第一型曲线积分 第一型曲线积分的定义

由 2 (t ) 2 ( t ) 的连续性与积分中值定Leabharlann Baidu, 有
si 2 ( i ) 2 ( i )ti (ti 1 i ti ).
所以
f ( , )s
i 1 i i
n
i

i 1
n
2 2 f ( ( i ), ( i )) ( i ) ( i )t i ,
(2) 近似求和：在每一个 i 上任取一点 Pi . 由于
f ( P ) 为 上的连续函数, 故当 i 的弧长都很小时,
每一小段 i 的质量可近似地等于f ( Pi ) i , 其中 i
为小曲线段 i 的长度. 于是在整个 上的质量就近似地等于和式
f ( P ) .
一． 第一型曲线积分的定义
设某物体的密度函数 f ( P ) 是定义在 上的连续函 数当 是直线段时, 应用定积分就能计算得该物体 的质量. 现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线 段时物体的质量的计算问题.
(1) 分割：把 分成 n 个可求长度的小曲线段 i
( i 1, 2, , n).
的第一型曲线积分, 并且记作

L
f ( x , y , z )ds .
于是前面讲到的质量分布在曲线段 L 上的物体的质
量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得. 1. 若L f i ( x , y )ds( i 1, 2,
k i 1 k
, k ) 在 ci ( i 1, 2,
, k )为
, k ) 都存在, 则 L f ( x , y )ds
也存在, 且

L
L
f ( x , y )ds f ( x , y )ds .
i 1 Li
k
3． 若 f ( x , y )ds 与 g ( x , y )ds都存在, 且在 L 上
L
f ( x , y ) g( x , y ), 则
c, 使得

L
L
f ( x , y )ds cs ,
L
这里 inf f ( x , y ) c sup f ( x , y ).
6. 第一型曲线积分的几何意义 若 L 为坐标平面 Oxy上的分段光滑曲线, f ( x , y ) 为L 上定义的连续非负函数. 由第一型曲线的定义, 易见 以 L为准线, 母线平行于 z 轴的柱面上截取
0 z f ( x , y )的部分的面积就是 f ( x , y )ds .
L
z
z f ( x, y)
O
y
x
L
图 20 1
二． 第一型曲线积分的计算
x ( t ), t [ , ], 定理20.1 设有光滑曲线 L : y ( t ), f ( x , y ) 为定义在 L 上的连续函数, 则
n ||T || 0
, n). 若有极限
i i i
lim
f ( , )s
i 1
J,
且 J 的值与分割 T 与点 ( i , i ) 的取法无关, 则称此 极限为 f ( x , y ) 在 L 上的第一型曲线积分, 记作

L
f ( x , y )ds .
若 L 为空间可求长曲线段 , f ( x , y , z ) 为定义在 L上 的函数, 则可类似地定义 f ( x , y , z )在空间曲线 L 上
定义在 L 上的函数. 对曲线 L 做分割 T ,它把 L 分成
n 个可求长度的小曲线段 Li ( i 1, 2,
1 i n
, n), Li 的弧长
记为 si , 分割 T 的细度为 || T || max si , 在 Li 上任取 一点 ( i ,i ) ( i 1, 2,

L
f ( x, y )ds


2 2 f ( ( t ), ( t )) ( t ) ( t )dt . (3)
证 由弧长公式知道, L 上由 t ti 1 到 t ti 的弧长
si
ti t i 1
2 ( t ) 2 ( t )dt .

且
L
f ( x , y )ds g ( x , y )ds .
L
|ds 也存在, 4． 若 L f ( x , y )ds 存在,则 L |f ( x , y ) | f ( x , y )ds | | f ( x , y ) | ds.
L L
5． 若 L f ( x , y )ds 存在, L 的弧长为 s, 则存在常数
i 1 i i
n
(3) 当对 的分割越来越细密(即 d max i 0 )
1i n
时, 上述和式的极限就应是该物体的质量. 由上面看到, 求物质曲线段的质量, 与求直线段的质
量一样, 也是通过“分割、近似求和、取极限”来得 到的. 下面给出这类积分的定义. 定义1 设 L 为平面上可求长度的曲线段, f ( x , y ) 为
常数, 则 L ci f i ( x , y )ds 也存在, 且
c
L i 1
i
f i ( x , y )ds ci f i ( x , y )ds .
i 1 L
k
2. 若曲线段 L 由曲线 L1 , L2 ,
, Lk 首尾相接而成,

Li
f ( x , y )ds ( i 1,2,
n
i
f ( ( i), ( i)) 2 ( i) 2 ( i )t i . (4)
令 t max{t1 , t 2 ,
t 0
, t n }, 则当 T 0 时, 必有
t 0. 现在证明 lim 0.
这里 t i 1 i, i ti . 设
f ( ( i), ( i))[ 2 ( i ) 2 ( i ) 2 ( i) 2 ( i)]ti ,
i 1 n
则有
f ( , )s
i 1 i i n i 1