第四章作业及答案(学生版)

习题4-1

1. 设随机变量

求()E X ；E (2－3 X ); 2()E X ；2(35)E X +.

解 -0.2；2.6；2.8；13.4

2. 设随机变量X 的概率密度为

,0,()0,

0.x

e x

f x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩≤

求X

e Z X Y 22-==和的数学期望.

解 2，

1

3

.. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60]上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望.

解

记Y 为游客等候电梯的时间,则

5,05,

25,525,()55,2555,65,5560.

X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-<⎧⎪⎪

⎨

⎪⎪⎩≤≤≤≤ 因此, 60

1

()[()]()()()60E Y E g X g x f x dx g x dx ∞-∞

===

⎰

⎰=11.67(分钟)..

14. 某保险公司规定, 如果在一年内顾客的投保事件A 发生, 该公司就赔偿顾客a 元. 若一年内事件A 发生的概率为p , 为使该公司受益的期望值等于a 的10％, 该公司应该要求顾客交多少保险费？

解 应要求顾客角保费(0.1)c p a =+.

习题4-2

1. 选择题

(1) 已知(1,(3))E D X X =-= 则2

[3(2)]()E X -=.

(A) 9. (B) 6. (C) 30. (D) 36. 解 应选(D).

(2) 设~(,),(6,( 3.6))B n p E D X X X ==, 则有( ).

(A) 10, 0.6n p ==. (B) 20, 0.3n p ==. (C) 15, 0.4n p ==. (D) 12, 0.5n p ==. 解 应选(C).

(3) 设X 与Y 相互独立，且都服从2(,)N μσ, 则有( ).

(A) ()()()E X Y E X E Y -=+. (B) ()2E X Y μ-=. (C) ()()()D X Y D X D Y -=-. (D) 2()2D X Y σ-=.

解 选(D).

(4) 在下列结论中, 错误的是( ).

(A) 若~(,),().X B n p E X np =则

(B) 若()~1,1X U -，则()0D X =. (C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =. (D) 若2~(,),X N μσ 则

~(0,1)X N μ

σ

-.

解 选(B).

2. 已知X , Y 独立, E (X )= E (Y )=2, E (X 2)= E (Y 2)=5, 求E (3X -2Y ),D (3X -2Y ). 解 2,1

3.

3. 设随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1服从区间[0, 6]上的均匀分布, 22~0,2X N （）

, 3~3X E （）, 记12323Y X X X =-+, 求E (Y )和D (Y ) . 解

123123()(23)()2()

3()1

32034.

3

E Y E X X X E X E X E X =-+=

-+=-⨯+⨯=

123123()(23)()4()9()

1344920.

9D Y D X X X D X D X D X =-+=++=+⨯+⨯

=

4. 设两个随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从均值为0, 方差为12

的正态

分布, 求||X Y -的的期望和方差.

解 记U X Y =-. 由此~(0,1)U N . 进而

;

2222(||)()()[()]101E U E U D U E U ==+=+=

.

2

22

2(||)(||)(||)[(||)]11D X Y D U E U E U π-==-=-=-.

5. 设随机变量~(1,2)X U -, 随机变量

⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1X X X Y

求期望()E Y 和方差)(Y D .

解 121

()1001333

E Y =-⨯+⨯+⨯=,

222212

()(1)001133

E Y =-⨯+⨯+⨯=.

故有 22

18()()[()]199

D Y

E Y E Y =-=-=.

6. 设随机变量U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量

1,1,1, 1.U X U --=>-⎧⎨⎩若≤若 1,1,

1, 1.

U Y U -=>⎧⎨⎩若≤若

求E (X +Y ), D (X +Y ).

解 得X 和Y 的联合密度分布为

由此可见

22()04

4

E X Y +=-

+

=;2()[()]2D X Y E X Y +=+=.

习题4-3

1. 选择题

(1) 在下列结论中, ( )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件

(A) E (XY )=E (X )E (Y ). (B) D (X +Y )=D (X )+D (Y ). (C) Cov(X ,Y )=0. (D) X 与 Y 相互独立.

解 选(D).

(2) 设(X , Y )服从二元正态分布, 则下列说法中错误的是( ).

(A) (X , Y )的边缘分布仍然是正态分布.

(B) X 与Y 相互独立等价于X 与Y 不相关.