线段的垂直平分线定理
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结论：三角形三边的垂直平分线交于一点， 结论：三角形三边的垂直平分线交于一点， 并且这点到三个顶点的距离相等。 并且这点到三个顶点的距离相等。
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11.3 角的平分线
A D P O E C
12.1 线段的垂直平分线
M P A N B
B
定理1 定理 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等 距离相等。 角的两边的距离相等。 定理2 到一个角的两边的距离相等 定理 到一个角的两边的距离相等 的点，在这个角的平分线上。 的点，在这个角的平分线上。 角的平分线是到角的两边距离 角的平分线是到角的两边距离 两边 相等的所有点的集合 相等的所有点的集合
是线段AB的中垂线, 3、如图， NM是线段AB的中垂线, 如图， NM是线段AB的中垂线 下列说法正确的有： 下列说法正确的有：①②③ 。 AB⊥MN,②AD=DB， MN⊥AB， ①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB， MD=DN， AB是MN的垂直平分线 ④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线
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这个结论是经常用来证明两条线 段相等的根据之一.
反过来,如果AP=BP 那么P点是否在线段AB 反过来,如果AP=BP，那么P点是否在线段AB的垂直平 AP=BP， AB的垂直平 分线上呢？ 分线上呢？
若AP=BP ，则P在线段AB的垂直平分 在线段AB AB的垂直平分 线上。 线上。
AB=AC=CE AB+BD=DE
2、如图，AB=AC， 、如图， ， MB=MC，直线 ，直线AM是线段 是线段 BC的垂直平分线吗？ 的垂直平分线吗？ 的垂直平分线吗
垂直平分线段BC ∴直线AM垂直平分线段 直线 垂直平分线段
已知： 已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直 中 、 的垂直 平分线交于点P。 平分线交于点 。 求证： 求证：PA=PB=PC.
结论： 结论： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 M 点的距离相等． 点的距离相等． P 你能证明你的发现或猜想吗？ 你能证明你的发现或猜想吗？
A N C B
线段垂直平分线定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等. 距离相等. 定理应用格式： 定理应用格式： 如图, 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上 ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上 任意一点(已知), 任意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线 ∴PA=PB(线段垂直平分线 上的点与这条线段两个端 点距离相等). 点距离相等).
结论： 结论：
与一条线段两个端点距离相等的点， 与一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上。 条线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线的逆定理：
与一条线段两个端点距离相等的点, 与一条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上. 条线段的垂直平分线上. 定理应用格式： 定理应用格式： 如图, 如图, A ∵PA=PB(已知 已知), ∵PA=PB(已知), AB的垂直平分线上 的垂直平分线上( ∴点P在AB的垂直平分线上(与 一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上). ,在这条线段的垂直平分线上).
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∴ △BCD的周长= AD+DC+BC BCD的周长 的周长= = AC+BC = 12+7=19
1、 如图，AD⊥BC，BD=DC， 、 如图， ⊥ ， ， 的垂直平分线上， 、 点C在AE的垂直平分线上，AB、 在 的垂直平分线上 AC 、CE 的长度有什么关系？ 的长度有什么关系？ AB+BD 与DE有什么关系？ 有什么关系？ 有什么关系
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这个结论是经常用来证明点在直线上( 这个结论是经常用来证明点在直线上(或 点在直线上 直线经过某一 某一点 的根据之一. 直线经过某一点)的根据之一.
结论:
线段垂直平分线上的点 与这条线段两个端 线段垂直平分线上的点 点的距离相等。 点的距离相等。 反之， 反之，与线段两个端点的距离相等的点 在这条线段垂直平分线上。 在这条线段垂直平分线上 线段垂直平分线 所以， 所以，线段垂直平分线可以看作到线段两 端的距离相等的所有点的集合 集合。 端的距离相等的所有点的集合。
如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交 如图， AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交 AB于 AC于 BCD的周长 的周长。 AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。
解： ∵ED是线段AB的垂直平分线 ∵ED是线段AB的垂直平分线 是线段AB
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∴ BD=AD ∵ △BCD的周长=BD+DC+BC BCD的周长 的周长=BD+DC+BC
AD为BC的中垂线 所以AB AC。 1、因为 AD为BC的中垂线 ，所以AB＝AC。 AB＝ 线段垂直平分线上的点与这条 理由： 理由： 线段两个端点的距离相等． 线段两个端点的距离相等．
A B D C
AB＝ 2、因为 AB＝AC ，所以A在线段BC的中垂线上 所以A在线段BC BC的中垂线上 与一条线段两个端点距离相等的 理由： 理由： 点，在这条线段的垂直平分线上。 在这条线段的垂直平分线上。
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4、下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线， 的垂直平分线， 下列说法： 则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂 直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂 直平分线上的点； 则过点E 直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直 其中正确的个数有（ ） 平分线段AB．其中正确的个数有（ C A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
线段垂直平分线定理
动动手，你也会有发现！ 动动手，你也会有发现！
画线段AB的垂直平分线L 画线段AB的垂直平分线L，在L上取任意点P， AB的垂直平分线 上取任意点P 量一量点P 的距离，你有什么发现？ 量一量点P到A与B的距离，你有什么发现？再取几 个点试试。由此你有何发现或猜想？ 个点试试。由此你有何发现或猜想？
定 理 线段垂直平分线上的点和这 条线段两个端点的距离相等 距离相等。 条线段两个端点的距离相等。 和一条线段两个端点距离相 逆定理 和一条线段两个端点距离相 的点， 等的点，在这条线段的垂直平分线 上。 线段的垂直平分线可以看作是和线段 两个端点距离相等 距离相等的所有点的集合 两个端点距离相等的所有点的集合
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结论：三角形三边的垂直平分线交于一点， 结论：三角形三边的垂直平分线交于一点， 并且这点到三个顶点的距离相等。 并且这点到三个顶点的距离相等。
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定理1 定理 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等 距离相等。 角的两边的距离相等。 定理2 到一个角的两边的距离相等 定理 到一个角的两边的距离相等 的点，在这个角的平分线上。 的点，在这个角的平分线上。 角的平分线是到角的两边距离 角的平分线是到角的两边距离 两边 相等的所有点的集合 相等的所有点的集合
是线段AB的中垂线, 3、如图， NM是线段AB的中垂线, 如图， NM是线段AB的中垂线 下列说法正确的有： 下列说法正确的有：①②③ 。 AB⊥MN,②AD=DB， MN⊥AB， ①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB， MD=DN， AB是MN的垂直平分线 ④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线
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这个结论是经常用来证明两条线 段相等的根据之一.
反过来,如果AP=BP 那么P点是否在线段AB 反过来,如果AP=BP，那么P点是否在线段AB的垂直平 AP=BP， AB的垂直平 分线上呢？ 分线上呢？
若AP=BP ，则P在线段AB的垂直平分 在线段AB AB的垂直平分 线上。 线上。
AB=AC=CE AB+BD=DE
2、如图，AB=AC， 、如图， ， MB=MC，直线 ，直线AM是线段 是线段 BC的垂直平分线吗？ 的垂直平分线吗？ 的垂直平分线吗
垂直平分线段BC ∴直线AM垂直平分线段 直线 垂直平分线段
已知： 已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直 中 、 的垂直 平分线交于点P。 平分线交于点 。 求证： 求证：PA=PB=PC.
结论： 结论： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 M 点的距离相等． 点的距离相等． P 你能证明你的发现或猜想吗？ 你能证明你的发现或猜想吗？
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线段垂直平分线定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等. 距离相等. 定理应用格式： 定理应用格式： 如图, 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上 ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上 任意一点(已知), 任意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线 ∴PA=PB(线段垂直平分线 上的点与这条线段两个端 点距离相等). 点距离相等).
结论： 结论：
与一条线段两个端点距离相等的点， 与一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上。 条线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线的逆定理：
与一条线段两个端点距离相等的点, 与一条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上. 条线段的垂直平分线上. 定理应用格式： 定理应用格式： 如图, 如图, A ∵PA=PB(已知 已知), ∵PA=PB(已知), AB的垂直平分线上 的垂直平分线上( ∴点P在AB的垂直平分线上(与 一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上). ,在这条线段的垂直平分线上).
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∴ △BCD的周长= AD+DC+BC BCD的周长 的周长= = AC+BC = 12+7=19
1、 如图，AD⊥BC，BD=DC， 、 如图， ⊥ ， ， 的垂直平分线上， 、 点C在AE的垂直平分线上，AB、 在 的垂直平分线上 AC 、CE 的长度有什么关系？ 的长度有什么关系？ AB+BD 与DE有什么关系？ 有什么关系？ 有什么关系
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这个结论是经常用来证明点在直线上( 这个结论是经常用来证明点在直线上(或 点在直线上 直线经过某一 某一点 的根据之一. 直线经过某一点)的根据之一.
结论:
线段垂直平分线上的点 与这条线段两个端 线段垂直平分线上的点 点的距离相等。 点的距离相等。 反之， 反之，与线段两个端点的距离相等的点 在这条线段垂直平分线上。 在这条线段垂直平分线上 线段垂直平分线 所以， 所以，线段垂直平分线可以看作到线段两 端的距离相等的所有点的集合 集合。 端的距离相等的所有点的集合。
如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交 如图， AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交 AB于 AC于 BCD的周长 的周长。 AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。
解： ∵ED是线段AB的垂直平分线 ∵ED是线段AB的垂直平分线 是线段AB
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∴ BD=AD ∵ △BCD的周长=BD+DC+BC BCD的周长 的周长=BD+DC+BC
AD为BC的中垂线 所以AB AC。 1、因为 AD为BC的中垂线 ，所以AB＝AC。 AB＝ 线段垂直平分线上的点与这条 理由： 理由： 线段两个端点的距离相等． 线段两个端点的距离相等．
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AB＝ 2、因为 AB＝AC ，所以A在线段BC的中垂线上 所以A在线段BC BC的中垂线上 与一条线段两个端点距离相等的 理由： 理由： 点，在这条线段的垂直平分线上。 在这条线段的垂直平分线上。
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4、下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线， 的垂直平分线， 下列说法： 则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂 直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂 直平分线上的点； 则过点E 直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直 其中正确的个数有（ ） 平分线段AB．其中正确的个数有（ C A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
线段垂直平分线定理
动动手，你也会有发现！ 动动手，你也会有发现！
画线段AB的垂直平分线L 画线段AB的垂直平分线L，在L上取任意点P， AB的垂直平分线 上取任意点P 量一量点P 的距离，你有什么发现？ 量一量点P到A与B的距离，你有什么发现？再取几 个点试试。由此你有何发现或猜想？ 个点试试。由此你有何发现或猜想？
定 理 线段垂直平分线上的点和这 条线段两个端点的距离相等 距离相等。 条线段两个端点的距离相等。 和一条线段两个端点距离相 逆定理 和一条线段两个端点距离相 的点， 等的点，在这条线段的垂直平分线 上。 线段的垂直平分线可以看作是和线段 两个端点距离相等 距离相等的所有点的集合 两个端点距离相等的所有点的集合