血管的三维重建(一等奖)
CT三维重建
VE
MinIP
与MIP相反，是由最小强度的像素 投影而成，主要用于肺部支气管扩张的 评价。
支气管扩张（MPR）
支气管扩张（MinIP）
支气管扩张（VR）
影响三维重建的主要因素（一）
1、层厚（准直器宽度） 层厚越大，断层图像 的增强噪声比（CNR）越高，但部分容积效应 越明显，越不利于细微结构成像。 2、重建方式 “bone”、“sharp”、“normal”、 “smooth”四种重建方式所得噪声等级依次下 降，CNR升高，但三维重建显示细微结构能力 （如末梢血管成像长度）依次降低。
MPR（冠位、矢位、轴位及斜位）
CPR
MIP
三维体元数据沿给定的任意方向进行投影， 每条投射线经过的所有体元取其遇到的最大值， 得到投影图像。不存在阈值，信息较SSD丢失少， 能描绘X线衰减值的差异。 优点：①一幅图像可以概括整体立体空间的 灰阶信息；②是完全客观的投影，对高密度物体 不会遗漏，如钙化灶。 缺点：①投影物体前后重叠导致空间关系不 明；②图像噪声大。
血管畸形诊断检查方法
1、DSA、CT、MR ，有其优缺点。 2、DSA是最可靠的方法，可以直接显示异常血管、 供血动脉与引流静脉之间的关系，但是创伤性检 查，并有一定危险性，严重的可导致死亡。 3、CT 缺乏特征性，显示病灶的继发性改变，例如 钙化、出血、脑梗塞、萎缩及软化等较好，对异 常供血动脉及引流静脉不能显示。增强CT显示畸 形的血管，有不同程度的创伤，少数可能出现过 敏反应，有一定的危险性。
三维重建方式
1、多平面或曲面重组法（Multiple or Curved Plannar Format, MPR or CPR） 2、最大密度投影法（Maximum Intensity Projection, MIP） 3、表面阴影显示法（Shaded Surface Display, SSD） 4、容积重建法（Volume Rendering, VR） 5、仿真内窥镜 （Virtual endoscopy, VE） 6、最小密度投影法（Minimum Intensity Projection, MinIP）
数学建模血管的三维重建问题
A题血管的三维重建问题摘要：本论文讨论基于切片的血管三维重建问题。
其背景是：采取存储二维切片信息，使用时再利用切片信息重建原物体三维形态的方法，可以有效地保存和利用三维信息。
此技术在实际中有很大的用途，在医学和其他领域有广泛的应用。
如要将人体全部三维信息，包含内部错综复杂的结构，完整地存储在计算机中，以现在的技术也是有一定难度的，但若改用存储人体切片信息，使用时重建再现的方法，则是利用现有技术可以解决的。
本论文基于题中对血管形态的假设，建立管道中轴线参数方程，并综合考虑实际情况中由于切片厚度及数字图像离散化带来的偏差，通过在每张切片图像中搜索其中阴影区域所能包含的最大圆面，确定管半径为R=29，在此基础上，将每张切片图像中阴影区域所能包含的半径大于等于R的圆面圆心作为中轴线与各切片交点（即中心点）的候选点集合。
本模型使用了三种改进算法对该候选点集进行筛选以确定实际交点。
最终迭代算法简述如下：1．对每个切片，建立中心点的候选点集，并取点集的中位点为中心点初值2．利用得到的中心点建立中轴线方程3．利用中轴线方程推导导数信息，根据导数信息比例选取中心点的候选点集的某点作为中心点的新值4．重复步骤2、3，直至结果达到较稳定状态为止5．输出中心点及中轴线方程在模型建立中，对选取侯选点集、求中位点、利用导数信息进行比例选取均给出完整的算法，并且对半径确定、候选点选取、采用导数作为比例选取依据等问题给出详尽的证明。
考虑到实际血管的中轴线应充分光滑，计算最终中轴线参数表达式时采取了六阶多项式拟合。
最后用还原的血管形态模拟切片过程可以得到一系列数字图像，与原切片图像进行比较，可以检验模型的合理性及精度。
该模型最终计算结果如下。
血管中轴线示意图从模型结果中看出，中心点分布均匀稳定，模拟检验的切片数字图像与原切片的数字图像吻合较好，模型结果精度及稳定性符合要求。
本模型算法简明，理论严密，比例选取算法使结果中心点尽可能收敛于真实中心点，迭代算法保证了结果的精度和稳定性，符合题目要求。
三维血管的重建
血管的三维重建摘要对于血管的三维重建，本文研究了血管这一类特殊管道的中轴线及其半径的算法，绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图这些问题，问题分为三部分。
针对第一部分，先将100张切片图片在MATLAB 中导出生成0-1矩阵数据，在计算100张切片的最大内切圆半径及对应圆心坐标，为减小误差求100张切片最大内切圆的平均半径41666.29 d 。
中轴线的曲线方程可在MATLAB 中拟合得到。
针对第二部分，得到中轴线曲线方程在MATLAB 中绘制出中轴线方程的空间曲线，之后将其投影在XY 、YZ 、ZX 平面上。
针对第三部分，对100张切片进行叠加重合，得到血管的三维立体图，再通过MATLAB 对血管的三维立体图进行优化完成血管的三维重建。
关键词：MATLAB 软件管道半径中轴线曲线方程一、问题重述1.1基本情况断面可用于了解生物组织、器官等的形态。
如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。
根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
1.2相关信息假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。
现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。
图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。
取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。
Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为（-256，-256，z），（-256，-255，z），…（-256，255，z），（-255，-256，z），（-255，-255，z），…（-255，255，z），……（255，-256，z），（255，-255，z），…（255，255，z）。
1.3提出的问题问题一：计算出管道的中轴线与半径，给出具体的算法。
对血管切片做三维重建的一种方法
可 知 ， 存 在 一 点 ∈ ： ， ： 使 得 ｒ（） ｏ 即 半径 存 在 最 大 必 ∈ ｆ ， ＝ ’ 一 ． ｛ 值 ， 于 球 心 在 截 面 上时 对 应 相 交 所 得 圆 最 太 ， 以 ． 时 所 由 所 此
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对 血 管 切 片做 三 维 重建 的 一种 方 法
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生 物 医 学 工 程 系 物 理 学 教 研 室 西 西 安 ７ ９ ３ ， 空 军 工 陕 １ ０ ３ 程 大 学 导 弹学 院 ． 西 三 原 ７ ３ ０ ） 陕 １８ ０
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维普资讯
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血管的三维重建数学建模
血管的三维重建数学建模
首先，血管的三维重建通常是通过医学影像学来实现的。
医学
影像学包括CT、MRI等技术，这些技术可以提供血管的断层扫描图像。
在这些图像的基础上，可以利用图像处理的方法，如边缘检测、分割等技术，来提取血管的形状和结构信息。
其次，几何建模是血管三维重建的关键环节。
在图像处理的基
础上，需要进行几何建模，将提取到的血管形状转化为数学模型。
这涉及到曲面重建、体素网格生成等技术，以及对血管内部结构的
建模。
另外，数学算法在血管三维重建中也起着重要作用。
例如，曲
面重建可以利用曲面拟合算法，体素网格生成可以利用体细胞自动
机等算法。
此外，对血管的分支、扭曲等特征的识别和建模也需要
借助数学算法来实现。
除此之外，血管的三维重建数学建模还涉及到计算机图形学、
计算几何学等领域的知识。
这些知识和技术的综合运用，可以实现
对血管形状、结构和特征的全面建模和重建。
总的来说，血管的三维重建数学建模是一个复杂而多样化的过程，涉及到多个学科和领域的知识。
通过综合运用图像处理、几何建模、数学算法等技术，可以实现对血管的全面、准确的三维重建和建模。
血管的三维重建
作者：张雄、李宁娟、贾雪娟血管的三维重建摘要随着现代医学的发展，科学对人类病例的研究不再局限在表面现象，在实际研究中利用断面可了解生物组织、器官等的的横截面形态和结构.从而可大大提高人类对某些疾病的预防和治疗.针对这一问题，本文由血管的100张连续的平行切片图象计算血管的中轴线与半径，并绘制血管在三个坐标平面上的投影来探讨血管的三维重建.由于血管的表面是由球心沿着某一曲线（即中轴线）的球滚动而成，由此我们得出结论:每个切片一定包含滚动球的大圆，并且他一定为切片的最大内切圆，而最大圆对应的半径即为血管的半径，所以求血管半径就转化为求每一个切片内部的点到切片外部轮廓线的所有最短距离中的最大值即为血管半径.本文从100张切片图中随机抽取11张切片图，运用MATLAB软件，得到其最大内切圆的圆心及半径，求取平均值，再用圆心拟合求出中轴线.最后根据中轴线求出它在XY、YZ、ZX平面的投影图.关键字MATLAB软件中轴线半径平均法一、问题重述断面可用于了解生物组织，器官等的形态.例如，将样本染色后切成厚约的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构.如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察.根据拍照并采样得到的平行切片数字图像，运用计算机可重建组织、器官等准确的三位形态.假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线的球滚动包络而成.现有某管道的相继张平行切片图像，记录了管道与切片的交.图像文件名依次为0.bmp、1.bmp、2.bmp…100.bmp，格式均为bmp，宽，高均为512个象素.为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点;球半径固定；切片间距以及图像象素的尺寸均为.试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图.二、模型假设1.假设管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；2.假设球半径固定；3.假设切片间距以及图像象素的尺寸均为；4.假设血管无严重扭曲；5.假设切片拍摄不存在误差，数据误差仅与切片数字图像的分辨率有关.三、符号说明i内点的X轴坐标j内点的y轴坐标m切片轮廓线上的点的X轴坐标n切片轮廓线上的点的y轴坐标t坐标为ij的内点到轮廓线的距离ijr第i张切片图的最大内切圆半径i四、模型分析对于这个血管的三维重建模型，由于血管的表面是由球心沿着某一曲线（即中轴线）的球滚动而成，我们对此得出结论: 若切片与中轴线有交点，且管道的法向横断面是圆，则该切片必含有半径与球体相同的最大圆，即为切片的最大内切圆，而最大圆对应的半径即为血管的半径，圆心则在交点处.所以求血管半径就转化为求每一个切片内部的点到切片外部轮廓线的最大半径.利用计算机，运用MATLAB软件，搜索出100张切片图的最大内切圆的半径，并找到每张切片中轴线与切片交点的坐标，记为中轴线坐标，即圆心坐标.利用这些坐标，求出血管的中轴线.在根据中轴线求出它在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图.五、 模型的建立与求解（1）半径和圆心的求取（见附录1）a :运用MA软件将每张切片的bmp 文件转化为01-矩阵，0代表黑色，1代表白色.同时将切片的轮廓线也存为01-矩阵.b : 在100张图片中随机抽取了11张切片的图片（0.bmp 、9.bmp …99.bmp ），做出它们的轮廓线，找出每个内点距离轮廓线的最小距离i t ，即为以这个内点为圆心的最小内切圆的半径；ij t =min()i ij t t =在以内点为圆心的最小内切圆中找出距离最大的那个内切圆，即为这幅图的最大内切圆，该内点的坐标即为圆心的坐标，该距离即为最大内切圆的半径i r （见表一）.max()i i r t = 表一c:用算数平均法求取半径.100 11ii rr==∑即29.7367r=（2）求解拟合曲线的方程及平面投影图通过表1的数据, 运用MATLAB 软件先进行4次线性拟合得xoz 面的投影图，再进行6次线性拟合得yoz 及xoy 面的投影图和中轴线的空间分布图及拟合方程.图依次如下： （附录2和3）中轴线在xoz 面的拟合方程：1.955z =⨯5410x -+333.39210x -⨯-121.20210 1.13595.343x x -⨯++中轴线在yoz 面的拟合方程：1061.34210z x -=⨯+85644.02110 4.55310x x --⨯+⨯+43322.25910 4.14210x x --⨯+⨯+22.76910 2.563x -⨯+中轴线在0x y 面的拟合方程：156115940.710 1.190107.94410z x x x ---=-⨯+⨯-⨯+632.75410x -⨯4225.24510 5.26110 1.802x x ---⨯+⨯-六、模型评价及改进模型评价由于解决三维血管重组这问题问题十分繁杂，文中没有数据，故而在处理数据时应用了MATLAB等数学处理软件对图片进行处理得出大量数据并采用算数平均法进行了科学精确地处理，保证了数据整合以及结果计算的精准度；本文选取的数据较少，使得结果存在一定的误差,同时采用动态地逼近最大内切圆半径的求解过程，其计算量庞大.模型改进本文针对三维血管重组问题分别找出血管的中心轴、半径以及在xoy、yoz、zox、的投影和xyz的空间图形建立模型，对于这类模型可推广到其他更广范围.可运用于研究人体的其他器官的形态结构，为人类的医学作出大量的贡献.七、参考文献【1】赵静、但琦，数学建模与数学实验（第二版），北京：高等教育出版社【2】朱道远，数学案例精选，北京：科学出版社，2003.【3】薛定宇陈阳泉，高等应用数学问题的MATLAB求解，北京清华大学出版社八、附录1、找出半径及圆心坐标p=ones(512,512);p2=ones(512,512);s=sprintf('d:\\99.bmp');%'*'是我们所选的第*张图p(:,:)=imread(s);p2(:,:)=edge(p(:,:));imshow(p2(:,:));ff=555*ones(512,512);%”555“这个数必须大于实际半径for i=1:512for j=1:512if p (i,j)==0for m=1:512for n=1:512if p2(m,n)==1t1=sqrt((i-m)*(i-m)+(j-n)*(j-n));if ff(i,j)>t1ff(i,j)=t1;endendendendendendendfor i=1:512for j=1:512if ff(i,j)==555 %这个数与上面的一致ff(i,j)=0;%这个数应该小于等于0endendendr=max(max(ff(:,:)));for j=1:512for i=1:512if r-ff(i,j)<0.1%'0.1'是确定它的误差c1=i;c2=j;endendendrc1 %'c1'是空间中x轴的坐标c2 %'c2'是空间中y轴的坐标2、中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图z=[0,9,19,29,39,49,59,69,79,89,99];c1=[96,96,96,96,115,146,202,268,361,396,446];c2=[257,259,268,290,338,377,411,423,396,369,257];A=polyfit(z,c1,4)B=polyfit(z,c2,6);C=polyfit(c1,c2,6);x=polyval(A,z);y=polyval(B,z);figure(1)plot(x,y)title('血管的中轴线在xoy面的投影')xlabel('x')ylabel('y')grid onprint(1,'-djpeg','e:\xoy.jpeg');figure(2)plot(x,z)title('血管的中轴线在xoz面的投影')xlabel('x')ylabel('z')grid onprint(2,'-djpeg','e:\zox.jpeg');figure(3)plot(y,z)3、拟合方程A=polyfit(z,c1,4)%（中轴线在xoz面的拟合方程）B=polyfit(z,c2,6)%（中轴线在yoz面的拟合方程）C=polyfit(c1,c2,6)%( 中轴线在xoy面的拟合方程)。
肝和肝血管三维重建的临床应用
肝和肝血管三维重建的临床应用目的对肝脏和肝血管进行三维重建可视化并进行肝分段，探讨其意义及临床应用。
方法利用Mimics软件对24例晚期弥漫性肝癌患者CT扫描数据进行图像分割并进行三维重建，根据每个患者肝血管的分支和Couinaud分段法对肝脏进行个体化分段，计算肝和各肝段的平均体积。
结果重建后获得形态逼真的肝脏和肝血管的三维模型，测得患者全肝平均体积达（2683.26±671.53）cm3。
对肝脏进行了分段，通过三维模型能准确计算出各肝段的平均体积。
结论三维重建、肝脏分段和体积测量为患者的诊断、后续治疗和手术风险评估提供了参考，来源于活人体的三维图形也可以用于科研和教学。
标签：肝；肝血管；三维重建；肝切除术近年来，随着信息技术的发展，计算机软件技术被应用于医学研究的各个领域，对医学领域产生了重大的影响，并随之诞生了一系列医学相关的计算机软件[1-2]，基于连续CT扫描数据集的三维重建也有了很大的发展。
曾经有学者对正常肝脏的三维重建进行研究[3-5]，但对于肝癌患者的个体化三维重建的研究却很少。
本研究利用Mimics软件，对24例晚期弥漫性肝癌（diffuse hepatocellular carcinoma，DHCC）患者64排螺旋CT扫描数据进行图像分割与三维重建，并对肝的三维模型进行了Couinaud分段，计算出各肝段的体积，显示三维模型有重要的临床参考价值。
1 材料与方法1.1 一般材料收集2009年3月～2011年8月由青岛大学医学院附属医院收治后被确诊为未伴有病毒性肝炎的弥漫型肝癌的24例晚期DHCC患者胸腹部64排螺旋CT 扫描数据集，男性16例，女性8例，年龄45～67岁。
图像数据分为肝动脉期、门静脉期和平衡期。
主要扫描条件为：管电压120 kV，管电流45.5 mAs，层厚1 mm。
图像参数：长512像素，宽512像素，像素大小0.699 mm。
1.2 研究平台硬件平台：个人计算机（PC），处理器Intel（R）Core i3，安装内存2G，显卡ATI Mobility Radeon HD 4500 Series。
医学专题血管切片的三维重建
们知道，因为中轴线是由两条三次样条插值曲线 分别沿着它们所在平面的垂直方向扩展的两个曲 面相交而得到的，而不能由那三个曲面的两两相 交得到的三条曲线重合得到，也就不可避免地存 在较大误差，这种方案也就存在着一定的局限性。 因此，在此基础上我们提出第二种方案。 模型2：当100个中心轴样点坐标已知后，考虑采 用样条插值将已知样点光滑连接，但实际问题是 一空间曲线的插值问题，因此与一般的一维插值 有技术上的差别。我们将Z轴坐标z视为x及y坐标 的参数，当z做单调变化时,则x(z),y(z)可分别看作 相应此参量的横、纵坐标方向的变化量，
接着，第二个程序实现了各个球心坐 标求取。确定每张切片与中轴线的交 点的坐标及半径：按理论来说，血管 截面边界是圆滑曲线，对一个球体过 球心切割，无论怎样切，都必得到一 个大圆，由假设5，每个切片包含且 仅包含一个这样的大圆，即它的最大 内切圆，圆心即球心，圆半径即球半 径。下面我们确定每张切片中最大内 切
径一个初始值。第一个切片图象可以近似地看 作一个圆，在截面的边界点中选取4个不要挨的 太近且不在两条平行线上的点，每两点相连，
得到两条线段，分别作它们的垂直平分线必相 交于一点O0，计算四个所选取的四个边界点到 这交点的距离，取一个最小的作为r0的值。因 为圆上任意一条弦的垂直平分线必过圆心，所 以O0点可以近似的看作圆心，那么管道的真实 半径一定大于r0，但不会相差很多。于是我们 就可以在计算机搜索第一张切片时加上约束条 件：如果内点到边界点的距离出现一个小于r0 就将这个内点舍
的三维形态。
假设某些血管可视为一类特殊的管 道，该管道的表面是由球心沿着某 一曲线（称为中轴线）的球滚动包 络而成。例如圆柱就是这样一种管 道，其中轴线为直线，由半径固定 的球滚动包络形成。 现有某管道的相继100张平行切片 图象，记录了管道与切片的交。图 象文
数学建模注意事项
数学建模要注意的事项核心提示：数学建模竞赛新手教程(1)--数模竞赛是什么数学建模竞赛，就是在每年叶子黄的时候(长沙的树叶好像一年到头都是绿的)开始的一项数学应用题比赛。
大家都做过数学应用题吧，不知道现在的教育改革了没有，如果没有大变化，大家都应该做过，比如说［树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只］，这样的问题就是一道数学应用题(应该是小学生的吧)，正确答案应该是9只，是吧？这样的题照样是数学建模题，不过答案就不重要了，重要的是过程。
&数学建模竞赛新手教程(1)--数模竞赛是什么数学建模竞赛，就是在每年叶子黄的时候(长沙的树叶好像一年到头都是绿的)开始的一项数学应用题比赛。
大家都做过数学应用题吧，不知道现在的教育改革了没有，如果没有大变化，大家都应该做过，比如说［树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只］，这样的问题就是一道数学应用题(应该是小学生的吧)，正确答案应该是9只，是吧？这样的题照样是数学建模题，不过答案就不重要了，重要的是过程。
真正的数学建模高手应该这样回答这道题。
“树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？”“是无声手枪或别的无声的枪吗？”“不是。
”“枪声有多大？”“80－100分贝。
”“那就是说会震的耳朵疼？”“是。
”“在这个城市里打鸟犯不犯法？”“不犯。
”“您确定那只鸟真的被打死啦？”“确定。
”“OK，树上的鸟里有没有聋子？”“没有。
”“有没有关在笼子里的？”“没有。
”“边上还有没有其他的树，树上还有没有其他鸟？”“没有。
”“有没有残疾的或饿的飞不动的鸟？”“没有。
”“算不算怀孕肚子里的小鸟？”“不算。
”“打鸟的人眼有没有花？保证是十只？”“没有花，就十只。
”“有没有傻的不怕死的？”“都怕死。
”“会不会一枪打死两只？”“不会。
“所有的鸟都可以自由活动吗？”“完全可以。
”“如果您的回答没有骗人，打死的鸟要是挂在树上没掉下来，那么就剩一只，如果掉下来，就一只不剩。
”不是开玩笑，这就是数学建模。
历年全国大学生数学建模竞赛题目
武汉理工大学队员比赛论文mcm2003_A_王蝉娟_唐兵_隗勇mcm2003_A_万丽军_唐涛_陈正旭mcm2003_A王鹏_邓科_刘文慧mcm2003_B_王雨春_钟原_李霜icm2003_C_刘旺_董显_吴辉icm2003_C_夏立_成浩_易科mcm2004_b 厉化金_谷雨_曾祥智mcm2004_b_夏立_赵明杰_高婷全国比赛优秀论文1993年A题非线性交调的频率设计1993年B题球队排名问题1994年A题逢山开路1994年B题锁具装箱1995年A题一个飞行管理模型1995年B题天车与冶炼炉的作业调度1996年A题最优捕鱼策略1996年B题节水洗衣机1997年A题零件的参数设计1997年B题截断切割1998年A题投资的收益和风险1998年B题灾情巡视路线1999年A题自动化车床管理1999年B题钻井布局2000年A题 DNA序列分类2000年B题钢管定购和运输2001年A题血管的三维重建2001年B题公交车调度中国科大老师对美国赛题目的讲解(题目可从往届试题处下载) MCM 1985 A题（王树禾教授）MCM 1985 B题（侯定丕教授）MCM 1986 A题（常庚哲教授，丁友东老师）MCM 1986 B题（李尚志教授）MCM 1988 A题（苏淳教授）MCM 1988 B题（侯定丕教授）MCM 1989 A题（赵林城老师）MCM 1989 B题（侯定丕教授）MCM 1990 A题（王树禾教授）MCM 1990 B题（王树禾教授）MCM 1991 A题（常庚哲教授，丁友东老师）MCM 1992 B题（侯定丕教授）MCM 1993 A题（苏淳教授）MCM 1993 B题（万战勇老师）MCM 1994 B题（程继新老师）美国赛优秀论文MCM 2001 UMAP MCM 2002 UMAPMCM 2003 UMAP MCM 2004 (Quick Pass)。
【 数学建模竞赛】血管的三维重建模型g资料
血管的三维重建模型摘要：本文对血管三维重建中，中轴线及球的半径确定问题进行了讨论。
首先，根据问题及图象处理提取有效数据，给出两种可行算法，利用上述数据建立了最大最小方法和二次规划方法。
搜索中心点，并给出全局和局部搜索，得到各切片中心点坐标(见表1)，并通过插值方式得到中轴线图象及其各投影。
最后对模型给出检验方式。
一 、问题的重述假设某些血管可视为一类特殊的管道,该管道的表面是由球心沿着某一曲线 (称为中轴线)的球（命名为包络球）滚动包络而成。
现有某管道的相继100张平行切片图象,记录了管道与切片的交。
假设：管道中轴线与每张图片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1.取坐标的Z 轴垂直于切片，第1张切片为平面0=Z ，第100张切片为平面99=Z . 计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图。
二、模型假设与符号说明1、 基本假设：（1） 该管道的表面为一定长半径的球沿一固定的曲线运动所得曲面族包络的光滑表面。
（2） 该管道的中轴线连续而且光滑。
（3） 该管道的中轴线与每个切面有且只有一个交点。
（4） 图象象素的尺寸为1. （5） 切片的间距尺寸为1.2、 符号说明：L 中轴线R 包络球的半径()z y x O i ,, 中轴线与第i 个切片的交点（定为此切片的中心）i S 第i 个切片切得的图形 i D 第i 个切片的图象数据矩阵三、问题分析及建模准备 问题分析：通常血管的表面可认为是连续且光滑的曲面，断面可用于了解其形态等特性。
本问题给出的是一些离散的切面，要求重建出原图中轴线和求出包络球半径。
因为每一个切面与中轴线L 有且只有一个交点i O ，如果找出所有i O ,就可以用插值或拟合的方式作出L 的近似图象，其在坐标平面上的投影就很容易画出。
问题的关健转变为求每个平面上的i O . 建模准备：1、 图象的读取由于切片图象中只有黑、白两种颜色的象素,而且所给的BMP 格式图象文 件是512×512象素的.因此,把图象读取为一个512×512的数字矩阵；用数字1表示黑色的象素，用数字0表示白色的象素。
血管的三维重建模型
血管的三维重建模型
欧文华;李炯;陈祺亮;胡代强
【期刊名称】《暨南大学学报（自然科学与医学版）》
【年(卷),期】2003(024)005
【摘要】给出了根据血管连续切片图像在电脑中重建该血管三维图像的数学模型的方法.对重建图像失真(误差)的产生原因进行了分析并给出了相应的处理方法.构造了评估重建图像效果的两个判别函数.最后应用给出的方法对给出的100张平行血管切片扫描图像在电脑中重建了该血管三维图像.
【总页数】5页(P54-58)
【作者】欧文华;李炯;陈祺亮;胡代强
【作者单位】暨南大学企管系,广东,广州,510632;暨南大学数学系,广东,广
州,510632;暨南大学数学系,广东,广州,510632;暨南大学数学系,广东,广州,510632【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
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血管的三维重建摘要本文以血管的三维重建为研究对象，对100张平行切片图像进行分析，利用这些宽、高均为512象素的切片，计算管道的半径和确定中轴线方程，并在此基础上画出重建后的血管三维图像，主要内容如下：对于问题一，计算管道的半径，由于血管表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成，可以得出结论：切片中包含的最大圆的半径即血管半径，所以问题转化为求每一切片上的最大内切圆的半径。
为了便于计算，运用Matlab imread 函数，将BMP 格式文件转化为0-1矩阵，然后运用edge bwmorph 、函数确定轮廓和骨架的位置，并求解骨架上每一点到边缘的最短距离。
这些最短距离中的最大值即为最大内切圆半径也就是血管半径。
最后对所有的半径取平均值，得出结果：100()1=29.41666100k k RR ==∑对于问题二，根据问题一中求出的100个圆心坐标及半径求解中轴线方程，运用Matlab 软件对圆心所形成的曲线进行n 阶多项式拟合。
为使中轴线较为光滑，在Matlab 拟合工具箱多次试验后，取最高阶次=7n 。
由于z 轴值是逐层单调递增的,为简化方程的计算,取t 为参变量，分别对其投影在YZ 、ZX 平面上进行多项式拟合，最后得到中轴线在平面投影上拟合的曲线方程如下：()()()-107-76-55432-107-86-55-3432-3.2310 1.16910-1.628100.00108-0.035260.5706-3.105+5.243=3.06110-9.62310+1.3610-0.640610+0.01912-0.298+1.89-1.63.3=y t t t t t t t t f x t t t t t t t t z t t ⎧=⨯+⨯⨯+⎪+⎪⎪=⨯⨯⨯⨯⎨⎪⎪⎪⎩最后根据方程画出中轴线图形，YZ YX ZX 、、平面的投影在拟合工具箱中可以直接得到。
对于问题三，根据问题一、二求出的中轴线的参数方程和100张切片的最大内切圆的半径，运用Matlab 软件画出血管的三维立体图。
关键词：血管半径 中轴线 Matlab 图像处理 三维重建一、问题重述1.1问题背景与条件生物体的外部结构具有繁杂多样性，可以通过肉眼观察，但若想了解去内部错综复杂的结构，就需要借助一定的辅助工具，人们常利用的是分解和合成的方法。
其中分解就是将生物体做成切片，而切片就是用一组等间距的平行平面将生物体中需要研究的部位切成簿薄的一片，每一片就是生物体某一横断面的图像，当人们需要了解生物体信息时，再采用合成的方法，利用切片信息重建原物体的三维形态。
这种方法在医学和其他领域有着广泛的应用，如要将人体的组织、器官、血管等的三维信息，包含内部错综复杂的结构，完整地存储在计算机中，以现在的技术也是有一定难度的，但若改用存储切片信息，使用时重建再现的方法，则是利用现有技术可以解决的。
本文为就在此背景下提出下面的问题。
1.2需要解决的问题μ的断面可用于了解生物组织、器官等的形态。
例如，将样本染色后切成厚约1m切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。
如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。
根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。
例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。
现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。
图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。
为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。
取坐标系的z轴垂直于切片，第1张切片为平面=0z，第100张切片为平面=99z。
=切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为：Z z()-256,255,z,-256,-255,z,…()-256,-256,z,()()-255,255,z，-255,-256,z,()-255,-255,z,…()……()255,-255,z,…()255,255,z，255,-256,z,()问题一：计算管道的半径。
问题二：确定管道的中轴线方程及画出中轴线在XY YZ ZX、、平面的投影图及三维立体图形。
问题三：根据中轴线及半径对血管进行三维重建。
二、模型假设结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些因素的干扰，提出以下几点假设：1、所有数据均是准确的，根据像素能够近似地描绘出图形；2、切片的厚度为一个像素；3、将血管看作一类特殊的管道，不考虑血管的弹性，即血管的半径为一常数；4、对切片拍照的过程中不存在误差，数据误差仅与切片数字图象的分辨率有关；5、中轴线上任意两点处的法截面圆不相交。
三、符号说明四、问题分析血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。
本文的主要工作是求解管道的半径及中轴线方程，绘制中轴线在XY YZ ZX 、、平面的投影图并重建血管的三维图像。
对于问题一，要求解管道的半径。
根据图片分析，除去图片“弯月”的两端之外，这一图形的宽度是保持不变的，这一宽度就是我们所要求的球的直径R 2。
由于管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成的，所以可以将问题转化为求球体的半径，也就是过球心的被截圆的半径。
题目中只给出了100张管道的切面图，这些二维图形是由无穷多个球被截的圆叠加而成的，基于：1）球的任意截面都是圆；2）经过球心的球截面是所有截圆当中半径最大的圆；3）管道中轴线与每张切片有且只有一个交点，即为球心。
所以每张切片的最大内切圆的圆心位于血管的中轴线上，该圆的半径等于血管半径，即问题就可以转化为求切片上最大内切圆的半径。
首先，运用Matlab 读取图片，将BMP 格式文件转化为0-1矩阵，通过edge bwmorph 、函数确定轮廓和骨架的位置，通过循环不断搜索计算每张图中骨架上每一点到轮廓上每一点的最短距离，然后取最短距离中的最大值，即为最大内切圆的半径，最后对求出的100个最大内切圆半径取算数平均值减小误差，最后的值即为管道半径。
对于问题二，求中轴线，根据问题一中算出的100个最大内切圆半径和圆心坐标，运用Matlab 软件对所有圆心坐标所形成的曲线进行拟合，根据坐标所画出的散点图规律，采用n 阶多项式拟合方式。
根据拟合出曲线的光滑度确定最高阶次n ，由于一个z 只对应于一个x 和一个y ,故可分别对其投影在YZ ZX 、平面上进行多项式拟合，求出方程)(1z f y =和)(2z f x y ==，则中轴线的空间方程即为上两式的联立便得到了血管管道的中轴线参数函数。
根据拟合出的方程，画出中轴线在YZ YX ZX 、、平面的投影，拟合曲线及立体图形。
对于问题三，基于问题一、二的求解结果，根据中轴线的参数方程及滚动球的半径，我们运用Matlab 中的绘图工具，结合每张切片图的球心坐标与球的半径，得到血管的还原三维立体图形。
五、模型的建立与求解经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程。
5.1血管半径的计算 算法步骤：1step ：导入数据，运用Matlab 读取函数，转换存储方式；、函数确定轮廓和骨架的位置；step：运用edge bwmorph2step：寻找最大内切圆；3step：求解100张图片的最大内切圆；4step：取100个半径的算术平均值。
5具体过程：由于血管是由半径固定的球滚动包络形成，所以过球心的截圆的半径也就是血管的半径，题中给出了血管被切片机平行切割后的100张切片图像，这100张切片图像是由无穷多个球被截的圆叠加而成的，又由于管道中轴线与每张切片有且只有一个交点，即球心。
所以在每张切片上总存在着以交点为圆心的圆，此时半径最大，这最大半径同时也是管道的半径。
求出最大半径后，运用循环算法，得出这100张切片的最大半径，最后取算数平均值得出管道的半径。
（1）导入数据，转换存储方式本题中给了100张图片，虽然易于直接观察，但不利于以数学思维建模，为了减少计算量，并保证数据的准确性，首先对BMP格式的图像进行预处理，由于BMP格式文件在计算机中是以二进制数进行存储的，图像保存在一个二维的有0或1组成的矩阵中。
所以，所以将原来512512⨯单色BMP图像格式运用Matlab读取函数转化为二维的0-1矩阵，其中1代表黑色像素点，0代表白色像素点。
对于一个512512⨯像素的图像，每一个像素都有自己的一个确定的坐标。
由此，可以找出这100张图片的像素矩阵。
（2）确定轮廓线【1】及骨架【2】的位置为了在减少计算量的基础上，却又反应图像的基本性质，我们确定切片的轮廓线及骨架的位置，其中轮廓是指在亮度不同的区域之间有一个明显的变化，即明度级差突然变化而形成的；而图像的骨架即图像中央的骨骼部分，是描述图像几何及拓扑性质的重要特征之一。
具体位置见下图1、2：图1 轮廓图2 骨架接下来以其中一张图片为例进行详细研究，运用edge bwmorph、函数确定轮廓和骨架的位置，并用二维矩阵来存储轮廓线及骨架，这样可以减少冗杂的信息量而又突出形状特点，具体方法如下：在确定骨架时，逐次去掉切片图像轮廓线上的点，同时要保证区域的连通性，余下的部分就是物体的骨架。
运用边缘检测大幅度地减少了数据量，并且剔除了可以认为不相关的信息，保留了图像重要的结构属性。
在二维的0-1矩阵中，“0”表示切面上的点，“1”表示切面外的点，对于某一个具体的像素，在其上下左右存在着四个像素，被称为该像素的四邻域，当这一具体像素为“0”时，周围像素中有一个值为“1”，则该点为边界点，用此方法可以对边缘进行检测，确定边缘坐标。
（3）寻找最大内切圆求出骨架到血管轮廓边界上每一点的距离, 则其中的最小距离为即是以该点为圆心的内切圆。
找到所有内点的半径后, 其中半径最大的内点即为所要找的球心, 对应的内切圆即为最大内切圆。
若一张切片出现多个圆心时，鉴于所给切片是BMP 格式的图像, 是对原血管的切片的连续图形离散化而得到的近似图形, 则实际计算时有可能出现在一个切片中同时找到多个最大内切圆, 即内切圆不惟一。
我们选取与前一张所得圆心距离最近的圆心为当前切片最大内切圆的圆心。
在矩阵内找到轮廓的内切圆记下圆心坐标与半径并储存。
骨架看作点的集合，计算骨架上每一点()y x A ,到轮廓()q p B ,的距离：ijk d =取ijk d 最小值，即该点垂直于外边缘，也就是存在着以该点为圆心的圆相切于外边缘。