第四章作业及答案(学生版)

习题4-11. 设随机变量求()E X ；E (2－3 X ); 2()E X ；2(35)E X +.解 -0.2；2.6；2.8；13.42. 设随机变量X 的概率密度为,0,()0,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩≤求Xe Z X Y 22-==和的数学期望.解 2，13.. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60]上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望.解记Y 为游客等候电梯的时间,则5,05,25,525,()55,2555,65,5560.X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤ 因此, 601()[()]()()()60E Y E g X g x f x dx g x dx ∞-∞===⎰⎰=11.67(分钟)..14. 某保险公司规定, 如果在一年内顾客的投保事件A 发生, 该公司就赔偿顾客a 元. 若一年内事件A 发生的概率为p , 为使该公司受益的期望值等于a 的10％, 该公司应该要求顾客交多少保险费？解 应要求顾客角保费(0.1)c p a =+.习题4-21. 选择题(1) 已知(1,(3))E D X X =-= 则2[3(2)]()E X -=.(A) 9. (B) 6. (C) 30. (D) 36. 解 应选(D).(2) 设~(,),(6,( 3.6))B n p E D X X X ==, 则有( ).(A) 10, 0.6n p ==. (B) 20, 0.3n p ==. (C) 15, 0.4n p ==. (D) 12, 0.5n p ==. 解 应选(C).(3) 设X 与Y 相互独立，且都服从2(,)N μσ, 则有( ).(A) ()()()E X Y E X E Y -=+. (B) ()2E X Y μ-=. (C) ()()()D X Y D X D Y -=-. (D) 2()2D X Y σ-=.解 选(D).(4) 在下列结论中, 错误的是( ).(A) 若~(,),().X B n p E X np =则(B) 若()~1,1X U -，则()0D X =. (C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =. (D) 若2~(,),X N μσ 则~(0,1)X N μσ-.解 选(B).2. 已知X , Y 独立, E (X )= E (Y )=2, E (X 2)= E (Y 2)=5, 求E (3X -2Y ),D (3X -2Y ). 解 2,13.3. 设随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1服从区间[0, 6]上的均匀分布, 22~0,2X N （）, 3~3X E （）, 记12323Y X X X =-+, 求E (Y )和D (Y ) . 解123123()(23)()2()3()132034.3E Y E X X X E X E X E X =-+=-+=-⨯+⨯=123123()(23)()4()9()1344920.9D Y D X X X D X D X D X =-+=++=+⨯+⨯=4. 设两个随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从均值为0, 方差为12的正态分布, 求||X Y -的的期望和方差.解 记U X Y =-. 由此~(0,1)U N . 进而;2222(||)()()[()]101E U E U D U E U ==+=+=.2222(||)(||)(||)[(||)]11D X Y D U E U E U π-==-=-=-.5. 设随机变量~(1,2)X U -, 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1X X X Y求期望()E Y 和方差)(Y D .解 121()1001333E Y =-⨯+⨯+⨯=,222212()(1)001133E Y =-⨯+⨯+⨯=.故有 2218()()[()]199D YE Y E Y =-=-=.6. 设随机变量U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量1,1,1, 1.U X U --=>-⎧⎨⎩若≤若 1,1,1, 1.U Y U -=>⎧⎨⎩若≤若求E (X +Y ), D (X +Y ).解 得X 和Y 的联合密度分布为由此可见22()044E X Y +=-+=;2()[()]2D X Y E X Y +=+=.习题4-31. 选择题(1) 在下列结论中, ( )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件(A) E (XY )=E (X )E (Y ). (B) D (X +Y )=D (X )+D (Y ). (C) Cov(X ,Y )=0. (D) X 与 Y 相互独立.解 选(D).(2) 设(X , Y )服从二元正态分布, 则下列说法中错误的是( ).(A) (X , Y )的边缘分布仍然是正态分布.(B) X 与Y 相互独立等价于X 与Y 不相关.(C) (X , Y )是二维连续型随机变量.(D)由(X , Y )的边缘分布可完全确定(X , Y )的联合分布. 解 选(D)2 设D (X )=4, D (Y )=6, ρXY =0.6, 求D (3X -2Y ) .解 (32)9()4()12Cov(,)D X Y D X D Y X Y -=+-)()(126449Y D X D XY ⨯⨯-⨯+⨯=ρ.3. 设随机变量X , Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 22()()2E X E Y ==,求2[()]E X Y +.解222[()]()2()()42[Cov(,)()()]E X Y E X E XY E Y X Y E X E Y +=++=++42420.526.ρ=+=+⨯⨯=4. 设随机变量(X , Y )若E (XY )=0.8, 求常数a 解 得3.0=b . 进而1.0=a . 由此可得边缘分布律故 C o v (,)()()()0.8 1.40XY E X Y E X E Y =-=-⨯=. 5. 已知随机变量(,)~(0.5,4;0.1,9;0)X Y N , Z =2X -Y , 试求方差D (Z ),协方差Cov(,)X Z , 相关系数ρXZ .解 25944)()(4)2()(=+⨯=+=-=Y D X D Y X D Z D ,Cov(,)Cov(,2)2Cov(,)Cov(,)2()08X Z X X Y X X X Y D X =-=-=-=.因此80.825XZ ρ===⨯.6．证明: 对随机变量(X , Y ), E (XY )=E (X )E (Y )或者D (X ±Y )=D (X )+D (Y )的充要条件是X 与Y 不相关.证 首先我们来证明)()()(Y E X E XY E =和()()()D X Y D X D Y ±=+是等价的.事实上, 注意到()()()2Cov(,)D X Y D X D Y X Y ±=+±. 因此()()()D X Y D X D Y ±=+Cov(,)0()()()X Y E XY E X E Y ⇔=⇔=. 其次证明必要性. 假设E (XY )=E (X )E (Y ), 则Cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=.进而0XY ρ==, 即X 与Y 不相关.最后证明充分性. 假设X 与Y 不相关, 即0=XY ρ, 则Cov(,)0X Y =. 由此知)()()(Y E X E XY E =.总习题四1. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗. 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概率是25. 设X 为途中遇到红灯的次数, 求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.解 知2~(3,)X B . 即X 的分布律为从而6()5E X =.2. 设随机变量),(Y X 的概率密度为212,01,(,)0,.y y x f x y ⎧⎪=⎨⎪⎩≤≤≤其它求22(),(),(),()E X E Y E XY E X Y +.解 4()5E X =.3()5E Y =.1()2E XY =.2216()15E X Y +=.3. 设随机变量X 与Y 独立, 同服从正态分布1(0,)2N , 求(1) ();()E X Y D X Y --；(2) (max{,});(min{,})E X Y E X Y . 解 (1)2222(||)(||)||x x E X Y E x dx xedx ξ+∞+∞---∞-==⎰22x e+∞-=,101)]([)()()|(|2222=+=+==ξξξξE D E E .故而ππξξξ2121|)](|[)|(||)(||)(|222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==-E E D Y X D . (2) 注意到2||)(),max(Y X Y X Y X -++=, 2||),min(Y X Y X Y X --+=.所以ππ21221|]}[|)()({21)],[max(==-++=Y X E Y E X E Y X E , ππ21221|]}[|)()({21)],[min(-=-=--+=Y X E Y E X E Y X E . 4. 设随机变量),(Y X 的联合概率密度为,02,02,8(,)0,.x yx y f x y +⎧⎪=⎨⎪⎩≤≤≤≤其它求: E (X ), E (Y ), Cov(X ,Y ), ρXY , D (X+Y ).解 7()6E X =,25()3E X =,因而11()36D X =.4()3E XY =. 由对称性知2275()(),()()63E Y E X E Y E X ====, 3611)()(==X D Y D .这样，1Cov(,)()()()36X Y E XY E X E Y =-=-, 111XY ρ==-,5()()()2Cov(,)9D X Y D X D Y X Y +=++=.。