高中数学必修五数列单元综合测试(含答案)
高中数学必修五数列测试题及答案
高中数学必修5数列测试题含答案一、选择题1、三个正数a 、b 、c 成等比数列,则lga 、 lgb 、 lgc 是 ( )A 、等比数列B 、既是等差又是等比数列C 、等差数列D 、既不是等差又不是等比数列2、前100个自然数中,除以7余数为2的所有数的和是( )A 、765B 、653C 、658D 、6603、如果a,x 1,x 2,b 成等差数列,a,y 1,y 2,b 成等比数列,那么(x 1+x 2)/y 1y 2等于 ( )A 、(a+b)/(a-b)B 、(b-a)/abC 、ab/(a+b)D 、(a+b)/ab4、在等比数列{a n }中,S n 表示前n 项和,若a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1,则公比q= ( )A 、1B 、-1C 、-3D 、35、在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2a n -1=128,S n =126,则n 的值为( )A 、5B 、6C 、7D 、86、若{ a n }为等比数列,S n 为前n 项的和,S 3=3a 3,则公比q 为( )A 、1或-1/2B 、-1 或1/2C 、-1/2D 、1/2或-1/27、一个项数为偶数的等差数列,其奇数项和为24,偶数项和为30,最后一项比第一项大21/2,则最后一项为 ( )A 、12B 、10C 、8D 、以上都不对8、在等比数列{a n }中,a n >0,a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值是( )A 、20B 、15C 、10D 、59、等比数列前n 项和为S n 有人算得S 1=8,S 2=20,S 3=36,S 4=65,后来发现有一个数算错了,错误的是 ( )A 、S 1B 、S 2C 、S 3D 、S 410、数列{a n }是公差不为0的等差数列,且a 7,a 10,a 15是一等比数列{b n }的连续三项,若该等比数列的首项b 1=3则b n 等于( )A 、3·(5/3)n-1B 、3·(3/5)n-1C 、3·(5/8)n-1D 、3·(2/3)n-1二、填空题11、公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一等比数列,该等比数列的公比q =12、各项都是正数的等比数列{a n },公比q ≠1,a 5,a 7,a 8成等差数列,则公比q=13、已知a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列,且0<log m ab<1,则实数m 的取值范是14、已知a n =a n -2+a n -1(n ≥3), a 1=1,a 2=2, b n =1+n n a a ,则数列{b n }的前四项依次是 ______________. 15、已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),……,则第60个数对为三、解答题16、有四个数,前三个数成等比数列,其和为19,后三个数为等差数列,其和为12,求此四个数。
高中数学人教A版必修5《数列》综合测试卷(详解)
b1
+ b1
+ + bn
=
2 1 2
+
2 23
++
2 n(n +1)
= 2[(1− 1) + (1 − 1) ++ (1 − 1 )]
2 23
n n+1
= 2(1− 1 ) = 2n . n+1 n+1
18.解:∵ Sn = −(n −16)2 +162 , 当 n = 16 时, S n 取得最大值162 .
Sm Sn
=
m2 n2
,其中 m, n N*, m
n,
则 am = ( ) an
A. m n
B. m −1 n −1
C. 2m −1 2n −1
D. m + 2 n +1
1 / 12
知识像烛光,能照亮一个人,也能照亮无数的人。--培根
5.等比数列 an 中, a2 + a5 + a11 = 2, a5 + a8 + a14 = 6, 则 a2 + a5 + a8 + a11 + a14 = ( )
= q3
= 3, ∴ a2
=
2 31
,∴
a2
+ a5
+ a8
+ a11 + a14
=
242 .答案 C 31
6.解析
由已知得
100a1
+
100 2
99
2
=
100
,即
a1
= −98 ,
∴
a4
+
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测卷(有答案解析)
一、选择题1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,23a =,且()11222n n nn S S S n +-+=+≥,若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立,则实数λ的最小值为( ) A .52-B .116C .332D .12.记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ,第n 项之后的各项12,n n a a ++,···的最小项为n B ,令n n n b A B =-,若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+,则数列{}n b 的前10项和为( )A .169-B .134-C .103-D .78-3.已知数列{}n a 满足11a =,24a =,310a =,1{}n n a a +-是等比数列,则数列{}n a 的前8项和8S =( ) A .376B .382C .749D .7664.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,且21n n S a =-,若()0,2021n a ∈,则称项n a 为“和谐项”,则数列{}n a 的所有“和谐项”的和为( ) A .1022B .1023C .2046D .20475.在“全面脱贫”行动中,贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元,用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货,因产品质优价廉,上市后供不应求,据测算:每月获得的利润是该月初投入资金的20%,每月底街缴房租800元和水电费400元,余款作为资金全部用于再进货,如此继续,预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为( )(取111275=..,121.29=)A .25000元B .26000元C .32000元D .36000元6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,对任意的*n N ∈有2233n n S a =-,且112k S <<,则k 的值为( ) A .2或4B .2C .3或4D .67.已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-,则前n 项和n S 的最小值为( ) A .-784B .-368C .-389D .-3928.已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥,且19a =,其前n 项之和为n S ,则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是( ) A .5B .6C .7D .89.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且()*2n n S a n n N =+∈,则{}na 的通项公式为na=( )A .23n -B .23n -C .12n -D .12n -10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1000S >,1010S <,则满足10n n a a +<的n =( ) A .50B .51C .100D .10111.公元前四世纪,毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形(或格点)来表示数,称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示,数列1,6,15,28,45,…,从第二项起每一项都可以用六边形表示出来,故称它们为六边形数,那么该数列的第11项对应的六边形数为( )A .153B .190C .231D .27612.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =,19114S =,则15S =( ) A .45B .75C .90D .95二、填空题13.在数列{}n a 中,11a =,0n a ≠,曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线经过点()1,0n a +,下列四个结论:①223a =;②313a =;③416527i i a ==∑;④数列{}n a 是等比数列;其中所有正确结论的编号是______.14.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,公比()0,1q ∈,若355a a +=,264a a =,2log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n T 为______.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若121(2)n n S S n -=+≥且23S =,则55S a =_________. 16.无穷数列{}n a 满足:只要()*,p q a a p q N=∈,必有11p q aa ++=,则称{}n a 为“和谐递进数列”.已知{}n a 为“和谐递进数列”,且前四项成等比数列,151a a ==,22a =,则2021S =_________.17.若a 、b 、c 成等比数列,a 、x 、b 成等差数列,b 、y 、c 成等差数列(x 、y 均不为0),则a cx y+=______. 18.数列{}n a 满足:112a =,212n n a a a n a ++⋯+=⋅,则数列{}n a 的通项公式n a =___________.19.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且4873a a a +-=_________. 20.等比数列{}n a 前n 项和为n S ,若634S S =,则96S S =______. 三、解答题21.已知数列{}n a 满足1*111,33().n n n a a a n ++==+∈N(1)求证:数列{}3nn a 是等差数列. (2)求数列{}n a 的通项公式.(3)设数列{}n a 的前n 项和为,n S 求证:37.324n n S n >- 22.已知等差数列{}n a ,且55a =,515S =,首项为1的数列{}n b 满足112n n n n b a b a ++= (1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ; (2)求数列{}n b 前n 项和n T .23.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S .若214,n n n a S S a +==+ (1)求证:数列是等差数列;(2)设n b =,求数列{}n b 的前n 项和n T . 24.已知{}n a 是等差数列,{}n b 是递增的等比数列且前n 和为n S ,112822,10a b a a ==+=,___________.在①2345,,4b b b 成 等差数列,②12n n S λ+=+(λ为常数)这两个条件中任选其中一个,补充在上面的横线上,并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分). (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n n a b +的前n 项和n T .25.已知等差数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和,519a =,321S =. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)令1n n b S n=+,求数列{}n b 的前n 项和n T . 26.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且233n n S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设3log n n b a =,11n n n c b b +=,求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-,则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭,设272n nn c -=,利用数列的单调性即可求解. 【详解】解:数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,23a =,且()11222n n nn S S S n +-+=+≥, 所以112nn n n n S S S S +--=+-,故()122nn n a a n +-=≥,因为1212a a -=,所以()121nn n a a n +-=≥,所以112n n n a a ---=,2122n n n a a ----=,⋯,1212a a -=, 则1211222n n a a --=++⋯+,故11211222121n n n n a --=++⋯+==--, 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---,所以21nn n S a n -=--,因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立, 所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭. 设272n nn c -=,则111252792222n n n n n n n nc c +++----=-=, 当4n ≤时,1n n c c +>,当5n ≥时,1n n c c +<, 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=,故λ的最小值为332. 故选:C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式,再利用累加法求出na 的通项;2.A解析:A 【分析】先利用单调性依次写出前几项,再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+,故从2a 起单调递增,且1231,0,3a a a ===, 所以11112101b A B a a =-=-=-=,22213b A B a a =-=-,33334b A B a a =-=-,44445b A B a a =-=-,…,1010101011b A B a a =-=-,又2112117116171a =⨯-⨯+=,所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选:A. 【点睛】 关键点点睛:本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增,才能依次确定{}n b 的项,找到规律,突破难点.3.C解析:C 【分析】利用累加法求出通项n a ,然后利用等比数列的求和公式和分组求和法,求解8S 即可 【详解】由已知得,213a a -=,326a a -=,而{}1n n a a +-是等比数列,故2q,∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--,1n a a ∴-=1323n -⨯-,化简得1322n n a -=⨯-,878128123(122)2831612S a a a -=++=⨯+++-⨯=⨯--83219749=⨯-=故选:C 【点睛】关键点睛:解题关键在于利用累加法求出通项.4.D解析:D【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥求出{}n a 的递推关系,再求出1a 后确定数列是等比数列,求出通项公式,根据新定义确定“和谐项”的项数及项,然后由等比数列前n 项和公式求解. 【详解】当2n ≥时,11121(221)2n n n n n n n a S S a a a a ---=--==---,∴12n n a a -=, 又11121a S a ==-,11a =,∴{}n a 是等比数列,公比为2,首项为1, 所以12n na ,由122021n n a -=<得110n -≤,即11n ≤,∴所求和为1112204712S -==-.故选:D . 【点睛】关键点点睛:本题考查数列新定义,考查等比数列的通项公式与前n 项和公式,解题思路是由1(2)n n n a S S n -=-≥得出递推关系后确定数列是等比数列,从而求得通项公式.解题关键是利用新定义确定数列中“和谐项”的项数及项.5.C解析:C 【分析】设1月月底小王手中有现款为1(120%)10000120010800a =+⨯-=元,n 月月底小王手中有现款为n a ,1n +月月底小王手中有现款为1n a +,由题意可知16000 1.2(6000)n n a a +-=-,所以数列{6000}n a -是首项为4800,公比为1.2的等比数列,求出12a 即得解. 【详解】设1月月底小王手中有现款为1(120%)1000080040010800a =+⨯--=元,n 月月底小王手中有现款为n a ,1n +月月底小王手中有现款为1n a +,则1 1.21200n n a a +=-,即16000 1.2(6000)n n a a +-=-, 所以数列{6000}n a -是首项为4800,公比为1.2的等比数列,∴11126000480012a -=⨯,即1112480012600042000a =⨯+=,年利润为420001000032000-=元, 故选:C 【点睛】关键点睛:解答本题的关键是根据递推关系1 1.21200n n a a +=-构造数列{6000}n a -,求出新数列的通项关系.6.A解析:A 【分析】利用递推关系式求出{}n a 的通项公式,再求出{}n a 的前n 项和为n S ,即可求出k 的值. 【详解】对任意的*n N ∈有2233n n S a =-, 可得:1112233a S a ==- ,解得:1=2a -, 当2n ≥时:2233n n S a =-,112233n n S a --=- 两式相减得112233n n n n n S S a a a ---=-=,即12n n a a -=-, 所以{}n a 是首项为2-,公比为2-的等比数列,所以()2nn a =-,()()()212212123nn nS ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--, 所以211(2)123kk S ⎡⎤<=---<⎣⎦, 所以5(219)2k <-<, 当2k =和4k =时不等式成立,所以k 的值为2或4, 故选:A. 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式,考查了等比数列前n 项和公式,属于中档题.7.D解析:D 【解析】令3500n -≥,求得16n >,即数列从第17项开始为正数,前16项为负数,故数列的前16项的和最小,1612,47a a =-=-,()16472163922S --⨯∴==-,故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种:①将前n 项和表示成关于n 的二次函数,n S 2An Bn =+,当2B n A =-时有最大值(若2B n A=-不是整数,n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大);②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.8.C解析:C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4(n ∈N*)且a 1=9,其前n 项和为S n ,求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|<1125的最小整数n .故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-,然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列,求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案.【详解】对3a n+1+a n =4 变形得:3(a n+1﹣1)=﹣(a n ﹣1)即:111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列.所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nn S n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C . 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题,其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题,属于不等式与数列的综合性问题,判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键,有一定的技巧性属于中档题目.9.C解析:C 【分析】由()*2n n S a n n N =+∈结合11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出1a 和121n n a a -=-,通过构造法即可求出通项公式. 【详解】当1n =时,11121a S a ==+,解得1 1a =-;当2n ≥时,122(1)n n n a a n a n -=+---.∴121n n a a -=-,∴()1121n n a a --=-.∵112a -=-,∴12nn a -=-, ∴12nn a =-.故选:C . 【点睛】本题考查了数列通项公式的求解,考查了,n n a S 的递推关系求通项公式,考查了等比数列的通项公式,考查了构造法求数列的通项公式,属于中档题.10.A解析:A 【分析】由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>;510a <,进而可得500a >,据此分析可得答案. 【详解】根据题意,等差数列{}n a 中,1000S >,1010S <, 则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>,则有50510a a +>;又由110110151()10110102a a S a +⨯==<,则有510a <;则有500a >,若10n n a a +<,必有50n =; 故选:A . 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用,涉及等差数列的性质,属于基础题.11.C解析:C 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数,记第n 个六边形数为n a ,找出规律,相邻两项差构成等差数列,累加求得22n a n n =-,将11n =代入求得结果.【详解】记第n 个六边形数为n a ,由题意知:11a =,215141a a -==+⨯,32142a a -=+⨯,43143a a -=+⨯,,114(1)n n a a n --=+-,累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--,即22n a n n =-,所以21121111231a =⨯-=,故选:C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式,属于中档题目.12.B解析:B 【分析】结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩,解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】解:根据题意64a =,19114S =,结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得:115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩,即:115496a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以()1511515131451051515157752222S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选:B. 【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量,考查数学运算能力,是基础题.二、填空题13.①③④【分析】先利用导数求得曲线在点处的切线方程由此求得与的递推关系式进而证得数列是等比数列由此判断出四个结论中正确的结论编号【详解】∵∴曲线在点处的切线方程为则∵∴则是首项为1公比为的等比数列从而解析:①③④ 【分析】先利用导数求得曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程,由此求得1n a +与n a 的递推关系式,进而证得数列{}n a 是等比数列,由此判断出四个结论中正确的结论编号. 【详解】∵2'3y x =,∴曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程为()323n n n y a a x a -=-,则()3213n n n n a a a a +-=-.∵0n a ≠,∴123n n a a +=, 则{}n a 是首项为1,公比为23的等比数列,从而223a =,349a =,4412165322713i i a =⎛⎫- ⎪⎝⎭==-∑. 故所有正确结论的编号是①③④. 故答案为:①③④ 【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法,考查根据递推关系式证明等比数列,考查等比数列通项公式和前n 项和公式,属于基础题.14.【分析】首先利用方程组求出数列的通项公式进一步求出数列的通项公式进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和【详解】解:各项均为正数的等比数列中若所以由于公比解得所以解得所以由于所以则当时当时所以故答案解析:()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【分析】首先利用方程组求出数列{}n a 的通项公式,进一步求出数列{}n b 的通项公式,进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和. 【详解】解:各项均为正数的等比数列{}n a 中,若355a a +=,264a a =, 所以35352654a a a a a a +=⎧⎨==⎩,由于公比()0,1q ∈, 解得3541a a =⎧⎨=⎩,所以253a a q =,解得12q =. 所以55512n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.由于5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==,则()9292n n n n S n c nn--===, 当9n ≤时,()212171744n n n n n n T c c c --=+++==. 当9n >时,()()212910*********24n n n n n T c c c c c c c c c c -+=+++---=++-+++=. 所以()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩. 故答案为:()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【点睛】本题考查等比数列的通项公式,等差数列的前n 项和公式,考查分类讨论思想和数学运算能力,是中档题.15.【分析】先计算出数列的前两项分别为和由题意可知可得再结合得数列是首项为公比为的等比数列然后利用等比数列的相关公式计算【详解】由①得则所以得:②②-①得:即又成立所以数列是首项为公比为的等比数列则故故解析:3116.【分析】先计算出数列{}n a 的前两项分别为1和2,由题意可知()1121212n n nn S S S S n +-=+⎧⎨=+≥⎩可得()122n na n a +=≥,再结合212aa =得数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,然后利用等比数列的相关公式计算55S a . 【详解】由121(2)n n S S n -=+≥ ①得12121213S S a =+=+=,则11a =,所以2212a S a =-=,得:121n n S S +=+②,②-①得:()122n n a a n +=≥,即()122n na n a +=≥ 又212a a =成立,所以数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列, 则4451216a a q =⋅==,()()55151********a q S q-⨯-===--,故553116Sa =. 故答案为:3116【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式,考查等比数列的通项公式、求和公式的应用,较简单.16.7576【分析】根据新定义得数列是周期数列从而易求得【详解】∵成等比数列∴又为和谐递进数列∴…∴数列是周期数列周期为4∴故答案为:7576【点睛】本题考查数列新定义解题关键是由数列新定义性质得出数列解析:7576 【分析】根据新定义得数列是周期数列,从而易求得2021S . 【详解】∵1234,,,a a a a 成等比数列,121,2a a ==,∴344,8a a ==,又15a a =,{}n a 为“和谐递进数列”,∴26a a =,37a a =,48a a =,59a a =,…, ∴数列{}n a 是周期数列,周期为4. ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=. 故答案为:7576. 【点睛】本题考查数列新定义,解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列,从而易得结论.17.【分析】由题意可得出代入计算可得出的值【详解】由题意可得出故答案为:【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值考查计算能力属于中等题 解析:2【分析】由题意可得出2b ac =,2a bx +=,2b c y +=,代入计算可得出a c x y +的值.【详解】由题意可得出2b ac =,2a bx +=,2b c y +=,()()()()()222222224222a b c c a b ab ac bc a c a cab ac bc x y a b b c a b b c ab ac b bc ab ac bc +++++++∴+=+====+++++++++.故答案为:2. 【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值,考查计算能力,属于中等题.18.【分析】当时作差即可得到再利用累乘法求出数列的通项公式即可;【详解】解:因为①;当时②;①减②得即所以所以所以所以……所以所以又所以当时也成立所以故答案为:【点睛】对于递推公式为一般利用累乘法求出数解析:21n n+ 【分析】当2n ≥时,()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅,作差即可得到111n n a n a n --=+,再利用累乘法求出数列的通项公式即可; 【详解】解:因为212n n a a a n a ++⋯+=⋅①;当2n ≥时,()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅②;①减②得()2211n n n a n a n a -=⋅-⋅-,即()()22111n n n a n a -⋅-⋅-=,所以()()()21111n n n n a n a --+=⋅-⋅,所以()()111n n n a n a -⋅-⋅+=,所以111n n a n an --=+ 所以2113a a =,3224a a =,4335a a =,……,111n n a n a n --=+,所以324211312313451n n a a a a n a a a a n --⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯+,所以()121n a a n n =+,又112a =,所以()11n a n n =+,当1n =时()11n a n n =+也成立,所以()11n a n n =+故答案为:()11n n +【点睛】 对于递推公式为()1nn a f n a -=,一般利用累乘法求出数列的通项公式,对于递推公式为()1n n a a f n --=,一般利用累加法求出数列的通项公式;19.【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为:【点睛】思路点睛:该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如 解析:13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差,根据其通项公式,得到487733a a a a +-=,再根据其求和公式,得到13713S a =,从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ,公差为d ,则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+, 因为11313713()132a a S a +==,所以487133313a a a S +-=, 故答案为:13313S . 【点睛】思路点睛:该题考查的是有关等差数列的问题,解题思路如下: (1)首先设出等差数列的首项和公差;(2)利用等差数列的通项公式,得到项之间的关系,整理得出487733a a a a +-=; (3)利用等差数列的求和公式,求得13713S a =; (4)比较式子,求得结果.20.【分析】根据等比数列的性质得到成等比从而列出关系式又接着用表示代入到关系式中可求出的值【详解】因为等比数列的前n 项和为则成等比且所以又因为即所以整理得故答案为:【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的 解析:134【分析】根据等比数列的性质得到232,,n n n n n S S S S S --成等比,从而列出关系式,又634S S =,接着用6S 表示3S ,代入到关系式中,可求出96S S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则232,,n n n n n S S S S S --成等比,且0n S ≠,所以6396363--=-S S S S S S S ,又因为634S S =,即3614=S S ,所以6696666141144--=-S S S S S S S ,整理得96134=S S .故答案为:134. 【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值,是一道基础题。
版新人教A版必修五第二章数列单元测试卷带答案
新人教A版必修五第二章数列单元测试卷(带答案)(120分,分15 0分)一、(每小5分,共60分)1.数列2,5,22,11L的一个通公式是(,.n3n3.an3n1C.an3n1D.a n3n3.已知数列a n,a13,a26,且a n2an1a n,数列的第五().B.C.12D.6.是数列7,13,19,25,31,L,中的第().2011A.332B.333C.334D.335.在等差数列a n中,若a3a4a5a67450,a2a8()C.180一个首23,公差整数的等差数列,假如前六均正数,第七起数,它的公差是()A.-2B.-3C.-4D.-56.在等差数列{an}中,公差d,若S10=4S5,a1等于()d11A. C.24数列{an}和{bn}都是等差数列,此中a1=25,b1=75,且a100+b100=100,数列{an+bn}的前100之和是()8.已知等差数列{an}的公差d=1,且a1+a2+a3+⋯+a98=137,那么a2+a4+a6+⋯+a98的等于()9.在等比数列{an}中,a1=1,q∈R且|q|≠1,若am=a1a2a3a4a5,m等于()1 0.公差不0的等差数列{a}中,a、a、a挨次成等比数列,公比等于()236A .1B.3n-1(a≠0),个数列的特点是}的前n和()11.若数列{aS =aA.等比数列B.等差数列C.等比或等差数列 D.非等差数列Sn2n1 2.等差数列{a}和{b}的前n和分S与,全部自然数n,都有=nTn Tn3n1a5等于(2920D.11b5 A.B. C.17314311二、填空(每小4分,共16分)13.数列{a n}的前n和S n=n2+3n+1,它的通公式.1 4.已知{1}是等差数列,且a2=2-1,a4=2+1,a10=.a n1 5.在等比数列中,若S10=10,S20=30,S30=.1 6.数列11,21,31,41,⋯的前n和.2441 6三、解答:17.(本小分12分)已知等差数列{an}中,Sn=m,Sm=n(m≠n),求Sm+n.18.(安分12分)等差数列{an}的前n和Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.求公差d的取范. (安分12分)已知等差数列{an1102?并求此最大.}中,a =29,S=S,个数列的前多少和最大20.(安分12分)2a1=5,an+1=2an+3(n≥1),求{an}的通公式.21.(安分12分)乞降:1+4+7+⋯+3n25525n122.(安分14分)已知数列{an}中,Sn是它的前n和,而且Sn+1=4an+2(n=1,2,⋯),a1=1.(1) bn=an+1-2an(n=1,2,⋯)求{bn}是等比数列;(2) cn=an n(n=1,2⋯)求{cn}是等2差数列;(3)求数列{an}的通公式及前 n和公式.数列元量参照答案一、3二、填空13.a n5n12715.70n2n2114.-4716.22n2n2n2三、解答1 7.分析:np2+qn np2+qn=m;①S=n2+qm=n②m①-②得:p(n2-m2)+q(n-m)=m-n即p(m+n)+q=-1(m ≠n)Sm+n=p(m+n)2+q(m+n)=(m+n)[p(m+n)+q]=-(m+n).121112a1d018.分析:由S12>0及S13<0可得2131213a1d022a+11d>024+7d>01即又∵a3=12,∴a1=12-2d∴a+6d<03+d <01∴-24<d<-3.7分析:数列{a n}的公差d∵S10201092019解得d=-2=S,∴10×29+d=20×29+d∴a n=-2n +3122个数列的前n和最大,a≥0-2n+31≥0n需:即an+1≤0-2(n+1)+31≤0∴≤n≤∵n∈N,∴n=15∴当n=15,Sn最大,最大151514S=15×29+(-2)=225.20.分析:令an=bn+k,an+1=bn +1+k2∴b n+1+k=2(bn +k)+3即bn+1-2bn=k+3令k+3=0,即k=-3an=bn-3,bn+1=2bn明{bn}等比数列,q=2b1=a1-k=8,∴b n=8·2n-1=2n+2∴a n=2n+2-3.2分析:++⋯+3n23n1.Sn7+2=1+525n25n11Sn=+4+7+⋯+3n5+3n2②552535n15n①-②得:443333n2(15n1)3n25S n1552L5n15n13115n575n12n7Sn75n12n7.45n16n12 2.分析:(1)∵S n+1n+n+1+2②=4a+2①∴S=4a②-①得Sn+2n+1n+1n即an+2n+,-S=4a-4a(n=1,2,⋯)=4a-4a形,得an+2-2an+1=2(an +1-2an)∵b n=an+1-2an(n=1,2,⋯)∴b n+1=2bn.由此可知,数列{b n}是公比2的等比数列;由S2=a1+a2=4a1+2,又a1=1,得a2=5故b1=a2-2a1=3∴b n=3·2n-1.(2) Qc nan(n1,2,L),cn1nan1an a n12a nbnn122n12n1,将bn=3·2n-1代入,得cn +1-cn=(n=1,2,⋯)由此可知,数列{cn}是公差的等差数列,它的首a11c1=,故c3(n)3n1.n44( 3)Qc n3n11(3n1)∴a n=2n·c n=(3n-1)·2n-2(n=1,2,⋯);44当n≥2,S-n-1+2,因为Sn =4an1+2=(3n-4)·21=a1=1也合适于此公式,因此所求{an nn-1 (3n-4)·2+2.}的前n和公式是:5。
人教A版高中数学必修五必修5数列测试题
高一数学《数列》单元检测题及参考答案一、选择题:1.已知数列a n的首项a i 1 ,且a n 2a01 1 n 2 ,则a§为(D)A. 7B. 15C.30D. 312.等比数列a n中,a1、a99为方程x2 10x 16 0的两根,则a20 a50 a80的值为(D)A. 32B. 64C. 256D. ±643.若{a n}是等差数列,且a[ + a4+ a7=45, a2+&+ a8=39,则a3 + a e+ a9 的值是(D)A. 39B. 20C. 19.5D. 334.非常数数列{a。
}是等差数列,且{a n}的第5、10、20项成等比数列,则此等比数列的公比为(C)A. % 5C. 2D.-5 25.在等比数歹U {a n}中,a n>0,且a2 a4+2a3 a5+ a4 a6=25,刃B么a3+a5= (A)A5B10C15D206. S为等差数列{a n}的前n项之和,若a3=10, a10=—4,则S10—S等于(A)A. 14 B, 6 C. 12 D. 217 .正项等比数列{ a n }满足:a 2 • 34 = 1, &=13, b n = log 3a n,则数列{ b n }的 前10项的和是(D )8 .在等差数列{a n }中,33、38是方程x 23x 50的两个根,则S [。
是(B )A.30B.15C.50D.259 .若某等差数列中,前7项和为48,前14项和为72,则前21项和为(B ) A.96B.72C.60D.48 10 .已知等差数列{a n }的通项公式为a n 2n 1,其前n 项和为S,则数列{殳}的11 .等比数列的公比为2,且前4项之和等于1,那么前8项之和等于17 . 12 .已知数列的通项公式3n 2n 37 ,则S n 取最小俏时n = 18 , 此时S n = 324 .15 .数列{3n }为等差数列,32与36的等差中项为5, 33与37的等差中项为7,则数列的通项3n 等于2n-3.116 .数列{3n }为等差数列, S°0=145, d=—,则 31 + 33 + 35 + • • • + 399 的值为60:、解答题15.(14分)在等比数列{3n }中,$为其前n 项的和。
高中数学必修5数列单元测试题含解析
新课标数学必修5第2章数列单元试题一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.在正整数100至500之间能被11整除的个数为()A.34 B.35 C.36 D.37考查等差数列的应用.【解析】观察出100至500之间能被11整除的数为110、121、132、…它们构成一个等*,Nn∈≤36.4,·11=11n+99,由a≤500,解得n差数列,公差为11,数a=110+(n-1)nn∴n≤36.【答案】C2-1(n≥1),则a+a+a+a+a=12.在数列{a}中,a,a=a等于()54n+112nn31A.-1 B.1 C.0 D.2考查数列通项的理解及递推关系.2-1=(a+1)(=aaa-1),【解析】由已知:nn+1nn∴a=0,a=-1,a=0,a=-1.5342【答案】A 3.{a}是等差数列,且a+a+a=45,a+a+a=39,则a+a+a的值是()9432n78156A.24 B.27 C.30 D.33考查等差数列的性质及运用.【解析】a+a+a,a+a+a,a+a+a成等差数列,故a+a+a=2×39-45=33.932394576168【答案】D2f(n)?n*)且f(1)=2,则f(20(n∈N+14.设函数f(x)满足f(n)=)为()2192 D..105 B.97 C95 A.考查递推公式的应用.1?1?f(1)?f(2)??2?1?2)(2??f(3)?fn??)f(n=f【解析】(n+1)-2?2? ?1?1919)??f(20)?f(?2?1?.1)=97(20)=95+f20)-f(1)=…(1+2++19)(f相加得f(2B【答案】*)(n≥3=0-6,a,公差d∈N)的最大值为(,则n中,已知5.等差数列{a}a=n1n8 D.B.6 C.7 A.5考查等差数列的通项.6?+1 n(n-1)d=0=-a【解析】=a+(n1)d,即-6+1n d*.=7d=1时,n取最大值n∵d∈N,当C【答案】2 }从首项到第几项的和最大()=6.设a-n,则数列+10n+11{a nn项.第10项或11项D12C项10A.第项B.第11 .第考查数列求和的最值及问题转化的能力.2 S<0a>0a=0a)-(+1-(n-=【解析】由an+10+11=n)n11,得,而,,S=.1110121011n【答案】C7.已知等差数列{a}的公差为正数,且a·a=-12,a+a=-4,则S为()20n4763A.180 B.-180 C.90 D.-90考查等差数列的运用.2+4xxa联立,即,a是方程4与a·a=-12【解析】由等差数列性质,a+a=a+a=-77674333-12=0的两根,又公差d>0,∴a>aa=2,a=-6,从而得a=-10,d=2,S=180.?2033771【答案】A 8.现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能的少,那么剩余钢管的根数为()A.9 B.10 C.19 D.29考查数学建模和探索问题的能力.n(n?1)<200.【解析】1+2+3+…+n<200,即220?19 根.n=20时,剩余钢管最少,此时用去=190显然2【答案】B9.由公差为d的等差数列a、a、a…重新组成的数列a+a,a+a,a+a…是()611524233A.公差为d的等差数列B.公差为2d的等差数列C.公差为3d的等差数列D.非等差数列考查等差数列的性质.【解析】(a+a)-(a+a)=(a-a)+(a-a)=2d.(a+a)-(a+a)=(a-3456422235151a)+(a-a)=2d.依次类推.562【答案】B10.在等差数列{a}中,若S=18,S=240,a=30,则n的值为()-49nnn A.14 B.15 C.16 D.17考查等差数列的求和及运用.9(a?a)91??2(a+4d)=4.【解析】S=18=a+a=491912)n(a?a n1.=16n=240S+4d=2,又a=a+4d.∴=a∴-nn4n12∴n=15.【答案】B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)2a2*n),则是这个数列的第_________项.(n∈N=1.在数列11{a}中,a,a=+1nn1a?27n考查数列概念的理解及观察变形能力.111111+,∴{}是以=1【解析】由已知得=为首项,公差d=的等差数列.aaaa221n1?nn1221=1+(n-1),∴a=∴=,∴n=6.n a?172n n【答案】612.在等差数列{a}中,已知S=10,S=100,则S .=_________11010100n考查等差数列性质及和的理解.?a+a=-2.(a+a)=-90=45S-S=a+a+…+a(a+a)=45【解析】11010010011010011111110121(a+a)×110=-=S110.11011102【答案】-11013.在-9和3之间插入n个数,使这n+2个数组成和为-21的等差数列,则n=_______.考查等差数列的前n项和公式及等差数列的概念.(n?2)(?9?3),∴n=5.【解析】-21=25【答案】Sa2n n11=_________.,若=,则、14.等差数列{a},{b}的前n项和分别为ST nnnn bT3n?111n 考查等差数列求和公式及等差中项的灵活运用.(a?a)21(a?a)211211aS2?2121221121???.==【解】(b?b)21(b?b)bT3?21?13212112121112221 【答案】32三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)若等差数列5,8,11,…与3,7,11,…均有100项,问它们有多少相同的项?考查等差数列通项及灵活应用.【解】设这两个数列分别为{a}、{b},则a=3n+2,b=4n-1,令a=b,则3k+2=4m-1.mnnnnk∴3k=3(m-1)+m,∴m被3整除.*),则k=4p-1=3p(p∈N.设m∵k、m∈[1,100].则1≤3p≤100且1≤p≤25.∴它们共有25个相同的项.16.(本小题满分10分)在等差数列{a}中,若a=25且S=S,求数列前多少项和最大.179n1考查等差数列的前n项和公式的应用.9?(9?1)17(17?1)d=1725+×25+d ×S【解】∵S=,a=25,∴9191722n(n?1)2+169.-13)n(-n,∴d解得=-2S=25+2)=-(n2由二次函数性质,故前13项和最大.注:本题还有多种解法.这里仅再列一种.由d=-2,数列a为递减数列.n a=25+(n-1)(-2)≥0,即n≤13.5.n∴数列前13项和最大.2-5nn+4,问.17(本小题满分12分)数列通项公式为a=n(1)数列中有多少项是负数?(2)n为何值时,a有最小值?并求出最小值.n考查数列通项及二次函数性质.2-5n+4<0,解得1<na【解】(1)由为负数,得n<4.n*项.3项和第2项为负数,分别是第2,即数列有3或=2n,故N∈n∵.59522)-,∴对称轴为n=n+4=(n-=2.(2)∵a=n5 -5n242*2-5×2+4=-2.或n=3时,a 有最小值,最小值为2又∵n∈N,故当n=2n18.(本小题满分12分)甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第一分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后,几分钟相遇.(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?考查等差数列求和及分析解决问题的能力.n(n?1)+51次相遇,依题意得2n+n=70 【解】(1)设n分钟后第22+13n-140=0,解得:n=7,n=-20(舍去)整理得:n∴第1次相遇在开始运动后7分钟.n(n?1)+5n+n=3×70 (2)设n分钟后第2次相遇,依题意有:222+13n-6×70=0,解得:n=15或n整理得:n=-28(舍去)第2次相遇在开始运动后15分钟.1.a=n≥2),(n项和为S,且满足a+2S·S=019.(本小题满分12分)已知数列{a}的前1nnnnn1-21}是等差数列;)求证:{ (1S n(2)求a表达式;n222<1.b +…n≥2),求证:b++b(3)若b=2(1-n)a(nn23n考查数列求和及分析解决问题的能力.【解】(1)∵-a=2SS,∴-S+S=2SS(n≥2)1nn1nn1nnn---11111-=2,又==2,∴{}是以S≠0,∴2为首项,公差为2的等差数列.n aSSSS11nnn1?11=2+(n-1)2=2n,∴S= (2)由(1)n Sn2n1当n≥2 时,a=S-S=-1nnn-)n?1(2n1?(n?1)?12?=a S=,∴n=1时,a=?n1112?-(n?2)?2n(n-1)?1 a=-(1n))由((32)知b=2nn n111111222++…++b=…+<++…+ bb ∴+n32222n)(n?1n332?21?2.111111)+(-)+…+(-)=1-(=1-<1.nn1?n322.。
高一数学《必修五》数列测试题-(含答案)学生版
高一数学《必修五》数列测试题一、选择题1、等差数列—3,1,5,…的第15项的值是( )A .40B .53C .63D .762、设n S 为等比数列{}n a 的前项和,已知3432S a =-,2332S a =-,则公比q =( )A .3B .4C .5D .6 3、已知,231,231-=+=b a 则b a ,的等差中项为( ) A .3 B .2 C .31D .214、已知等差数列}{n a 的前n 项和为S n ,若854,18S a a 则-=等于( )A .18B .36C .54D .725、设4321,,,a a a a 成等比数列,其公比为2,则432122a a a a ++的值为( ) A .41 B .21 C .81 D .1 6、在数列{}n a 中,12a =, 11ln(1)n n a a n +=++,则n a = ( )A .2ln n +B .2(1)ln n n +-C .2ln n n +D .1ln n n ++7、等差数列{a n }中,10a <,n S 为第n 项,且316S S =,则n S 取最大值时,n 的值( )A .9B .10C .9或10D .10或118、设n S 为等差数列{}n a 的前项和,若36324S S ==,,则9a =( )A . 15B . 45C .192D . 279、某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成( )A .511个B .512个C .1023个D .1024个10、等比数列{}n a 中,===+q a a a a 则,8,63232( )A .2B .21C .2或21D .-2或21- 11、已知{}n a 是等比数列,a n >0,且a 4a 6+2a 5a 7+a 6a 8=36,则a 5+a 7等于 ( )A .6B .12C .18D .2412、已知8079--=n n a n ,(+∈N n ),则在数列{n a }的前50项中最小项和最大项分别是( )A .501,a aB .81,a aC . 98,a aD .509,a a 二、填空题13、两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a =___________. 14、数列{}n a 的前n项的和13++=n S n n ,则此数列的通项公式a n =_ .15、数列{}n a 中,11,111+==-n n a a a ,则=4a .16、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且8765S S S S >=< ,则下列结论一定正确的有 . ①0<d ; ②07=a ; ③59S S >; ④01<a ; ⑤6S 和7S 均为n S 的最大值.三、解答题17、已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*,3N n b n an ∈= (1)求证:{}n a 是等差数列; (2) 若2021138,101b b b a a 求=+18、已知:等差数列{n a }中,4a =14,前10项和18510=S .(1)求n a ;(2)将{n a }中的第2项,第4项,…,第n2项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列的前n 项和n G .19、在等比数列{}n a 的前n 项和中,1a 最小,且128,66121==+-n n a a a a ,前n 项和126=n S ,求n 和公比q .20、已知{a n }是正数组成的数列,a 1=11n a +)(n ∈N*)在函数y =x 2+1的图象上.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若列数{b n }满足b 1=1,b n +1=b n +2n a ,求证:b n ·b n +2<b 2n +1.21、已知数列{}n a 是等差数列,且.12,23211=++=a a a a(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令).(R x x a b n n n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.22、在数列{}n a 中,11a =,2112(1)n n a a n+=+⋅. (Ⅰ)证明数列2{}n a n是等比数列,并求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)令112n n n b a a +=-,求数列{}n b 的前n 项和n S ; (Ⅲ)求数列{}n a 的前n 项和n T .。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测卷(包含答案解析)(1)
一、选择题1.设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N *-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩,若4042m S >,则正整数m 的最小值为( )A .14B .15C .16D .172.在“全面脱贫”行动中,贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元,用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货,因产品质优价廉,上市后供不应求,据测算:每月获得的利润是该月初投入资金的20%,每月底街缴房租800元和水电费400元,余款作为资金全部用于再进货,如此继续,预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为( )(取111275=..,121.29=)A .25000元B .26000元C .32000元D .36000元3.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵,记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10,构成的数列{}n a 的第n 项,则100a 的值为( )A .5049B .5050C .5051D .51014.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,对任意的*n N ∈有2233n n S a =-,且112k S <<,则k 的值为( ) A .2或4B .2C .3或4D .65.在等比数列{n a }中,13a =,424a =,则345a a a ++的值为( ) A .33B .72C .84D .1896.已知数列{}n a 中,13n n a S +=,则下列关于{}n a 的说法正确的是( ) A .一定为等差数列 B .一定为等比数列C .可能为等差数列,但不会为等比数列D .可能为等比数列,但不会为等差数列7.已知数列1a ,21a a ,…1nn a a -,…是首项为1,公比为2的等比数列,则2log n a =( )A . (1)n n +B .(1)4n n - C .(1)2n n + D .(1)2n n -8.已知椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)与双曲线2222x y m n-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若c 是a ,m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是 ( )AB.2C .14 D .129.公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即121a a ==,12n n n a a a --=+(*3,n n ≥∈N ).此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记212n n n n b a a a ++=-(*n ∈N ),数列{}n b 的前n 项和为n S ,则2020S =( ) A .0B .1C .2019D .202010.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足28a =-,390n S -=,228n S =,则n =( ) A .10B .11C .12D .1311.在等比数列{}n a 中,若1234531a a a a a ++++=,2345662a a a a a ++++=,则通项n a 等于( ) A .12n -B .2nC .12n +D .22n -12.已知等比数列{}n a 中,若1324,,2a a a 成等差数列,则公比q =( ) A .1B .1-或2C .3D .1-二、填空题13.数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2(2)n a n n =+,则4S =___________.14.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,公比()0,1q ∈,若355a a +=,264a a =,2log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n T 为______.15.已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,22a =,37S =,数列(){}2log 1+n S 的前n 项和为n T ,则122020111T T T +++=________.16.已知等比数列{}n a 中,21a =,58a =-,则{}n a 的前6项和为__________. 17.在等比数列{}n a 中,2514,2==a a ,则公比q =__________. 18.已知函数()f x 在()1,∞-+上单调,且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且()()5051f a f a =,则1100a a +等于________.19.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,若111,n n a a a n +=+=,则1916S S -的值为________. 20.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且4873a a a +-=_________.三、解答题21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2n S n n =+,数列{}n b 是公比为正数的等比数列,满足14b =,351024b b =. (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)若11n n n c a a +=,求数列{}n c 的前n 项和n T . 22.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,()*121n n S S n N +-=∈.(1)求证:数列{}n a 为等比数列 (2)若数列{}n b 满足:11b =,1112n n n b b a ++=+,求数列{}n b 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和n T .23.已知各项为正数的等比数列{}n a ,前n 项和为n S ,若2125,2,log a log a 成等差数列,37S =,数列{}n b 满足,11b =,数列11n n n b b a ++⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为232n n+ (1)求{}n a 的公比q 的值; (2)求{}n b 的通项公式.24.已知数列{}n a 为等差数列,23a =,前n 项和为n S ,数列{}n b 为等比数列,公比为2,且2354b S =,3216b S +=.(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)设数列{}n c 满足n n n c a b =+,求数列{}n c 的前n 项和n T .25.已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++.(1)求这个数列的通项公式; (2)设()11n n n b n a a *+=∈N ,证明:对n *∀∈N ,数列{}n b 的前n 项和524n T <. 26.在①222n n S n a =+,②3516a a +=且3542S S +=,③2142n n S n S n +=+且756S =这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.问题:设数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,_________.数列{}n b 为等比数列,11b a =,23b a =.求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列,偶数项加6成等比数列,然后求出2n S 后,检验141615,,S S S 可得. 【详解】当n 为奇数时,122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+,所以292(9)n n a a -+=+,又1910a +=,所以1359,9,9,a a a +++成等比数列,公比为2,1219102n n a --+=⨯,即1211029n n a --=⨯-,当n 为偶数时,122323326n n n n a a a a ---=+=++=+,所以262(6)n n a a -+=+,又2134a a =+=,所以2469,9,9,a a a +++成等比数列,公比为2,126102n n a -+=⨯,即121026n n a -=⨯-,所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----,714202201572435S =⨯--⨯=,816202201584980S =⨯--⨯=, 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=,所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16. 故选:C . 【点睛】关键点点睛:本题考查由数列的递推关系求数列的和.解题关键是分类讨论,确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质,然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ,再检验n 取具体数值的结论.2.C解析:C 【分析】设1月月底小王手中有现款为1(120%)10000120010800a =+⨯-=元,n 月月底小王手中有现款为n a ,1n +月月底小王手中有现款为1n a +,由题意可知16000 1.2(6000)n n a a +-=-,所以数列{6000}n a -是首项为4800,公比为1.2的等比数列,求出12a 即得解. 【详解】设1月月底小王手中有现款为1(120%)1000080040010800a =+⨯--=元,n 月月底小王手中有现款为n a ,1n +月月底小王手中有现款为1n a +,则1 1.21200n n a a +=-,即16000 1.2(6000)n n a a +-=-, 所以数列{6000}n a -是首项为4800,公比为1.2的等比数列,∴11126000480012a -=⨯,即1112480012600042000a =⨯+=,年利润为420001000032000-=元, 故选:C 【点睛】关键点睛:解答本题的关键是根据递推关系1 1.21200n n a a +=-构造数列{6000}n a -,求出新数列的通项关系.3.B解析:B 【分析】观察数列的前4项,可得(1)2n n n a +=,将100n =代入即可得解. 【详解】由题意得11a =,2312a ==+,36123a ==++,4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得(1)1232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=, 所以10010010150502a ⨯==. 故选:B. 【点睛】关键点点睛:本题考查了观察法求数列的通项公式,关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.4.A解析:A 【分析】利用递推关系式求出{}n a 的通项公式,再求出{}n a 的前n 项和为n S ,即可求出k 的值. 【详解】对任意的*n N ∈有2233n n S a =-, 可得:1112233a S a ==- ,解得:1=2a -, 当2n ≥时:2233n n S a =-,112233n n S a --=-两式相减得112233n n n n n S S a a a ---=-=,即12n n a a -=-, 所以{}n a 是首项为2-,公比为2-的等比数列,所以()2nn a =-,()()()212212123nn nS ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--, 所以211(2)123kk S ⎡⎤<=---<⎣⎦, 所以5(219)2k <-<, 当2k =和4k =时不等式成立,所以k 的值为2或4, 故选:A. 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式,考查了等比数列前n 项和公式,属于中档题.5.C解析:C 【分析】根据341a a q =,可求出q ,再根据等比数列通项公式求出35,a a 即可.【详解】因为341a a q =,即3243q =,所以2q,所以22313212a a q ==⨯=,44513248a a q ==⨯=,所以34512244884a a a ++=++=. 故选:C 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用,属于基础题.6.C解析:C 【分析】根据13n n a S +=得14n n S S +=,分类讨论当10S =和10S ≠两种情况分析得数列{}n a 可能为等差数列,但不会为等比数列. 【详解】解:13n n a S +=,13n n n S S S +∴=-, 14n n S S +∴=,若10S =,则数列{}n a 为等差数列;若10S ≠,则数列{}n S 为首项为1S ,公比为4的等比数列,114n n S S -∴=⋅,此时21134n n n n a S S S -==-⋅﹣(2n ≥),即数列从第二项起,后面的项组成等比数列.综上,数列{}n a 可能为等差数列,但不会为等比数列. 故选:C. 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的判断,考查学生分析解决问题的能力,正确分类讨论是关键.7.D解析:D 【分析】根据题意,求得1n n a a -,再利用累乘法即可求得n a ,再结合对数运算,即可求得结果.【详解】由题设有111122(2)n n nn a n a ---=⨯=≥, 而(1)1213221121122(2)n n n n n n aaa a a n a a a -+++--=⨯⨯⨯⨯=⨯=≥,当1n =时,11a =也满足该式,故(1)22(1)n n n a n -=≥,所以2(1)log 2n n n a -=, 故选:D. 【点睛】本题考查利用累乘法求数列的通项公式,涉及对数运算,属综合基础题.8.D解析:D 【解析】由题意可知2n 2=2m 2+c 2. 又m 2+n 2=c 2, ∴m=2c . ∵c 是a ,m 的等比中项, ∴2c am =, ∴22ac c =, ∴12c e a ==.选D . 9.A解析:A【分析】由1n nb b +用递推式可得到值为-1,{}n b 是等比数列,再求前2020项和. 【详解】 由题意可知()2221121213221212n n n n n n n n n n n n n n n a a a a b a a a b a a a a a a ++++++++++++-+-===--()222211212212121n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++++---==---, 又212131b a a a =-=-,因此()1nn b =-,故()()()20201111110S =-++-+++-+=,故选:A. 【点睛】本题考查了通过递推数列揭示数列存在的规律即等比数列,还考查了数列求和,属于中档题.10.C解析:C 【分析】根据数列是等差数列,结合等差数列的性质得313n n n S S a ---=,从而求得146n a -=,然后由121()()22n n n n a a n a a S -++==求解. 【详解】由题意得322890138n n S S --=-=, 所以13138n a -=. 所以146n a -=.所以121()()1922822n n n n a a n a a S n -++====, 解得12n =.故选:C 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质的应用,属于中档题.11.A解析:A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ,∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62, ∴q=2,∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31, 则a 1=1, 故an=2n−1. 故选A.12.B解析:B 【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列,所以312242a a a =+,即2111242a q a a q =+,化简得220q q --=,解得1q =-或2q .故选B. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.二、填空题13.【分析】先化简再进行相加求解即可【详解】由知故答案为:【点睛】思路点睛:当数列的通项公式中分母是乘积形式求前n 项和时可以考虑裂项相消法即将数列拆分成两项的差的形式再进行求和 解析:1715【分析】 先化简112n a n n =-+,再进行相加求解即可. 【详解】 由21(2)12n a n n n n ==-++知,41234S a a a a =+++11111111111132435462561715⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为:1715. 【点睛】思路点睛:当数列的通项公式中,分母是乘积形式,求前n 项和n S 时,可以考虑裂项相消法,即将数列拆分成两项的差的形式,再进行求和.14.【分析】首先利用方程组求出数列的通项公式进一步求出数列的通项公式进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和【详解】解:各项均为正数的等比数列中若所以由于公比解得所以解得所以由于所以则当时当时所以故答案解析:()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【分析】首先利用方程组求出数列{}n a 的通项公式,进一步求出数列{}n b 的通项公式,进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和. 【详解】解:各项均为正数的等比数列{}n a 中,若355a a +=,264a a =,所以35352654a a a a a a +=⎧⎨==⎩,由于公比()0,1q ∈,解得3541a a =⎧⎨=⎩,所以253a a q =,解得12q =. 所以55512n n n a a q --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.由于5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==, 则()9292n n n n S n c nn--===, 当9n ≤时,()212171744n n n n n n T c c c --=+++==. 当9n >时,()()212910*********24n n n n n T c c c c c c c c c c -+=+++---=++-+++=.所以()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩. 故答案为:()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【点睛】本题考查等比数列的通项公式,等差数列的前n 项和公式,考查分类讨论思想和数学运算能力,是中档题.15.【分析】首先根据等比数列的性质得到从而得到利用等差数列的求和公式得到再利用裂项法求的值即可【详解】因为所以即解得或又因为数列为递增数列所以所以因为所以故故答案为:【点睛】本题主要考查等差等比数列的求 解析:40402021【分析】首先根据等比数列的性质得到21nn S =-,从而得到()2log 1+=n S n ,利用等差数列的求和公式得到()12n n n T +=,再利用裂项法求122020111+++T T T 的值即可.【详解】因为22a =,37S =, 所以31232227S a a a q q=++=++=,即22520q q -+=, 解得12q =-或2q .又因为数列{}n a 为递增数列,所以2q.所以11a =,122112nn n S -==--.因为()22log 1log 2+==nn S n ,()1122…+=+++=n n n T n ,所以()1211211⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n T n n n n . 故122020111111112122320202021⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦T T T 140402*********⎛⎫=-=⎪⎝⎭故答案为:40402021【点睛】本题主要考查等差、等比数列的求和公式,同时考查裂项法求和,属于中档题.16.【解析】因为已知等比数列中所以则故答案为【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式属于中档题等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型数列中的五个基本量一般可以知二求三通过列方程组所求问题可以迎刃 解析:212【解析】因为已知等比数列{}n a 中,所以21a =,58a =-,3528,2a q q a ==-=-,则()()()66121611211212,21122a q a a S q q⎡⎤----⎣⎦==-===---,故答案为212. 【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式,属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型,数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ,一般可以“知二求三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式,并灵活应用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程.17.【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解:∵是等比数列∴∵∴解得:故答案为:【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析:12【分析】本题先用1a ,q 表示2a ,5a ,再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解:∵ {}n a 是等比数列,∴ 21a a q =,451a a q∵24a =,512a =,∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩,解得:1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩, 故答案为:12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法,是基础题.18.【分析】根据的图象的对称性利用平移变换的知识得到的图象的对称性结合函数的单调性根据得到的值最后利用等差数列的性质求得所求答案【详解】由函数的图象关于对称则函数的图象关于对称又在上单调且所以因为数列是 解析:2-【分析】根据()2y f x =-的图象的对称性,利用平移变换的知识得到()f x 的图象的对称性,结合函数的单调性,根据()()5051f a f a =得到5051a a +的值,最后利用等差数列的性质求得所求答案. 【详解】由函数()2y f x =-的图象关于1x =对称,则函数()f x 的图象关于1x =-对称, 又()f x 在()1,∞-+上单调,且()()5051f a f a =,所以5051a a 2+=-,因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列,所以11005051a a 2a a +=+=-, 故答案为:2-. 【点睛】本题考查函数的对称性和单调性,等差数列的性质,涉及函数的图象的平移变换,属中档题,小综合题,难度一般.19.27【分析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列由此可得通项从而求得结论【详解】∵∴相减得又所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列公差为1故答案为:27【点睛】易错点睛:本题考查等差数列的解析:27 【分析】由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列,由此可得通项,从而求得结论. 【详解】∵1n n a a n ++=,∴121n n a a n +++=+,相减得21n n a a +-=,又1121,1a a a =+=,20a =,211a a -=-,所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差为1,21n a n -=,21n a n =-,1916171819981027S S a a a -=++=++=.故答案为:27. 【点睛】易错点睛:本题考查等差数列的通项公式,解题时由已知等式中n 改写为1n +,两相减后得21n n a a +-=,这里再计算21a a -,如果2211()22n n a a a a +--==,则可说明{}n a 是等差数列,象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列.不能混淆,误以为{}n a 是等差数列.这是易错的地方.20.【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为:【点睛】思路点睛:该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如 解析:13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差,根据其通项公式,得到487733a a a a +-=,再根据其求和公式,得到13713S a =,从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ,公差为d ,则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+, 因为11313713()132a a S a +==,所以487133313a a a S +-=, 故答案为:13313S . 【点睛】思路点睛:该题考查的是有关等差数列的问题,解题思路如下: (1)首先设出等差数列的首项和公差;(2)利用等差数列的通项公式,得到项之间的关系,整理得出487733a a a a +-=; (3)利用等差数列的求和公式,求得13713S a =; (4)比较式子,求得结果.三、解答题21.(1)2n a n =,12n n b +=;(2)()41n nT n =+.【分析】(1)由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式,由已知条件计算出等比数列{}n b 的公比,进而可求得等比数列{}n b 的通项公式;(2)计算得出11141n c n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,利用裂项求和法可求得n T . 【详解】(1)当1n =时,112a S ==;当2n ≥时,()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦.12a =满足2n a n =,所以,对任意的n *∈N ,2n a n =.设等比数列{}n b 的公比为q ,则0q >,262635141024b b b q q ∴==⨯=,解得2q,1111422n n n n b b q --+∴==⨯=;(2)()()111111112214141n n n c a a n n n n n n +⎛⎫===⋅=- ⎪⨯+++⎝⎭, ()121111111111422314141n n n T c c c n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-+-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法直接求和;(2)对于{}n n a b 型数列,其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,利用错位相减法求和;(3)对于{}n n a b +型数列,利用分组求和法;(4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列,其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列,利用裂项相消法求和.22.(1)证明见解析;(2)112n n b n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭,()14242nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭. 【分析】(1)由121n n S S +-=,得()1212n n S S n --=≥,两式相减得12n n a a +=,结合11a =,计算出2a ,确定212a a =,从而证明出等比数列; (2)由(1)求得1n a +,对{}n b 的递推关系式变形得数列{}12n n b -是首项为1,公差为1的等差数列.,从而求得12n n b -,得出n b 后用错位相减法求得和n T .【详解】(1)证明:由11a =,121n n S S +-=,得()1212n n S S n --=≥, 两式相减,得120n n a a +-=,因为11a =,由()12121a a a +-=,得22a =,所以212a a =, 所以12n na a +=对任意*N π∈部成立. 所以数列{}n a 为等比数列,首项为1,公比为2; (2)由(1)知,12n na ,11111222nn n n n b b b a ++⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭, 即11221n n n n b b -+=+,因为11b =,所以数列{}12n n b -是首项为1,公差为1的等差数列.所以1211n n b n n -=+-=,所以112n n b n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.②设数列{}n b 的前n 项和1111123242n n T n -⎛⎫=+⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭,111112322482nn T n ⎛⎫=+⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭,相减可得11111111121122422212n nnn n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+-⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-, 化简可得数列{}n b 的前n 项和为()14242nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查求等差、等比数列的通项公式,错位相减法求和.数列求和的常用方法: 设数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,(1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和; (2)错位相减法:数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法; (3)裂项相消法;数列1{}n n ka a +(k 为常数,0n a ≠)的前n 项和用裂项相消法; (4)分组(并项)求和法:数列{}n n pa qb +用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法;(5)倒序相加法:满足m n m a a A -+=(A 为常数)的数列,需用倒序相加法求和. 23.(1)2q ;(2)()121n n b n =-⋅+.【分析】(1)对正项的等比数列{}n a ,利用基本量代换,列方程组,解出公比q ; (2)设11n nn n b b d a ++-=,由题意分析、计算得 1n d n =+,从而得到()112n n n b b n +-=+⋅,用累加法和错位相减法求出 n b .【详解】(1)∵2125log ,2,log a a 成等差数列,∴ ()225215log log log 4a a a a +==,即132516a a a ==,又0,n a >34a ∴=,又37,S =21211147a q a a q a q ⎧=∴⎨++=⎩ 解得2q或23q =-(舍).()2记11n n n n b b d a ++-=,当2n ≥时,()()221313122n n n n n d n -+-+=-=+又12d =也符合上式,1n d n ∴=+.而31322n n n a a --=⋅=,()112n n n b b n +∴-=+⋅,()()()21121321122322,)2(n n n n b b b b b b b b n n --∴=+-+-+⋯+-=+⋅+⋅+⋯+⋅≥, ()231222232122n n n b n n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式相减得()2112222121n n n n b n n --=+++⋯+-⋅=-⋅-,()2)2(11,n n b n n ∴=-⋅+≥.而11b =也符合上式, 故()121nn b n =-⋅+.【点睛】(1) 等差(比)数列问题解决的基本方法:基本量代换; (2)数列求和常用方法:①公式法;②倒序相加法;③裂项相消法;④错位相减法.24.(1)21n a n =-,132n n b -=⋅;(2)2323n n T n =⨯+-.【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,根据已知条件求出d 、2b 的值,进而可求得数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)求出数列{}n c 的通项公式,利用分组求和法可求得n T . 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d , 则()13323392a a S a +===,23546b S ∴==,则32212b b ==, 由3216b S +=可得2122264S a a a d d =+=-=-=,2d ∴=,因此,()()2232221n a a n d n n =+-=+-=-,221226232n n n n b b ---=⨯=⨯=⋅;(2)12132n n n n c a b n -=+=-+⋅,()()()()01211323325322132n n T n -⎡⎤∴=+⋅++⨯++⨯++-+⨯⎣⎦()()121135213323232n n -=++++-++⨯+⨯++⨯⎡⎤⎣⎦()()2312121323212nnn n n ⨯-+-=+=⨯+--.【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法直接求和;(2)对于{}n n a b 型数列,其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,利用错位相减法求和;(3)对于{}n n a b +型数列,利用分组求和法;(4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列,其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列,利用裂项相消法求和.25.(1)*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩;(2)证明见解析. 【分析】(1)利用*1,(1),(2,)n n n n S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩求解即可;(2)利用n a 求n b ,当1n =时,1151224b =≤显然成立,当2n ≥时,利用列项相消法求和判断即可. 【详解】 解:(1)当1n =时,111113a S ==++=; 当2n ≥时,1n n n a S S -=-22(1)[(1)(1)1]n n n n =++--+-+2n =,所以*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩;(2)由(1)易知*1,(1)121(2,),4(1)n n b n n N n n ⎧⎪=⎪=⎨≥∈⎪+⎪⎩ 当1n =时,1151224b =≤显然成立.当2n ≥时,1111()4(1)41n b n n n n ==-++,123n n T b b b b =+++11111111[()()()]12423341n n =+-+-++-+ 1111()12421n =+-+ 515244(1)24n =-<+; 故结论成立. 【点睛】关键点睛:本题考查数列求通项公式,利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键. 26.见解析 【分析】根据选择的条件求出{}n a 的通项,再利用分组求和可得n T . 【详解】若选①,由222n n S n a =+可得1122a a =+,故12a =,又22422S a ⨯=+,故()222224a a =+⨯+,故24a =, 故等差数列的公差422d =-=,故()2212n a n n =+-=, 所以()()2212n n n S n n +==+, 所以12b =,26b =,所以等比数列{}n b 的公比为3q =,故123n n b -=⨯故()111111=232311n n n n b S n n n n --++⨯=-+⨯++, 故11111111131=231223341131n nn T n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 若选②,由题设可得11126163351042a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩,解得122a d =⎧⎨=⎩,同①可得131nn T n =-+. 若选③,由题设可得1213S S =即212a a =,故1d a =,故1n a na =, 而74567S a ==,故48a =,故12a =,故2n a n =, 同①可得131nn T n =-+.【点睛】方法点睛:等差数列或等比数列的处理有两类基本方法:(1)利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组,再运用基本量解决与数列相关的问题;(2)利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题.另外求和注意根据通项的特征选择合适的求和方法.。
人教A版高一必修5数学第二章数列单元测试及答案(练习检测试题卷).doc
班姓座A . a” =2“_1B . a n =(-ir (2n-l) c. a n =(-ir (l-2n) 2、 等比数列2, 4, 8, 16,…的前nA . 2n+1-l B. 2n -23、等比数列{%}中,已知a x a” =27, q = 3,则”为( A . B. 4 4、 等比数列{a”}中,a 6 = 6, a 9 = 9 ,则a 等于( A.5、 若数列{%}中,Q 广43-3n,则»最大血 A. 13 B. 14 6、 成等比数列,那么d 等于A.3 C. -2 D. ±27、 等差数列仏}燈皿聖的和是30, A. 130 亠 170 前加项的和是100,则它的前3加项的和是(C. 210D.2608、 敎刻仏}贏项公式是血二--------- n (M + l )(心),若前刀项的和为罟,则项数0为() A. 12 B.11C. 10D. 91、 1°、{a”}为等差数列,01 + 04 + ^7 = 39, 弘+弘+ ^产込弘+。
6 +。
9二浙江省瓯海中学高一数学必修5第二章《数列》单元测试一、选择题(每小题6分)数列1, ~3, 5, -7, 9,…的一个通项公式为( 二、填空题(每小题6分)9、等差数列{爲}中,S 广40, Q] =13,11、在等差数列{a* }中,1 = 20 ,则 Q] + Q]3 =色=(_ig+i ) D . C. InC. 5D. 6 D. 14 或 15 C. 16 ,如果 Q]、等差数列{a”}的首项a. =1(2)+ a :的和(3)在(2)的条件(1)当a = l 时,求{a”}的通项公式14、(本题18分)已知数列{a ”}的前%项和S” =12>在数列{a”}中,fl] =1,且对于任意自然数”,都有a n+1 = a n + n ,贝ija 100 = __________三、解答题13、(本题10分)求数列耳吗斗4护•的前刀项和。
高中数学人教A版必修五 第二章 数列 学业分层测评11 Word版含答案
高中数学必修五《数列》单元检测(内含答案)一、选择题1.在等差数列{a n }中,a 2=1,a 4=5,则{a n }的前5项和S 5=( )A .7B .15C .20D .25【解析】 S 5=5×(a 1+a 5)2=5×(a 2+a 4)2=5×62=15. 【答案】 B2.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 5a 3=59,则S 9S 5等于( ) A .1B .-1C .2D .12【解析】 S 9S 5=92(a 1+a 9)52(a 1+a 5)=9×2a 55×2a 3 =9a 55a 3=95×59=1. 【答案】 A3.等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n 等于( )A .9B .10C .11D .12【解析】 ∵a 3+a 5=2a 4=14,∴a 4=7.d =a 4-a 13=2,S n =na 1+n (n -1)2·d=n +n (n -1)2×2=n 2=100, ∴n =10.【答案】 B4.已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和,若S 8=4S 4,则a 10=( )A.172B.192 C .10 D .12【解析】 ∵公差为1,∴S 8=8a 1+8×(8-1)2×1=8a 1+28,S 4=4a 1+6. ∵S 8=4S 4,∴8a 1+28=4(4a 1+6),解得a 1=12,∴a 10=a 1+9d =12+9=192.故选B.【答案】 B5.若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (3n -2),则a 1+a 2+…+a 10=( )A .15B .12C .-12D .-15【解析】 a 1+a 2+…+a 10=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+(-1)10·(3×10-2)] =3×5=15.【答案】 A二、填空题6.已知{a n }是等差数列,a 4+a 6=6,其前5项和S 5=10,则其公差为d = .【解析】 a 4+a 6=a 1+3d +a 1+5d =6,①S 5=5a 1+12×5×(5-1)d =10,②由①②联立解得a 1=1,d =12.【答案】 127.{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,已知a 7=5,S 7=21,则S 10= .【解析】 设公差为d ,则由已知得S 7=7(a 1+a 7)2,即21=7(a 1+5)2,解得a 1=1,所以a 7=a 1+6d ,所以d =23.所以S 10=10a 1+10×92d =10+10×92×23=40.【答案】 408.首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ,且S 3=S 8,当n = 时,S n 取到最大值.【解析】 ∵S 3=S 8,∴S 8-S 3=a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=5a 6=0,∴a 6=0,∵a 1>0, ∴a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6=0,a 7<0.故当n =5或6时,S n 最大.【答案】 5或6三、解答题9.已知等差数列{a n }中,a 1=9,a 4+a 7=0.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)当n 为何值时,数列{a n }的前n 项和取得最大值?【解】 (1)由a 1=9,a 4+a 7=0,得a 1+3d +a 1+6d =0,解得d =-2,∴a n =a 1+(n -1)·d =11-2n .(2)法一 a 1=9,d =-2,S n =9n +n (n -1)2·(-2)=-n 2+10n=-(n -5)2+25,∴当n =5时,S n 取得最大值.法二 由(1)知a 1=9,d =-2<0,∴{a n }是递减数列.令a n ≥0,则11-2n ≥0,解得n ≤112.∵n ∈N *,∴n ≤5时,a n >0,n ≥6时,a n <0.∴当n =5时,S n 取得最大值.10.若等差数列{a n }的首项a 1=13,d =-4,记T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |,求T n .【解】 ∵a 1=13,d =-4,∴a n =17-4n .当n ≤4时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n=na 1+n (n -1)2d =13n +n (n -1)2×(-4)=15n -2n 2;当n ≥5时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=(a 1+a 2+a 3+a 4)-(a 5+a 6+…+a n )=S 4-(S n -S 4)=2S 4-S n=2×(13+1)×42-(15n -2n 2) =2n 2-15n +56.∴T n =⎩⎨⎧15n -2n 2,(n ≤4),2n 2-15n +56,(n ≥5). [能力提升]1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4=40,S n =210,S n -4=130,则n =( )A .12B .14C .16D .18 【解析】 S n -S n -4=a n +a n -1+a n -2+a n -3=80,S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=40,所以4(a 1+a n )=120,a 1+a n =30,由S n =n (a 1+a n )2=210,得n =14. 【答案】 B2.若数列{a n }满足:a 1=19,a n +1=a n -3(n ∈N *),则数列{a n }的前n 项和数值最大时,n 的值为( )A .6B .7C .8D .9【解析】 因为a n +1-a n =-3,所以数列{a n }是以19为首项,-3为公差的等差数列,所以a n =19+(n -1)×(-3)=22-3n .设前k 项和最大,则有⎩⎨⎧ a k ≥0,a k +1≤0,所以⎩⎨⎧22-3k ≥0,22-3(k +1)≤0,所以193≤k ≤223.因为k ∈N *,所以k =7.故满足条件的n 的值为7.【答案】 B3.设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是 ,项数是 .【解析】 设等差数列{a n }的项数为2n +1, S 奇=a 1+a 3+…+a 2n +1=(n +1)(a 1+a 2n +1)2=(n +1)a n +1, S 偶=a 2+a 4+a 6+…+a 2n =n (a 2+a 2n )2=na n +1,所以S 奇S 偶=n +1n =4433,解得n =3,所以项数2n +1=7, S 奇-S 偶=a n +1,即a 4=44-33=11为所求中间项.【答案】 11 74.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a n }为等差数列,a 1=12,d =-2.(1)求S n ,并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象;(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围,并求{S n }的最大(或最小)的项;(3){S n }有多少项大于零?【解】 (1)S n =na 1+n (n -1)2d =12n +n (n -1)2×(-2)=-n 2+13n .图象如图.(2)S n =-n 2+13n =-⎝ ⎛⎭⎪⎫n -1322+1694,n ∈N *, ∴当n =6或7时,S n 最大;当1≤n ≤6时,{S n }单调递增;当n ≥7时,{S n }单调递减.{S n }有最大值,最大项是S 6,S 7,S 6=S 7=42.(3)由图象得{S n}中有12项大于零.。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测(含答案解析)
一、选择题1.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且4331S S S =-,若11a >,则( ) A .13a a <,24a a < B .13a a >,24a a < C .13a a <,24a a >D .13a a >,24a a >2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若735S =,则4a =( ) A .5B .6C .7D .83.在等比数列{n a }中,13a =,424a =,则345a a a ++的值为( ) A .33B .72C .84D .1894.在等差数列{a n }中,1233,a a a ++=282930165a a a ++=,则此数列前30项和等于( ) A .810B .840C .870D .9005.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,55a =,836S =,则数列11{}n n a a +的前n 项和为( ) A .11n + B .1n n + C .1n n- D .11n n -+ 6.数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-(*n ∈N ),若173a a ka +=,则实数k 等于( ) A .2B .3C .269D .2597.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21n n S a =-,则66S a =( ) A .6332B .3116C .12364D .1271288.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且()*2n n S a n n N =+∈,则{}na 的通项公式为na=( ) A .23n -B .23n -C .12n -D .12n -9.等差数列{}n a 中,10a >,310S S =,则当n S 取最大值时,n 的值为 ( ) A .6B .7C .6或7D .不存在10.设{}n a 为等比数列,给出四个数列:①{}2n a ,②{}2n a ,③{}2na ,④{}2log ||n a .其中一定为等比数列的是( ) A .①③B .②④C .②③D .①②11.已知{}n a 为等比数列,13527a a a =,246278a a a =,以n T 表示{}n a 的前n 项积,则使得n T 达到最大值的n 是( ) A .4B .5C .6D .712.在1和19之间插入个n 数,使这2n +个数成等差数列,若这n 个数中第一个为a ,第n 个为b ,当116a b+取最小值时,n 的值是( ) A .4B .5C .6D .7二、填空题13.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,公比()0,1q ∈,若355a a +=,264a a =,2log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n T 为______.14.已知等比数列{}n a 中,21a =,58a =-,则{}n a 的前6项和为__________. 15.数列1,-2,2,-3,3,-3,4,-4,4,-4,5,-5,5,-5,5,…,的项正负交替,且项的绝对值为1的有1个,2的有2个,…,n 的有n 个,则该数列第2020项是__________.16.设,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前n 项和,已知()*2142n n S n n N T n +=∈-,则10317a b b =+_________.17.已知数列{}n a 的首项1a a =,其前n 项和为n S ,且满足()2*12,n n S S n n n N -+=≥∈,若对任意*n N ∈,1n n a a +<恒成立,则a 的取值范围是___________.18.数列{}n a 满足:112a =,212n n a a a n a ++⋯+=⋅,则数列{}n a 的通项公式n a =___________.19.已知数列{}n a 的通项公式为()12n n a n =+⋅,若不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立,则整数λ的最大值为_____.20.对于数列{}n a ,存在x ∈R ,使得不等式()2*144n na x x n N a +≤≤-∈成立,则下列说法正确的有______.(请写出所有正确说法的序号). ①数列{}n a 为等差数列; ②数列{}n a 为等比数列; ③若12a =,则212n na -=;④若12a =,则数列{}n a 的前n 项和21223n n S +-=.三、解答题21.设数列{}n a 满足()*122222nn a a a n n +++=∈N . (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列21n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 22.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项11a =,121n n S S +=+. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设n n b na =,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,是否存在正整数n ,使得2021n T =?若存在,求出n 的值;若不存在,说明理由.23.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项均为1,{}n b 的前n 项和为n S ,且22a S =,43a S =.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)设n n n c a b =⋅,*n N ∈,求数列{}n c 的前n 项和n T .24.已知正项等比数列{}n a ,24a =, 1232a a a +=;数列{}n b 的前n 项和n S 满足n n S na =.(Ⅰ)求n a ,n b ; (Ⅱ)证明:312412233412n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<. 25.在①420S =,②332S a =,③3423a a b -=这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.问题:已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,{}n b 是各项均为正数的等比数列,14a b =,______,2138,34b b b =-=,是否存在正整数k ,使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和34kT >?若存在,求k 的最小值;若不存在,说明理由, 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.26.已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为n A ,最小值记为n B ,令nn nA bB =. (1)若2(1,2,3,)n a n n ==,写出1b ,2b ,3b 的值.(2)证明:1(1,2,3,)n n b b n +≥=.(3)若{}n b 是等比数列,证明:存在正整数0n ,当0n n 时,n a ,1n a +,2n a +是等比数列.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】首先根据题中所给的条件4331S S S =-,11a >利用等比数列求和公式求出0q <,分情况讨论求得10q -<<,从而可以得到项之间的大小关系. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q , 由4331S S S =-可得431a S =-, 若1q =,则1113a a =-显然不成立,所以1q ≠, 所以()312111q a a q q -++=,即()232111q q a q +=-+, 因为22131024q q q ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭,210a >,所以30q <,所以0q <,当1q ≤-时,31q ≤-,211q q ++≥,因为11a >,则()232111q q a q +=-+不可能成立,所以10q -<<,()213110a a a q -=->,()224110a a a q q -=-<,所以13a a >,24a a <, 故选:B. 【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是利用等比数列求和公式将已知条件化简得到()232111q q a q +=-+,结合11a >求出q 的范围.2.A解析:A 【分析】由等差数列的前n 和公式,求得1710a a +=,再结合等差数列的性质,即可求解. 【详解】由题意,根据等差数列的前n 和公式,可得1777()352a a S +==,解得1710a a +=, 又由等差数列的性质,可得17452a a a +==. 故选:A. 【点睛】熟记等差数列的性质,以及合理应用等差数列的前n 和公式求解是解答的关键3.C解析:C 【分析】根据341a a q =,可求出q ,再根据等比数列通项公式求出35,a a 即可.【详解】因为341a a q =,即3243q =,所以2q,所以22313212a a q ==⨯=,44513248a a q ==⨯=,所以34512244884a a a ++=++=. 故选:C 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用,属于基础题.4.B解析:B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组,共十组的和,显然这十组依次成等差数列,因此和为10(3165)8402+= ,选B. 5.B解析:B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d . ∵55a =,836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =,则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭;(2)1k=; (3)()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭;(4)()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.6.C解析:C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ,然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-, 所以111a S ==,当2n ≥时,()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-,111a S ==适合上式,故43n a n =-,因为173a a ka +=, ∴1259k +=, 解可得269k = 故选:C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式,考查来了运算能力,属于中档题.7.A解析:A 【解析】由题意得,111121,1,n n n a a a a S S -=-==- ,则21nn S =- ,即666332S a = ,故选A.8.C解析:C 【分析】由()*2n n S a n n N =+∈结合11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出1a 和121n n a a -=-,通过构造法即可求出通项公式. 【详解】当1n =时,11121a S a ==+,解得1 1a =-;当2n ≥时,122(1)n n n a a n a n -=+---.∴121n n a a -=-,∴()1121n n a a --=-.∵112a -=-,∴12nn a -=-, ∴12nn a =-.故选:C . 【点睛】本题考查了数列通项公式的求解,考查了,n n a S 的递推关系求通项公式,考查了等比数列的通项公式,考查了构造法求数列的通项公式,属于中档题.9.C解析:C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ∵310S S = ∴()()113319913922a d a d ⨯-⨯-+=+∴160a d += ∴70a = ∵10a >∴当n S 取最大值时,n 的值为6或7 故选C10.D解析:D 【分析】设11n n a a q -=,再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.【详解】设11n n a a q -=,①,112=2n n a a q-,所以数列{}2n a 是等比数列;②,222222111=()n n n a a qa q --=,所以数列{}2n a 是等比数列; ③,11112111211222=2,222n nn n n n n n a a q a a q a q a q a a q-------==不是一个常数,所以数列{}2n a 不是等比数列; ④,122122121log ||log |q |log ||log |q |n n n n a a a a ---=不是一个常数,所以数列{}2log ||n a 不是等比数列.故选D 【点睛】本题主要考查等比数列的判定,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.A解析:A 【分析】先求出首项和公比,得出{}n a 是一个减数列,前4项都大于1,从第五项开始小于1,从而得出结论. 【详解】{}n a 为等比数列,3135327a a a a ==,32464278a a a a ==, 33a ∴=,432a =,4312a q a ∴==,112a =,543·14a a q ==<. 故{}n a 是一个减数列,前4项都大于1,从第五项开始小于1, 以n T 表示{}n a 的前n 项积,则使得n T 达到最大值的n 是4, 故选:A . 【点评】本题主要考查等比数列的性质,属于基础题.12.B解析:B 【分析】设等差数列公差为d ,可得20a b +=,再利用基本不等式求最值,从而求出答案. 【详解】设等差数列公差为d ,则119a d b d =+=-,,从而20a b +=, 此时0d >,故0,0a b >>,所以11616()()1161725b a a b a b a b ++=+++≥+=, 即116255204a b +=,当且仅当16b aa b =,即4b a =时取“=”, 又1,19a d b d =+=-,解得3d =,所以191(1)3n =++⨯,所以5n =,故选:B . 【点睛】本题主要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.二、填空题13.【分析】首先利用方程组求出数列的通项公式进一步求出数列的通项公式进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和【详解】解:各项均为正数的等比数列中若所以由于公比解得所以解得所以由于所以则当时当时所以故答案解析:()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【分析】首先利用方程组求出数列{}n a 的通项公式,进一步求出数列{}n b 的通项公式,进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和. 【详解】解:各项均为正数的等比数列{}n a 中,若355a a +=,264a a =,所以35352654a a a a a a +=⎧⎨==⎩,由于公比()0,1q ∈,解得3541a a =⎧⎨=⎩,所以253a a q =,解得12q =. 所以55512n n n a a q --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.由于5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==, 则()9292n n n n S n c nn--===, 当9n ≤时,()212171744n n n n n n T c c c --=+++==.当9n >时,()()212910*********24n n n n n T c c c c c c c c c c -+=+++---=++-+++=. 所以()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩. 故答案为:()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【点睛】本题考查等比数列的通项公式,等差数列的前n 项和公式,考查分类讨论思想和数学运算能力,是中档题.14.【解析】因为已知等比数列中所以则故答案为【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式属于中档题等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型数列中的五个基本量一般可以知二求三通过列方程组所求问题可以迎刃 解析:212【解析】因为已知等比数列{}n a 中,所以21a =,58a =-,3528,2a q q a ==-=-,则()()()66121611211212,21122a q a a S q q⎡⎤----⎣⎦==-===---,故答案为212. 【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式,属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型,数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ,一般可以“知二求三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式,并灵活应用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程.15.【分析】将绝对值相同的数字分为一组则每组数字个数构成等差数列然后计算原第2020项在这个数列的第几项再根据题意可得【详解】将绝对值相同的数字分为一组则每组数字个数构成等差数列因为则2020项前共包含 解析:64-【分析】将绝对值相同的数字分为一组,则每组数字个数构成等差数列n a n =,然后计算原第2020项在这个数列的第几项,再根据题意可得. 【详解】将绝对值相同的数字分为一组,则每组数字个数构成等差数列n a n =, 因为(1)6364202063201622n n n +⨯⇒⇒=, 则2020项前共包含63个完整组,且第63组最后一个数字为第2016项,且第2016项的符号为负,故2020项为第64组第4个数字,由奇偶交替规则,其为64-. 故答案为:64-. 【点睛】本题考查数列创新问题,解题关键是把绝对值相同的数字归为一组,通过组数来讨论原数列中的项,这借助于等差数列就可完成,本题考查了转化思想,属于中档题.16.【分析】利用等差数列的性质得到再根据求解【详解】因为所以故答案为:【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析:39148【分析】利用等差数列的性质得到1013171191912a a a b b b b =⨯+++191912S T =⨯,再根据2142n n S n T n +=-求解.【详解】 因为()*2142n n S n n N T n +=∈-, 所以()()110113171119191991921912221a a a b b b a b b b a =⨯=⨯+++++, 191911219139224192148S T ⨯+=⨯=⨯=⨯-, 故答案为:39148【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.17.【分析】由化简可得从而可得由知则从而解得【详解】解:即即故由知;若对任意恒成立只需使即解得故故答案为:【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用同时考查了整体思想的应用及转化思想应用解析:24,33⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由21n n S S n -+=化简可得1121n n S S n +--=+,从而可得22n n a a +-=,由1a a =知242a a =-,32a a =+,442a a =-,则1234a a a a <<<从而解得.【详解】解:21n n S S n -+=,21(1)n n S S n ++=+, 1121n n S S n +-∴-=+,即121n n a a n ++=+, 即2123n n a a n +++=+, 故22n n a a +-=, 由1a a =知2124a a +=, 214242a a a ∴=-=-, 32a a =+, 462a a =-;若对任意n ∈+N ,1n n a a +<恒成立, 只需使1234a a a a <<<, 即42262a a a a <-<+<-, 解得2433a <<,故24,33a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为:24,33⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用,同时考查了整体思想的应用及转化思想应用.18.【分析】当时作差即可得到再利用累乘法求出数列的通项公式即可;【详解】解:因为①;当时②;①减②得即所以所以所以所以……所以所以又所以当时也成立所以故答案为:【点睛】对于递推公式为一般利用累乘法求出数 解析:21n n+ 【分析】当2n ≥时,()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅,作差即可得到111n n a n a n --=+,再利用累乘法求出数列的通项公式即可; 【详解】解:因为212n n a a a n a ++⋯+=⋅①;当2n ≥时,()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅②;①减②得()2211n n n a n a n a -=⋅-⋅-,即()()22111n n n a n a -⋅-⋅-=,所以()()()21111n n n n a n a --+=⋅-⋅,所以()()111n n n a n a -⋅-⋅+=,所以111n n a n a n --=+ 所以2113a a =,3224a a =,4335a a =,……,111n n a n a n --=+,所以324211312313451n n a a a a n a a a a n --⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯+,所以()121n a a n n =+,又112a =,所以()11n a n n =+,当1n =时()11n a n n =+也成立,所以()11n a n n =+故答案为:()11n n +【点睛】对于递推公式为()1nn a f n a -=,一般利用累乘法求出数列的通项公式,对于递推公式为()1n n a a f n --=,一般利用累加法求出数列的通项公式;19.4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解:∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为:4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析:4 【分析】根据题意等价变形得2352nn λ-->对任意*n N ∈恒成立,再求数列232n n n b -=的最大值即可得答案. 【详解】解:∵()102nn a n =+⋅>,∴不等式()2235n n n a λ--<-等价于2352nn λ-->, 记232n nn b -=,112121223462n n n nn b n n b n ++--==--, ∴3n ≥时,11n nb b +<,即3n ≥时数列单调递减, 又∵ 1211,24b b =-=, ∴ ()3max 38n b b ==,∴358λ->,即337588λ<-=,∴整数λ的最大值为4. 故答案为:4. 【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数,考查化归转化思想,是中档题.20.②③④【分析】由题意可得存在使求得值可得再由等比数列的定义通项公式及前项和逐一核对四个命题得答案【详解】解:由存在使得不等式成立得即则则数列为等比数列故①错误②正确;若则故③正确;若则数列的前项和故解析:②③④ 【分析】由题意可得,存在x ∈R ,使244x x -,求得x 值,可得14n na a +=,再由等比数列的定义、通项公式及前n 项和逐一核对四个命题得答案. 【详解】解:由存在x ∈R ,使得不等式2*144()n na xx n N a +-∈成立, 得244x x -,即2440x x -+,则2(2)0x -,2x ∴=.∴14n na a +=. 则数列{}n a 为等比数列,故①错误,②正确; 若12a =,则121242n n n a --==,故③正确;若12a =,则数列{}n a 的前n 项和212(14)22143n n n S +⨯--==-,故④正确. 故答案为:②③④. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,考查等比数列的判定,训练了等比数列通项公式与前n 项和的求法,属于中档题.三、解答题21.(1)2nn a =;(2)2332n nn T +=-. 【分析】 (1)当2n ≥时,112211222n n a a a n --+++=-与已知条件两式相减可得2n n a =,再令1n =,计算1a 即可求解;(2)由(1)得2nn a =,所以22211n n n n a --=,再利用乘公比错位相见即可求和. 【详解】(1)数列{}n a 满足122222n n a a a n +++= 当2n ≥时,112211222n n a a a n --+++=- 两式作差有12n na =,所以2nna = 当1n =时,12a =,上式也成立所以2nn a =(2)22211n n n n a --= 则211113(21)222nn T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,231111113(21)2222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()()2311111111111111131421221221231222222222212n n n n n n T n n n ++-+⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯+++⋯+--⨯=+⨯--=-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-所以2332n nn T +=-. 【点睛】方法点睛:数列求和的方法(1)倒序相加法:如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法(2)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求;(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可相互抵消,从而求得其和;(4)分组转化法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转换法分别求和再相加减;(5)并项求和法:一个数列的前n 项和可以两两结合求解,则称之为并项求和,形如()()1nn a f n =-类型,可采用两项合并求解.22.(1)12n n a ;(2)不存在,理由见解析.【分析】(1)根据11n n n a S S ++=-以及等比数列的通项公式可求得结果;(2)利用错位相减法求出n T ,分别对1,2n n ==和3n ≥讨论等式是否成立可得答案. 【详解】(1)由121n n S S +=+①,知2n ≥时,121n n S S -=+②, ①-②得()122n n a a n +=≥,在①式中令12121212n a a a a =⇒+=+⇒=,212a a =, ∴对任意*n ∈N ,均有12n na a +=,∴{}n a 为等比数列,11122n n n a --=⨯=, (2)由(1)得12n n b n -=⋅,所以()01221122232122n n n T n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅,所以()()12212122222122n n n n T n n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅,所以()12111212222221212nn n nn n nT n n n -⋅--=++++-⋅=-⋅=--⋅-,所以(1)21nn T n =-⋅+,令()()1212021122020nnn n -⋅+=⇒-⋅=,当1n =和2n =时,等式显然不成立;当3n ≥时,方程化为()212505n n --⋅=,左边为偶数,右边等于505为奇数,等式也不成立,故不存在正整数n ,使得2021n T =成立. 【点睛】关键点点睛:利用11n n n a S S ++=-求出通项公式,根据错位相减法求出n T 是解题关键. 23.(1)()1121n a a n d n =+-=-,1112nn n b b q ;(2)()3232n n T n =+-⋅.【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,由22a S =,43a S =,求得2,2d q ==,然后利用等差数列和等比数列通项公式求解.(2)由(1)得到()1212n n c n -=-⋅,然后错位相减法求解.【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q , 因为22a S =,43a S =,所以11d q +=+,2131d q q +=++,解得2,2d q ==所以()1121n a a n d n =+-=-,1112nn n b b q ;(2)由(1)知:()1212n n c n -=-⋅,所以()0121123252...212n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅, 则()1232123252...212nn T n =⋅+⋅+⋅++-⋅, 两式相减得:()23122...2212n nn T n -=++++--⋅,()()1412121212n n n --=+--⋅-,()3322n n =-+-⋅,所以()3232nn T n =+-⋅.【点睛】方法点睛:求数列的前n 项和的方法 (1)公式法:①等差数列的前n 项和公式,()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩;(2)分组转化法:把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解.(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法:把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的,则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法:一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n =(-1)n f (n )类型,可采用两项合并求解.24.(Ⅰ)2nn a =;()112n n b n -=+⋅;(Ⅱ)证明见解析.【分析】(1)由题设求出数列{}n a 的基本量,即可确定n a ;再由1n n n b S S -=-确定n b ; (2)用错位相减法整理不等式左侧即可证明. 【详解】(1)设正项等比数列{}n a 的公比为q ,由1232a a a +=,得22q q +=解得2q 或1q =-(舍)又242nn a a =⇒=由n n S na =,得12b =2n ≥时,()()11121212n n n n n n b S S n n n ---=-=⋅--⋅=+⋅则()112n n b n -=+⋅(2)()()11112212222n n n n n n n n b n a a +++++⎛⎫==+ ⎪⋅⎝⎭设31241223341n n n n b b b bT a a a a a a a a ++=++++则()2341111134522222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()341211111341222222n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得()2341211111131112222222n n n T n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得()2111422n n T n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭得()112422n n T n +⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛:当数列{}n c 满足n n n c a b =,{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列时,数列{}n c 的前n 项求和可用错位相减法.25.选①k 的最小值为4;选②k 的最小值为4;选③k 的最小值为3; 【分析】先由条件求出11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭,得出142a b ==,若选①可得2d =,则2n a n =,从而1111n S n n =-+,由裂项相消法求出k T ,可得答案;若选②可得12a d ==,所以2n a n =,一下同选①;若选③可得43d =,从而131142n S n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭,由裂项相消法求出k T ,可得答案. 【详解】设等比数列{}n b 的公比为q ,由2138,34b b b =-= 所以18b q =,则8384q q -⨯=,解得12q =或23q =-(舍) 则1816b q ==,所以11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭则142a b ==若选① 由4143486202S a d d ⨯=+=+=,则2d = 所以2n a n =, 则212nn a a S n n n +=⨯=+ 所以()111111n S n n n n ==-++ 则1211111111122311n n n T S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭由314k k T k =>+,则3k >,由k 为正整数,则k 的最小值为4. 若选② 由332S a =,即()11323222a d a d ⨯+=+ ,可得12a d == 所以2n a n =,一下同选①.若选③ 由3423a a b -=,可得()()113238a d a d +-+=,即43d = 所以()()14222233n n n S n n n -=+⨯=+ ()1313112242n S n n n n ⎛⎫=⨯=⨯- ⎪++⎝⎭ 12111311111311111432424212n n T S S S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以93118412n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭所以9311124438k k k T ⎛⎫-+ ⎪++⎭>⎝=,即111122k k +<++,也即240k k --> 解得k >23<<,又k 为正整数,则k 的最小值为3. 【点睛】关键点睛:本题考查等差、等比数列求通项公式和等差数列的前n 项和以及用裂项相消法求和,解答本题的关键是将所要求和的数列的通项公式裂成两项的差,即1111n S n n =-+,131142n S n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭,注意裂项和的系数和求和时相抵消的项以及最后余下的项,属于中档题.26.(1)11b =,22b =,33b =;(2)证明见解析;(3)证明见解析 【分析】(1)由{}n a 是单调递增数列可得1nn a b a =即可求出;(2)设1n a k +=,讨论n k B ≤,n n B k A <<和n k A ≥可证明;(3)设{}n b 的公比为q ,且1q ≥,显然1q =时满足;1q >时,由{}n A 是递增数列,{}n B 是递减数列,且{}n B 不能无限减少可得.【详解】 (1)2n a n =,可得{}n a 是单调递增数列,1,n n n a B A a ∴==,1111a b a ∴==,2212ab a ==,3313a b a ==, (2)设1n a k +=,nn nA bB =, 若n k B ≤,则+1nn n n nk A A b b B =≥=, 若n n B k A <<,则+1nn nn A b b B ==, 若n k A ≥,则+1n n n nn A kb b B B =≥=, 综上,1(1,2,3,)n n b b n +≥=;(3)设等比数列{}n b 的公比为q ,1111a b a ==,则1n n nn A b q B -==, 由(2)可得1n n b b +≥,则1q ≥, 当1q =时,1nnA B =,即n n A B =,此时{}n a 为常数列,则存在01n =,当0n n ≥时,n a ,1n a +,2n a +是等比数列;当1q >时,{}n A 是递增数列,{}n B 是递减数列,{}n a 是由正整数组成的无穷数列,则数列{}n a 必存在最小值,即存在正整数0n ,0n a 是数列{}n a 的最小值,则当0n n ≥时,0n n B a =,此时01n n nn n n A a b q B a -===,即01n n n a a q -=,故当0n n ≥时,n a ,1n a +,2n a +是等比数列;综上,存在正整数0n ,当0n n ≥时,n a ,1n a +,2n a +是等比数列.【点睛】本题考查数列单调性的有关判断,解题的关键是正确理解数列的变化情况,清楚{}n b 的变化特点.。
新人教A版必修五第二章数列单元测试卷(带答案)
新人教A 版必修五第二章数列单元测试卷(带答案)(时间120分钟,满分150分)一、选择题(每小题5分,共计60分)1.,的一个通项公式是( )A. n a =B. n a =C. n aD. n a =2. 已知数列{}n a ,13a =,26a =,且21n n n a a a ++=-,则数列的第五项为( )A. 6B. 3-C. 12-D. 6-3. 2011是数列7,13,19,25,31,,中的第( )项.A. 332B. 333C. 334D. 3354. 在等差数列{}n a 中,若45076543=++++a a a a a ,则=+82a a ( )A.45B.75C. 180D.3005. 一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是( )A.-2B.-3C.-4D.-56. 在等差数列{a n }中,设公差为d ,若S 10=4S 5,则d a 1等于( ) A.21B.2C. 41D.47. 设数列{a n }和{b n }都是等差数列,其中a 1=25,b 1=75,且a 100+b 100=100,则数列{an +b n }的前100项之和是( )A.1000B.10000C.1100D.110008.已知等差数列{a n }的公差d =1,且a 1+a 2+a 3+…+a 98=137,那么a 2+a 4+a 6+…+a 98的值等于()A.97B.95C.93D.919.在等比数列{a n }中,a 1=1,q ∈R 且|q |≠1,若a m =a 1a 2a 3a 4a 5,则m 等于( )A.9B.10C.11D.1210. 公差不为0的等差数列{a n }中,a 2、a 3、a 6依次成等比数列,则公比等于( )A.21 B. 31 C.2 D.311. 若数列{a n }的前n 项和为S n =a n -1(a ≠0),则这个数列的特征是( )A.等比数列B.等差数列C.等比或等差数列D.非等差数列12. 等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 与Tn ,对一切自然数n ,都有n n T S =132+n n ,则55b a 等于( )A.32 B. 149 C. 3120 D. 1711 二、填空题(每小题4分,共计16分)13. 数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+3n +1,则它的通项公式为 . 14. 已知{na 1}是等差数列,且a 2=2-1,a 4=2+1,则a 10= . 15. 在等比数列中,若S 10=10,S 20=30,则S 30= .16. 数列121,241,341,4161,…的前n 项和为 . 三、解答题:17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }中,S n =m ,S m =n (m ≠n ),求S m +n .18.(本题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0.求公差d 的取值范围.19. (本题满分12分)已知等差数列{a n }中,a 1=29,S 10=S 20,问这个数列的前多少项和最大?并求此最大值.20.(本题满分12分)设a 1=5,a n +1=2a n +3(n ≥1),求{a n }的通项公式.21.(本题满分12分)求和:1+54+257+…+1523--n n 22.(本题满分14分)已知数列{a n }中,S n 是它的前n 项和,并且S n +1=4a n +2(n =1,2,…),a 1=1.(1)设b n =a n +1-2a n (n =1,2,…)求证{b n }是等比数列;(2)设c n =n n a 2(n =1,2…)求证{c n }是等差数列;(3)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式.数列单元质量检测题参考答案一、选择题1.B2.D3.D4.C5.C6.A7.B8.C9.C 10.D 11.C 12.B二、填空题13. ⎩⎨⎧≥+==22215n n n a n 14. -4772+ 15. 70 16. n n n 21222-++三、解答题17. 解析:设S n =pn 2+qnS n =pn 2+qn =m ; ①则S m =pm 2+qm =n ②①-②得:p(n 2-m 2)+q (n -m )=m -n 即p(m +n )+q =-1 (m ≠n ) ∴S m +n =p(m +n )2+q (m +n )=(m +n )[p(m +n )+q ]=-(m +n ).18. 解析:由S 12>0及S 13<0可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧〈⨯+〉⨯+021213130211121211d a d a2a 1+11d >0 24+7d >0即 又∵a 3=12,∴a 1=12-2d ∴a 1+6d <0 3+d <0∴-724<d <-3.19. 解析:设数列{a n }的公差为d∵S 10=S 20,∴10×29+2910⨯d =20×29+21920⨯d 解得d =-2∴a n =-2n +31设这个数列的前n 项和最大,a n ≥0 -2n +31≥0则需: 即a n +1≤0 -2(n +1)+31≤0∴14.5≤n ≤15.5∵n ∈N ,∴n =15∴当n =15时,S n 最大,最大值为S 15=15×29+21415⨯ (-2)=225.20. 解析:令a n =b n +k,则a n +1=b n +1+k ∴b n +1+k=2(b n +k)+3 即bn +1-2b n =k+3令k+3=0,即k=-3则an =b n -3,b n +1=2b n 这说明{b n }为等比数列,q =2 b 1=a 1-k=8,∴b n =8·2n -1=2n +2 ∴a n =2n +2-3.21. 解析:设S n =1+54+257+…+2523--n n +1523--n n ① 则51S n =51+254+357+…+1553--n n +n n 523- ② ①-②得:22. 解析:(1)∵S n +1=4a n +2 ①∴S n +2=4a n +1+2 ② ②-①得S n +2-S n +1=4a n +1-4a n (n =1,2,…)即a n +2=4a n +1-4a n , 变形,得an +2-2a n +1=2(a n +1-2a n )∵b n =a n +1-2a n (n =1,2,…)∴b n +1=2b n . 由此可知,数列{b n }是公比为2的等比数列;由S 2=a 1+a 2=4a 1+2,又a 1=1,得a 2=5故b 1=a 2-2a 1=3∴b n =3·2n -1. 将b n =3·2n -1代入,得c n +1-c n =43(n =1,2,…)由此可知,数列{cn }是公差为43的等差数列,它的首项c 1=,2121=a 311(3)(31)444n c n n =-=-∴a n =2n ·c n =(3n -1)·2n -2(n =1,2,…); 当n ≥2时,S n =4a n -1+2=(3n -4)·2n -1+2,由于S 1=a 1=1也适合于此公式, 所以所求{a n }的前n 项和公式是:S n =(3n -4)·2n -1+2.。
(好题)高中数学必修五第一章《数列》检测卷(含答案解析)(1)
一、选择题1.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项10a >,202020210a a +>,202020210a a ⋅<,则满足0n S >成立的最大正整数n 是( ) A .4039B .4040C .4041D .40422.已知数列{}n a 是等比数列,满足51184a a a =,数列{}n b 是等差数列,且88b a =,则79b b +等于( )A .24B .16C .8D .43.已知数列{}n a 为等比数列,若2312a a a ⋅=,且4a 与72a 的等差中项为54,则123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值为( ) A .5B .512C .1024D .20484.在正项等比数列{}n a 中,若3788a a a =,2105a a +=,则公比q =( ) A .122B .122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C .142D .142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立,则实数λ的取值范围为( ) A .(),1-∞B .12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,C .13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D .14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,6.已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥,且19a =,其前n 项之和为n S ,则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是( ) A .5B .6C .7D .87.已知数列1a ,21a a ,…1nn a a -,…是首项为1,公比为2的等比数列,则2log n a =( )A . (1)n n +B .(1)4n n - C .(1)2n n + D .(1)2n n - 8.已知等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,其前n 项和为n S ,若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为( ) A .1011B .910C .89D .29.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且()23n n S a n n N *=-∈,则( ) A .{}n a 为等比数列 B .{}n a 为摆动数列 C .1329n n a +=⨯-D .6236n n S n =⨯--10.已知{}n a 是等比数列,且2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=,,则24a a +=( )A .2B .3C .4D .511.正整数数列{}n a 满足:1,2(*)22,21n n n k a ka k N k a k +=⎧=∈⎨+=-⎩,则( )A .数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项B .n a 的最小值必定为1C .当n a 是奇数时,2n n a a +≥D .n a 的最小值可能为212.等差数列{}n a 中,10a >,310S S =,则当n S 取最大值时,n 的值为 ( ) A .6B .7C .6或7D .不存在二、填空题13.数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2(2)n a n n =+,则4S =___________.14.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足112n n nS a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则10S =______. 15.已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()21n n S n a =+,则数列()2121*1n n a n N a -+⎧⎫⎨⎬⎭∈⋅⎩的前n 项和n T =______. 16.在数列{a n }中,已知a 1=1,1(1)sin 2n n n a a π++-=,记S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2019=______17.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,若112a =,且122n n a a +=-,则100S =________. 18.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,422n n n S S S +++=(*n ∈N ),且12S =,则20202021a a +=______.19.对于数列{}n a ,存在x ∈R ,使得不等式()2*144n na x x n N a +≤≤-∈成立,则下列说法正确的有______.(请写出所有正确说法的序号). ①数列{}n a 为等差数列; ②数列{}n a 为等比数列; ③若12a =,则212n na -=;④若12a =,则数列{}n a 的前n 项和21223n n S +-=.20.著名的斐波那契数列:1,1,2,3,5,…,的特点是从三个数起,每一个数等于它前面两个数的和,则222212320482048a a a a a ++++是数列中的第______项.三、解答题21.已知数列{}n a 满足1*111,33().n n n a a a n ++==+∈N(1)求证:数列{}3nna 是等差数列. (2)求数列{}n a 的通项公式.(3)设数列{}n a 的前n 项和为,n S 求证:37.324n n S n >- 22.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,525S =,1a ,2a ,5a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若等差数列{}2log n b 的首项为1,公差为1,求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 23.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为653,2,40n S a S S ==+. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令2log 4n n b a =+,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T 的最大值. 24.已知数列{}n a 的首项为4. (1)若数列{}2nn a -是等差数列,且公差为2,求{}na 的通项公式.(2)在①3248a a -=且20a >,②364a =且40a >,③20212201716a a a =这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答. 问题,若{}n a 是等比数列,__________,求数列(){}31nn a -的前n 项和nS.25.已知正项等比数列{}n a ,24a =, 1232a a a +=;数列{}n b 的前n 项和n S 满足n n S na =.(Ⅰ)求n a ,n b ;(Ⅱ)证明:312412233412n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<. 26.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*224n n S a a n N =-∈,且1a ,2a ,31a-成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()()222221log log +=n n n b a a ,{}n b 的前项和为n T ,对任意*n N ∈,23n mT >恒成立,求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】由等差数列的10a >,及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列,因此可确定202020210,0a a ><,然后利用等差数列的性质求前n 项和,确定和n S 的正负.【详解】∵202020210a a ⋅<,∴2020a 和2021a 异号,又数列{}n a 是等差数列,首项10a >,∴{}n a 是递减的数列,202020210,0a a ><, 由202020210a a +>,所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>,14041404120214041()404102a a S a +==<,∴满足0n S >的最大自然数n 为4040. 故选:B . 【点睛】关键点睛:本题求满足0n S >的最大正整数n 的值,关键就是求出100n n S S +><,,时成立的n 的值,解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.2.C解析:C 【分析】利用等比数列和等差数列的性质计算. 【详解】∵数列{}n a 是等比数列,∴2511884a a a a ==,又80a ,∴84a =,又{}n b 是等差数列,∴7988228b b b a +===. 故选:C . 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列与等比数列的性质,掌握等差数列与等比数列的性质是解题关键.对正整数,,,m n p l ,若m n p l +=+,{}n a 是等差数列,则m n p l a a a a +=+,若{}n a 是等比数列,则m n p l a a a a =,特别地若2m n p +=,{}n a 是等差数列,则2m n p a a a +=,若{}n a 是等比数列,则2m n p a a a =.3.C解析:C 【分析】用1a 和q 表示出2a 和3a 代入2312a a a ⋅=求得4a ,再根据3474422a a a a q +=+,求得q ,进而求得1a 到6a 的值,即得解. 【详解】2231112a a a q a q a ⋅=⋅=42a ∴=3474452224a a a a q +=+=⨯12q ∴=,41316a a q ==故1415116()2222n n n n a ---=⨯=⨯=,所以123456116,8,4,2,1,12a a a a a a ======<, 所以数列的前4或5项的积最大,且最大值为16842=1024⨯⨯⨯. 故选:C 【点睛】结论点睛:等比数列{}n a 中,如果11,01a q ><<,求123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值,一般利用“1交界”法求解,即找到大于等于1的项,找到小于1的项,即得解.4.D解析:D 【分析】由等比数列的性质可得出关于2a 、10a 的方程组,进而可求得等比数列{}n a 的公比. 【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a q a ⋅⋅===,即62a =.22106()4a a a ∴==,又2105a a +=,解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩,0q >,11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关2a 、10a 的方程组,通过求出2a 、10a 的值,结合等比数列的基本量来进行求解.5.C解析:C 【分析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式,于是可求出n S ,再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<,利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值,可得出实数λ的取值范围. 【详解】当1n =时,1121S a =-,即1121a a =-,得11a =;当2n ≥时,由21n n S a =-,得1121n n S a --=-,两式相减得122n n n a a a -=-,得12n n a a -=, 12nn a a -∴=,所以,数列{}n a 为等比数列,且首项为1,公比为2,11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-,由10n n S S λ+-<,得()()11111112121112221212221n n n n n n n S S λ+++++---<===----, 所以,数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增,其最小项为122211213S S -==-,所以,13λ<, 因此,实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,故选C . 【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项,其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩,其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题,一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解,考查化归与转化问题,属于中等题.6.C解析:C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4(n ∈N*)且a 1=9,其前n 项和为S n ,求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|<1125的最小整数n .故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-,然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列,求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案. 【详解】对3a n+1+a n =4 变形得:3(a n+1﹣1)=﹣(a n ﹣1) 即:111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列.所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nnS n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C . 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题,其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题,属于不等式与数列的综合性问题,判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键,有一定的技巧性属于中档题目.7.D解析:D 【分析】根据题意,求得1nn a a -,再利用累乘法即可求得n a ,再结合对数运算,即可求得结果.【详解】由题设有111122(2)n n nn a n a ---=⨯=≥, 而(1)1213221121122(2)n n n n n n a aa a a n a a a -+++--=⨯⨯⨯⨯=⨯=≥,当1n =时,11a =也满足该式,故(1)22(1)n n na n -=≥,所以2(1)log 2n n n a -=, 故选:D. 【点睛】本题考查利用累乘法求数列的通项公式,涉及对数运算,属综合基础题.8.A解析:A 【分析】由题意可知,直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直,且直线0x y d +-=过圆心,可求得1a 和d 的值,然后利用等差数列的求和公式求得n S ,利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称, 则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直,直线0x y d +-=的斜率为1-,则1112a =,可得12a =, 且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0,则20d -=,可得2d =,()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=,则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+,()111111n S n n n n ∴==-++, 因此,数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:A. 【点睛】本题考查裂项求和,同时也考查了直线与圆的综合问题,以及等差数列求和公式的应用,考查计算能力,属于中等题.9.D解析:D 【分析】利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式,再求出{}n a 的前n 项的和为n S ,即可判断四个选项的正误. 【详解】因为23n n S a n =-①,当1n =时,1123a a =-,解得:13a =, 当2n ≥时,()11231n n S a n --=--②,①-②得:1223n n n a a a -=--,即123n n a a -=+,所以()1323n n a a -+=+,所以{}3n a +是以6为首项,2为首项的等比数列,所以1362n n a -+=⨯,所以1623n n a -=⨯-,所以{}n a 不是等比数列,{}n a 为递增数列,故A B 、不正确,()11263623612n n n S n n ⨯-=⨯-=⨯---,故选项C 不正确,选项D 正确.故选:D 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式,考查了构造法,考查了分组求和,属于中档题.10.A解析:A 【分析】首先根据题意,利用等比数列求和公式,得到5112345(1)101a q a a a a a q-++++==-,222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++,两式相除得到51(1)61a q q+=+,即5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+,与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.【详解】设数列{}n a 的公比为q ,且1q ≠,则5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-, 222222101521234(1)601a q qa a a a a -=-++=++, 两式相除得210551112(1)(1)(1)6111a q a q a q q q q --+÷==--+, 所以5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+,又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+, 所以242a a +=, 故选:A. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有等比数列的求和公式,这题思维的应用,属于中档题目.11.A解析:A 【分析】根据题意知,数列{}n a 中的任意一项都是正整数,利用列举法直接写出数列中的项,进而可得结论. 【详解】对于选项A ,假设:12019a =,则后面依次为:2022,1011,1014,507,510,255,258,129,132,66,33,36,18,9,12,6,3,6,3…循环; 假设:11a =,则后面依次为:4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2……循环, 综上,数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项,故选项A 正确; 由选项A 知,选项B 、D 都不对;对于选项C ,令11a =,则24a =,32a =,所以13a a <,故选项C 不正确. 故选:A. 【点睛】本题考查数列中的项数的求法,考查数列的递推公式求通项公式,属于基础题.12.C解析:C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ∵310S S = ∴()()113319913922a d a d ⨯-⨯-+=+∴160a d += ∴70a = ∵10a >∴当n S 取最大值时,n 的值为6或7 故选C二、填空题13.【分析】先化简再进行相加求解即可【详解】由知故答案为:【点睛】思路点睛:当数列的通项公式中分母是乘积形式求前n 项和时可以考虑裂项相消法即将数列拆分成两项的差的形式再进行求和 解析:1715【分析】 先化简112n a n n =-+,再进行相加求解即可. 【详解】 由21(2)12n a n n n n ==-++知,41234S a a a a =+++11111111111132435462561715⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为:1715. 【点睛】思路点睛:当数列的通项公式中,分母是乘积形式,求前n 项和n S 时,可以考虑裂项相消法,即将数列拆分成两项的差的形式,再进行求和.14.【分析】先利用求出再利用时可知是首项为1公差为1的等差数列即可求出【详解】当时解得当时整理可得是首项为1公差为1的等差数列是正项数列故答案为:【点睛】本题考查等差数列的判断考查和的关系属于中档题【分析】先利用11a S =求出1S ,再利用2n ≥时1n n n a S S -=-可知{}2n S 是首项为1,公差为1的等差数列,即可求出10S . 【详解】 当1n =时,1111112S a a a ,解得11a =,11S = 当2n ≥时,11112nn n n nS S S S S ,整理可得2211n n S S --=,2n S 是首项为1,公差为1的等差数列, 2111n S n n ,{}n a 是正项数列,n S ∴=1010S .【点睛】本题考查等差数列的判断,考查n a 和n S 的关系,属于中档题.15.【分析】根据求数列通项分析时求解数列通项得到整理可得即可求出通项公式代入数列的通项中进行列项整理最后利用裂项相消法即可求出数列的前项和【详解】∵∴∴∴即∴即故则故故答案为:【点睛】本题主要考查了利用 解析:21nn + 【分析】根据n S 求数列通项,分析2n ≥时求解数列通项得到()121n n n a n a na -=+-,整理可得()121n n a a n n n -=≥-,即可求出通项公式,代入数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的通项中进行列项整理,最后利用裂项相消法即可求出数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和.【详解】∵()21n n S n a =+,∴()1122n n S na n --=≥, ∴()()112212n n n n S S n a na n ---=+-≥, ∴()121n n n a n a na -=+-,即()11n n n a na --=, ∴()121n n a a n n n -=≥-, 即11111n n a a a n n -====-,故n a n =, 则()()212111111212122121n n a a n n n n -+⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭,故11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 故答案为:21nn +. 【点睛】本题主要考查了利用递推公式求解通项公式,考查了裂项相消法求和问题,属于中档题.16.1010【分析】推导出从而得到数列是一个以4为周期的数列由此能求出的值【详解】数列中;可以判断所以数列是一个以4为周期的数列故答案为:1010【点睛】本题考查数列的求和考查数列的周期性三角函数性质等解析:1010 【分析】推导出1(1)sin2n n n a a π++=+,从而得到4n n a a +=,数列{}n a 是一个以4为周期的数列,由此能求出2019S 的值. 【详解】数列{}n a 中,11a =,1(1)sin2n n n a a π++-=, 1(1)sin2n n n a a π++∴=+, 21sin 1a a π∴=+=,323sin1102a a π=+=-=, 43sin 20a a π=+=,545sin0112a a π=+=+=, 511a a ∴==;可以判断4n n a a +=,所以数列{}n a 是一个以4为周期的数列.201945043=⨯+,20191234122504()504(1100)1101010S a a a a a a a ∴=⨯++++++=⨯++++++=,故答案为:1010. 【点睛】本题考查数列的求和,考查数列的周期性、三角函数性质等基础知识,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17.【分析】由递推公式依次计算出数列的前几项得出数列是周期数列从而可求和【详解】由题意∴数列是周期数列且周期为4故答案为:【点睛】本题考查数列的周期性考查求周期数列的和解题时可根据递推公式依次计算数列的 解析:4256【分析】由递推公式依次计算出数列的前几项,得出数列是周期数列,从而可求和. 【详解】 由题意2241322a ==-,33a =,42a =-,512a =, ∴数列{}n a 是周期数列,且周期为4.10012341442525()2532236S a a a a ⎛⎫=+++=⨯++-= ⎪⎝⎭.故答案为:4256. 【点睛】本题考查数列的周期性,考查求周期数列的和,解题时可根据递推公式依次计算数列的项,然后归纳出周期性.18.4或0【分析】设等比数列的公比为q 化简已知得再分类讨论即得解【详解】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可直接求解由可得即∴若则此时若则此时故或故答案为:4或0【点睛】本题主要考查等比数列的通项的求解析:4或0 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,化简已知得()22121n n n n q a a a a +++++=+,再分类讨论即得解. 【详解】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可直接求解. 由422n n n S S S +++=可得422n n n n S S S S +++-=-, 即4312n n n n a a a a +++++=+, ∴()22121n n n n qa a a a +++++=+,若210n n a a +++=则1q =-,此时()121n n a -=⋅-,若210n n a a +++≠,则1q =,此时2n a =, 故202020210a a +=或202020214a a +=. 故答案为:4或0 【点睛】本题主要考查等比数列的通项的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.②③④【分析】由题意可得存在使求得值可得再由等比数列的定义通项公式及前项和逐一核对四个命题得答案【详解】解:由存在使得不等式成立得即则则数列为等比数列故①错误②正确;若则故③正确;若则数列的前项和故解析:②③④ 【分析】由题意可得,存在x ∈R ,使244x x -,求得x 值,可得14n na a +=,再由等比数列的定义、通项公式及前n 项和逐一核对四个命题得答案. 【详解】解:由存在x ∈R ,使得不等式2*144()n na xx n N a +-∈成立, 得244x x -,即2440x x -+,则2(2)0x -,2x ∴=.∴14n na a +=.则数列{}n a 为等比数列,故①错误,②正确; 若12a =,则121242n n n a --==,故③正确;若12a =,则数列{}n a 的前n 项和212(14)22143n n n S +⨯--==-,故④正确.故答案为:②③④. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,考查等比数列的判定,训练了等比数列通项公式与前n 项和的求法,属于中档题.20.【分析】由题意可得进而可得然后再利用累加法即可求出结果【详解】由题意可知所以即所以……所以又所以∴所以是数列中的第项故答案为:【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用考查学生的计算能力属于中档题 解析:2049【分析】由题意可得21n n n a a a ++=+,进而可得21211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅,然后再利用累加法,即可求出结果. 【详解】由题意可知21n n n a a a ++=+,所以()1211n n n n n a a a a a ++++⋅=⋅+,即21211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅所以220482049204820482047a a a a a ⋅=+⋅,220472048204720472046a a a a a ⋅=+⋅,……223221·a a a a a ⋅=+,所以2222048204920482047221·a a a a a a a ⋅=++⋯++, 又21a a =所以2222204820492048204721a a a a a a ⋅=++⋯++∴2222123204820492048a a a a a a ++++=.所以222212320482048a a a a a ++++是数列中的第2049项.故答案为:2049 . 【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用,考查学生的计算能力,属于中档题.三、解答题21.(1)证明见解析;(2)233nn a n ⎫⎛=-⋅ ⎪⎝⎭;(3)证明见解析. 【分析】(1)利用已知条件通分计算或者直接整理,证明11133n nn na a ++-=,即证结论; (2)利用(1)求得数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,即求得{}n a 的通项公式;(3)结合(2)的结果,利用错位相减法求得n S ,并计算整理3n n S ,根据7043n>⨯即证得结论. 【详解】解:(1)解法1:由()1*133n n n a a n N ++=+∈,得111111333313333n n n n n n nn n n n a a a a a a ++++++-+--===. 又11133a =,故数列3n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以13为首项,以1为公差的等差数列. 解法2:由()1*133n n n a a n N ++=+∈,得11133n nn n aa ++=+,即11133n n n na a ++-=. 又11133a =,故数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以13为首项,以1为公差的等差数列. (2)由(1)得()111133n n a n =+-⨯,*N n ∈, 即233n na n =-,故233n n a n ⎫⎛=-⋅ ⎪⎝⎭; (3)由(2)可知()121222213231333333n n n S n n -⎫⎫⎫⎛⎛⎡⎤⎛=-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+--⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎝⎣⎦⎝⎭⎭⎭①()2312222313231333333n n n S n n +⎫⎫⎫⎛⎛⎡⎤⎛=-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+--⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎝⎣⎦⎝⎭⎭⎭② 由①②得1112397723133262n n n n S n n +++-⎫⎫⎛⎛=-⨯--=-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭ 故17732124n n n S +⎫⎛=-⨯+⎪⎝⎭,从而1737377372123343244324n n n n n n n S n n +⎫⎛-⨯ ⎪⎫⎛⎝⎭=+=-+>- ⎪⨯⨯⎝⎭. 【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)公式法:利用等差数列和等比数列前n 项和公式进行计算即可;(2)倒序相加法:如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法;(3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求;(4)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可相互抵消,从而求得其和;(5)分组转化法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转换法分别求和再相加减;(6)并项求和法:一个数列的前n 项和可以两两结合求解,则称之为并项求和,形如()()1nn a f n =-类型,可采用两项合并求解.22.(1)21n a n =-;(2)()12326n n T n +=-⨯+.【分析】(1)由等差数列的前n 项和公式,等比数列的性质列出关于1a 和d 的方程组,解方程组后可得通项公式n a ;(2)由等差数列通项公式求得2log n b 后得n b ,然后由错位相减法求得和n T . 【详解】(1)设{}n a 公差为d ,则()()11211154525122124n a d a a n d a d a a d ⨯⎧+==⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨=⎩⎪+=+⎩. (2)由题意2log 11(1)n b n n =+⨯-=,2n n b ∴=()2323252212n n T n =+⨯+⨯++-⨯,(1) ()2341223252212n n T n +=+⨯+⨯++-⨯,(2)(1)-(2)得:2312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯118(12)2(21)212n n n -+-=+--⨯-,()12326n n T n +=-⨯+.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式,错位相减法求和.数列求和的常用方法: 设数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,(1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和; (2)错位相减法:数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法;(3)裂项相消法;数列1{}n n ka a +(k 为常数,0n a ≠)的前n 项和用裂项相消法; (4)分组(并项)求和法:数列{}n n pa qb +用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法;(5)倒序相加法:满足m n m a a A -+=(A 为常数)的数列,需用倒序相加法求和.23.(1)1322nn a -=;(2)最大值为64.【分析】(1)已知条件用1a 和公比q 表示后解得1,a q ,得通项公式;(2)由(1)求得n b ,由0n b ≥求得n T 最大时的n 值,再计算出最大的n T . 【详解】解:(1)设数列{}n a 的公比为(0)q q >,由62a =,有512a q =①,又由5340S S =+,有4540a a +=,得341140a q a q +=②,①÷②有21120q q =+,解得14q =或15q =-(舍去), 由14q =,可求得1112a =,有111113211224n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,故数列{}n a 的通项公式为1322nn a -=; (2)1322log 24172nn b n -=+=-, 若0n b ,可得172n ,可得当18n 且*n ∈N 时0n b >;当9n 且*n ∈N 时0n b <, 故8T 最大,又由115b =,可得887158(2)642T ⨯=⨯+⨯-=, 故n T 的最大值为64. 【点睛】思路点睛:本题考查求等比数列通项公式,求等差数列前n 项和最大值,求等差数列前n 项和的最大值方法:数列{}n b 是等差数列,前n 项和为n T , (1)求出前n 项和n T 的表达式,利用二次函数的性质求得最大值;(2)解不等式0n b ≥,不等式的解集中最大的整数n 就是使得n T 最大的n 值,由此可计算出最大的n T (注意n b =0时,1n n T T -=). 24.(1)22n n a n =+;(2)()132483n n n S +-+=【分析】(1)求出{}2nn a -首项,即可求出{}2n na-通项公式,得出{}n a 的通项公式;(2)设出公比,建立关系求出公比,再利用错位相减法即可求出n S . 【详解】解:(1)因为14a =,所以122a -=, 因为数列{}2nn a -是等差数列,且公差为2,所以()22212nn a n n -=+-=,则22n n a n =+.(2)选①:设公比为q ,由3248a a -=,得24448qq -=,解得4q =或3-,因为20a >,所以4q =. 故4nn a =.()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯, ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯,两式相减得()()231383444314n n nS n +-=++++--,即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--,故()132483n nn S +-+=. 选②:设公比为q ,由364a =,得2464q=,解得4q =±,因为20a >,所以4q =. 故4nn a =.()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯, ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯,两式相减得()()231383444314n n nS n +-=++++--,即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--,故()132483n nn S +-+=. 选③:设公比为q ,由20212201716a a a =,得20211201820181664a a a a ==,则364q =,所以4q =.故4nn a =.()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯, ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯,两式相减得()()231383444314n n nS n +-=++++--,即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--,故()132483n nn S +-+=. 【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法可直接求解;(2)对于{}n n a b 结构,其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,用错位相减法求和; (3)对于{}+n n a b 结构,利用分组求和法; (4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构,其中{}n a 是等差数列,公差为d ,则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用裂项相消法求和. 25.(Ⅰ)2nn a =;()112n n b n -=+⋅;(Ⅱ)证明见解析.【分析】(1)由题设求出数列{}n a 的基本量,即可确定n a ;再由1n n n b S S -=-确定n b ; (2)用错位相减法整理不等式左侧即可证明. 【详解】(1)设正项等比数列{}n a 的公比为q ,由1232a a a +=,得22q q +=解得2q 或1q =-(舍)又242nn a a =⇒=由n n S na =,得12b =2n ≥时,()()11121212n n n n n n b S S n n n ---=-=⋅--⋅=+⋅则()112n n b n -=+⋅(2)()()11112212222n n n n n n n n b n a a +++++⎛⎫==+ ⎪⋅⎝⎭设31241223341n n n n b b b bT a a a a a a a a ++=++++则()2341111134522222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()341211111341222222n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得()2341211111131112222222n n n T n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得()2111422n n T n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭得()112422n n T n +⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛:当数列{}n c 满足n n n c a b =,{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列时,数列{}n c 的前n 项求和可用错位相减法. 26.(1)12n n a ;(2)233m <. 【分析】(1)根据题设中的递推关系有12n n a a -=,算出1a 后可求{}n a 的通项. (2)利用裂项相消法可求n T ,求出n T 的最小值后可得m 的取值范围. 【详解】(1)因为()*224n n S a a n N=-∈,故11224n n Sa a --=-,所以1244n n n a a a -=-即12n n a a -=,其中2n ≥,所以322a a =且212a a =, 因为1a ,2a ,31a -成等差数列,故21321a a a =+-即111441a a a =+-,故11a =且10a ≠,故0n a ≠,故12nn a a -=即{}n a 为等比数列且公比为2,故12n na .(2)()()()()2222211111log log 212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭,所以1111111111213352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 因为0n b >,故{}n T 为增数列,故()1min 13n T T ==,故1323m>即233m <. 【点睛】方法点睛:数列求和关键看通项的结构形式,如果通项是等差数列与等比数列的和,则用分组求和法;如果通项是等差数列与等比数列的乘积,则用错位相减法;如果通项可以拆成一个数列连续两项的差,那么用裂项相消法;如果通项的符号有规律的出现,则用并项求和法.。
(好题)高中数学必修五第一章《数列》检测题(含答案解析)
一、选择题1.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项10a >,202020210a a +>,202020210a a ⋅<,则满足0n S >成立的最大正整数n 是( ) A .4039B .4040C .4041D .40422.已知数列{}n a 满足11a =,+121nn n a a a =+,则数列{}1n n a a +的前n 项和n T =( ) A .21nn - B .21nn + C .221nn + D .42nn + 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,对任意的*n N ∈有2233n n S a =-,且112k S <<,则k 的值为( ) A .2或4B .2C .3或4D .64.已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-,则前n 项和n S 的最小值为( ) A .-784B .-368C .-389D .-3925.已知数列{}n a 中,13n n a S +=,则下列关于{}n a 的说法正确的是( ) A .一定为等差数列 B .一定为等比数列C .可能为等差数列,但不会为等比数列D .可能为等比数列,但不会为等差数列6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21n n S a =-,则66S a =( ) A .6332B .3116C .12364 D .1271287.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若数列{}12n S a -也为等比数列,则43a a =( ). A .2B .1C .32D .128.已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=,若函数2xy x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯,则()1nii i xy =+=∑( )A .0B .nC .2nD .3n9.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且()*2n n S a n n N =+∈,则{}na 的通项公式为na=( ) A .23n -B .23n -C .12n -D .12n -10.对于数列{}n a ,定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”,现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则20202020S=( ) A .2019B .2020C .2021D .202211.若a ,b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点,a ,b ,2-这三个数适当排序后可成等比数列,点(),2a b 在直线2100x y +-=上,则p q +的值等于( ) A .6B .7C .8D .912.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,523S =,360n S =,5183n S -=,则n =( ) A .18B .19C .20D .21二、填空题13.数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2(2)n a n n =+,则4S =___________.14.设数列{}n a 是等比数列,公比2q,n S 为{}n a 的前n 项和,记219n nn n S S T a +-=(*n N ∈),则数列{}n T 最大项的值为__________. 15.已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈,都有m n m n a a a ++=成立,72a π=,函数()f x =2sin 24cos 2xx +,记()n n y f a =,则数列{}n y 的前13项和为______. 16.已知等比数列{}n a 中,21a =,58a =-,则{}n a 的前6项和为__________. 17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n ﹣1是a n 和S n 的等比中项,设1(1)(21)n n n b n a +=-⋅+,则数列{b n }的前100项和为_____.18.设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11n n n n S S S S ++=⋅-()n N *∈,且11a =,则n a =_____.19.已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ,n T ,且0n a >,22n n n S a a =+,1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++,对任意的*n N ∈,n k T >,恒成立,则k 的最小值是__________.20.若数列{}n a 满足:15n n a a n ++=,11a =,则2020a =________________.三、解答题21.设数列{}n a 满足()121*4n n a n N a +=-∈-,其中11a =.(1)证明:112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列; (2)令32n n n a b a -=-,设数列(){}21-⋅n n b 的前n 项和为n S ,求使2021n S <成立的最大自然数n 的值. 22.在①2*31,4(n S n kn n N k =-+∈为常数),②*1(,n n a a d n N d +=+∈为常数),③*1,,(0n n a qa q n N q +=>∈为常数)这三个条件中任选一个,补充到下面问题中,若问题中的数列存在,求数列()1*1n n n a N a +⎧⎫⎨⎭∈⎬⎩的前10项和;若问题中的数列不存在,说明理由.问题:是否存在数列{}*()∈n a n N ,其前n 项和为n S ,且131,4,a a ==___________?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.23.在数列{}n a 中,已知12a =,且12(1)(1)n n na n a n n +=+-+,*n ∈N . (1)设1nn a b n=-,求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .24.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且233n n S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设3log n n b a =,11n n n c b b +=,求数列{}n c 的前n 项和n T . 25.已知数列{}n a 的首项为4. (1)若数列{}2nn a -是等差数列,且公差为2,求{}na 的通项公式.(2)在①3248a a -=且20a >,②364a =且40a >,③20212201716a a a =这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答. 问题,若{}n a 是等比数列,__________,求数列(){}31nn a -的前n 项和nS.26.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*224n n S a a n N =-∈,且1a ,2a ,31a-成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设()()222221log log +=n n n b a a ,{}n b 的前项和为n T ,对任意*n N ∈,23n mT >恒成立,求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】由等差数列的10a >,及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列,因此可确定202020210,0a a ><,然后利用等差数列的性质求前n 项和,确定和n S 的正负.【详解】∵202020210a a ⋅<,∴2020a 和2021a 异号,又数列{}n a 是等差数列,首项10a >,∴{}n a 是递减的数列,202020210,0a a ><, 由202020210a a +>,所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>,14041404120214041()404102a a S a +==<,∴满足0n S >的最大自然数n 为4040. 故选:B . 【点睛】关键点睛:本题求满足0n S >的最大正整数n 的值,关键就是求出100n n S S +><,,时成立的n 的值,解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.2.B解析:B 【分析】利用倒数法求出数列{}n a 的通项公式,进而利用裂项相消法可求得n T . 【详解】已知数列{}n a 满足11a =,+121nn n a a a =+, 在等式+121n n n a a a =+两边同时取倒数得112112n n n n a a a a ++==+,1112n n a a +∴-=, 所以,数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,且首项为111a ,公差为2,则()112121n n n a =+-=-,121n a n ∴=-,()()11111212122121n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭,因此,1111111111111112323525722121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21n n =+. 故选:B. 【点睛】使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.3.A解析:A 【分析】利用递推关系式求出{}n a 的通项公式,再求出{}n a 的前n 项和为n S ,即可求出k 的值. 【详解】对任意的*n N ∈有2233n n S a =-, 可得:1112233a S a ==- ,解得:1=2a -, 当2n ≥时:2233n n S a =-,112233n n S a --=-两式相减得112233n n n n n S S a a a ---=-=,即12n n a a -=-,所以{}n a 是首项为2-,公比为2-的等比数列,所以()2nn a =-,()()()212212123nn nS ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--, 所以211(2)123kk S ⎡⎤<=---<⎣⎦, 所以5(219)2k <-<, 当2k =和4k =时不等式成立,所以k 的值为2或4, 故选:A. 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式,考查了等比数列前n 项和公式,属于中档题.4.D解析:D【解析】令3500n -≥,求得16n >,即数列从第17项开始为正数,前16项为负数,故数列的前16项的和最小,1612,47a a =-=-,()16472163922S --⨯∴==-,故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种:①将前n 项和表示成关于n 的二次函数,n S 2An Bn =+,当2B n A =-时有最大值(若2B n A=-不是整数,n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大);②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.5.C解析:C 【分析】根据13n n a S +=得14n n S S +=,分类讨论当10S =和10S ≠两种情况分析得数列{}n a 可能为等差数列,但不会为等比数列. 【详解】解:13n n a S +=,13n n n S S S +∴=-, 14n n S S +∴=,若10S =,则数列{}n a 为等差数列;若10S ≠,则数列{}n S 为首项为1S ,公比为4的等比数列,114n n S S -∴=⋅,此时21134n n n n a S S S -==-⋅﹣(2n ≥),即数列从第二项起,后面的项组成等比数列.综上,数列{}n a 可能为等差数列,但不会为等比数列. 故选:C. 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的判断,考查学生分析解决问题的能力,正确分类讨论是关键.6.A解析:A 【解析】由题意得,111121,1,n n n a a a a S S -=-==- ,则21nn S =- ,即666332S a = ,故选A. 7.D解析:D 【分析】分公比是否为1进行讨论,再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解:设等比数列{}n a 的公比为q ,当1q =时,()1111222n S a na a n a -=-=-, 则{}12n S a -不为等比数列,舍去, 当1q ≠时,()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----, 为了符合题意,需11201a a q -=-,得12q =,故4312a q a ==. 故选D . 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式,定义,考查逻辑推理能力以及运算求解能力,属于中档题.8.D解析:D 【分析】由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称,函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称,然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=,∴()f x 的图像关于点()2,1对称,而函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称, 设123n x x x x >>>>121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+==⨯=令121nin i xx x x ==++∑,则111ni n n i x x x x -==++∑,()()()1211124ni n n n i x x x x x x x n -==++++∴+=∑,12ni i x n =∴=∑令121nin i y y yy ==++∑,则111ni n n i y y y y -==++∑,()()()1211122n i n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑,1ni i n y =∴=∑()13ni i i x y n =+=∴∑,故选:D 【点睛】本题考查了函数的对称性应用,考查了倒序相加法求和,解题的关键是找出中心对称点,属于中档题.9.C解析:C 【分析】由()*2n nS a n n N =+∈结合11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出1a 和121n n a a -=-,通过构造法即可求出通项公式. 【详解】当1n =时,11121a S a ==+,解得1 1a =-;当2n ≥时,122(1)n n n a a n a n -=+---.∴121n n a a -=-,∴()1121n n a a --=-.∵112a -=-,∴12nn a -=-, ∴12nn a =-.故选:C . 【点睛】本题考查了数列通项公式的求解,考查了,n n a S 的递推关系求通项公式,考查了等比数列的通项公式,考查了构造法求数列的通项公式,属于中档题.10.D解析:D 【分析】 根据11233n nn a a a T n-+++=,且3nn T =,得到112333n n n a a a n -+++=⋅,然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+,再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=,且3nn T =,∴112333n n n a a a n -+++=⋅,当2n ≥时,有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅,两式相减可得:()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+(2n ≥). 当1n =时,13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项,以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选:D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用,属于中档题.11.D解析:D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>,因此2-只能是等比数列的中间项,从而得4ab =,由点(),2a b 在直线2100x y +-=上,得5a b +=,这样可得,p q 值.从而得出结论. 【详解】∵a ,b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点,∴,a b p ab q +==,∴0,0a b >>,而a ,b ,2-这三个数适当排序后可成等比数列,只能是2-是,a b 的等比中项,即4ab =,点(),2a b 在直线2100x y +-=上,则22100a b +-=,得5a b +=, 由45ab a b =⎧⎨+=⎩,∴5,4p q ==,9p q +=.故选:D . 【点睛】本题考查函数零点的概念,考查等比数列的定义,考查韦达定理,关键是由题意分析出0,0a b >>.12.A解析:A 【分析】根据题意,由等差数列的前n 项和公式可得()155355232a a S a+⨯===,变形可得3235a =,又由5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-,变形可得21775n a -=,结合等差数列的性质分析可得答案. 【详解】根据题意,等差数列{}n a 中,523S =,则()155355232a a S a+⨯===,变形可得3235a =, 又由360n S =,5183n S -=,则5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-,则21775n a -=, 又由360n S =,则()()()13223177203602210n n n a a n a a n n S n -+⨯+⨯+⨯=====,解可得18n =. 故选:A. 【点睛】本题考查利用等差数列求和公式求参数,同时也考查了等差数列基本性质的应用,考查计算能力,属于中等题.二、填空题13.【分析】先化简再进行相加求解即可【详解】由知故答案为:【点睛】思路点睛:当数列的通项公式中分母是乘积形式求前n 项和时可以考虑裂项相消法即将数列拆分成两项的差的形式再进行求和 解析:1715【分析】 先化简112n a n n =-+,再进行相加求解即可. 【详解】 由21(2)12n a n n n n ==-++知,41234S a a a a =+++11111111111132435462561715⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为:1715. 【点睛】思路点睛:当数列的通项公式中,分母是乘积形式,求前n 项和n S 时,可以考虑裂项相消法,即将数列拆分成两项的差的形式,再进行求和.14.【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为 解析:3【解析】数列{}n a 是等比数列,公比q 2=,n S 为{}n a 的前n 项和,219()n n n n S S T n N a *+-=∈ ,2111(12)(12)9812129222n nn nn na a T a --⋅---∴==--⋅822n n +≥=, 当且仅当822nn =时取等号, 又,1n N n *∈=或2 时,n T 取最大值19243T =--= .∴ 数列{}n T 最大项的值为3 .故答案为3 .15.【分析】由题意可得为常数可得数列为等差数列求得的图象关于点对称运用等差数列中下标公式和等差中项的性质计算可得所求和【详解】解:对都有成立可令即有为常数可得数列为等差数列函数由可得的图象关于点对称可得 解析:26【分析】由题意可得11n n a a a +-=,为常数,可得数列{}n a 为等差数列,求得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称,运用等差数列中下标公式和等差中项的性质,计算可得所求和. 【详解】 解:对*,m n ∀∈N ,都有m n m n a a a ++=成立,可令1m =即有11n n a a a +-=,为常数, 可得数列{}n a 为等差数列, 函数2()sin 24cos 2xf x x =+sin 22(1cos )x x =++, 由()()()sin 221cos f x fx x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=,可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称, 113212a a a a +=+=6872a a a π=+==,∴()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==,∴可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=.故答案为26. 【点睛】本题考查等差数列的性质,以及函数的对称性及运用,化简运算能力,属于中档题.16.【解析】因为已知等比数列中所以则故答案为【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式属于中档题等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型数列中的五个基本量一般可以知二求三通过列方程组所求问题可以迎刃 解析:212【解析】因为已知等比数列{}n a 中,所以21a =,58a =-,3528,2a q q a ==-=-,则()()()66121611211212,21122a q a a S q q⎡⎤----⎣⎦==-===---,故答案为212. 【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式,属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型,数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ,一般可以“知二求三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式,并灵活应用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程.17.【分析】利用等比中项列方程然后求得再利用裂项求和法求得数列的前项和【详解】依题意当时解得当时解得当时解得以此类推猜想下用数学归纳法证明:当时成立假设当时当时所以假设成立所以对任意(证毕)所以所以数列解析:100101【分析】利用等比中项列方程,然后求得n a ,再利用裂项求和法求得数列{}n b 的前100项和. 【详解】依题意()21n n n S a S -=⋅,当1n =时,()22111a a -=,解得111212a ==⨯, 当2n =时,()()2122121a a a a a +-=⋅+,解得211623a ==⨯, 当3n =时,()()212331231a a a a a a a ++-=⋅++,解得3111234a ==⨯, 以此类推,猜想()11111n a n n n n ==-++,1111111223111n n S n n n n 1=-+-++-=-=+++. 下用数学归纳法证明: 当1n =时,1112S a ==成立.假设当n k =时,1k k S k =+ 当1n k =+时,()21111k k k S a S +++-=⋅,()()21111k k k k S S S S +++-=-⋅,22111121k k k k k S S S S S ++++-+=-⋅,1121k k k S S S ++-+=-⋅,()121k k S S +⋅-=-,1122111k k k k S S k k ++--⎛⎫⋅-=⋅=- ⎪++⎝⎭,()111211k k k S k k +++==+++,所以假设成立. 所以对任意*N n ∈,()11111n a n n n n ==-++,1n n S n =+.(证毕) 所以()11111(1)(21)(1)(21)(1)111n n n n n b n a n n n n n +++⎛⎫=-⋅+⋅-⋅+⎪==+⋅-⋅+ +⎝⎭,所以数列{}n b 的前100项和为111111111001122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++--+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为:100101【点睛】本小题主要考查等比中项的性质,考查裂项求和法,属于中档题.18.【分析】由两本同除以可构造是等差数列由此可求出再利用即可求得【详解】由得是以为首相1为公差的等差数列当时故答案为:【点睛】本题主要考查了由数列的递推关系式求数列的通项公式是常考题型属于中档题解析:1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩【分析】由11n n n n S S S S ++=⋅-,两本同除以1n n S S +⋅,可构造1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,由此可求出a 1n S n =,再利用1n n n a S S -=-,即可求得n a 【详解】由11n n n n S S S S ++=⋅-,得1111n nS S +-= ()n N *∈ 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以11111S a ==为首相,1为公差的等差数列,11(1)1nn n S ∴=+-⨯=, 1n S n∴=, 当2n ≥ 时,11111(1)n n n a S S n n n n -=-=-=---, 1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩故答案为:1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩【点睛】本题主要考查了由数列的递推关系式,求数列的通项公式,是常考题型,属于中档题.19.【分析】首先利用与的关系式求数列的通项公式再利用裂项相消法求再利用的最值求的最小值【详解】当时解得或当两式相减后可得整理后得:所以数列是公差为1的等差数列即数列单调递增当时对任意的恒成立即的最小值是解析:13【分析】首先利用n S 与n a 的关系式,求数列{}n a 的通项公式,再利用裂项相消法求n T ,再利用n T 的最值求k 的最小值. 【详解】当1n =时,2111122S a a a =+=,解得10a =或11a =,0n a >,11a ∴=,当2n ≥,2211122n n nn n n S a a S a a ---⎧=+⎨=+⎩,两式相减后可得()()()221112n n n n n n S S a a a a ----=-+-,整理后得:()()1110n n n n a a a a --+--=,所以11n n a a --=,∴数列{}n a 是公差为1的等差数列,即n a n =,()()112111221221n n n n n n b n n n n +++==-++++++,2231111111...21222223221n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112121n n +=-+++ 111321n n +=-++, 数列{}n T 单调递增,当n →+∞时,13n T → 对任意的*n N ∈,n k T >,恒成立,()max n k T ∴>,即13k ≥,k 的最小值是13.故答案为:13【点睛】易错点睛:本题主要考查函数与数列的综合问题,属于难题.解决该问题应该注意的事项: (1)数列是一类特殊的函数,它的图象是一群孤立的点;(2)转化以函数为背景的条件时,应该注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是很容易被忽视的问题;(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时,应准确构造相应的函数,注意数列中相关限制条件的转化.20.【分析】根据写出相减以后可得可以判断出数列是等差数列然后判断出首项和公差即可得【详解】两式相减得故是首项为公差为的等差数列的第项故故答案为:【点睛】要注意等差数列的概念中的从第项起与同一个常数的重要解析:5049. 【分析】根据15n n a a n ++=写出155n n a a n -+=-,相减以后可得115n n a a +--=,可以判断出数列{}2n a 是等差数列,然后判断出首项和公差,即可得2020a . 【详解】11555n n n n a a n a a n +-+=⇒+=-.两式相减,得115n n a a +--=.12254a a a +=⇒=.故2020a 是首项为4,公差为5的等差数列的第1010项, 故()202041010155049a =+-⨯=. 故答案为:5049. 【点睛】要注意等差数列的概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性,巧妙运用等差数列的性质,可化繁为简;如果1n n a a +-是常数,则{}n a 是等差数列,如果11n n a a +--是常数,则数列中的奇数项或者偶数项为等差数列,所以需要注意等差数列定义的推广应用.三、解答题21.(1)证明见解析;(2)最大自然数6n =. 【分析】(1)根据题中条件,可得1112n a +--的表达式,根据等比数列的定义,即可得证;(2)由(1)可得1122n n a -=-,则可得2n n b =,根据错位相减求和法,可求得n S 的表达式,根据n S 的单调性,代入数值,分析即可得答案. 【详解】解:(1)∵()1621*44n n n n a a n N a a +-=-=∈--, ∴()()1116323346312311122162262822224n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++----⎛⎫----+--======- ⎪-----+----⎝⎭--即11122112n n a a +--=--, ∴112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--,公比为2的等比数列.(2)由(1)知,1122n n a -=-, 即321112222n n n n n n n a a b a a a ---==-==---, ∴()()21212-⋅=-⋅nn n b n ,()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅,① ()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅,②①减②得()()()112311421222222122221212n nn n n S n n +++--=⋅++++--⋅=+⋅--⋅-()13226n n +=-⋅-.∴()12326n n S n +=-⋅+.∴()()()21112122322210++++-=-⋅--⋅=+>n n n n n S S n n n ,∴n S .单调递增.∵7692611582021S =⨯+=<,87112628222021S =⨯+=>.故使2021n S <成立的最大自然数6n =. 【点睛】解题的关键是根据所给形式,进行配凑和整理,根据等比数列定义,即可得证,求和常用的方法有:①公式法,②倒序相加法,③裂项相消法,④错位相减法等,需熟练掌握. 22.答案见解析 【分析】选择①,由n S 求出1a 和3a ,常数k 不存在,数列不存在;选择②,得数列为等差数列,求出通项公式n a ,用裂项相消法结果; 选择③,得数列为等比数列,从而11{}n n a a +也是等比数列,由等比数列前n 项和公式可得结论. 【详解】解.如果选择①,由11332,,a S a S S =⎧⎨=-⎩即31142743324k k k ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩解得3414k k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩该方程组无解, 所以该数列不存在.如果选择*1,(n n a a d n N d +=+∈②为常数),即数列{}n a 为等差数列,由131,4==a a ,可得公差31322a a d -==, 所以3122n a n =-所以12231011122310111112111111538a a a a a a a a a a a a ⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪⎝⎭ 如果选择*1(0,,n n a qa q n N q +=>∈③为常数),即数列{}n a 为等比数列,由131,4==a a,可得公比2q ==,所以11114(2)1n n n n n a a a a +-÷=≥, 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12,公比为14的等比数列,所以其前10项和为1021134⎛-⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛:本题考查由前n 项和n S 求通项公式n a ,解题时要注意1(2)n n n a S S n -=-≥,而11a S =,是两种不同的求法,如果要求通项公式,注意最后的结论能否统一,否则写成分段函数形式. 23.(1)12n n b -=;(2)22(1)22nn n n T n ++=-⋅+. 【分析】(1)由定义证明数列{}n b 是等比数列,得出数列{}n b 的通项公式;(2)由{}n b 的通项公式求出n a ,再由错位相减法以及分组求出法得出数列{}n a 的前n 项和n T . 【详解】解:(1)因为12(1)(1)n n na n a n n +=+-+,所以1211n n a an n+=⋅-+ 所以11211n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭,又1111a -=所以{}n b 是首项为1,公比为2的等比数列,所以12n nb -=.(2)由(1)知,()()111212n n n n n a b n n n --=+⋅=+=⋅+⋅所以()21(1)11223222n n n n T n -+=⨯+⨯+⨯++⋅+设211122322n n S n -=⨯+⨯+⨯++⋅① 232S 1222322n n n =⨯+⨯+⨯++⋅②①-②得211212222?212nn nn n S n n ---=++++-⋅=--所以(1)21n n S n =-⋅+所以22(1)22nn n n T n ++=-⋅+. 【点睛】关键点睛:在第二问中,对于求{}n a 的前n 项和,关键是利用错位相减法结合分组求和得出n T .24.(1)3nn a =;(2)1n n T n =+. 【分析】(1)令1n =计算1a ,当2n ≥时,利用1222n n n a S S -=-可得{}n a 是等比数列,即可求解;(2)由{}n a 的通项公式可得{}n b 的通项,进而可得{}n c 的通项,利用裂项求和即可求解. 【详解】(1)当1n =时,1112233a S a ==-,13a ∴= 当2n ≥时,()()112223333n n n n n a S S a a --=-=--- 即13nn a a -=()2n ≥, ∴数列{}n a 为以3为首项,3为公比的等比数列.1333n n n a -∴=⨯=(2).由3log n n b a =,得3log 3nn b n ==则()1111111n n n c b b n n n n +===-++, 11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++. 【点睛】方法点睛:数列求和的方法(1)倒序相加法:如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法;(2)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求;(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可相互抵消,从而求得其和;(4)分组转化法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转换法分别求和再相加减;(5)并项求和法:一个数列的前n 项和可以两两结合求解,则称之为并项求和,形如()()1nn a f n =-类型,可采用两项合并求解.25.(1)22nn a n =+;(2)()132483n n n S +-+=【分析】 (1)求出{}2nn a -首项,即可求出{}2n na-通项公式,得出{}n a 的通项公式;(2)设出公比,建立关系求出公比,再利用错位相减法即可求出n S . 【详解】解:(1)因为14a =,所以122a -=, 因为数列{}2nn a -是等差数列,且公差为2,所以()22212nn a n n -=+-=,则22n n a n =+.(2)选①:设公比为q ,由3248a a -=,得24448qq -=,解得4q =或3-,因为20a >,所以4q =. 故4nn a =.()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯, ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯,两式相减得()()231383444314n n nS n +-=++++--,即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--,故()132483n nn S +-+=. 选②:设公比为q ,由364a =,得2464q=,解得4q =±,因为20a >,所以4q =. 故4nn a =.()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯, ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯,两式相减得()()231383444314n n nS n +-=++++--,即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--,故()132483n nn S +-+=. 选③:设公比为q ,由20212201716a a a =,得20211201820181664a a a a ==,则364q =,所以4q =.故4nn a =. ()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯, ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯, 两式相减得()()231383444314n n n S n +-=++++--, 即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--, 故()132483n n n S +-+=. 【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法可直接求解;(2)对于{}n n a b 结构,其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,用错位相减法求和; (3)对于{}+n n a b 结构,利用分组求和法;(4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构,其中{}n a 是等差数列,公差为d ,则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用裂项相消法求和. 26.(1)12n n a ;(2)233m <. 【分析】(1)根据题设中的递推关系有12n n a a -=,算出1a 后可求{}n a 的通项.(2)利用裂项相消法可求n T ,求出n T 的最小值后可得m 的取值范围.【详解】(1)因为()*224n n S a a n N =-∈,故11224n n S a a --=-,所以1244n n n a a a -=-即12n n a a -=,其中2n ≥,所以322a a =且212a a =, 因为1a ,2a ,31a -成等差数列,故21321a a a =+-即111441a a a =+-,故11a =且10a ≠,故0n a ≠,故12n n a a -=即{}n a 为等比数列且公比为2,故12n n a . (2)()()()()2222211111log log 212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭,所以1111111111213352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 因为0n b >,故{}n T 为增数列,故()1min 13n T T ==,故1323m >即233m <. 【点睛】 方法点睛:数列求和关键看通项的结构形式,如果通项是等差数列与等比数列的和,则用分组求和法;如果通项是等差数列与等比数列的乘积,则用错位相减法;如果通项可以拆成一个数列连续两项的差,那么用裂项相消法;如果通项的符号有规律的出现,则用并项求和法.。
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数列单元测试题命题人:张晓光一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。
)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是( )A.12B .1C .2D .3 2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若8a 2+a 5=0,则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3 C.a n +1a n D.S n +1S n3.设数列{a n }满足a 1=0,a n +a n +1=2,则a 2011的值为( ) A .2 B .1 C .0 D .-2 4.已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *)且a 2+a 4+a 6=9,则log 13(a 5+a 7+a 9)的值是( )A .-5B .-15C .5 D.155.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3,则使得a nb n为正偶数时,n 的值可以是( )A .1B .2C .5D .3或116.各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1,且a 2,12a 3,a 1成等差数列,则a 3+a 4a 4+a 5的值为( )A.1-52B.5+12C.5-12D.5+12或5-127.已知数列{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且它们的前n 项和S n 有最大值,则使得S n >0的最大值n 为( )A .11B .19C .20D .218.等比数列{a n }中,a 1=512,公比q =-12,用Πn 表示它的前n 项之积:Πn =a 1·a 2·…·a n ,则Πn 中最大的是( )A .Π11B .Π10C .Π9D .Π89.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,S 3=a 5,a m =2011,则m =( ) A .1004 B .1005 C .1006 D .100710.已知数列{a n }的通项公式为a n =6n -4,数列{b n }的通项公式为b n =2n ,则在数列{a n }的前100项中与数列{b n }中相同的项有( )A .50项B .34项C .6项D .5项 二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把正确答案填在题中横线上)11.已知数列{a n }满足:a n +1=1-1a n ,a 1=2,记数列{a n }的前n 项之积为P n ,则P 2011=________.12.秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n },已知a 1=1,a 2=2,且a n +2-a n =1+(-1)n (n ∈N *),则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人.13.已知等比数列{a n }中,各项都是正数,且a 1,12a 3,2a 2成等差数列,则a 3+a 10a 1+a 8=________.14.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,15.数列{a n }中,a 1=1,a n 、a n +1是方程x 2-(2n +1)x +1b n=0的两个根,则数列{b n }的前n 项和S n =________.三、解答题(本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n =pn 2-2n +q (p ,q ∈R ),n ∈N *.(1)求q 的值;(2)若a 3=8,数列{b n }满足a n =4log 2b n ,求数列{b n }的前n 项和.17.(本小题满分12分)等差数列{a n }的各项均为正数,a 1=3,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列,b 1=1,且b 2S 2=64,b 3S 3=960. (1)求a n 与b n ;(2)求1S 1+1S 2+…+1S n 的值.18.(本小题满分12分)已知数列{b n }前n 项和为S n ,且b 1=1,b n +1=13S n .(1)求b 2,b 3,b 4的值; (2)求{b n }的通项公式;(3)求b 2+b 4+b 6+…+b 2n 的值.19.(本小题满分12分)已知f (x )=m x (m 为常数,m >0且m ≠1).设f (a 1),f (a 2),…,f (a n )…(n∈N )是首项为m 2,公比为m 的等比数列. (1)求证:数列{a n }是等差数列;(2)若b n =a n f (a n ),且数列{b n }的前n 项和为S n ,当m =2时,求S n ;(3)若c n =f (a n )lg f (a n ),问是否存在m ,使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分13分)将函数f (x )=sin 14x ·sin 14(x +2π)·sin 12(x +3π)在区间(0,+∞)内的全部最值点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2n a n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,求T n 的表达式.21.(本小题满分14分)数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =n (n +1)(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足:a n =b 13+1+b 232+1+b 333+1+…+b n3n +1,求数列{b n }的通项公式;(3)令c n =a n b n4(n ∈N *),求数列{c n }的前n 项和T n .数列单元测试题命题人:张晓光一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。
)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是( )A.12 B .1 C .2 D .3 [答案] C[解析] 设{a n }的公差为d ,则S n =na 1+n (n -1)2d ,∴{S n n }是首项为a 1,公差为d 2的等差数列,∵S 33-S 22=1,∴d2=1,∴d =2. 2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若8a 2+a 5=0,则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3 C.a n +1a n D.S n +1S n[答案] D[解析] 等比数列{a n }满足8a 2+a 5=0,即a 2(8+q 3)=0,∴q =-2,∴a 5a 3=q 2=4,a n +1a n =q =-2,S 5S 3=a 1(1-q 5)1-q a 1(1-q 3)1-q=1-q 51-q 3=113,都是确定的数值,但S n +1S n =1-q n +11-q n的值随n 的变化而变化,故选D.3.设数列{a n }满足a 1=0,a n +a n +1=2,则a 2011的值为( ) A .2 B .1 C .0 D .-2 [答案] C[解析] ∵a 1=0,a n +a n +1=2,∴a 2=2,a 3=0,a 4=2,a 5=0,…,即a 2k -1=0,a 2k =2,∴a 2011=0.4.已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *)且a 2+a 4+a 6=9,则log 13(a 5+a 7+a 9)的值是( )A .-5B .-15C .5 D.15[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *).由对数的运算法则,得出a n +1与a n 的关系,判断数列的类型,再结合a 2+a 4+a 6=9得出a 5+a 7+a 9的值.[解析] 由log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *)得,a n +1=3a n ,∴数列{a n }是公比等于3的等比数列,∴a 5+a 7+a 9=(a 2+a 4+a 6)×33=35,∴log 13(a 5+a 7+a 9)=-log 335=-5.5.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3,则使得a nb n为正偶数时,n 的值可以是( )A .1B .2C .5D .3或11 [答案] D[解析] ∵{a n }与{b n }为等差数列,∴a n b n =2a n 2b n =a 1+a 2n -1b 1+b 2n -1=A 2n -1B 2n -1=14n +382n +2=7n +19n +1,将选项代入检验知选D. 6.各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1,且a 2,12a 3,a 1成等差数列,则a 3+a 4a 4+a 5的值为( )A.1-52B.5+12C.5-12D.5+12或5-12[答案] C[解析] ∵a 2,12a 3,a 1成等差数列,∴a 3=a 2+a 1,∵{a n }是公比为q 的等比数列,∴a 1q 2=a 1q +a 1,∴q 2-q -1=0,∵q >0,∴q =5+12. ∴a 3+a 4a 4+a 5=1q=5-12,故选C.7.已知数列{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且它们的前n 项和S n 有最大值,则使得S n >0的最大值n 为( )A .11B .19C .20D .21[答案] B[解析] ∵S n 有最大值,∴a 1>0,d <0,∵a 11a 10<-1,∴a 11<0,a 10>0,∴a 10+a 11<0,∴S 20=20(a 1+a 20)2=10(a 10+a 11)<0,又S 19=19(a 1+a 19)2=19a 10>0,故选B.8.等比数列{a n }中,a 1=512,公比q =-12,用Πn 表示它的前n 项之积:Πn =a 1·a 2·…·a n ,则Πn 中最大的是( )A .Π11B .Π10C .Π9D .Π8解析:Πn =a 1a 2…a n =a n 1·q 1+2+…+n -1=29n ⎝⎛⎭⎫-12(n -1)n 2=(-1)n (n -1)22-n 2+19n 2,∴当n =9时,Πn 最大.故选C9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,S 3=a 5,a m =2011,则m =( ) A .1004 B .1005 C .1006 D .1007[答案] C[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=13a 1+3×22d =a 1+4d,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1d =2, ∵a m =a 1+(m -1)d =1+2(m -1)=2m -1=2011,∴m =1006,故选C.10.已知数列{a n }的通项公式为a n =6n -4,数列{b n }的通项公式为b n =2n ,则在数列{a n }的前100项中与数列{b n }中相同的项有( )A .50项B .34项C .6项D .5项[答案] D[解析] a 1=2=b 1,a 2=8=b 3,a 3=14,a 4=20,a 5=26,a 6=32=b 5,又b 10=210=1024>a 100,b 9=512,令6n -4=512,则n =86,∴a 86=b 9,b 8=256,令6n -4=256,∵n ∈Z ,∴无解,b 7=128,令6n -4=128,则n =22,∴a 22=b 7,b 6=64=6n -4无解,综上知,数列{a n }的前100项中与{b n }相同的项有5项.二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把正确答案填在题中横线上)11.已知数列{a n }满足:a n +1=1-1a n ,a 1=2,记数列{a n }的前n 项之积为P n ,则P 2011=________.[答案] 2[解析] a 1=2,a 2=1-12=12,a 3=1-2=-1,a 4=1-(-1)=2,∴{a n }的周期为3,且a 1a 2a 3=-1,∴P 2011=(a 1a 2a 3)670·a 2011=(-1)670·a 1=2.12.秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n },已知a 1=1,a 2=2,且a n +2-a n =1+(-1)n (n ∈N *),则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人. [答案] 255[解析] ∵a n +2-a n =1+(-1)n (n ∈N *),∴n 为奇数时,a n +2=a n ,n 为偶数时,a n +2-a n=2,即数列{a n }的奇数项为常数列,偶数项构成以2为首项,2为公差的等差数列.故这30天入院治疗流感人数共有15+(15×2+15×142×2)=255人.13.已知等比数列{a n }中,各项都是正数,且a 1,12a 3,2a 2成等差数列,则a 3+a 10a 1+a 8=________.[答案] 3-2 2[解析] ∵a 1,12a 3,2a 2成等差数列,∴a 3=a 1+2a 2,设数列{a n }公比为q ,则a 1q 2=a 1+2a 1q ,∵a 1≠0,∴q 2-2q -1=0,∴q =-1±2,∵a n >0,∴q =2-1,∴a 3+a 10a 1+a 8=q 2=3-2 2. 14.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,[答案] 22[解析] 由横行成等差数列知,6下边为3,从纵列成等比数列及所有公比相等知,公比q =2,∴b =2×2=4由横行等差知c 下边为4+62=5,故c =5×2=10,由纵列公比为2知a =1×23=8,∴a +b +c =22.15.数列{a n }中,a 1=1,a n 、a n +1是方程x 2-(2n +1)x +1b n=0的两个根,则数列{b n }的前n 项和S n =________.[答案] nn +1[解析]由题意得a n +a n +1=2n +1,又∵a n -n =-[a n +1-(n +1)],a 1=1∴a n =n ,又a n ·a n +1=1b n ,∴b n =1n (n +1).∴S n =b 1+b 2+…+b n =1-1n +1=.三、解答题(本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n =pn 2-2n +q (p ,q ∈R ),n ∈N *. (1)求q 的值;(2)若a 3=8,数列{b n }满足a n =4log 2b n ,求数列{b n }的前n 项和. [解析] (1)当n =1时,a 1=S 1=p -2+q ,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=pn 2-2n +q -p (n -1)2+2(n -1)-q =2pn -p -2 ∵{a n }是等差数列,∴p -2+q =2p -q -2,∴q =0. (2)∵a 3=8,a 3=6p -p -2,∴6p -p -2=8,∴p =2, ∴a n =4n -4,又a n =4log 2b n ,得b n =2n -1,故{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列. 所以数列{b n }的前n 项和T n =(1-2n )1-2=2n -1.17.(本小题满分12分)等差数列{a n }的各项均为正数,a 1=3,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列,b 1=1,且b 2S 2=64,b 3S 3=960. (1)求a n 与b n ;(2)求1S 1+1S 2+…+1S n的值.解:(1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则d 为正数,a n =3+(n -1)d ,b n =q n -1,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2=(6+d )q =64S 3b 3=(9+3d )q 2=960, 解得⎩⎪⎨⎪⎧d =2q =8 或⎩⎨⎧d =-65q =403(舍去),故a n =3+2(n -1)=2n +1,b n =8n -1.(2)由(1)知S n =3+5+…+(2n +1)=n (n +2),所以1S 1+1S 2+…+1S n =11×3+12×4+13×5+…+1n (n +2)=12⎝⎛⎭⎫1-13+12-14+13-15+…+1n -1n +2 =12⎝⎛⎭⎫1+12-1n +1-1n +2=34-2n +32(n +1)(n +2). 18.(本小题满分12分)已知数列{b n }前n 项和为S n ,且b 1=1,b n +1=13S n .(1)求b 2,b 3,b 4的值; (2)求{b n }的通项公式;(3)求b 2+b 4+b 6+…+b 2n 的值.[解析] (1)b 2=13S 1=13b 1=13,b 3=13S 2=13(b 1+b 2)=49,b 4=13S 3=13(b 1+b 2+b 3)=1627.(2)⎩⎨⎧b n +1=13S n ①b n =13S n -1 ②①-②解b n +1-b n =13b n ,∴b n +1=43b n ,∵b 2=13,∴b n =13·⎝⎛⎭⎫43n -2(n ≥2)∴b n =⎩⎪⎨⎪⎧1 (n =1)13·⎝⎛⎭⎫43n -2(n ≥2).(3)b 2,b 4,b 6…b 2n 是首项为13,公比⎝⎛⎭⎫432的等比数列, ∴b 2+b 4+b 6+…+b 2n =13[1-(43)2n ]1-⎝⎛⎭⎫432=37[(43)2n -1]. 19.(本小题满分12分)已知f (x )=m x (m 为常数,m >0且m ≠1).设f (a 1),f (a 2),…,f (a n )…(n∈N )是首项为m 2,公比为m 的等比数列. (1)求证:数列{a n }是等差数列;(2)若b n =a n f (a n ),且数列{b n }的前n 项和为S n ,当m =2时,求S n ;(3)若c n =f (a n )lg f (a n ),问是否存在m ,使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.[解析] (1)由题意f (a n )=m 2·m n -1,即ma n =m n +1. ∴a n =n +1,∴a n +1-a n =1,∴数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列. (2)由题意b n =a n f (a n )=(n +1)·m n +1, 当m =2时,b n =(n +1)·2n +1,∴S n =2·22+3·23+4·24+…+(n +1)·2n +1① ①式两端同乘以2得,2S n =2·23+3·24+4·25+…+n ·2n +1+(n +1)·2n +2② ②-①并整理得,S n =-2·22-23-24-25-…-2n +1+(n +1)·2n +2 =-22-(22+23+24+…+2n +1)+(n +1)·2n +2 =-22-22(1-2n )1-2+(n +1)·2n +2=-22+22(1-2n )+(n +1)·2n +2=2n +2·n .(3)由题意c n =f (a n )·lg f (a n )=m n +1·lg m n +1=(n +1)·m n +1·lg m , 要使c n <c n +1对一切n ∈N *成立,即(n +1)·m n +1·lg m <(n +2)·m n +2·lg m ,对一切n ∈N *成立, ①当m >1时,lg m >0,所以n +1<m (n +2)对一切n ∈N *恒成立;②当0<m <1时,lg m <0,所以n +1n +2>m 对一切n ∈N *成立,因为n +1n +2=1-1n +2的最小值为23,所以0<m <23.综上,当0<m <23或m >1时,数列{c n }中每一项恒小于它后面的项.20.(本小题满分13分)将函数f (x )=sin 14x ·sin 14(x +2π)·sin 12(x +3π)在区间(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2n a n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,求T n 的表达式.[解析] (1)化简f (x )=sin 14x ·sin 14(x +2π)·sin 12(x +3π)=sin x 4cos x 4·⎝⎛⎭⎫-cos x 2=-14sin x 其极值点为x =k π+π2(k ∈Z ),它在(0,+∞)内的全部极值点构成以π2为首项,π为公差的等差数列,a n =π2+(n -1)·π=2n -12π(n ∈N *).(2)b n =2n a n =π2(2n -1)·2n∴T n =π2[1·2+3·22+…+(2n -3)·2n -1+(2n -1)·2n ]2T n =π2[1·22+3·23+…+(2n -3)·2n +(2n -1)·2n +1]相减得,-T n =π2[1·2+2·22+2·23+…+2·2n -(2n -1)·2n +1]∴T n =π[(2n -3)·2n +3].21.(本小题满分14分)数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =n (n +1)(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足:a n =b 13+1+b 232+1+b 333+1+…+b n3n +1,求数列{b n }的通项公式;(3)令c n =a n b n4(n ∈N *),求数列{c n }的前n 项和T n .[解析] (1)当n =1时,a 1=S 1=2,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n (n +1)-(n -1)n =2n ,知a 1=2满足该式 ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n .(2)a n =b 13+1+b 232+1+b 333+1+…+b n3n +1(n ≥1)①∴a n +1=b 13+1+b 232+1+b 333+1+…+b n3n +1+b n +13n +1+1②。