振动动力学

g = 70 rad/s
st
在初瞬时 t=0，物块位于未变形的梁上，其坐标 x0 = 0 = 2mm ，重物初
速 0 = 0 ，则振幅为 A =
初相角
x02 +
2
0 2
= 2mm
0
= arctan 0 x0 = arctan(
0
最后得系统的自由振动规律为
)= 2
x = 2 cos(70t)mm （式中 t 以s 计）
因此，上述串联弹簧系统的固有频率为
0=
k eq m
=
k1 k 2 m(k1 + k2 )
5． 其他类型的单自由度振动系统
前面我们研究的单自由度振动系统是振体沿直线运动的振动，但在工程
实际中还经常遇到其它类型的自由振动，如摆动系统、扭振系统等等。这些
系统形式上虽然不同，但它们的运动微分方程都具有相同的形式。
可见 0 只与表征系统本身特
性的质量 m 和刚度 k 有关，而
与运动的初始条件无关。它是 振动系统固有的特性，所以称
0 为固有角（圆）频率（一般 也称为固有频率）。固有频率是 振动理论中的重要概念，它反 映了振动系统的动力学特性， 计算系统的固有频率是研究系 统振动问题的重要课题之一。
对上述振动系统，只要知道重 力作用下的静变形，就可求得 系统的固有频率。
将初始化条件代入得：
x0 = Asin
v0 = A 0 cos 或 0 = Acos
0
解方程组得： A = x02 + ( v0 )2
0
tg
=
0 x0 v0
结论： 1） 质量弹簧系统的振动规律为自由谐振动。 2） 自由振动的固有频率反映振动系统的动力学特性，只与系统的固
有参数（ m, k,或 st ）有关，而与运动的初始条件无关。
其运动微分方程为
m
d2 dt
x
2
=
p
k ( st + x)
或：
m
d2 dt
x
2
=
kx
将上式两端除以质量 m ，并设
2 0
=
k m
移项后得
d2x dt 2 +
2 0
x
= 0 ———自由振动微分方程的标准形式
是一个常系数线性二阶齐次微分方程，由数学知识可知其通解为：
x = Asin( 0t + ) ]
可见自由振动是简谐振动，其运动曲线如图 16-3 所示。
许多振动系统可简化为一个质量和一个弹簧的弹簧质量系统，而且往往 又是在重力影响下沿铅垂方向振动，具有一个自由度，可以简化为图 16-2 所示的模型。
设弹簧原长为 l0 ，刚度系数为 k 。 在重力 P = mg 的作用下弹簧的变形为
st ，称为静变形，这一位置为平衡位置。
平衡时重力 P 和弹性力 F 大小相等，即 P = k st ，由此有
点，有
V
=
1 2
k[(x
+
st ) 2
2 st
]
Px
注意到 k st = P ，则
V
=
1 kx2 2
=
1 kA2 2
sin 2 (
0t +
)
当物块处于平衡位置（振动中心）时，其速度达到最大，物块具有最大动
能
Tmax
=
1 2
m
2 0
A
2
当物块处于偏离振动中心的极端位置时，其位移最大，系统具有最大势能
Vmax
二、 重点和难点
重点：单自由度系统的自由振动，自由振动的固有频率和求固有频率的方法。 单自由度受迫振动，受迫振动的幅频曲线、共振现象。 难点：衰减振动和有阻尼的受迫振动。
三、 研究内容
机械振动基础
机械振动是日常生活和工程实际中常见的现象。例如：挂在弹簧上的物 体的振动，钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的 振动，以及地震引起的建筑物的振动等。
st = P / k
图 16-2
为研究方便，取重物的平衡位置点
O 为坐标原点，取 x 轴的正向铅直向下，则重物在任意位置 x 处弹簧力 F 在
重力对于振动系统是一常 力。可见，常力加在振动系 统中，只改变其平衡位置， 只要将坐标原点取在平衡位 置，而不影响其运动微分方 程。
2
x 轴上的投影为 FX = k = k( st + x)
（1）摆振系统
设摆杆长为 l ，杆重不计，小球质量为 m ，对轴 O 的转动惯量为 J 。 弹簧刚度系数为 k ，位置如图。建立此系统微小摆动时的运动微分方程。
图 16-7
取杆水平为平衡位置，任一位置的转角为 ，
根据刚体转动微分方程有： J && = kd 2
等式两端除以 J ，并有
2 0
=
kd 2 J
计制成的。有害方面：机加工中，机床的振动会影响加工精度和工件的
表面光洁度，汽车的振动会使人感到不舒适等等。总之振动会影响劳动
条件、引起噪声、消耗能量、降低精度等。
3． 研究振动的目的：为了更好地利用它有利的一面，而消除和减弱它有
害的一面，更好地为人类服务。
4． 振动的分类
1
按振动系统的自由度分类
单自由度系统的振动 多自由度系统的振动 弹性体的振动
两个弹簧的静伸长分别为
mg
mg
st1 = k1 ， st 2 = k2
两个弹簧总的静伸长
图 16-6
6
若用另一个弹簧常数为 keq 的弹簧来代替原来的两个串联弹簧，则有：
st = mg / keq
比较上面两式得：
1 11 keq = k1 + k2
或
k eq
=
k1 k 2 k1 + k2
表明：当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个弹簧刚度 系数倒数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形。
———等效弹簧刚性系数
表明：当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个弹簧刚度系数的 和。这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
因此上述并联系统的固有频率为
0=
k eq m
=
k1 + k2 m
（2）弹簧串联
图示两个刚度系数分别为 k1 ， k2 的弹簧串联系 统。每个弹簧受的力都等于物块的重量 mg ，因此
4
k = mg
st
图 16-4
受力分析：重力 mg ，弹性力 F
选坐标：取其平衡位置为坐标原点，x 轴方向铅直向下，列出运动微分
方程：
m
d2x dt 2
=
mg
k( st + x) =
上式可改写为
d2x dt 2
+
2 0
x
=0
x = Asin( 0t + )
其中固有频率
k 0= m=
表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。
振动时，扭角为 时，轴的扭矩为
M = kt
根据刚体绕定轴转动的微分方程有：
J 0 && = kt
令
2 0
=
kt J0
，代入上式得：
图 16-8
&& + 2 = 0 —— 自由扭转振动的微分方程的标准形式
由此可见，以上两种振动的微分方程形式上和前面振体沿直线振动的微分 方程完全一样，因此其解：
4． 弹簧的并联和串联
（1）弹簧并联
图 16-5 表示两个刚度系数分别为 k1 ， k2 的弹簧的两种并联系统。
5
设物块在重力 mg 作用下作平移，其
静变形为 st ，两个弹簧所受的力分别
为 F1, F2 （可不等）因弹簧变形量相
同，均为 st ，因此，
F1 = k1 st ， F2 = k2 st
自由振动 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动 无阻尼的强迫振动，衰减振动
按振动产生的原因分类 强迫振动 有阻尼的强迫振动
自激振动
本章重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动。
§16-1 单自由度系统的自由振动
1． 自由振动
振动在受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下，在其平衡位置附近所
作的振动称为无阻尼自由振动，简称自由振动。平衡位置 O ，又称振动中
g 0=
st
（2）振幅和初相角
振幅 A ：振体离开平衡位置的最大位移。
相位角 ( 0t + ) ：决定振体在某瞬时 t 的位置，具有角度的量纲。
初相角 ：决定振体运动的起始位置。
A 和 是两个积分常数，由运动的初始条件决定
当 t = 0 时， x = x0 ， = 0
Q x = Asin( 0t + ) v = A 0 cos( 0t + )
= sin( 0t + )
式中 为角振幅， 为初相角，
系统的固有频率： 0 =
kt J0
§16-2 计算固有频率的能量法
在振动问题中，确定系统的固有频率很重要，由前面的讨论可知，如果能 建立起振动的微分方程，则系统的固有频率就不难计算，然而对于比较复杂 的系统建立振动微分方程则往往比较麻烦。因此现在我们介绍另外一种计算 固有频率的方法—能量法。能量法是从机械能守恒定律出发的，对于计算较 复杂系统的固有频率是方便的。
第十六章 机械振动基础
一、 基本要求：
掌握建立各种类型单自由度系统振动（自由振动、阻尼振动、强迫振 动），微分方程的方法及其解的表达式。正确理解弹性力、阻尼力和激振力 的概念，以及各种类型的振动规律。深刻理解自由振动的固有频率、周期、 振幅、初相位的概念。会应用各种方法求固有频率。深刻理解受迫振动的激 振力、共振、幅频曲线和放大系数的概念。了解阻尼对自由振动的影响和消 振及隔振的原理与方法。