圆锥的侧面积(王学先)

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圆锥的侧面积PPT课件

根据扇形与圆锥之间的关系填空 :
如图,设圆锥的母线长为 l,底面半径为 r, 那么,这个扇形的半径 (R)为圆锥的母线 l, 扇形的弧长 (L)为圆锥底面的周长, 因此圆锥的侧面积 (S侧) 为圆锥的母线与扇形弧长积的一半; 若圆锥的底面半径为 r,母线长为l,则它的侧面积(S侧)圆锥的母线与底面周长积的一半 .
由2πr=58得
r ? 58 ? 29 .
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2πr=58
根据勾股定理,圆锥母线 l ?
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答:至少
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S圆锥侧 ?
1 ?2? r ?l ? 29 ? 22.03 ? 2
638 .87(cm 2 ).
12777.4 cm2的纸 .
638 .87 ? 20 ? 12777 .4 ( cm 2 ).
生活中的圆锥侧面积计算
蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的. 如果想在某个牧区搭建15个底面积为33m2,高为 10m(其中圆锥形顶子的高度为2m)的蒙古包.那么至少需要用多少m2的帆布?(结果精确到0.1m2).
约为3023.1m2.
生活中的圆锥侧面积计算
把一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯沿母线剪开,可得一个半径为24cm,圆心角为118° 的扇形.求该纸杯的底面半径和高度.
经历探索圆锥侧面积的计算公式的过程,了解圆锥侧面积计算公式,并能利用公式解决问题.
理解并掌握圆锥的有关概念及圆锥侧面积的计算公式.
能运用公式解决有关圆锥的计算问题.
阅读课本P 136-137(3分钟),回答下列问题: (1)列出这节课的知识体系. (2)圆锥的轴截面是什么图形? (3)如何推导圆锥的侧面积公式?

第五届全国优质课教案圆锥的侧面积

课题：圆锥的侧面积（二）教材：北师大版九年级第三章第八节第二课时说课教师：昆明市第八中学王学先设计理念：教学的实质是以教材中提供的素材或实际生活中的一些问题为载体，通过一系列探究互动过程，达到学生知识的构建、能力的培养、情感的陶冶、意识的创新。

一、教材分析（一）教材所处的地位及作用“圆锥的侧面积（二）”是北师大版九年级第三章第八节第二课时的内容，本节是前面所学知识的继续和发展，在学生已获得一定的关于圆锥侧面积的有关计算探究方法的基础上，进一步探究圆锥的侧面积的一些问题。

本节内容又是圆的最后部分，我们常常运用它和圆的相关知识来解决生产和生活中的一些实际问题，所以它在教材中处于非常重要的位置。

另外，本节课通过“活动探究”、“实验—观察—猜想—证明”等途径，进一步培养学生的动手能力、观察能力、分析能力和联想能力，并且这一部分内容又能进一步发展学生的空间观念。

因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育等方面都有着十分重要的作用。

（二）教学目标知识与技能目标：根据课程标准的要求和学生的实际情况，制定了以下教学目标。

1、知识目标：（1）进一步理解圆锥侧面积和全面积的计算公式，并能熟练运用公式解决问题。

（2）经历探索，发现圆锥母线、底面半径和圆锥侧面展开图的圆心角之间的关系。

（3）通过实例，进一步发展学生空间观念。

2、技能目标：培养学生的观察、想象、分析、动手操作、概括的能力，“分类讨论”的数学思想。

旨在培养学生探究、应用数学和创新的能力。

过程与方法目标：经历从现实世界中抽象出图形的过程、自主探究的认识过程：即从观察、比较、分析、归纳中，体会类比、转化的思想方法。

旨在培养学生的科学态度和科学精神。

情感目标：1、通过直觉增进学生的理解力，提高学生的审美意识，使他们获得成功的体验。

2、激发学生对圆锥知识的好奇心及兴趣，逐步形成积极参与活动，主动与他人合作交流的意识。

3、体现数学学习的快乐，体会知识源于实践，又运用于生活。

(新人教)九年级数学上册教案：24.4 圆锥的侧面积

圆锥的侧面积教学目标(一)教学知识点1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．(二)能力训练要求1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．(三)情感与价值观要求1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际．教学重点1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．教学难点经历探索圆锥侧面积计算公式．教学方法观察——想象——实践——总结法教具准备一个圆锥模型(纸做)投影片两张第一张：(记作§3．8A)第二张：(记作§3．8B)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？[主]见过，如漏斗、蒙古包．[师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流．[生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的．[师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这些问题．Ⅲ．新课讲解一、探索圆锥的侧面展开图的形状[师](向学生展示圆锥模型)请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧面展开图是什么形状．[生]圆锥的侧面展开图是扇形．[师]能说说理由吗？[生甲]因为数学知识是一环扣一环的，后面的知识是在前面知识的基础上学习的．上节课的内容是弧长及扇形面积，本节课的内容是圆锥的侧面积，而弧长不是面积，所以我猜想圆锥的侧面展开图应该是扇形．[师]这位同学用的虽然是猜想，但也是有一定的道理的，并不是凭空瞎想，还有其他理由吗？[生乙]我是自己实践得出结论的，我拿一个扇形的纸片卷起来，就得到了一个圆锥模型．[师]很好，究竟大家的猜想是否正确呢？下面我就给大家做个演示(把圆锥沿一母线剪开)，请大家观察侧面展开图是什么形状的？[生]是扇形．[师]大家的猜想非常正确，既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节课的扇形面积公式就能计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖开，在展开图中的扇形的半径和圆心角与不展开图形中的哪些因素有关呢？这将是我们进一步研究的对象．二、探索圆锥的侧面积公式[师]圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线(generating line)长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S＝12·2πr·l＝πrl．因此圆锥的侧面积为S侧＝πrl．圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积(surfacearea)，全面积为S 全＝πr 2＋πrl ．三、利用圆锥的侧面积公式进行计算．投影片(§3．8A)圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58cm ，高为20cm ，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm)2分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的周长，从中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长．在高h 、底面圆的半径r 、母线l 组成的直角三角形中，根据勾股定理求出母线l ，代入S 侧＝πrl 中即可．解：设纸帽的底面半径为r cm ，母线长为l cm ，则r ＝582πl ＝2258()202+π≈22.03cm ， S 圆锥侧＝πrl ≈12×58×22.03＝638.87cm 2． 638.87×20＝12777.4cm 2．所以，至少需要12777.4cm 2的纸．投影片(§3．8B)如图，已知Rt △ABC 的斜边AB ＝13cm ，一条直角边AC ＝5cm ，以直线AB 为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．分析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和．根据S 侧＝360n πR 2或S 侧＝πrl 可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为AB 垂直于底面圆，在Rt △ABC 中，由OC 、AB ＝BC 、AC 可求出r ，问题就解决了．解：在Rt △ABC 中，AB ＝13cm ，AC ＝5cm ， ∴BC ＝12cm ． ∵OC ·AB ＝BC ·AC ， ∴r ＝OC ＝．∴S 表＝πr (BC ＋AC )＝π×6013×(12＋5) ＝102013π cm 2． Ⅲ．课堂练习随堂练习 Ⅳ．课时小结本节课学习了如下内容：探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算． Ⅴ．课后作业习题3．11 Ⅵ．活动与探究探索圆柱的侧面展开图在生活中，我们常常遇到圆柱形的物体，如油桶、铅笔、圆形柱子等，在小学我们已知圆柱是由两个圆的底面和一个侧面围成的，底面是两个等圆，侧面是一个曲面，两个底面之间的距离是圆柱的高．圆柱也可以看作是由一个矩形旋转得到的，旋转轴叫做圆柱的轴，圆柱侧面上平行于轴的线段都叫做圆柱的母线．容易看出，圆柱的轴通过上、下底面的圆心，圆柱的母线长都相等，并等于圆柱的高，圆柱的两个底面是平行的．如图，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，侧面的展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长，另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高．[例1]如图(1)，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD ．已知AD ＝18cm ，AB ＝30cm ，求这个圆柱形木块的表面积(精确到1cm 2)．解：如图(2)，AD 是圆柱底面的直径，AB 是圆柱的母线，设圆柱的表面积为S ，则S ＝2S 圆＋S 侧．∴S ＝2π(182)2＋2π×182×30＝162π＋540π≈2204cm 2．所以这个圆柱形木块的表面积约为2204cm 2．板书设计§3．8 圆锥的侧面积一、1．探索圆锥的侧面展开图的形状；2．探索圆锥的侧面积公式； 3．利用圆锥的侧面积公式进行计算．二、课堂练习三、课时小结四、课后作业回顾与思考教学目标(一)教学知识点1．掌握本章的知识结构图．2．探索圆及其相关结论．3．掌握并理解垂径定理．4．认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．5．掌握圆心角和圆周角的关系定理．(二)能力训练要求1．通过探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力．2．用折叠、旋转的方法探索圆的对称性，以及圆心角、弧、弦之间关系的定理，发展学生的动手操作能力．3．用推理证明的方法研究圆周角和圆心角的关系，发展学生的推理能力．4．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．(三)情感与价值观要求通过学生自己归纳总结本章内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．教学重点掌握圆的定义，圆的对称性，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆心角和圆周角的关系．对这些内容不仅仅是知道结论，要注重它们的推导过程和运用．教学难点上面这些内容的推导及应用．教学方法教师引导学生自己归纳总结法．教具准备投影片三张：第一张：(记作A)第二张：(记作D第三张：(记作C)教学过程Ⅰ．回顾本章内容[师]本章的内容已全部学完，大家能总结一下我们都学过哪些内容吗？[生]首先，我们学习了圆的定义；知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且有旋转不变性的特点；利用轴对称变换的方法探索出垂径定理及逆定理；用旋转变换的方法探索圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；用推理证明的方法研究了圆心角和圆周角的关系；又研究了确定圆的条件；点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系；圆的切线的性质和判断；探究了圆弧长和扇形面积公式，圆锥的侧面积．[师]很好，大家对所学知识掌握得不错．本章的内容可归纳为三大部分，第一部分由圆引出了圆的概念、对称性，圆周角与圆心角的关系，弧长、扇形面积，圆锥的侧面积，在对称性方面又学习了垂径定理，圆心角、孤、弦之间的关系定理；第二部分讨论直线与圆的位置关系，其中包括切线的性质与判定，切线的作图；第三部分是圆和圆的位置关系．这三部分构成了全章内容，结构如下：(投影片A)Ⅱ．具体内容巩固[师]上面我们大致梳理了一下本章内容，现在我们具体地进行回顾．一、圆的有关概念及性质[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点为圆心，定长为半径．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心，圆还具有旋转不变性．[师]圆的这些性质在日常生活中有哪些应用呢？你能举出例子吗？[生]车轮做成圆形的就是利用了圆的旋转不变性．车轮在平坦的地面上行驶时，它与地面线相切，当它向前滚动时，轮子的中心与地面的距离总是不变的，这个距离就是半径．把车厢装在过轮子中心的车轴上，则车辆在平坦的公路上行驶时，人坐在车厢里会感觉非常平稳．如果车轮不是圆形，坐在车上的人会觉得非常颠．二、垂径定理及其逆定理[生]垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．[师]这两个定理大家一定要弄清楚、不能混淆，所以我们应先对他们进行区分．每个定理都是一个命题，每个命题都有条件和结论．在垂径定理中，条件是：一条直径垂直于一条弦，结论是：这条直径平分这条弦，且平分弦所对的弧(有两对弧相等)．在逆定理中，条件是：一条直径平分一条弦(不是直径)，结论是：这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧(也有两对弧相等)．从上面的分析可知，垂径定理中的条件是逆定理中的结论，垂径定理中的一个结论是逆定理中的条件，在具体的运用中，是根据已知条件提供的信息来决定用垂径定理还是其逆定理，若已知直径垂直于弦，则用垂径定理；若已知直径平分弦，则用逆定理．下面我们就用一些具体例子来区别它们．(投影片B)1．如图(1)，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E 为垂足，则四边形ADOE是正方形吗？请说明理由．2．如图(2)，在⊙O中，半径为50mm，有长50mm的弦AB，C为AB的中点，则OC垂直于AB吗？OC的长度是多少？[师]在上面的两个题中，大家能分析一下应该用垂径定理呢，还是用逆定理呢？ [生]在第1题中，OD 、OE 都是过圆心的，又OD ⊥AB 、OE ⊥AC ，所以已知条件是直径垂直于弦，应用垂径定理；在第2题中，C 是弦AB 的中点，因此已知条件是平分弦(不是直径)的直径，应用逆定理．[师]很好，在家能用这两个定理完成这两个题吗？ [生]1．解：∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，AB ⊥AC ， ∴四边形ADOE 是矩形． ∵AC ＝AB ，∴AE ＝AD ． ∴四边形ADOE 是正方形． 2．解：∵C 为AB 的中点， ∴OC ⊥AB ，在Rt △OAC 中，AC ＝12AB ＝25mm ，OA ＝50mm ． ∴由勾股定理得OC ＝22225025253OA AC -=-=(mm)．三、圆心角、弧、弦之间关系定理 [师]大家先回忆一下本部分内容．[生]在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．[师]下面我们进行有关练习 (投影片C)1．如图在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的13，圆的半径为2cm ，求AB 的长．[生]解：由题意可知AB 的度数为120°， ∴∠AOB ＝120°．作OC ⊥AB ，垂足为C ，则 ∠AOC ＝60°，AC ＝BC ．在Rt △ABC 中，AC ＝OA sin60°＝2×sin60°＝233= ∴AB ＝2AC ＝3．四、圆心角与圆周角的关系[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．五、弧长，扇形面积，圆锥的侧面积和全面积[师]我们经过探索，归纳出弧长、扇形面积、圆锥的侧面积公式，大家不仅要牢记公式，而且要把它的由来表述清楚，由于时间关系，我们在这里不推导公式的由来，只是让学生掌握公式并能运用．[生]弧长公式l ＝180n Rπ，π是圆心角，R 为半径．扇形面积公式S ＝2360n R π或S ＝12lR ．n 为圆心角，R 为扇形的半径，l 为扇形弧长．圆锥的侧面积S 侧＝πrl ，其中l 为圆锥的母线长，r 为底面圆的半径．S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2．Ⅲ．课时小结本节课我们复习巩固了圆的概念及对称性；垂径定理及其逆定理；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；圆心角和圆周角的关系；弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．Ⅳ．课后作业复习题 A 组Ⅴ．活动与深究弓形面积如图，把扇形OAmB 的面积以及△OAB 的面积计算出来，就可以得到弓形AmB 的面积．如图(1)中，弓形AmB 的面积小于半圆的面积，这时S 弓形＝S 扇形－S △OAB ；图(2)中，弓形AmB 的面积大于半圆的面积，这时S 弓形＝S 扇形＋S △OAB ；图(3)中，弓形AmB 的面积等于半圆的面积，这时S 弓形＝12S 圆．例题：水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m ，其中水面高是0.3m ，求截面上有水的弓形的面积(精确到0.01m 2)．解：如图，在⊙O 中，连接OA 、OB ，作弦AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AB 于点C ．∵OA ＝0.6，DC ＝0.3，∴OD ＝0.6－0.3＝0.3，∠AOD ＝60°，AD ＝0.．∵S 弓形ACB ＝S 扇形OACB －S △OAB ，∴S 扇形OACB ＝120360·0.62＝0.12π(m 2)，S △OAB ＝12AB ·OD ＝12×0.0.3＝0.2)∴S 弓形ACB ＝0.12π－0.0.22(m 2)．板书设计回顾与思考一、1．圆的有关概念及性质；2．垂径定理及其逆定理；3．圆心角、弧、弦之间关系定理；4．圆心角与圆周角的关系；5．弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．二、课时小结三、课后作业回顾与思考(2)教学目标(一)教学知识点1．了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系．2．了解切线的概念，切线的性质及判定．3．会过圆上一点画圆的切线．(二)能力训练要求1．通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．2．通过探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索能力．3．通过画圆的切线，训练学生的作图能力．4．通过全章内容的归纳总结，训练学生各方面的能力．(三)情感与价值观要求1．通过探索有关公式，让学生懂得数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．2．经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．教学重点1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．教学难点探索各种位置关系及切线的性质．教学方法学生自己交流总结法．教具准备投影片五张：第一张：(记作A)第二张：(记作B)第三张：(记作C)第四张：(记作D)第五张：(记作E)教学过程Ⅰ．回顾本章内容[师]上节课我们对本章的所有知识进行了回顾，并讨论了这些知识间的关系，绘制了本章知识结构图，还对一部分内容进行了回顾，本节课继续进行有关知识的巩固．Ⅱ．具体内容巩固一、确定圆的条件[师]作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定．我们在探索这一问题时，与作直线类比，研究了经过一个点、两个点、三个点可以作几个圆，圆心的分布和半径的大小有什么特点．下面请大家自己总结．[生]经过一个点可以作无数个圆．因为以这个点以外的任意一点为圆心，以这两点所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个．经过两点也可以作无数个圆．设这两点为A、B，经过A、B两点的圆，其圆心到A、B两点的距离一定相等，所以圆心应在线段AB的垂直平分线上，在AB的垂直平分线上任意取一点为圆心，这一点到A或B 的距离为半径都可以作一个经过A、B两点的圆．因此这样的圆也有无数个．经过在同一直线上的三点不能作圆．经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．要作一个圆经过A、B、C三点，就要确定一个点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离相等，到A、B两点距离相等的点在线段AB 的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点应在线段B、C的垂直平分线上，那么同时满足到A、B、C三点距离相等的点应既在AB的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，既两条直线的交点，因为交点只有一个，即确定了圆心．这个交点到A点的距离为半径，所以这样的圆只能作出一个．[师]经过不在同一条直线上的四个点A、B、C、D能确定一个圆吗？[生]不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到圆心的距离等于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半径，说明四个点不在同一个圆上．例题讲解(投影片A)矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？[师]请大家互相交流．[生]解：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD．∴A、B、C、D四点到定点O的距离都等于矩形对角线的一半．∴A、B、C、D四点在以O为圆心，OA为半径的圆上．二、三种位置关系[师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关系．下面我们逐一来回顾．1．点和圆的位置关系[生]点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．判断一个点是在圆的什么部位，就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，说明这个点在圆外；如果这个距离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说明这个点在圆内．[师]总结得不错，下面看具体的例子．(投影片B)1．⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线l 的距离d ＝OD ＝3 m ．在直线l 上有P 、Q 、R 三点，且有PD ＝4cm ，QD ＞4cm ，RD ＜4cm ，P 、Q 、R 三点对于⊙O 的位置各是怎样的？2．菱形各边的中点在同一个圆上吗？分析：要判断某些点是否在圆上，只要看这些点到圆心的距离是否等于半径．[生]1．解：如图(1)，在Rt △OPD 中，∵OD ＝3，PD ＝4，∴OP 222234OD PD ++5＝r ．所以点P 在圆上．同理可知OR 22OD DR +5，OQ 22OD DQ +5．所以点R 在圆内，点Q 在圆外．2．如图(2)，菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是各边的中点．因为菱形的对角线互相垂直，所以△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA 都是直角三角形，又由于E 、F 、G 、H 分别是各直角三角形斜边上的中点，所以OE 、OF 、OG 、OH 分别是各直角三角形斜边上的中线，因此有OE ＝12AB ，OF ＝12BC ，OG ＝12CD ，OH ＝12AD ，而AB ＝BC ＝CD ＝DA ．所以OE ＝OF ＝OG ＝OH ．即各中点E 、F 、G 、H 到对角线的交点O 的距离相等，所以菱形各边的中点在同一个圆上．2．直线和圆的位置关系[生]直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点时，此时直线与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和圆没有公共点时，此时直线和圆相离．[师]总结得不错，判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？[生]有两种方法，一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，另一种是比较圆心到直线的距离d与半径的大小．当d＜r时，直线和圆相交；当d＝r时，直线和圆相切；当d＞r时，直线和圆相离．[师]很好，下面我们做一个练习．(投影片C)如图，点A的坐标是(－4，3)，以点A为圆心，4为半径作圆，则⊙A与x轴、y轴、原点有怎样的位置关系？分析：因为x轴、y轴是直线，所以要判断⊙A与x轴、y轴的位置关系，即是判断直线与圆的位置关系，根据条件需用圆心A到直线的距离d与半径r比较．O是点，⊙A与原点即是求点和圆的位置关系，通过求OA与r作比较即可．[生]解：∵A点的坐标是(－4，3)，∴A点到x轴、y轴的距离分别是3和4．又因为⊙A的半径为4，∴A点到x轴的距离小于半径，到y轴的距离等于半径．∴⊙A与x轴、y轴的位置关系分别为相交、相切．由勾股定理可求出OA的距离等于5，因为OA＞4，所以点O在圆外．[师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系，下面我们要对相切这种位置关系进行深层次的研究，即切线的性质和判定．[生]切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的直径．切线的判定是：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．[师]下面我们看它们的应用．(投影片D)1．如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝9，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ，求AD 的长．2．如图(2)，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，∠CAE ＝∠B ，你认为AE 与⊙O 相切吗？为什么？分析：1．由⊙O 与AC 相切可知OE ⊥AC ，又∠C ＝90°，所以△AOE ∽△ABC ，则对应边成比例，OA OE BA BC=．求出半径和OA 后，由OA －OD ＝AD ，就求出了AD ． 2．根据切线的判定，要求AE 与⊙O 相切，需求∠BAE ＝90°，由AB 为⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，则∠BAC ＋∠B ＝90°，所以∠CAE ＋∠BAC ＝90°，即∠BAE ＝90°．[师]请大家按照我们刚才的分析写出步骤．[生]1．解：∵∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝9，∴由勾股定理得AB ＝15．∵⊙O 切AC 于点E ，连接OE ，∴OE ⊥AC ．∴OE ∥BC ．∴△OAE ∽△BAC ． ∴OA OE AB BC =，即AB OE OE AB BC-=． ∴15159OE OE -=．∴OE ＝458∴AD ＝AB －2OD ＝AB －2OE ＝15－458×2＝154． 2．解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°．∴∠CAB ＋∠B ＝90°．∴∠CAE ＝∠B ，∴∠CAB ＋∠CAE ＝90°，即BA⊥AE．∵BA为⊙O的直径，∴AE与⊙O相切．3．圆和圆的位置关系[师]还是请大家先总结内容，再进行练习．[生]圆和圆的位置关系有三大类，即相离、相切、相交，其中相离包括外离和内含，相切包括外切和内切，因此也可以说圆和圆的位置关系有五种，即外离、外切、相交、内切、内含．[师]那么应根据什么条件来判断它们之间的关系呢？[生]判断圆和圆的位置关系；是根据公共点的个数以及一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来判断．当两个圆没有公共点时有两种情况，即外离和内含两种位置关系．当每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外离；当其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内含．当两个圆有唯一公共点时，有外切和内切两种位置关系，当除公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外切；当除公共点外，其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内切．两个圆有两个公共点时，一个圆上的点有的在另一个圆的内部，有的在另一个圆的外部时是相交．两圆相交只要有两个公共点就可判定它们的位置关系是相交．[师]只有这一种判定方法吗？[生]还有用圆心距d和两圆的半径R、r之间的关系能判断外切和内切两种位置关系，当d＝R＋r时是外切，当d＝R－r(R＞r)时是内切．[师]下面我们还可以用d与R，r的关系来讨论出另外三种两圆的位置关系，大家分别画出外离、内含和相交这三种位置关系．探索它们之间的关系，它们的关系可能是存在相等关系，也有可能是存在不等关系．(让学生探索)大家得出结论了吗？是不是这样的．当d＞R＋r时，两圆外离；当R－r＜d＜R＋r时，两圆相交；当d＜R－r(R＞r)时，两圆内含．(投影片E)设⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r，圆心距为d，在下列情况下，⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？①R＝6cm，r＝3cm，d＝4cm；②R＝6cm，r＝3cm，d＝0；③R＝3cm，r＝7cm，d＝4cm；④R＝1cm，r＝6cm，d＝7cm；⑤R＝6cm，r＝3cm，d＝10cm；⑥R＝5cm，r＝3cm，d＝3cm；⑦R＝3cm，r＝5cm，d＝1cm．[生](1)∵R－r＝3cm＜4cm＜R＋r＝9cm，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交；(2)∵d＜R－r，∴两圆的位置关系是内含；(3)∵d＝r－R，∴两圆的位置关系是内切；(4)∵d＝R＋r，∴两圆的位置关系是外切；(5)∵d＞R＋r，∴两圆的位置关系是外离；(6)∵R－r＜d＜R＋r，∴两圆的位置关系是相交；(7)∵d＜r－R，∴两圆的位置关系是内含．三、有关外接圆和内切圆的定义及画法[生]过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点．因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．和三角形三边都相切的圆；叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心．因此，作三角形的内切圆时，只要作两条角平分线就找到了圆心，以这点与任一边之间的距离为半径，就可作出三角形的内切圆．Ⅲ．课堂练习1．画三个半径分别为2cm、2.5cm、4cm的圆，使它他们两两外切．2．两个同心圆中，大圆的弦AB和AC分别和小圆相切于点D和E，则DE与BC的位置关系怎样？DE与BC之间有怎样的数量关系？(DE 12 BC)Ⅳ．课时小结。

人教版数学九年级上册24.4《圆锥的侧面积》说课稿

人教版数学九年级上册24.4《圆锥的侧面积》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册第24章《圆锥》是初中数学的重要内容，为学生提供了研究空间几何图形的基础。

24.4节《圆锥的侧面积》是在学生已经掌握了圆锥的定义、特性以及底面圆的周长和面积的基础上进行讲解的。

本节课主要让学生了解圆锥的侧面积的概念，学习计算圆锥侧面积的方法，并能够运用这一知识解决实际问题。

教材通过实例引入圆锥侧面积的计算公式，引导学生探究、发现并证明这一公式，从而培养学生解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，对于圆锥的基本概念和特性有一定的了解。

但学生在学习圆锥的侧面积时，可能会遇到将圆锥侧面展开成扇形和圆环的困难，因此需要教师在教学过程中进行引导和帮助。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解圆锥侧面积的概念，掌握计算圆锥侧面积的方法，并能够运用这一知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等活动，培养学生空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 说教学重难点1.重点：圆锥侧面积的概念及其计算方法。

2.难点：圆锥侧面展开成扇形和圆环的理解，以及如何运用圆锥侧面积的知识解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法和探究发现法，引导学生主动参与、积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、圆锥侧面展开图等教具，帮助学生直观地理解圆锥侧面积的概念和计算方法。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个生活中的实例，如制作圆锥形风筝，引出圆锥侧面积的概念。

2.探究圆锥侧面积的计算方法：让学生分组讨论，每组尝试用不同的方法计算圆锥侧面积，最后汇报交流。

3.讲解与演示：教师讲解圆锥侧面展开成扇形和圆环的过程，并用多媒体课件展示，帮助学生直观地理解。

数学上册《圆锥的侧面积和全面积》课件北师大

表面积公式的应用实例
表面积公式可以用于计算圆锥的实际表面积，也可以用于解决与
圆锥表面积相关的数学问题。
例如，可以计算一个圆锥形沙堆的表面积，以了解其外观尺寸和
占地面Байду номын сангаас。
此外，表面积公式还可以用于解决一些几何问题，如计算圆锥的
侧面积和底面面积之和等。
04
圆锥的几何特性
圆锥的底面和侧面
圆锥的底面是圆形，侧面是曲面。
圆锥的侧面积和全面积的计算是几何学中的重要问题，对于理解几何图形的性质和解决几何问题具有重要意义。
圆锥在日常生活中的应用
圆锥在日常生活中的应用十分广泛，例如建筑物的设计、桥梁的建造、管道的铺设等。在这些领域中，圆锥的形状和结构往往能够满足实际需求，提高建筑物的稳定性和安全性。
圆锥在日常生活中的应用还体现在一些工具和器具的设计上，如漏斗、帽子、灯罩等。这些物品的形状和结构往往与圆锥相似，能够满足人们的使用需求和审美需求。
全面积公式的推导
底面积公式的推导
底面积 = πr^2，这是根据圆的面积公式推导出来的。
侧面积公式的推导
侧面积 = πrl，这是根据圆的周长和母线长的关系推导出来的。
全面积公式的应用实例
计算圆锥形物体的表面积
通过使用全面积公式，可以计算出圆锥形物体的表面积，这对于工程、建筑和产品设计等领域非常重要。
圆锥在工程和科学中的应用
在工程和科学领域中，圆锥的应用同样十分广泛。例如在机械工程中，圆锥经常被用于设计各种零部件，如轴承、齿轮等。这些零部件的形状和结构往往需要满足一定的力学性能和运动要求。
在航空航天领域中，圆锥的应用也十分常见。例如火箭和导弹的发射需要使用圆锥形的燃烧室，飞机和卫星的设计也需要考虑到空气动力学因素和结构稳定性等因素。

圆锥侧面积和体积课件

圆锥侧面积和体积
圆锥的侧面积和体积
某班计划举行元旦联欢活动，有一个节目需要 20顶圆锥形纸帽，要求纸帽的底面半径为30cm，高为40cm，要制作这些纸帽至少需要多少平方厘米的纸？
圆锥侧面积公式
S 1 cl 2
1.已知圆锥的底面周长为4，母线长为6，求该圆锥的侧面积．
解： S 1 cl 1 4 6 12
5.已知圆锥轴截面为等腰直角三角形，且面积为2，求圆锥侧面积。
解：
所以
l2
c 2r 2 2 4
则 S 1 cl 1 4 3 6
22
答：圆锥的侧面积是 6
圆锥侧面积
圆锥体积
S圆锥侧面积
Байду номын сангаас
1 cl 2
rl
V 1 r2h
3
22
2. .已知圆锥底面半径为4，母线长为8，求该圆锥的侧面积．
解：
c 2r 2 4 8
S 1 cl 1 8 8 32
22
3.已知圆锥底面半径为2，高为3，求该圆锥的侧面积．
解：由圆锥底面半径为2，高为3，得
r
l r2 h2 22 32 13
又因为
c 2r 2 2 4
所以 S 1 cl 1 4 13 2 13
22
答：圆锥的侧面积是2 13
hL
4.已知圆锥母线长为3，高为 5，求该圆锥的侧面积．
解：
由圆锥母线长为3，高为 5 ，得
r
r l2 h2 32
2
5 2
所以
c 2r 2 2 4
则 S 1 cl 1 4 3 6
22
hL
答：圆锥的侧面积是 6

圆锥的侧面积课件

3
教育
在教育中，圆锥的侧面积是数学和几何学的重要知识点之一，可以帮助学生更好地理解三维空间的概念。
4
地球科学
圆锥的侧面积还可以用于地球科学的研究，如估算火山锥体的侧面积。
总结与答疑
1 知识点总结
圆锥的侧面积是指圆锥侧面的表面积总和。它的计算公式是侧面积 = 侧面母线 * 直母线 * π。
2 答疑解惑
变化
圆锥的侧面形状可以是直角三角形、一般三角形、梯形，只要底面和侧面互相垂直且交线重合就是圆锥。
圆锥的侧面积计算公式
公式推导
圆锥的侧面积 = 侧面母线 * 直母线 * π。其中，侧面母线是侧面与底面相交的直线段，直母线是圆锥的高，π是圆周率。
计算方法
通过测量侧面母线和圆锥的高，将它们代入上述公式即可计算出圆锥的侧面积。
我们将解答您在学习中遇到的问题和困惑，让您对圆锥的侧面积有更深入的理解。Fra bibliotek实例演练
圆锥的基本要素
选定一个圆锥，标定其底面、侧面和顶点等基本要素。
测量数据
测量此圆锥的侧面母线长度、高度等数据。
计算并验证
基于公式，计算此圆锥的侧面积，并验证计算结果是否正确。
应用场景
1
建筑
圆锥的侧面积广泛应用于建筑设计中，如锥形屋顶的设计和估算。
2
制造业
在制造业中，圆锥的侧面积可以用来计算锥形零件的表面积，如锥形砂轮的表面积。
圆锥的侧面积ppt课件
欢迎来到圆锥的侧面积ppt课件。在这堂课上，您将学习到圆锥的定义，侧面积计算公式，实例演练，应用场景以及总结与答疑。
圆锥的定义
形状
基本要素
圆锥的形状是一个底面是圆形，侧面是由一个顶点切割底面所得到的三角形，侧面归于锥面。

苏教版数学九年级上册说课稿《2-8圆锥的侧面积》

苏教版数学九年级上册说课稿《2-8圆锥的侧面积》一. 教材分析《圆锥的侧面积》是苏教版数学九年级上册第五章“圆锥”的一部分。

这部分内容是在学生已经掌握了圆锥的基本概念、性质和圆锥的体积计算的基础上进行教学的。

本节课的主要内容是引导学生通过观察、思考、探究、交流等方式，理解和掌握圆锥的侧面积的计算方法和应用。

教材中通过生活中的实例引入圆锥的侧面积的概念，接着引导学生通过展开圆锥的侧面，推导出圆锥的侧面积的计算公式，最后通过练习，巩固学生对圆锥侧面积的理解和应用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，对圆锥的基本概念和性质有一定的了解。

但是，由于圆锥的侧面积比较抽象，学生理解和掌握起来可能会有一定的困难。

因此，在教学过程中，我将会注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主探究圆锥侧面积的计算方法和应用，帮助学生克服困难，提高学生对圆锥侧面积的理解和应用能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握圆锥的侧面积的计算方法和应用。

2.过程与方法目标：培养学生通过观察、操作、思考、交流等方式自主探究问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：圆锥的侧面积的计算方法和应用。

2.教学难点：圆锥的侧面积的推导过程和理解。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用引导探究法、合作交流法、直观演示法等教学方法，利用多媒体课件、圆锥模型等教学手段，帮助学生理解和掌握圆锥的侧面积。

六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，引导学生思考圆锥的侧面积的概念。

2.探究：引导学生通过展开圆锥的侧面，观察和思考圆锥侧面积的计算方法。

3.讲解：讲解圆锥侧面积的计算公式，并引导学生通过练习，巩固对圆锥侧面积的理解。

4.应用：通过实际问题，引导学生运用圆锥侧面积的知识解决问题。

5.小结：对本节课的内容进行总结，强调圆锥侧面积的计算方法和应用。

人教版九年级数学上册24.4.2《圆锥的侧面积和全面积》教学设计

人教版九年级数学上册24.4.2《圆锥的侧面积和全面积》教学设计一. 教材分析《圆锥的侧面积和全面积》是人教版九年级数学上册第24章“圆锥”的一部分。

本节内容是在学生已经掌握了圆锥的定义、性质以及圆锥的体积计算的基础上进行学习的，是进一步深化学生对圆锥的理解和认识。

教材从实际应用出发，引导学生探究圆锥的侧面积和全面积的计算方法，从而提高学生的空间想象能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，对于圆锥的基本概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆锥的侧面积和全面积的计算方法，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等途径，自主探究圆锥的侧面积和全面积的计算方法。

三. 教学目标1.让学生掌握圆锥的侧面积和全面积的计算方法。

2.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

3.提高学生的合作交流和自主探究能力。

四. 教学重难点1.圆锥的侧面积和全面积的计算方法。

2.如何将实际问题转化为数学问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生自主探究圆锥的侧面积和全面积的计算方法。

2.利用多媒体课件和实物模型，帮助学生直观地理解圆锥的侧面积和全面积的概念。

3.采用小组合作交流的方式，让学生在讨论中解决问题，提高学生的合作交流能力。

六. 教学准备1.多媒体课件和实物模型。

2.圆锥的侧面展开图和全面积计算公式。

3.练习题和答案。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示圆锥的实物模型，引导学生回顾圆锥的定义和性质。

然后提出问题：“圆锥的侧面积和全面积如何计算呢？”从而引出本节课的主题。

2.呈现（10分钟）教师利用多媒体课件，展示圆锥的侧面展开图，引导学生观察和思考圆锥的侧面积和全面积的计算方法。

在这个过程中，教师引导学生发现圆锥的侧面积等于侧面展开图的面积，全面积等于底面积加上侧面积。

3.操练（10分钟）教师给出一些圆锥的侧面积和全面积的计算题目，让学生独立完成。

苏科版数学九年级上册教案-2.8 圆锥的侧面积

2.8 圆锥的侧面积教师活动童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，高h＝15cm，底面半径r＝5cm，请你帮他算一算生产一个这种帽身至少需多少平方米的材料吗？（不计接缝用料和余料,保留π）学生活动学生思考回答设计意图引入本课主题，计算圆锥侧面积教学环节2教学过程知识回顾教师活动展示一个圆锥学生活动观察圆锥的面、点、线设计意图1、圆锥的再认识：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面.2、引出圆锥母线的概念：把连接圆锥的顶点和圆锥底面圆上的一点的线段叫做圆锥的母线．3、圆锥中的勾股定理：222rhl+ =教学环节3教学过程解决问题教师活动提问：如何计算圆锥的侧面积？学生活动交流合作，解决问题设计意图1、培养学生的合作能力，激发学生的学习兴趣。

为难点的引入做好铺垫。

2、让学生体会通过展开，可以讲立体几何问题转化为平面图形问题来解决。

3、让学生先行尝试一个公式的推导过程，加深对公式的理解和记忆。

教学环节4教学内容圆锥侧面积公式的产生教师活动教师板书学生活动学生发言设计意图1、明确圆锥的侧面展开是个扇形。

2、明确圆锥的母线是扇形的半径。

3、明确圆锥底面周长是扇形的弧长。

4、利用扇形面积公式中S扇=1/2lr推导S侧=πra教学环节5 教学内容例题讲解：例1 用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示．求所需铁皮的面积S（精确到1cm2 ）．教师活动提问：求什么？已知哪些？用哪个公式？学生活动思考问题，回答问题，解决问题设计意图 1、训练解这类题的步骤，提高解题的能力。

2、巩固圆锥侧面积公式。

教学环节6 教学内容例2：已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，求（1）以BC 所在直线为中心轴旋转一周得到的几何体的侧面积和全面积；（2）以AB 所在直线为中心轴旋转一周得到的几何体的侧面积和全面积．教师活动提问：旋转的图形是是什么样子？已知哪些条件？运用哪个公式？学生活动画图解决问题设计意图 1、训练学生的动手能力和问题分析能力、2、训练解决这类的一般过程：根据已知条件选择合适的公式3.进一步巩固圆锥侧面积公式和全面积公式八、拓展练习在半径为2 的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（如图中的阴影部分）． A B C（1）求这个扇形的面积（结果保留π）；（2）用所剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆半径；（3）在被剪掉的3块余料中，能否从中选取一块剪出一个圆作为“（2）”中所围成的圆锥的底面？九、小结本节课我们学习了十、作业布置见学案反面十一、反思根据课后作业反应出的情况： 1、题目已知条件变化多样，学生越做越乱。

圆锥的侧面积和全面积说课课件新

∴ △ABB’是等边三角形 ∴ BB’=AB=6
答:蚂蚁爬行的最短路线为6.
B
1
C
• 本题的创设，充分利用“环节二”中学生剪开的一个圆锥模型，使教学更加连贯，且节约了时间。 • 本题对挖掘学生的空间思维，发挥他们的潜能起非常重要的作用。在探求过程中通过将圆锥展成平面图形后，既有效降低难度，分散难点，也扩充了教学内容。
环节四、小结归纳
小结
本节课我们有什么收获? 本节课我们认识了圆锥的侧面展开图，学会计算圆锥的侧面积和全面积，在认识圆锥的侧面积展开图时，应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长。圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径，这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟练、准确。
设计意图 • 回顾梳理本节知识，巩固，提高，发展。 • 让学生归纳、总结所学知识，进行自我评价，自我总结. • 这样可以让不同的学生会有不同的体会，尊重了学生的个体差异，激发了学生主动参与意识，为每个学生创造了在数学活动中获得活动经验的机会．
18 ∏ ________cm ．
2
（2）已知圆锥的高是 30cm，母线长是 50cm，则圆锥的侧面积是0.2∏ cm . 2
30 50
1、让学生在练习本上解答环节一中课题导入中的问题，找一名同学上黑板板书。师生共同检查板书过程。
意图（1）、可以解答学生心中一直带着的疑问；（2）、消化理解新公式；
一、教材的地位和作用：本节课是在学生已熟知的圆的周长、面积，弧长、扇形的面积基础上推导出来的又一与圆有关的计算公式，这些计算不仅是几何中的基本计算，在生产生活领域中也有着很广泛的实用价值。通过学生的实践活动，渗透了立体图形平面化的数学思维方法，进一步培养了学生的空间观念和转化思想；通过对生活中实际问题的解决，体现数学来源于生活，又服务于生活的教育理念。因此，本节课的内容在本章乃至整个初中阶段都有非常重要的地位。

圆锥侧面积公式推导详解

圆锥侧面积公式推导详解圆锥的侧面积是指由底面到顶点的所有侧面的总面积。

要推导圆锥的侧面积公式，我们需要先理解圆锥的几何特性。

圆锥由一个圆底面和一个尖顶组成，侧面的形态可以通过将底面上的每个点与顶点连接而得到。

侧面是由无数个三角形组成的，我们可以通过求每个三角形的面积来得到侧面的总面积。

设圆锥的高为h，底面半径为R，以及侧面的斜高l。

我们可以用高度h和底面半径R来构造一个直角三角形，其中一条边是锥的侧面，一条边是锥的高，另一条边就是锥的斜高l。

这个三角形的底边长为R，高边长为h，斜边长为l。

根据勾股定理，我们可以得到：l²=R²+h²接下来，我们需要计算每个三角形的面积。

设底面上任意一点P与顶点连接的线段与底面的交点为E，线段PE的长度为x。

我们可以通过相似三角形来计算这个三角形的面积。

由相似三角形的性质可得，PE/x=h/R解上式可得 PE = hx / R因为底面是一个圆，所以点E到圆心的距离是R。

因此，我们可以使用勾股定理求得EP的长度：EP²=PE²+x²将PE的表达式代入上式，得到：EP² = (hx / R)² + x²=h²x²/R²+x²=x²(h²/R²+1)再次由勾股定理可得，EP=√(h²/R²+1)*x这样，我们就得到了每个三角形的底边长和高，从而可以计算出每个三角形的面积。

单个三角形的面积可以表示为：S=(1/2)*R*√(h²/R²+1)*x我们需要将所有的三角形面积相加，得到侧面的总面积。

由于圆锥的底面是一个圆，它的面积为πR²。

根据底面和侧面的面积之和等于圆锥的表面积，我们可以得到：S侧=πR²+S将S的表达式代入上式，得到：S侧=πR²+(1/2)*R*√(h²/R²+1)*x我们还需要计算x的长度，即点P到底面上交点E的距离。

圆锥的侧面积公式是什么

圆锥的侧面积公式是什么圆锥是我们在数学学习中经常会遇到的一个几何体，而了解圆锥的侧面积公式对于解决很多与圆锥相关的问题至关重要。

我们先来认识一下圆锥。

圆锥是由一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周所形成的几何体。

它由一个底面和一个侧面组成。

底面是一个圆形，侧面则是一个曲面。

那么，圆锥的侧面积公式到底是什么呢？圆锥的侧面积公式为：S ＝πrl ，其中 S 表示圆锥的侧面积，π 是圆周率（通常取值 314），r 是圆锥底面圆的半径，l 是圆锥的母线长。

为了更好地理解这个公式，我们先来看一下什么是圆锥的母线。

圆锥的母线是指圆锥顶点到底面圆周上任意一点的连线。

想象一下，我们把圆锥的侧面沿着母线剪开，展开之后会得到一个扇形。

这个扇形的半径就是圆锥的母线长 l ，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长2πr 。

那么扇形的面积怎么计算呢？扇形的面积公式是：S ＝ 1/2 ×弧长 ×半径。

对于圆锥侧面展开的扇形来说，弧长就是底面圆的周长2πr ，半径就是母线长 l 。

所以圆锥的侧面积 S ＝1/2 × 2πr × l ＝πrl 。

我们通过一个例子来具体计算一下圆锥的侧面积。

假设一个圆锥的底面半径 r 为 3 厘米，母线长 l 为 5 厘米。

那么根据圆锥的侧面积公式S ＝πrl ，可得侧面积 S ＝ 314 × 3 × 5 ＝ 471 平方厘米。

在实际生活中，圆锥的侧面积公式有着广泛的应用。

比如，在制作圆锥形的帽子、漏斗或者圆锥形的灯罩时，我们需要计算所需材料的面积，这时候就可以用到圆锥的侧面积公式。

再比如，在建筑设计中，如果要建造一个圆锥形的屋顶，工程师也需要计算出圆锥的侧面积，以确定所需的建筑材料数量。

学习圆锥的侧面积公式不仅能够帮助我们解决实际问题，还能培养我们的空间想象力和逻辑思维能力。

当我们面对一个复杂的圆锥体时，只要知道了底面半径和母线长，就能够轻松地计算出它的侧面积。

38圆锥侧面积优秀教案

圆锥的侧面积教案目标(一)教案知识点1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．(二)能力训练要求1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．(三)情感与价值观要求1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际．教案重点1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．教案难点经历探索圆锥侧面积计算公式．教案方法观察——想象——实践——总结法教具准备一个圆锥模型(纸做)投影片两张第一张：(记作§3．8A)第二张：(记作§3．8B)教案过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？[主]见过，如漏斗、蒙古包．[师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流．[生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的．[师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这些问题．Ⅲ．新课讲解一、探索圆锥的侧面展开图的形状[师](向学生展示圆锥模型)请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧面展开图是什么形状．[生]圆锥的侧面展开图是扇形．[师]能说说理由吗？[生甲]因为数学知识是一环扣一环的，后面的知识是在前面知识的基础上学习的．上节课的内容是弧长及扇形面积，本节课的内容是圆锥的侧面积，而弧长不是面积，所以我猜想圆锥的侧面展开图应该是扇形．[师]这位同学用的虽然是猜想，但也是有一定的道理的，并不是凭空瞎想，还有其他理由吗？[生乙]我是自己实践得出结论的，我拿一个扇形的纸片卷起来，就得到了一个圆锥模型．[师]很好，究竟大家的猜想是否正确呢？下面我就给大家做个演示(把圆锥沿一母线剪开)，请大家观察侧面展开图是什么形状的？[生]是扇形．[师]大家的猜想非常正确，既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节课的扇形面积公式就能计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖开，在展开图中的扇形的半径和圆心角与不展开图形中的哪些因素有关呢？这将是我们进一步研究的对象．二、探索圆锥的侧面积公式[师]圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线(generating line)长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr ，根据扇形面积公式可知S ＝12·2πr ·l ＝πrl ．因此圆锥的侧面积为S 侧＝πrl ．圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积(surfacearea)，全面积为S 全＝πr 2＋πrl ．三、利用圆锥的侧面积公式进行计算．投影片(§3．8A)圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58cm ，高为20cm ，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘M 的纸？(结果精确到0.1cm)2分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的周长，从中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长．在高h 、底面圆的半径r 、母线l 组成的直角三角形中，根据勾股定理求出母线l ，代入S 侧＝πrl 中即可．解：设纸帽的底面半径为r cm ，母线长为l cm ，则r ＝582πl 2258()202+π≈22.03cm ， S 圆锥侧＝πrl ≈12×58×22.03＝638.87cm 2． 638.87×20＝12777.4cm 2．所以，至少需要12777.4cm 2的纸．投影片(§3．8B)如图，已知Rt △ABC 的斜边AB ＝13cm ，一条直角边AC ＝5cm ，以直线AB 为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．分析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和．根据S 侧＝360nπR 2或S 侧＝πrl 可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为AB 垂直于底面圆，在Rt △ABC 中，由OC 、AB ＝BC 、AC 可求出r ，问题就解决了．解：在Rt △ABC 中，AB ＝13cm ，AC ＝5cm ， ∴BC ＝12cm ． ∵OC ·AB ＝BC ·AC ， ∴r ＝OC ＝．∴S 表＝πr (BC ＋AC )＝π×6013×(12＋5) ＝102013π cm 2． Ⅲ．课堂练习随堂练习 Ⅳ．课时小结本节课学习了如下内容：探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算． Ⅴ．课后作业习题3．11 Ⅵ．活动与探究探索圆柱的侧面展开图在生活中，我们常常遇到圆柱形的物体，如油桶、铅笔、圆形柱子等，在小学我们已知圆柱是由两个圆的底面和一个侧面围成的，底面是两个等圆，侧面是一个曲面，两个底面之间的距离是圆柱的高．圆柱也可以看作是由一个矩形旋转得到的，旋转轴叫做圆柱的轴，圆柱侧面上平行于轴的线段都叫做圆柱的母线．容易看出，圆柱的轴通过上、下底面的圆心，圆柱的母线长都相等，并等于圆柱的高，圆柱的两个底面是平行的．如图，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，侧面的展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长，另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高．[例1]如图(1)，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD ．已知AD ＝18cm ，AB ＝30cm ，求这个圆柱形木块的表面积(精确到1cm 2)．解：如图(2)，AD 是圆柱底面的直径，AB 是圆柱的母线，设圆柱的表面积为S ，则S ＝2S 圆＋S 侧．∴S ＝2π(182)2＋2π×182×30＝162π＋540π≈2204cm 2．所以这个圆柱形木块的表面积约为2204cm 2．板书设计§3．8 圆锥的侧面积一、1．探索圆锥的侧面展开图的形状；2．探索圆锥的侧面积公式；3．利用圆锥的侧面积公式进行计算．二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。

山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《38圆锥的侧面积》教案北师大版

山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.8圆锥的侧面积》教案北师大版教学过程一、创设问题，引入新课师：大家看一下这个模型，你知道它是什么模型吗？（展示模型）生：圆锥．（齐声回答）师：你们在小学阶段学过关于它的知识吗？生：学过．（齐声回答）师：你知道关于它的哪些知识？生1：它的体积计算公式是：V ＝13r 2h ．师：你知道它的侧面展开图是什么图形吗？它的侧面积又如何计算呢？生：不知道．师：这节课我们就共同探究圆锥的侧面积.（板书课题：圆锥的侧面积）（设计意图：由圆锥模型引起学生回顾小学所学知识，再通过问题引入，激发学生的学习兴趣）二、分组合作，探究新知活动一：认识圆锥的相关概念师：大家仔细观察这个模型．圆锥有几个面？课时第三章第八节第1课时课题课型新授课时间节次第三节授课人教学目标1.了解圆锥的母线、高等概念．2.掌握圆锥的侧面展开图是扇形，以及圆锥的侧面积公式．3.能用圆锥的侧面积公式进行有关计算.重点圆锥的侧面积公式的推导以及应用．难点应用公式解决实际问题．教法、学法指导教师引导启发，学生自主学习与合作探究．课前准备教、学具：多媒体课件、自制圆锥模型；知识储备：弧长公式与扇形面积公式.生：两个面，一个圆面是底面，一个曲面是侧面．师：很好！我把这个模型画成一个几何图形，如图1所示：（展示课件）它的最尖的部分是一个点，你知道叫什么吗？生：顶点．师：对！顶点．刚才我们观察模型时，知道底面是一个圆形，圆形一定有圆心．现在连接圆心与顶点，你知道这条线段叫什么吗？生：高．师：好！再连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点，又得到一条线段，你还知道叫什么吗？生：母线．（个别同学回答）师：预习的同学都知道．看来大部分同学没有预习，希望大家今后养成预习的好习惯．我们继续了解母线．在图1中，VA 和VB 都是母线，现在大家思考一下，它们有什么大小关系？（学生自主探究）生1：VA ＝VB ，因为△VOA 和△VOB 都是直角三角形，并且OA ＝OB ，VO 为公共边，所以Rt △VOA 与Rt△VOB 全等，所以VA ＝VB ．师：很好!我们鼓励一下．实际上，圆锥的所有母线都是相等的．除了母线外，如果用r 表示底面圆的半径，h 表示圆锥的高，l 表示母线的长，你还能得到它们之间有什么关系？生2：由勾股定理得，r 2＋h 2＝l 2师：很好！这个公式有时候能用到，大家注意一下．实际上，我们可以把直角三角形绕着一条直角边旋转一圈就能得到一个圆锥．设计意图：通过模型使学生加深对基本概念的理解，为下一步推导公式打下基础．活动二：探究圆锥的侧面积师：现在大家注意观察，如果把这个无底面的圆锥模型沿着母线剪开，会得到一个什么图形呢？（找个学生动手操作，然后展示）生：扇形．师：我们要探究的圆锥的侧面积实际就是展开后得到的扇形的面积．现在请同学们默写出上节课我们学习的扇形的面积公式和弧长公式．（一个同学在黑板默写）生1：扇形面积lR R n S 213602==π，弧长公式R nl π180= 师：大家检查他默写的对不对？生：对．师：看来上节课的知识掌握还可以．现在就利用这些公式探究圆锥的侧面积．A图1母线高O V（展示课件）设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，如图2所示，给你几分钟时间，探究下面问题：（1）底面圆的周长是多少？（2）底面圆的周长与展开后得到的扇形的弧长有什么关系？（3）展开后得到的扇形的面积怎么计算？（学生小组讨论，探究学习，教师巡视指导）师：有结论的请举手？生1：底面圆的周长是2πr ，底面圆的周长与展开后的扇形的弧长相等，因此扇形面积为S ＝12×2πrl ＝πrl师：大家同意他的结论吗？生：同意．师：非常好！这个公式S 侧＝πrl ，就是我们要得到的圆锥的侧面积公式．大家一定要熟记，特别是每个字母表示的意义．那么圆锥的全面积你会计算吗？生：S 全＝πrl ＋πr 2师：圆锥的侧面积与底面积之和就是圆锥的全面积．现在大家想一想，在推导圆锥侧面积公式的过程中，关键点在哪？为什么？（学生讨论）生：我认为关键在于底面圆的周长与展开后的扇形的弧长相等．因为要求扇形面积，已经知道半径了，再求弧长就可以了，而弧长恰好就是底面圆的周长．师：他分析的有道理吗？生：有道理．师：很好！其实根据这一点，还可能求出展开后扇形的圆心角，甚至已知圆心角求其它的未知量．下面我们就看一个例题．设计意图：利用圆锥的模型，把其侧面展开，使学生认识到圆锥的侧面展开图是一个扇形，并能将圆锥的有关元素与展开图扇形的有关元素进行相互间的转化，最后应用圆锥及其侧面展开图之间对应关系进行推导．活动三：例题探究师：（课件展示）例1：制作圆锥形铁皮烟囱帽，其尺寸要求为：底面直径80㎝，母线长50㎝，求：（1）烟囱帽铁皮的面积是多少？(结果保留π) （2）制成这个烟囱帽所需扇形铁皮的圆心角是多少度？现在给大家几分钟时间，小组合作探究完成．（学生小组合作探究，交流结果，教师巡视指导）l r 图2师：哪位同学来展示一下自己的答案？生1：（1）S 侧＝πrl ＝π×40×50＝2000π（㎝2）（2）由S 侧＝S 扇得，πrl ＝n 360πl 2，n ＝360r l ＝360×4050＝288，即圆心角为288°．师：大家看一下他的答案，有问题吗？生：没有．师：很好！我们鼓励一下．还有其它做法吗？生2：我在求圆心角时是利用弧长等于底面圆的周长计算的．师：具体一点．生2：由2πr ＝n 180πl 得，n ＝360r l ＝360×4050＝288，即圆心角为288°．师：对不对？生：对．师：很好！我们也鼓励一下．看来大家对知识的掌握还可以．现在有一个更实际一点的问题，你能解决吗?请看大屏幕．(课件展示)例2．圣诞节将近，某家商店要制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为30πcm,高为20 cm ，要制作20顶这样的帽子要用多少平方厘米的纸？（结果保留π）师：现在给你几分钟时间，小组探究一下．（学生小组探究，教师巡视指导）师：哪个同学来展示一下答案？生1：解：设纸帽的底面半径为r ㎝，母线长为l ㎝，则2πr =30π，r =15，l=222015+=25．S 侧=πr l =15×25π=375π（㎝2），375π×20=7500π（㎝2）所以，至少需要7500π㎝2的纸．师：大家对照自己的解题过程，检查一下他的做题步骤有没有问题．生：没有问题．师：很好！我们鼓励一下．希望大家在以后的做题中，也能按照这样的格式去写．现在我们练习两个题目．设计意图：通过两个例题巩固学生对圆锥侧面积公式的应用．其中第二个例题是教材例题，只是把数据进行改动，目的主要是方便计算，减小计算量．三、学有所用（课件展示）1. 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的．如果想在某个牧区搭建15个底面积为33 m2，高为10m （其中圆锥形顶子的高度为2m）的蒙古包．那么至少需要用多少平方米的帆布?（结果精确到0.1 m2）设计意图：本题考查学生对公式的掌握情况，培养了实际应用能力．2．一个圆锥的底面半径为10cm，母线长20cm，求：（1）圆锥的全面积；（2）圆锥的高；（3）轴与一条母线所夹的角；（4）侧面展开图扇形的圆心角．设计意图：本题考察学生对知识的综合应用能力．四、学习收获师：现在，我们已经学习完本节课的主要内容.通过本节课的学习，你有什么收获呢？大家仔细想一想. 生1：我学会了圆锥的侧面展开图是个扇形，侧面积公式S侧= r l.师：还有吗？生1：还有这个公式的推导过程，以及利用这个公式及其它公式解决实际问题.师：总结的很全面，学就是为了会用，现在检测一下自己，看看你会用吗？设计意图：培养学生的总结能力，进一步领会本节的重点知识，并能互相帮助解决学习上的困难．五、课堂检测A类：1．已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为．2．一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的全面积为3．已知等腰直角三角形的直角边长为a，以一直角边为轴，旋转一周，求所得几何体的表面积．设计意图：通过三道比较简单的题目，考查学生对基础知识的掌握情况，进一步巩固本节课的基础知识．B类已知一个圆锥的母线长是3m，底面半径是1m，一只蚂蚁在底面圆周上的A点出发，绕侧面一周再回到A 点，你知道蚂蚁经过的最短路线是多少吗？设计意图：使学生了解展开图形，体会用展开几何体的方法解决问题，进一步培养学生的数形结合的解题思想和方法．C类如图中有一四边形状的铁皮ABCD，BC＝CD，AB＝2AD，∠ABC＝∠ADB＝900．D（1）求∠C的度数；（2）以C为圆心，CB为半径作圆弧BD得一扇形CBD，剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC ＝a，求该圆锥的底面半径r．（3）在（2）中用剩下的材料能否下一块整的圆面做该圆锥的底面？并说明理由．设计意图：本题前两问相对较简单，第三问难度较大，考查学生结合圆与圆相切，直线与圆相切等综合知识，通过本题培养学生的综合应用能力．六、作业：习题3.11知识技能第1、2题七、板书设计：§3.8 圆锥的侧面积1．基本概念: （1）母线：（2）高：2.圆锥的侧面积公式S侧=πr l 3．圆锥的全面积S全＝πrl＋πr24．例题探究例1：例2：5．学以致用6．学习收获7．课堂检测八、教学反思1．本节课通过复习回忆小学阶段的知识引入新课，在学习过程中结合实物模型，使学生对圆锥有了更加感性的认识，并且在推导圆锥的侧面积公式的过程中，老师只起到引导作用，全部是学生结合已有知识自己推导，体现了学生的主体地位，调动了学生的学习热情，充分体现了新课改精神．2．不足：在教学中也没有涉及轴截面、锥角等概念，但一些资料中涉及关于它们的计算，这一点要引起注意，在教学时适当补充．3．建议：教学前可以让学生自己准备一个圆锥模型，增加直观认识，为推导公式做准备．课堂检测的个别题目比较难，教师可以适当提示解题思路，但是基础题目还是要求学生自己解答．。