一元二次方程的解法小结

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一元二次方程的解法教学反思(精选20篇)

一元二次方程的解法教学反思（精选20篇）一元二次方程的解法教学反思 1（1）一元二次方程是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型，引课时从生活中常见的“梯子问题”出发，根据学生应用勾股定理时所列方程的不同，引导学生对所列方程的解法展开讨论，进而获得开平方法。

引课时力求体现“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的模式，注重数学知识的形成与应用过程。

（2）如何配方是本节课的教学重点与难点，在进行这一块内容的'教学时，教师提出具有一定跨度的问题串引导学生进行自主探索；提供充分探索与交流的空间；在巩固、应用配方法时，从一元二次方程二次项系数为1讲到二次项系数不为1的情况，从方程的配方讲到代数式的配方与证明，呈现形式丰富多彩，教学内容的编排螺旋式上升。

这既提高了学生的学习兴趣，又加深了对所学知识的理解。

一元二次方程的解法教学反思 2一元二次方程是整个初中阶段所有方程的核心。

它与二次函数有密切的联系，在以后将应用于解分式方程、无理方程及有关应用性问题中。

一元二次方程的解法——因式分解法，是建立在一元二次方程解法及因式分解的.基础上，因此我采取让学生带着问题自学课本，寻找因式分解法解一元二次方程的形式特征，即等号右边必须为零，左边必须为两个一次因式的乘积（不能是加减运算），利用零的特性，将求一元二次方程的解，通过因式分解法，转化为求两个一元一次方程的解，将未知领域转化为已知领域，渗透了化归数学思想，让班上中等偏下学生先上黑板解题，将暴露出来的问题，在全班及时纠正。

本节课较好地完成了教学目标，同时还培养了学生看书自学的能力，取得较好的教学效果。

老师提示:1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解，而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.利用求根公式解一元二次方程的一般步骤：1、找出a，b，c的相应的数值2、验判别式是否大于等于03、当判别式的数值符合条件，可以利用公式求根、学生第一次接触求根公式，学生可以说非常陌生，由于过高估计学生的能力，结果出现错误较多、1、a，b，c的符号问题出错，在方程中学生往往在找某个项的系数时总是丢掉前面的符号2、求根公式本身就很难，形式复杂，代入数值后出错很多、其实在做题过程中检验一下判别式这一步单独提出来做并不麻烦，直接用公式求值也要进行，提前做这一步在到求根公式时可以把数值直接代入、在今后的教学中注意详略得当，不该省的地方一定不能省，力求达到更好的教学效果、通过本节课的教学，总体感觉调动了学生的积极性，能够充分发挥学生的主体作用，激发了学生思维的火花，具体有以下几个特点：本节课第一个例题，我在引导解决此题之后，总结了利用求根公式解一元二次方程的一般步骤，不仅关注结果更关注过程，让学生养成良好的解题习惯。

一元二次方程回顾与思考小结课件

解: 设两数个数为 ,根题 ,得这位的位字 x 据意 x2 =10( x −3) + x. 整得 2 −11x +30 = 0. 理 x 解 x = 5 x2 = 6. 得1 , ∴x −3 = 5−3 = 2,或 −3 = 6−3 = 3. x 答: 这两数 25,或 . 个位为 36
∴我把数 b2 −4ac叫方 ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0)的们代式做程根判式用 ∆"来示即 = b2 −4ac. 的别 . " 表 . ∆
1.不解方程,判别方程
5 x −1 − x = 0
2
(
)
的根的情况______________ 方程要先化别式 b − 4ac = (− 1) − 4 ⋅ 5 ⋅ (− 5) = 101 > 0 ∴
解: 设正形皮边为 ,根题 ,得原方铁的长 xcm 据意
4(x −8) =100.
2
快乐学习 4
几何与方程
4. 如图在一块长如图,在一块长在一块长92m,宽60m的矩形耕宽的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等水渠的宽度都相等.水地上挖三条水渠水渠的宽度都相等水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩渠把耕地分成面积均为个矩形小块,水渠应挖多宽形小块水渠应挖多宽. 水渠应挖多宽
回顾与复习 4 • 列方程解应用题的一般步骤是: 列方程解应用题的一般步骤是:
解应用题
• 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系? 1.审审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系? 关系 • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; 2.设设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; 3.列列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; 4.解解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 5.验是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. 6.答答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是:找出相等关系. 列方程解应用题的关键是找出相等关系. 关键相等关系

一元二次方程的万能解法

2 2
例2 用公式法解下列方程: (3) 5x2 3x x 1
x b b2 4ac 2a
解：方程可化为 5x2 4x 1 0
a 5,b 4, c 1
b2 4ac (4)2 4 5 (1) 360
x (4) 36 4 6
3、说出用公式法解一元二次方程的一般步聚。
因此解一元二次方程时可以先将方程化为一般形式axbx就得到方程的根这个式子叫做一元二次方程的求根公式利用它解一元二次方程的方法叫做公式法由求根公式可知一元二次方程最多有两个实数根
21.2.2 一元二次方程的解法 ——公式法
用配方法解一元二次方程的步骤
1、常数项移到方程右边. 2、二次项系数化为１； 3、将方程左边配成一个完全平方式。 (两边都加上一次项系数一半的平方 ) 4、用平方根的意义写出原方程的解。
用配方法解方程： 4x2 6x 3 0
温
解:移项，得： 4x2 6x 3,
故
二次项系数化为1，得 x2 3 x 3 ,
知
24
配方，得：
x2

3 2
x

3 4
2

3 4

3 4
2
,
新
(x 3)2 21 4 16
由此得: x 3 21
拓展延伸
1、关于x的一元二次方程 x2 2x m 0
有两个实根，则m的取值范围是—— .
解：b2 4ac (2)2 41 m 4 4m 0
∴ m1
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根的两种情况。

一元二次方程的解法的解题技巧总结

一元二次方程的解法的解题技巧总结一元二次方程是中学数学中的常见题型，求解方程的过程需要掌握一定的解题技巧。

下面将对一元二次方程的解题方法进行总结，希望对你的学习有所帮助。

一、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式可以表示为：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 都是已知实数，且a ≠ 0。

二、求解一元二次方程的基本步骤求解一元二次方程的基本步骤如下：1. 将方程按照一般形式准确写出。

2. 判断一元二次方程是否可以因式分解，如果可以，进行因式分解得到两个一次方程，再求解这两个一次方程得到原方程的解。

3. 如果方程不可以因式分解，可以采用配方法，将方程转化为一个平方差的形式，再进行变量替换，进而求解得到方程的解。

4. 如果配方法不适用，可以采用求根公式，即二次方程的根公式，根据公式直接求解得到方程的解。

5. 对于复杂数字的解，应给出复数解的明确形式。

三、因式分解的技巧1. 一元二次方程的因式分解要找到两个整数 m、n，使得 a(m + n) + bn = 0。

2. 通过观察系数 a、b 的正负关系来判断 m 和 n 是否为整数。

3. 不断尝试不同的 m、n 值，直到找到满足条件的因式分解。

四、配方法的技巧1. 配方法是将一元二次方程转化为一个平方差的形式，即 a(x + m)²+ n = 0。

2. 通过观察系数 a、b、c 的关系来确定配方的具体步骤。

3. 根据配方法将方程转化为平方差的形式后，再进行变量替换，得到一个一次方程，从而求解得到方程的解。

五、求根公式的应用1. 一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。

2. 公式中的 ±表示两个不同的解。

3. 当判别式 b² - 4ac 大于 0 时，方程有两个不相等的实数解。

4. 当判别式 b² - 4ac 等于 0 时，方程有一个实数解。

二次函数与一元二次方程关系解题技巧

一、一元二次方程及其解法解题技巧类型一巧用一元二次方程的定义解题【例1】若关于x的方程是一元二次方程，则=_______．【解析】一元二次方程的定义中包含三要素：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)整式方程．依题意，得，解得；【答案】【小结】有关一元二次方程的概念，要把握住未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0，还要是整式方程.类型二巧用一元二次方程的根的意义解题【例2】关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是________．【解析】把0代入一元二次方程即可得到关于的一元二次方程，从而求得．但二次项的系数，即，所以．【答案】【小结】将已知的一元二次方程的根代入该方程中即可求出字母系数的值，但要注意二次项系数不为零这一隐含条件．【例3】已知是方程的两根，且，则的值等于（）A．－5 B．5 C．－9 D．9【解析】由于m、n是方程的根，将m、n代入该方程可得m2－2m-1=0，n2－2n－1 =0，即m2－2m=1，n2－2n=1．变形，得7m2－14m=7，3n2－6n=3，因此(7+a)(3－7)=8，所以a=－9．【答案】C【小结】从方程的根入手，将其根代入方程，进而构造出一个新的方程．在解本题的过程中，还应用了整体的思想，同时要注意把握条件与结论之间的关系，即括号中的7m2－14m、3n2－6n与已知方程之间的关系．从而使问题得到快速求解．类型三巧构一元二次方程的根【例4】已知一元二次方程（为常数）满足，则该方程的一根必为________．【解析】结合一元二次方程根的定义，当时，满足方程左、右两边都相等，由此判断方程的一根必为x =．【答案】x =【小结】估算一元二次方程的根时，应结合根的意义，通过观察，比较得出．类型四判断一元二次方程根的范围【例5】根据下列表格中的对应值，判断方程（为常数）的一的范围是（A ．B ．C ．D ．【解析】由表格中的数据发现：当x =6.18时，代数式的值为－0.01；当x =6.19时，代数式的值为0.02，要从表格中判断=0的解，可发现未知数x 的值应处于6.18到6.19之间．【答案】C【小结】解决本题的关键在于理解根的意义，使方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解．类型五与一元二次方程的根有关的开放题【例6】已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：____________．【解析】答案不唯一，可先写出二次项，再写出一次项，最后写能使该方程有一根为1的常数项．【答案】答案不唯一，如：即等．二、实际问题与一元二次方程解题技巧近几年有关一元二次方程的应用题在中考中经常出现，此类题大多以现实生活中的热点新闻、热点事件为背景，形式多变．主要是考查分析问题、解决问题能力．1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）检验；（6）答． 2．一元二次方程的应用类型一增长率、减少率问题【例1】长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据第一次下调后为，第二次下调后为列方程求解即可；（2）从购房和物业费两方面，比较方案①、方案②即可．【解】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得．解得=10％，（不合题意舍去）．所以平均每次下调的百分率为10％．（2）方案①的房款是：4050×100×0.98=396900（元）；方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2=401400（元）．∵396900＜401400，∴选方案①更优惠．【小结】增长（降低）率是列方程解实际问题最常见的题型之一，对于平均增长率问题，正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键，常见的词语有：“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍”“增长率”等等．弄清基数、增长（减少）后的量及增长（减少）次数，平均增长率公式为(为基数，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量)．同时解出未知数的值是否符合题意一定要考虑清楚．类型二病毒倍数传播问题【例2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【分析】设一台每轮感染给x台电脑，则第一轮后有（1+x）台，经过第二轮感染后，共有．【解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意，得．解得x=8或－10（负值不合题意，舍去）．∵＞700，∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【小结】“传播与裂变”问题在现实生活中是广泛存在的，常见的类型包括细胞分裂、信息传播、传染扩散、单循环赛等，是近年中考的热点与亮点，尤其是病毒传播速度成几何级数增长，随着传播轮数的增加，数量是十分惊人的，一定要画好分析图，尤其是要弄清每轮传播的源头与传播后的总和．解这类问题的关键是理解题意，设出适当的未知数列方程求解．类型三几何图形问题【例3】在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．【分析】设小路宽度为m，则花园的长为，花园的宽为，根据面积可得方程．【解】（1）不符合．设小路宽度均为m，根据题意得：，解这个方程得：但不符合题意，应舍去，∴．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m．【小结】几何图形问题一般是只给出一个几何图形（常见的有三角形、特殊四边形），要求在其四周设计边衬或对其进行分割、裁剪，设计一个新的图形或图案．在有关几何图形的面积表示中，通常有三种处理办法：直接表示、间接表示与变换表示．解决有关面积问题时，要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再利用规则图形的面积公式列出方程求解，进而对方程的根进行取舍．类型四市场经济与其它问题【例4】某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．（1）填表（不需要化简）（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？【分析】（1）由“第二个月单价降低x元”知第二个月的单价为(80－x)，销售量为(200+10x)件，清仓时为总数量分别减去前面两个月的剩余量，即800－200－(200+10x)；（2）销售额－成本=利润，由“获利9000元”建立方程进行求解．【解】（1）80－x，200+10x，800－200－(200+10x)；（2）根据题意，得80×200+(80－x)(200+10x)+40[800－200－(200+10x)] －50×800=9000．整理，得x2－20x+100=0，解这个方程得x1= x2=10，当x=10时，80－x=70＞50．答：第二个月的单价应是70元．【小结】市场经济问题（纳税、利息、分期付款、销售利润），匀变速运动、古诗词等问题都是值得关注，解答这问题时，不论背景如何变化，一定要抓住“关键词语”寻找等量关系，并注意根据实际意义对所列一元二次方程进行合理的取舍．【例5】百货大搂服装柜台在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？【分析】每件的利润是40－x元，因每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．则件数为件，抓住总利润列出方程进行求解．【解】设每件童装应降价x元，则，解得．因为要尽快减少库存，所以x=20．答：每件童装应降价20元．【小结】本题主要的数量关系是：销售利润=每件利润×件数，理解商品的销售的件数及商品价格的关系是解答本题的关键．三、二次函数及其图象解题技巧类型一抛物线的平移问题抛物线的平移问题，可以首先研究其顶点的平移问题，因此，一般要将其解析式转化为顶点式．【例1】把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y ＝x2－2x－3，则b、c的值为（）A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2【分析】y＝x2－2x－3＝ (x2－2x+1)－4＝(x－1)2－4，这个函数图象的顶点坐标为（1，－4），故原抛物线的顶点坐标为（－1，－1）．验证：（－1，－1）（1，－4）．∴y＝x2+bx+c可化为y＝(x+1)2－1．即y＝x2+2x．∴b＝2，c＝0．【答案】B类型二抛物线的旋转和轴对称变换将抛物线绕顶点旋转180°，开口方向发生改变，顶点的坐标不变；抛物线的轴对称变换问题，也是从顶点的轴对称变换开始切入．【例2】将抛物线y＝2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝－2x2－12x+16 B．y＝－2x2+12x－16C．y＝－2x2+12x－19 D．y＝－2x2+12x－20【分析】将y＝2x2－12x+16化为顶点式，得y＝2(x－3)2－2．∴该抛物线的顶点坐标为（3，－2），将该抛物线绕顶点旋转180°后，顶点仍然是（3，－2），解析式中二次项的系数变为－2，所以所得抛物线的解析式为y＝－2(x－3)2－2，即y＝－2x2+12x－20．【答案】D类型三抛物线的对称性（重点）【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a－b+c的值是（）A．0 B．－1 C．1 D．2【分析】∵该抛物线的对称轴为直线x＝1，又经过点P（3，0），∴利用抛物线的对称性可知该抛物线还要经过点（-1，0），因此a－b+c＝0．【答案】A类型四函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的增减性二次函数的增减性通常要结合其图象研究，明确开口方向及对称轴的位置，是研究的前提条件．【例4】已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2【分析】从表中可以发现x＝1和x＝3时，y的值都是1．说明函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，0），这时函数值最小，故该抛物线的开口向上，又因为1＜x1＜2，3＜x2＜4，所以点A（x1，y1）和点B（x2，y2）分别位于对称轴的左右两侧，且点A（x1，y1）比点B（x2，y2）到对称轴的距离近．因此y1＜y2.【答案】B类型五根据条件确定最大值和最小值【例5】当－2≤x≤3时，二次函数y＝x2－2x+3的最大值为______，最小值为______．【分析】y＝x2－2x+3＝(x－1)2+2，该函数图象的顶点为（1，2），画出满足条件－2≤x≤3的图象．如图所示．当x＝1时，y有最小值，其最小值为2；当x＝－2时，y有最大值，其最大值为11．【答案】11；2类型六利用“配方法”求特殊函数的最大（小）值【例6】（1）求函数y＝x+(x＞0)的最小值；（2）已知矩形的面积为a，一条边的长为x．当x为何值时，矩形的周长y最小，这个最小值是多少？【分析】可设法将x+“配方”．【解】（1）y＝x+(x＞0)＝＝+2．当＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2．（2）y＝2(x+)(x＞0)＝＝当＝，即x＝时，y有最小值，其最小值为4．∴当x＝时，矩形的周长y最小，最小值为4．四、二次函数与一元二次方程关系解题技巧类型一抛物线的交点式（重点）一般地，若二次函数的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则其解析式可设为“交点式”即y＝a(x－x1) (x－x2)．【例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，与y轴交于点C(0，－4)．其中x1，x2是方程x2－4x－12＝0的两根，且x1＜x2，求抛物线的解析式．【分析】已知抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），故可设其解析式为y＝a(x－x1) (x－x2)．【解】∵方程x2－4x－12＝0的解为：＝－2，x2＝6，故可设已知的抛物线的解析式为：y＝a(x+2) (x－6)．由x＝0时，y＝－4，得－4＝a×2×（－6），∴a＝∴该抛物线的解析式为：y＝(x+2) (x－6)，即y＝x2－x－4．【名师点睛】虽然本题也可以利用给出的“一般式”来确定抛物线的解析式，但是没有设成“交点式”简单．【例 2】如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，如果O B＝OC＝OA，那么b的值是（）A．2 B．－1 C． D．－【分析】设OB＝OC＝OA＝c，则A、B两点的坐标分别为A（－2c，0），B（c，0）．故可设抛物线的解析式为y＝a(x+2c) (x－c)，即y＝ax2+acx－2ac2．又∵OC＝c，∴点C的坐标为（0，c），代入解析式，得－2ac2＝c．ac＝－（∵c≠0）．∴b＝ac＝－．【答案】D类型二根据图象观察方程的解通过二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象，不仅可以观察一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况，还可以发现与之相关的一些方程的解的情况．【例3】如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为（1，8），则一元二次方程ax2+bx+c－8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实根B．有两个异号实根C．有两个相等实根D．没有实根【分析】二次函数y＝ax2+bx+c的最大值是8，因此ax2+bx+c≤8，只有当x＝1时等号成立，因此方程ax2+bx+c＝8．即ax2+bx+c-8＝0有两个相等实根，即x1＝x2＝1．【答案】C【方法归纳】观察本题的图象，研究一元二次方程ax2+bx+c＝k的解的情况，可以发现：①当k＜8时，方程有两个不相等的实根；②当k＝8时，方程有两个相等的实根；③当k＞8时，方程没有实根．类型三根据图象观察不等式的解集利用二次函数的图象，还可以观察一些不等式的解集．【例4】抛物线y＝－x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是________．【分析】通过观察图象可以发现抛物线的对称轴为直线x＝－1，与x轴的右交点的坐标为（1，0），利用对称性可以推断出抛物线与x轴的左交点的坐标为（－3，0）．要使y＞0，则－3＜x＜1．【答案】－3＜x＜1【例5】已知函数y1＝x2与函数y2＝－x+3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）A．－＜x＜2 B．x＞2或x＜－C．－2＜x＜D．x＜－2或x＞【点石成金】本题中y1＞y2时，取两边；y1＜y2时，取中间．【分析】观察图象可以发现，位于点A、B之间的部分，有y1＜y2成立，而此时，x的取值范围有选项A、选项C两种选择，进一步观察图象又可以发现A到y轴的距离大于B到y轴的距离，所以答案只能是－2＜x＜；此外本题也可以通过解方程组求出A、B两点的坐标，然后再判断．【答案】C【名师点睛】此题若改成y1＞y2，则x的取值范围是x＜－2或x＞【例6】如图，抛物线y2＝x2+1与双曲线y1＝的交点A的横坐标是1，则不等式+x2+1＜0的解集是（）A．x＞1 B．x＜－1 C．0＜x＜1 D．－1＜x＜0【分析】先把+x2+1＜0化为＜－x2－1，再讨论函数y1＝的图象与y3＝－x2－1的图象之间的关系；作抛物线y2＝x2+1关于原点成中心对称的抛物线y3＝－x2－1．可以发现抛物线y3＝－x2－1与双曲线y1＝的交点的横坐标为－1．观察图象可发现当－1＜x＜0时，y1＜y3，即＜－x2－1，+x2+1＜0．【答案】D类型四根据图象确定代数式的取值范围根据二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象可以发现一些含有a，b，c的代数式的取值范围．【例7】已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的个数有（）①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．A．1个B．2 个C．3 个D．4个【分析】①∵图象开口向上，∴a＞0．∵对称轴在y轴的右侧，∴a、b异号．∴b＜0．图象与y轴的交点在x轴的下方，故c＜0，∴abc＞0．正确②抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0．正确③令x＝－2，则y＝(－2)2a+(－2)b+c＝4a－2b+c.又∵－＝1，∴b＝－2a．∴y＝4a－2b+c＝8a+c．又∵x＝－2时，y＞0．∴8a+c＞0．正确④利用抛物线的对称性可知x＝3和x＝－1时y的值相等，且都有y＜0；而x＝3时，y＝9a+3b+c．∴9a+3b+c＜0．正确综上所述正确结论的个数为4．【答案】D【方法归纳】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c(a≠0)，【例8】如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点A在（－2，0）和（－1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc0；（2）a的取值范围是.【分析】（1）因为图象开口向下，所以a＜0．对称轴在y轴右边，所以b＞0．与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c＞0，综合可得abc＜0．（2）以D（1，3）为顶点，经过点（－1，0）的抛物线的“张口”最小，设这条抛物线为y＝a1(x－1)2+3，令x＝－1，y＝0，得a1＝－；以F为顶点经过点（－2，0）的抛物线的“张口”最大，设这条抛物线为y＝a2(x－3)2+2，令x＝－2，y＝0，得a2＝－，∴a的取值范围是－≤a≤－．【答案】（1）＜；（2）－≤a≤－。

解一元二次方程的方法

v1.0 可编辑可修改解一元二次方程的方法定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable )。

一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．里面要有等号，且分母里不含未知数。

(4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a、b、c为常数，a≠0）补充说明1、该部分的知识为初等数学知识，一般在初三就有学习。

(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)2、该部分是高考的热点。

3、方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理）4、方程两根为x1，x2时，方程为：x^2-(x1+x2)X+x1x2=0 (根据韦达定理逆推而得)5、在系数a>0的情况下，b^2-4ac>0时有2个不相等的实数根，b^2-4ac=0时有两个相等的实数根，b^2-4ac<0时无实数根。

一般式ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0)例如：x^2+2x+1=0配方式a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2两根式（交点式）a(x-x1)(x-x2)=0一般解法1.分解因式法（可解部分一元二次方程）因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。

因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

如1.解方程：x^2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+1﹚^2=0解得：x= x=-12.解方程x（x+1）-3（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0即 x-3=0 或 x+1=0∴ x1=3，x2=-13.解方程x^2-4=0解：（x+2）（x-2）=0x+2=0或x-2=0∴ x=-2，x= 2十字相乘法公式：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1. ab+b^2+a-b- 2=ab+a+b^2-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)2.公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0解：把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当4.开方法（可解部分一元二次方程）如：x^2-24=1解：x^2=25x=±5∴x=5 x=-55.均值代换法（可解部分一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a，得到x^2+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1*x2=c/a求得m。

一元二次方程的解法3种

x 2 a 0(a 0) ( x a ) b
2 2
(ax c) d (d 0, a 0)
2
（1）
3、填空： 2
（2）（3）
（4）
（5）
25 5 2 2 x 5 x __ x 2 _ 4 4 2 2 4 2 x x __ x __ 9 3 3 9 3 2 3 2 x x __ x __ 64 8 4 2 p p 2 x px __ x __ 2 4
2 2
基础练习补充：
2、用配方法解下列方程：
1 x 6 x 8 0 2 24 10 x x 2 2 3 x 15 8 x 4 2 x 990 x
2 2
2
1 1 2 5 x x 2 0 6 x 2 x 1 0 3 2
用配方法解一元二次方程 x 2 x 24 0
2
配方的过程可以用拼图直观地表示。
直观感受配方
x 2 2 x 24 0
x( x 2) 24
x
24
x
1 1 X 1
X+2 x x
1
25
12
小结
1、两种解法：
（1）直接开平方法；（2）配方法. 2、整体的数学思想.
基础练习补充：
系数化为1，移项，配方，开方，求解，定根
书P34
解下列方程：（1）x 0.6 x 0.16 0
2 2
（2）x 2 5 x 4 0
直接开平方法
凡形如 ax2+c=0 (a≠0, ac<0)
或 a(x+p)2+q=0 (a≠0, aq<0)

一元二次方程的四种解法

一元二次方程的解法(1) 一元二次方程的概念一、考点、热点回顾1、一元二次方程必须同时满足的三个条件:⑴⑵⑶2、一元二次方程的一般形式：二、典型例题例1：判断下列方程是否为一元二次方程：® x2+x = \ ®x~ = 1 ®x2 -2x + 3y = 0 @x2 - 3 = (x-l)(x-4)⑤ax2+bx + c = 0 ®mx2 =0 (m是不为零常数)例2：—元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.(l)x2-l Ox-900 = 0 (2)5x2 +10—2.2 = 0⑶ 2X2-15=0 (4)X2 + 3x = 0(5) (x + 2)2 =3 (6) (x + 3)(x-3) = 0例3：当加 _______ 时，关于x的方程(m+2) x s +3mx+l=0是一元二次方程。

三、课堂练习1、下列方程中，关于x的一元二次方程是()A.3(X +1)2=2(X+1)B； +丄一 2 = 0xT yC.ax2 + 加 + <? = 0D.x1 + 2x = x，-12、用换元法解方程(X2+X):+(X:+X)=6时，如果设x'+x = y,那么原方程可变形为()A、y:+y—6=0B、y2—y—6 = 01 / 15C、y:—y+6 = 0D、y'+y+6 = 03、已知两数的积是12,这两数的平方和是25,以这两数为根的一元二次方程是4、已知关于x的一元二次方程十一伙+ l)x_6 = 0的一个根是2,求k的值.四、课后练习1•将方程3乂(乂_1) = 5(乂+ 2)化成一元二次方程的一般形式，得____ ;其中二次项系数是_ ; 一次项系数是 __________ ;常数项是_________ .2.方程伙-4)，+5x + 2& + 3 = 0是一元二次方程，则£就满足的条件是____________ .3.已知m是方程x'-x-2二0的一个根，则代数式mJn二 __________4.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为wm,则乳满足的方程是( )(A) x2+130A--1400 = 0 (B) x2 +65x-35O = O(C) x2 -130x-1400 = 0 (D) x2 -65x-350 = 05.关于x的方程(加-3)，+心+加=0,在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？(2) 一直接开方法一、考点、热点回顾1、了解形如x2=a(a>0)或(x+h)= k(k^0)的一元二次方程的解法一一直接开平方法小结：如果一个一元二次方程具有(x + /»)2=n(n>0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解。

一元二次方程的解法教学反思10篇

一元二次方程的解法教学反思10篇精华一元二次方程的解法教学反思10篇作为一名优秀的人民教师，我们要在教学中快速成长，在写教学反思的时候可以反思自己的教学失误，那么写教学反思需要注意哪些问题呢？以下是小编为大家整理的一元二次方程的解法教学反思，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

一元二次方程的解法教学反思1一元二次方程是九年级上册第二单元内容，是今后学习二次函数的基础，是初中数学教材的一个重要内容。

一、课前思考。

1、学生基础。

在七八年级学生已经学习过一元一次方程、二元一次方程组、分式方程的知识，有着很好的解题基础。

2、教学重点应放在解题方法上，让学生通过观察发现每一种解法的特征，是学生能够根据特征选择合适的解题方法。

3、应注意培养学生的解题技能，解题速度、解题的准确率，特别是利用配方法界一元二次方程时，必须让学生区分方程的配方与式子配方的不同。

4、每节课必须实行小测验，可根据题的难易水准不同，将题量控制在3——5道之间。

二、教学过程中学生出现的主要问题。

1、学生不善于观测，特别是在将四种方法全部学习完之后，学生不能很好的选择合适的方法。

例如：能用直接开平方的题，确将其展开再配方；能利用十字相乘法分解因式的，却选择公式法等。

2、对符号处理的不准确，贴别是一个负的无理分数和一个分数相加时，总是将负号放在分数线的前面。

3、十字相乘法中，常数项分解为两个数相乘时，出现符号错误。

4、用配方法计算时错误率较高。

5、用公式法计算时，没有将b2——4ac的.结果放在根号下。

三、教后反思1、今后在将四种方法讲完之后，要用两节课的时间实行综合练习，第一节课能够采用让学生练习解题的方式，第二节课能够采用让学生说解法、让学生找解题错误之处方法实行。

2、增加小测验的力度，能够将题量减小，次数增加。

这样不但能够增加学生的信心，也能够通过持续的重复，增强学生的熟练水准。

3、为了让学生学会选择合适的方法解题，能够采用同桌互相按要求出题的方法，达到学生对各种解法特征的目的。

一元二次方程小结

第二十一章小结与复习一、内容和内容解析1.内容对本章内容进行梳理总结,建立知识体系，综合应用本章知识解决问题.2.内容解析在学习全章有关知识的基础上，分两课时对本章内容进行梳理总结，建立知识体系，并综合应用本章知识解决问题。

第一课时着重对本章内容进行梳理总结，建立知识体系；第二课时综合应用本章知识解决问题。

本节课设计的是第一节内容.从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。

选择适当的方法将“二次”降为“一次”是本章学习的另一条主线。

一元二次方程是本套初中数学教科书所学习的最后一种方程，对本章学习的小结也有对方程的学习进行总结的作用。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：从两条主线上对本章内容进行梳理总结，建立知识体系.二、目标和目标解析1.目标（1）掌握一元二次方程的解法，体会一般到特殊的思想方法。

提高数学的应用意识，培养以一元二次方程为模型解决实际问题的能力。

（2）复习本章的重点内容，整理本章知识，形成有关方程的知识体系，体会化归思想。

2.目标解析达成目标（1）的标志是：明确一元二次方程的降次思想，能根据一元二次方程的特点选择恰当方法解方程。

能说出方程化归过程中各步骤的依据。

能够在具体的问题情境中建立一元二次方程数学模型，运用一元二次方程解决问题。

达成目标（2）的标志是：知道方程的主要学习内容是方程的概念、解法和应用，形成有关方程的知识体系。

以一元二次方程为重点，回顾比较前面已经学习过的其他整式方程、分式方程的解题思想和化归过程，进一步体会解方程的过程是将高次化低次、分式化整式、多元化归为一元，最终使方程变形为x=a的形式，这是解方程的基本指导思想。

结合具体问题，能够通过列方程将实际问题转化为数学问题，通过解方程得到数学问题的解，通过检验得到实际问题的解，从而加深对本章知识结构图的理解。

三、教学问题诊断分析学生在本章之前学习过一元一次方程、二元一次方程组和可化为一元一次方程的分式方程，解一元二次方程提出了新的解题思想——降次。

一元二次方程知识点总结&练习

一元二次方程专题（一）、一元二次方程的解法：【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75(3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx +c=0 (a≠0)先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c将二次项系数化为1：x 2+b a x=-c a方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b 2a)2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=±∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x= (b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x 2+3x=0 (3) 6x 2+5x-50=0 (4)x 2-2(+)x+4 =0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

一元二次不等式的解法

利用二次函数图＋c（a>0）与x轴的交点情况有哪几种？
Δ>0 Δ=0 Δ<0
∆＝b2-4ac 二次函数
∆>0 y
∆=0 y
∆<0 y
y=ax2+bx+c 的图像 (a>0)
o ●x1
● x2 x
o
●
xo
x
ax2+bx+c=0
x1,2

b 2a

记忆口诀：
大于0取两边，小于0取中间 .
首先，我们可以把任何一个一元二次不等式转化为下列四种形式中的一种：
(1)ax2 bx c 0(a 0) (2)ax2 bx c 0(a 0) (3)ax2 bx c 0(a 0) (4)ax2 bx c 0(a 0)
o ●x1
● x2 x
o●
x
的图像 ax2+bx+c=0 x1,2 =
b± 2a
Δ
x1
=
x2
b =-
2a
的根 {x | x < x1 {x | x ∈ R,
φ ax2+bx+c>0 的解集
或x > x2}
{x | x1 <
x
≠-
b 2a
}
ax2+bx+c<0 x < x2 }
o
x
φ
R
φ
∆＝b2-4ac
（3）根据图象写出解集（可记忆为：大于零取两边，小于零取中间）
解法步骤总结：一化正→二算Δ→ 三求根→四写解集
例2.解不等式： -3x2+6x>2
解：∵ -3x2+6x>2

一元二次不等式及其解法

开口方向；对称轴
b b 4ac x ; 2a
2
b 4ac b2 , 顶点坐标 2a 4a
b x 2a
一元二次不等式
定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的不等式，叫一元二次不等式。
一般形式： ax bx c 0 或 ax bx c （ 0 a 0)
a 0 1 a 3 (3a 1)(a 1) 0
例、若函数 f ( x) kx 2 6kx (k 8) 的定义
域为R，求实数k的取值范围。
解：显然k=0时满足，而k<0时不满足，
k 0 0 k 1 2 36k 4k (k 8) 0
对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a，
(1)当a＞0时，x1＞x2，不等式的解集为{x|－2a＜x＜a}. (2)当a＝0时，原不等式化为x2＜0，无解. (3)当a＜0时，x1＜x2，
不等式的解集为{x|a＜x＜－2a}.
综上所述，原不等式的解集为： a＞0时，{x|－2a＜x＜a} a＝0时，∅ a＜0时，{x|a＜x＜－2a}12分
2 2
一元二次不等式的解集：所有满足不等式的自变量x的取值集合。
问题:某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家 ISP 公司可供选择,公司 A 每小时收费 1.5 元;公司 B 的收费原则如图所示,即在用户上网的第 1 个小时内收费 1.7 元, 第 2 个小时内收费 1.6 元,以后每小时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计算),请问该同学应选择哪家公司.
x 5x 0
2
不等式的解集
x 0 x 5

一元二次方程的解法及一元二次不等式的解法

解：
两边同时除以3，得:
3x 5 x 2
2
5 2 x x 3 3
2
步骤
①二次项系数化1 ②移项
左右两边同时加上(
x2
5 25 2 25 x . 3 36 3 36
2
5 ，得 )2 : 6
③配方
(配上一次项系数一半的平方)
5 x 6
49 . 36
49 . 36
1、
ax2+c=0
====> 直接开平方法
====> 因式分解法因式分解法 ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法） ax2+bx=0
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法） 3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。
ax2c0ax2bx0ax2bxc0因式分解法公式法配方法因式分解法公式法配方法2公式法虽然是万能的对任何一元二次方程都适用但不一定是最简单的因此在解方程时我们首先考虑能否应用直接开平方法因式分解法等简单方法若不行再考虑公式法适当也可考虑配方法公式法虽然是万能的对任何一元二次方程都适用但不一定是最简单的因此在解方程时我们首先考虑能否应用直接开平方法因式分解法等简单方法若不行再考虑公式法适当也可考虑配方法3方程中有括号时应先用整体思想考虑有没有简单方法若看不出合适的方法时则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法
2
解题步骤
①方程右边为零 ②方程左边因式分解成A.B=0的形式 ③A=0或B=0

一元二次方程概念与解法

一元二次方程概念与解法教学目标1.了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程2.能够利用一元二次方程解决简单的实际问题。

教学重点一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、分解因式法。

教学难点列一元二次方程解决实际问题。

知识点梳理：一元二次方程知识框图：1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式:a 2x+bx+c=0(a ≠0)3.一元二次方程的解法直接开平方法：适用于（mx+n ）2=h (h ≥0)的一元二次方程。

配方法：适用于化为一般形式的一元二次方程。

关键：方程两边都加上一次项系数一半的平方。

公式法：(b 2-4ac ≥0)关键：b 2-4ac ≥0时，方程才有解。

因式分解法：适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。

4．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．5.根的判别式及应用(△=b 2-4ac) (1)判定一元二次方程根的情况.△>0⇔有两个不相等的实数根; △=0⇔有两个相等的实数根; △<0⇔没有实数根; △≥0⇔有实数根.6.根与系数的关系(韦达定理)的应用韦达定理:如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=c a. (1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值; (3)已知两根求作方程;(4)已知两数的和与积,求这两个数; (5)确定根的符号:(x 1,x 2是方程两根).有两正根⇔12120,0,0x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪>⎩有两负根⇔12120,0,0x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪>⎩有一正根一负根⇔120,x x ∆>⎧⎨<⎩有一正根一零根⇔12120,00x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪=⎩有一负根一零根⇔12120,00x x x x ∆>⎧⎪+<⎨⎪=⎩x 1=x 2=0⇔12120,0x x x x ∆>⎧⎨+==⎩一元二次方程的应用解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程.•最后还要注意求出的未知数的值,是否符合实际意义.例题讲解1：一元二次方程基本概念（1）mx 2-3x+x 2=0是关于x 的一元二次方程的条件是（）A m=1B m ≠-1C m ≠0D m 为任意实数（2）（k-1）x 2-kx+1=0是关于x 的一元二次方程的条件是 k ≠1 .（3）已知方程mx 2+mx+3m-x 2+x+2=0,当m 时，为一元二次方程；当m 时，为一元一次方程. （4）填写下表. 一元二次方程一般形式二次项数一次项系数常数项3 x 2-5=2 x （x+1）2=4 πx 2=0 x （x + ）=0答案：见下表：一元二次方程一般形式二次项系数一次系数常数项 3 x 2-5=2 x 3 x 2-2 x-5=0 3 -2 -5 （x+1）2=4 x 2+-3=0 1 2 -3 x 2=0 x 2=0 π 0 0 x （x+ ）=0x 2+ x=01练习：1.关于x 的方程(k －3)x 2＋2x －1＝0,当k 时，是一元二次方程。

九年级数学下册《一元二次方程》小结与复习

九年级数学下册《一元二次方程》小结与复习（1）证明：∵△=(m +3)2-4(m -1)=(m +1)2+4． ∵无论m 取何值时,(m +1)2+4的值恒大于0, ∴原方程总有两个不相等的实数根．（2）解：∵x 1,x 2是原方程的两根,∴x 1+x 2=-(m +3),x 1x 2=m +1,∵1222x x -=；∴2212()(22)x x -=, ∴(x 1+x 2)2-4x 1x 2=8,∴[-(m +3)]2-4(m +1)=8,∴m 2+2m -3=0, 解得：m 1=-3,m 2=1．当m =-3时,原方程化为：x 2-2=0,解得：122,2x x ==-．当m =1时,原方程化为：x 2+4x +2=0,解得：1222,22x x =-+=--15·阅读下面的材料,回答问题：解方程x 4－5x 2+4=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是：设x 2=y ,那么x 4=y 2,于是原方程可变为y 2－5y +4=0 ①,解得y 1=1,y 2=4．当y =1时,x 2=1,∴x =±1；当y =4时,x 2=4,∴x =±2；∴原方程有四个根：x 1=1,x 2=－1,x 3=2,x 4=－2．（1）在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到__降次__的目的,•体现了数学的转化思想．（2）解方程（x 2+x ）2－4（x 2+x ）－12=0．解：（2）设x 2+x =y ,原方程可化为y 2－4y －12=0, 解得y 1=6,y 2=－2．由x 2+x =6,得x 1=－3,x 2=2．由x 2+x =－2,得方程x 2+x +2=0,b 2－4ac =1－4×2=－7<0,此时方程无解．所以原方程的解为x 1=－3,x 2=2． 16·如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ）,现在已备足可以砌50m 长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m 2．解：设AB=xm ,则BC=（50﹣2x ）m ．根据题意可得,x （50﹣2x ）=300, 解之得：x 1=10,x 2=15,当x =10,BC=50﹣10﹣10=30＞25, 故x 1=10（不合题意舍去）,答：可以围成AB 的长为15米,BC 为20米的矩形．17·一学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买力一批树苗,园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵,每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵,每增加1棵,所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元,但每棵树苗最低售价不得少于100元,该校最终向园林公司支付树苗款8800元,请问该校共购买了多少棵树苗？解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元,所以该校购买树苗超过60棵,设该校共购买了x 棵树苗,由题意得： x [120﹣0.5（x ﹣60）]=8800, 解得：x 1=220,x 2=80．。

一元二次方程的解法(配方法)

元二次方程的解法(配方法)[内容]教学目标(一)使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0， b≠0， c≠0)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;(二)在理的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”；(三)在数学思想方法方面，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。

教学重点和难点重点：掌握用配方法配一元二次方程。

难点：凑配成完全平方的方法与技巧。

教学过程设计(一)复习1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意a≠0)2.不完全一元二次方程的哪几种形式?(答：只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我们已经学会了它们的解法。

特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m) 2=n(n≥0)的方程。

例解方程：(x-3) 2=4 (让学生说出过程)。

解：方程两边开方，得 x-3=±2，移项，得 x=3±2。

所以 x1=5,x2=1. (并代回原方程检验，是不是根)4.其实(x-3) 2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。

(把这个展开过程写在黑板上)(x-3) 2=4, ①x2-6x+9=4, ②x2-6x+5=0. ③(二)新课1.逆向思维我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m) 2=n的形式。

这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m) 2。

2.通过观察，发现规律问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)2。

(添一项+1)即 (x2+2x+1)=(x+1) 2.练习，填空：x2+4x+( )=(x+ ) 2; y2+6y+( )=(y+ ) 2.算理 x2+4x=2x·22的平方，y2+6y=y2+2y33的平方。

一元二次方程的解法

一元二次方程的解法（直接开平方法）教学目标（一）使学生会解x^2=m(m≥0)型方程，并知道这种解法的算法；（二）使学生理解换元的数学思想，并会解（x+a）^2=m（m≥0）型方程；（三）训练学生准确、迅速的计算能力.教学重点和难点重点：会解x^2=m(m≥0)、(x+a)^2=m(m≥0)型方程.难点：正确表示方程的两个根.教学过程设计（一）复习联系上一节课，提出新需求：上一节课，在开始时根据题意我们提出了两个解法，得到了两个一元二次方程：x^2+5x-150=0和x^2-5x-150=0同学们自然要问，这两个方程的形式（一次项系数）不同，结果会一样吗？实践是检验真理的标准，最有说服力的办法是把这两个方程的根解出来比较.于是，提出一个新的需求：怎样解一元二次方程？（二）新课从简单到复杂，逐步攻克难关.1.我们已经知道一元二次方程的一般形式是ax^2+bx+c=0（a≠0）.其中a，b，c的取值，a绝不可能为零（为什么？），至于b，c没有限制，b，c中有一个为零或两个都为零，仍属一元二次方程.可以用下面的表格把一元二次方程分类我们把ax^2=0(a≠0),ax^2+c=0(a≠0,c≠0)和ax^2+bx=0(a≠0,b≠0)都叫做不完全的一元二次方程.今天我们来解ax^2=0和ax^2+c=0两种类型.2.怎样解ax^2=0(a≠0)，算理是什么？例1解方程：3x^2=0.启发学生（1）先化成x^2=0（算理是：方程两边除以同一个部位零的数，所得的方程与原方程是同解方程）；（2）x^2=0,x=0的算理是什么？（平方根的定义）为了与一元一次方程x=0有区别，x^=0有两个实根，所以写成x1=0,x2=0.3.怎样解ax^2+c=0（a≠0,c≠0），算理是什么？例2解方程x^2-36=0.（启发学生说出解题过程）解：移项得 x^2=36开平方，得 x=±6（要求学生说出算法）所以 x1=6,x2=-6（这种解法叫直接开平方法）与学生一起检验6是不是原方程的根？特别要注意检验-6是不是原方程的根.提问学生，如果由x^2=36得到x=6，这个解正确吗？错误原因是什么？（错误原因是对平方根与算术平方根的概念不清. 一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根.一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根. 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0）4.巩固练习用直接开平方法解下列方程：（1）3x^2-75=0; (2)4x^2-9=0; (3)5y^2-10=0;(4)x^2+4=0.（答：（1）x1=5，x2=-5；（2）x1=3/2,x2=-3/2; (3)y=√2;y=-√2; (4)无解）5．运用换元法，更上一层楼例3解方程（x-2）^2-3=0.提问：如果（x-2）^2用乘法公式展开，原方程是怎么样？（答：x^2-4x+4=0），这是一个完全的一元二次方程我们暂时还不会解这类方程.怎么办？启发学生回答，并写出完整的板书，解方程（x-2）^2-3=0. 解：移项（x-2）^2=3x-2=±√3(算理是什么？)得x-2=√3或x-2=-√3所以x1=2+√3 ，x2=2-√3总结此例的解题思路：把一个代数式看作一个整体，以便适合数学公式，这种方法叫做“换元法”.这种方法我们在初二代数的因式分解中已经常运用.像（1）分解因式16（a-b）^2-9（a+b）^2，（2）分解因式1+(a^3b^3)/8,等等.换元法是中学数学里的一种重要的数学方法，请同学们重视它，掌握它.（三）课堂练习解下列方程：（1）（x-3）^2-25=0；（2）（2x+3）^2-4=0;(3)5-(x-6)^2=0(4)a(x-b)^2+c=0(a≠0).(答：(1)x1=8,x2=-2; (2)x1=-1/2,x2=-5/2; (3)x1=6+√5,x2=6-√5;(4)当a,c异号时，x1=b+√(-c/a),x2=b-√(-c/a);当a,c同号时，无实数解）（四）小结1.从简单到复杂，逐步攻克难关.在解完全的一元二次方程之前，先解（1）ax^2=0(a≠0);(2)ax^2+c=0(a≠0).2.对于ax^2+c=0(a≠0)形式的方程.（1）当a，c异号时有解；（2）当a，c同号时无实数解.解这类方程时，要牢记平方根的概念，不要丢了负数根.3.对于(x+a)^2+b=0形式的方程，要运用“换元”的思想方法，先把x+a看成一个字母.（五）作业1.方程2x^2+a=0(a<0)的根是____2.方程ax^2=c有实数根的条件是()(A)a≠0 (B)ac≠0 （C）ac≥0 （D）c/a≥0且a≠0.3.用直接开平方法解下列方程：（1）x^2-7=0;(2)4y^2=9;(3)t^2-45=0;(4)3x^2-x=15-x.4.解下列方程：(1)(2x-3)^2=5;(2)(x+1)^2-12=0;(3)(x-5)^2-36=0;(4)(6x-1)^2=25;(5)x^2/a=1(a>0);(6)x^2-a=0(a≥0);(7)(x-a)^2=b^2;(8)(ax+c)^2=d(d≥0,a≠0);(9)5(2y-1)^2=80;(10)4(3x-2)^2=32.5.x是什么值时，x^2-6x的值等于-7.作业的答案或提示1.x1=(√-2a)/2;x2=-(√-2a)/2.2.选(D).3.(1)x1=√7,x2=-√7;(2)y1=3/2,y2=-3/2;(3)t1=3√5,t2=-3√5;(4)x1=√5,x2=-√5.4. (1)x1=1/2(3+√5),x2=1/2(3-√5);(2)x1=-1+2√3,x2=-1-2√3;(3)x1=11,x2=-1;(4)x1=1,x2=-2/3;(5)x^2=a,x1=√a,x2=-√a;(6) x^2=a,x1=√a,x2=-√a；（7）x-a=±b,x=a±b,x1=a+b,x2=a-b;(8)ax+c=±√d,ax=-c±√d,x1=1/a(-c+√d),x2=1/a(-c-√d);(9)(2y-1)^2=16,2y-1=±4,2y=1±4,y1=5/2,y2=-3/2;(10)(3x-2)^2=8,3x-2=±2√2,3x=2±2√2,x1=2/3(1+√2),x2=2/3(1-√2).5.列方程x^2-6x=-7,配方x^2-6x+9=-7+9,(x-3)^2=2,x-3=±√2,所以x=3+√2或x=3-√2时,x^2-6x的值等于-7.课堂教学设计说明1.为了激发学生有求出方程的解需要，在课堂一开始提出问题：两个一元二次方程x^2+5x-150=0和x^2-5x-150=0的解是不是一样？2.为了使解方程由简单形式过渡到复杂形式，所以列出一元二次方程分类的表格，使学生能纵览全局，认识到完全的一元二次方程及不完全一元二次方程.同时，（表格的）分类过程进一步培养学生初步树立分类讨论的数学思想.3.在讲解ax^2=0及ax^2+c=0型的一元二次方程时，通过例1、例2，每步都强调算理及分辨算术平方根与平方根的概念，使学生养成有条有理的思维品质.4.在解（ax-b）^2=c型的方程时，要用到换元的数学思想，为此先从已学过的用换元法把多项式因式分解入手，让学生回忆换元法，使学生对运用换元法解方程不生疏，为此，安排了例3.所以本节课的设计是由简单到复杂，但好不生硬.。