人教版高中数学必修三导学案 2.3变量间的相关关系

2．3 变量间的相关关系1．问题导航(1)相关关系分为哪两种？ (2)什么叫散点图？(3)什么叫回归直线？求回归直线的方法及步骤是什么？ 2．例题导读通过对例题的学习，(1)学会如何作散点图；(2)学会如何用散点图判断两个变量是否相关；(3)掌握求回归直线方程的方法；(4)熟悉回归直线方程的实际应用．1．两个变量的线性相关(1)散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形． (2)正相关与负相关①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． (3)最小二乘法求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．b^=∑ni=1(x i－x－)( y i－y－)∑ni=1(x i－x－)2=∑i＝1nx i y i -nx-y-∑i＝1nx2i- n x-2a^=y－－b^x－其中，b^是回归方程的斜率，a^是回归方程在y轴上的截距．1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)线性回归方程必经过点(x-，y－)；()(2)对于方程y^＝b^x＋a^，x增加一个单位时，y平均增加b^个单位；()(3)样本数据中x＝0时，可能有y＝a^；()(4)样本数据中x＝0时，一定有y＝a^.()解析：根据回归直线方程的意义知，(1)(2)都正确，而(3)(4)中，样本数据x＝0时，y的值可能为a^，也可能不是a^，故(3)正确．答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．判断下列图形中具有相关关系的两个变量是()解析：选C.A、B为函数关系，D无相关关系．3．下列关系中，有相关关系的是________．①正方形的边长与面积之间的关系；②水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系．解析：①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系．答案：②4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y ^＝7.19x ＋73.93，那么这个孩子10岁时的身高是否一定是145.83 cm?解：不一定，用回归模型y ^＝7.19x ＋73.93只能预测，其结果不一定是个确定值．1．两个变量之间的关系与其对应的散点图特征(1)两个变量间的关系是函数关系时，数据点位于某曲线上． (2)两个变量间的关系是相关关系时，数据点位于某曲线附近． (3)两个变量间的关系是线性相关时，数据点位于某直线附近． 2．对回归直线与回归方程的理解(1)回归方程被样本数据唯一确定，各样本点大致分布在回归直线附近．对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性．(2)对于任意一组样本数据，利用最小二乘法公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的．因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程．相关关系的判断(1)下列关系中，属于相关关系的是________． ①人的身高与视力的关系；②做自由落体运动的物体的质量与落地时间的关系； ③降雪量与交通事故的发生率之间的关系．(2)下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？年平均气温(℃) 12.51 12.74 12.74 13.69 13.33 12.84 13.05 年降雨量(mm)748542507813574701432[解析](1)题号判断原因分析身高与视力无关，不具有函数关系，也不具有①不是相关关系相关关系自由落体的物体的质量与落地时间无关，不具②不是函数关系，也不是相关关系有相关关系降雪量越大，交通事故发生率越高，不确定性③相关关系的关系[答案]③(2)解：以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，可得相应的散点图，如图所示：因为图中各点并不在一条直线附近，所以两者不具有相关关系，求回归直线方程也是没有意义的．方法归纳(1)两个变量x和y相关关系的确定方法：①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；③经验法：借助积累的经验进行分析判断．(2)判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．1．(1)对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：选C.图(1)中的数据y随着x的增大而减小，因此变量x与变量y负相关；图(2)中的数据v随着u的增大而增大，因此u与v正相关．(2)下面是随机抽取的9名15岁男生的身高、体重表：编号123456789身高/cm165157155175168157178160163体重/kg524445555447625053判断所给的两个变量是否存在相关关系．解：法一：根据经验可知，人的身高和体重之间存在相关关系．法二：观察表格数据可知，人的体重随着身高的增加而增加，因此人的身高和体重之间存在相关关系．法三：以x轴表示身高，以y轴表示体重，得到相应的散点图．如图所示：我们会发现，随着身高的增高，体重基本上呈增加趋势．所以体重与身高之间存在相关关系，并且是正相关．线性回归方程的建立下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x 345 6y 2.534 4.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)(链接教材P90例题)[解](1)散点图如图：(2) x＝3＋4＋5＋64＝4.5，y＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i＝14x i y i＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，∑i＝14x i2＝32＋42＋52＋62＝86，∴b^＝∑i＝14x i y i -4x-y-∑i＝1nx2i- 4x-2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a^＝y－b^x＝3.5－0.7×4.5＝0.35.∴所求的线性回归方程为y^＝0.7x＋0.35.(3)当x＝100时，y＝0.7×100＋0.35＝70.35(吨标准煤)，90－70.35＝19.65(吨标准煤)．由此可预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前大约降低了19.65吨标准煤．[互动探究]如果把本题中的y的值2.5及4.5分别改为2和5，如何求回归直线方程？解：散点坐标分别为(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)．可验证这四点共线，斜率k＝3－24－3＝1，∴直线方程为y－2＝x－3，即回归直线方程为y^＝x－1.方法归纳求线性回归方程的步骤：(1)计算平均数x，y.(2)计算x i与y i的积，求∑i＝1nx i y i.(4)将结果代入公式b^＝∑i＝1nx i y i -nx-y-∑i＝1nx2i- n x-2，求b^.(5)用a^＝y－b^x－，求a^.(6)写出回归方程．扫一扫进入91导学网(91daoxue.)线性回归方程的求法2．测量某地10对父子身高(单位：英寸)如下：父亲身高(x)60626465666768707274如果x 与y 之间具有线性相关关系，求回归直线方程；如果父亲的身高为78英寸，试估计儿子的身高．解：先将两个变量的数字在表中计算出来，如下表所示：由上表可得x ＝66810＝66.8，y ＝670.110＝67.01，∑i ＝110x 2i ＝44 941.93，∑i ＝110 y 2i ＝44 794，∑i ＝110x i y i ＝44 842.4. 代入公式得b ^＝44 842.4－10×66.8×67.0144 794－10×66.82≈0.464 6，a ^＝67.01－0.464 6×66.8≈35.975，故所求回归直线方程为y ^＝0.464 6x ＋35.975. 当x ＝78时，y ^＝0.464 6×78＋35.975＝72.213 8，所以当父亲的身高为78英寸时，估计儿子的身高约为72.213 8英寸．线性回归方程的应用假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知：y 对x 呈线性相关关系，试求： (1)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的回归系数a ^、b ^； (2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ [解] (1)制表i 1 2 3 4 5 合计 x i 2 3 4 5 6 20 y i 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 x i y i 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 x 2i4916253690x ＝4，y ＝5∑i ＝15x 2i ＝90, ∑i ＝15x i y i ＝112.3于是有b ^＝112.3－5×4×590－5×42＝12.310＝1.23；a ^＝y －b ^x ＝5－1.23×4＝0.08.(2)回归直线方程是：y ^＝1.23x ＋0.08，当x ＝10(年)时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.3＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时维修费用是12.38万元．方法归纳(1)求回归直线方程关键是求a ^，b ^，也是本题易错点，由于计算量较大，计算时一定要认真． (2)知道x 与y 有线性相关关系，无需进行相关性检验(课本对此不作要求)．只有两个变量之间存在线性相关关系，才能求其线性回归方程，才能用其估计和预测．否则即使求出其线性回归方程，也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．3．(1)提倡节约，反对浪费.2015年元旦前夕，某市统计局统计了该市10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入x (万元) 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年饮食支出y (万元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3①若y 与x 是线性相关的，求回归方程，否则请说明理由； ②若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．(参考数据：∑i ＝110 x i y i =117.7, ∑i ＝110x i 2解：散点图如图：由散点图可知，年收入越高，年饮食支出越高，图中点的趋势表明两个变量间确实存在着线性相关关系．,依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，, x 2＝36，,x y ＝10.98，,又∵∑i ＝1 10 x i y i ＝117.7，∑i ＝110x i 2＝406，∴b ^＝∑i ＝110 x i y i -10x -y-∑i ＝110 x 2i - 10x -2 ≈0.17，a ^＝y －b ^x ＝0.81， ∴y ^＝0.17x ＋0.81.∴所求的回归方程为y ^＝0.17x ＋0.81.②当x ＝9时，y ^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)．可估计年收入为9万元的家庭，每年饮食支出约为2.34万元．(2)有一台机床可以按各种不同的速度运转，其加工的零件有一些是二级品，每小时生产的二级品零件的数量随机床运转的速度而变化．下面是试验的步骤：机床运转的速度(转/秒)每小时生产二级品的数量(个)8 5 12 8 14 9 1611①作出散点图；②求出机床运转的速度x 与每小时生产二级品数量y 的回归直线方程；③若实际生产中所允许的二级品不超过10个，那么机床的运转速度不得超过多少转/秒？ 解：①散点图如图所示：②易求得x ＝12.5，y ＝8.25，b ^≈0.728 6，a ^＝－0.857 5， ∴所求回归直线方程为y ^＝0.728 6x －0.857 5.③依题意，要使y ^≤10，只要0.728 6x －0.857 5≤10，解得x ≤14.901 9，即机床的运转速度不能超过14.901 9转/秒．规范解答散点图的画法及应用(本题满分12分)某化工厂的原料中，有A 和B 两种有效成分，现随机抽取了10份原料样品进行抽样检测，测得A 和B 的含量如下表所示：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 67 54 72 64 39 22 58 43 46 34 y24152319161120161713其中x表示成分A的百分含量x%，y表示成分B的百分含量y%.(1)作出两个变量y与x的散点图；(2)两个变量y与x是否线性相关？若是线性相关，求出线性回归方程．[解](1)按照y从小到大的顺序调整表中数据(这样有利于描点，如用画图软件则不需要调整表格数据)，如下表所示：x 22345443394664587267y 11131516161719202324散点图如图所示：4分(2)观察散点图可知，y与x是线性相关关系．下面求线性回归方程：i 12345678910合计x i22345443394664587267499 y i11131516161719202324174 x i y i242442810688624782 1 216 1 160 1 656 1 6089 228 x2i484 1 15629161 849 1 5212 116 4 0963 3645 184 4 48927 175所以x＝49.9，y＝17.4，10x－y－＝8 682.6，10x2＝24 900.1设所求的线性回归方程是y^＝a^＋b^x，8分b^＝∑i＝110x i y i -10x-y-∑i＝110x2i-10x-2＝9 228－8 682.627 175－24 900.1＝545.42 274.9≈0.239 7，a ^＝y －b ^x ＝17.4－0.239 7×49.9≈5.439，10分 所求的线性回归方程是y ^＝0.239 7x ＋5.439.…12分 [规范与警示]将题中给出的y 的值按一定顺序排列．描点则可按一定顺序进行．利用散点图可直观地验证是否具有相关关系．只有判断出两变量具有线性相关关系才能再进一步求线性回归方程，否则就没有意义．将公式中所有涉及到的数据在表格中一一列出，以便计算减少失误． 此步运算量较大，是关键点也是失分点．1．我们常说“吸烟有害健康”，吸烟与健康之间的关系是( ) A ．正相关 B ．负相关 C ．无相关D ．不确定解析：选B.烟吸得越多，则健康程度越差． 2．线性回归直线是指( ) A ．样本少数点在其上的直线 B ．样本所有点在其上的直线 C ．样本大部分点在其上的直线D ．样本所有点到其距离的平方和最小的直线解析：选D.由线性回归直线的求法可知线性回归直线是样本所有点到其距离的平方和最小的直线． 3．回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中，斜率b ^的含义是________．解析：回归方程的斜率b ^的含义是x 每增加一个单位，y 平均增加的单位数． 答案：x 每增加一个单位，y 平均增加的单位数4．已知工厂加工零件的个数x 与花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.5，则加工200个零件大约需要________小时．解析：将200代入线性回归方程y ^＝0.01x ＋0.5， 得y ＝2.5.答案：2.5[A.基础达标]1．(2015·张掖高一检测)有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程； ②平均日学习时间和平均学习成绩； ③立方体的棱长和体积． 其中两个变量成正相关的是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②D ．③解析：选C.①是负相关；②是正相关；③是函数关系，不是相关关系． 2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( ) A ．都可以分析出两个变量的关系B ．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C ．都可以作出散点图D ．都可以用确定的表达式表示两者的关系解析：选C.由两个变量的数据统计，不能分析出两个变量的关系，A 错；不具有线性相关的两个变量不能用一条直线近似地表示他们的关系，更不能用确定的表达式表示他们的关系，B ，D 错． 3．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，回归系数b ^( ) A ．不能小于0 B ．不能大于0 C ．不能等于0D ．只能小于0解析：选C.当b ^＝0时，r ＝0，这时不具有线性相关关系，但b ^能大于0，也能小于0. 4．(2013·高考湖北卷)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：( )① y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；② y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③ y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④ y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选D.由正负相关性的定义知①④一定不正确．5．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D.当x ＝170时，y ^＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg ，故D 不正确． 6．已知一个回归直线方程为y ^＝1.5x ＋45，x ∈{1，7，5，13，19}，则y ＝________． 解析：因为x ＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且回归直线过样本中心点(x ，y )， 所以y ＝1.5×9＋45＝58.5. 答案：58.57．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表，若已求得它们回归直线的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为________.解析：设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝6.5，易知y ＝50，x ＝5，所以a ^＝y －b ^x ＝50－32.5＝17.5，即回归直线方程为y ^＝6.5x ＋17.5. 答案：y ^＝6.5x ＋17.58．对某台机器购置后的运营年限x (x ＝1，2，3，…)与当年利润y 的统计分析知具备线性相关关系，线性回归方程为y ^＝10.47－1.3x ，估计该台机器使用________年最合算．解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y ^≥0，所以10.47－1.3x ≥0，解得x ≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．答案：89．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－20，a ^＝y －－b ^x －；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 解：(1)由于x －＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y －＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以a ^＝y －－b ^x －＝80＋20×8.5＝250， 从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．10．(2013·高考重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110y i =80，∑i ＝110 y i =20,∑i ＝110 x i y i =184，∑i ＝110x i 2=720. （1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； （2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b=∑i ＝1nx i y i -nx -y-∑i ＝1nx 2i - nx -2 a=y －－b x －，其中为x －,y －样本的平均值，线性回归方程也可写为y ^=b ^x+a ^解：（1）由题意知n=10, x －=1n ∑i ＝1nx i ＝8010＝8,y －＝1n ∑i ＝1ny i ＝2010＝2，又∑i ＝1nx 2i - n x -2=720-10×82=80, ∑i ＝1nx i y i -nx -y -＝184－10×8×2＝24， 由此得b ＝2480＝0.3，a ＝y -,－bx -,＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．[B.能力提升]1．回归直线方程的系数a ^，b ^是最小二乘法估计中使函数Q (a ^，b ^)取得最小函数值时所满足的条件，其中Q (a ^，b ^)的表达式是( ) A.∑i ＝1n(y i－a ^－b ^x i )2）B.∑i ＝1n|y i－a ^－b ^x i |2）C. (y i －a ^－b ^x i )2D.|y i －a ^－b ^x i |解析：选A.用最小二乘法确定两变量之间的线性回归方程的思想，即求a ^，b ^使n 个样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）与直线y ＝a ^+b ^x 的“距离”的平方和最小，即使得Q (a ^，b ^)=(y 1－a ^－b ^x 1)2+(y 2－a ^－b ^x 2)2+…+(y n －a ^－b ^x n )2=∑i ＝1n(y i －a ^－b ^x i )2）达到最小，故选A.2．对于两个变量的散点图：①若所有点都落在某一函数曲线上，则变量之间具有函数关系；②若所有点都落在某一曲线附近，则变量之间具有相关关系；③若所有点都落在某一直线附近，则变量之间具有线性相关关系；④若所有点都杂乱无章，则变量之间不具有相关关系．其中正确的是( ) A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④解析：选D.①②③④四个说法全部正确．3．(2015·江西重点中学盟校联考)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.零件数x (个) 10 2030 40 50 加工时间y (min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为________．解析：由已知可计算求出x -＝30，而回归直线方程必过点(x -，y －)，则y －＝0.67×30＋54.9＝75，设模糊数字为a ，则a ＋62＋75＋81＋895＝75，计算得a ＝68. 答案：684．近年来，我国高等教育事业有了迅速发展，为了解某省从2000年到2014年18岁到24岁的青年人每年考入大学的人数，我们把农村、县镇和城市分别标记为一组、二组、三组分开统计．为了便于计算，把2000年编号为1，2001年编号为2，…，2014年编号为15，如果把年份从1到15作为自变量进行回归分析，可得三个回归方程：农村：y ^＝0.42x ＋1.80；县镇：y ^＝2.32x ＋6.72；城市：y ^＝2.84x ＋9.50(y 的单位是万)．则下列说法中正确的是________．(把你认为正确说法的序号填上) ①三个组的两个变量都是正相关关系；②对于县镇组而言，每年考入大学的人数约是上一年的2.32倍；③在这一阶段，城市组的大学入学人数增长最快；④0.42表示农村青年考入大学的人数以每年约4 200人递增．解析：①由于三个组的线性回归方程中x 的系数均为正数，故三个组的两个变量都是正相关关系，故①正确；②中县镇组的线性回归直线方程y ^＝2.32x ＋6.72的意义是县镇考入大学的人数每年大约比上一年增加23 200人，故②不正确，由此可推知④正确；由于三个组的线性回归方程中，城市组所对应的方程的x 的系数最大，表示城市组入学人数增加得最快，故③正确． 答案：①③④5．现对x，y有如下观测数据：x 1825303941424952y 356788910(1)作出散点图；(2)试求y对x的线性回归方程．解：(1)散点图如下：(2)可求得x＝37，y＝7，∑i＝18x2i=11 920，∑i＝18x i y i＝2 257.设线性回归方程为y^＝a^＋b^x，则b^＝∑i＝18x i y i -8x-y-∑i＝18x2i-8x-2＝2 257－8×37×711 920－8×372＝185968≈0.19，a^＝y－－b^x－＝7－0.19×37＝－0.03.所以线性回归方程为y^＝0.19x－0.03.6．(选做题)在某种产品表面进行腐蚀性实验，得到腐蚀深度与腐蚀时间之间对应的一组数据：时间t(s)5101520304050607090120深度y(mm)610101316171923252946(1)画出散点图；(2)试求腐蚀深度对时间的回归直线方程．解：(1)散点图如图：(2)经计算可得：t －≈46.36，y ≈19.45，∑i ＝111 t 2i ∑i ＝111t i y i ＝13 910.b ^＝∑i ＝111t i y i -11t -y -∑i ＝111t 2i - 11t -2＝13 910－11×46.36×19.4536 750－11×46.362≈0.3.a ^＝y －－b ^t －＝19.45－0.3×46.36＝5.542. 故所求的回归直线方程为y ^＝0.3t ＋5.542.。