c=6.

∴y=

2

2

1

x

+4x+6

七、面积型

例 7 已知抛物线y=x c

bx+

+2的对称轴在 y轴的右侧，且抛物线与 y轴交于Q（0，-3），与x轴的交点为A、B，顶点为P，ΔPAB的面积为8。求其解析式。

解将（0，-3）代入y=c

bx

x+

+

2

得 c=-3.

由弦长公式，得

12

2+

=b

AB

点P 的纵坐标为4122

b --

由面积公式，得

.841212212

2=--?+b b

解得.2±=b

因对称轴在y 轴的右侧,∴ b=-2.

所以解析式为y=322

--x x

八、几何型

例 8 已知二次函数y=2

x -mx+2m-4如果抛物线与x 轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。 解 由弦比公式，得AB=

4

)42(42-=--m m m

顶点C 的纵坐标为-4)4(2

-m

∵ΔABC 为等边三角形

∴

4

32

1

4)4(2-?=--m m

解得m=4,32±故所求解析式为 y=,344)324(2

+++-x x

或y=

344)324(2-+--x x

九、三角型

例 9已知抛物线y=c bx x ++2

的图象经过三点（0，2512

）、（sinA ，0）、（sinB ，0）且

A 、

B 为直角三角形的两个锐角，求其解析式。 解 ∵A+B=900

，∴sinB=cosA. 则由根与系数的关系，可得

??

?=?-=+c A A b A A cos sin cos sin

将（0，2512）代入解析式，得c=.

2512

（1）2)2(2

?-,得

,125242=-

b ∴

57±=b ∵-b ,0?∴b=-57

所以解析式为y=2512572+-

x x

十、综合型

例 10 如图2，已知抛物线y=-q px x ++2

与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点， 若∠ACB=900

，且tg ∠CAO-tg ∠CBO=2，求其解析式．

解 设A ，B 两点的横坐标分别为x 21,x ,则q=(-x .)21OB OA x ?=? 由ΔAOC ～ΔCOB ，可得OC 2

=OA ·OB ， ∴q 2

=q 解得q 1=1,q 2=0（舍去），

又由tg ∠CAO-tg ∠CBO=2得2=-OB OC

OA OC

即

2

1 1

2 1=

-

-

X

X

∴x1+x2=-2x1x 2即 p=2p=2

所以解析式为y=-x2+2x+1

函数及其图象

例 1.二次函数性质的应用

例 2.利用二次函数性质求点的坐标

∴a(1-3)2-2=0∴a=

∴所求二次函数解析式为y=x2-3x+

(2)∵ΔP A B的面积为12个平方单位，｜A B｜=4

∴×4×｜P y｜=12∴｜P y｜=6∴P g=±6

但抛物线开口向上，函数值最小为-2，∴P y=-6应舍去，∴P g=6又点P在抛物线上，

∴6=x2-3x+

x1=-1,x2=7

即点P的坐标为(-1，6)或(7，6)

说明：此题如果设图象与x轴交点横坐标为x1，x2，运用公式｜x1-x2｜=，会使运算繁琐。这里利用抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标，比较简便。

例8.如图，矩形E F G H内接于ΔA B C。E、F在A C边上H、G分别在A B、B C边上，A C=8c m,高B D=6c m,设矩形的宽H E为x(c m)。试求出矩形E F G H的面积y(c m2)与矩形E F G H的宽x(c m)间的函数关系式，并回答当矩形的宽取多长时，它的面积最大，最大面积是多少?

解：∵四边形E F G H是矩形

∴H G∥A C

∴ΔA B C∽ΔH B G

设B D交H G于M

则B D与B M分别是ΔA B C和ΔH B G的高。

∴

∵H G∥A C,

∴M D=H E=x,B M=6-x

∴,

∴H G=

∵y=S矩形E F G H=H E*H G

∴y=x*

整理得y=-x2+8x

∵B D=6

∴自变量x的取值范围是0＜x＜6∵x2的系数为-＜0，

∴y有最大值

当x=-=3时，

y最大值==12

∴所求函数的解析式为y=-x2+8x(0＜x＜6)，当它的宽为3c m时，矩形E F G H面积最大，最大面积为12c m2。

例9.二次函数y=a x2+b x-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，设x1,x2是方程a x2+b x-5=0的两个根，且x12+x22=26,又设二次函数图象顶点为A，

(1)求二次函数的解析式

(2)求原点O到直线A B的距离

解(1)如图

∵-=3∴-=6

又x1+x2=-=6

x1*x2=-

由已知，有x12+x22=26，

∴(x1+x2)2-2x1x2=26

即(-)2+=26,=26-36

解得a=-1

∴解析式为y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4

(2)∵O B=5,O C=4,A C=3

∴A B==3

又O A==5

∴ΔA O B为等腰三角形，作O D⊥A B于D，

∴B D=

∴O D=,

即原点O到直线A B的距离为

三、同步测试：

选择题：

1.如果点P(3m-p,1-m)是第三象限的整数点，那么P点坐标是()

(A).(-2，-1)(B)(-3，-1)(C)(-3，-2)(D)(-4，-2)

2.若点P(a,b)在第二、四象限两轴夹角平分线上，则a与b的关系是()

(A)a=b(B)a=-b(C)a=｜b｜(D)｜a｜=b

3.点P(x,y)在第二象限，且｜x｜=2，｜y｜=3,则点P关于x轴对称点的坐标为()

(A)(-2，3)(B)(2，-3)(C)(-2，-3)(D)(2，3)

4.函数y=中，自变量x的取值范围是()

(A)x≤2(B)x＜2(C)x≠2(D)x＞2

5.函数y=中，自变量x的取值范围是()

(A)x＞-2且x≠1(B)x≥-2且x≠1

(C)x≥-2且x≠±1(D)x≥-2或x≠±1

6.在下列函数中，成正比例函数关系的是()

(A)圆的面积与它的周长

(B)矩形面积是定值，矩形的长与宽

(C)正方形面积与它的边长

(D)当底边一定时，三角形面积与底边上的高

7.函数y=k(x-1)与y=(k＜o)在同一坐标系下的图象大致如图()

8.如果直线y=k x+b的图象过二、三、四象限，那么()

(A)k＞0,b＞0(B)k＞0，b＜0

(C)k＜0，b＞0(D)k＜0，b＜0

9.对于抛物线y=-+x-x2，下列结论正确的是()

(A)开口向上，顶点坐标是(，0)

(B)开口向下，顶点坐标是(，0)

(C)开口向下，顶点坐标是(-，)

(D)开口向上，顶点坐标是(-，-)

10.若a＞0,b＜0则函数y=a x2+b x的图象是下面图中的()

11.已知：二次函数y=a x2+b x+c的图象如图，则()

(A)a＞0,b＞0,c＞0,Δ＜0

(B)a＜0,b＞0,c＜0,Δ＞0

(C)a＞0,b＜0,c＜0,Δ＞0

(D)a＜0,b＜0,c＞0,Δ＜0

12.把函数y=2x2-4x-5的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得到的函数图象的解析式为()

(A)y=2x2+4x-8(B)y=2x2-8x+8

(C)y=2x2+4x-2(D)y=2x2-8x-2

填空题

13.点A(，-5)到x轴的距离是____；到y轴的距离是____；到原点的距离是____.

14.直线y=k x+b与直线y=-x平行，且通过点(2，-3)，则k=__，在y轴上的截距为___.

15.一次函数的图象经过(1，-5)点且与y轴交于(0，-1)点，则一次函数的解析式为____.

16.已知抛物线的顶点为M(4，8)且经过坐标原点，则抛物线所对应的二次函数的解析式为____.

解答题：

17.一次函y=x+分别与x轴，y轴交于点A，B，点C(0,a)且a＜0，若∠B A C为直角，求图象过点C与点A的一次函数解析式。

18.已知如图，在ΔA B C中，A B=4，A C=6,D是A B边上一点，E是A C边上一点，∠A D E=∠C,设

D B=x,A E=y。

(1)求出y与x的函数关系式；

(2)画出这个函数图象。

19.在直角坐标系x o y中，直线l过点(4，0)，且与x，y轴围成的直角三角形面积为8，一个二次函数图象过直线l与两坐标轴的交点，且以x=3为对称轴，开口向下。求二次函数的解析式及函数的最大值。

20.已知抛物线y=x2-m x+(2m+3)(m是不小于-2的整数)与x轴相交于A、B两点，且A、B两点间的距离恰是顶点到y轴距离的2倍。

(1)求这条抛物线的函数解析式；

(2)如果D(t,2)是抛物线上一点且在第一象限，求D点坐标。

四.提示与答案

1.B

2.B

3.C

4.B

5.C

6.D

7.A

8.D

9.B10.C11.B12.A13.5，3，2

14.-，-215.y=-4x-116.y=-x2+4x

17.y=-x-

18.(1)y=-x+(0≤x＜4)；(2)图略

19.y=-x2+3x-4,最大值为.

20.(1)y=x2+2x-1;(2)D(1,2)