第四章不完全区组试验设计

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区组长为4的自反有向平衡不完全区组设计

文章编号:100021506(2002)0620102204区组长为4的自反有向平衡不完全区组设计王　昕,常彦勋(北方交通大学理学院,北京100044)摘　要:如果从一个有向平衡不完全区组设计DB (k ,λ;v )(X ,B )到(X ,B -1)之间存在一个同构映射f ,则这个DB (k ,λ;v )被称为自反的,记为SCDB (k ,λ;v )(X ,B ,f ),其中B -1={B -1:B ∈B },当B =(x 1,x 2,…,x k -1,x k )时B -1=(x k ,x k -1,…,x 2,x 1).本文主要证明了SCDB (4,λ;v )存在的充分必要条件是λ≡1,2(mod 3)时,v ≡1(mod 3)且v ≥4,(v ,λ)≠(7,1);λ≡0(mod 3)时,v 为≥4的任意整数.关键词:有向平衡不完全区组设计;自反;可分组设计中图分类号:O157.5 文献标识码:AExistence of Self-Converse DirectedBIBDs with B lock Size FourW A N G Xi n ,CHA N G Yan-x un(School of Sciences ,Northern Jiaotong University ,Beijing 100044,China )Abstract :A directed balanced incomplete block design DB (k ,λ;v )(X ,B )is called self-converseif there is an isomorphic mapping f from (X ,B )to (X ,B -1),where B -1={B -1:B ∈B },andB -1=(x k ,x k -1,…,x 2,x 1)for B =(x 1,x 2,…,x k -1,x k ).In this paper ,we show that SCDB(4,λ;v )exists if and only if v ≡1(mod 3)and v ≥4,(v ,λ)≠(7,1)when λ≡1,2(mod 3);v ≥4when λ≡0(mod 3).K ey w ords :directed balanced incomplete block design (DB );self-converse ;group divisible design1　问题的提出设v ,k ,λ为任意正整数,集合{(a i ,a j ):1≤i <j ≤k}通常记为(a 1,a 2,…,a k ),称作可迁k 元组.一个有向平衡不完全区组设计DB (k ,λ;v ),定义为一个序偶(X ,B ),其中X 是v 元集,B 是一些可迁k 元组的集合(称为区组),满足X 中每两个不同元素组成的有序对恰出现在λ个区组中.如果不计区组中元素的顺序,那么一个DB (k ,λ;v )蕴含一个平衡不完全区组设计B (k ,2λ;v ).众所周知DB (k ,λ;v )存在的必要条件是2λ(v -1)≡0(mod k -1)λv (v -1)≡0mod k 2　,其中,定义B -1={B -1:B ∈B },这里当B =(x 1,x 2,…,x k -1,x k )时B -1=(x k ,x k -1,…,x 2,x 1).易知(X ,B -1)也是一个DB (k ,λ;v ).如果在(X ,B )和(X ,B -1)之间存在一个同构映射f ,使得B -1={f (B ):B ∈B },就称DB (k ,λ;v )为自反的,记为SCDB (k ,λ;v ).康等[1]证明了SCDB (3,1;v )存在的充分必要条收稿日期:2002207208基金项目:国家自然科学基金资助项目(10071002);国家博士点基金资助项目(20010004001)作者简介:王昕(1978—),女,河北邯郸人,硕士生.em ail :myhop01@ 第26卷第6期2002年12月北　方　交　通　大　学　学　报JOURNAL OF NORTHERN J IAO TON G UN IV ERSIT Y Vol.26No.6Dec.2002件是v ≡0,1(mod 3)且v ≠6.本文将证明SCDB (4,λ;v )存在的充分必要条件.2　辅助设计及其构造一个阶为v 的带洞的DB (k ,λ;v )设计,记作IDB (k ,λ;v ,w ),定义为一个有序三元组(X ,Y ,B ).其中X 为v 元点集,Y <X 且|Y |=w ,B 为区组集,使得任意一个有序对(x ,y )∈(X ×X )\(Y ×Y ),恰出现在B 的λ个区组中,Y 被称作这个IDB (k ,λ;v ,w )的洞.如果存在一个从(X ,Y ,B )到(X ,Y ,B -1)的同构映射f ,并且满足f (Y )=Y ,那么这个IDB (k ,λ;v ,w )称为带洞的SCDB ,记为ISCDB (k ,λ;v ,w )(或(X ,Y ,B,f )).设K 为正整数集,一个阶为v ,区组大小属于K 的可分组设计,记做{K ,λ}2G DD ,定义为一个有序三元组(X ,G,A ),其中X 为v 元点集,G 为X 的某些子集(称为组)组成的集合,它构成X 的一个划分,A 为X 的某些子集(称为区组)组成的族,满足下列性质:(1)对任意的B ∈A ,有|B |∈K ;(2)对任意的B ∈A 和G ∈G ,有|B ∩G |≤1;(3)X 中任意一对属于不同组的点,恰好同时包含在A 的λ个区组中.集合T ={|G |:G ∈G }被称为该G DD 的组型,1i 2j …表示长为1的组出现了i 次,长为2的组出现了j 次,等等.当K ={k}时,{K ,λ}2G DD 简记为{k ,λ}2G DD .定理1[2]　设t 、u 为正整数,那么存在组型为t u 的{4,1}2G DD 当且仅当下列条件之一被满足:(1)t ≡1,5(mod 6),u ≡1,4(mod 12)且u ≥4;(2)t ≡2,4(mod 6),u ≡1(mod 3)且u ≥4,(t ,u )≠(2,4);(3)t ≡3(mod 6),u ≡0,1(mod 4)且u ≥4;(4)t ≡0(mod 6),u ≥4,且(t ,u )≠(6,4).定理2[3]　组型为2u 51的{4,1}2G DD 存在当且仅当u ≡0(mod 3)且u ≥9.定理3[4]　存在组型为6591的{4,1}2G DD .定理4[5]　假设w ≡7,10(mod 12),v ≡7,10(mod 12)且v ≥3w +1,那么就可存在一个组型为3(v -w )/3(w -1)1的{4,1}-G DD .对于一个给定的SCDB (4,λ;v )(X ,B,f ),它的同构映射f 作为集合X 上的一个置换,可以看作若干个不相交的圈的乘积.设I 为恒等映射,使得f k =I 的最小正整数k 称为f 的阶,记为p (f ).对任意x ∈X ,如果f (x )=x ,则称x 为f 的固定点.定理5　设V 是一个v 元集,W 是一个w 元集,并且V ∩W = ,π是集合W 上的任意一个置换.对于1≤j ≤t ,f j 是集合G j 上的置换,并且f j 的阶p (f j )≤2.假设有下面的设计存在:(1){k ,λ}-G DD (V ,G,B ),其中G ={G j :j =1,2,…,t};(2)ISCDB (k ,λ;|G j |+w ,w )(G j ∪W ,W ,B j ,πξf j ),其中1≤j ≤t -1.那么存在一个ISCDB (k ,λ;v +w ,|G t |+w ),它的同构映射f =πξf t ξ…ξf 2ξf 1.而且,如果存在一个SCDB (k ,λ;|G t |+w )(G t ∪W ,B t ,πξf t ),其中∪为并集的符号,ξ表示置换的复合.那么就有一个SCDB (k ,λ;v +w )存在,它的同构映射即为f .证明　对于(1)中给定的{k ,λ}-G DD (V ,G,B ),定义一个集合V 上的置换σ=f t ξ…ξf 2ξf 1,从而能够得到另一个{k ,λ}-G DD (V ,G,σ(B)).将B 中每一个区组的点按照它们所在组的顺序进行升序排列,σ(B )中每一个区组中的点按照它们所在组的顺序进行降序排序,得到的区组都作为可迁k 元组.这些可迁k 元组构成的集合称作B 0,它恰好包含了所有由不同组中的点所构成的有序对λ次.因为置换σ的阶p (σ)≤2,所以对于任意一个区组B ∈B 0,σ(B -1)∈B 0.这时,用(2)中的ISCDB (k ,λ;|G j |+w ,w )(G j ∪W ,W ,B j ,πξf j )(1≤j ≤t -1)替换G j ∪W (1≤j ≤t -1),设X =V ∪W ,Y =G t ∪W ,f =πξσ=πξf t ξ…ξf 2ξf 1,A =∪0≤j ≤t -1B j .所得到的(X ,Y ,A ,f )就是一个ISCDB (k ,λ;v +w ,|G t |+w ).如果用置换为πξf t 的SCDB (k ,λ;|G t |+w )代替G t ∪W ,就得到一个SCDB (k ,λ;v +w ),它的同构映射为f .301第4期王　昕等:区组长为4的自反有向平衡不完全区组设计401北　方　交　通　大　学　学　报第26卷3　存在性结果311　SCDB(4,1;v)的存在性如果置换f有一个固定点,那么以f为同构映射的SCDB(k,λ;v)等价于ISCDB(k,λ;v,1).利用B(4,1;v)存在的充分必要条件[6],易得如下定理.引理1　对于v≡1,4(mod12),SCDB(4,1;v)存在,即ISCDB(4,1;v,1)存在.定理6　设G是一个u阶的阿贝尔群,u为奇数.如果存在(u-1)/2个有序对(a i,b i),i=1,…,(u -1)/2,a i、b i∈G,使得{a i,b i:a i,b i∈G,1≤i≤(u-1)/2}=G\{0},{a i±b i:a i,b i∈G,1≤i≤(u-1)/2}=G\{0},那么就存在SCDB(4,1;3u+1),它的同构映射f的阶p(f)=2.证明　设X=(G×Z3)∪{∞},f是X上的置换且对于任意x∈G,i∈Z3,定义f:(x,i)→(-x,i), f(∞)=∞.则B包含下列区组:(1)((a i+k,j),(b i+k,j+1),(-b i+k,j+1),(-a i+k,j)),(2)(∞,(k,0),(k,1),(k,2))和((k,2),(k,1),(k,0),∞),其中,k∈G,j∈Z3,i=1,2,…,(u-1)/2.容易验证:(X,B,f)是一个SCDB(4,1;v),并且f的阶p(f) =2.引理2　当v=10,19,22时,SCDB(4,1;v)存在.注1　SCDB(4,1;10)和SCDB(4,1;19)是通过计算机搜索而得到的,其中SCDB(4,1;10)的同构映射f的阶p(f)=2,并含有一个固定点,因此等价于ISCDB(4,1;10,1).注2　应用定理6,取G=Z7,{(a i,b i):a i、b i∈Z7,1≤i≤3}={(1,3),(2,6),(4,5)}可知SCDB(4, 1;22)存在.引理3　SCDB(4,1;7)不存在.如果SCDB(4,1;7)存在,那么它的置换的最大圈长可以是1,2,…,7,通过分别分析这7种情况,总能够找到矛盾.定理7　SCDB(4,1;v)存在的充分必要条件是v≡1(mod3),v≥4且v≠7.证明　由DB(4,1;v)的存在性可知必要条件显然成立.当v≡1(mod3)且v≥4时,若v|{7,10, 19,22},SCDB(4,1;v)的存在性由引理1以及引理2得到ISCDB(4,1;10,1)和定理4得到的组型为3(v-10)/391的{4,1}-G DD,再应用定理5可得.若v∈{10,19,22},由引理2可知SCDB(4,1;v)的存在性,再由引理3可知本定理成立.312　λ≥2时SCDB(4,λ;v)的存在性定理8　当v≡1(mod3)且v≠7时,SCDB(4,λ;v)存在,其中λ为任意整数.由定理8和DB(4,λ;v)存在的必要条件可以知道,只需要考虑λ≡0(mod3)且v≡0,2(mod3)时SCDB(4,λ;v)的存在性以及λ≥2时SCDB(4,λ;7)的存在性.对于λ≡0(mod3),不妨先考虑SCDB(4, 3;v),然后将每个区组重复λ/3次,从而得到SCDB(4,λ;v).为了应用定理5,需要给出一些带洞的设计ISCDB(4,3;v,w).引理4　当(v,w)∈{(11,2),(11,3),(14,2),(15,3),(35,11)}时,置换的阶p(f)=2的ISCDB(4, 3;v,w)存在.证明　以(v,w)=(11,3)为例,余者皆由计算机搜索而得.设X=Z8∪Y,其中Y={∞1,∞2,∞3}.定义集合X上的置换f=(0)(1)…(7)(∞1∞2)(∞3),所求的ISCDB(4,3;11,3)为(X,Y,A∪f(A-1), f),A包含的区组有:(0,2,4,6)(+1,mod8),(∞1,0,1,3)(+1,mod8),(∞2,0,1,3)(+1,mod8),(∞3,0,1,5)(+1,mod8).引理5　当v ≡0,1(mod 4)时,SCDB (4,3;v )存在.证明　对于v ≡0,1(mod 4),B (4,3;v )(X ,A )存在[6].取同构映射f 为X 上的恒等置换,将A 中所有区组的原序及逆序形式组成一个区组集B,则(X ,B,f )即为所求的SCDB (4,3;v ).引理6　当v ∈{6,11,14,15,18,23,26,27}时,同构映射f 的阶p (f )=2的SCDB (4,3;v )存在.证明　以v =11为例,余者皆由计算机搜索而得.设X =Z 10∪{∞},映射f 为:x →x +5,其中x ∈Z 10.区组集B 可以由三部分构成,即B =B 1∪B 2∪f (B -11),其中B 0和B 1分别为: B 0:　(0,1,6,5)(+2,mod 10);B 1:　(0,1,2,3)(+2,mod 10),(0,4,8,∞)(+2,mod 10),(0,2,4,7)(+2,mod 10),(1,5,∞,2)(+2,mod 10),(1,3,0,6)(+2,mod 10).容易验证上面列出的(X ,B,f )即为所求的SCDB (4,3;11).引理7　当v ∈{35,38,39,47,59,71,83}时,同构映射f 的阶p (f )=2的SCDB (4,3;v )存在.对引理7所列参数的存在性,是综合运用定理1和定理3得到的一些{4,3}-G DD 和引理4、引理6得到的小参数的ISCDB 和SCDB 设计,最后应用定理5而得.有了这些小参数的存在性结果,仍然应用定理5可得下面这个定理.定理9　当v ≡2,3,6,11(mod 12)且v ≥6时,SCDB (4,3;v )存在.证明　本定理主要是从引理4、引理6和引理7得到的小参数的ISCDB 和SCDB 设计以及定理1和定理2得到的一些{4,3}-G DD 出发,应用定理5而得.通过计算机搜索,可以找到SCDB (4,2;7)和SCDB (4,3;7),从而得到:定理10　当λ≥2时,SCDB (4,λ;7)存在.4　结论由定理7至定理10得到本文的主要结论.定理11　SCDB (4,λ;v )存在当且仅当λ≡0(mod 3)时v 为大于等于4的任意整数;λ≡1,2(mod 3)时v ≡1(mod 3)且v ≥4,(v ,λ)≠(7,1).参考文献:[1]K ang Q ,Chang Y ,Y ang G.The S pectrum of Self-converse DTS[J ]binatoral Design ,1994,(2):415-425.[2]Mullin R C ,Gronau H -D O F.The CRC Handbook of Combinatiorial Desi gns[M ].Boca Raton :CRC Press ,1996.185-192.[3]Brouwer A E ,Schrijver A ,Hanani H.Group Divisible Designs with Block Size 4[J ].Discrete Math.,1977,20:1-10.[4]Rees R ,Stinson D R.On Resolvable Grou p Divisible Designs with Block Size 3[J ].Ars Combin.,1987,23:107-120.[5]Rees R ,Stinson D R.On the Existence of Incom plete Designs of Block Size Four Having one Hole [J ].Utilitas Math.,1989,35:119-152.[6]Hanani H.Balanced Incomplete Block Designs and Related Designs[J ].Discrete Math.,1975,11:255-369.501第4期王　昕等:区组长为4的自反有向平衡不完全区组设计。

试验设计：区组设计

平衡不完全区组设计， Balanced incomplete block design， BIB设计
(3)b v, r k.
处理数超过区组数的 BIB设计是不存在的。
附表9（P401）对 4 v 10, r 10 给出了一些BIB设计表。附表使用方法见书本P90 例3.2.1,例3.2.2
j 1 b
,v
它们之间的差异受到区组间差异的影响，故按传统的公式计算处理平方和已经不再适合，下面用最小二乘法来获得SA ，为此先计算误差平方和Se。
误差平方和Se可从最小二乘的剩余平方和获得：
Se min nij ( yij i j ) 2
i 1 j 1 v b
方差分析
一、区组是试验设计的基本原则之一。
几点注释
错误结论是因为没有重视区组设计而造成的！
二、把区组看成另一个因子，有争议。
三、随机效应问题
• 在实际中，处理效应和区组效应可能是随机的： 1）仅仅处理效应是随机的； 2）仅仅区组效应是随机的； 3）处理效应和区组效应都是随机的这一类问题的处理将放在下一章“两因子试验的统计模型”详细叙述。
统计模型及其参数估计
平衡不完全区组设计只适用于处理和区组间无交互作用的试验问题。其统计模型是：
平衡不完全区组设计和随机化完全区组设计模型相同，差别仅在于BIB设计中不是每个区组都包含所有处理。
考虑到BIB设计是“不完全的”，不是对所有(i,j)做试验，关联矩阵N会起到区分作用。下面先求处理效应i的最小二乘估计。
假如每个区组都包含着每个处理（区组大小正好等于处理个数a）,成为随机化完全区组设计。
若区组大小小于处理个数a，这样的设计被称为随机化不完全区组设计。

4.9 不完全区组设计：Durbin 检验

在 Durbin 检验中，考虑平衡不完全区组设计 BIBD k ,b,r ,t ,r . 首先假定总体分布为连续的，因而不存在打结，再假定区组之间相互独立，且观测值为定序尺度或秩数据.
1. 建立检验问题
Durbin 检验的假设如下： H 0 : 1 2 k . H1 : 不是所有的位置参数都相等.
这里 d1 k 1, d 2 bt b k 1. 最近的一些研究表明，DF 比 Da 更精确.
例 4.3 比较四种材料(k 4)在四个部位(b 4)的磨损.
区组
I
处理
II 28 30
III 36
IV
A B
34 36
45
C
D
40
44
48
54
60
59
解：建立假设检验 H 0 : 1 2 3 4 . H1 : 不是所有的位置参数都相等.
2
性水平临界值 F 6， 8 3.58. 相同.
D 小于其 5％显著性水平临界值 12.59，DF 大于其 5％显著
小样本下后者更准确，所以几种冰淇淋受欢迎程度不完全
两处理间的多重比较：自由度为 bt b k 1 8 的 t1 / 2 2.306. 所以 rt (t 1) t1 / 2 (n(t 1) Da ) 6(nt n k 1)
r t 1 1 k 1 k b 秩总平均为 Ri Rij . k i 1 k i 1 j 1 2
k 个处理的秩和在 H 0 下是非常接近的，
当某处理效应大时，则反映在秩上，其秩和与总平均之间的差异也较大，于是可以构造
Durbin 检验统计量为 12( k 1) k r (t 1) D Ri 2 rk (t 1) i 1 2

《试验统计方法》第四章常用的试验设计方案

1）设计特点： a. 各个处理的重复数相同。 b. 任意对（两个）处理在同一区组中出现的次数相等。
2）平衡不完全区组的条件： r·t＝b·k r·(k-1) ＝λ·（t-1） b≥t r≥k
注：t：处理数 r：重复数 b：区组数 k：每个区组的小区数 λ：每对处理在同一区组中的相遇次数
3）设计方案：（P304）
2、设计方案
1）根据处理数查标准的拉丁方表（P25页），也可以人工排标准的拉丁方表。
常用拉丁方理论方案
2）在标准表的基础上按随机的方法进行行间随机化 3）、在行间调整的基础上，随机的方法进行列间随机化得到应用的拉丁方表。
标准表
应用方案
(1) A B C D E
BCDEA
CABED
(2) B C D E A (3) C D E A B (4) D E A B C (5) E A B C D
2. 设计方案
2 3 3 1 61 5 3 6 2 1 2 52 13 21 42 11 41 43 32 51 22 63 33
6个处理3次重复的完全随机设计试验方案
3. 完全随机设计的优缺点
优点：
满足试验设计的3个基本原则；设计方法简单；可以进行统计分析，且统计分析简单。
缺点：
要求试验地能满足安排全部试验小区，且规则的地块；
Ⅱ P- K- K- N- P- N- P- N- K- P - K- N-
214143323 124
Ⅲ N- K- P- K- P- K- N- P- N- K- P- N-
422311241433
2、优缺点：
优点：同随机区组，并且获得的信息量较单因素随机区组多
缺点：同随机区组，但分析较单因素随机区组复杂。

试验设计与数据分析课件-3单因素试验设计与分析

方差分析表
变异来源自由度(df) 平方和(SS) 均方（MS） F值 F0.05 F0.01
区组间
2
27.56
第三部分单因素试验设计与分析
1 基本概念 2 完全随机设计的方差分析 3 随机完全区组设计 4 平衡不完全区组设计
1
1 基本概念
第三部分单因素试验设计与分析
单因素试验（single-factor experiment）：是指整个试验中只变更、比较一个试验因素的不
同水平，其他作为试验条件的因素均严格控制一致的试验类型
✓平衡不完全区组设计（balanced incomplete block design）
3
1 基本概念
第三部分单因素试验设计与分析
单因子试验设计的统计分析方法：方差分析（analysis of variance，简记ANOVA）
✓方差分析因子或水平间差异显著与否的判断用F或P 检验
➢方差检验达显著的前提下，必须作水平/因素之间的多重比较。多重比较常用的方法
5.29
杂交组合内（误差） 16
27.69 1.73
总变异
19
277.77
9
2 完全随机设计的方差分析
☺ 应用表3-2数据进行方差分析
组合Fl l 2
3（CK） 4
2.89 5.07 6.23 12.29
4.88 3.52 3.94 13.68
单株产量 3.03 2.57 2.66 1.09 4.26 3.22 10.48 11.07
✓区组平方和 SSt =
=(32.22+ 37.12 +…+ 34.12)/3 – 3 220.17 =34.08
✓误差平方和 SSe = SST - SST - SSt = 84.61 – 27.56 – 34.08 = 22.97

配合力及alpha拉丁方格子试验设计

配合力及alpha拉丁方格子试验设计
பைடு நூலகம்
报告内容：
• 一、配合力 • 二、不完全随机区组试验设计
配合力定义及意义
配合力：(combining ability)指一个亲本(纯系、自交系或品种)材料在由它所产生的杂种一代或后代的产量或其他性状表现中所起作用相对大小的度量。又称结合力、组合力。亲本的配合力并不是指其本身的表现，而是指与其他亲本结合后它在杂种世代中体现的相对作用。
不完全双列杂交设计—配合力效应值估计:
不完全随机区组设计
α-格子试验设计（Alpha-Lattice），是当前国外育种企业采用的一种不完全区组试验设计，主要应用于育种过程中早、中期产量试验阶段的品种筛选。其采用的不完全区组的试验设计方式，提升了试验效率，减小了试验误差，降低了育种试验成本。
2 配合力试验设计
2.2 alpha试验设计
在开始菜单处，键入cmd，进入终端界面。加入d:进入D盘目录键入cd Gendex，进入Gendex 键入java MENU，进入Gendex界面。
2 配合力试验设计
2.2 alpha试验设计
Plots per block：区组内个数 Replicates：重复数 Blocks per rep：重复内区组数 Treatments：材料数 seed：进行随机排列
与随机区组试验设计相比，在参试材料很多的情况下，随机区组的小区面积急剧扩大，地块地力差异，对试验本身产生了破坏性影响，或者可以表述为，试验设计的局部控制失灵。在不扩大试验地块面积的情况下，尽量多安排试验材料，这就是不完全区组试验设计的优越性。
alpha试验设计
安装软件： 1、安装java. 如何检测：打开终端cmd，键入java，如果出现内容，则说明已经安装。 2、将Gendex解压到D盘根目录。

第4章试验设计基本知识

第4章试验设计基本知识4.1 基本概念一、试验指标在试验设计中，根据试验目的而选定的用来衡量试验效果的特征值，称为试验指标。

试验指标可以是数量指标、质量指标、成本指标、效率指标等。

试验指标可分为两大类，一类是定量指标，也称为数量指标，它是在试验中能够直接得到具体数值的指标，如强度、硬度、重量、光洁度、精度、寿命、成本、合格率、pH值等；另一类是定性指标，或称非数量指标，它是在试验中不能得到具体数值的指标，如颜色、味道、光泽、手感等。

在试验设计中，为便于分析试验结果，一般把定性指标定量化，例如，可把色泽按不同深度分成不同等级。

试验指标可以是一个，也可以同时是几个。

前者称单指标试验设计，后者称多指标试验设计。

二、试验因素对试验指标特征值可能有影响的原因或要素称为因素（factor），也称为因子，它是进行试验时重点考察的内容，因素一般用大写英文字母A、B、C……来标记，如因素A、因素B、因素C……等。

在确定试验因素时，必然以专业技术和生产实践经验为基础，应尽可能列出与研究对象目标有关的各种因素，然后判断哪些是需要探索的因素。

因素有各种分类方法，最简单的是分为可控因素和不可控因素。

可控因素是指人们可以控制和调节的因素，如温度、流量、pH值等；不可控因素指人们暂时不能控制和调节的因素，如设备的轻微振动、刀具的轻微磨损等。

进行试验设计时，一般只考虑可控因素。

只考察一个因素的试验叫单因素试验，考察两个因素的试验叫双因素试验，考察三个或三个以上因素试验中多因素试验。

三、因素水平（level of factor）在试验设计中，为考察试验因素对试验指标的影响情况，要使试验因素处于不同的状态。

我们把试验因素所处的各种状态称为因素水平或试验水平，简称水平或位级。

试验设计中，一个因素选了几个水平，就称该因素为几水平因素。

如某试验中温度A选了300C和500C二个水平，时间B选了20min、40min、60min三个水平，就称A为二水平因素，B为三水平因素。

bbd试验

bbd试验设计（仅供参考）Tuesday, November 18, 2014bbd试验简介概述一、 BBD概念：bbd试验全称Box-Behnken设计，是RSM二级模型的其中一种设计类型，这种设计是一种拟合响应曲面的二阶三水平设计，由 2^k 析因设计与不完全区组设计组合而成，所得出的设计对所要求的试验次数来说十分有效，且它们是可旋转的或接近可旋转的。

这种设计的另外一个优点就是它是球形设计，所有设计点都在半径为 2^(1/2)的球面上，即正方体各棱的中点，以及一个中心试验点。

BBD 设计不包含由各个变量的上限和下限所生成的立方体区域的顶点处的任一点。

所以当立方体顶点所代表的因子水平组合因试验成本过于昂贵或因试验限制而不可行，此设计就显示出它特有的长处。

图中每个设计点的三维立体坐标即代表了每一试验点的三个试验水平，试验本身要求三个水平在整个域里是平均分布的。

BBD 设计试验次数 N =2k?( k －1) + C 0 ，公式中 k 表示因素的个数， C 0 表示中心试验点的重复次数，用于估计试验误差。

二、 BBD试验设计原理：建立Box - Behnken模型对实验数据进行精确的统计分析，提供具有连续性特征的图像分析，从而直观地了解所研究因子与响应之间的对应关系。

BBD模型是利用含有二次项的方程来表征因子和响应之间的关系。

三、 BBD实验设计特点：1、可以进行因素数在3~~7个范围内的试验。

2、试验次数一般为15-62次。

在因素数相同时比中心复合设计所需的试验次数少，比较如下：3、可以评估因素的非线性影响。

4、适用于所有因素均为计量值的试验。

5、使用时无需多次连续试验。

6、Box-Behnken 试验方案中不需要将所有试验因素都同时安排为高水平的试验组合，和中心复合试验相比， Box-Behnken 试验设计不存在轴向点，因而在实际操作时其水平设置不会超出安全操作范围。

而存在轴向点的中心复合试验却存在生成的轴向点可能超出安全操作区域或不在研究范围之列考虑的问题。

感官分析方法学平衡不完全区组设计-编制说明

中华人民共和国国家标准《感官分析方法学平衡不完全区组设计》（征求意见稿）编制说明一、任务来源本国家标准列入国家标准化管理委员会国家标准制修订项目计划任务，项目名称《感官分析方法学平衡不完全区组设计》，编号“20193291-T-469”，由中国标准化研究院提出，定于2021年完成。

该标准由中国标准化研究院、浙江工商大学、江苏大学、中国茶叶学会、四川郎酒股份有限公司、北京工商大学、中国烟草总公司西南烟叶样品中心等单位的专家组成标准起草工作组共同完成。

二、目的意义与背景现状实验设计是逐步发展起来的一门应用统计学的分支学科，它是制定研究方案和分析实验方案的必要手段，感官分析是把“人”当仪器而开展的一项实验，涉及样品与人感知及人疲劳的问题。

在感官评价实验中，经常会遇到带有区组结构的实验。

其中，平衡不完全区组设计（Balanced Incomplete Blocks Design简称BIBD）作为一种析因试验设计，因其可以在被试对象数目受限的条件下进行试验设计，也能够避免刺激物使评价人员感官疲劳情况的出现，而被广泛应用于食品、饮料、烟草、化妆品等的感官品评实验中。

良好的平衡不完全区组实验设计，能最大限度的缩小随机误差的影响，提高实验效率，缩短实验周期，使实验的数据结果得到有效的统计分析，又能迅速、准确、科学地得到实验结论。

那么，如何设计合理的实验，并对实验进行随机化安排、数理统计和建模分析，是感官相关从业人员进行产品特征确定、品质改进、新产品研发、产品生产及交易标准建立等方面研究和应用时需解决的关键问题。

国际标准中，2011年颁布了ISO 29842:2011《感官分析方法学平衡不完全区组设计》在感官分析实验中的应用标准，并在国外得到了广泛的推广与应用。

然而，国内目前还未有平衡不完全区组设计相关的国家标准。

因此，本标准拟等同转化ISO 2011年颁布的标准ISO 29842:2011，建立《感官分析方法学平衡不完全区组设计》国家标准。

Kruskal-Wallis 秩和检验

k 1
.
n k
若各处理数据假定为正态分布且等方差，
则 F 在 H0 下的分布为自由度 k 1, n, k 1 ，则考虑拒绝零假设 H0 .
4.1 Kruskal-Wallis 秩和检验
第四章多样本数据模型
试验组和对照组是传统的试验研究结构，但真实世界的问题充满各种复杂性，常常需要比较多于两组的研究对象之间的差异，其中多组数据位置的比较是基本的问题.
多样本的问题是统计中最常见的一类问题。主要涉及如何检验 n 种不同方法、决策或试验条件（称为处理）所产生的结果是否一样等问题.
H0 : 1 2 k H1 : i, j，i j .
将观测值重新整理表达如下：
xij x xi x xij xi , i 1, 2, , k，j 1, 2, , ni
令 xij 表示第 i 个处理的第 j 个样本，有
因此，多样本总体均值的比较，都采用方差分析法.
非参数统计中，对于同样的检验问题，检验多个总体的分布是否相同。更严密的说，当几个总体的分布相同的条件下，讨论其位置参数是否相等。
像两样本比较时一样，我们不妨尝试将数据转化为秩统计量，因为秩统计量的分布与总体分布无关，可以摆脱总体分布的束缚。
本章分样本独立和相关两种情形来介绍多样本的非参数检验在样本独立的条件，我们将利用 Kruskal-Wallis 秩和检验、 JonkheereTerpstra 检验来处理两种(有序与否)备择假设情况. 在各样本不独立时
在参数统计中，对于多组数据位置的比较问题，比如检验 n 个样本是否来自完全相同的总体(总体的均值的相等性检验)，主要工具是方差分析或 F 检验，不同的试验设计选择不同的方差分析模型.

《试验设计与分析》笔记_学习笔记

试验设计与分析复习第一章试验设计概述试验设计的定义与重要性试验设计的基本原则试验设计的类型与分类第二章随机化与区组设计随机化的概念与方法区组设计的基本原理区组设计的应用实例第三章完全随机设计完全随机设计的定义与特点完全随机设计的实施步骤完全随机设计的数据分析方法第四章交互作用与多因素设计交互作用的概念与识别多因素设计的基本理论多因素设计的分析方法与应用第五章方差分析方差分析的基本原理单因素方差分析的步骤多因素方差分析的应用与解释第六章试验结果的解释与报告试验结果的统计解释结果报告的结构与内容试验设计的实际应用案例分析1.试验设计的基本概念试验设计是为了获取可靠数据而系统安排实验的过程。

主要目标：控制变异、提高效率、获取有效信息。

2.随机化与重复随机化：消除系统误差，确保样本的代表性。

重复：增加试验的可靠性，减少偶然误差。

3.因子设计单因子设计：研究单一因素对结果的影响。

多因子设计：同时研究多个因素及其交互作用。

4.完全随机设计每个处理随机分配到实验单位，适用于变异较小的情况。

5.随机区组设计将实验单位分成若干区组，控制区组内的变异，适用于变异较大的情况。

6.拉丁方设计控制两个干扰因素，适用于需要控制两个方向的实验设计。

7.方差分析（ANOVA）用于比较多个组的均值，判断因素对结果的显著性影响。

包括单因素方差分析和多因素方差分析。

8.回归分析建立因变量与自变量之间的关系模型，分析影响因素。

包括线性回归和非线性回归。

9.实验结果的解释与报告结果应包括统计显著性、效应大小和置信区间等。

报告应清晰、准确，便于他人理解和复现。

10.实验设计的伦理考虑确保实验的伦理性，保护参与者的权益和隐私。

试验设计的定义：系统地规划和实施试验，以获取可靠的数据和结论。

试验设计的目的：提高实验效率，控制变异，确保结果的有效性和可重复性。

试验设计的基本要素：自变量（因素）：实验中被操控的变量。

因变量（响应）：实验中被测量的结果。

生物统计-试验设计

以一个生物学例子为例
• 实验目的：摄食足以引起肥胖的高脂肪的大鼠和正常饮食的大鼠相比，肝脏哪些基因的表达发生了变化？
• 实验设计中需要确定的问题：（1）实验方法：成对实验（2）饲喂时间：12h（发现早期基因）
取样时间：早上7点利用基因芯片测定基因表达量（3）在每个时间点，需要多少大鼠肝脏样品呢？
（1）提出一系列问题，如天空是蓝色的？绿色的？黄色的？红色的？
（2）测量中午时所有可见光的波长。（3）得出结论：天空是蓝色的。
实验问题的合理解释(2)
• 天空真的是蓝色吗？（1）连续测量。30天，27天是蓝色，3天是灰色的（阴天）（2）显著性检验：差异显著（3）认为，“天空是蓝色的”正确。
随机区组设计
随机区组设计
• 随机区组设计（randomized blocks design）：指根据局部控制和随机原则进行的，将试验单位按性质不同分成与重复数一样多的区组（窝组），使区组内非试验因素差异最小而区组间内非试验因素差异最大，每个区组均包括全部的处理。区组内各处理随机排列，各区组独立随机排列。
定义术语
• 实验是根据问题或假说来进行的。 • 以“天空是什么颜色的？为例来讨论如何设计实验。 • 首先需要定义术语：（1）定义颜色为“可见光” （2）定义“天空”。例如，仪器是指向正上方还是指向水平线的？还是其它。
时间进程
• 在时间上进行多次测量叫做时间进程。可以用于了解任何特定的点上的测量是否具有代表性，以及在不同的条件下系统是否会发生基础性变化。
实验问题的合理解释(3)
• 或许会有人有疑问。 • 因为他的测量从来没有在夜间进行，甚至，在正午以外的
时间也没有进行过。 • 所以，（1）我们还不能认为这个实验已经完整地回答了问题。如

感官分析方法学平衡不完全区组设计

ICS 67.240XX XX中华人民共和国国家标准GB/T XXXX—202X/ISO 29842:2011感官分析方法学平衡不完全区组设计Sensory analysis - Methodology –Balanced incomplete block designs（ISO 29842：2011, IDT）（征求意见稿）202X- - 发布202X - - 实施国家市场监督管理总局发布国家标准化管理委员会前言 (II)1 范围 (1)2 规范性引用文件 (1)3 术语和定义 (1)4 平衡不完全区组设计原理 (1)5 数据分析 (3)5.1总则 (3)5.2评分数据的方差分析 (3)5.3顺序数据的Friedman秩和分析 (5)6 在感官评价中的应用 (6)附录A（资料性附录）不完全区组设计目录 (7)附录B（资料性附录）针对评分数据的平衡不完全区组设计示例 (15)附录C（资料性附录）针对顺序数据的平衡不完全区组设计示例 (17)参考文献 (19)本标准按照GB/T 1.1—2009给出的规则起草。

本标准使用翻译法等同采用ISO 29842：2011 《感官分析方法学平衡不完全区组设计》。

与本标准中规范性引用的国际文件有一致性对应关系的我国文件如下：——GB/T 10221—2012 感官分析术语（ISO 5492：2008，MOD）——GB/T 3358.1—2009 统计学词汇及符号第1部分：一般统计术语与用于概率的术语（ISO 3534-1：2006，IDT）本标准与ISO 29842：2011相比，订正了原文的错误，修正了原本中概念表述不够准确的部分，主要变化如下：——将3.2“重复（repetition）”的定义，与我国已颁布的等同采用ISO 3534-3的GB/T 3358.3—2009 《统计学词汇及符号第3部分：实验设计》中的术语相统一。

——在4“平衡不完全区组设计原理”中将“λ”的定义改为“每个样品对被评价的次数”。

minitab平衡不完全区组设计

minitab平衡不完全区组设计Minitab平衡不完全区组设计是一种实验设计方法，它在实验中使用的样品数量较小，可以减少实验的成本和时间，并在可控变量较多时有效地探索多个因素对响应变量的影响。

本文将对Minitab平衡不完全区组设计进行详细介绍。

一、Minitab平衡不完全区组设计的基本原理Minitab平衡不完全区组设计是一种多因素实验设计方法，它可以在不增加样品数量的情况下探讨多个因素对响应变量的影响。

该方法采用不完全区组设计，是指在每个处理组中只选取一部分可能的组合，因此有些组合没有被试验到，从而节约了实验成本和时间，并使得实验结果更为简洁。

该方法的基本原理是选取多个因素，通过对不同因素的组合进行实验，测量响应变量的变化，以确定哪些因素对响应变量有重要的影响。

在实验中，样品数量较少，每个处理组只包含部分可能组合，但是在多次实验的过程中，能够涵盖所有可能组合，从而保证了实验结果的准确性。

二、Minitab平衡不完全区组设计的优点和缺点Minitab平衡不完全区组设计的优点在于：1. 在相对较少的样品数量下，能够覆盖所有可能组合，并在不增加实验成本和时间的情况下探讨多个因素对响应变量的影响。

2. 可以在控制变量较多的情况下，有效地研究多个因素对响应变量的复杂影响，从而提高实验数据的可靠性和准确性。

3. 可以通过对实验结果进行整理和统计，发现影响响应变量的因素及其作用大小，从而优化生产工艺，提高产品质量。

Minitab平衡不完全区组设计的缺点在于：1. 使用不完全区组设计，未涵盖所有可能组合，因此在一定程度上会忽略一些因素的影响效应。

2. 对于与回归模型异质性相关的问题，Minitab平衡不完全区组设计无法得到准确的回归分析结果，需要进行其他较为复杂的实验设计。

三、Minitab平衡不完全区组设计的应用Minitab平衡不完全区组设计通常应用于测试多个因素对响应变量的影响，其应用领域非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1. 医药领域：用于测试药物对疾病的治疗效果及药物副作用等。

Fisher试验设计三原则

同理
∴
ˆ T V i r
可验算 Vˆi 计算的正确性。
3.平方和与自由度计算
T2 242 .92 C 1999 .98 (修正系数） N 30
1) SST
2 xij C (6.8 7.02 7.52 ) C 19.9497
原始数据计算
• ① 同一处理所在区组“区组和”和计值TBj。 • TBi=所有包含第i个处理的区组相对应的区组指标之和Bj相加 • 如TB1=包含处理A的所有区组之和相加 • =101＋120＋100＋84=405
• Qi= 每一区组的处理数×该处理的指标和一区组指标和。
• • •
Qi=KVi-TBi
② Qi计算
V=4,k=3,r=3,b=4, =2
A A B A
C
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
C
D
B
D
2.平衡不完全区组设计特点：
• ① 每一处理在每个区组中最多出现一次，总共在r个区组中出现，即各处理在整个试验中的重复次数相同（r＜b）。
• ②任意两个处理（或水平）在同一区组相遇进行比较的次数相同，均为：
λ
•
r (k 1) ＝ v 1
y 50.85 TBj K B j
Qi 0
1 ui Qi V yi ui y
Qi=KVi-TBj
y T / r
3．计算分析：
• 1) 直观分析：各区组和TBj 各处理和TVi T=Σ xij =Σ Bj=1017 • 总和
• 总平均数
y 1017 50 .85 10 2
Ti Qi ˆ V
i
i

4.4 区组设计数据分析回顾

但在实际问题中，并不一定能够保证每一个区组都能有对应的样本出现(即不一定把每一个处理分配到每一个区组中)，这样就产生了不完全区组设计.
当处理组非常大，而同一区组的所有样本数又不允许太大时，在一个区组中可能不能包含所有的处理，此时只能在同一区组内安排部分处理. 即不是所有的处理都被用于各区组的试验中，这种区组设计称为不完全区组设计(incomplete block ).
这里仅考虑对于每对 i, j 只有一个观测值的情况.
假设检验问题为 H 0 : 1 2 k H1 : i, j，i j .
如果随机地把所有处理分配到所有的区组中，使得总的变异可以分解为： (1). 处理造成的不同； (2). 区组内的变异； (3). 区组之间的变异.
.
统计量 F 在 H 0 下的分布为自由度为 b 1, k 1 b 1 的 F 分布.
若 F F b 1, k 1 b 1 ，则考虑拒绝零假设 H 0 .
随机化完全区组设计的基本使用条件如下:
(1) 试验材料为异质，试验者根据需要将其分为几组，几个性质相近的试验单位为一区组 (如一个人的血液分成四份，此人即为同一区组，不同人为不同区组)，使区组内试验个体之间的差异相对较小，而区组之间的差异较大；
平衡的不完全区组设计 BIBD k , b, r , t , 满足下面条件： (1). 每个处理在同一区组中最多出现一次； (2). t k ( t 为每个区组设计的样本量， t 小于处理个数 k )； (3). 每个处理都出现在相同多的 r 个区组中； (4). 每两个处理在一个区组中相遇次数一样次 .
区组数据的影响，这时非参数检验情形适用于多个相关样本情形.