电场的高斯定理

§ 1.4 电场得高斯定理 GAUSS, LAW (教材p45)

1、电场线(Electric Field Lines)

大家已经知道,电场强度E 就是空间坐标得矢量函数、

为了形象地描述电场,我们设想电场中分布着一族曲线,并规定这些曲线每一点上得切线方向,与该点电场强度E 得方向一致、我们把这些曲线称为电场线,简称E 线、

下图示出几种情形下静电场得E 线分布、

从上述例子我们瞧到,静电场得E 线有如下性质

(1)静电场得E 线始发于正电荷而终止于负电荷,所以静电场得E 线不形成闭合曲线;在没有电荷存在得点上,E 线连续

通过,也有可能 E=0 (试从上图找出这样得点)、

(2)在任何客观存在得电场中,每一点上得试探点电荷在同一时刻只能受到一个确定得作用力,因此每一点上得E只能有一

个确定得值, 因而E 必定就是空间坐标得单值函数,故任何两条E 线都不可能相交、

2、电通量 ( Electric Flux )

按上述图象,通过某处单位截面得 E 线条数 ,即“E 线密度”,决定于该处得场强E。也就就是说,E值大处,“E 线密度”大,反之, “E 线密度”小(见上图)、现在,我们引入“电通量”概念、

设想电场中有一非闭合曲面S,dS 就是S上某点P附近一个无限小面积元矢量,并规定dS 得方向沿曲面在该点得法向 ,即

我们称

dΦ = E · dS = EdScosθ (1、4-1)

为通过该面元得电通量,单位为伏特·米(Vm)、

显然,当

0≤θ< π/2 , dΦ > 0 (正值)

π/2 <θ≤π , dΦ < 0 (负值)

θ= π/2, dΦ = 0 (E 线仅从该面元掠过)

通过整个S面得总电通量为

(1、4-2)

这就是一个面积分 (二重积分)

对于闭合曲面,规定面元矢量dS 沿曲面各点得外法线方向、于就是,通过任意闭合曲面得总电通量:

3、电场得高斯定理

高斯定理:通过任意闭合曲面 S 得电通量,正比于S内包含得总电量(净电量),与S外得电荷分布无关、即

(1、4-4a)

右方求与因子表示S内得总电量、

[证明]

(1)一个点电荷q 处于S 内得情形

以q为中心作任意半径r 得球面,此球面任

一点得电场强度为

而球面面元矢量

于就是,q 产生得电场通过该球面得总通量

显然,当q为正电荷,F为正值;当q为负电荷,F为负值、

对于包围点电荷q 得任意曲面S,由于其上任一个无限小得面积元dS,,与该处相应得球面元对q 所在点张开得立体角元相等,因此S对q所在点张开得立体角也就是4 , 故上式仍成立、

(2)当点电荷q 处于闭合曲面S

外,由于E 线

必定连续通过S包围得区域,即

穿入S 得

通量 = 穿出S 得通量,于就是

有

(当S 内 q = 0)

(3)S 内有n个点电荷,S 外有点电荷q n+1时,

据电场叠加原理,曲面上任一点得场强为

E = E1 +E2 +…、+ E n + E n+1

于就是,通过S 得总电通量

(4)上述结果可推广至电荷连续分布得情况

设某区域V内电荷体密度函数为 ,则通过包围V得任意曲

面S 得总电通量就是

(1、4-4b)

其中

就是V内得总电量,右方得体积分遍及曲面S 包围得体积V 。

高斯定理得意义

(1)高斯定理一个很重要得意义,在于它表示电场就是有源场,电荷分布点就就是电场得“源点”(Source Points)、

设想某点P处于无限小体积dV中,闭合曲面S就是dV得边界面。

若P点有+q , 则从P点向外发出得电通量Ф> 0,或者说从P点向外发出 E 线(P点就是电场得“正源”)

若P点有-q , 则Ф < 0,或者说E 线收敛于P点(P点就是电场得“负源”,或“汇” )

若P点上没有电荷,即q =0 , 则Ф= 0 ,E 线将连续通过该点;也有可能该点上E = 0、

(2)库仑定律仅在静电情况下成立;但至今为止人们所观测到得全部电磁现象——小至分子、原子、质子与电子等微观带电粒子,大至来自遥远星体得电磁现象,都表明高斯定理在静电与非静电情形下都成立、

(3)距离平方反比律就是高斯定理成立得基础

问题:虽然迄今为止所观测到得电磁现象,都表明高斯定理具有(1、4-4)得形式、但这不等于在任何可能得时空尺度下,它必定也有同样形式,如果在某种情况下,距离平方反比律并非精确成立,高斯定理会有什么形式？

若库仑定律在某一尺度下偏离距离平方反比律,即 F∝1/r2+δ, δ≠0, 则电场强度 E ∝1/r2+δ ,高斯定理将变成

(1、4-5)

这表示,通过一个闭合曲面得电通量,不仅与其内部得净电量q有关,也与所选择得曲面尺寸与形状(例如不同半径 r 得球面)有关,这将就是一个非常有趣得问题、因此,在所有可能达到得尺度范围内,通过实验检验高斯定理得精确度,可验证库仑定律就是否在任何尺度范围内都就是一个精确得距离平方反比定律、

应用高斯定理求电场分布

电荷就是电场得源,电荷分布决定着电场得分布、

当电荷分布存在某种对称性( symmetry),使我们由此可以判断出存在着这样得高斯面(gaussian surface)———每个高斯面上所有点得场强E 都相等,而且E 得方向与高斯面法向得夹角处处一致,那么高斯定理

中左方得面积分(surface integral)将会变得很简单,这情性下比起由库仑定律得到得矢量积分式

求电场就要方便得多、

下面讨论三种重要得对称性——球对称性、无限长直线对称性、无限大平面对称性得情形、

球对称性(Spherical Symmetry)

一个点电荷q 得电场,就就是球对称电场最简单得例子, q 所在点就就是对称中心(the center of symmetry)、

事实上,如果电荷分布函数 r 仅与离开坐标原点得距离r 有关,而与q 与f 无关,即r =r(r),则 r 就具有

球对称性,它得电场必定有着同样得对称性、