第六章实数知识点归纳及典型例题

第十三章实数----知识点总结

一、算术平方根

1. 算术平方根的定义： 一般地，如果 的 等于a ，即 ，那么这个正数x 叫

做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为 ，读作“根号a ”，a 叫做 ．

规定：0的算术平方根是0.

也就是，在等式a x =2 (x ≥0)中，规定a x =

。 理解： a x =2 (x ≥0) a x =

a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x 2. a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；

当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。

3. 当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)；

4. 夹值法及估计一个（无理）数的大小（方法： ）

二、平方根

1. 平方根的定义：如果 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的 ．即：如果 ，

那么x 叫做a 的 ．

理解： a x =2 <—> a x ±=

a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x

2.开平方的定义：求一个数的 的运算，叫做 ．开平方运算的被开方数必须是 才

有意义。

3. 平方与开平方 ：±3的平方等于9，9的平方根是±3

4. 一个正数有 平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；

一个负数 平方根，即负数不能进行开平方运算

5. 符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；

正数a 的负的平方根可用-a 表示．

6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：

区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；

联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。

三、立方根

1. 立方根的定义：如果 的 等于a ，这个数叫做a 的 （也叫

做 ），即如果 ，那么x 叫做a 的立方根。

2. 一个数a

“三次根号a ”，

其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。

理解： a x =3 <—> 3a x =

a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x

3. 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；

一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。

4. 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，

即)0a =>。

四、实数

1. 有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

2. 无理数的定义：无限不循环小数叫无理数

3. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数

⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数

4.

，π

是正无理数，

，π-是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数正无理数正有理数正实数实数0

5. 实数与数轴上点的关系：

每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，

数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，

实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。

与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大

6. 数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数。

7. 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身；

一个负实数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0。

8. 无限小数是有理数（ ） 无限小数是无理数（ ）

有理数是无限小数（ ） 无理数是无限小数（ ）

数轴上的点都可以用有理数表示（ ） 有理数都可以由数轴上的点表示（ ） 数轴上的点都可以用无理数表示（ ） 无理数都可以由数轴上的点表示（ ） 数轴上的点都可以用实数表示（ ） 实数都可以由数轴上的点表示（ ）

五、考点分析

类型一、有关概念的识别

例1．下面几个数：57

223064.0010010001.1,7231.03，，，，π-⋅⋅ ，其中，无理数的个数有

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

【变式1】下列说法中正确的是（ ）

A 、81的平方根是±3

B 、1的立方根是±1

C 、11±=

D 、5-是5的平方根的相反数

【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是（ ） A 、1.5 B 、1.4 C 、2 D 、3 类型二、计算类型题

例2．设a =26，则下列结论正确的是（ ）

A. B. C. D. 举一反三：

【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________.

3）___________，

___________，___________. 【变式2】求下列各式中的

（1）252=x （2）()912

=-x （3）643-=x

类型三、数形结合

例3. 点A 在数轴上表示的数为53，点B 在数轴上表示的数为2，则A ，B 两点的距离为______