金属电子论
固体物理-第三章 金属自由电子论讲解
3.1.量子自由电子理论
I2=(1/2!)-(E-EF)2(-f/E) dE 不难算出, I0=1(d-函数积分), I1=0 (根据d-函数的性质） 为了计算I2, 而令h=(E-EF)/kBT,于是, I2=[(kBT)2/2]-{h2/[(eh+1)(e-h+1)] }dh=(pkBT)2/6
波长)，可见k为电子的波矢, 是3 维空间矢量. r:电 子的位置矢量。
由波函数的归一化性质:vy*(r) y(r)d(r)=1, v:金属体积, 假设为立方体,边长为L，把3.1.1.3式 代入归一化式子, 得: A=L-3/2=V-1/2, 所以
y(r)= V-1/2eik•r 3.1.1.4， 此即自由电子的本征态。 由周期性边界条件, y(x,y,z)= y(x+L,y,z) = y(x,y+L,z) = y(x,y,z+L)
一状态的电子具有确定的动量ħk和能量ħ2k2/(2m)，因而 具有确定的速度,v=ħk/m,故一个k全面反映了自由电子 的一个状态，简称态。
2. k-空间
以kx, ky , kz 为坐标轴建立的 波矢空间叫k-空间。电子的 本征态可以用该空间的一点
来代表。点的坐标由3.1.1.5 式确定。
3.1.量子自由电子理论
T>0K的费米能EF 把3.1.2.2和3.1.3.1代入3.1.3.2, 分步积分, 得:
N= (-2C/3) 0 E3/2(f/E) dE 3.1.3.3 令G(E)= 2C E3/2/3, 3.1.3.3.式化简为 N= 0G(E) (-f/E) dE 3.1.3.4 (-f/E)函数具有类似d函数的特性,仅仅在EF附近kBT范 围内才有显著的值，且为E-EF偶函数. 由于(-f/E)函数 具有这些性质,把G(E)在EF附近展开为泰勒级数, 且积分 下限写成 -,不会影响积分值. 3.1.3.4化为:
第5章金属自由电子论
第5章金属自由电子论
5.2 量子自由电子论
于是自由电子的状态密度为：
3
g(E)d dE Z2V22m 2 2E1 2cE 1 2
可见自由电子的态密度g(E)乃是能量E的函数，显然g(E)~E 的关系曲线是抛物线的一支。g(E)
态数 ，电子态密度函数
kx
k与能量 E的关系：
kz
dK
ky
kx2ky 2kz22 m 2 ， Ek22 m 2 E
第5章金属自由电子论
5.2 量子自由电子论
等k值面为球面，在零到k的范围内，K空间的体积为 4k 3 3
因为在K空间中每 2 3 的体积内有一个满足周期性边界的
V
k值，故从零到k的范围内，总的k的取值数目为:
室温下 1 mol 一价金属的比热为：
C vC vlC ve3R2 3R4.5R
实验表明：室温下，金属的比热接近3R，全部由晶格贡献。 金属中自由电子起着电和热的传导作用，却对比热几乎没 贡献。
第5章金属自由电子论
5.1 经典自由电子论
经典理论自由电子论无法解释这一现象。直到索末菲把量 子力学应用到自由电子系统，才得到圆满的解释。
L Y
5.2 量子自由电子论
于是电子能量可写为：
E 2 2m
k
2 x
k
2 y
k
2 z
2 2
2m L
2
nx2
n
2 y
nz2
可见，自由电子能量依赖 于一组量子数(nx,ny,nz)，能量只能 是一系列分离的数值，这些分离的能量被称为能级。按照泡 利原理，每个电子能级允许容纳两个自旋相反的电子。
固体物理学：第4章 金属自由电子论
1、费米分布的性质
FFD
1
FFD
1 e / kT
1
1T 0 f FFD 1
f
FFD 0
εf ε
T 0 时所有粒子排满费米能级以下的能级，
费米能级以上能级全空。
UESTC
FFD
1
（2）T 0
f
1 FFD 2
1/2
随着温度升高，有部分粒子
获得能量从 f以下能态跃迁到 f
0
1 p 1
p 1 f
n1
2
kT
2n
1
1 22n1
2n
d 2n
d
2n f
p 1 f
2 2
6
4
4
9
UESTC
应用积分公式
E
3 5
NE
f
0
1
5
12
2
kT Ef0
2
电子平均能量
E
E N
3 5
EF 0
2
4
kT
kT EF 0
UESTC
4、费米面
k空间中，能量为EF，即半径为 KF
以上能态。但无论温度多高，
T=0 T >0
εf ε
在
能态被粒子占据的几率始终为 1
f
2
。
UESTC
2、电子能量
dE FFD g d
T = 0 电子总能量
EF0
1
5
E0
c
2 d
22 5 cEF0
0
UESTC
T ≠0
积分公式
E
0
e
1 EF / kT 1
c 1 / 2d
第五章：金属的电子理论
dN ( E ) 3 2me 2 dE 2
3/ 2
3/ 2
E1/ 2
V 3 2
V 2me 2 2 2 3N ( E ) 2E
E1/ 2
DOS: number of electrons/unit energy in a range E ~ E + dE
自由电子模型总结
• 即使在金属中，传导电子的电荷分布（ charge distribution）收到 离子芯强烈静电势的影响。因此，自由电子模型描述传导电子的运 动特性（kinetic properties）最为合适。传导电子与离子之间的相 互作用将在能带理论中讨论。 • 最简单的金属是碱金属：Li, Na, K, Rb, Cs。在这些单价金属中，N 原子构成的晶体有N 个电子和N 个正离子。 • 自由电子模型产生于在量子理论建立之前。经典Drude模型成功导 出欧姆定律（Ohm’s law），以及电导和热导的关系。但是，由于 使用了Maxwell经典统计分布，它不能解释比热容（heat capacity） 和磁化率（magnetic susceptibility ）。后来Sommerfeld在量子理 论基础上重建了该模型。
~ 10eV
1/ 3 2 pF kF 3 N ~ 108 cm / sec vF V me me me
2/3 2 2 2 EF 2 3 N ~ 105 K TF kF kB 2me kB 2me kB V
态密度（Density of states, DOS）
L N (E) 2 2
dN ( E ) L 2me 1 N ( E ) 2me E , D( E ) dE E 2
金属自由电子理论
金属自由电子理论文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]第四章金属自由电子理论1.金属自由电子论作了哪些假设得到了哪些结果解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。
根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。
2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状费米能量与哪些因素有关解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。
费米能量与电子密度和温度有关。
3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。
4.驰豫时间的物理意义是什么它与哪些因素有关解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。
驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。
5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。
6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。
试求：（1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。
解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为：dEdkdk dZ dE dZ E ⋅==)(ρ (1)考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为：dk Ldk dZ π=∆=k 2 (2)又由于 mk E 222 =所以mkdk dE 2 = …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：EmLE 22)(πρ= (4)（2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：11)(+=-TK E E B F eE f (5)于是，系统中的电子总数可表示为：⎰∞=0)()(dE E E f N ρ (6)由于0=T K ，所以当0F E E >，有0)(=E f ，而当0F E E ≤，有1)(=E f ，故（6）式可简化为：⎰=)(FE dE E N ρ＝⎰0022FE dE E m L π＝240FmE L π由此可得：222208mLN E Fπ= …………………………（7） （3）在0=T K 时，晶体电子的平均能量为： ⎰∞=0)()(1dEE E Ef N E ρ＝dE EmL E N FE 2210⎰⋅π＝230)(232F E m N L π＝022223124F E mLN = π 7.限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量为)(2),(222y x y x k k mk k E += 。
《金属电子论》课件
THANK YOU
课程目标
01
掌握金属电子论的基本概念和原理。
02 理解金属中电子的能级结构和跃迁过程。
03
学习金属电子论在材料科学和电子工程中 的应用。
04
培养学生对科学研究的兴趣和探索精神。
02
金属电子论的基本概念
金属电子的定义
金属电子
01
金属中的自由电子，不受原子核束缚，可以在金属中自由移动
。
金属电子的形成
生物医学材料
金属电子材料在生物医学 领域中具有应用潜力，如 用于制造医疗器械和生物 植入物。
05
金属电子的发展趋势与挑战
金属电子的发展趋势
金属电子材料创新
随着科技的不断进步，新型金属电子材料不断涌现，如石墨烯、过渡 金属硫族化合物等，具有优异性能和广阔应用前景。
金属电子器件微型化
随着微纳加工技术的发展，金属电子器件正朝着微型化、集成化的方 向发展，这将极大提高电子设备的性能和能效。
生态环境影响与可持续发 展
金属电子材料的生产和使用过 程中产生的环境问题不容忽视 ，如何在推动技术发展的同时 降低对环境的影响，实现可持 续发展，是亟待解决的问题。
06
结论
课程总结
金属电子论是研究金属中电子运动和行为的理 论，它对于理解金属的物理和化学性质具有重 要意义。
金属电子论主要涉及金属中电子的能级、跃迁 和散射等过程，以及这些过程对金属的导电性 、热学性质和光学性质等的影响。
总结词
阐述金属对光的吸收和发射特性与电子行为的关系。
要点二
详细描述
金属对光的吸收和发射特性与内部自由电子的行为密切相 关。当光照射到金属表面时，自由电子可以吸收光子的能 量并跃迁到更高能级，这一过程称为光的吸收。当这些电 子重新跃迁回低能级时，会释放出能量，表现为光子的发 射。不同的金属对光的吸收和发射特性不同，这与其内部 自由电子的性质有关。
第三章 金属电子论(09年10月)
u tΔΔS为平均附加速度:v0.23~2.4 nm电子在发生碰撞前可自由穿过10个晶格。
A. Sommerfeld下，电子的能量和动量不随时间或位置改变，此时可以用: ，其中的方向为平面波的方向，(E)和动量(P)由德布罗意关系表示n 2、n 3是整数。
从上述分析可见，在k 空间，电子的状态是分立的，只允许波矢k 具有确定的分立值。
这样k 可以被解释为量子数。
因此单电子的本征能量亦取分立值。
由于单电子的本征能量为：的区域所允许的k 点(许可态)的数目个电子对许可k 态的占据，简单地由泡利不相容原理态，电子自旋能够取两个可能值：k 空间的电子态密度自由电子气系统的基态T=0K ，N 个自由电子的基态，可从能量最态开始，按能量从低到态两个电子，依次填充个电子，它的空间具有最k F 为半费米球，其。
对于基态，费米球内所有状态都被电子占据，而费米球外的状态全部未被定义为费米球的表面，在基态它把占据态和未N 个自由电子的基态为电子浓度。
相对应的能量称为费米能量：所受到的外力为：由于自由电子的动量与波矢之间的关系：则由牛顿第二定律可知：从上式可以看出，波矢k将随时间变化。
时刻将电场施加到电子气的基态，则在后一时刻费米球中心将移到新的位置：如果不发生碰撞，恒定的外加电场将使k空间中的费米球匀速移动。
由于电子与离子实的碰撞将使电子失τ为迟豫时间，Δk决定电子的漂移速度(平均速度) 。
不同的是，在量子体系中，由于非平衡费米球中与E=0时费米球交叠部分，方向上分布的对称性，对电流没有贡献。
电流来源于原费米球面撞，费米球整体的位移Δk和外力F的关系可由下式给出：为电子的漂移速度。
项为自由电子加速度而项表示碰撞效应项(相当于电子遭受碰撞而引入的摩擦阻力。
作用在一个电子上的洛仑兹力为：数为零，于是：则运动方程为：轴平行于磁场，于是运动方程可写为：其中。
：固体的界面效应和表面效应在金属自由电子模型中，金属内部被假设为均匀势场，离子实提供一个正电背景。
金属电子论
EF0
令 T 0K
N
Q
(
E
0 F
)
N
Q
(
E
0 F
)
N (E)dE
0
对于一般温度 T 300 K kBT 2.6 10-2eV
将 Q(EF ) 按泰勒级数在 EF0 附近展开，只保留到第二项
N
Q(EF
)
2
6
Q' ' (EF
)(kBT )2
N
Q(
E
0 F
)
Q'
(
E
0 F
)( E F
E
0 F
)
2
32 / 32
树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20. 10.2220 .10.22 Thursday, October 22, 2020
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。0 5:32:11 05:32:1 105:32 10/22/ 2020 5:32:11 AM
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 10.2205 :32:110 5:32Oct-2022- Oct-20
6
Q''(EF
)(kBT )2
将Q’’(EF)按泰勒级数展开，只保留Q'
'
(
E
F
)
Q'
'
(
E
0 F
)
N
Q
(
E
0 F
)
Q'
(
E
0 F
)( E F
E
0 F
)
2
6
Q'
'
(
黄昆 固体物理 讲义 第六章
在 k 空间， E = E F 的等能面称为费米面。 1.
E F 的确定
-2CREATED BY XCH
REVISED TIME: 05-5-12
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406
V 电子按能量的统计分布 ： dZ = N ( E )dE —— N ( E ) 状态密度 在 E − E + dE 之间状态数（量子态数） 在 E − E + dE 之间的电子数： dN = f ( E ) N ( E )dE
1 e
E − EF k BT
+1
0 0
当温度 T = T K ， E > E F 的状态中， 电子填充的几率增大，E < E F 如果 E F = E F 不随时间变化，
0
的状态中，电子填充的几率减小。费密分布函数在 E F = E F 左右的增加和减小是对称的。如图
0
XCH006_005 所示。 —— 对于近自由电子， N ( E ) ∝ E
3 0 dE = E F 5
结果：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量。这是因为电子必须满足泡利不相容原理，每
REVISED TIME: 05-5-12 -3CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406
个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子不可能都填充在最低能量状态。 绝对温度 T ≠ 0 时金属中电子费密能量
—— EF是费米能量或化学势：体积不变的情况下，系统增加一个电子所需的自由能。
电子的总数： N =
∑ f (E )
i i
—— 对所有的本征态求和
在温度 T ≠ 0 的情况时：在 E = E F ， f ( E F ) =
第四章金属自由电子理论
dE
之间时，
k
空间中，在半径为
k
和
k
dk的两球
面之间所含的状态数为：
dZ '
4k 2dk k
Vc 8 3
4k 2dk
1 2
(
2m 2
)
3
2
E
1 2
dE
考虑自旋的二重简并dZ 2dZ '
(E)
所以： ( E )
Vc 2 2
(
2m
)
3
2
E
1 2
1
CE 2
其中
C
及其缺陷。
1)由Drude模型导出了欧姆定律，并得到电导的定量表达式，在 解释碱金属的导电性上取得了完全的成功
但是，按Drude模型，碱土金属（二价）的自由电子密度n为碱金属 （一价）的两倍，由式（1-6），电导率σ也应高一倍。但实际上， 碱土金属的导电性不及碱金属，说明Drede模型的局限性。
1
3 维德曼一夫兰兹定律 Wiedemann-Franz Law
k
0 F
3n 2
3
由电子动量
k
0 F
mvF0
得绝对零度时的费米速度矢为: vF0
k
0 F
m
与费米能量对应的热运动温度称为费米温度,记为
所以绝对零度时的费米温度为:
TF0
EF0 kB
TF
.有: kBTF0
EF0
例如铜:铜是面心立方晶体,晶格常数 a 3.611010 m .
每个铜原子电离时放出一个自由电子,所以铜的电子浓度为:
金属电子论
k
的取值范围？ 的取值范围？
（ ）的解， 波函数 ψ (r ) 虽然是方程 2）的解，它还应满足边界条件
v
为方便，在处理晶体的问题时，通常取周期性边界条件 为方便，在处理晶体的问题时，通常取周期性边界条件 v ψ (r ) 满足： 即要求 满足：
ψ ( x + L, y , z ) = ψ ( x , y , z ) ψ ( x , y + L, z ) = ψ ( x , y , z ) ψ ( x , y , z + L ) = ψ ( x, y , z )
这样（ ） 这样（3）和（4）就可以具体写为： ）就可以具体写为：
v v v v k = k x ex + k y e y + k z ez
1 i ( k x x x + k y y y + k z z ) （5） v ψ (r ) = 1 / 2 e V 2 2 2 2 2 2 h (k x + k y + k z ) h k E= = （6） 2m 2m
§5.1金属自由电子模型 金属自由电子模型
由于不考虑带正电的离子对电子的库仑吸引作用， 由于不考虑带正电的离子对电子的库仑吸引作用，但 整块金属是点中性的，即正负电荷总量相等， 整块金属是点中性的，即正负电荷总量相等，虽然相 互间又没有作用，但正电荷毕竟存在， 互间又没有作用，但正电荷毕竟存在， 可以把正电荷看成是一种均匀的连续电荷分布， 可以把正电荷看成是一种均匀的连续电荷分布，以保持总 体的电中性， 体的电中性，相互独立的电子是在均匀分布的正电荷背景 中运动。因为正电荷均匀分布的， 中运动。因为正电荷均匀分布的，对电子产生的静电场是 常数， 常数，即电子无论在晶体中的哪个位置所感受到的正电荷 产生的势场作用都相同，不会受到力的作用。 产生的势场作用都相同，不会受到力的作用。 这样，自由电子气模型可以进一步表述为： 这样，自由电子气模型可以进一步表述为：是一种均匀 分布的正电荷背景中自由运动的电子气。可以形象地称 分布的正电荷背景中自由运动的电子气。 凝胶模型，正电荷背景相当于一种凝胶， 为凝胶模型，正电荷背景相当于一种凝胶，电子是在凝 胶介质中自由运动。 胶介质中自由运动。
《固体物理·黄昆》第七章(1)(1)
(2) 从电子的热容量可获得费米面附近能态密度的信 息。
一般温度下，晶格振动的热容量比电子的热容量大得多。 在温度较高下，晶格振动的热容量是主要的，热容量基 本是一个常数。
低温范围下不能忽略电子的 热容量。
C Metal V
CVPhonon bT 3
CVElectron T
EF0 kB
物理意义：设想将EF0转换成热振动能，相当于多高
温度下的振动能。
金属：TF： 104 ~ 105 K
对于金属而言，由于T << TF总是成立的，因此，只有 费米面附近的一小部分电子可以被激发到高能态，而 离费米面较远的电子则仍保持原来（T＝0）的状态， 我们称这部分电子被“冷冻”下来。因此，虽然金属 中有大量的自由电子，但是，决定金属许多性质的并 不是其全部的自由电子，而只是在费米面附近的那一 小部分。
EF
E
0 F
[1
2
12
(
kBT EF0
)2
]
温度升高，费米能 级下降
EF
EF0
[1
2
12
(
kBT
E
0 F
)
2
]
T 300 K
kBT 2.6 102 eV
kBT
E
0 F
1
EF0 ~ several eV
EF EF0
三、 电子热容量
根据电子的能量分布得电 U f (E)EN (E)dE
子总能量：
由于（-f/E）具有类似函数特征，改变积分下限并
不会改变积分值
N
Q(EF ) (
f )dE E
Q '(EF ) (E
EF )(
第5章金属电子理论
应用经典力学和电子气体服从经典麦克斯韦-玻尔兹曼统 计分布规律，对金属中的电子进行计算。得到了关于金属 的直流电导、金属电子的弛豫时间、平均自由程和金属电 子的热容的结果 经典电子论的成就： 解释金属的特征：电导、热导、温差电、电流磁输运等。 经典电子论的困难：关于固体热容量，按照经典统计法的 能量均分定理，N个价电子组成的电子气体，有3N个自由 度，对热容量的贡献为： — 对大多数金属，实验上测得的热容量值只有理论值的1％
在半径为k的球体积内电子的状态数为：
2V c 4 × πk 3 Z = ( 2 π) 3 3
= V c ⎛ 2 mE ⎞ ⎜ ⎟ 3π2 ⎝ h 2 ⎠
3 2
3 2
自由电子气的能态密度：
dZ ⎛ 2m ⎞ N ( E) = = 4 π VC ⎜ 2 ⎟ dE ⎝ h ⎠
⎛ 2m ⎞ 其中 C = 4 π V c ⎜ 2 ⎟ ⎝ h ⎠
⎡ π2 ⎛ k T ⎞2 ⎤ 2 3 ⎜ B ⎟ ⎥ = CE F 2 ⎢1 + 3 8 ⎜ EF ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ 2 0 N = C ( E F ) 3 2 ,因此有 由于系统的电子数 3
N =
∫
∞
0
∂f g (E )( − )d E ∂E
(−
∂f )函数的特点具有类似于δ函 ∂E
数的性质，仅在EF附近kBT的范围内才 有显著的值，且是E－EF的偶函数。
∂f )d E 因此一方面， N = ∫ g ( E )( − −∞ ∂E
∞
另一方面，将g(E)在EF附近展开为泰勒级数：
1 2 g( E ) = g( EF ) + g′( EF（E − EF） g′′( EF（E − EF） + ⋅ ⋅ ⋅ ) + ) 2
金属自由电子理论
金属自由电子理论Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】第四章金属自由电子理论1.金属自由电子论作了哪些假设得到了哪些结果解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。
根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。
2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状费米能量与哪些因素有关解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。
费米能量与电子密度和温度有关。
3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。
4.驰豫时间的物理意义是什么它与哪些因素有关解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。
驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。
5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。
6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。
试求：（1）电子的状态密度；（2）电子的费米能级；（3）晶体电子的平均能量。
解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为：dE dk dk dZ dE dZ E ⋅==)(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为：dk L dk dZ π=∆=k 2 (2)又由于 mk E 222 = 所以 mk dk dE 2 = (3)将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：Em LE 22)( πρ= …………………………（4） （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为： 11)(+=-T K E E B Fe E f (5)于是，系统中的电子总数可表示为：⎰∞=0)()(dE E E f N ρ (6)由于0=T K ，所以当0F E E >，有0)(=E f ，而当0F E E ≤，有1)(=E f ，故（6）式可简化为：⎰=00)(FE dE E N ρ ＝⎰0022FE dE E m L π＝240F mE L π 由此可得： 222208mL N E Fπ= …………………………（7） （3）在0=T K 时，晶体电子的平均能量为： ⎰∞=00)()(1dE E E Ef N E ρ＝dE Em L E N FE 22100⎰⋅ π＝230)(232F E m N L π＝022223124F E mL N = π 7.限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量为)(2),(222y x y x k k mk k E += 。
金属电子论
f1, f2, … 分别表示包含 E 的一次幂, 二次幂, … 项, 0 级 项实际上就是平衡情况下的费米分布函数 f0 . 得到
q
E
k
f0
q
E
k
f1
f1 f2
等式两边 E 的同次幂的项相等给出f1qEFra bibliotekkf0,
f2
q
E k
f1
从一次幂方程得
f1
q
E k
f0
由于 f0 只是 E(k) 的函数, 上式又可以写成
§6-5 各向同性弹性散射和弛豫时间
考虑一个可以具体导出弛豫时间的特例, 即完全各向 同性而且电子散射（碰撞跃迁）是弹性的情况
首先它的能带情况是各向同性的, E(k) 只是 k 的函数, k 空间的等能面是一些围绕原点的同心球面
其次, 散射是弹性的, k 只跃迁到相同能量的 k’ 态, 可 以表示如下：
2
m*
k12 k22 k32
(k) f0 d k /(2 )3
E
2q2
3
k m*
2
(k
)
f0 E
d
k
/(2
)3
8 q2
3
2k 2 m*2
(k
)
f0 E
dk
/(2 )3
q2
3 2m*
k
3
(k
)
f0 E
dE
q2 m*
k03
3 2
(k0 )
其中 k0 表示 E=EF0 时的 k 值
另外, 弹性波具有恒定的速度
cq
c 是常数, 对横波和纵波各有不同的值: c ct (横波) c cl (纵波)
由一个格波引起的整个晶格中的势场变化
第二章 金属的自由电子论
d (1 e ) f e I0 d d (1 e ) 2 (1 e ) 2 1 此为 I0 | 0 (1) 1 奇函 此为 偶函 (1 e ) 数
I1
kx
2 ky ny L 2 kz nz L
2 nx L
( nx 0, 1, 2, )
( ny 0, 1, 2, ) ( nz 0, 1, 2, )
h
注： 由于德布洛意关系 P 所以 k 空间也称为动量空间。
，即 P k
，
上式告诉我们，沿 k 空间的每个坐标轴方向， 2 电子的相邻两个状态点之间的距离都是 L 。 2 所以三维 k 空间每个点所占的体积是 L 。
0
f dE E
f I1 ( E EF ) dE 0 E 2 f 1 I 2 ( E EF ) dE 0 2! E
f (E) e
1
E EF 1 k BT
E EF 1 令f ( ) , , e 1 k BT E 0, k BT EF时， f ( ) e , 2 (1 e ) E , E EF k BT f dE f ( ) d E 积分限发生变化
eBT ) 2
I g (E)
2
6
(k BT ) 2 g '' ( E )
3 2 g ( E ) CE 2 3 1 2 3 1 g ' (E) C E 2 C E 2 3 2 1 1 C 1 g '' ( E ) C E 2 E 2 2 2
第六章金属电子论
O
L
x
(2)势阱内的哈密顿算符Ĥ 2 d 2 2 d 2 ˆ H 2 V ( x) 2 2m dx 2m dx
(3)势阱中的薛定谔方程 Ĥψ(r)=Eψ(r) (4)自由电子的能量
P k E ，P k，k 波矢。 2m 2m
y A Ax A Az 1 L3 2 为归一化常数，
x, y, z
V
2
dxdydz 1
V
n y nz nx A sin x sin y sin zdxdydz 1 L L L
4.对结果的讨论 ψ(x,y,z)代表驻波，驻波的平均速度为零，平 均动量为零，意味着电子在晶体中不能运动。之 所以得到此种结果，是因为所采用的边界条件是 驻波条件。 5.采用周期性边界条件 (1)一维晶体周期性边界条件——无限多个线度都 是L的势阱连接起来。在各个势阱相应的位置上 电子的状态相同。
二、三维晶体中电子气的能量分布
1. 三维无限深势阱分布 0 x,y,z L, V x , y, z 0 x , y, z 0及x , y, z L。 V x , y, z
2.势阱内的薛定谔方程 2 2 E 2m E：粒子在势阱内的能量；
在E E dE的体积元中可 容纳的电子数为 :
2 mE 2m dE dZ 2 2 2 E 2m 4VC 2 h
32
kz
dk
VC
k
O
ky
E dE
12
kx
(3)能级密度
dZ 2m DE 4VC 2 dE h 2m C 4VC 2 h
第三章 金属电子论(09年10月)
u tΔΔS为平均附加速度:v0.23~2.4 nm电子在发生碰撞前可自由穿过10个晶格。
A. Sommerfeld下，电子的能量和动量不随时间或位置改变，此时可以用: ，其中的方向为平面波的方向，(E)和动量(P)由德布罗意关系表示n 2、n 3是整数。
从上述分析可见，在k 空间，电子的状态是分立的，只允许波矢k 具有确定的分立值。
这样k 可以被解释为量子数。
因此单电子的本征能量亦取分立值。
由于单电子的本征能量为：的区域所允许的k 点(许可态)的数目个电子对许可k 态的占据，简单地由泡利不相容原理态，电子自旋能够取两个可能值：k 空间的电子态密度自由电子气系统的基态T=0K ，N 个自由电子的基态，可从能量最态开始，按能量从低到态两个电子，依次填充个电子，它的空间具有最k F 为半费米球，其。
对于基态，费米球内所有状态都被电子占据，而费米球外的状态全部未被定义为费米球的表面，在基态它把占据态和未N 个自由电子的基态为电子浓度。
相对应的能量称为费米能量：所受到的外力为：由于自由电子的动量与波矢之间的关系：则由牛顿第二定律可知：从上式可以看出，波矢k将随时间变化。
时刻将电场施加到电子气的基态，则在后一时刻费米球中心将移到新的位置：如果不发生碰撞，恒定的外加电场将使k空间中的费米球匀速移动。
由于电子与离子实的碰撞将使电子失τ为迟豫时间，Δk决定电子的漂移速度(平均速度) 。
不同的是，在量子体系中，由于非平衡费米球中与E=0时费米球交叠部分，方向上分布的对称性，对电流没有贡献。
电流来源于原费米球面撞，费米球整体的位移Δk和外力F的关系可由下式给出：为电子的漂移速度。
项为自由电子加速度而项表示碰撞效应项(相当于电子遭受碰撞而引入的摩擦阻力。
作用在一个电子上的洛仑兹力为：数为零，于是：则运动方程为：轴平行于磁场，于是运动方程可写为：其中。
：固体的界面效应和表面效应在金属自由电子模型中，金属内部被假设为均匀势场，离子实提供一个正电背景。
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导热
电子是热的载体，金属受热或存在温度场时，在
温度场驱动下，电子会发生定向漂移运动，从而 将热量从高温端传向低温端，形成导热现象
由于导电和导热均是源于外场驱动电子的定向漂
移运动，另一方面，金属中含有大量的电子，因 此，金属既是电又是热的良导体
延展性
对于金属，自由电子间只有胶合作用，当金属晶 体受到外力作用时，金属阳离子及原子间易产生 滑动而不易断裂，因此金属经机械加工可加工成 薄片或拉成金属丝，表现出良好的延展性
近年来，凝聚态与材料物理领域中很多重要的发现，如巨磁电 阻、庞磁电阻、高温超导、多铁效应以及新的量子态等，对这 些新效应的了解均是以电子的状态和行为的了解为基础的。
从本章开始，我们将转向对固体中电子的状态和行为的分析和 讨论。遵循先易后难的原则，本章介绍金属中的电子状态和行 为，而对周期性势场中运动的电子状态和行为将在第下章介绍。
(r)
其中V0为电子在金属中的势 能，为电子的本征能量。
取 V0 0,则有：
h2 2 (r) (r)
2m
该方程的解为： (r) Ceikr其中＝ h2k 2
2m
采用周期性边界条件：
(x L, y, z) (x, y, z) (x, y L, z) (x, y, z) (x, y, z L) (x, y, z)
§1.2 金属自由电子气的量子理论
§1.2.1电子状态和能量
晶体运动的电子虽然在晶体中是自由的，但活动范围也只 能限制于晶体内部，相当于在无限深势井中的粒子一样。
z y
x 无限深势阱
在体积V=L3内有 N个自由电子， 其中L为立方边
的边长
单电子的状态用波函数描述，薛定谔方程为
h2 2m
2
V0
(r)
由能量均分定理，N个价电子组成的自由电子气，有3N个自 由度，每个自由度平均热能为 1
2 kBT
总的平均内能为
3 2
NkBT
CVHale Waihona Puke (E T)V
自由电子气比热为 晶格比热
CVe
3 2
NkB
CVa 3NkB
两者量级相当
如果认为晶体的热容量由电子和晶格两部分热容量构成，则 由实验导出的电子热容量仅为理论值的1/200
电子不仅是稳定周期性结构形成的主要原因，更重要的是电子 的状态和行为可导致固体性质的千变万化和丰富多彩。
为什么原子能形成晶体 为什么导热、导电 为什么有导体、半导体、绝缘体之分
电子的状态 和行为
固体中电子的状态和行为是了解固体的物理、化学性质的基础
包括量子物理、固体物理、半导体物理、磁性物理、超导物理 等近代物理，在很大程度上源于人们对固体中电子的状态和行 为的了解。
不同点：
浓度高
n N V
ZN A
m
M
1029
m3
电子气带电
无规则热运动和漂移运动的叠加
浓度低 n : 1025 m3
理想气体分子电中性 无规则热运动
模型成功之处 模型本身的物理图像直观明了且结论简单 能对金属的一些共同的物理性质给以合理解释
导电性
金属中含有大量自由电子，这些电子好比气体分子 一样形成电子气体，但由于电子本身携带电荷，电 子作为电荷的载体，在电场作用下，电子会发生定 向漂移运动，形成电流，因此，金属是电的良导体
因此，失去价电子的离子实 “沉浸”在由共有化电子形 成的“电子海”或“电子云”
离子实带正电荷，由于正电荷 均匀分布，施加在电子上的电 场为零，对电子并无作用，因 此可认为这些电子的运动是 “自由”的，所谓自由电子气 体模型就是把金属简单地看成 是价电子组成的电子气体
两个最基本的假定 “自由”暗含着两层含意
金属光泽
金属可以吸收波长范围极广的光并重新反射出， 因此，金属晶体不透明，呈现出特有的金属光泽
模型不足之处
尽管自由电子气模型能给金属的一些共同的物理性质以合 理解释，但与此同时也遇到一些根本性的矛盾，最典型问 题是电子比热
在自由电子气模型中，自由电子气如同理想气体分子，服从经 典的玻尔兹曼统计，因此，金属中的自由电子对热容量有贡献
第一章 金属电子论
在固体物理（I）中，介绍了晶体结构、如何确定晶体晶格、形 成稳定晶体结构的原因以及晶格振动和热学性质，其内容涉及 固体中原子（或离子）的状态及运动规律，属于固体的原子理 论。
从一定程度上，原子之所以能凝聚在一起形成有稳定周期性结 构的固体，是因为原子核外带负电荷的价电子同其它带正电荷 的粒子间有强的静电库仑吸引作用。
自由电子气模型所预言的结果和实验差别如此之大，究其 原因，直到“费米-狄喇克统计理论”诞生后，人们才意识 到电子气体并不遵从经典的玻尔兹曼统计规律，而是遵从 费米-狄拉克统计分布。
意味着金属中的电子即使在金属内部实际上并不能完全自 由，或者说金属中的电子是近自由的，因此，更精确地应 当称金属中的电子气为近自由电子气，而不是自由电子气。
人们自然会问，是什么原 因使得金属具有这些共同 的性质呢？
1987年汤姆逊首次从实验上证实电子的存在，此后不久，即 1900年，特鲁特大胆提出金属之所以有这些共同的物理性质 或许与这些电子有关。
借助当时已很成功的气体分子运动论，特鲁特将金属中大
量的电子视为自由电子气体，进而提出了金属自由电子气 模型。
自由电子、近自由电子
1.1 自由电子气模型 1.2 金属自由电子气的量子理论 1.3 电子气的比热 1.4 电子发射 1.5 金属电子气的输运理论
金属的电导率 霍尔效应和磁阻 金属的热导率 1.6 自由电子气模型的局限性
§1.1 自由电子气模型
金属有一些共同的物理性质
➢易导电 ➢易导热
➢有延展性 ➢有金属光泽
固体由大量原子组成， 每个原子由原子核和核 外电子构成
对金属而言，由于电负性很低，原子对最外层电子的束缚相当 弱，因此，很易失去电子，这些容易脱离原子束缚的电子称为 价电子，而将原子核和内层结合牢固的芯电子称为离子实。
当大量原子组成晶体时，脱 离原子核束缚的价电子不再 属于哪一个原子，而是为所 有原子所共有，成为共有化 电子
忽略电子和离子实间的作用 凝胶模型
忽略电子和电子之间的作用
“独立电子近似”模型
电子自由运动的范围仅因存在表面势垒而限制在样品内部，这相
当于将离子实系统看成是保持体系电中性的均匀正电荷背景，类 似于凝胶，常称为凝胶模型。
自由电子气
理想气体
共同点：组成气体的粒子均是没有相互作用的粒子，服从经典 的玻尔兹曼统计，且只有一个参数，即粒子密度