材料力学组合变形完整版
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09.材料力学-组合变形
2 1 ， 2 0， 3 2 2 2 2 2
然后，选用强度理论建立强度条件。因手柄用钢材制成，应 选用第三或第四强度理论。若采用第三强度理论，可得其强度 条件为
2
2
r 3 4
2
2
≤
作出AB杆的弯矩图和AC段的轴力图，如图(c)所示。从图中 可以看出， C 点截面左侧，其弯矩值为最大，而轴力与其它截 面相同，故为危险截面。 开始试算时，可以先不考虑轴力Fx的影响，只根据弯曲强度
条件选取工字钢。这时截面系数为
W≥
M 120 10 m 120cm 100 106
350
M
FN
(a)
(b)
t .max
(c)
c.max
21
解：首先，根据截面尺寸计算横 截面面积，确定截面形心位置，求 出截面对形心主惯性轴y的主惯性矩
y1
z0
y
z1
50
Iy。计算结果为
150 50 150
A 15103 mm2 ，z1 75 mm， I y 531010 mm
30
若采用第四强度理论，可将上述三个主应力代入公式，其 强度条件成
r 4 2 3 2 ≤
若将式
M W
MT WP
2 M 2 MT
代入上两式，并注意到对圆截面杆有 WP ＝ 2W ，则以上两式 改写成
r3
r4
W
2 M 2 0.75M T
≤ ≤
A1 Wz1
200
300
200 P
350000 350 50 6 0.2 0.3 0.2 0.32 11.7 MPa
材料力学-组合变形
第八章
组合变形
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
z Fz φ Fy y F
x
对载荷进行分解、分组和叠加。 对载荷进行分解、分组和叠加。
一、应力与变形的计算
1. 应力计算
z x Fy y z Fz x 中性轴 σamax σlmax
y
z Fz φ x l My z Mz Fy y F
x
M y = Fz (l x) = F sin φ (l x) M z = Fy (l x) = F cos φ (l x) M y = M sin φ = F (l x) sin φ M z = M cos φ = F (l x) cos φ
x
M z = Fy (l x)
M y = Fz (l x)
FN M y z A M z y A σ= + + A Iz Iy
Fx = bh
-
Fz (l x) × 30
b h / 12
3
+
Fy (l x) × 20
bh 3 / 12
2. 3. 4. 5.
中性轴离开坐标原点， 中性轴离开坐标原点，且与形心主轴斜交 截面上到中性轴距离最大的点， 截面上到中性轴距离最大的点，正应力值最大 多边形截面的最大的正应力均发生在角点， 多边形截面的最大的正应力均发生在角点， 曲线周边截面通过推中性轴平行线， 曲线周边截面通过推中性轴平行线，至截面周边的 方法来确定最大正应力的位置。 方法来确定最大正应力的位置。
压缩+ 压缩+平面弯曲
3)求应力 求应力
FN = 3kN M max = 8kN m
σ t ,max
FN M max ± = σ c,max A W
组合变形
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
z Fz φ Fy y F
x
对载荷进行分解、分组和叠加。 对载荷进行分解、分组和叠加。
一、应力与变形的计算
1. 应力计算
z x Fy y z Fz x 中性轴 σamax σlmax
y
z Fz φ x l My z Mz Fy y F
x
M y = Fz (l x) = F sin φ (l x) M z = Fy (l x) = F cos φ (l x) M y = M sin φ = F (l x) sin φ M z = M cos φ = F (l x) cos φ
x
M z = Fy (l x)
M y = Fz (l x)
FN M y z A M z y A σ= + + A Iz Iy
Fx = bh
-
Fz (l x) × 30
b h / 12
3
+
Fy (l x) × 20
bh 3 / 12
2. 3. 4. 5.
中性轴离开坐标原点， 中性轴离开坐标原点，且与形心主轴斜交 截面上到中性轴距离最大的点， 截面上到中性轴距离最大的点，正应力值最大 多边形截面的最大的正应力均发生在角点， 多边形截面的最大的正应力均发生在角点， 曲线周边截面通过推中性轴平行线， 曲线周边截面通过推中性轴平行线，至截面周边的 方法来确定最大正应力的位置。 方法来确定最大正应力的位置。
压缩+ 压缩+平面弯曲
3)求应力 求应力
FN = 3kN M max = 8kN m
σ t ,max
FN M max ± = σ c,max A W
材料力学组合变形
第八章 组合变形
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力
材料力学 组合变形完整版
x
（竖直xz面My） C
B
D
A
材料力学
组合变形/扭转与弯曲的组合
根据内力图分析
可能的危险截面：B和D
思考
如何通过计算确定危险截面的位置？
y
M
My
z
Mz
由于圆形截面的特殊性， 可将弯矩平行四边形合成
危险截面为B
材料力学
组合变形/扭转与弯曲的组合
4.确定危险点及应力状态
危险点的位置
y
y
M
My
z
Mz
M
z
T
材料力学
组合变形/扭转与弯曲的组合
危险点的应力状态
y
M
z
T
二向应力状态
材料力学
组合变形/扭转与弯曲的组合
5.根据强度理论进行强度校核 要求回顾如何根据材料选择强度理论
钢属于塑性材料，按第三或第四强度理论校核
第三强度理论校核： 1 3 []
第四强度理论校核：
材料力学
组合变形/扭转与弯曲的组合
2FL
FL
材料力学
3. 根据弯矩图确定可能的危险截面
竖直xy面：
FL
水平xz面：
2FL
FL
结论： 危险截面可 能是中点或 固定端。
材料力学
4. 通过叠加求危险截面的最大正应力
z
z
y
y
Mxy Mxz Wz Wy
Mxy 2 Mxz 2
材料力学
W
y
竖直xy面：
FL
Z
水平xz面：
2FL
σmax=|σ’+σmax| σmax≤[σ]
②扭转与弯曲组合
材料力学-9-组合受力与变形
Nanjing University of Technology
材料力学 (9)
材料力学
第9章 组合受力与变形
第9章 组合受力与变形
一、工程实例
烟囱 传动轴 立柱
自重 →轴向压缩 +水平方向的风力 →弯曲
齿轮垂直啮合力 →弯曲 +齿轮水平啮合力 →扭转
二、概念 组合变形：构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变 形,则构件的变形称为组合变形。
y x z y
9.1 斜弯曲
FPz FPy
例题1
FPy
x
解：1.外力分析，建立坐标系方向如 图所示
FPz FPsin 5, FPy FP cos5
2. 内力分析（绘制内力图）
中间截面为梁的危险截面。
1 M z max FPy 4 FP cos 5 4
FPz
z
My图
FP
F
F
F FN N A
M max
M max W
l/2
l/2
讨论：
FN M max FN M max FN M max 3.横截面上中性轴的位置
在弯矩与轴力同时作用时，中性轴一定不通过横截面的形心，其具体 位置为应力为零的位置，可以具体求解出来。 应用：工程中混凝土柱抗压能力强，可以在截面施加偏心荷载，使得截 面上只有压应力，无拉应力。
MZ
z
M max＝ ＋ z Wy Wz
max＝
× ？
My
My Mz ＋ Wz Wy
My
9.1 斜弯曲 例题1
一般生产车间所用的吊车大梁，两端由钢轨支撑，可 以简化为简支梁。图中l=4 m。大梁由32a热轧普通工字钢 制成，许用应力＝160MPa 。起吊的重物的重量FP＝80kN ，并且作用在梁的中点，位于yoz平面内，作用线与y轴之间 的夹角＝5。 试校核: 吊车大梁的强度是否安全？
材料力学 (9)
材料力学
第9章 组合受力与变形
第9章 组合受力与变形
一、工程实例
烟囱 传动轴 立柱
自重 →轴向压缩 +水平方向的风力 →弯曲
齿轮垂直啮合力 →弯曲 +齿轮水平啮合力 →扭转
二、概念 组合变形：构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变 形,则构件的变形称为组合变形。
y x z y
9.1 斜弯曲
FPz FPy
例题1
FPy
x
解：1.外力分析，建立坐标系方向如 图所示
FPz FPsin 5, FPy FP cos5
2. 内力分析（绘制内力图）
中间截面为梁的危险截面。
1 M z max FPy 4 FP cos 5 4
FPz
z
My图
FP
F
F
F FN N A
M max
M max W
l/2
l/2
讨论：
FN M max FN M max FN M max 3.横截面上中性轴的位置
在弯矩与轴力同时作用时，中性轴一定不通过横截面的形心，其具体 位置为应力为零的位置，可以具体求解出来。 应用：工程中混凝土柱抗压能力强，可以在截面施加偏心荷载，使得截 面上只有压应力，无拉应力。
MZ
z
M max＝ ＋ z Wy Wz
max＝
× ？
My
My Mz ＋ Wz Wy
My
9.1 斜弯曲 例题1
一般生产车间所用的吊车大梁，两端由钢轨支撑，可 以简化为简支梁。图中l=4 m。大梁由32a热轧普通工字钢 制成，许用应力＝160MPa 。起吊的重物的重量FP＝80kN ，并且作用在梁的中点，位于yoz平面内，作用线与y轴之间 的夹角＝5。 试校核: 吊车大梁的强度是否安全？
材料力学 第八章 组合变形
度理论校核此杆的强度。 解：①外力分析
y ZC
Mx z P2z
P2y 400N YA 457N Z A 20.1N
P2Z 70.5N YC 257N Z C 90.6N
YA A 150
T M x 120Nm
B 200
C YC D 100
P2y
x
y
M Z (Nm) M (Nm)
建立图示杆件的强度条件
解：①外力向形心
x A 150 P1 T A 150 B 200 C T B 200 C 100 D 简化并分解
z
z P2z D P2y x 弯扭组合变形 y
100
M Z (Nm) M (Nm)
y
②每个外力分量对应 x 的内力方程和内力图 X
(Nm) My (Nm) Mz
x X
125 37.8 162.8MPa
孔移至板中间时
N 100 103 2 A 631.9mm 10(100 x) x 36.8mm 6 σ max 162.8 10
偏心拉伸或压缩：
CL11TU11
任意横截面上的内力： N P,M y Pa,M z Pb
第八章 组合变形
§8–1 组合变形和叠加原理
§8–2 拉(压)弯组合 §8–4 偏心压缩 截面核心 §8-4 弯曲与扭转
§8–1组合变形和叠加原理
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。 P P
弯曲与扭转
P1
80ºP2 z
x A 150 B 200 C 100 D
y
材料力学10组合变形
10 组合变形110 组合变形10.1 斜弯曲10.2 拉伸（压缩）与弯曲组合变形10.3 弯曲与扭转组合变形10.4 偏心拉伸与压缩10.5 截面核心23轴向拉压M eM e扭转○○○F平面弯曲一、基本变形回顾FF4轴向拉压AF N=σFFFF NFσ5扭转PI M T ρτ=Pm axW M T =τM eM eM eM TM Tτmaxτmaxρτ6平面弯曲z z I y M =σ中性层xyz主轴平面xyσ(M z )中性轴zzW M ±=m in m ax σσF Qy M z7zx yσ(M y )中性轴平面弯曲yy I z M =σyy W M ±=m in m axσσ中性层xyz主轴平面xzF Qz M yyxz8事实上，基本变形不过是简化模型，只有在一种变形特别突出，其余变形可以忽略不计的情况下才有可能发生。
FF q ＜＜FFF当几种基本变形的影响相近时再用简单模型计算，将会引起较大的误差。
二、组合变形结构上同时发生两种或两种以上的基本变形。
F檩条斜弯曲：两平面弯曲的组合910压弯组合变形ABF AxF AyPF F xF y压弯组合变形1112偏心压缩拉弯组合变形1314q弯扭组合变形15弯扭组合变形F双向弯曲与扭转组合变形16组合变形的形式有很多种，本章学习四种典型形式。
1. 斜弯曲；2. 拉伸（压缩）与弯曲组合；3. 弯曲与扭转组合；4. 偏心拉伸与压缩。
应注意通过这四种典型组合变形的学习，学会一般组合变形的计算原理和方法。
1718三、组合变形下的计算⑤用强度理论进行强度计算。
基本解法：①外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种基本变形；②分别计算各基本变形下的内力及应力；④对危险点进行应力分析；分析方法：叠加法前提条件：小变形思考题1. 分析组合变形时，先分后合的依据是什么？2.叠加原理的适用条件是什么？能否应用于大变形情况？1920平面弯曲斜弯曲：两个相互垂直平面内平面弯曲的组合一、斜弯曲的特征10.1 斜弯曲21受力特征：外力作用线通过截面的弯曲中心，但不与任一形心主轴重合或平行；变形特征：变形后的挠曲线不与外力作用面相重合或平行。
材料力学 第9章 组合变形
第9章 组合变形
第9章 组合变形
§9.1 组合变形和叠加原理 §9.2 斜弯曲
§9.3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形 §9.4 扭转与弯曲的组合变形
§9.1 组合变形与叠加原理
返回总目录
一、基本变形
P
P
轴向拉压
m P
m
扭转
弯曲
二、组合变形
同时产生两种或两种以上基本变形。
返回
工程中的组合变形
FAx
返回
解: 合成弯矩：
2 2 M Mz M max y max 2.5kN m
最大弯曲正应力
Mz
6
max
M 2.5 10 N mm π W 653 mm 3
32
z
M
My
92.7MPa
返回
§9.3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
返回总目录
一、外力分析
Fx F cos Fy F sin
解： 2. 作内力图 C为危险截面 3. 分析C截面应力
max 压 max
3
FN M max A W
查型钢表得16号工字钢
2 A 26 . 13 cm W 141 cm , max 100.4MPa
A FAy
F
Fy
Fx P
B
压 +弯
返回
工程中的组合变形
M FN
拉 +弯 压力机立柱
返回
工程中的组合变形
P
q
hg
长江三峡工程 压 +弯
返回
水坝
工程中的组合变形
弯 +扭
返回
工程中的组合变形
拉 +弯 + 扭
第9章 组合变形
§9.1 组合变形和叠加原理 §9.2 斜弯曲
§9.3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形 §9.4 扭转与弯曲的组合变形
§9.1 组合变形与叠加原理
返回总目录
一、基本变形
P
P
轴向拉压
m P
m
扭转
弯曲
二、组合变形
同时产生两种或两种以上基本变形。
返回
工程中的组合变形
FAx
返回
解: 合成弯矩：
2 2 M Mz M max y max 2.5kN m
最大弯曲正应力
Mz
6
max
M 2.5 10 N mm π W 653 mm 3
32
z
M
My
92.7MPa
返回
§9.3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
返回总目录
一、外力分析
Fx F cos Fy F sin
解： 2. 作内力图 C为危险截面 3. 分析C截面应力
max 压 max
3
FN M max A W
查型钢表得16号工字钢
2 A 26 . 13 cm W 141 cm , max 100.4MPa
A FAy
F
Fy
Fx P
B
压 +弯
返回
工程中的组合变形
M FN
拉 +弯 压力机立柱
返回
工程中的组合变形
P
q
hg
长江三峡工程 压 +弯
返回
水坝
工程中的组合变形
弯 +扭
返回
工程中的组合变形
拉 +弯 + 扭
材料力学第十章 组合变形
r 3 2 4 2
r3
2 M y M z2 T 2
W
M 2 T 2 W
r 4 3
2
2
2 M y M z2 0.75T 2
r4
W
M 2 0.75T 2 W
例3 图示空心圆杆，
内径d=24mm，外
径D=30mm， P1=600N， []=100MPa，试用 第三强度理论校核 A
Lmax D1
⑤变形计算
ymax D 2
f f
2 y 2 z
fz
f
tg
fy fz
f fy
当j = 时，即为平面弯曲。
例1结构如图，P过形心且与z轴成j角，求此梁的最大应力与挠度。 解：危险点分析如图 中性轴 h Pz
x
Py
P z j z
D2 P 变形计算 Py y
P
P
10203 [ 1020252 ] 12 7.27105 mm4
M 5P 3 500Nm 10
P N M
20 20
y yC z
应力分析如图
100
N M z max max A I yc
P
100 103 500 55 103 6 800 10 7.27107
P Mz y Myz x A Iz Iy
三、中性轴方程
P M z y0 M y z0 x 0 A Iz Iy
对于偏心拉压问题 P Py y Pz z P yP y0 z P z0 P 0 P 0 (1 2 2 )0 y 2 2 A Aiz Aiy A iz iy y
1
材料力学 第7章 组合变形
y
1
z x
1
式中M——危险截面的弯矩 T——危险截面的扭矩
2
y
2
例 3 某齿轮传动轴上装有两个直圆柱齿轮，C轮的输入功
率NkC=15kW，不考虑功率损耗，轴的转速n=850r/min， 直径d=50mm，材料的[]=50MPa，两轮节圆直径分别为 D1=300mm， D2=120mm，压力角=20，试校核轴的强度。
FAx
800
.
D
.
A
.
. .
C
.
B 1500
2500
c max
FN M max A Wz
A FAy y
FC
FCx
FCy C
F B
F x
40 10 12 10 4 26.1 10 141 10 6
3 3
FN 40kN
12kNm M
100.5 MPa [ ]
第七章
作业
7-2 7-4 7-5 7-8 7-13 7-17 7-21
第七章
7.1 7.2
组合变形杆的强度
组合变形的概念 弯曲与拉伸（压缩）的组合
7.3
偏心压缩与截面核心
7.4 扭转与弯曲的组合 7.5 复合梁的强度计算
7.6
开口薄壁梁的切应力
组合变形杆的强度
7.1
组合变形概念
F
截面核心—— 在轴向压力作用下，使杆的横截面上只产 生压应力的载荷作用区域
偏心压缩与截面核心
五、截面核心
2.确定方法
压力作用区域。 当压力作用在此区域内时，横截面上无拉应力。 ay 截面核心 az
1
z x
1
式中M——危险截面的弯矩 T——危险截面的扭矩
2
y
2
例 3 某齿轮传动轴上装有两个直圆柱齿轮，C轮的输入功
率NkC=15kW，不考虑功率损耗，轴的转速n=850r/min， 直径d=50mm，材料的[]=50MPa，两轮节圆直径分别为 D1=300mm， D2=120mm，压力角=20，试校核轴的强度。
FAx
800
.
D
.
A
.
. .
C
.
B 1500
2500
c max
FN M max A Wz
A FAy y
FC
FCx
FCy C
F B
F x
40 10 12 10 4 26.1 10 141 10 6
3 3
FN 40kN
12kNm M
100.5 MPa [ ]
第七章
作业
7-2 7-4 7-5 7-8 7-13 7-17 7-21
第七章
7.1 7.2
组合变形杆的强度
组合变形的概念 弯曲与拉伸（压缩）的组合
7.3
偏心压缩与截面核心
7.4 扭转与弯曲的组合 7.5 复合梁的强度计算
7.6
开口薄壁梁的切应力
组合变形杆的强度
7.1
组合变形概念
F
截面核心—— 在轴向压力作用下，使杆的横截面上只产 生压应力的载荷作用区域
偏心压缩与截面核心
五、截面核心
2.确定方法
压力作用区域。 当压力作用在此区域内时，横截面上无拉应力。 ay 截面核心 az
材料力学第8章 组合变形_OK
作用在横梁上的力有载荷F，拉杆的 拉力FB，支座C的反力FCx、FCy，将 B点的作用力分解为FBx、FBy。可以 将作用在BC梁上的力分为两组：F、
14
FBy、FCy使梁发生弯曲变形。FBx、F
第8章 组合变形
由静平衡方程可求得
FB 40kN FCx FBx FBcos30 34.6kN
略不计。将以上两项正应力叠加后
就得到横截面上任意点的总应力为
' " FN (x) M z (x) y
（8－1）
A
Iz
式中A为横截面面积，Iz为截面对z轴的惯性矩。叠加后的正
应力分布如图8－4(d)所示。
11
第8章梁组发合变生形弯曲变形时固定端处弯
矩最大，固定端处为弯曲的危险截
面；由于轴力是常量，每个横截面
M
Wz
32M
d 3
31.29MPa
30
第8章 组合变形 应力叠加后，最大拉应力发生在立柱的右侧，其值为
t max 32.51MP a t
最大压应力发生在立柱的左侧，其值为
c max 30.07MP a c
由此例可以看出，偏心拉压中的偏心距越大，弯曲 应力所占比例就越高。因此，要提高偏心拉压杆件的强度， 就应尽可能减小偏心距或尽量避免偏心受载。
第8章(4）组合强变形度计算。由型钢表查得N
o20a号工字钢横截面面积A=35.5cm2
=35.5×10-4m2，抗弯截面系数Wz=23
7cm3=237×10-6m3。危险截面J的上
边缘各点的应力为 σcmax
FN A
M max W
3354.5.6110034
28103 237106
9.75118.14127.9MPa[σ]
14
FBy、FCy使梁发生弯曲变形。FBx、F
第8章 组合变形
由静平衡方程可求得
FB 40kN FCx FBx FBcos30 34.6kN
略不计。将以上两项正应力叠加后
就得到横截面上任意点的总应力为
' " FN (x) M z (x) y
（8－1）
A
Iz
式中A为横截面面积，Iz为截面对z轴的惯性矩。叠加后的正
应力分布如图8－4(d)所示。
11
第8章梁组发合变生形弯曲变形时固定端处弯
矩最大，固定端处为弯曲的危险截
面；由于轴力是常量，每个横截面
M
Wz
32M
d 3
31.29MPa
30
第8章 组合变形 应力叠加后，最大拉应力发生在立柱的右侧，其值为
t max 32.51MP a t
最大压应力发生在立柱的左侧，其值为
c max 30.07MP a c
由此例可以看出，偏心拉压中的偏心距越大，弯曲 应力所占比例就越高。因此，要提高偏心拉压杆件的强度， 就应尽可能减小偏心距或尽量避免偏心受载。
第8章(4）组合强变形度计算。由型钢表查得N
o20a号工字钢横截面面积A=35.5cm2
=35.5×10-4m2，抗弯截面系数Wz=23
7cm3=237×10-6m3。危险截面J的上
边缘各点的应力为 σcmax
FN A
M max W
3354.5.6110034
28103 237106
9.75118.14127.9MPa[σ]
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
材料力学第八章组合变形
0.456qa2 0.383qa2
弯矩图 (z轴为中性轴)
A DC 0.444qa2 0.321qa2
B My图 z轴往下
在xoz主轴平面内的 弯矩图(y轴为中性轴)
0.266qa2
0.642qa2
材料力学
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26
横截面在xoz、 xoy平面的弯曲截面系数，可查表得
W z 2 3 7 1 0 6 m 3 W y 3 1 .5 1 0 6 m 3
解：图中所有外荷载虽在同一平 面但并不位于梁的形心主惯性平 面内，所以是斜弯曲。将均布荷 载q向形心主惯性轴分解为
qy=qcos ，qz=qsin
在檩条跨中处弯矩最大，其值为
M z m a x 1 8 q y l2 1 8 q l2 c o s M y m a x 1 8 q z l2 1 8 q l2 s in
40.810.88 16066m348.280.35106m317.80MPa[]160MPa
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30
可见选25a工字钢不能满足强度条件，于是再改选大一号的25b工字钢。 由附录查得查得25b工字钢的Wz=422.72cm3，Wy=52.423 cm3，自重 q1=0.41KN/m。所以，强度条件为
12
键 连 接
M
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13
木榫接头
F
材料力学
m
m
c
n
n
l
l
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F
14
榫齿 连接
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15
§8.2 相互垂直平面内的弯曲－斜弯曲
组合变形 材料力学共47页文档
zPz0 iy2
0
| | cmax
P A
Mz Wz
M y Wy
[c]
tmax
P A
M W
z z
M W
y y
[t]
例3、小型压力机框架如图，已知材料[t]=30MN/m2，[c]
=160MN/ m2 ，立柱的截面尺寸如图所示，Iy=5310 10-8m4 z1=125，z2=75，A=1510-3m2 ，试按立柱的强度条件确定 许可压力P.
Mzmax 403
W z b
拉(压)弯组合 偏心拉（压） 截面核心
一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产
生的变形。
P R
x
P
P y
z
My
x z Mz
Py My
二、应力分析：
x z Mz P y
P
MZ
My
My
xP
P A
x
Mz
M I
z z
y
x max
PM zyM yz
A Iz
Mt
= 4255×31100×-3P1×0-875×10-3=
425×7.5P MN/m2 5310
My N
+
Mc
=
425×10-3P×125×10-3 5310×10-8
=
425×12.5P 5310
MN/m2
N和M共同作用时,总应力
= N + M
4、强度条件：
= tmax
P
y
在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。
tm axD 1t
cm axD 2c
fz
⑤变形计算
材料力学：12 组合变形
Iy
Iz
A
偏心拉（压）计算的中性轴截距表达式
ay1
iz2 yF
az1
iy2 zF
作一系列与截面周边相切的直线 作为中性轴…
z 1
O
y 1
ay1
az1
其截距为ay1、az1，对应的偏心力 作用点的坐标(yF1,zF1)
az1
yF1
iz2 a y1
zF1
iy2 az1
z 1
5
3
2O 4 2
y 15
4 3 ay1
Mr4
M
2 yB
M
2 zB
0.75T
2
3642 10002 0.7510002 1372N m
பைடு நூலகம்
r4
Mr4 W
1372N m W
[ ]
W πd 3 32
解得
d 3 321372103 51.9m
π 100
Δ组合变形小结
1、组合变形解题步骤 ①外力分析：横力向弯心简化并沿形心主惯性轴分解
Mr3
M
2 z
M
2 y
T
2
Mr4
M
2 z
M
2 y
0.75T
2
§2、斜弯曲——两相互垂直平面内的弯曲
斜弯曲的弯曲正应力与位移计算
F2 a
m
z C
z
O
x
m y F1 y
x
m z
O MZ
MY m
y
F2 单独作用，梁在竖直平面内发生平面弯曲，z轴为 中性轴；
F1 单独作用，梁在水平平面内发生平面弯曲，y轴为中 性轴。
上述两个互相垂直的平面弯曲之组合即为斜弯曲。
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2.分别求基本变形的内力，并绘制内力图
A F
x L
拉伸
B
F
FN ? F (轴 力)
A
q
弯曲
B
x L
F Ay
M ? 1 q L x ? 1 qx 2 (弯矩 )
Prof. Shu Zhang
材料力学
Institute on Advanced Manufacturing Technology, Tongji University
组合变形/组合变形和叠加原理
叠加法求组合变形的具体步骤：
1.判断组合变形的类型，并进行分解；
2.分别求基本变形的内力，并绘制内力图；
1.判断组合变形的类型，并进行分解 判断组合变形类型的方法：荷载的等效处理法
将外力进行平移或分解，使之简化后的载荷 符合基本变形的外力特征，从而判断组合变形 的类型。
一般地，倾斜的力要沿坐标轴方向分解，偏 离轴线的力要向轴线简化。（举例说明）
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第八章 组合变形
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组合变形/组合变形和叠加原理
§8.1 组合变形和叠加原理
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材料力学
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3.根据内力图确定危险截面，并求危险截面上 基本变形的最大应力
对于等截面杆，危险截面为：
拉伸 |FN|最大处 扭转 |T|最大处 弯曲 |M|最大处
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材料力学
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判断下列组合变形的类型：
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拉压和弯曲 材料力学
Institute on Advanced Manufacturing Technology, Tongji University
P
拉压和弯曲
Prof. Shu Zhang
材料力学
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组合变形/组合变形和叠加原理
一.组合变形
组合变形的概念：
杆件在外力作用下，同时发生两种或两 种以上基本变形的组合。
拉压
扭转
弯曲
Prof. Shu Zhang
材料力学
Institute on Advanced Manufacturing Technology, Tongji University
组合变形/组合变形和叠加原理
B F
2.分别求基本变形横截面上的内力，并绘制内力图
变形类型 内力
拉压
轴力FN
扭转 扭矩T
纯弯曲 弯矩M
横力弯曲 弯矩M+剪力Fs
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组合变形/拉压与弯曲的组合
§8.2 拉压与弯曲的组合
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组合变形/组合变形和叠加原理
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材料力学
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A F
q
B F
L
q
A
B 弯曲
+
拉伸
A
F
Prof. Shu Zhang
材料力学
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组合变形/拉压与弯曲的组合
拉压与弯曲组合强度校核的解题步骤：
A F
1.分解
q A
q B F
L
B 弯曲
+
拉伸
A
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F
材料力学
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B F
组合变形/拉压与弯曲的组合
拉压、扭转和弯曲
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组合变形/组合变形和叠加原理
二.求解组合变形的基本方法—叠加法 叠加法的概述： 将组合变形分解成若干个基本变 形，分别计算出每个基本变形下的内 力和应力，然后进行应力叠加。
组合变形/组合变形和叠加原理
求基本变形横截面上的应力：
变形类型 内力 拉压 轴力FN 扭转 扭矩T 纯弯曲 弯矩M
横力弯曲弯矩M+剪力Fs
正应力 切应力
FN/A
无
无
Tρ/Ip
My/Iz
无
My/Iz 忽不计
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4.将危险截面的应力叠加，并进行强度校核
①拉压与弯曲组合
拉压正应力σ' 弯曲最大正应力σmax
σmax=| σ' +σmax| σmax ≤[ σ]
②扭转与弯曲组合
扭转最大切应力τmax 弯曲最大正应力σmax
平面（二向）应力状态下， 根据强度理论计算σmax
σmax ≤[ σ]
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3.根据内力图确定危险截面，并求危险截面 上的基本变形的最大应力；
4.将危险截面的应力叠加，并进行强度校核。
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组合变形/组合变形和叠加原理
A F
x L
拉伸
B
F
FN ? F (轴 力)
A
q
弯曲
B
x L
F Ay
M ? 1 q L x ? 1 qx 2 (弯矩 )
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组合变形/组合变形和叠加原理
叠加法求组合变形的具体步骤：
1.判断组合变形的类型，并进行分解；
2.分别求基本变形的内力，并绘制内力图；
1.判断组合变形的类型，并进行分解 判断组合变形类型的方法：荷载的等效处理法
将外力进行平移或分解，使之简化后的载荷 符合基本变形的外力特征，从而判断组合变形 的类型。
一般地，倾斜的力要沿坐标轴方向分解，偏 离轴线的力要向轴线简化。（举例说明）
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第八章 组合变形
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组合变形/组合变形和叠加原理
§8.1 组合变形和叠加原理
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3.根据内力图确定危险截面，并求危险截面上 基本变形的最大应力
对于等截面杆，危险截面为：
拉伸 |FN|最大处 扭转 |T|最大处 弯曲 |M|最大处
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判断下列组合变形的类型：
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拉压和弯曲 材料力学
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P
拉压和弯曲
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组合变形/组合变形和叠加原理
一.组合变形
组合变形的概念：
杆件在外力作用下，同时发生两种或两 种以上基本变形的组合。
拉压
扭转
弯曲
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组合变形/组合变形和叠加原理
B F
2.分别求基本变形横截面上的内力，并绘制内力图
变形类型 内力
拉压
轴力FN
扭转 扭矩T
纯弯曲 弯矩M
横力弯曲 弯矩M+剪力Fs
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组合变形/拉压与弯曲的组合
§8.2 拉压与弯曲的组合
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组合变形/组合变形和叠加原理
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A F
q
B F
L
q
A
B 弯曲
+
拉伸
A
F
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组合变形/拉压与弯曲的组合
拉压与弯曲组合强度校核的解题步骤：
A F
1.分解
q A
q B F
L
B 弯曲
+
拉伸
A
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F
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B F
组合变形/拉压与弯曲的组合
拉压、扭转和弯曲
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组合变形/组合变形和叠加原理
二.求解组合变形的基本方法—叠加法 叠加法的概述： 将组合变形分解成若干个基本变 形，分别计算出每个基本变形下的内 力和应力，然后进行应力叠加。
组合变形/组合变形和叠加原理
求基本变形横截面上的应力：
变形类型 内力 拉压 轴力FN 扭转 扭矩T 纯弯曲 弯矩M
横力弯曲弯矩M+剪力Fs
正应力 切应力
FN/A
无
无
Tρ/Ip
My/Iz
无
My/Iz 忽不计
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4.将危险截面的应力叠加，并进行强度校核
①拉压与弯曲组合
拉压正应力σ' 弯曲最大正应力σmax
σmax=| σ' +σmax| σmax ≤[ σ]
②扭转与弯曲组合
扭转最大切应力τmax 弯曲最大正应力σmax
平面（二向）应力状态下， 根据强度理论计算σmax
σmax ≤[ σ]
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3.根据内力图确定危险截面，并求危险截面 上的基本变形的最大应力；
4.将危险截面的应力叠加，并进行强度校核。
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