复变函数(第四版)课件--章节2.3

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复变函数第4讲PPT课件

复变函数第4讲PPT课件
§2.1 解析函数的概念
1.复变函数的导数
1)导数概念:
设函数f (z)在点z0及其邻域内有定义,如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z 0
z
存在, 那么就说f (z)在点z0可导. 这个极限值称
为f (z)在点z0的导数.
记作
f
'(z0 )
dw dz
z z0
lim
z 0
f
( z0
u e x cos y, x v e x si n y, x
u e x si ny u v
y v
e x cos y
x y v u
y
x y
故 f (z) e x (cos y i siny)在 全 平 面 可 导 , 解 析 。
f '(z) u i v e x cos y ie x si ny f (z). x x
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微,且
满足Cauchy-Rieman方程
u v ,
v
u .
x y x y
并且在解析的条件下
f (z) ux ivx vy iuy
第18页/共26页
例1 判定下列函数在何处可导,在何处解析:
(1) f (z) ex (cosy i siny); 解:(1) u e x cos y, v e x siny,
第7页/共26页
例如
f
(z)
1 z2
z
,则当z
0,
1时 ,f
'(z)
2z 1 (z2 z)2
.
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导;

复变函数 全套课件

复变函数  全套课件

w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.

1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4

w0
8

复变函数西安交大 第四版第六讲PPT课件

复变函数西安交大 第四版第六讲PPT课件
---级数的部分和
▪ 若z0 D ln i m sn (z0 ) s(z0 ),称 级 数(1)在z0收 敛, 其 和 为s(z0 ), ln i m sn (z0 )不 存 在 , 称 级 数(1)在z0发 散 。

u u ( ) ( )
y y x x
v x
dx
v y
dy
u y
dx
u x
dy
v
d v(
x,
y)
( x, y)
u
u
v(x, y)
( dx dy) c ()
y ( x0 , y0 )
x
第7页/共47页
v u v u 满 足C R方 程. x y y x
u iv在D内 解 析.
n0 n! n0 n!
n0 n!
(3)
n1
(1)n



n
n1
1 2n



n1
(
(1)n n
i 2n
)收 敛.
又 (1)n 条 件收 敛,原 级数 非 绝对 收 敛. n1 n
第24页/共47页
例3
讨论
z
n

敛散性。
n0 n!

令 z r,
zn
rn er
n0 n! n0 n!
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
第17页/共47页
1. 复数列的极限
定义 设复数列{:n}(n 1,2,),其中n=an ibn,
又设复常数: a ib,
若 0, N 0, n N , 恒 有n ,
那 么称 为 复 数 列{n }当n 时 的 极 限 ,

工程数学《复变函数》(第四版)课件 1-1,2 西安交大 天津工业大学理学院 赵璐

工程数学《复变函数》(第四版)课件 1-1,2 西安交大 天津工业大学理学院 赵璐
z1 z2 z2 z1
z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3
z1 ( z2 z3 ) = ( z1 z2 ) z3
分配律
z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z2 z3
9
⑤ 设 z x iy, 定义 z的共轭复数z x iy. 共轭复数的性质: i) ii)
x x1 t x 2 x1 y y1 t y 2 y1
t
∴它的复数形式的参数方程为
z x yi z1 t z2 z1 t
由z1 到 z 2 直线段的参数方程为
20
z1 z 2 1 特别地,取 t , 则线段 z1 z2 的中点为 z 2 2
z1 5 5i 3 4i 5 5i 3 4i 3 4i z 2 3 4i
z1 求 与 z2
z1 z 2
25 1 3i z , 求 Rez , Im z 与 zz . 例2 设 i 1 i
复 变 函 数
教师: 赵璐 邮箱:zhaolu.nan@
课程介绍
• 研究对象:复变函数(自变量为复数的函数) • 主要任务:研究复变数之间的相互依赖关系,
具体地就是复数域上的微积分。
· 学习方法:复变函数中许多概念、理论、和方
法是实变函数在复数域内的推广和发展,它们之 间有许多相似之处,但又有不同之点,在学习中 要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的 那些性质与结果。
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 2 x1 x2 y1 y2 2 Rez1 z2

复变函数课件1-4 区域共19页文档

复变函数课件1-4 区域共19页文档

界的 .
课件
6
课堂练习 判断下列区域是否有界?
r2
(1) 圆环域: r1zz0r2;
r1
z0
(2) 上半平面: Im z0;
y
(3) 角形域: 0arz g;
(4) 带形域: a Im z b .
o
答案 (1)有界; (2) (3) (4)无界.
课件
x
二、单连通域与多连通域
1. 连续曲线: 如果x(t)和y(t)是两个连续的实, 变函
一、区域的概念
1. 邻域:
平面上 z0为 以中 ,心 (任意的)为 正半 数径 的圆 : zz0 内部的点的z0集 的合 邻. 称 域为
说明 包括无穷远点 且自 满z身 足 M 在 的内
所有点的 ,其集 中合 实 M数 0,称为无穷远 点的邻 . 域
课件
1
2.去心邻域:
称由不 0z等 z0式 所确定的点
4.开集: 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称
为开集.
课件
3
5.区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称
它为一个区域.
(1) D是一个开集;
(2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用 完全属于D的一条折线连结起来.
6.边界点、边界:
设D是复平面内的一个区域,如果点 P 不 属于D, 但在 P 的任意小的邻域内总有D中的 点,这样的 P 点我们称为D的边界点.
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
y
y
o
x
o
x
课件
9
3. 简单曲线: 设 C:zz(t)(atb)为一条连, 续曲
z(a)与z(b)分别称 C的为 起点.和终点

复变函数课件章节

复变函数课件章节
复变函数(第四版)课件 章节大纲
汇报人:
目录
添加目录标题
01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数:实数与 虚数的组合
复平面:复数 的几何表示
复数的模:表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念,具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性,即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性,即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系,即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开:将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论:研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数:复变函数中的一 种特殊函数
应用:在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论:研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理:描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质:全纯 映射的极值性质, 包括最大值和最 小值
泰勒定理:泰勒 定理的证明和应 用,包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理:极值 定理的证明和应 用,包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用: 泰勒定理在复变 函数中的应用, 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论:研究复变函数在几何上的性质,如解析性、单值性、连续性等 单叶函数:复变函数在某一区域内具有唯一确定的值,且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质:解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用:在工程、物理、化学等领域有广泛应用,如流体力学、电磁学、量子力学等

《复变函数》第3章

《复变函数》第3章

§1 复变函数积分的概念
一、定义 1. 有向曲线: C : z z (t ) x(t ) iy(t ) 选定正方向: 起点 终点 C + 简单闭曲线正方向: P 沿正向前进, 曲线 内部在左方. 2. 复变函数的积分:(P70定义)
f ( z )dz
c
2014-10-20
( n ) k 1
复 变 函 数(第四版)
第三章 复变函数的积分
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 复变函数积分的概念 柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理 基本定理的推广-复合闭路定理 原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系
《复变函数》(第四版) 第1 页
2014-10-20
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第16页
条件放宽, C 为解析域 D 的边界. f (z)在D C D上连续 , 则 c f ( z )dz 0 例: 对任意 C .
c z
2
dz 0
c e dz 0 c sin z dz 0
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第17页
dz ire d i 2 dz ire c 0 n1 i ( n1) d n 1 ( z z0 ) r e i 2 i 0 n in d n r r e
2014-10-20 《复变函数》(第四版)
i

2 0
e in d
第7 页
( 接上页例 )
i [v( k ,k )xk u( k ,k )yk ] .
k 1
《复变函数》(第四版) 第3 页
n
2014-10-20

复变函数(第四版)课件--章节2.3

复变函数(第四版)课件--章节2.3
e iw + e − iw 得 e 2 iw − 2 ze iw + 1 = 0, , 由 z = cos w = 2
方程的根为 e iw = z + z 2 − 1, 两端取对数得
Arccos z = −iLn(z + z2 − 1).
同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:
e +e cos iy = = ch y 2 −y y e −e sin iy = = i sh y 2i
y
−y
所以
cos(x + iy) = cos x ch y − i sin x sh y, sin( x + iy) = sin x ch y + i cos x sh y.
iii)公式
cos(z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 sin( z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 sin 2 z + cos2 z =1
由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy. 但当z为纯虚数iy时, 我们有
Ln( z1z2 ) = Ln z1 + Ln z2 z1 Ln = Ln z1 − Ln z2 z2
ii)对数函数的解析性. 就主值ln z而言, 其中ln|z|除原点外在其它 点都是连续的, 而arg z在原点与负实轴上都不 连续. 因为若设z=x+iy, 则当z<0时,
y→0
lim− arg z = −π , lim+ arg z =π .

《复变函数》(西安交大 第四版)第三讲.ppt

《复变函数》(西安交大 第四版)第三讲.ppt

2
z
(zz)2
1 z2
例3 若f '(z) 0 , z D f (z) C , z D 证明 f '(z) ux ivx v y iuy 0
ux vx uy vy 0 u C1 v C2 f (z) C1 iC2 C(复常数)
§2.3 初等函数
1. 指数函数 2. 三角函数和双曲函数 3. 对数函数 4. 乘幂与幂函数 5. 反三角函数与反双曲函数
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义, 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微,且满足 Cauchy-Riemann方程 u v v u x y x y
u e x sin y
y v
ex
cos
y
y
u v x y 且都连续 v u x y
故 f (z) e x (cos y i sin y)在全平面可导,解析。
且 f '(z) u i v e x cos y ie x sin y f (z)
x x
解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
u 2x u 2 y v 0 v 0
x
y
x
y
仅在点z = 0处满足C-R条件,故
w z 2 仅在z 0处可导,但处处不解析。
例2 求证函数
x
y1
w u( x, y) iv( x, y) x2 y2 i x2 y2 z
在z x iy 0处解析,并求dw . dz

工程数学《复变函数》(第四版)课件 3-1,2,3 西安交大

工程数学《复变函数》(第四版)课件 3-1,2,3 西安交大



f z dz
C k 1
n
Ck
f z dz
C3
C1

C
f z dz
n
k 1 C

k
f z dz 0

C2
C
D
12
2z 1 在内的任何正 dz, 为包含圆周 z 1 例4 计算 2 z z
向简单闭曲线.
解 据复合闭路原理得
2z 1 2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 dz 2 z z z z z z c1 c2
0
0 1
C1 C2
C3
z1
2 zdz zdz zdz
C C2 1 C3 1
1 1 tdt 1 it idt i 1 i 0 0 2 2
8
三、积分的性质
i ii iii
f z dz
C
C 1
f z dz

C
4



ux t , yt xt vx t , yt yt dt

i v x t , y t x t u x t , y t yt dt
uxt , yt ivxt , yt xt iyt dt
⑴ 当 f z 是 连 续 函 数 而C 是 光 滑 曲 线 时, ⑵
C C C

C
f z 第二型曲线积分 dz一 定 存 在.
C
f z dz u iv d x iy u dx vdy i v dx udy
f z dz可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。

复变函数第4章

复变函数第4章

《复变函数》(第四版) 第4章
第19页
[证]

cn
z0n收
敛,

lim
n
cn
z0n
0,
n0
则存在M使对所有的n有 | cnz0n | M
如果
|
z
||
z0
|,

|z| | z0 |
q
1,

n
|
cnzn
||
cn z0n
|
z z0
Mq n
2024/4/4
《复变函数》(第四版) 第4章
第20页
n
|
i )n 2
5 (cos
2
i sin )n
2 5
n
cos(n
)
i
sin(
n
)
|n |
n1
n1
2 n
5
收敛.
(公比 |q | < 1)
∴ 原级数绝对收敛.
2024/4/4
《复变函数》(第四版) 第4章
第12页
解: 3)
|n |
(1 i)n ( 2 )n cos in
( 2)n ( 2 )n cos in
1 2
| z |2
2024/4/4
《复变函数》(第四版) 第4章
第35页
当 1 | z |2 1, 即| z | 2时, 原级数绝对收敛. 2
当 1 | z |2 1, 即| z | 2时, 原级数发散. 2
故 原级数收敛半径 R 2.
注: 求形如 n z2n 或 n z2n1 (n 0 )
1 chn
en
2 en
2 en

复变函数(第四版)课件--章节3.2

复变函数(第四版)课件--章节3.2

二 复合闭路变形原理
柯西古萨定理的推广
当闭合曲线内部包围被积函数 的奇点,该积分通常不为零,但仍 有一定的规律可以研究。
1 闭路变形原理 2 复合闭路变形原理
1 闭路变形原理
1 :设函数 (z) 在多连通域 内解析 灰色为奇点, f D ,
2:C (深蓝色)及 1(紫色) C 为 D 内的任意两条简单闭 曲线(逆时针方向为正 ), 3: C 及 C1 为边界的区域 以 D1(浅蓝色)全含于. D
y
0 2i 2i 0 4 i
C1
C2

o
1
x

1 例5 求 C ( z a )n dz , C为含 a 的任一简单闭路 , n 为整数 . a 解 因为 a 在曲线 内部,
C1
故可取很小的正数 ,
使 C1: z a 含在 Γ 内部,
1 在以 C C1 为边界的复连通域 ( z a )n 内处处解析 ,
第二种形式更适用于计算积分,通常用于被积函 数在 C 内有一个奇点 z0,该奇点在被积函数解 析式的分母。 高阶导数公式是柯西积分公式的推广,柯西积 分公式是高阶导数公式当 n=0 时的情形。
( n)
等号右边的分式形式复杂难记,可看做是高等 数学中函数泰勒级数里 (z-z0)n 的系数。
例 11
cos z 计算 dz 5 ( z 1) | z| 2
ez ez dz dz 2 2 2 2 ( z 1) ( z 1) | z i| 1 | z i| 1
e z /[(z i ) 2 ] e z /[(z i ) 2 ] dz dz 2 2 ( z i) ( z i) | z i| 1 | z i| 1 2i e 2i e 2 (2 1)! ( z i ) z i (2 1)! ( z i ) 2 z i

复变函数课件第一章第二至四节复变函数

复变函数课件第一章第二至四节复变函数
内区域
光滑曲线:
光滑曲线:如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续,且有连续的导函数,在 [a,b]上,其导函数恒不为零,则称此曲线
为一条光滑曲线;类似地,可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域,在复平面C上,如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D,则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f,使得,
z x iy E, w u iv C
同它对应,则称f为在E上定义了一个复变数函 数,简称为复变函数,记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域; 注2、我们也称这样的函数为单复变函数,即
对E中的每个z,唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上,称 为z-平面;把相应的函数值表示在另一个 复平面上,称为w-平面。从集合论的观
点,令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E),我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面,它是一个单连通无界区域,其边 界为直线:
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形,它是一个单连通无界 区域,其边界为两条直线:
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时,有

工程数学《复变函数》(第四版)课件 2-1,2 西安交大

工程数学《复变函数》(第四版)课件 2-1,2 西安交大
例1 判断下列函数在何处可导,在何处解析:
1 z; 2 f z e x cos y i sin y ; 3 z Rez .
解 1 x iy
u v 1, 1 x y
u v x y
所以函数在复平面内处处不可导,处处不解析。 13
z x iy, ( z x iy )
2 定义是指在点可导的概念,如果f z 在区域 D内处处 可导,则称 f ( z ) 在D内可导。 例1 求f z z 2的导数 . 解
2 f z z f z z z z 2 lim lim 2 z z lim z 0 z 0 z 0 z z
复 变 函 数
教师: 赵璐 邮箱:zhaolu.nan@
第二章 解析函数
§1 解析函数的概念 §2 函数解析的充要条件 §3 初等函数
f z 在x iy可导可微

u x, y ,v x, y 在 x, y 可微.
f z u x, y iv x, y
2
§1 解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分
1 导数
, 定义 设函数 w f z 定义于区域 D, z0为D中的一点
z0 z点不出 D的范围 , 如极限
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim 存 在, z 0 z
则称 f ( z )在 z0可导, 这个极限值称为 f ( z )在 z0的导数。
9
由于k的任意性 , 得
hz0 z hz0 当z 0时,比 值 的极限不存在 . z
hz z 仅在z 0处可导 , 而在其他点都不可导 .
2
所以
hz z 在复平面内处处不解析

《复变函数》

《复变函数》

| |
z1 z2
z3 z3
|| ||
z2 z2
z1 z1
| |

(x 1)2 y2 2
(x
2)2
(y
1) 2
2

x y
3 1
2
3 3
2
2020/8/16
《复变函数》(第四版)
第20页
续上页例 1
方法二:
z2
z1绕
z1旋转
3
或( )得
3
z3
z1
z3 z1 e3i (z2 z1 )
(4) 共轭复数性质
i) z1 z2 z1 z2 , ii) z z ;
z1z2 z1 z2 ,
z1 z1 z2 z2
;
iii) z z Re(z)2 Im( z)2 ;
iv) z z 2 Re(z) , z z 2i Im( z) .
2020/8/16
《复变函数》(第四版)
问: | z +3 | + | z +1 | = 4 中 z 的轨迹? 到定点 z = -3和 z = -1的距离和为常数—— 椭圆.
(左焦点) (右焦点)
2020/8/16
《复变函数》(第四版)
第15页
2. 复球面
任取一与复平面切于原点的球面, 原点称球面的南极, 过原点 且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极.
y x
的主值
x 0, — 在第一、四象限
arg
z
2
arctan
y x
x
0,y
0
x
0,y
0 0
——二象限 ——二象限
其中
例:
2arctan

复变函数第四版(第一章)

复变函数第四版(第一章)
}
练习 求
的所有根.
[解] 因为 z3 8 所以
z 3 8 23 1 23 cos i sin

2cos

2k
3
zi
3sin

8
2k
30

(k 0,1,2)
于是原方程的所有根为
z0

2(cos

3

i sin
)
3
1 i
x1 y1

t ( x2 t( y2

x1 ), y1 ).
( t )
因此, 它的复数形式的参数方程为
z=z1+t(z2z1). (<t<+)
由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成
z=z1+t(z2z1). (0t1)
}
例3 求下列方程所表示的曲线:
1) | z i | 2;
i(i) (1 i)(1 i)
22 22
所以
Re( z) 3 , Im( z) 1 , z z ( 3)2 ( 1 )2 5 .
2
2
2
22
练习 设
z 1 2i 1 i
, 求 Re( z), Im( z)与z.
答案:Re( z) 1 , Im( z) 3,z 1 3 i.
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)
z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .

第四版复变函数第二章市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

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例6:反函数的求法:z cos w 1 (e iw e iw ) 2
得到关于e iw的二次方程:e i2w 2ze iw 1 0 (e iw z)2 z 2 1 e iw z z 2 1 w iLn(z z 2 1)
反双曲函数定义:z shw
则:w Arshz
Arshz Ln( z z2 1 )
三角函数性质:(5条)
周期为2的周期函数;
在复平面内处处解析;
sin z cos z, cos z sin z
欧拉公式仍然成立; e iz cos z i sin z 一些三角公式仍然成立 ; cos(z1 z2 ),sin(z1 z2 ) sin 2 z cos2 z 1, 但 sin z 1 & cos z 1不成立
- u y v
x y
定理一:f (z) u( x, y) v( x, y)i
在一点z x iy可导的充分必要条件为 :
u( x, y), v( x, y)在点z( x, y)可导;
满足柯西 黎曼方程:u v , u v x y y x
定理二:f (z) u( x, y) v( x, y)i
则:曲线组u(
x,
y)
c1和v( x,
y)
c
互相正交。
2
证明:f
( z )
1 i uy
vy
0
u y , v y不全为0
u y , v y 都不为0,u( x, y) c1
任一条曲线斜率为:dy dx
k1
ux uy
v(x, y) c2
任一条曲线斜率为:dy dx
k2
vx vy
利用C R方程得:k1k2
模:ez e x 辐角:Arg ez y 2k

复变函数(第四版余家荣)ppt课件

复变函数(第四版余家荣)ppt课件
h '( z ) [ g ( f ( z ) g ) '( f ( ] z ) f '' ( z ) )
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17
反函数求导法则
设w 函 f(z) 数 在D 区 内域 解 f'(析 z) 0 , , 又 且 反
zf1(w)(w)
存在且为连续, 则有:
'(w) 1
1
f'(z)z(w) f'((w))
在 D 内 ? 解析 完整编辑ppt 吗
19

可微,则
首先设 h 为实数,得


再令
t 为实数,得
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20




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Cauchy-Riemann方程
21
定设 理函 f(z) u 数 (x ,y ) i(v x ,y )在D 区 内域 有 定义 z , x i yD 在 可点 导,则
要求复 z变 xiy的 量函 f(z数 )满足下列条
(1) x R , f(x)ex;
(2) f (z)在C上解析;
( 3 ) z 1 ,z 2 C ,f( z 1 z 2 ) f( z 1 ) f( z 2 );
首先
f(z)f(xi)yexf(i)y,

f(i)yA (y)iB (y),

则得到一个单值函此数函,数称作幅角函一数个单的值分支.
如果此单值函数连则续称,其为幅角函数个的 连续一单值分支.
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53

则主值幅角函数 argz是
D上的一个连续单值分支 . 对每一个整数 k,
也是D上的一个连续单值分支 .
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ch( x + iy) = ch x cos y + i sh x sin y, 及 sh( x + iy) = sh x cos y + i ch x sin y.
5 、反三角函数和反双曲函数
1. 反三角函数的定义 设 z = cos w , 那么称 w 为 z 的反余弦函数 ,
记作 w = Arc cos z .
i 2 1 1 1 = − ln + + k π − arctan . 4 5 2 3 2
其中 k = 0, ± 1, ± 2, L.
6 、 小结与思考
复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围 内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 分成单值解析分支的方法 2.指数函数具有周期性 3. 负数无对数的结论不再成立 作业: 作业:第68页15,18,20题
今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都 是它在除去原点及负实轴的平面内的某 一单值分支.
3 、乘幂与幂函数
1.定义
乘幂 设a为不等于0的一个复数, b为任意一个复 数, 定义乘幂ab为ebLna, 即ab = ebLna 由于Ln a=ln|a|+i(arg a+2kiπ)是多值的, 因而ab也 是多值的. 说明: 说明: (1) 当b为整数时, 由于 ab =ebLna=eb[ln|a|+i(arg a+2kπ)] =ea(ln|a|+iarg a)+2kbπi=eblna, 所以这时ab具有单一的值.
e +e cos iy = = ch y 2 −y y e −e sin iy = = i sh y 2i
y
−y
所以
cos(x + iy) = cos x ch y − i sin x sh y, sin( x + iy) = sin x ch y + i cos x sh y.
这两个公式对于计算cos z与sin z的值有用. iv)当y→∞时, |siniy|和|cosiy|都趋于无穷大, 因此, |sinz|≤1和|cosz|≤1在复数范围内不再成立. v)解析性 在复平面内都解析 其它复变数三角函数的定义如下: sin z cos z tg z = , ctg z = , sin z cos z 1 1 sec z = , csc z = . cos z sin z
iii) exp z的周期性, 它的周期性是2kπi, 即 i ez+2kπi=eze2kπi=ez 其中k为任何整数. 注意:为了方便, 往往用ez代替exp z. 这里 注意 的ez没有幂的意义, 仅仅作为代替exp z的 符号使用。
2 、对数函数
1.定义
对数函数定义为指数函数的反函数. 将满足方程 ew=z (z≠0) 的函数w=f(z)称为对数函数 对数函数. 对数函数 令w=u+iv, z=reiθ, 则 eu+iv=reiθ, 所以 u=ln r, v=θ. 因此 =ln|z|+i w=ln|z|+iArg z 由于Arg z为多值函数, 所以对数函数w=f(z)为
例 求 2 和ii的值 2 1 . [解 1 ]
2
=e
2 Ln1
= e2kπi
2
= cos(2kπ 2) + i sin( 2kπ 2). (k = 0,±1,±2,L ); ii = ei Lni = e =e
π i i +2kπi 2
π − +2kπ 2
, (k = 0,±1,±2,L ).
y→0
所以, 除去原点与负实轴, 在复平面内其它点ln z处 处连续. 综上所述, z=ew在区域 -p<v=arg z<p内的反函数w=ln z是单值的, 由反函数 求导法则可知:
d ln z 1 1 = w= z d z de dw
所以, 在除去原点及负实轴的平面内解析. 所以, ln z在除去原点及负实轴的平面内解析. Ln z的各个分支在除去原点及负实轴的平面内也 解析, 并且有相同的导数值. 解析, 并且有相同的导数值.
iii)公式

cos(z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 sin( z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 sin 2 z + cos2 z =1
由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy. 但当z为纯虚数iy时, 我们有
§2.3 初等函数
一、 指数函数 二 、对数函数 三 、乘幂与幂函数 四 、三角函数和双曲函数 五 、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考
1 、指数函数
1.定义 如果函数f(z)满足下列三个条件: 定义 i) ez不等于零, 且|exp z|=ex; ii) 当Im(z)=0时, f(z)=ex, 其中x=Re(z); iii) f(z)在复平面内解析,且f ’(z)=f(z) 。 称f(z) 为指数函数 指数函数 2.性质 性质 i)在复平面处处解析的函数, 且有 f '(z)=f(z), 当y=0时, f(z)=ex. 记作 exp z=ex(cos y+isin y). 等价于关系式: |exp z|=ex, Arg(exp z)=y+2kπ
Arcsinz = −iLn(iz + 1 − z2 ),
i 1 + iz Arctanz = − Ln . 2 1 − iz
2. 反双曲函数的定义
反双曲正弦 Arsinhz = Ln(z + z2 + 1), 反双曲余弦 Arcoshz = Ln(z + z2 − 1), 1 1+ z . 反双曲正切 Artanhz = Ln 2 1− z
Ln( z1z2 ) = Ln z1 + Ln z2 z1 Ln = Ln z1 − Ln z2 z2
ii)对数函数的解析性. 就主值ln z而言, 其中ln|z|除原点外在其它 点都是连续的, 而arg z在原点与负实轴上都不 连续. 因为若设z=x+iy, 则当z<0时,
y→0
lim− arg z = −π , lim+ arg z =π .
双曲函数
1.定义 1.定义
ez + e−z ez − e−z ez − e−z ch z = , sh z = , th z = z −z 2 2 e +e
分别称为双曲余弦 正弦和正切函数 双曲余弦,正弦和正切函数 双曲余弦 正弦和正切函数. 2.性质 性质 2ki chz和shz都是以为 周期的函数, chz为偶函数, shz为 奇函数, 它们都是复平面内的解析函数, 导数分别为: (chz)'=shz, (shz)'=chz 不难证明 chiy=cosy, shiy=isiny
例1 求Ln 2, Ln(−1)以及它们相应的主值. [解] 因为Ln 2=ln 2+2kπi, 所以它的主值就是ln2. 而Ln(−1)=ln 1+iArg(−1)=(2k+1)πi(k为整数), 所 以它的主值是ln(−1)=πi. 注:在实变函数中, 负数无对数, 此例说明在复 数范围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷 多值的. 因此, 复变数对数函数是实变数对数函 数的拓广. 3.性质 性质: 性质 i)
1 当a为分数 时, 有 n z =e
1 n 1 Ln z n
=e
1 n
1 ln|z| n
arg z + 2kπ arg z + 2kπ + i sin cos n n
arg z + 2kπ arg z + 2kπ =| a | cos + i sin n n = n z, 其中k = 0,1,2,L, (n −1).
补充题
求函数值 Arc tan( 2 + 3i ).
i 1 + i(2 + 3i ) 解 Arc tan( 2 + 3i ) = − Ln 2 1 − i(2 + 3i ) i −3+ i = − Ln 2 5
i 2 1 = − ln + i π − arctan + 2kπ 2 5 3

π
2
由此可见ii是正实数 它的主值是e ,
幂函数 如果a = z为一复数,就得到一般的幂函数w = zb 2.性质 1 i)当b为正整数n及分数 时是与z的n次幂及z的n次根的定义 n . 是完全一致的因为 当a为正整数n时, 根据定义 zn = enLn z = eLn z+Ln z+L+Ln z = eLn z ⋅ eLn z ⋅L⋅ eLn z = z ⋅ z ⋅L⋅ z. (指数n项) (因子n个) (因子n个)
(2) 当a=p/q(p和q为互质的整数, q>0)时, 由于p p
a =e
b
ln|a|+i (arg a+2kπ ) q q
=e
p ln|a| q
p p [cos (arg a + 2kπ ) + i sin (arg a + 2kπ )], q q
ab 具有q个值, 即当k=0,1,...,(q-1)时相应的各个 值. 除此而外, 一般而论 具有无穷多个值.
所以幂函数z = n z是一个多值函数, 具有n个分支, 它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内 是解析的 且有 , ′ 1 ′ 1 n n ′ n Ln z 1 1 −1 z = z = e = zn . n
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