北京艺术生高考数学复习资料—五数列

数列

等差数列知识清单

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调

性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

3、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其

中2

a b A +=

a ，A ，

b 成等差数列⇔2

a b A +=

。

4、等差数列的前n 和的求和公式：11()

(1)2

2

n n n a a n n S na d

+-=

=+

。

5、等差数列的性质：

（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是A P ，

如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m

-=

-()m n ≠；

（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，

（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 奇-S 偶n d =； ②

1n n S a S a +=奇偶

；

（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 偶-S 奇n a a ==中；②

1

S n S n =

-奇

偶

。

6、数列最值

（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值； （2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②若已知n a ，则n S 最

值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或1

0n n a a +≤⎧⎨≥⎩。

课前预习

1．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是 等差 数列

2．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= 105 3．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 13 项

4．设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 5．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若

36

S S ＝1

3

，则

612

S S ＝

310

6．设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛

n

S n ｝

的前n 项和，求T n 。4

92

n n -

7．设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．

的是（ C ）A.d ＜0 B.a 7＝0 C.S 9＞S 5 D.S 6与S 7均为S n 的最大值 8．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 210 等比数列知识清单 1．等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．

，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠数列（注意：

“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）

2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则

m n

m n

a q

a -=。

3．等比中项

如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。 4．等比数列前n 项和公式

一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++ ，当1≠q 时，

q

q a S n

n --=

1)1(1 或11n n a a q S q

-=

-；当q=1时，1na S n =（错位相减法）。

说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。

5．等比数列的性质

①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q

，则有m n m n q a a -=；

②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅. ③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。 课前预习

1．在等比数列{}n a 中

,712,a q ==则19_____.a = 192 2

．2+

和2-的等比中项为 1±

3． 在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，求8a ，-1458

4．在等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程22510x x ++=的两个根,则47a a ⋅=1/2 5. 在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，求18a .20