第5章状态反馈控制器及状态观测器

能观
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2）引入状态反馈： u = v − Kx 则： 可得： 则： rank b
K = [1 0]
x = ( A − bK) x + bV
.
y = Cx
[
⎡C ⎤ ⎡0 1⎤ rank ⎢ ' ⎥ = rank ⎢ =1 ⎥ ⎣CA ⎦ ⎣0 0⎦
引入状态反馈 后出现了零极 点对消。
⎡0 1 ⎤ A b = rank ⎢ =2 ⎥ ⎣1 0⎦
3
由于采用了状态方程描述系统，所以可以采用状态变量 进行反馈。 由于状态空间描述了系统内部信息的传递关系，比微分 方程、传递函数等外部描述更深入地揭示了系统的动态 特性，所以，采用状态反馈比采用输出反馈具有更好的 控制特性。 采用状态反馈不但可以实现闭环系统的特征值任意配 置，而且也是实现系统解耦和构成线性最优调节器等的 主要手段。 状态反馈和状态观测器设计是各种现代控制设计方法的 基础。
u 若线性反馈控制律为：
= v - Kx
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按指定极点配置设计状态反馈增益阵的基本方法： 选择状态反馈增益矩阵使系统的特征多项式 det[λI − ( A − bK )]
* f (λ ) ，即 等于期望的特征多项式
det[λI − ( A − bK )] = f * (λ )
按指定极点配置设计状态反馈增益阵的基本步骤 (1)判断系统能控性 (2)求能控标准型的变换矩阵P
⎡0 ⎤ ⎥ b = ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
极点配置定理： 线性（连续或离散）多变量系统能任 意配置极点的充分必要条件是，该系统状态完全能控。
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极点配置的方法：
一、采用状态反馈 (Ⅰ)定理：线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全 部极点的充要条件是：此被控系统状态完全能控。 (Ⅱ)方法： 单输入单输出线性定常系统的状态方程为：
& x=Ax+Bu
K = KP
u = r − Kx
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例1： 试设计如图所示系统中的状态反馈增益阵K，使闭环系 统的特征值为 λ1,2 = −7.07 ± j7.07, λ3 = −100
解: (1)判断系统是否可控。 系统的状态空间表达式为
⎡0 A= ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 1 − 12 0 0 ⎤ 1 ⎥ ⎥ − 6⎥ ⎦
6
5.1 状态反馈与输出反馈 5.1.1 状态反馈 1、定义：将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数， 然 后反馈到输入端，与参考输入相加形成控制律，作 为受控系统的控制输入。 给定线性定常被控系统：
& = Ax + Bu x y = Cx + Du
选取状态反馈控制律为：
状态反馈（增 益）矩阵 r× n
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其能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为
⎡0 2 ⎤ rank[ B ( A − BK ) B ] = rank ⎢ =2=n ⎥ ⎣1 0 ⎦ C ⎡ ⎤ ⎡1 2 ⎤ rank ⎢ = rank ⎢ =1< n ⎥ ⎥ ⎣C ( A − BK ) ⎦ ⎣1 2 ⎦
所以状态反馈闭环系统为状态能控但不能观的,即状态 反馈可能改变系统的状态能观性。 3. 经输出反馈u=v-Hy后的闭环系统的状态方程为
n −1 L SC = ⎡ b Ab A b⎤ ⎣ ⎦ −1 = L 0 0 1 P S [ ] 1 C
⎡ P ⎤ 1 ⎢ PA ⎥ P=⎢ 1 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ n −1 ⎥ ⎣P ⎦ 1A
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3）求出被控对象的特征多项式
f (λ ) = det[ λI − A] = λn + an−1λn−1 + L + a1λ + a0
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与状态反馈相比较，输出反馈：
缺点
在不增加补偿器的条件下，输出反馈 改变系统性能的效果不如状态反馈 好，不能任意配置系统的全部特征值；
（输出反馈只是状态反馈的一种特例，它能 达到的系统性能，状态反馈一定能达到；反之 则不然。）
优点
输出反馈在技术实现上很方便； 而状态反馈所用的系统状态可能不能直接 测量得到（需要状态观测器重构状态）。
⎡1 2 ⎤ ⎡0 ⎤ x ′ = ( A − BFC ) x + Bv = ⎢ x + ⎢ ⎥v ⎥ ⎣1 −3⎦ ⎣1 ⎦
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其能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为
⎡0 2 ⎤ rank[ B ( A − BFC ) B ] = rank ⎢ =2=n ⎥ ⎣1 -3⎦
C ⎡ ⎤ ⎡1 2 ⎤ = rank ⎢ =2=n rank ⎢ ⎥ ⎥ ⎣C ( A − BFC ) ⎦ ⎣3 -4 ⎦
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例、试分析引入状态反馈 性和能观性。
.
K = [1 0] 前后系统的能控
⎡0 1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ x=⎢ x + ⎢ ⎥u ⎥ ⎣1 0⎦ ⎣1⎦
⎡0 1 ⎤ Ab] = rank ⎢ =2 ⎥ ⎣1 0⎦
y = [0 1]x
解： 1）判断原系统的能控性，能观性。
rank [b
能控
⎡C ⎤ ⎡0 1 ⎤ rank ⎢ ⎥ = rank ⎢ =2 ⎥ ⎣CA⎦ ⎣1 0⎦
设状态反馈阵为
K = k1 k2 L kn
[
]
则状态反馈系统的传递函数为
G ( s) = c n −1 s n −1 + L + c1 s + c 0
s n + (a n −1 − k n ) s n −1 + L + (a1 − k 2 ) s + (a 0 − k1 )
结论： 引入状态反馈改变了系统的极点，但没有改变系统的零点。
u = v - Kx
参考输入， r×1 维矩阵
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代入可得，状态反馈系统：
& = ( A - BK ) x + Bv x
2、基本结构
y = (C - DK ) x + Dv
D
v
—
u
B +
& x
∫
A
x
y
C
原系统
K
闭环状态反馈系统
状态反馈控制律：
u = v − Kx
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v
状态反馈——就是将系统的每一状态变量乘以相应的反馈系数， 反馈到输入端,与参考输入相加，其和作为被控系统的控制信号。
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5.1.3 状态反馈系统的能控性与能观性
闭环系统的能控性与能观性
1、定理：状态反馈不改变受控系统的能控性；但 不保证系统的能观性不变。
状态反馈可以任意改变系统传函的极点，但不能改变 其零点，故可能出现零极点相消，导致能观性的改变。
2、定理：输出反馈不改变受控系统的能控性和能 观性。
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5.1.3 状态反馈系统的能控性与能观性
第5章 状态反馈和状态观测器
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目前为止，我们已经： 建立了系统的状态空间模型 提出了基于状态空间模型的系统的运动分析 探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性 “认识了世界” ⇒ 如何来“改变世界”？！ 设计控制系统！ 系统的控制方式----反馈？：开环控制、闭环控制
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经典控制：只能用系统输出作为反馈控制器的输入； 现代控制：由于状态空间模型刻画了系统内部特征， 故而还可用系统内部状态作为反馈控制器的输入。 根据用于控制的系统信息：状态反馈、输出反馈。 控制系统的动态性能，主要由其状态矩阵的特征值 （即闭环极点）决定。 基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈控 制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有期望的 动态特性。
& = Ax + Bu = Ax + B (v − Hy ) x = Ax + Bv − BHCx = ( A − BHC)x + Bv
y = Cx
对应的传递函数矩阵为： ∴ 输出反馈中的 HC 与状态反馈中的 K 相当； 但 H可供选择的自由度远比 K 小（因m小于n）； ∴ 输出反馈一般只能相当于部分状态反馈。 只有当 HC=K时，输出反馈等同于全状态反馈。
影响系统稳定性、动态性能的因素：极点位 置（系统矩阵的特征值） 通过反馈控制器的设计，可使得闭环系 统的极点位于预先给定的期望位置。
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5.2 状态反馈设计方法
5.2.1 极点配置问题 5.2.2 输出反馈实现极点配置
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5.2 状态反馈设计方法 5.2.1 极点配置问题
定义：通过选择反馈增益矩阵K，将闭环系统 的极点恰好配置在根平面上所期望的位 置，以获得所希望的动态性能。
1.状态反馈系统的能控性 定理：多变量线性系统（定常的或时变的） ∑ 0 = {A, B, C} ，
u (t ) = v(t ) − K (t ) x(t的状态反馈下，状态反馈闭环系 ) 在任何形如 统 ∑ K = { A − BK , B, C} 完全能控的充要条件是被控对象完全能控。
2.状态反馈系统的能观性 虽然状态反馈保持了动态方程的能控性，但往往会破坏动态 方程的能观性。 定理：输出反馈闭环系统能控的充要条件是被控系统能控；输 出反馈闭环系统能观的充要条件是被控系统能观。
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5.1 状态反馈与输出反馈 5.1.2 输出反馈 1、定义：将系统的输出量乘以相应的系数反馈到输入端与参 考输入相加，其和作为受控系统的控制输入。 2、基本结构 （控制输入不直接作用到输出，即D=0）
用输出 信号
输出反馈控制律为:
u = v − Hy
输出反馈系统
输出反馈矩阵r×m
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输出反馈系统的状态空间表达式为：
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第5章 状态反馈和状态观测器
5.1 状态反馈与输出反馈 5.2 状态反馈设计方法 5.3 状态观测器 5.4 带观测器的状态反馈控制器设计 5.5 MATLAB应用
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5.1 状态反馈与输出反馈
5.1.1 状态反馈 5.1.2 输出反馈 5.1.3 状态反馈系统的能控性与能观性 5.1.4 状态反馈对传递函数的影响
⎡0 2 ⎤ rank[ B AB] = rank ⎢ =2=n ⎥ ⎣1 1 ⎦ ⎡C ⎤ ⎡1 2 ⎤ rank ⎢ ⎥ = rank ⎢ =2=n ⎥ ⎣CA⎦ ⎣7 4 ⎦
开环系统为状态能控又能观的。 2. 经状态反馈u=v-Kx后的闭环系统的状态方程为
⎡1 2 ⎤ ⎡0 ⎤ x ′ = ( A − BK ) x + Bv = ⎢ x + ⎢ ⎥v ⎥ ⎣0 0 ⎦ ⎣1 ⎦
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若控制输入不直接作用到输出，即D=0，则：
& = ( A - BK ) x + Bv x y = Cx
此时对应的传递函数矩阵为：
Gk (s ) = C [sI − ( A − BK )] B
−1
特征方程：
a (λ ) = λI − A + BK = 0
比较开环系统和闭环系统，可见： 状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但 通过K的选择，可以自由地改变闭环系统的特征 值，从而使系统达到所要求的性能.
'
]
能控 不能观！
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例 设线性定常系统的状态空间模型为
⎡1 2 ⎤ ⎡0 ⎤ x′ = ⎢ x + ⎢ ⎥u ⎥ ⎣3 1 ⎦ ⎣1 ⎦ y = [1 2] x
并设状态反馈阵K=[3 1]和输出反馈F=2。
¾ 分析该系统的状态反馈闭环系统和输出反馈闭环
系统的状态能控/能观性。
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解 1：开环系统的能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为
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5.1.4 状态反馈对传递函数的影响
y = cx 经线性变换为能控标准型：
⎡ 0 ⎢ ⎢ A=⎢ M ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ −a0 c = [ c0 1 0 L L 1 O O 0 0 ⎤ M ⎥ ⎥ ⎥, ⎥ 1 ⎥ −an −1 ⎥ ⎦ ⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ b = ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
4）根据指定的闭环极点求出期望的闭环特征多项式
∗ n −1 * * f ∗ ( λ ) = λn + a n λ + L + a λ + a −1 1 0
5) 写出对于能控标准型下的状态反馈增益阵
∗ K = a0 − a0
wenku.baidu.com
[
∗ a1 − a1
∗ L a n −1 − a n −1
]
6）求定状态的反馈增益阵 7）状态反馈下的控制律为
若某能控系统
& = Ax + bu x
−a1 L −an − 2 c1 L cn −1 ]
系统的传递函数为 G ( s ) =
s n + a n −1 s n −1 + L + a1 s + a 0
c n −1 s n −1 + L + c1 s + c 0
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引入状态反馈
u = v − Kx
& = ( A − bK ) x + bv x 则闭环系统的动态方程为 y = cx
所以输出反馈闭环系统为状态能控又能观的。
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第5章 状态反馈和状态观测器
5.1 状态反馈与输出反馈 5.2 状态反馈设计方法 5.3 状态观测器 5.4 带观测器的状态反馈控制器设计 5.5 MATLAB应用
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5.2 状态反馈设计方法
系统性能：稳态性能和动态性能
稳态性能：稳定性、静态误差 动态性能：调节时间、响应速度、超调...