高中的数学公式定理大全
高中必背数学公式有哪些
高中必背数学公式有哪些高中必背的数学公式(一)两角和公式1、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA2、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB3、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)4、ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)(二)倍角公式1、cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A2、tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgA(三)半角公式1、sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)2、cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)3、tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))4、ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))(四)和差化积1、2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2、2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)3、sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)4、tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB5、ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB(五)几何体表面积和体积公式1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高)3、正方体:表面积:S=6a2,体积:V=a3(a-边长)4、长方体:表面积:S=2(ab+ac+bc)体积:V=abc(a-长,b-宽,c-高)5、棱柱:体积:V=Sh(S-底面积,h-高)6、棱锥:体积:V=Sh/3(S-底面积,h-高)7、棱台:V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3(S1上底面积,S2下底面积,h-高)8、拟柱体:V=h(S1+S2+4S0)/6(S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中截面积,h-高)9、圆柱:S底=πr2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h(r-底半径,h-高,C—底面周长,S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积)10、空心圆柱:V=πh(R^2-r^2)(R-外圆半径,r-内圆半径,h-高)11、直圆锥:V=πr^2h/3(r-底半径,h-高)12、圆台:V=πh(R2+Rr+r2)/3(r-上底半径,R-下底半径,h-高)13、球:V=4/3πr^3=πd^3/6(r-半径,d-直径)14、球缺:V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3(h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径)15、球台:V=πh[3(r12+r22)+h2]/6(r1球台上底半径,r2-球台下底半径,h-高)16、圆环体:V=2π2Rr2=π2Dd2/4(R-环体半径,D-环体直径,r-环体截面半径,d-环体截面直径)高中必背的圆的公式(一)圆的公式1、圆体积=4/3(pi)(r^3)2、面积=(pi)(r^2)3、周长=2(pi)r4、圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2【(a,b)是圆心坐标】5、圆的一般方程x2+y2+dx+ey+f=0【d2+e2-4f0】(二)椭圆公式1、椭圆周长公式:l=2πb+4(a-b)2、椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴,长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差3、椭圆面积公式:s=πab4、椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积高考数学答题的技巧是什么1、首先是精选题目,做到少而精。
高中数学公式及定理大全
高中数学常用公式及定理大全1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+.5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得,具体如下:(1)当a>0时,若[]q p a bx ,2∈-=,则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=; []q p abx ,2∉-=,{}max max ()(),()f x f p f q =,{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时,若[]q p abx ,2∈-=,则{}min ()min (),()f x f p f q =,若[]q p abx ,2∉-=,则{}max ()max (),()f x f p f q =,{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据:若()()0f m f n <,则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(,则(1)方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩;(2)方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩; (3)方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L (形如[]βα,,(]β,∞-,[)+∞,α不同)上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.13.14.四种命题的相互关系原命题 互逆 逆命题15.充要条件(1)充分条件:若p q ⇒,则p 是q 充分条件.(2)必要条件:若q p ⇒,则p 是q 必要条件.(3)充要条件:若p q ⇒,且q p ⇒,则p 是q 充要条件.注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数;[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数.19.若函数)(x f y =是偶函数,则)()(a x f a x f --=+;若函数)(a x f y +=是偶函数,则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22.多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26.互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx fy +=-,而函数)([1b kx fy +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)(1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T=a ; (2)0)()(=+=a x f x f ,或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f , 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ; (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ,则)(x f 的周期T=3a ; (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<,则)(x f 的周期T=4a ;(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ; (6))()()(a x f x f a x f +-=+,则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂(1)m na =(0,,a m n N *>∈,且1n >). (2)1m nm naa-=(0,,a m n N *>∈,且1n >).31.根式的性质(1)na =.(2)当na =; 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32.有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.注: 若a >0,p 是一个无理数,则a p 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).35.对数的四则运算法则若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N =-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ,且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ,且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数., (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>,0p >,0a >,且1a ≠,则 (1)log ()log m p m n p n ++<.(2)2log log log 2a a am nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ,平均增长率为p ,则对于时间x 的总产值y ,有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈;其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈; 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩;其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44.常见三角不等式 (1)若(0,)2x π∈,则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈,则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=,tan θ=θθcos sin ,tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+,x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+,x ∈R(A,ω,ϕ为常数,且A ≠0,ω>0)的周期2T πω=;函数tan()y x ωϕ=+,,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数,且A≠0,ω>0)的周期T πω=.51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理(1)111222a b c S ah bh ch ===(a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高). (2)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)22(||||)()OAB S OA OB OA OB ∆=⋅-⋅.54.三角形内角和定理在△ABC 中,有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)kx a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数,那么(1) 结合律:λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律:(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律:λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律: (1) a ·b= b ·a (交换律); (2)(λa )·b= λ(a ·b )=λa ·b = a ·(λb ); (3)(a +b )·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e 1+λ2e 2.不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,且b ≠0,则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ. 61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈,则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式 ,A B d=||AB AB AB =⋅=11(,)x y ,B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,且b ≠0,则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ,222(,)P x y ,(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数,且12PP PP λ=,则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-(11t λ=+). 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ,y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ,且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,则 (1)O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. (2)O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.(3)O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. (4)O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. (5)O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式:(1),a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a =b 时取“=”号).(2),a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a =b 时取“=”号). (3)3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>(4)柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈(5)b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数,则有(1)若积xy 是定值p ,则当y x =时和y x +有最小值p 2; (2)若和y x +是定值s ,则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(22+-=+ (1)若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大; 当||y x -最小时,||y x +最小.(2)若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小; 当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->,如果a 与2ax bx c ++同号,则其解集在两根之外;如果a 与2ax bx c ++异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<; 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时,有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式 (1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. (22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. (32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ).78.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).(3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、)(5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠;②1212120l l A A B B ⊥⇔+=; 80.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时,直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时,直线l 1到l 2的角是2π. 82.四种常用直线系方程(1)定点直线系方程:经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数.(2)共点直线系方程:经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l ),其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程:直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时,表示平行直线系方程.与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠),λ是参变量.(4)垂直直线系方程:与直线0Ax By C ++= (A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量.83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=,则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是: 若0B ≠,当B 与Ax By C ++同号时,表示直线l 的上方的区域;当B 与Ax By C ++异号时,表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =,当A 与Ax By C ++同号时,表示直线l 的右方的区域;当A 与Ax By C ++异号时,表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=(12120A A B B ≠),则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是:111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分; 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程(1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.(2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).(3)圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.(4)圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数.(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数.(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数.88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=.①若已知切点00(,)x y 在圆上,则切线只有一条,其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程.②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-,再利用相切条件求k ,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y 轴的切线.③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+,再利用相切条件求b ,必有两条切线.(2)已知圆222x y r +=.①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±.92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=,)(22x ca e PF -=.94.椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. (2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b⇔+>. 95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. (3)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+,22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程:22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-2222by a x (0>λ,焦点在x轴上,0<λ,焦点在y 轴上).99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ,其中22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线:(1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --;(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-;(3)准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>.(2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.(3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||||AB x x y y ==-=-(弦端点A ),(),,(2211y xB y x ,由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ,0∆>,α为直线AB 的倾斜角,k 为直线的斜率).107.圆锥曲线的两类对称问题(1)曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. (2)曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=,用0x x 代2x ,用0y y 代2y ,用002x y xy +代xy ,用02x x +代x ,用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程均是此方程得到.109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行.110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行.111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直.112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直;(3)转化为线与另一线的射影垂直;(4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a +b =b +a .(2)加法结合律:(a +b )+c =a +(b +c ). (3)数乘分配律:λ(a +b )=λa +λb .116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb .P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+. 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+, 或对空间任一定点O ,有序实数对,x y ,使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ,满足OP xOA yOB zOC =++(x y z k ++=),则当1k =时,对于空间任一点O ,总有P 、A 、B 、C 四点共面;当1k ≠时,若O ∈平面ABC ,则P 、A 、B 、C 四点共面;若O ∉平面ABC ,则P 、A 、B 、C 四点不共面.C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++(O ∉平面ABC ).120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组x ,y ,z ,使p =x a +y b +z c .推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数x ,y ,z ,使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ,e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ,作B 点在l 上的射影'B ,则''||cos A B AB =〈a ,e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a =123(,,)a a a ,b =123(,,)b b b 则 (1)a +b =112233(,,)a b a b a b +++; (2)a -b =112233(,,)a b a b a b ---; (3)λa =123(,,)a a a λλλ (λ∈R);(4)a ·b =112233a b a b a b ++; 123.设A 111(,,)x y z ,B 222(,,)x y z ,则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124.空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =,222(,,)b x y z =,则a b ⇔(0)a b b λ=≠⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩;a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a =123(,,)a a a ,b =123(,,)b b b ,则 cos 〈a ,b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++,此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127.异面直线所成角cos |cos ,|a b θ==21||||||a b a b x ⋅=⋅+(其中θ(090θ<≤)为异面直线a b ,所成角,,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量)128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角,则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角,则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-(m ,n 为平面α,β的法向量).132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线,且BC ⊥AC ,垂足为C ,又设AO 与AB 所成的角为1θ,AB 与AC 所成的角为2θ,AO 与AC 所成的角为θ.则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ,则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ,B 222(,,)x y z ,则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上,直线l 的方向向量a =PA ,向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线,其公垂向量为n ,C D 、分别是12,l l 上任一点,d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=(n 为平面α的法向量,AB 是经过面α的一条斜线,A α∈). 138.异面直线上两点距离公式22cos d mn θ=.',d EA AF =.d =('E AA F ϕ=--).(两条异面直线a 、b 所成的角为θ,其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ,'A E m =,AF n =,EF d =). 139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、,夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ,它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143.作截面的依据三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).(1)E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形,则面数F 与棱数E 的关系:12E nF =; (2)若每个顶点引出的棱数为m ,则顶点数V 与棱数E 的关系:12E mV =. 146.球的半径是R ,则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=.147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a ,. 148.柱体、锥体的体积13V Sh =柱体(S 是柱体的底面积、h 是柱体的高).13V Sh =锥体(S 是锥体的底面积、h 是锥体的高).149.分类计数原理(加法原理) 12n N m m m =+++. 150.分步计数原理(乘法原理) 12n N m m m =⨯⨯⨯. 151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =!!)(m n n -.(n ,m ∈N *,且m n ≤).注:规定1!0=.152.排列恒等式(1)1(1)m m n n A n m A -=-+;(2)1mmn n n A A n m -=-; (3)11m m n n A nA --=;(4)11n n nn n n nA A A ++=-; (5)11m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.153.组合数公式m nC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=!!!)(m n m n -⋅(n ∈N *,m N ∈,且m n ≤).154.组合数的两个性质 (1)mn C =mn nC - ; (2) m n C +1-m nC =mn C 1+.注:规定10=n C .155.组合恒等式(1)11mm n n n m C C m --+=; (2)1m mn n n C C n m -=-;(3)11mm n n n C C m--=;(4)∑=nr r nC0=n2;(5)1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C . (6)nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)rn m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅! .157.单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. (1)“在位”与“不在位”①某(特)元必在某位有11--m n A 种;②某(特)元不在某位有11---m n m n A A (补集思想)1111---=m n n A A (着眼位置)11111----+=m n m m n A A A (着眼元素)种.(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)①定位紧贴:)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴:n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注:此类问题常用捆绑法;③插空:两组元素分别有k 、h 个(1+≤h k ),把它们合在一起来作全排列,k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.(3)两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法?当1+>m n 时,无解;当1+≤m n 时,有n m n nn m C A A 11++=种排法.(4)两组相同元素的排列:两组元素有m 个和n 个,各组元素分别相同的排列数为nn m C +. 158.分配问题(1)(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人,各得n 件,其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . (2)(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆,其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--.(3)(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人,物件必须被分完,分别得到1n ,2n ,…,m n 件,且1n ,2n ,…,m n 这m 个数彼此不相等,则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m =⋅⋅=-.(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人,物件必须被分完,分别得到1n ,2n ,…,m n 件,且1n ,2n ,…,m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等,则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.(5)(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ,2n ,…,m n 件无记号的m 堆,且1n ,2n ,…,m n 这m 个数彼此不相等,则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ,2n ,…,m n 件无记号的m 堆,且1n ,2n ,…,m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等,则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.(7)(限定分组有归属问题)将相异的p (2m p n n n =1+++)个物体分给甲、乙、丙,……等m 个人,物体必须被分完,如果指定甲得1n 件,乙得2n 件,丙得3n 件,…时,则无论1n ,2n ,…,m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!!...21211m n n n n p n p n n n p C C C N m m =⋅=-.159.“错位问题”及其推广。
高中数学常用公式大全
高中数学常用公式大全1.平方公式:- (a+b)² = a² + 2ab + b²- (a-b)² = a² - 2ab + b²-(a+b)(a-b)=a²-b²2.完全平方公式:-a²-b²=(a+b)(a-b)3.二次方程求根公式:- 对于二次方程ax²+bx+c=0,其中a≠0方程的解为:x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)4.一元二次方程的判别式:- 对于二次方程ax²+bx+c=0判别式D=b²-4ac,若D>0,方程有两个不相等的实根;若D=0,方程有两个相等的实根;若D<0,方程无实数解。
5.三角函数公式:- 正弦定理:a/sinA = b/sinB = c/sinC- 余弦定理:c² = a² + b² - 2abcosC6.相似三角形的定理:-AAA(全等):两个三角形的三个角分别相等,则两个三角形相似。
-SSS:两个三角形的对应边的比例相等,则两个三角形相似。
-SAS:两个三角形的一个角相等,且两边的比例相等,则两个三角形相似。
-AA:两个三角形的两个角相等,则两个三角形相似。
7.等腰三角形的性质:-底角相等:等腰三角形的两个底角相等;-等边等角:等腰三角形的两边相等,两个底角也相等;-高线一致性:等腰三角形的高线相等。
8.圆的相关公式:-圆的周长:C=2πr-圆的面积:S=πr²-圆心角与弧度的关系:θ=s/r,其中s是弧长,r是半径。
9.三角函数的关系:- tanθ = sinθ/cosθ- cotθ = cosθ/sinθ- secθ = 1/cosθ- cscθ = 1/sinθ10.平行线与三角形的对应角关系:-内错角定理:若两条平行线被一条截线切割,对应角相等。
高中必背88个数学公式
高中必背88个数学公式1. 勾股定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边平方。
2. 余弦定理:在任意三角形中,一个角的余弦等于与该角相对的边的平方和减去另外两条边的平方的差再除以两倍的另一条边与该角相对的角的正弦的乘积。
3. 正弦定理:在任意三角形中,一个角的正弦等于与该角相对的边长和另外两条边长的比例的乘积。
4. 长方形面积公式:长方形的面积等于长乘以宽。
5. 平行四边形面积公式:平行四边形面积等于底边长乘以高。
6. 梯形面积公式:梯形的面积等于上底加下底乘以高再除以二。
7. 三角形面积公式:三角形面积等于底边长乘以高再除以二。
8. 圆面积公式:圆的面积等于圆周率乘以半径的平方。
9. 圆周长公式:圆的周长等于直径乘以圆周率。
10. 球体表面积公式:球体的表面积等于四倍的圆面积。
11. 球体体积公式:球体的体积等于四分之三的圆面积乘以半径的立方。
12. 一次函数方程: y = kx + b。
13. 二次函数方程: y = ax² + bx + c。
14. 等差数列通项公式: an = a1 + (n - 1)d,其中a1为首项,d为公差,an为第n项。
15. 等差数列前n项和公式: Sn = n(a1 + an)/2,其中a1为首项,an为第n项,n为项数。
16. 等比数列通项公式:an = a1 × qⁿ⁻¹,其中a1为首项,q为公比,n为项数。
17. 等比数列前n项和公式: Sn = a1(1 - qⁿ)/1 - q,其中a1为首项,q为公比,n为项数。
18. 三角函数正弦的定义:在直角三角形中,任意一锐角的正弦是指这个角的对边与这个角所在的斜边的比值。
19. 三角函数余弦的定义:在直角三角形中,任意一锐角的余弦是指这个角的邻边与这个角所在的斜边的比值。
20. 三角函数正切的定义:在直角三角形中,任意一锐角的正切是指这个角的对边与这个角的邻边的比值。
21. 三角函数余切的定义:在直角三角形中,任意一锐角的余切是指这个角的邻边与这个角的对边的比值。
高中数学重要公式定律
高中数学重要公式定律1.指数(1)分数指数幂①nm nm a a =()1,,,0*>∈>n Nn m a 且②n m n m nm aa a 11-==()1,,,0*>∈>n Nn m a 且③0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义。
(2)运算的性质:设Qs ,r ,b<a>∈,00①s r s r a a a +=sr s r aa a +=②r-s s r a aa =③()rssr a a =④()r r r b a ab =⑤rb r a rb a =⎪⎭⎫⎝⎛2.对数(1)性质:①()101log ≠>=,a a a a ②()1001log ≠>=,a a a (2)常用对数:N N lg log 10=;自然对数:N N e In log =(3)运算性质:设1000≠>>>,a ,a ,N M 那么:①()N M MN a a a log log log +=②N M Ma a alog log log -=③()R n M n M a a ∈=log log n (4)常用公式设0011000≠≠≠≠>>>,n ,m ,b ,a ,b ,a N①对数恒等式:N a N a =log ②换底公式:bN N a a b log log log =③ab b a log 1log =3.空间几何体公式(1)侧面积公式:①πrl S 2圆柱侧=②πrl S =圆锥侧③()l r r πS '+=圆台侧(2)表面积公式:①()l r πr S +=2圆柱②2圆锥πr πrl S +=③()rl l r r r πS ''+++=22圆台④2R 4πS =球(3)体积公式:①Sh V =棱柱②hπr V 2圆柱=③ShV 1棱柱=()''S SS S h V ++=1棱台④h πr V 2圆锥31=()22圆台31r'rr r πh V '++=⑤3球34πR V =4.直线与平面之间的平行与垂直(1)空间两直线平行的判定:①c a c b b a //////⇒⎭⎬⎫②b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα③ba b a //⇒⎭⎬⎫=⊂βαβ ④a//bb βγa αγ⇒⎭⎬⎫== (2)空间两直线垂直的判定:①b a b a a ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥ααα//②b l a l b a ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥////βα(3)直线与平面平行的判定:①ααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄②βαβα////a a ⎭⎬⎫⊂(4)直线与平面平行的性质:b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βααβ(5)直线与平面垂直的判定:①ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⊂⊂l n l m l B n m n m ,, ②αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //(6)直线与平面垂直的性质:b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα(7)平面与平面平行的判定:①βαααββ////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂A b a b a b a ②βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ③βαγβγα//////⇒⎭⎬⎫(8)平面与平面平行的性质:b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα (9)平面与平面垂直的判定:①βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ②二面角的平面角90=θ(10)平面与平面垂直的性质:①βαβαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂=⊥a b a a b ,, ②αββαα⊂⇒⎭⎬⎫⊥⊥∈∈a a A a A ,,5.直线、圆与方程(1)直线的斜率公式:()211212x x x x y y k ≠--=(2)直线方程:①点斜式:()00x x k y y -=-②斜截式:b kx y +=③两点式:121121x x x x y y y y --=--④截距式:()01≠=+ab bya x ⑤一般式:()0022≠+=++B A C By Ax (3)两条直线的位置关系:①()()2121222111且平行b b k k b x k y l b x k y l ≠=+=+=:与②()()1垂直21222111-=+=+=k :k b x k y 与l b x k y l ③2121212222111100C CB B A A :)C y B x (A l )C y B x (A l ≠==++=++平行与④000212122221111=+=++=++B B A :A )C y B x (A l )C y B x (A l 垂直与(4)距离公式:①两点间距离:()()21221221y y x x P P -+-=②点到直线的距离:2200B A CBy Ax d +++=③两平行线间的距离:2212B A C C d +-=(5)圆的方程:①圆的标准方程:()()222r b y a x =-+-,其中圆心为()b a ,,半径为r②圆的一般方程:FE D r E DF E D F Ey Dx y x 421,2,2,04,0222222-+=⎪⎭⎫⎝⎛-->-+=++++半径为圆心为其中(6)空间直角坐标系:①空间中的点与原点的距离公式:222z y x OP ++=②空间中任意两点的距离公式:()()()22122122121z z y y x x P P -+-+-=③空间的中点坐标公式:⎪⎭⎫⎝⎛+++2,2,2212121z z y y x x 6.概率与统计(1)概率:①古典概型的概念公式:()nmA A P ==基本事件总数包含的基本事件数事件②几何概型的概率公式:()()()体积积或面的区域长区试验的全部结果所构成体积积或面的区域长区构成事件A A P =(2)统计①离散型随机变量的数学期望:()nn i i p x p x p x p x X E ++++=2211性质:()()()是常数b a b X aE b aX E ,+=+若X 服从两点分布,则()p X E =;若X 服从二项分布,即()p n B X ,~,则()npX E =②离散型随机变量的方差:()()()ini i p X E x X D ∑=-=12性质:()()()是常数b a X D a b aX D ,2=+若X 服从两点分布,则()()p p X D -=1若X 服从二项分布,即()p n B X ,~,则()()p np X D -=17.三角函数(1)弧度与角度的换算关系:①rad rad 017453.01==π②'18573.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad (2)弧长公式:rl α=扇形的面积公式:2211r lr S α==(3)同角三角函数的基本关系:①1cos sin 22=+αα②⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠=z ,k πkπαααα2cos sin tan (4)三角函数的诱导公式:公式一:()απαsin 2sin =⋅+k ()απαcos 2cos =⋅+k ()()z k απk α∈=⋅+其中tan 2tan 公式二:()ααπsin sin -=+()ααπcos cos -=+()ααπtan tan =+公式三:()ααsin sin -=-()ααcos cos =-()ααtan tan -=-公式四:()ααπsin sin =-()ααπcos cos -=-()ααπtan tan -=-公式五:ααπcos 2sin =⎪⎭⎫⎝⎛-ααπsin 2cos =⎪⎭⎫⎝⎛-公式六:ααπcos 2sin =⎪⎭⎫⎝⎛+ααπsin 2cos -=⎪⎭⎫⎝⎛+8.平面向量(1)向量的坐标运算:设()()则,,,,,2211R y x b y x a ∈==λ①()2121,y y x x b a ±±=±②()()1111,,y x y x a λλλλ== ③2121cos y y x x b a b a +=⋅=⋅θ (2)平面向量的重要定理、公式:①平面向量基本定理:2211e e aλλ+=②两个向量平行的充要条件:()0//1221=-⇔=⇔≠y x y x b a b b aλ③两个非零向量垂直的充要条件:002121=+⇔=⋅⇔⊥y y x x b a b a④长度公式:()()⎧-+-=+=22122122y y x x y x a ⑤角度公式:()之间的夹角与为非零向量b a y x y x y y x x b a b aθcos 222221212121+⋅++=⋅⋅=θ9.三角恒等变换(1)两角和与差的三角函数:()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos =±()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±()()πϕϕϕϕααα20cos ,sin ;sin cos sin 222222≤≤+=+=++=+ba a ba b b a b a 其中(2)二倍角公式:αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=(3)积化和差与和差化积公式:()()βαβαβα-++=sin sin cos sin 2()()βαβαβα--+=sin sin sin cos 2()()βαβαβα-++=cos cos cos cos 2()()βαβαβα--+=-cos cos sin sin 22cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+sincos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-(4)半角公式:2cos 1sinαα-±=2cos 1cosαα+±=αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±=10.解三角形(1)正弦定理:()的外接圆外接为2sin sin sin ΔABC R R CcB b A a ===(2)余弦定理:Abc c b a cos 2222-+=Bac c a b cos 2222-+=Cab b a c cos 2222-+=推理:bca cb A 2cos 222-+=acb c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=(3)三角形的面积公式Cab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===∆11.数列(1)等差数列:通项公式:()dn a a n 11-+=中项公式:()成等差列,,2b A a b a A +=前n 项和公式:()()dn n na a a n S n n 21211-+=+=(2)等比数列:通项公式:11-=n n q a a 中项公式:abG =2()成等比数列,,b G a 前n 项和公式:()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=--=11111S 111n q na q q q a a q q a n n (3)n a 与n S 的关系:()()⎩⎨⎧=≥-=-1211n S n S S a n nn (4)常用求和公式:①()211+=∑=n n k nk ②()()612112++=∑=n n n k nk ③()2131⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑=n n k nk 12.基本不等式(1)()时等号成立当且仅当b a ab b a =≥+222(2))时等号成立当且仅当b a ab ba =≥+(3)()()时等号成立当且仅当b a b a b a ba ab ba =>+≤+≤≤+0,,221122213.圆锥曲线与方程(1)椭圆:标准方程:()012222>>=+b a b y a x 离心率:()222,10b a c e ace -=<<=(2)双曲线:标准方程:()0,012222>>=-b a b y a x 离心率:()222,1b a c e ace +=>=(3)抛物线:标准方程:()022>=p px y 准线:2p x -=离心率:1=e 14.空间向量与立体几何(1)空间向量运算的坐标表示:设()()为实数,则,,,,,,222111λz y x b z y x a ==()212121,,z z y y x x b a +++=+()212121,,z z y y x x b a ---=-()111,,z y x a λλλλ=212121z z y y x x b a ++=⋅222222212121212121,cos z y x z y x z z y y x x ba b a b a ++⋅++++=⋅⋅=(2)空间向量的平行和垂直:()λλ===⇔=⇔≠2121210//z z y y x x b a b b a2121210z z y y x x b a b a ++⇔=⋅⇔⊥(3)空间两点的距离:()()()212212212z z y y x x -+-+-=15.导数及其应用(1)几种常见函数的导数:①()为常数0'c c =②()()0,1'≠∈=-n Q n nx x n n 且③()x x cos sin '=④()x x sin cos '-=⑤()x x e e ='⑥()()1,0'≠>=a a Ina a a x x 且⑦()()01'>=x x Inx ⑧()()1,0,01log '≠>>=a a x x a 且(2)导数的运算①()[]()[]()()x g x f x g x f '''±=±②()()[]()()()()x g x f x g x f x g x f '''+=⋅③()()()()()()()[]()()02'''≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x g x g x f x g x f x g x f (3)定积分的基本性质:①()()()为常数k dx x f k dx x kf ba b a ⎰⎰=②()()[]()()⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x f dx x f dx x f x f 2121③()()()()b c a dx x f dx x f dx x f bc c a b a <<+=⎰⎰⎰其中16.数系的扩充与复数的引入(1)复数:()R b a bi a z ∈+=,,其共轭复数为bia z -=(2)复数的代数运算12-=i i i -=314=i d b c a di c bi a ==⇔+=+,()()()()i d b c a di c bi a ±+±=+±+()()()()i ad bc bd ac di c bi a ++-=++()02222≠++-+++=++di c i ad bc bd ac bi a 17.记数原理(1)排列数公式:()()()()()n m N m n m n n m n n n n A m n ≤∈-=+---=且、,!!121* (2)组合数公式:()()()()()n m N m n m n m n m m n n n n A A C m m m n m n ≤∈-=+---==且、,!!!!121* (3)组合数与排列数的关系:()n m A C A m m m n m n≤⋅=(4)二项式定理()()*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+-- 通项公式:()n r b a C T r r n r nr ≤≤=-+01二项式系数的性质:①m n n m n C C -=②n n n n nC C C 210=+++ ③131202-=++=++n n n n nC C C C 特例:1!0=10=n C。
高中数学48条秒杀公式
高中数学48条秒杀公式高中数学是学生学习中的重点科目之一,其中包含了许多重要的概念和公式。
下面将介绍一些高中数学中的重要公式,共计48条。
1.二项式定理(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n)*a^0*b^n2.线性方程组求解法若线性方程组(A*X=B)的未知数个数等于方程组的个数,且A为满秩矩阵,则方程组有唯一解。
3.二次函数顶点公式二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标为 (-b/2a, c - b^2/4a)4.一元二次方程求根公式一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根为 x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a5.直角三角形勾股定理直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方:a^2+b^2=c^26.平方差公式(a+b)(a-b)=a^2-b^27.解二次不等式若二次函数的导数大于零,即二次函数开口向上,则解二次不等式可以用开区间表示。
8.正弦定理在三角形ABC中,a/sinA = b/sinB = c/sinC9.余弦定理在三角形ABC中,c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC10.对数换底公式loga(b) = logc(b) / logc(a)11.利用二进制进行计算x<<n等于x*2^n;x>>n等于x/2^n12.集合中元素个数公式集合A中元素的个数为,A13.随机事件的概率公式P(A)=N(A)/N(S),其中N(A)为事件A的可能结果数,N(S)为样本空间S的可能结果数。
14.圆的面积公式圆的面积S=πr^2,其中r为半径。
15.等差数列前n项和公式等差数列a(n)=a(1)+(n-1)d,前n项和Sn=n(a(1)+a(n))/216.等差数列通项公式等差数列a(n)=a(1)+(n-1)d17.等比数列前n项和公式等比数列a(n)=a(1)*r^(n-1),前n项和Sn=(a(1)*(r^n-1))/(r-1),其中r不等于118.等比数列通项公式等比数列a(n)=a(1)*r^(n-1)19.二次函数图像性质当a>0时,二次函数开口向上;当a<0时,二次函数开口向下。
高中数学常用公式及定理
. ............................. 北為 ................... ...................高中数学常用公式及定理1熟悉这些解题小结论,启迪解题思路、探求解题佳径,防止解题易误点的产生,对提升数学成绩将会起到很大的作用。
2•所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记,且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。
1. 元素与集合的关系:x A x C u A,x C U A x A.2. 德摩根公式:C u(Ap|B) C U A(JC U B;C U(A[J B) C u A^C u B.3. 包含关系A^B A A[J B B AB C u B C u A C u B C u B R4. 容斥原理card(A^B) cardA cardB card(A「|B)card (A |J B |Jc) cardA cardB cardC card (A^j B)card (A『|B) card(B 什C) card (^^| A) card (A『| C).5. 集合{a i,a2,|||,a n}的子集个数共有2n个;真子集有2n- 1个;非空子集有2n- 1个;非空的真子集有2n- 2个.6. 二次函数的解析式的三种形式(1)一般式f(x) ax2 bx c(a 0) ; (2) 顶点式f(x) a(x h)2 k(a 0);(3)两根式f (x) a(x x1)(x x2)(a 0).7. 解连不等式N f(x) M常有以下转化形式:N f(x) M [f(x) M][f(x) N] 0 ;8. 方程f(x) 0在(k「k2)上有且只有一个实根,与f(kjf(k2)0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程ax2 bx c 0(a 0)有且只有一个实根在(《,k2)内,等价于“f(kjf(k2)0 ”或“f(kj 0且人卫—2 ”或“ fh) 0且勺邑—k2 ”2a 2 2 2a9. 闭区间上的二次函数的最值二次函数f (x) ax2 bx c(a 0)在闭区间p,q上的最值只能在x —处及区间的两2a 端点处取得,具体如下:10. 一元二次方程的实根分布f(m)f( n) 0,则方程f(x) 0在区间(m, n)内至少有一个实根•p 2 4q 0f(x) 0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m) 0或_p m 2f(m) 0f( n) 0 f (m) 0pm nf(n) 011. 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据:2(1)当a>0时,若x⑵当a<0时,若xb2ab2a b2ab 2ap,q ,则 f(x)minp,q , p,q , p,q , 曲 為 vi/mf .....................................bf ( —), f (x)max max f(P ), f(q);af(x) max maxf (p), f (q) ,f (x) min min f (p), f(q).则 f (x)min min f (p), f (q);则 f(x )maxmax f (p), f (q) , f (x)minmin f (p), f (q).(3) 方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为f(n)2p0或上2 4q依据:若 f(x)x 2 px q ,则方程 (1) (2) 方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)f (m) 0f(n) 0 2p4q £ 2f(m) 0 f(n) 0p m —2(1)在给定区间( )的子区间L (形如不同)上含参数的二次不等式f (X,t) 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是f ( X, t) min0(x L).(2)在给定区间()的子区间上含参数的二次不等式 f(x,t) 0(t 为参数)恒成立的充要条件是f (x,t)man0(x L).⑶ f(x) ax 4 bx 2c 0 (a 0)恒成立的充要条件是bb0 0 2a 或 2ac 0b 2 4ac 0....................... 曲為viZk#................................................12. 真值表13. 常见结论的否定形式14.四种命题的相互关系若非p则非q 互逆若非q贝U非p ....................... 北為............. ...............15. 充要条件(1)充分条件:若p q ,则p是q充分条件.(2)必要条件:若q p,则p是q必要条件.(3)充要条件:若p q,且q p,则p是q充要条件.注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.16. 函数的单调性⑴设X i X2 a,b,X i X2那么(% x2) f(xj f(x2) 0 f (Xl)一f (x2)o f (x)在a,b 上是增函数;X i X2(为x2) f(xj f (x2) 0 f (Xi)一f (X2)o f (x)在a,b 上是减函数.X-I x2⑵设函数y f (x)在某个区间内可导,如果f (x) 0,则f (x)为增函数;如果f (x) 0,则f (x)为减函数.17. 如果函数f (x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x) g(x)也是减函数;如果函数y f (u)和u g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y f[g(x)]是增函数. 18•奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.19. 若函数y f (x)是偶函数,贝U f (x a) f ( x a);若函数y f(x a)是偶函数,贝U f (x a) f ( x a),并且y f (x)关于x a对称.20. 对于函数y f (x) ( x R), f (x a) f (b x)恒成立,则函数f (x)的对称轴是函数x -b;两个函数y f(x a)与y f (b x)的图象关于直线x --对称.2 221. 若f (x) f ( x a),则函数y f (x)的图象关于点(a,0)对称;若f (x) f (x a),则函数y f(x)为周期为2a的周期函数.2....................... 北為viZmf-.................. ............................. 22. 多项式函数P(x) a n x n a n用1川a0的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数y f(x)的图象的对称性(1)函数y f(x)的图象关于直线x a 对称 f (a x) f (a x) f (2 a x) f (x)⑵函数y f(x)的图象关于直线x a b对称 f (a mx) f (b mx)f (a b mx) f (mx)2m24. 两个函数图象的对称性(1) 函数y f (x)与函数y f( x)的图象关于直线x 0(即y轴)对称.⑵函数y f(mx a)与函数y f(b mx)的图象关于直线x --对称.2m(3)函数y f(x)和y f tx)的图象关于直线y=x对称.25. 若将函数y f (x)的图象右移a、上移b个单位,得到函数y f (x a) b的图象;若将曲线f (x,y) 0的图象右移a、上移b个单位,得到曲线f (x a, y b) 0的图象.26. 互为反函数的两个函数的关系:f(a) b f 1(b) a .27. 若函数y f (kx b)存在反函数,则其反函数为y 1 [f^x) b],并不是y f tkx b),而k函数y f 1(kx b)是y —[ f (x) b]的反函数.k28. 几个常见的函数方程(1) 正比例函数f(x) cx,具有性质:f (x y) f(x) f(y), f (1) c.(2)指数函数f (x) a x,具有性质:f (x y) f(x)f(y), f(1) a 0 .(3)对数函数f (x) lo9f (x) f(y), f(a) 1(a 0,a 1).a x ,具有性质:f (xy)⑷幕函数f(x) x ,具有性质:f (xy) f (x)f (y), f'(1).(5)余弦函数f(x) cosx,正弦函数g(x) sin x,具有性质:f (x y) f(x)f(y) g(x)g(y),1.f (0) 1,lim g^x 0x29.几个函数方程的周期(约定a>0)(1) f(x) f(x a),则f(x)的周期T a;⑵f(x a)f (x)或 f (x期T 2a⑶ f(xa)- 1—-,(f (x)1 f (x) ⑷ f (X 1X 2)f(xj f(X 2) 1 f (X 1) f (X 2)则f(x)的周期T 4a ;⑸ f(xa) f(x) f(x aa) 1),则f(x)的周期T 3a ;且 f(a) 1(f(xJ f(X 2)1,0),则f(x)的周期T 缶(f(x) 0)或f(x a)—(f(x) 0),贝U f(x)的周 f(x)|为 X 2I 2a),6a.30.分数指数幕 m ___ (1) a n n ? (a 0, m, n N ,且 n 1 );⑵ a(a 0, m, n N ,且31 •根式的性质 (1) (n ・a)n a . (2)当n 为奇数时, 当n 为偶数时,n a n| a|a,a 0 a, a 032.有理指数幕的运算性质 (1) a r a s a r s (a 0,r,s Q);⑵(a r ) a rs (a 0,r,s Q);⑶(ab)r a r b r (a0,b 0,r Q)33.指数式与对数式的互化式 log a N bN (a 0,a 1,N0).34.对数的换底公式 log m N bg a N話(a 0,且a 1, N 0).n loga b ( a m 35.对数的四则运算法则 推论log m b n a0,且a 0,且 m 1, n 1, N 0).右 a > 0, a 工 1, Mt> 0, N> 0,则 (1) log a (MN ) log a M log N ;(2) log a M log a N M log a N ;(3) log a M n nlogM(nR).36.设函数 f(x) log m (ax 2 bx c)(a 0),记 b 2 4ac .若f(x)的定义域为R ,则a 0 ,且 0 ;若f(x)的值域为R,则a 0 ,且 0.【对于a 0的情形,需要单独检验.】37.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p ,则对于时间x的总产值y,有y N(1 p)x.38.数列的通项公式a n与前n项的和S n的关系%39.等差数列的通项公式: a n a-i (n i)d dn a i d(n N其前n项和S n公式为: Sn n(a i a.)2n(n i)d2 -d)n.240.等比数列的通项公式: ana i nq (n a(i其前n项的和公式为: q ) i qg,q in、亠,qa i或S niF’qig,q i,q4i.等比差数列a n : a n i qa n d,a i b(q 0)的通项公式为a nb (n i)d,q i bq n(d b)q n i d,q【用待定系数法来求】;i42•常见三角不等式(i)若x (0,),则sinx2x tanx ; (2) (0,2),则i sinx cosx 2.(3) |sinx| |cosx| i.43.同角三角函数的基本关系式: sin2cos2tan sincostan cot i. 44.正弦、余弦的诱导公式:奇变偶不变, 符号看象限ni)2 sin , n为偶数n ii)2 cos , n为奇数co S(n245.和角与差角公式sin( )sin cos cos sin ;cos(tan(tan tani-- ta n tanasin bcos = . a2b2sin( )(辅助角定,tanni)2cosn ii)2sincos cos,n为偶数,n为奇数・・sinsin所在象限由点(a, b)的象限决sin sin k ( 1) (k Z).48.三角函数的周期公式50.余弦定理51.面积定理53. 简单的三角方程的通解1)k arcsi na(k Z,| a| 1).k46.二倍角公式cos ;cos 22cos・2 sinsin 22si n ta n22ta n1 tan2 .47.三倍角公式si n3 3si n 4sin 34si n sin (— 3 )sin(3 cos34cos 3 3cos 4cos cos(— 3 )cos(—3 ta n33ta ntan 32tan tan(—)tan 上);); ).2 22cos 11 2sin ;函数y sin( x )及函数y cos( x )的周期T 2 ;函数y tan( x )的周期T49.正弦定理: a sin Ab sin B csin C2R (R 为ABC 的外接圆半径).a 2b 2c 22bc cos A ; b 22 2 2 c a 2ca cosB ; c2 2a b 2abcosC .111ahabhbchc2 2 2 1 1absin C bcsin A 2 252.三角形内角和定理(1) S (2)S在厶 ABC 中,有 A B(h a、h b 、h c 分别表示a 、 b 、c 边上的高).(A B) C 2 -2C 22( A B).2 2sin x a cosx a 2k arccosa(k Z,| a| 1).tan x ak arctana(k Z,a R).1 21严B ;⑶S OAB |)2曲 為 viZk#tan tan54. 实数与向量的积的运算律:设入、卩为实数,那么(1) 结合律:入(卩a)=(入卩)a;(2) 第一分配律:(入+卩)a=入a+卩a ; (3)第二分配律:入(a+b)=入a+入b. 55. 向量的数量积的运算律:(三个向量的数量积不满足结合律)(1) a • b= b • a (交换律);(2) ( a ) • b= (a • b ) = a • b= a • ( b ); (3) (a+b ) • c= a • c +b • c. 56. 平面向量基本定理如果e i 、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只 有一对实数入1、入2,使得a=X e+入2e 2.不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底. 57. 向量平行的坐标表示设 a=(x 「%), b=(X 2, y 2),则 a // b x°2 x ?% 0. 53. a 与b 的数量积(或内积) a • b=| a|| b|cos 0.58. a • b 的几何意义:数量积a • b 等于a 的长度| a|与b 在a 的方向上的投影| b|cos 0的乘 积.59. 平面向量的坐标运算⑴ 设 a =(x !,y !), b=(x 2, y 2),则 a+bp^ X 2,y i y ?). ⑵ 设 a^x^yj , b=(X 2, y 2),则 a-b= (x x ?/ y ?).⑷设 a=(x, y), R ,贝U a=( x, y).⑸设 a=(x i ,yj , b=(X 2,y 2),则 a • bf x ? y 』2).60. 两向量的夹角公式cos cos 2k(k Z).区"2 y i ).(k Z). ⑶设 A (x i ,y i ),B (X 2,y 2),cos^^y i^ (a=(x i, y i),b=(x2,y2)).X! y i v X2 y26i.平面两点间的距离公式62. 向量的平行与垂直设 a=(x i ,y i ), b=(X 2, y 、,则64. 三角形的重心坐标公式△ ABC 三个顶点的坐标分别为A (X i ,y J 、B (X 2,y 2)、C (X g ,y 3),则厶ABC 的重心的坐标是X i *365. 点的平移公式hO P P P .注:图形F 上的任意一点P(X , y)在平移后图形F 上的对应点为P (X , y ),且PP 的坐标 为(h,k).66. “按向量平移”的几个结论(1) 点 P(x, y)按向量a=(h, k)平移后得到点P '(x h, y k).(2) 函数y f(x)的图象C 按向量a=(h,k)平移后得到图象 C ',则c '的函数解析式为y f (x h) k .(3) 图象c '按向量a=(h,k)平移后得到图象C ,若C 的解析式y f(x),则c '的函数解析式为 y f (x h) k .⑷ 曲线C : f(x,y) 0按向量a= (h,k)平移后得到图象C ',则C '的方程为xj 2 (y ? yj 2 (A(X i ,yJ , BgS).a //b b= X a x 1 y 2 x 2y 10 ; a b a • b=0X 1X 2 y°2 0.63. 线段的定比分公式设 P(x i ,yj ,P 2(X 2,y 2),P(X,y)是线段 PP 的分点,是实数,且F[PP P 2,则X 1 X1y 土 也1X 21(1 t)OP 2 (t).1X 2 X 3 y 1 y 2y 3)dA, B= | AB|f (x h, y k) 0.(5)向量n=(x, y)按向量a=(h, k)平移后得到的向量仍然为m=(x, y).北 為 viZmf-. ....................... 北 為 viZmf- ................ .....................67.三角形四“心”向量形式的充要条件,设 O 为ABC 所在平面上一点,则OA OB OC 0.OA OB OB OC OC O A .aOA bOB cOC 0.( a,b,c 为角 A,B,C 所对边长)(1) (2) (3) (4) 68.常用不等式: (1) a, b (2) a, b (3) (4) (5) ABC 的外心 ABC 的重心 ABC 的垂心 ABC 的内心3 .3 a b c 3柯西不等式 a 2 b 22ab (当且仅当a = b 时取“二”号)山、ab (当且仅当a = b 时取“二”号)2 3abc(a 0,b 0, c 0). (a 2 b 2)(c 2 d 2) (ac bd)2,a,b,c,d R. 69.已知x,y 都是正数,则有 (1)若积xy 是定值p ,则当x y 时和x y 有最小值2「p ;(2)若和x y 是定值s ,则当x y 时积xy 有最大值^s 2.470. 一兀二次不等式ax 2 bx c 0(或 0) (a 0, b 2 4ac 0),如果 a 与 ax 2 bx c 同号, 则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 bxc 异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. X 1 X X 2 (x x 1)(x X 2)0(X i X 2);X 1,或 xX 2(x x 1)(x x 2) 0(x 1 x 2).71.含有绝对值的不等式 当a>0时,有|x 72.无理不等式 x 2 a2a X a ; x a2 2x aX a 或 f(x) 0f(x) 0g(x) 0 ;(2)f (x)g(x)g(x) 0 或f(x) g(x)f(x)[g(x)]2xa(D f(x) g(x) f (x) g(x)f(x) 0(3) . -f (x) g(x) g(x) 0.2f(x) [g(x)]73.指数不等式与对数不等式f(x) 0(1)当 a 1 时,a f(x) a g(x) f(x) g(x) ; log a f(x) log a g(x) g(x) 0 f(x) g(x)f(x) 0⑵当 0 a 1 时,a f(x)a g(x)f(x) g(x) ; log a f(x) log a g(x) g(x) 0f(x) g(x)74.斜率公式: k y y ( P(X 1,y 1)、卩:化小)). X 2 X-|75.直线的五种方程k(x xj (直线I 过点R (X 1, %),且斜率为k) •x x(% y 2)( R(x 1,yJ 、(为 X 2)).X 2 X 1(4) 截距式x y1( a 、b 分别为直线的横、纵截距,a 、b 0)a b(5) 一般式 Ax By C 0(其中A B 不同时为0). 76. 两条直线的平行和垂直(1)若 h : y «x b 1, l 2: y k 2X b 2① l 1 ||l 2k 1 k 2,b 1 b 2 :② l 1 l 2 k 1k 2 1. ⑵若 h:AxB 1yC 10, l 2: A 2xB 2yC 20,且 AB 、C 2 都不为零,① h||l 2△C 1 •,② l 1 l 2A 1A 2B 1B 2 0 ;A 2B 2C 277. 夹角公式:tan | & ' |.( h : y k/ 0, l 2: y k 2x b 2 , k 1k 21)1 k 2k 1直线l 1 l 2时,直线l 1与丨2的夹角是一.278. h 到 J 的角公式:tan 空 “ •( h : y Kx d ,J : y k ?x b 2, k 1k 21)1 k 2k 1(1)点斜式y y !(2)斜截式ykx b (b 为直线I 在y 轴上的截距).(3)两点式丄丄y 2 y 1北 為 viZmf- .. ...................... 北 為 ............. ..............直线l l 12时,直线l 1到丨2的角是—•279•四种常用直线系方程(1) 定点直线系方程:经过定点P o (x o ,y o )的直线系方程为y y ° k(x x °)(除直线x x o ),其 中k 是待定的系数;经过定点F 0(x o ,y o )的直线系方程为A(x X 。
高中人教版数学公式大全,文科
高中人教版数学公式大全,文科一、几何公式:1、直角三角形的面积:S=1/2ab;2、球的表面积和体积:S=4πr2;V=4/3πr3;3、圆的周长和面积:C=2πr;S=πr2;4、正n边形顶点角:A=360/n;5、正n边形内角总和:A =(n-2)*180°;6、三棱锥体、四棱锥体的表面积和体积:S=a2+πah;V=1/3ah2;7、四面体、六面体的表面积和体积:S=a2√3;V=a3/6√2。
二、勾股定理:1、勾股定理:a2+b2=c2。
2、数学归纳法:利用原理归纳出许多命题,保证在一般情况下同样成立。
三、系数法:1、第一型:ax+by=c;2、第二型:ax2+bx+c=0;3、第三型:ax3+bx2+cx+d=0。
四、分式:1、分式加减法:分子分母分别相加、减。
2、分式乘法:分子分母各自乘以另一分式的分子分母,最后约分即可。
3、分式除法:分子乘以另一分式的分母,分母乘以另一分式的分子,最后约分即可。
五、二次函数:1、一元二次函数的基本性质:y = ax2+bx+c ;2、最高点位置:x=-b/2a;3、函数图像的性质:a>0,函数图像沿y轴双单减;a<0,函数图像沿y轴双单增;4、“乘根”公式:y=(√ax2+bx+c)/2+d;5、方程组:x+y=a,x2+xy+y2=b。
六、三角函数:1、正弦定理:a:b:c=sinA:sinB:sinC;2、余弦定理:a2=b2+c2-2bc cos A。
3、正弦函数y=A sin(ωt+φ) ;4、余弦函数:y=A cos(ωt+φ)。
七、矩形体:1、矩形面积:S=ab;2、棱形面积:S=边长×其高;3、梯形面积:S=1/2(a+b)h;4、矩形、梯形体积:V=abh;5、棱形体积:V=边长×其面积。
高中数学公式、定理大全(20页)
高中数学公式、定理大全第一部分:集合、条件、不等式③p是q的充分不必要条件(p是q的真子集)③p是q的必要不充分条件(q是p的真子集)③p是q的充要条件(p = q相等)③p是q的既不充分也不必要条件(p、q互不包含)技巧:小范围推大范围,大范围不能推小范围,即小的推大的,大的不能推小的R R R{x|x≥0}{x|x≠0}c>d>1>a>b14、对数函数对数函数y=log a x①a>1②0<a<1(1)y=log a x图象(2)y=log b x(3)y=log c x(4)y=log d x定义域(0,+∞)值域R性质过定点(1,0),即x=1时,y=0当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0在(0,+∞)上是增函数(同号)在(0,+∞)上是减函数(异号)0<c<d<1<a<b15、四种图像变换(1)平移变换(2)对称变换③y=f(x)―――――――→关于x轴对称y=-f(x);③y=f(x)――――――→关于y轴对称y=f(-x);③y=f(x)―――――→关于原点对称y=-f(-x);(3) 伸缩变换①y=f(x)a>1,横坐标缩短为原来的1a倍,纵坐标不变0<a<1,横坐标伸长为原来的1a倍,纵坐标不变→y=f(ax);③y=f(x)a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变0<a<1,纵坐标缩短为原来的a倍,横坐标不变→y=af(x).(4)翻折变换③y=f(x)――――――――――――→保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y=|f(x)|.③y=f(x)――――――――――――――→保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称的图象y=f(|x|).第三部分:三角函数(公式、图像、解三角形)1、角的概念与弧度制⑴ 角的概念:任意角的定义;正角(逆)、负角(顺)、零角;象限角轴上角;终边相同的角(代表+周期)⑴ 角度制与弧度制的互化:180=π,571≈2、扇形弧长扇形面积⑴ 圆的周长rcπ2=;圆的面积2rSπ=⑴ 扇形的弧长公式:l=|α|r;⑴ 扇形面积公式:S=12lr=12|α|r2.3、三角函数的定义⑴ 三角函数的定义:角α终边上任一点P),(yx,设rOP=||则:ry==斜对αsinrx==斜邻αcosxy==邻对αtan⑴ 三角函数的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦⑴ 特殊角的三角函数值:(单位圆或查表)角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π6π4π3π22π33π45π6π3π22πsin α012√22√321√32√22120−10cos α1√32√22120−12−√22−√32−101tan α0√331√3不存在−√3−1−√330不存在04、同角关系式⑴ sin2θ+cos2θ=1 知一求二sinθ、cosθ、tan θ;平方搭桥(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;⑴ tan θ=sin θcos θ. 弦切互化(分式齐次,分子分母同除以cosθ)5、诱导公式⑴ 诱导公式的作用:化简⇒大角化小角,负角化正角,最好化成特殊角.⑴ 谨记:出现轴上角才用诱导公式⑴口诀:“奇变偶不变,符号看象限”6、两角和差⑴ Sα±β:sin(α±β)=sinα cosβ ± cosα sinβ;⑴ Cα±β:cos(α±β)=cosα cos β ⑴ sinα sinβ;⑴ Tα±β:tan(α±β)=tan α±tan β1⑴tan αtan β.配角技巧:所求角表示为已知角和特殊角的和、差、倍的形式。
高中数学公式及定理
1.乘法与因式分解a^2-b^2=a+ba-b a^3+b^3=a+ba^2-ab+b^2a^3-b^3=a-ba^2+ab+b^22.三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|3.一元二次方程的解-b+√b^2-4ac/2a -b-√b^2-4ac/2a4.根与系数的关系X1+X2=-b/a X1X2=c/a注:韦达定理判别式b^2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根b^2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根b^2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根5.三角函数公式两角和公式sinA+B=sinAcosB+cosAsinB sinA-B=sinAcosB-sinBcosAcosA+B=cosAcosB-sinAsinB cosA-B=cosAcosB+sinAsinBtanA+B=tanA+tanB/1-tanAtanBtanA-B=tanA-tanB/1+tanAtanBcotA+B=cotAcotB-1/cotB+cotAcotA-B=cotAcotB+1/cotB-cotA6.倍角公式tan2A=2tanA/1-tanA^2cos2a=cosa^2-sina^2=2cosa^2 -1=1-2sina^27.半角公式sinA/2=√1-cosA/2 sinA/2=-√1-cosA/2cosA/2=√1+cosA/2 cosA/2=-√1+cosA/2tanA/2=√1-cosA/1+cosA tanA/2=-√1-cosA/1+cosAcotA/2=√1+cosA/1-cosA cotA/2=-√1+cosA/1-cosA8.和差化积2sinAcosB=sinA+B+sinA-B 2cosAsinB=sinA+B-sinA-B2cosAcosB=cosA+B-sinA-B -2sinAsinB=cosA+B-cosA-BsinA+sinB=2sinA+B/2cosA-B/2 cosA+cosB=2cosA+B/2sinA-B/2 tanA+tanB=sinA+B/cosAcosB;9.某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=nn+1/21+3+5+7+9+11+13+15++2n-1=n2 _ 2+4+6+8+10+12+14++2n=nn+1 5 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2++n^2=nn+12n+1/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+n^3=n2n+12/412+23+34+45+56+67++nn+1=nn+1n+2/310.正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注:其中R 表示三角形的外接圆半径11.余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角圆的标准方程x-a^2+y-b^2=^r2注:a,b是圆心坐标_ 圆的一般方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注:D^2+E^2-4F>012.抛物线标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py13.直棱柱侧面积S=ch 斜棱柱侧面积S=c'h 正棱锥侧面积S=1/2ch'正棱台侧面积S=1/2c+c'h' 圆台侧面积S=1/2c+c'l=piR+rl 球的表面积S=4pir2圆柱侧面积S=ch=2pih圆锥侧面积S=1/2cl=pirl 弧长公式l=ar a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2lr14.锥体体积公式V=1/3SH 圆锥体体积公式V=1/3pir2h 斜棱柱体积V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L是侧棱长柱体体积公式V=sh 圆柱体V=pir2h;定理:1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9 同位角相等,两直线平行10 内错角相等,两直线平行11 同旁内角互补,两直线平行12两直线平行,同位角相等13 两直线平行,内错角相等14 两直线平行,同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理SAS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理ASA有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论AAS 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理SSS 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理HL 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等即等边对等角31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等等角对等边35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理n边形的内角的和等于n-2×180°51推论任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=a×b÷2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半L=a+b÷2S=L×h83 1比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d wc/SM84 2合比性质如果a/b=c/d,那么a±b/b=c±d/d85 3等比性质如果a/b=c/d==m/nb+d++n≠0,那么a+c++m/b+d++n=a/b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线,所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似ASA92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似SAS94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似SSS95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆;110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1 ①平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等118推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角121.直线与圆的关系①直线L和⊙O相交d②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d>r。
高中数学会考必备的39个公式
高中数学会考必备的39个公式1、勾股定理:三条直线上两个点之间的距离关系,即a2 + b2 = c2。
2、余弦定理:两条相交直线所成的两个直角三角形,c2=a2+b2-2ab×cosC 。
3、正弦定理:两条相交的直线所组成的两个直角三角形, sinA / a = sinB / b = sinC / c 。
4、梯形公式:面积之和,即(a+b)h / 2。
5、圆面积公式:πr2 。
6、三角形面积公式:S=1/2×a×b×sinC 。
7、抛物线面积公式:S=1/3×a×h2 。
8、割线法则:1/y=1/a+1/b 。
9、勾股变形定理:ac=a2+b2−2ab cosC 。
10、余切定理:tanA/a=tanB/b=tanC/c 。
11、海伦公式:三角形内角a+b+c=180°,a2=b2+c2−2bc cosA。
12、同余三角形定理:三角形内角A/a=B/b=C/c 。
13、梯形公式:周长之和,即a+b+(c+d) 。
14、圆周长公式:2πr15、平行线定理:平行线成立的条件为同时垂直于两个垂线。
16、外接圆定理:四边形的外接圆的半径等于对角的中点的距离的一半。
17、锐角定理:三角形内角a+b>c18、直角定理:三角形内角a+b=c19、正方形面积公式:a220、平行四边形面积公式:ab21、直角三角形面积公式:1/2ah22、圆心角公式:mθ=2πr23、梯形周长公式:a+b+c+d24、圆周弧长公式:λ=θr25、余子式:对于系数矩阵A=[aij]n×n,各阶行列式的余子式定义为Ai,…,Ak 。
26、拉格朗日和弦定理:如果一个四边形的角都是锐角,那么它的两个对角线的乘积等于它的四条边的乘积。
27、反余弦定理:ac=a2+b2−2ab×cosC 。
28、反正弦定理: sinA / a = sinB / b = sinC / c 。
高中数学常用公式及定理
高中数学常用公式及定理1.熟悉这些解题小结论,启迪解题思路、探求解题佳径,防止解题易误点的产生,对提升数学成绩将会起到很大的作用。
2.所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记,且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。
1.元素与集合的关系:U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式:();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I .3.包含关系A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI ()U C A B R ⇔=U 4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-U I()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-U U I()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+I I I I I .5.集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个;真子集有2n -1个;非空子集有2n -1个;非空的真子集有2n -2个. 6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式:()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<; 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于“0)()(21<k f k f ”或“0)(1=k f 且22211k k ab k +<-<”或“0)(2=k f 且22122k ab kk <-<+”9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得,具体如下:(1)当a>0时,若[]q p a bx ,2∈-=,则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=; 若[]q p a bx ,2∉-=,{}max max ()(),()f x f p f q =,{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时,若[]q p a bx ,2∈-=,则{}min ()min (),()f x f p f q =;若[]q p abx ,2∉-=,则{}max ()max (),()f x f p f q =,{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据:若()()0f m f n <,则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设2()f x x px q =++,则(1)方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为()0f m <或2402()0p q p m f m ⎧-≥⎪⎪->⎨⎪≥⎪⎩ .(2)方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()02f m f n p m n ⎧⎪=⎪>⎨⎪⎪<-<⎩或()0()02f n f m p m n ⎧⎪=⎪>⎨⎪⎪<-<⎩ . (3)方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0fn <或2402()0p q pn f n ⎧-≥⎪⎪-<⎨⎪≥⎪⎩ . 11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据:(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L (形如[]βα,,(]β,∞-,[)+∞,α不同)上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∈.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≤(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∈.(3)42()0(0)f x ax bx c a =++>>恒成立的充要条件是020ba c ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩或20240b a b ac ⎧->⎪⎨⎪-<⎩. 12.真值表13.常见结论的否定形式14.四种命题的相互关系互否若非p则非q互逆若非q则非p15.充要条件⇒,则p是q充分条件.(1)充分条件:若p q(2)必要条件:若q p ⇒,则p 是q 必要条件.(3)充要条件:若p q ⇒,且q p ⇒,则p 是q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数;[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数.19.若函数)(x f y =是偶函数,则)()(a x f a x f --=+;若函数)(a x f y +=是偶函数,则)()(a x f a x f +-=+,并且()y f x =关于x a =对称. 20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2b ax -=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称;若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22.多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++L 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-= (2)函数()y f x =的图象关于直线2a b x m+=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称.(3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象; 若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 26.互为反函数的两个函数的关系:a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是1()y f kx b -=+,而函数1()y f kx b -=+是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,具有性质:()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,具有性质:()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,具有性质:()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,具有性质:'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =,具有性质:()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)(1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期a =T ; (2)()()f x a f x +=-或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期a 2T =;(3)1(),(()1)1()f x a f x f x +=≠-,则)(x f 的周期a 3T =;(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<,则)(x f 的周期a 4T =;(5)()()()f x a f x f x a +=--,则)(x f 的周期a 6T =. 30.分数指数幂(1)mna =0,,a m n N *>∈,且1n >);(2)1m nm na a-=(0,,a m n N *>∈,且1n >).31.根式的性质(1)n a =.(2)当na =; 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32.有理指数幂的运算性质(1)(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈;(2)()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈;(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈ 33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35.对数的四则运算法则若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则(1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log a a a M M N N=-;(3)log log ()n a a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ,且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ,且0≥∆.【对于0=a 的情形,需要单独检验.】 37.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ,平均增长率为p ,则对于时间x 的总产值y ,有(1)x y N p =+.38.数列的通项公式n a 与前n 项的和n S 的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ .39.等差数列的通项公式:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈;其前n 项和n S 公式为:1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 40.等比数列的通项公式:1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈; 其前n 项的和公式为:11(1),11,1n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q S na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.41.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q dq q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩【用待定系数法来求】 ; 42.常见三角不等式(1)若(0,)2x π∈,则sin tan x x x <<;(2) 若(0,)2x π∈,则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.43.同角三角函数的基本关系式:22sin cos 1θθ+=,tan θ=θθcos sin ,tan 1cot θθ⋅=.44.正弦、余弦的诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。
高中数学公式大全
高中数学公式大全数学公式一定要背好,下面是小编为大家收集的关于高中数学公式大全,欢迎大家阅读!1 、过两点有且只有一条直线2、两点之间线段最短3 、同角或等角的补角相等4 、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7、平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8、如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9 、同位角相等,两直线平行10 、内错角相等,两直线平行11 、同旁内角互补,两直线平行12、两直线平行,同位角相等13、两直线平行,内错角相等14、两直线平行,同旁内角互补15 、定理三角形两边的和大于第三边16 、推论三角形两边的差小于第三边17 、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 、推论1 直角三角形的两个锐角互余19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 、全等三角形的对应边、对应角相等22、边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 、角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24、推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25、边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26、斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)31 、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 、推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35 、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41 、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c 的平方,即a^2+b^2=c^247、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形48、定理四边形的内角和等于360°49、四边形的外角和等于360°50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°51、推论任意多边的外角和等于360°52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角66、菱形面积=对角线乘积的一半,即s=(a×b)÷267、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72、定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75、等腰梯形的两条对角线相等76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77、对角线相等的梯形是等腰梯形78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边81 、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半82 、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 l=(a+b)÷2 s=l×h83、(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 、(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d85、(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例87 、推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例88 、定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边89 、平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似91 、相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似(asa)92 、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(sas)94 、判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似(sss)95 、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似96、性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101、圆是定点的距离等于定长的点的集合102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104、同圆或等圆的半径相等105、到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线108、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
高级中学数学公式定理全集(全面,最详细)
高中数学公式大全(最全面,最详细)高中数学公式大全抛物线:y = ax *+ bx + c就是y等于ax 的平方加上bx再加上ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a(x+h)* + k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py圆:体积=4/3(pi)(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0(一)椭圆周长计算公式椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。
(二)椭圆面积计算公式椭圆面积公式:S=πab椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。
常数为体,公式为用。
椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高三角函数:两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式:sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式:sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式:sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式:sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式:sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式:sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式:sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10) ·万能公式:sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注:其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注:韦达定理判别式b2-4a=0 注:方程有相等的两实根b2-4ac>0 注:方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根公式分类公式表达式圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注:其中,S'是直截面面积,L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h图形周长面积体积公式长方形的周长=(长+宽)×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积已知三角形底a,高h,则S=ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S=√[p(p - a)(p - b)(p - c)] (海伦公式)(p=(a+b+c)/2)和:(a+b+c)*(a+b-c)*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S=absinC/2设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r已知三角形三边a、b、c,则S=√{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶)| a b 1 |S△=1/2 * | c d 1 || e f 1 |【| a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小!】秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.平行四边形的面积=底×高梯形的面积=(上底+下底)×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体(正方体、圆柱体)的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C=4aS=a2长方形a和b-边长C=2(a+b)S=ab三角形a,b,c-三边长h-a边上的高s-周长的一半A,B,C-内角其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2=ab/2?sinC=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2=a2sinBsinC/(2sinA)1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9 同位角相等,两直线平行10 内错角相等,两直线平行11 同旁内角互补,两直线平行12两直线平行,同位角相等13 两直线平行,内错角相等14 两直线平行,同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半,即s=(a×b)÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半l=(a+b)÷2 s=l×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d85 (3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似(asa)92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(sas)94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似(sss)95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
高中数学常用公式及定理
高中数学常用公式及定理1.熟悉这些解题小结论,启迪解题思路、探求解题佳径,防止解题易误点的产生,对提升数学成绩将会起到很大的作用。
2.所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记,且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。
1.元素与集合的关系:U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式:();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I .3.包含关系A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI ()U C A B R ⇔=U 4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-U I()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-U U I()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+I I I I I .5.集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个;真子集有2n -1个;非空子集有2n -1个;非空的真子集有2n -2个. 6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式:()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<; 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于“0)()(21<k f k f ”或“0)(1=k f 且22211k k ab k +<-<”或“0)(2=k f 且22122k ab kk <-<+”9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得,具体如下:(1)当a>0时,若[]q p a bx ,2∈-=,则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=; 若[]q p a bx ,2∉-=,{}max max ()(),()f x f p f q =,{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时,若[]q p a bx ,2∈-=,则{}min ()min (),()f x f p f q =;若[]q p abx ,2∉-=,则{}max ()max (),()f x f p f q =,{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据:若()()0f m f n <,则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设2()f x x px q =++,则(1)方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为()0f m <或2402()0p q p m f m ⎧-≥⎪⎪->⎨⎪≥⎪⎩ .(2)方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()02f m f n p m n ⎧⎪=⎪>⎨⎪⎪<-<⎩或()0()02f n f m p m n ⎧⎪=⎪>⎨⎪⎪<-<⎩ .(3)方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0fn <或2402()0p q pn f n ⎧-≥⎪⎪-<⎨⎪≥⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据:(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L (形如[]βα,,(]β,∞-,[)+∞,α不同)上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∈.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≤(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∈.(3)42()0(0)f x ax bx c a =++>>恒成立的充要条件是020ba c ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩或20240b ab ac ⎧->⎪⎨⎪-<⎩. 12.真值表13.常见结论的否定形式14.四种命题的相互关系原命题 互逆 逆命题互 否 逆 逆 否 否否命题 逆否命题 若非p则非q 互逆 若非q则非p 15.充要条件(1)充分条件:若p q ⇒,则p 是q 充分条件.(2)必要条件:若q p ⇒,则p 是q 必要条件.(3)充要条件:若p q ⇒,且q p ⇒,则p 是q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数;[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数.19.若函数)(x f y =是偶函数,则)()(a x f a x f --=+;若函数)(a x f y +=是偶函数,则)()(a x f a x f +-=+,并且()y f x =关于x a =对称. 20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2b ax -=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称;若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22.多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++L 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-= (2)函数()y f x =的图象关于直线2a b x m+=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称.(3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象; 若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 26.互为反函数的两个函数的关系:a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是1()y f kx b -=+,而函数1()y f kx b -=+是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,具有性质:()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,具有性质:()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,具有性质:()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,具有性质:'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =,具有性质:()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)(1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期a =T ; (2)()()f x a f x +=-或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期a 2T =; (3)1(),(()1)1()f x a f x f x +=≠-,则)(x f 的周期a 3T =;(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<,则)(x f 的周期a 4T =;(5)()()()f x a f x f x a +=--,则)(x f 的周期a 6T =. 30.分数指数幂(1)mna =0,,a m n N *>∈,且1n >);(2)1m nm naa-=(0,,a m n N *>∈,且1n >).31.根式的性质(1)n a =.(2)当na =; 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32.有理指数幂的运算性质(1)(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈;(2)()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈;(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈ 33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35.对数的四则运算法则若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则(1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log a a a M M N N=-;(3)log log ()n a a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ,且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ,且0≥∆.【对于0=a 的情形,需要单独检验.】 37.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ,平均增长率为p ,则对于时间x 的总产值y ,有(1)x y N p =+.38.数列的通项公式n a 与前n 项的和n S 的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ .39.等差数列的通项公式:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈;其前n 项和n S 公式为:1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 40.等比数列的通项公式:1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈; 其前n 项的和公式为:11(1),11,1n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q S na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.41.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q dq q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩【用待定系数法来求】 ; 42.常见三角不等式(1)若(0,)2x π∈,则sin tan x x x <<;(2) 若(0,)2x π∈,则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.43.同角三角函数的基本关系式:22sin cos 1θθ+=,tan θ=θθcos sin ,tan 1cot θθ⋅=.44.正弦、余弦的诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。
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高中的数学公式定理大集中三角函数公式表同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系:平方关系:tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secαsin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α(六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
”)诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。
)sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαcot(π/2-α)=tanαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαcot(3π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotαsin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtanα+tanβtan(α+β)=——————1-tanα·tanβtanα-tanβtan(α-β)=——————1+tanα·tanβ2tan(α/2)sinα=——————1+tan2(α/2)1-tan2(α/2)cosα=——————1+tan2(α/2)2tan(α/2)tanα=——————1-tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α2tanαtan2α=—————1-tan2αsin3α=3sinα-4sin3αcos3α=4cos3α-3cosα3tanα-tan3αtan3α=——————1-3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α+βα-βsinα+sinβ=2sin———·cos———2 2α+βα-βsinα-sinβ=2cos———·sin———2 2α+βα-βcosα+cosβ=2cos———·cos———2 2α+βα-βcosα-cosβ=-2sin———·sin———2 2 1sinα·cosβ=-[sin(α+β)+sin(α-β)]21cosα·sinβ=-[sin(α+β)-sin(α-β)]21cosα·cosβ=-[cos(α+β)+cos(α-β)]1sinα·sinβ=—-[cos(α+β)-cos(α-β)]2化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式集合、函数集合简单逻辑任一x∈A x∈B,记作A BA B,B A A=BA B={x|x∈A,且x∈B}A B={x|x∈A,或x∈B}card(A B)=card(A)+card(B)-card(A B)(1)命题原命题若p则q逆命题若q则p否命题若p则q逆否命题若q,则p(2)四种命题的关系(3)A B,A是B成立的充分条件B A,A是B成立的必要条件A B,A是B成立的充要条件函数的性质指数和对数(1)定义域、值域、对应法则(2)单调性对于任意x1,x2∈D若x1<x2 f(x1)<f(x2),称f(x)在D上是增函数若x1<x2 f(x1)>f(x2),称f(x)在D上是减函数(3)奇偶性对于函数f(x)的定义域内的任一x,若f(-x)=f(x),称f(x)是偶函数若f(-x)=-f(x),称f(x)是奇函数(4)周期性对于函数f(x)的定义域内的任一x,若存在常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数(1)分数指数幂正分数指数幂的意义是负分数指数幂的意义是(2)对数的性质和运算法则loga(MN)=logaM+logaNlogaMn=nlogaM(n∈R)指数函数对数函数(1)y=ax(a>0,a≠1)叫指数函数(2)x∈R,y>0图象经过(0,1)a>1时,x>0,y>1;x<0,0<y<10<a<1时,x>0,0<y<1;x<0,y>1a>1时,y=ax是增函数0<a<1时,y=ax是减函数(1)y=logax(a>0,a≠1)叫对数函数(2)x>0,y∈R图象经过(1,0)a>1时,x>1,y>0;0<x<1,y<00<a<1时,x>1,y<0;0<x<1,y>0a>1时,y=logax是增函数0<a<1时,y=logax是减函数指数方程和对数方程基本型logaf(x)=b f(x)=ab(a>0,a≠1)同底型logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)>0(a>0,a≠1)换元型f(ax)=0或f (logax)=0数列数列的基本概念等差数列(1)数列的通项公式an=f(n)(2)数列的递推公式(3)数列的通项公式与前n项和的关系an+1-an=dan=a1+(n-1)da,A,b成等差2A=a+bm+n=k+l am+an=ak+al等比数列常用求和公式an=a1qn_1a,G,b成等比G2=abm+n=k+l aman=akal不等式不等式的基本性质重要不等式a>b b<aa>b,b>c a>ca>b a+c>b+ca+b>c a>c-ba>b,c>d a+c>b+da>b,c>0 ac>bca>b,c<0 ac<bca>b>0,c>d>0 ac<bda>b>0 dn>bn(n∈Z,n>1)a>b>0 >(n∈Z,n>1)(a-b)2≥0a,b∈R a2+b2≥2ab|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|证明不等式的基本方法比较法(1)要证明不等式a>b(或a<b),只需证明a-b>0(或a-b<0=即可(2)若b>0,要证a>b,只需证明,要证a<b,只需证明综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的性质推导出欲证的不等式(由因导果)的方法。
分析法分析法是从寻求结论成立的充分条件入手,逐步寻求所需条件成立的充分条件,直至所需的条件已知正确时为止,明显地表现出“持果索因”复数代数形式三角形式a+bi=c+di a=c,b=d(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i(a+bi)(c+di )=(ac-bd)+(bc+ad)ia+bi=r(cosθ+isinθ)r1=(cosθ1+isinθ1)•r2(cosθ2+isinθ2)=r1•r2〔cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)〕〔r(cosθ+sinθ)〕n=rn(cosnθ+isinnθ)k=0,1,……,n-1解析几何1、直线两点距离、定比分点直线方程|AB|=| ||P1P2|=y-y1=k(x-x1)y=kx+b两直线的位置关系夹角和距离或k1=k2,且b1≠b2l1与l2重合或k1=k2且b1=b2l1与l2相交或k1≠k2l2⊥l2或k1k2=-1 l1到l2的角l1与l2的夹角点到直线的距离2.圆锥曲线圆椭圆标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心为(a,b),半径为R一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0其中圆心为( ),半径r(1)用圆心到直线的距离d和圆的半径r判断或用判别式判断直线与圆的位置关系(2)两圆的位置关系用圆心距d与半径和与差判断椭圆焦点F1(-c,0),F2(c,0)(b2=a2-c2)离心率准线方程焦半径|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0双曲线抛物线双曲线焦点F1(-c,0),F2(c,0)(a,b>0,b2=c2-a2)离心率准线方程焦半径|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a 抛物线y2=2px(p>0)焦点F准线方程坐标轴的平移这里(h,k)是新坐标系的原点在原坐标系中的坐标。
1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性2.集合表示方法①列举法②描述法③韦恩图④数轴法3.集合的运算⑴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)⑵Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB4.集合的性质⑴n元集合的子集数:2n真子集数:2n-1;非空真子集数:2n-2高中数学概念总结一、函数1、若集合A中有n 个元素,则集合A的所有不同的子集个数为,所有非空真子集的个数是。
二次函数的图象的对称轴方程是,顶点坐标是。
用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即,和(顶点式)。
2、幂函数,当n为正奇数,m为正偶数,m<n时,其大致图象是3、函数的大致图象是由图象知,函数的值域是,单调递增区间是,单调递减区间是。
二、三角函数1、以角的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴建立直角坐标系,在角的终边上任取一个异于原点的点,点P到原点的距离记为,则sin = ,cos = ,tg = ,ctg = ,sec = ,csc = 。
2、同角三角函数的关系中,平方关系是:,,;倒数关系是:,,;相除关系是:,。
3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限。
如:,= ,。
4、函数的最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初相是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
5、三角函数的单调区间:的递增区间是,递减区间是;的递增区间是,递减区间是,的递增区间是,的递减区间是。