拓扑优化算法及其实现111详解

T C U T F ( e ) pue k e ue e 1
n
优化结果：各单元密度组成的矩阵——X >Imagesc(-x)
目的：消除棋盘格效应及网格依赖性 方法：1、高阶单元法（计算量大） 2、周长约束法（周长约束的上限值需要依靠经验来确定，因为局部 尺寸和周长边界间没有直接的关系。如果周长约束边界定得太紧，则可能 导致没有计算结果，如果定的太松又达不到预期的效果。因此约束边界很 难确定，这种情况在三维问题下特别明显） 3、局部梯度约束方法（局部斜率约束属于局部约束，可防止局部细 条的形成，从而降低结构拓扑的几何复杂性，但优化结果难以满足全局最 佳，并且，这种方法在优化问题中引入了2N(二维)或3N(三维)个额外约束， 使计算效率大大降低） 4 、网格过滤法（网格过滤方法只需定义一个局部长度尺寸，相对 较为容易，在约束尺度下的结构变量都被过滤掉。网格过滤方法的优点是 不需要在优化问题中加入额外约束，且容易实施。缺点是过滤方法为一种 基于启发式求解规则的方法）
T p( e ) p 1 ue k0ue B ve
if en B max( min , en m) if max( min , en m) en B min(1, en m) if en B min(1, en m)
max( min , en m) n n1 e B n min(1, m) e
对应于目标函数的拉格朗日函数为：
u
优化设计准则
优化设计准则 上式即为设计变量的迭代准则。由该式可以看出当柔度取得极值时,在 整个设计区域内单元的应变能密度是恒定的常数 。由此建立更新设计变 量迭代格式：
n1 en B ,
max( min , en m) n n1 e B n min(1, e m)
Ke为惩罚的单元刚度矩阵； Ke为真实的单元刚度矩阵； [0,1]为每个单元的密度，
是0到1之间的连续变量； p为总大于1的罚(Penalization)因子，
e ——设计变量
一般取3，大的罚因子可使密度快 速的趋于0或者1。
优化求解
OC法优化求解
变量约束优化的KT条件：定义在闭区间上的一元函数的优 化（仅有变量上下限约束）
本质上，结构拓扑优化是 个（ 0,1 ）整数规划问题，属于 组合优化的范畴。 2n次计算有限 元分析才能求得全局最优解，是 个指数时间算法，非多项式时间 算法，随着单元数量 n 的增加， 计算量会激增，也即是困扰组合 优 化 领 域 的 NP 难 题 。
e ——设计变量
(0,1)整数规划问题
[0,1]区间内的单元密度的 连续变量优化问题
if en B max( min , en m) if max( min , en m) en B min(1, en m) if en B min(1, en m)
xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)))))

拓扑优化建模方法

变密度法
SIMP（ Solid Isotropic Microstructures with Penalization ） (固体各向同性惩罚函数法）
RAMP（ Rational Approximation of Material Properties ） （材料属性的理性近似模型）
( x) ( )
e p
n T e p T min C U F ( ) ue k o ue e 1 KU F s.t. V ( ) V0 0 1 min
密度变量的引入： 在工程中，材料的刚度线性依赖材 料的密度，即刚度大的材料，密度也大。 比如，钢的密度比铝的密度大，因此钢 的刚度比铝的刚度大。按照这个朴素的 逻辑，就可用单元的密度来代替材料的 有无，如下式 Ke p Ke
3
top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin)
有限元分析
目的：求整体位移矩阵
1 4 3
4节点矩形单元
2
e
K e Be DBetdA
T
B、D、t分别代表什么？？？
Ke
单元刚度矩阵
K
整体刚度矩阵
KU F
U 和F 为整体位移与载荷
整体节点编排：
划分网格数
(nelx,nely) 1

拓扑优化简介 拓扑优化设计流程

算例

拓扑优化：拓扑优化是结构优化的一种。结构优化可分为尺寸优化、 形状优化、形貌优化和拓扑优化。尺寸优化以参数为优化对象，比如 板厚、梁的截面宽、长和厚等；形状优化以结构件外形或者孔洞形状 为优化对象，比如凸台过渡倒角的形状等；形貌优化是在已有薄板上 寻找新的凸台分布，提高局部刚度；拓扑优化以材料分布为优化对象， 通过拓扑优化，可以在均匀分布材料的设计空间中找到最佳的分布方 案。拓扑优化相对于尺寸优化和形状优化，具有更多的设计自由度， 能够获得更大的设计空间，是结构优化最具发展前景的一个方面。 优化设计过程：将区域离散成足够多的子区域，对这些子区域进行 结构分析，再按某种优化策略和准则从这些子区域中删除某些单元， 用保留下来的单元描述结构的最优拓扑。
nely+2
纵向 e
e
nely+1
2(nely+1)
2 1
8
7 (1) (2)
e
(4) (3)
4 3 局部
6 5
பைடு நூலகம்
整体
KU F
(有限元基本方程) U ——各节点位移矩阵
建立优化模型
目标函数(min& max) 约束函数 设计变量
( x) ( )
e p
n T e p T min C U F ( ) ue k o ue e 1 KU F s.t. V ( ) V0 0 1 min

Level Set法 (水平集法) ICM(独立映射法) ESO(进化法) ……
优化求解方法

OC法(优化准则法)

MMA法(移动渐进线法)
SLP(序列线性规划法） SQP(序列二次规划法) …………




拓扑优化简介 拓扑优化设计流程 算例
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SIMP法+OC法
基于99行拓扑优化程序代码