2018北京人大附中高二(上)期中数学

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2018北京师大附中高二(上)期中数学含答案

2018北京师大附中高二（上）期中数学一、选择题，本大题共10小题，共40分，从列出的四个选项中，选出符合要求的一项。

1.在数列中，，且，则等于A. 8B. 6C. 9D. 72.在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.3.在等比数列中，，且，则这个数列的公比为A. 3B.C. 9D.4.在正方体中，向量和的夹角是A. B. 60° C. 45° D. 135°5.某种农产品前n年的总产量与n之间的关系满足：，若前m年的年平均产量最小，则m值为A. 5B. 4C. 3D. 26.若数列是公比为q的递增等比数列，则A. B.C. D.7.在棱长为1的正四面体ABCD中，E, F分别是 BC, AD的中点，则（）A. 0B.C.D.8.已知平面ABC，点O是空间任意一点，点M满足条件，则A. 直线AM与平面ABC平行B. 直线AM是平面ABC的斜线C. 直线AM是平面ABC的垂线D. 直线AM在平面ABC内9.已知两个不共线的向量，与平面共面，向量v是直线l的一个方向向量，则“存在两个实数x,y，使”是“l//”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.如图，棱长为2的正方体中，M是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于CM，则的面积的最小值为A. B.C. D. 1二、填空题，本大题共6小题，共30分。

11.与共线且满足的向量b=__________。

12.已知数列满足：，，，则数列的前2n项和_______________。

13.如图，在正四面体V－ABC中，直线VA与BC所成角的大小为______________；二面角V－BC－A的余弦值为____________。

14.设数列满足“，”，则的通项公式可以为_________。

15.已知等比数列的前n项和为，则常数C=________16.有一条珍珠项链，上面共有33颗珍珠，最下面中央的那颗珍珠最大，也最有价值，由这颗珍珠往右，越往上的珍珠越小，且价值依次递减100元；同样的，由这颗珍珠往左，越往上方的珍珠也越小，且价值依次递减150元，假设整条珍珠项链的总价值是65000元，则最大的那颗珍珠的价值是_________元。

2018-2019学年北京市清华大学附属中学高二(上)期中数学试题解析版

绝密★启用前北京市清华大学附属中学2018-2019学年高二（上）期中数学试题一、单选题1．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【详解】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题．2．设，，，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，选项A错误；当时，选项B错误；当时，选项C错误；∵函数在上单调递增，∴当时，．本题选择D选项.点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．3．已知数列为等差数列，且，，则等于A．80 B．40 C．24 D．【答案】C【解析】【详解】易知成等差数列.易得.4．设命题p：，，则为A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【详解】解：命题p：，，则为：，，故选：A．【点睛】本题考查特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．5．已知三点、、那么以、为焦点且过点P的椭圆的短轴长为A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义，利用两点间的距离公式求得的值，再求得的值，进而求得短轴的长.【详解】解：设椭圆的标准方程为：，可得：，，解得．．椭圆的短轴长为6．故选：B．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．椭圆的定义是动点到两个定点的距离之和为常数，并且这个常数比两个定点的距离要大.通过椭圆上一个点的坐标和焦点的坐标，可以用两点间的距离公式求得的长.6．不等式的解集是A．，B．，C．D．【答案】B【解析】【分析】将原不等式右边变为零，然后通分后利用告辞不等式的解法求得结果.【详解】解：，，，解得：或，故选：B．【点睛】本题考查了解分式不等式问题，考查转化思想，是一道基础题．移项，求出分式不等式的解集即可．7．设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．②等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．8．已知点为椭圆上的动点，则A，B两点间的最大距离是A．B．C．7 D．【答案】D【解析】【分析】写出椭圆的参数方程，利用两点间的距离公式表示，然后利用三角函数和二次函数的知识求得最大值.【详解】解：椭圆，由椭圆的参数方程可得，，，，，令，则，的图象为开口向下的抛物线，对称轴为，在单调递增，在单调递减，当时，取最大值50，此时取最大值：．故选：D．【点睛】本题考查三角函数求最值，涉及椭圆的参数方程和二次函数区间的最值，属中档题．三角换元的思想，源自于，而椭圆方程是，类比这两个式子，可以认为，即，这也就是椭圆的参数方程.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．已知等比数列中，且，那么______．【答案】【解析】【分析】先利用基本元的思想，求出公比，再根据求和公式计算即可．【详解】解：设公比为q，，且且，，，，故答案为：31【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和等比数列的前n项和，属于基础题．10．已知，，，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】将所求的式子变形为，展开后可利用基本不等式求得最小值.【详解】解：，，，，当且仅当时取等号．故答案为：4．【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式，属于基础题．由于已知条件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用“乘1法”之后，就可以利用基本不等式来求得最小值了.11．曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据题意将化为标准形式，然后根据焦点在轴上建立关系式，可求出的取值范围．【详解】解：根据题意，化为标准形式为；根据题意，其表示焦点在x轴上的椭圆，则有解得；则实数k的取值范围是：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，解题时注意看焦点在轴还是在轴，属于基础题．12．关于x的不等式的解集是，则ab等于______．【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集的端点和对应一元二次方程根的对应关系，利用韦达定理求得的值，进而求得的值.【详解】解：的不等式的解集是，，是一元二次方程的解且．，解得，．．故答案为：24．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，属于基础题．三个二次的问题：一元二次方程，二次函数，一元二次不等式或者，是相互联系的.根与系数关系的关系是解这类题目常用的知识.13．椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于点A、B，当的周长最大时，的面积是______．【答案】3【解析】试题分析：易知：F（-1,0），m>0,，|AF|=,周长g(m)=2|AF|+|AB|=,得m=1.直线过右焦点F’，|AB|=3，|FF’|=2，故的面积=.考点：本题考查了椭圆的性质的运用点评：本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.14．已知数列中，，，记，若，则______，______．【答案】【解析】【分析】先求得的表达式，对分成和两种情况，每一种情况利用列举法找出数列的周期或规律，然后利用列方程可求得和的值.【详解】解：，，，（1）时，，，，．可得．，．．，，此时无解．（2）时，，，可得．，，．，．故答案为：2，1345．【点睛】本题考查了利用数列的前几项，归纳数列的规律，还考查了数列分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题15．在中，，．若，求的值；若的面积为，求b的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由已知及正弦定理即可计算求得的值．由已知利用三角形面积公式可求的值，根据余弦定理可得的值．【详解】解：在中，，，，由正弦定理，可得：；，，的面积为，解得：，由余弦定理可得：．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．求数列的通项公式；求数列的前n项和公式．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；运用等差数列的求和公式，可得，，再由裂项相消求和，可得所求和．【详解】解：公差d不为0的等差数列的前n项和为，，可得，且，，成等比数列，可得，即，解得，，则；，，则数列的前n项和为．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，以及数列的裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．17．北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高万元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为万元．若学生宿舍建筑为x层楼时，该楼房综合费用为y万元，综合费用是建筑费用与购地费用之和，写出的表达式；为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？【答案】（1）；（2）学校应把楼层建成层，此时平均综合费用为每平方米万元【解析】【分析】由已知求出第层楼房每平方米建筑费用为万元，得到第层楼房建筑费用，由楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高万元，然后利用等差数列前项和求建筑层楼时的综合费用；设楼房每平方米的平均综合费用为，则，然后利用基本不等式求最值．【详解】解：由建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为万元，且楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高万元，可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为：万元．建筑第1层楼房建筑费用为：万元．楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：万元．建筑第x层楼时，该楼房综合费用为：．；设该楼房每平方米的平均综合费用为，则：，当且仅当，即时，上式等号成立．学校应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米万元．【点睛】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了等差数列前n项和的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．18．已知集合，集合．当时，求；，不等式恒成立，求实数a的取值范围；若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】【分析】根据题意，当时，求出集合A、B，由交集的定义计算可得答案；根据题意，设，结合二次函数的性质分析可得，解可得的取值范围，即可得答案；根据题意，分种情况讨论：，当，即或2时，，，当，即或时，，，当，即时，，分别求出的取值范围，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，当时，；集合．则；根据题意，设，若，不等式，必有，解可得：，即实数a的取值范围是；根据题意，分3种情况讨论：，当，即或2时，，，“”是“”的必要条件，符合题意；，当，即或时，，若“”是“”的必要条件，则必有，解可得：或；，当，即时，，若“”是“”的必要条件，则必有，此时无解；综合可得：或；故a的取值范围为或【点睛】本题考查充分必要条件的定义以及其与集合之间的关系，涉及函数的恒成立问题，属于综合题．19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆：的离心率为，y轴于椭圆相交于A、B两点，，C、D是椭圆上异于A、B的任意两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N．求椭圆的方程；求直线MN的斜率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】运用离心率公式和，解方程可得；设，，，，同理可设直线AC方程为，直线方程为，则直线BC 方程为，直线BD方程为可得直线AC、BD相交点直线AD、BC相交点可得直线MN的斜率．【详解】解：椭圆：的离心率为，y轴于椭圆相交于A、B两点，，，，，．椭圆的方程为：；设，，，同理可设直线AC方程为，直线AD方程为则直线BC方程为，直线BD方程为由可得直线AC、BD相交点同理可得直线AD、BC相交点直线MN的斜率．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求出交点，考查分类讨论的思想方法，注意直线的斜率和直线方程的运用，考查运算能力，属于难题．20．已知集合且，设．若2，3，4，5，和2，3，4，5，，分别求S的值；若集合A中所有元素之和为55，求S的最小值；若集合A中所有元素之和为103，求S的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】由的公式，计算可得所求和；集合A中的元素为正整数，且S的公式，可得A中元素为，计算可得所求最小值；集合A中的元素为正整数，且的公式，可得A中元素为，计算可得所求最小值．【详解】解：2，3，4，5，，可得；2，3，4，5，，可得；集合A中所有元素之和为55，由，，要使S取得最小值，不妨设，可使较小的前5个数，尽可能差距最小，即相邻，可得1，2，3，4，5，最大数为40，则，可得S的最小值为280；若集合A中所有元素之和为103，由，，要使S取得最小值，不妨设，可使较小的前5个数，尽可能差距最小，即相邻，可得1，2，3，4，5，最大数为88，则．可得S的最小值为568．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题．。

北京海淀北大附中高二上学期期中考试数学(理)试题

北大附中2017-2018学年第1学段终结性评价试卷一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）．已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题：（可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃） 1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．AB 1D A【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =， ∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________．A 1D 1C 1B 1CBAD【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________．【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%；（2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%；（3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据．已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100)②(85,85,100)③255x y z ++≥④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________．【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意；对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意．综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分）已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点． 1．设1AD a =，1AB b =，以{}a b c 、、为基底．表示：（1）AE =__________；（2）1AC =__________．【答案】（1）1122a b +．（2）111222a b c ++．【解析】（1）在11AB D △，1AB b =，1AD a =， E 为11B D 中点， ∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+．（2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++．2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则：（1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________．【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体， ∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ， ∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ， ∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像） 3．求直线1AB 与11AD C 所成的角．【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ， ∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ， ∴1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)AC =，1(0,1,1)AD =，设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则110AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-，∴(0,1,1)n =-， ∴1||1sin |cos ,|2||||2AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅， ∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小．【答案】见解析．【解析】解：设平面11AB D 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1100AB m AD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，∴(1,1,1)m =-，∴由3知平面11AD C 的法向量(0,1,1)n =-，∴cos ,m n <>== 故二面角111B AD C --的大小为．5．过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数为__________．【答案】2【解析】过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数与过1C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所在的角为60︒的直线条数相同，过1C 与直线1AC 所成角为45︒的直线为以1C 为项点，以1AC 为轴线的圆锥的母线，过1C 且与平面ABCD 所成角为60︒的直线是以1C 为顶点，以1CC 为轴线，顶角为60︒的圆锥的母线，由于1tan AC C =∠所以14560AC C ︒<<︒∠，故这两个圆锥曲面的相交，有2条交线，从而过点C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所成角为60︒的直线条数为2．6．设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点A 的平面组为：面11ADD A 、面ABCD 、面11ABB A ．正方体内（含表面）有一动点P ，到共点于A 的三个面的距离依次为1d 、2d 、3d ．（1）写出一个满足1231d d d ++=的点P 坐标__________．（按2题建系）（2）若一个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于1，则该点轨迹图形的体积为：__________．A1A【答案】（1）(0,0,1)．（2）112．【解析】（1）设(,,)P x y z ，则P 到平面11ADD A 的距离为x ，P 到平面ABCD 的距离为z ，P到平面11ABB A 的距离为y ，故由1231d d d ++=得1x y z ++=，故任写一个满足1x y z ++=的坐标即可，0(0,0,1)y ．（2）若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++=，则点P 位于平面1A BD 上，若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++≥，则P 位于正方体除去三棱锥1A A BD -剩余的几何体内，因此，若一个点到每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于1，则点位于正方体削去如图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积21113212V =⨯⨯=⎝⎭． A 1D 1C 1B 1CBAD三、本大题共4小题共计总分41分．（填空1，3（1）每小题4分，3（3），（4）每小题2分，其余各填空题每题3分，共12小题，合计36分，4（1）题赋分最高5分）圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图1）1．写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称：__________．【答案】圆，椭圆，双曲线，抛物线．【解析】因垂直于锥面的平面去截圆锥，得到的是圆，得平面逐渐倾斜，得到椭圆，当平面倾斜得“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线，用平行于圆锥的轴线的平面去截二次锥面可得到双曲线，故圆中不同类型的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线．2．直角坐标系，圆锥曲线C 的方程221y x n+=，O 为原点．（如图1）（1）为获得（如图1）中用与圆锥轴线垂直方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；（2）为获得（如图1）中用与圆锥轴线平行方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；（3）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其离心率e = __________；（4）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其渐近线方程是__________；（5）为得到比（2）中开口更大同类曲线，写出一个新取值n =__________．【答案】（1）1n =．（2）3-．（3）2．（4）y =．（5）4n =-．【解析】（1）若用垂直于圆锥轴线的平面截得的圆锥曲线是圆，此时1n =．（2）用与圆锥轴线平行方向的平面截得的圆锥曲线是双曲线，此时0n <，故可取3n =-．（3）当3n =-时，圆锥曲线C 的方程为2213y x -=，此时1a =，b 2c =，故其离心率e 2ca==．（4）由（3）知，双曲线C的渐近线方程为：y =．（5）双曲线的离心率越大，开口越大，对于221y x n+=，要使离心率大于2，则3n <-，故可取4n =-．3．同2小题中曲线C 条件，且曲线C 为椭圆，设1F 、2F 为两个焦点，A 点在曲线C 上．（1）若焦点在y 轴上，可取n =__________；（2）描述3（1）中椭圆至少两个几何特征： ①__________；②__________．（3）若4n =，则12AF F △的周长为__________；（4）若2AO F △是以AO 为斜边的等腰直角三角形（如图2），则椭圆的离心率e =__________．【答案】（1）4．（2）①椭圆落在1x =±，2y =±围成的矩形中； ②图象关于x 轴，y 轴，原点对称．（3）4+ （4【解析】（1）若方程221y x n+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >，故可取4n =．（2）①对于椭圆2214y x +=的几何性质有：x 的取值范围是11x -≤≤，y 的取值范围是22x -≤≤，椭圆位于直线1x =±，2y =±围成的矩形中；从图形上看：椭圆关于x 轴，y 轴，原点对称，既是轴对称图象，又是中心对称图形；椭圆2214y x +=的四个顶点分别是(1,0)-，(1,0)，(0,2)，(0,2)-，离心率e c a ==，长半轴长为2，短半轴长为1，焦距为写两个几何特证即可．（3）若4n =，则椭圆C 的方程为2214y x +=，此时2a =，1b =，c = 若A 在曲线C 上，则12||||24AF AF a +==，故12AF F △的周长为1212||||||224AF AF F F a c ++=+=+ （4）若2AOF △是以AO 为斜边的等腰直角三角形，则2b C a =，即2b ac =，又222b a c =-，得220c ac a +-=，故2e e 10+-=，解得e 0e 1<<，故e =4．直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．同2小题中曲线C 条件，且5n =，直线l 过曲线C 的上焦点1F ，与椭圆交于点A 、B ．（1）下面的三个问题中，直线l 分别满足不同的前提条件，选择其中一个研究．（三个问题赋分不同，若对多个问题解答，只对其中第一个解答过程赋分） ①直线斜率为1，求线段AB 的长． ②OA OB ⊥，求直线l 的方程．③当AOB △面积最大时，求直线l 的方程．我选择问题__________，研究过程如下：（2）梳理总结你的研究过程，你使用主要的知识点、研究方法和工具（公式）有：__________（至少2个关键词）．（3）在题4题干同样条件下，自构造一个几何图形，并自定一个相关的几何问题（无需解）．（在图34-中绘制出该几何图形，用正确的符号和文字描述图形的已知条件，并准确简洁叙述待研究的几何问题．无需解答，描述不清晰和不准确的不得分，绘制图像与描述不匹配的不得分）__________．【答案】见解析．【解析】（1）①解：由题意可知直线l 的方程为2y x =+，椭圆C 的方程为2215y x +=，由22215y x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得26410x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：1223x x+=-，1216x x =-，∴线段||AB ==．②解：易知直线l 的斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+， ∴2222121212122228520(2)(2)2()44555k k k y y kx kx k x x k x x k k k ---+=++=+++=++=+++， ∵DA OB ⊥，∴222121222215205190555k k x x y y k k k --+-++=+==+++，解得：k =， ∴直线l的方程为：2k =+． ③解：易知直线l 斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+，∴线段||AB =2215k k +=+，又原点D 到直线AB的距离d =，∴AOB △的面积22111||225k S AB d k +=⋅=⨯=+==∵2216181k k +++≥，∵14S =≤221611k k +=+，即k =时，取等号，∴AOB △，此时直线l的方程为：2y =+．（2）函数与方程思想，不等式性质，弦长公式，根与系数关系，设而不求等．（3）设直线l 的斜率为k ，若椭圆C 的下顶点为D ，求证：对于任意的k ∈R ，直线AD ，BD 的斜率之积为定值．四、本大题4小题，共计总分13分．（第2，3，4小题，每题3分，每1小题4分，合计13分）汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）．其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）．定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线．设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm ，灯深25cm （如图1）．设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C ，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x 轴建立平面直角坐标系（如图2）．.图1抛物线上点P 到焦点距离为5cm ，且在x 轴上方．研究以下问题： 1．求抛物线C 的标准方程和准线方程．【答案】见解析．【解析】解：设抛物线C 的方程为：22y px =，由于灯口直径为20cm ，灯深25cm ，故点(25,10)在抛物线C 上， ∴100225p =⨯，解得：2p =，∴抛物线C 为标准方程为：24y x =，准线方程为1x =-．2．求P 点坐标．【答案】见解析．【解析】解：设P 点坐标为00(,)x y ，0(0)y >，则204y x =， ∵点P 到焦点的距离为5， ∴015x +=，得04x =， ∴04y ==，故点P 的坐标为(4,4)．3．求抛物线在点P 处法线方程．【答案】见解析．【解析】解：设抛物线在P 点处的切线方程为：4(4)y k x -=-，则由2444(4)y x y x ⎧=⎨-=-⎩，消去x 得：2416160ky y k --+=， 164(1616)0k k ∆=--+=，即24410k k -+=，解得12k =， ∴抛物线在P 点处法线的斜率为2-，故抛物线在P 点处法线的方程为42(4)y x -=--，即2120x y +-=．4．为证明（检验）车灯的光学原理，从以下两个命题中选择其一进行研究：（只记一个分值） ①求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的光线经点P 反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．②求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．我选择问题__________，研究过程如下：【答案】见解析．【解析】①证明：设(1,0)F 关于法线2120x y +-=的对称点(,)m n ，则(,)m n 在反射光线上，则1121212022n m m n ⎧=⎪⎪-⎨+⎪⨯+-=⎪⎩，解得94m n =⎧⎨=⎩， ∴反射光线过点(9,4)，又∵点(4,4)P 在反射光线上，∴反射光线的方程为4y =，故由在抛物线焦点F 处的点光源经点P 发射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．②证明：设00(,)M x y 为抛物线上，任意一点，则抛物线在M 处切线方程为：00()y y k x x -=-，由2004()y x y y k x x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩得2004440ky y y kx -+-=， 00164(44)0k y kx ∆=--=，又2004y x =代入上式化简得20(2)0ky -=， ∴02k y =， ∴抛物线在00(,)M x y 处法线的斜率为02y -，法线方程为000()2y y y x x -=--，即2000024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，设(1,0)F 关于在点M 处的法线200024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭的对称点F '为(,)m n ，则020*********n m y y y n m y ⎧=⎪-⎪⎨⎛⎫+⎪-=-- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：42002006828y y m y n y ⎧++=⎪+⎨⎪=⎩， ∴抛物线在点M 处反射光线过420002068,28y y y y ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，又∵反射光线过00(,)M x y ， ∴反射光线所在直线方程为0y y =，故由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，反射光线所在的直线平行于抛物线的对称轴．。

北京海淀北大附中2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)---精校解析Word版

北大附中2017-2018学年第1学段终结性评价试卷一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）．已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题：（可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃） 1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．AB 1D A【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =， ∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________．A 1D 1C 1B 1CBAD【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________．【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%；（2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%；（3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据．已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100)②(85,85,100)③255x y z ++≥④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________．【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意；对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意．综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分）已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点． 1．设1AD a =，1AB b =，以{}a b c 、、为基底．表示：（1）AE =__________；（2）1AC =__________．【答案】（1）1122a b +．（2）111222a b c ++．【解析】（1）在11AB D △，1AB b =，1AD a =， E 为11B D 中点，∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+．（2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++．2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则：（1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________．【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体， ∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ， ∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ， ∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像） 3．求直线1AB 与11AD C 所成的角．【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ， ∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ， ∴1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)AC =，1(0,1,1)AD =，设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则110AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-，∴(0,1,1)n =-， ∴1||1sin |cos ,|2||||2AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅，∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小．【答案】见解析．【解析】解：设平面11AB D 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1100AB m AD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，∴(1,1,1)m =-，∴由3知平面11AD C 的法向量(0,1,1)n =-，∴cos ,m n <== 故二面角111B AD C --的大小为5．过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数为__________．【答案】2【解析】过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数与过1C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所在的角为60︒的直线条数相同，过1C 与直线1AC 所成角为45︒的直线为以1C 为项点，以1AC 为轴线的圆锥的母线，过1C 且与平面ABCD 所成角为60︒的直线是以1C 为顶点，以1CC 为轴线，顶角为60︒的圆锥的母线，由于1tan AC C ∠所以14560AC C ︒<<︒∠，故这两个圆锥曲面的相交，有2条交线，从而过点C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所成角为60︒的直线条数为2．6．设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点A 的平面组为：面11ADD A 、面ABCD 、面11ABB A ．正方体内（含表面）有一动点P ，到共点于A 的三个面的距离依次为1d 、2d 、3d ．（1）写出一个满足1231d d d ++=的点P 坐标__________．（按2题建系）（2）若一个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于1，则该点轨迹图形的体积为：__________．A1A【答案】（1）(0,0,1)．（2）112．【解析】（1）设(,,)P x y z ，则P 到平面11ADD A 的距离为x ，P 到平面ABCD 的距离为z ，P 到平面11ABB A 的距离为y ，故由1231d d d ++=得1x y z ++=，故任写一个满足1x y z ++=的坐标即可，0(0,0,1)y ．（2）若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++=，则点P 位于平面1A BD 上，若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++≥，则P 位于正方体除去三棱锥1A A BD -剩余的几何体内，因此，若一个点到每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于1，则点位于正方体削去如图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积21113212V =⨯⨯=⎝⎭． A 1D 1C 1B 1CBAD三、本大题共4小题共计总分41分．（填空1，3（1）每小题4分，3（3），（4）每小题2分，其余各填空题每题3分，共12小题，合计36分，4（1）题赋分最高5分）圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图1）1．写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称：__________．【答案】圆，椭圆，双曲线，抛物线．【解析】因垂直于锥面的平面去截圆锥，得到的是圆，得平面逐渐倾斜，得到椭圆，当平面倾斜得“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线，用平行于圆锥的轴线的平面去截二次锥面可得到双曲线，故圆中不同类型的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线．2．直角坐标系，圆锥曲线C 的方程221y x n+=，O 为原点．（如图1）（1）为获得（如图1）中用与圆锥轴线垂直方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；（2）为获得（如图1）中用与圆锥轴线平行方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；（3）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其离心率e = __________；（4）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其渐近线方程是__________；（5）为得到比（2）中开口更大同类曲线，写出一个新取值n =__________．【答案】（1）1n =．（2）3-．（3）2．（4）y =．（5）4n =-．【解析】（1）若用垂直于圆锥轴线的平面截得的圆锥曲线是圆，此时1n =．（2）用与圆锥轴线平行方向的平面截得的圆锥曲线是双曲线，此时0n <，故可取3n =-．（3）当3n =-时，圆锥曲线C 的方程为2213y x -=，此时1a =，b 2c =，故其离心率e 2ca==．（4）由（3）知，双曲线C 的渐近线方程为：y =．（5）双曲线的离心率越大，开口越大，对于221y x n+=，要使离心率大于2，则3n <-，故可取4n =-．3．同2小题中曲线C 条件，且曲线C 为椭圆，设1F 、2F 为两个焦点，A 点在曲线C 上．（1）若焦点在y 轴上，可取n =__________；（2）描述3（1）中椭圆至少两个几何特征： ①__________；②__________．（3）若4n =，则12AF F △的周长为__________；（4）若2AO F △是以AO 为斜边的等腰直角三角形（如图2），则椭圆的离心率e =__________．【答案】（1）4．（2）①椭圆落在1x =±，2y =±围成的矩形中； ②图象关于x 轴，y 轴，原点对称．（3）4+ （4．【解析】（1）若方程221y x n +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >，故可取4n =．（2）①对于椭圆2214y x +=的几何性质有：x 的取值范围是11x -≤≤，y 的取值范围是22x -≤≤，椭圆位于直线1x =±，2y =±围成的矩形中；从图形上看：椭圆关于x 轴，y 轴，原点对称，既是轴对称图象，又是中心对称图形；椭圆2214y x +=的四个顶点分别是(1,0)-，(1,0)，(0,2)，(0,2)-，离心率e c a==，长半轴长为2，短半轴长为1，焦距为等，任写两个几何特证即可．（3）若4n =，则椭圆C 的方程为2214y x +=，此时2a =，1b =，c = 若A 在曲线C 上，则12||||24AF AF a +==，故12AF F △的周长为1212||||||224AF AF F F a c ++=+=+ （4）若2AOF △是以AO 为斜边的等腰直角三角形，则2b C a =，即2b ac =，又222b a c =-，得220c ac a +-=，故2e e 10+-=，解得e =0e 1<<，故e =4．直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．同2小题中曲线C 条件，且5n =，直线l 过曲线C 的上焦点1F ，与椭圆交于点A 、B ．（1）下面的三个问题中，直线l 分别满足不同的前提条件，选择其中一个研究．（三个问题赋分不同，若对多个问题解答，只对其中第一个解答过程赋分） ①直线斜率为1，求线段AB 的长． ②OA OB ⊥，求直线l 的方程．③当AOB △面积最大时，求直线l 的方程．我选择问题__________，研究过程如下：（2）梳理总结你的研究过程，你使用主要的知识点、研究方法和工具（公式）有：__________（至少2个关键词）．（3）在题4题干同样条件下，自构造一个几何图形，并自定一个相关的几何问题（无需解）．（在图34-中绘制出该几何图形，用正确的符号和文字描述图形的已知条件，并准确简洁叙述待研究的几何问题．无需解答，描述不清晰和不准确的不得分，绘制图像与描述不匹配的不得分）__________．【答案】见解析．【解析】（1）①解：由题意可知直线l 的方程为2y x =+，椭圆C 的方程为2215y x +=，由22215y x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得26410x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：1223x x +=-，1216x x =-，∴线段||AB =．②解：易知直线l 的斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+， ∴2222121212122228520(2)(2)2()44555k k k y y kx kx k x x k x x k k k ---+=++=+++=++=+++， ∵DA OB ⊥，∴222121222215205190555k k x x y y k k k --+-++=+==+++，解得：k =， ∴直线l的方程为：2k =+． ③解：易知直线l 斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+，∴线段||AB =2215k k +=+，又原点D 到直线AB的距离d =∴AOB △的面积22111||225k S AB d k +=⋅=⨯=+==∵2216181k k +++≥，∵14S =≤221611k k +=+，即k =时，取等号， ∴AOB △l的方程为：2y =+．（2）函数与方程思想，不等式性质，弦长公式，根与系数关系，设而不求等．（3）设直线l 的斜率为k ，若椭圆C 的下顶点为D ，求证：对于任意的k ∈R ，直线AD ，BD 的斜率之积为定值．四、本大题4小题，共计总分13分．（第2，3，4小题，每题3分，每1小题4分，合计13分）汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）．其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）．定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线．设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm ，灯深25cm （如图1）．设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C ，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x 轴建立平面直角坐标系（如图2）．.图1抛物线上点P 到焦点距离为5cm ，且在x 轴上方．研究以下问题： 1．求抛物线C 的标准方程和准线方程．【答案】见解析．【解析】解：设抛物线C 的方程为：22y px =，由于灯口直径为20cm ，灯深25cm ，故点(25,10)在抛物线C 上， ∴100225p =⨯，解得：2p =，∴抛物线C 为标准方程为：24y x =，准线方程为1x =-．2．求P 点坐标．【答案】见解析．【解析】解：设P 点坐标为00(,)x y ，0(0)y >，则2004y x =， ∵点P 到焦点的距离为5，∴015x +=，得04x =，∴04y =，故点P 的坐标为(4,4)．3．求抛物线在点P 处法线方程．【答案】见解析．【解析】解：设抛物线在P 点处的切线方程为：4(4)y k x -=-，则由2444(4)y x y x ⎧=⎨-=-⎩，消去x 得：2416160ky y k --+=， 164(1616)0k k ∆=--+=，即24410k k -+=，解得12k =， ∴抛物线在P 点处法线的斜率为2-，故抛物线在P 点处法线的方程为42(4)y x -=--，即2120x y +-=．4．为证明（检验）车灯的光学原理，从以下两个命题中选择其一进行研究：（只记一个分值） ①求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的光线经点P 反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．②求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．我选择问题__________，研究过程如下：【答案】见解析．【解析】①证明：设(1,0)F 关于法线2120x y +-=的对称点(,)m n ，则(,)m n 在反射光线上，则1121212022n m m n ⎧=⎪⎪-⎨+⎪⨯+-=⎪⎩，解得94m n =⎧⎨=⎩， ∴反射光线过点(9,4)，又∵点(4,4)P 在反射光线上，∴反射光线的方程为4y =，故由在抛物线焦点F 处的点光源经点P 发射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴． ②证明：设00(,)M x y 为抛物线上，任意一点，则抛物线在M 处切线方程为：00()y y k x x -=-，由2004()y x y y k x x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩得2004440ky y y kx -+-=， 00164(44)0k y kx ∆=--=，又2004y x =代入上式化简得20(2)0ky -=， ∴02k y =， ∴抛物线在00(,)M x y 处法线的斜率为02y -，法线方程为000()2y y y x x -=--，即2000024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，设(1,0)F 关于在点M 处的法线200024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭的对称点F '为(,)m n ，则020*********n m y y y n m y ⎧=⎪-⎪⎨⎛⎫+⎪-=-- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：42002006828y y m y n y ⎧++=⎪+⎨⎪=⎩， ∴抛物线在点M 处反射光线过420002068,28y y y y ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，又∵反射光线过00(,)M x y ，∴反射光线所在直线方程为0y y =，故由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，反射光线所在的直线平行于抛物线的对称轴．。

北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题理(含解析)

( )①对于椭圆的几何性质有: 的取值范围是，的取值范围是，椭圆位于直线，围成的矩形中；从图形上看：椭圆关于轴, 轴,原点对称，既是轴对称图象，又是中心对称图形；椭圆的四个顶点分别是，， , ，离心率，长半轴长为 ,短半轴长为，焦距为等,任写两个几何特证即可．
( ）若，则椭圆的方程为，
【答案】（ ) ．（ ) ．
【解析】（ )设 ,则到平面的距离为，到平面的距离为，到平面的距离为，故由得，故任写一个满足的坐标即可, ．
( ）若点到共顶点的平面组的距离和，则点位于平面
上,若点到共顶点的平面组的距离和，则位于正方体除去三棱锥剩余的几何体内,因此，若一个点到每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于 ,则点位于正方体削去如图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积．
此时， , ,由椭圆的定义可知，
若在曲线上，则，
故的周长为．
( ）若是以为斜边的等腰直角三角形，
则，即，又，
得，故，
解得，又 ,故．
4．直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．
同小题中曲线条件,且，直线过曲线的上焦点 ,与椭圆交于点、．
三、本大题共4小题共计总分41分．（填空1，3(1）每小题4分，3(3),(4）每小题2分,其余各填空题每题3分，共12小题，合计36分,4（1）题赋分最高5分）
圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图）
1．写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称:__________．
6．设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点的平面组为：面、面、面．正方体内（含表面）有一动点，到共点于的三个面的距离依次为、、．

北京市海淀北大附中2017_2018学年高二数学上学期期中试题理(含解析)

C
A
B
【答案】 p q 【解析】“ m 、 n 均为非零实数”，即“ m 0 ， n 0 ”，又命题 p : “ m 0 ”，命题 q 为：“ n 0 ”，故用字母符号表述命题：“ m 、 n 均为非零实数” 为： p q ．
3．已知增函数 y f (x) ，命题 t : “ x > y ， f (x) f ( y) > 0 ”， t 是：__________．【答案】 x > y ， f (x) f ( y) ≤ 0 【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题 r : “ x > y ， f (x) f ( y) > 0 ”，
∴
AE

1
( AB1

AD1 )

1
(a

b)

1
a

1
b
．
2
2
22
-2-
（
2
）
AC1

AE

EC1

AE

1 2
A1C1

AE

1 2
AC

1 2
a

1 2
b

1 2
c
4．求二面角 B1 AD1 C1 的大小．【答案】见解析．
-3-
【解析】解：设平面 AB1D1 的一个法向量为 m (x, y, z) ，

则

AB1
AD1
m m

0 0
，即
x

y

z z

2017-2018年北京市首师大附中高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)

2017-2018学年北京市首师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求）1．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．2．（5分）已知抛物线C：y2=4x上的点P到准线的距离为5，则点P的横坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．164．（5分）直线被椭圆所截得的弦中点坐标是（）A．（4，4） B．（﹣4，0）C．（﹣2，1）D．（2，3）5．（5分）“椭圆的离心率为”是“椭圆的方程为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）如图，直线x=2与双曲线的渐近线交于E1，E2两点，记，，任取双曲线Γ上的点P，若，则a，b满足的一个等式是（）A．B．C．2ab=1 D．4ab=17．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点M是双曲线右支上一点，且MF1⊥MF2，延长MF2交双曲线C于点P，若|MF1|=|PF2|，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．D．8．（5分）如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个判断：①P到F1（﹣4，0），F2（4，0），E1（0，﹣4），E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x，y=﹣x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36；④曲线C总长度不大于6π．上述判断中正确命题的序号为（）A．②①B．②③C．②③④D．①②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）命题：∀x∈N，x2≥x的否定是．10．（5分）已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x﹣y=0，则此双曲线的标准方程是．11．（5分）如图，程序输出的是132，则判断框中应填．12．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是．13．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中．点M不与点O重合，称射线OM与圆x2+y2=1的交点N为点M的“中心投影点“．（1）点M（1，）的“中心投影点”为（2）曲线x2上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是．三、解答题（本大题共4小题，共50分）15．（12分）已知命题p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根，命题q：关于x的不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．16．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若⊥，求k的值．17．（13分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0）．（1）求抛物线C的方程．（2）如图，点为抛物线C的准线上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点．18．（13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平行面，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．在直线x=2的右侧，考察范围是到点B的距离不超过的区域E；在直线x=2的左侧，考察范围是到A，B两点的距离之和不超过的区域F（1）求考察区域边界E，F的曲线方程，并在如图的平面直角坐标系中画出考察区域的边界简图．（2）考察区域的边界线上存在几对关于点（2，0）对称的点？并写出对称点的坐标．（3）如图所示，设P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），其中：，，P 3（8，6）．当冰川融化时，冰川的边界线P1P2，P2P3所在直线分别沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，每年移动0.2km，问第几年开始，考察区域的边界上不再存在关于（2，0）对称的点．2017-2018学年北京市首师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求）1．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设椭圆的标准方程为，∵椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，∴，解得．故椭圆的方程为．故选：C．2．（5分）已知抛物线C：y2=4x上的点P到准线的距离为5，则点P的横坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：抛物线C的方程为：y2=4x的准线为x=﹣1，设点P的横坐标为x0，由于点P到准线的距离为5，所以x0+1=5，解得x0=4．故选：C．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：根据程序框图，知当k=3时输出S，第1次循环得到：S=1×20=1，k=1；第2次循环得到：S=1×21=2，k=2；第3次循环得到：S=2×22=8，k=3；此时不满足循环条件，输出S=8．故选：C．4．（5分）直线被椭圆所截得的弦中点坐标是（）A．（4，4） B．（﹣4，0）C．（﹣2，1）D．（2，3）【解答】解：将直线方程代入椭圆得x2+4x﹣4=0，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣4，，∴，，即直线被椭圆所截得的弦中点坐标为（﹣2，1）．5．（5分）“椭圆的离心率为”是“椭圆的方程为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：在椭圆的方程中，a=5，b=4，则c=3，则椭圆的离心率e==，即必要性成立，反之不一定成立，则“椭圆的离心率为”是“椭圆的方程为”的必要不充分条件，故选：B．6．（5分）如图，直线x=2与双曲线的渐近线交于E1，E2两点，记，，任取双曲线Γ上的点P，若，则a，b满足的一个等式是（）A．B．C．2ab=1 D．4ab=1【解答】解：由题意有，是渐近线方向向量，又，点P在双曲线上，所以，化简得4ab=1．7．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点M是双曲线右支上一点，且MF1⊥MF2，延长MF2交双曲线C于点P，若|MF1|=|PF2|，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设|MF1|=t，由双曲线的定义可得|MF2|=t﹣2a，|PF2|=t，|PF1|=t+2a，由MF1⊥MF2，可得|MF1|2+|MP|2=|PF1|2，即t2+（2t﹣2a）2=（t+2a）2，解得t=3a，又|MF1|2+|MF2|2=|F2F1|2，即为（3a）2+a2=4c2，即为c=a，则e==．故选：C．8．（5分）如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个判断：①P到F1（﹣4，0），F2（4，0），E1（0，﹣4），E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x，y=﹣x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36；④曲线C总长度不大于6π．上述判断中正确命题的序号为（）A．②①B．②③C．②③④D．①②③④【解答】解：对于①，考虑点P不是交点的情况，若点P在椭圆上，P到F1（﹣4，0），F2（4，0）两点的距离之和为定值，到E1（0，﹣4），E2（0，4）两点的距离之和不是定值，故①错误；对于②，两个椭圆关于直线y=x，y=﹣x均对称，故曲线C关于直线y=x，y=﹣x 均对称，故②正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故④错误．综上所述，正确命题的序号是②③．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）命题：∀x∈N，x2≥x的否定是∃x∈N，x2＜x．【解答】解：∵命题∀x∈N，x2≥x是全称命题命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：∃x∈N，x2＜x．故答案为：∃x∈N，x2＜x．10．（5分）已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x﹣y=0，则此双曲线的标准方程是．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为2x﹣y=0，则可设双曲线的方程为x2﹣=λ，λ≠0；又由双曲线的右焦点为（5，0），即焦点在x轴上且c=5，则λ＞0；则双曲线的方程可变形为=1，又由c=5，则5λ=25，解可得λ=5；则此双曲线的标准方程是；故答案为：．11．（5分）如图，程序输出的是132，则判断框中应填i≥11？（或i＞10？）．【解答】解：模拟程序的运行，可得第一次运行：i=12，判断成立，S=12，i=11；第二次运行：i=11，判断成立，S=12×11=132，i=10；第三次运行：i=10，判断不成立，故输出S=132，故判断框中应填i≥11？（或i＞10？）．故答案为：i≥11？（或i＞10？）．12．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，m=±．则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，），故答案为：（﹣，0）∪（0，）．13．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是6．【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故答案为：6．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中．点M不与点O重合，称射线OM与圆x2+y2=1的交点N为点M的“中心投影点“．（1）点M（1，）的“中心投影点”为（，）（2）曲线x2上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是．【解答】解：（1）由题意可得射线OM方程为y=x（x＞0）与圆x2+y2=1联立，解得x=，y=，即有N（，）；（2）双曲线x2的渐近线方程为y=±x，代入圆x2+y2=1可得四个交点（，），（﹣，），（﹣，﹣），（，﹣）；即有曲线x2上所有点的“中心投影点”构成的曲线为两段圆弧，且圆心角为120°，半径为1，则弧长为．故答案为：（1）（，）；（2）．三、解答题（本大题共4小题，共50分）15．（12分）已知命题p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根，命题q：关于x的不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p为真命题，则有，所以m＞2．若q为真命题，则有△=[4（m﹣2）2]﹣4×4×1＜0，所以1＜m＜3．由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，知命题p与q一真一假．当p真q假时，由得m≥3；当p假q真时，由，得1＜m≤2．综上，m的取值范围为（1，2]∪[3，+∞）．16．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若⊥，求k的值．【解答】解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，﹣），（0，）为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b==1，故曲线C的方程为x2+=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足，消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，故x1+x2=﹣，x1x2=﹣，若⊥，即x1x2+y1y2=0．而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是x1x2+y1y2=﹣﹣﹣+1=0，化简得﹣4k2+1=0，所以k=±．17．（13分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0）．（1）求抛物线C的方程．（2）如图，点为抛物线C的准线上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点．【解答】解：（1）由已知可得，P=2，故抛物线C的方程为y2=4x．（2）证明：由（1）知：P（﹣1，t）（t≠0），则，直线PO的方程为y=﹣tx，代入抛物线C的方程有：，当t2≠4时，，∴直线MN的方程为：，即，∴此时直线MN过定点（1，0），当t2=4时，直线MN的方程为x=1，此时仍过点（1，0），综上所述，直线MN过定点（1，0）．18．（13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平行面，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．在直线x=2的右侧，考察范围是到点B的距离不超过的区域E；在直线x=2的左侧，考察范围是到A，B两点的距离之和不超过的区域F（1）求考察区域边界E，F的曲线方程，并在如图的平面直角坐标系中画出考察区域的边界简图．（2）考察区域的边界线上存在几对关于点（2，0）对称的点？并写出对称点的坐标．（3）如图所示，设P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），其中：，，P 3（8，6）．当冰川融化时，冰川的边界线P1P2，P2P3所在直线分别沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，每年移动0.2km，问第几年开始，考察区域的边界上不再存在关于（2，0）对称的点．【解答】解：（1）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），当x≥2时，由题意知，当x＜2时，由知，点P在以A，B为焦点，长轴长的椭圆上，此时短半轴长，故其方程为．综上，考察区域边界（曲线）的方程为：，．（2）设A（a，b）位于椭圆C2上，其关于（2，0）对称的点B（4﹣a，﹣b）位于圆C1上，则：，解得或，故考察区域的边界上有且只有1对关于点（2，0）对称的点，对称点为，．（3）∵，，∴P1P2的方程为，则点到直线P1P2的距离，∵，P3（8，6），∴P2P3的直线方程为y=6，点到直线P2P3的距离，设第七年开始，考察区域的边界上不再存在关于点（2，0）对称的点，由于d2＜d1，且t∈N*，解得t≥22，故从第22年开始，考察区域的边界上不再存在关于点（2，0）对称的点．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

北京市教育学院附中2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科)(ab卷) Word版含解析

2017-2018学年北京市教育学院附中高二（上）期中数学试卷（理科）（AB卷）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知p：∀x∈R，x＞2，那么￢p为（）A．∀x∈R，x＜2 B．∃x∈R，x≤2 C．∀x∈R，x≤2 D．∃x∈R，x＜22．抛物线y2=﹣8x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．y=2 D．y=﹣23．直线x+ay﹣a=0与直线ax﹣（2a﹣3）y﹣1=0互相垂直，则a的值是（）A．2 B．﹣3或1 C．2或0 D．1或04．圆x2+y2﹣2x﹣3=0与圆x2+y2+2x+4y+4=0的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．外切 D．内含5．平行线x﹣2y=0与x﹣2y﹣5=0之间的距离为（）A．5 B．C．D．26．过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=47．直线ax+y+1=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣18．椭圆经过点（3，0），且离心率是，则该椭圆的标准方程为（）A． +y2=1 B． +=1C． +y2=1或+=1 D． +y2=1或+=19．已知p：如果x＜1，则x＜2；q：∃x∈R，x2+1=0，则（）A．p∨q是假B．p是假C．p∧q是假D．¬q是假10．“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题11．“若x＜2，则x＜3”的否是______．12．双曲线﹣=1的实轴长为______，离心率为______．13．已知双曲线的一个顶点为（2，0），且渐近线的方程为y=±x，那么该双曲线的标准方程为______．14．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为______．15．圆（x﹣1）2+y2=4的圆心到直线2x﹣y+3=0的距离是______，该圆与直线的位置关系为______．（填相交、相切、相离）16．圆x2+y2﹣4x+4y+6=0截直线x﹣y﹣5=0所得的弦长为______．三、解答题17．已知直线l经过直线x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x+2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．18．已知三个点A（0，0），B（4，0），C（3，1），圆M为△ABC的外接圆．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设直线y=kx﹣1与圆M交于P，Q两点，且|PQ|=，求k的值．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F到直线l：x﹣y+1=0上．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣y+2=0与抛物线C相交于P，Q两点，求|PQ|以及线段PQ中点M的坐标．B卷二、填空题20．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标为______．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于______．22．若抛物线y2=4x上的一点M到该抛物线的焦点F的距离|MF|=5，则点M到y轴的距离为______．23．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点与椭圆+=1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为______．24．已知椭圆+y2=1的两个焦点F1，F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，且|PF2|=______．25．若椭圆x2+=1的离心率为，则m的值为______．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）26．已知椭圆+=1与直线y=2x+m交于A，B两个不同点．（1）求m的取值范围；（2）若|AB|=，求m的值．27．已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．2015-2016学年北京市教育学院附中高二（上）期中数学试卷（理科）（AB卷）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知p：∀x∈R，x＞2，那么￢p为（）A．∀x∈R，x＜2 B．∃x∈R，x≤2 C．∀x∈R，x≤2 D．∃x∈R，x＜2【考点】的否定．【分析】直接利用全称否定是特称写出结果即可．【解答】解：因为全称的否定是特称，所以：p：∀x∈R，x＞2，那么￢p为：∃x∈R，x ≤2．故选：B．2．抛物线y2=﹣8x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．y=2 D．y=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=﹣8x的开口向左，2p=8，从而可得抛物线y2=﹣8x的准线方程．【解答】解：抛物线y2=﹣8x的开口向左，2p=8，∴抛物线y2=﹣8x的准线方程为x==2故选A．3．直线x+ay﹣a=0与直线ax﹣（2a﹣3）y﹣1=0互相垂直，则a的值是（）A．2 B．﹣3或1 C．2或0 D．1或0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】当a=0时，两直线为x=0或3y=1，则两直线垂直；当a≠0时，由斜率之积等于﹣1求得a的取值的集合，再把a的取值的集合取并集，即得所求．【解答】解析：当a=0时，两直线为x=0或3y=1，则两直线垂直，当a≠0时，两直线的斜率分别为﹣和，可得，解得a=2，此时两直线垂直，故a的取值为0或2．，故选C．4．圆x2+y2﹣2x﹣3=0与圆x2+y2+2x+4y+4=0的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．外切 D．内含【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和两半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，从而可得结论．【解答】解：把两圆化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=4，（x+1）2+（y+2）2=9，∴两圆心坐标分别为（1，0）和（﹣1，﹣2），R=2，r=3，∴两圆心间的距离d==∵3﹣2＜＜3+2，∴两圆的位置关系是相交故选A．5．平行线x﹣2y=0与x﹣2y﹣5=0之间的距离为（）A．5 B．C．D．2【考点】两条平行直线间的距离．【分析】根据两平行线之间的距离为，运算求得结果．【解答】解：两平行线x﹣2y=0与x﹣2y﹣5=0，故它们之间的距离为==，故选C．6．过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=4【考点】圆的标准方程．【分析】先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立．故选C．7．直线ax+y+1=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣1【考点】圆的切线方程．【分析】根据直线ax+y+1=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，得到圆心到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式列出关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵直线ax+y+1=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离等于半径，∴1=，∴，∴a=0故选A．8．椭圆经过点（3，0），且离心率是，则该椭圆的标准方程为（）A． +y2=1 B． +=1C． +y2=1或+=1 D． +y2=1或+=1【考点】椭圆的标准方程．【分析】由题意分椭圆焦点在x轴或y轴分类设出椭圆的标准方程，并得到a（或b）的值，结合已知条件即可求得答案．【解答】解：当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为，则a=3，又，得c=2，∴b2=a2﹣c2=1，椭圆方程为；当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为（a＞b＞0），则b=3，又，a2=b2+c2，联立解得a2=81，b2=9，椭圆方程为．∴椭圆的标准方程为+y2=1或+=1．故选：C．9．已知p：如果x＜1，则x＜2；q：∃x∈R，x2+1=0，则（）A．p∨q是假B．p是假C．p∧q是假D．¬q是假【考点】四种的真假关系．【分析】由已知中p：如果x＜1，则x＜2；q：∃x∈R，x2+1=0，结合实数的性质，我们可以判断出p与q的真假，再由复合的真值表，分别判断四个答案的真假，即可得到结论．【解答】解：∵p：如果x＜1，则x＜2为真，故B错误；又∵q：∃x∈R，x2+1=0，为假故p∨q是真，故A错误，p∧q是假，故C正确；¬q是真，故D错误；故选C10．“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】椭圆的标准方程．【分析】由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，“方程ax2+by2=1表示椭圆”⇒“ab ＞0”，所以∴“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件．【解答】解：∵由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，例如a＜0，b＜0时，“方程ax2+by2=1不表示椭圆”．“方程ax2+by2=1表示椭圆”⇒“ab＞0”，∴“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．二、填空题11．“若x＜2，则x＜3”的否是“若x≥2，则x≥3”．【考点】四种．【分析】根据“若p，则q”的否是“若￢p，则￢q”，写出它的否即可．【解答】解：“若x＜2，则x＜3”的否是“若x≥0，则x≥3”．故答案为：“若x≥2，则x≥3”．12．双曲线﹣=1的实轴长为4，离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线方程求解实轴长，离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1可得a=2，b=3，c=，双曲线的实轴长为：4，离心率为：．故答案为：4；．13．已知双曲线的一个顶点为（2，0），且渐近线的方程为y=±x，那么该双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】由双曲线的渐近线的方程为y=±x，可知双曲线为等轴双曲线，且e==，根据顶点为（2，0），即可求得a和b的值，求得双曲线方程．【解答】解：双曲线的渐近线的方程为y=±x，∴双曲线为等轴双曲线，且e==，∵双曲线的一个顶点为（2，0），c2=a2+b2，∴a=b=2，∴双曲线的标准方程为：．故答案为：．14．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为﹣8．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率k也是﹣2，∴解得：m=﹣8故答案为：﹣815．圆（x﹣1）2+y2=4的圆心到直线2x﹣y+3=0的距离是，该圆与直线的位置关系为相离．（填相交、相切、相离）【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【分析】圆（x﹣1）2+y2=4的圆心是（1，0），利用点到直线的距离能求出圆心到直线2x﹣y+3=0的距离，再由圆的半径能判断出该圆与直线的位置关系．【解答】解：∵圆（x﹣1）2+y2=4的圆心是（1，0），∴圆心（1，0）到直线2x﹣y+3=0的距离d==，∵圆（x﹣1）2+y2=4的半径r=2＜，∴该圆与直线相离．故答案为：，相离．16．圆x2+y2﹣4x+4y+6=0截直线x﹣y﹣5=0所得的弦长为．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心坐标，求出半径，利用圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，即可得到结果．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+4y+6=0的圆心坐标（2，﹣2），半径为；圆到直线的距离为：=，又因为半径是，所以半弦长为=；弦长为．故答案为．三、解答题17．已知直线l经过直线x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x+2y﹣1=0．（1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．【考点】直线的一般式方程；三角形的面积公式．【分析】（1）联立两直线方程得到方程组，求出方程组的解集即可得到交点P 的坐标，根据直线l 与x +2y ﹣1=0垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为﹣1，可设出直线l 的方程，把P 代入即可得到直线l 的方程；（2）分别令x=0和y=0求出直线l 与y 轴和x 轴的截距，然后根据三角形的面积函数间，即可求出直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：（1）由解得，由于点P 的坐标是（﹣，）．则所求直线l 与x +2y ﹣1=0垂直，可设直线l 的方程为2x ﹣y +m=0．把点P 的坐标代入得2×（﹣）﹣+m=0，即m=．所求直线l 的方程为2x ﹣y +=0．即14x ﹣7y +26=0．（2）由直线l 的方程知它在x 轴．y 轴上的截距分别是﹣．，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S=×=．18．已知三个点A （0，0），B （4，0），C （3，1），圆M 为△ABC 的外接圆．（Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）设直线y=kx ﹣1与圆M 交于P ，Q 两点，且|PQ |=，求k 的值．【考点】圆的一般方程．【分析】（Ⅰ）设出圆的一般式方程，代入三个点的坐标联立方程组求得D ，E ，F 的值，则圆的方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆M 的圆心为（2，﹣1），半径为，结合弦长求得圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式求得k 的值．【解答】解：（Ⅰ）设圆M 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0． ∵点A （0，0），B （4，0），C （3，1）在圆M 上，则，解得：D=﹣4，E=2，F=0．∴△ABC 外接圆的方程为x 2+y 2﹣4x +2y=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）圆M 的圆心为（2，﹣1），半径为．又，∴圆M 的圆心到直线y=kx ﹣1的距离为．∴，解得：k2=15，k=．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F到直线l：x﹣y+1=0上．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣y+2=0与抛物线C相交于P，Q两点，求|PQ|以及线段PQ中点M的坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）根据抛物线的标准方程，将焦点F（0，p）代入直线l方程算出p=2，即可得到抛物线C的方程；（2）将直线l方程与抛物线C消去y，得x2﹣x﹣1=0．由根与系数的关系和中点坐标公式，即可算出线段PQ中点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，p）∴0﹣p+1=0，可得p=2，因此抛物线C的方程是x2=4y；（2）由，消去y得x2﹣x﹣1=0设P（x1，y1），Q（x2，y2）∴x1+x2=4，可得中点M的横坐标为（x1+x2）=2，代入直线l方程，得纵坐标为y M=x M+1=3．即线段PQ中点M的坐标（2，3）．B卷二、填空题20．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标为（0，﹣）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将抛物形式化简为标准形式，求出p的值，进而得到焦点坐标．【解答】解：抛物线的标准形式是，p=∴焦点坐标为：（0，﹣）故答案为（0，﹣）21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍，，可求椭圆的离心率．【解答】解：由题意，∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b∴∴=故答案为：22．若抛物线y2=4x上的一点M到该抛物线的焦点F的距离|MF|=5，则点M到y轴的距离为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求解即可．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标（1，0），抛物线y2=4x上的一点M到该抛物线的焦点F的距离|MF|=5，则M到准线的距离为5，则点M到y轴的距离为：4．故答案为：4．23．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点与椭圆+=1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据椭圆的标准方程求出c，利用双曲线的离心率建立方程求出a，b，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵椭圆的标准方程为+=1，∴椭圆中的a1=5，b1=3，则c=4，∵双曲线的焦点与椭圆+=1的焦点相同，∴双曲线中c=4，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e===2，则a=2．在双曲线中b====2，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x=±x，故答案为：y=±x ．24．已知椭圆+y 2=1的两个焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，且PF 1⊥F 1F 2，且|PF 2|= 3.5 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的性质分别求得|PF 1|+|PF 2|=4，|F 1F 2|=2，由PF 1⊥F 1F 2，根据勾股定理即可求得|PF 2|的值．【解答】解：由椭圆的性质可知：a=2，b=1，c=，|PF 1|+|PF 2|=2a=4，|F 1F 2|=2c=2，由勾股定理可知：|PF 1|2+|F 1F 2|2=|PF 2|2，∴（4﹣|PF 2|）2+12=|PF 2|2，解得：|PF 2|=3.5，故答案为：3.5．25．若椭圆x 2+=1的离心率为，则m 的值为 4或．【考点】椭圆的简单性质．【分析】当 m ＞1时，由离心率的定义可得=，当 m ＜1时，由离心率的定义知=，解方程求出m 的值．【解答】解：当 m ＞1时，由离心率的定义知=，∴m=4，当 m ＜1时，由离心率的定义知=，∴m=，故答案为：4 或．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）26．已知椭圆+=1与直线y=2x +m 交于A ，B 两个不同点．（1）求m 的取值范围；（2）若|AB |=，求m 的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）通过直线l 与椭圆交于A 、B 两不同点可知联立椭圆与直线方程后的一元二次方程中的根的判别式大于零，进而计算可得结论；（2）利用弦长公式列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵椭圆+=1，直线l ：y=2x +m ，代入椭圆方程化简得：24x 2+20mx +5m 2﹣20=0，∵直线l 与椭圆交于A 、B 两不同点，∴△=400m2﹣4×24×（5m2﹣20）＞0，解得：﹣2＜m＜2；（2）24x2+20mx+5m2﹣20=0，∴x A+x B=﹣=﹣，x A x B=，∴弦AB长为|x A﹣x B|===．解得：m=．27．已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；（2）通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．【解答】解：（1）∵椭圆C：x2+3y2=3，∴椭圆C的标准方程为： +y2=1，∴a=，b=1，c=，∴椭圆C的离心率e==；（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1），∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2），令x=3，得M（3，2﹣y1），∴直线BM的斜率k BM==1；（3）结论：直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知k BM=1，又∵直线DE的斜率k DE==1，∴BM∥DE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2），令x=3，则点M（3，），∴直线BM的斜率k BM=，联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，∵k BM﹣1====0，∴k BM=1=k DE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行．2016年9月14日。

北京师范大学附属中学2017_2018学年高二数学上学期期中试题文.doc

北京师大附中2017-2018 学年上学期高二年级期中考试数学试卷（文科）一、选择题（每小题 4 分，共 40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知命题 p : n N ，2n n ，则p 是A. n N ，2n nB. n N ，2n nC. n N ，2n nD. n N ，2n n2. 设直线 ax by c 0 的倾斜角为，且 sin cos 0 ，则a,b 满足A. a b 1B. a b 1C. a b 0D. a b 03. 已知 p,q 是简单命题，那么“p q 是真命题”是“p 是真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 直线 x 2 y 3 0 与圆( x 2)2 ( y 3) 2 9 交于 E，F 两点，则EOF （O是原点）的面积为A. 3B. 32 4C. 2 5D. 6 555. 关于两条不同的直线m,n 与两个不同的平面、，下列命题正确的是A. m // ， n // 且// ，则 m // nB. m ， n // 且// ，则 m nC. m ， n 且，则 m // nD. m // ， n 且，则 m//n6. 已知椭圆x2y 2 1的一个焦点与抛物线y 2 8x 的焦点重合，则该椭圆的离心率是a 2 2A. 6B. 2 33 3C.2 D.3227. 已知双曲线的焦点在 x 轴上，焦距为 2 5 ，且双曲线的一条渐近线与直线x 2y1 0平行，则双曲线的标准方程为A.x 2 y 2 14B.x 2 y 214C. 3x23 y 2 120 5D.3x 2 3 y 2 15208.已知点 A （ 2，1），抛物线 y24x 的焦点是 F ，若抛物上存在一点 P ，使得 | PA | |PF |最小，则 P 点的坐标为A. （ 2，1）B. （ 1，1）C. （1，1）2D. (1,1)49.某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛，该校高一年级有1，2， 3，4，四个班参加了比赛，其中有两个班获奖，比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在 2 班、 3 班、 4 班中”，乙同学说：“ 2 班没有获奖， 3 班获奖了”，丙同学说：“ 1 班、 4 班中有且只有一个班获奖” ，丁同学说：“乙说得对” ，已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是A. 乙，丁B. 甲，丙C. 甲，丁D. 乙，丙10.如图，正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中， P 为底面 ABCD 上的动点， PEA 1 C 于 E ，且 PA=PE ，则点 P 的轨迹是A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分二、填空题（每小题 5 分，共30 分）11. 已知直线 x 2 y 0 与直线 x (a 1) y 4 0 垂直，则实数 a 的值是 ________12. 已知方程x 2 y2 1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围 _______ 5 m m 313. 已知双曲线的方程为x 2 y 2 1 ，则此双曲线的离心率为___________，其焦点到渐近线的3距离为 _____________14. 已知直线与抛物线 2x y 2 y 4x 相交于 A B 两点，那么线段AB 的中点坐标是、____________15. 若直线 y kx 1与曲线 y 1 ( x 2)2有公共点，则k的取值范围是_____________。

2018北京人大附中高三(上)期中数学(理)

2018北京人大附中高三（上）期中数学（理）2018.10.29一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合P ={x ∈R ∕1≤x ≤3}，Q ={x 2≥4}，则P ∪(C R Q )=（）A [2，3]B (−2，3]C [1，2)D (−∞，−2]∪ [1，+∞)2.设命题p:∀x >0，2x >log 2x ，则¬p 为（）A ∀x >0，2x ≤log 2xB ∃x >0，2x ≤log 2xC ∃x ≤0，2x ≤log 2xD ∀x >0，2x ≥log 2x3.设a =log 30.7，b =21.1，c =0.81.1，z 则（）A b <a <cB c <a <bC c <b <aD a <c <b4.函数y =f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以为（）A f (x )=1x −x 2B f (x )=1x −x 3C f (x )=1x −e xD f (x )=1x −lnx5.设a ，b 为两个非零向量，则“a ∙b =|a ∙b |”是“a 与b 共线”的（）A 充分而不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分而必要条件6.设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，若a 1=d =1,则S n +8a n 的最小值为（）A 10B 92C 72D 12+2√27.设函数f (x )=2sin (ωx +φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f (5π8)=2，f (11π8)=0,且f (x )的最小正周期大于 2π，则（）A ω=23，φ=π12B ω=23，φ=−11π12 C ω=13，φ=−11π24 D ω=13，φ=7π248.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位 mol/L ，记作[H +]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L ，记作[OH −]）的乘积等于常数10−14.已知pH 值的定义为pH =−lg [H +]，健康人体血液的pH值保持在7.35~7.45之间，那么健康人体血液中的[H +][OH −]可以为（）（参数数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A 12B 13C 16D 110 二.填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.已知向量a =(3，−1)，b =(−2，4)，则向量a 与b 的夹角为10.方程3sinx =1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为11.已知函数f (x )同时满足以下条件：（1）定义域为R ；（2）值域为[0，1]；（3）f (x )−f (−x )=0. 试写出一个函数解析式f (x )=12.在∆ABC 中，∠A =60°，AB =3，AC =2.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ).BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AE⃗⃗⃗⃗⃗ =−4,则λ的值为 .13.无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意n ∈N ∗,S n ∈{2，3}，则k 的最大值为 .14. 已知函数f (x )={x 2+x ，−2≤x ≤c 1x，c <x ≤3若c =0，则f (x )的值域是；若f (x )的值域是[−14，2]，则实数c 的取值范围是 .三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答题要有详细过程，把答案写在答题卡上.15.（本小题满分13分）已知函数f (x )=2sinx ∙cos (x −π3).（1）求函数f (x )的最小正周期；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的取值范围.16.（本小题满分13分）已知等差数列{a n }中，a 1=−1，前12项和S 12=186.（1）求数列{a n }的通向公式；（2）若数列{b n }满足b n =(12)a n .记数列{b n }的前n 项和T n .若不等式T n <m ，对所有n ∈N ∗恒成立，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD 中，AB //CD ，AB =4，AC =6，DC =8，cos ∠BAC =916.求（1）边BC 的长和∆ACD 的面积；（2）边BD 的长.18.（本小题满分13分）对于函数f (x )，若存在实数x 0满足f (x 0)=x 0，则称x 0为函数f (x )的一个不动点.已知函数f (x )=x 3+bx +3，其中b ∈R .（1）求f (x )的极值点；（2）若存在x 0既是 f (x )的极值点，又是f (x )的不动点，求b 的值；19（本小题满分14分）已知函数f(x)=lnx−1−ax(a∈R).x（1）若a=0，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))的切线方程；（2）若a<−1，求证：f(x)的单调区间；（3）若1<a<2，f(x)<−1.20.（本小题满分14分）若无穷数列{a n}满足：只要a p=a q(p，q∈N∗,p≠q)，必有a p+1=a q+1，则称{a n}具有性质P.（1）若{a n}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1，b5=c1=81，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1=b n+sina n(n∈N∗).求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”.word下载地址。

2018-2019学年北京市人大附中高二上学期期中考试：数学

【解析】本题主要考查双曲线的几何性质、双曲线及其标准方程以及直线的交点坐标与距离公式。
因为双曲线的方程为
，
所以
，
，所以
，
所以
；
双曲线：
的渐近线方程为
，即
，
设点到其渐近线的距离距离为，
由点到直线距离公式可得
，
即点到其渐近线的距离是。
故本题正确答案为；。
16. 【答案】
；
【解析】本题主要考查等差数列的通项公式和数列的求和。
，
经验证可知
或均满足，
所以
或。
故本题正确答案为C。
上的一点，
12. 【答案】B
【解析】本题主要考查椭圆及其标准方程、椭圆的几何性质以及空间几何体的表面积与体积。
由半椭圆的方程和图象可知
，
由半椭圆的方程和图象可知
，
因为
，所以
，
，所以椭圆的焦点在轴上，
所以是半椭圆的焦点，、是半椭圆的焦点；
A个
B个
C个
D个
填空题 13. 不等式
的解集为_____ 。
14. 设等比数列的各项均为正数，若
，
。则 _____ 。
15. 已知双曲线：
，则双曲线的离心率为_____ ；点到其渐近线的距离是_____ 。
16. 已知数列，
，
。
（1）的通项公式为_____ ；
（2）数列
的前项和为，则 _____ 。
与
，
作差得
，
因为
，所以
，即
，
即
，即
；
综上可得
。
故本题正确答案为B。

2018-2019学年北京市清华大学附属中学高二(上)期中数学试题解析版

绝密★启用前北京市清华大学附属中学2018-2019学年高二（上）期中数学试题一、单选题1．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【详解】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题．2．设，，，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，选项A错误；当时，选项B错误；当时，选项C错误；∵函数在上单调递增，∴当时，．本题选择D选项.点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．3．已知数列为等差数列，且，，则等于A．80 B．40 C．24 D．【答案】C【解析】【详解】易知成等差数列.易得.4．设命题p：，，则为A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【详解】解：命题p：，，则为：，，故选：A．【点睛】本题考查特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．5．已知三点、、那么以、为焦点且过点P的椭圆的短轴长为A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义，利用两点间的距离公式求得的值，再求得的值，进而求得短轴的长.【详解】解：设椭圆的标准方程为：，可得：，，解得．．椭圆的短轴长为6．故选：B．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．椭圆的定义是动点到两个定点的距离之和为常数，并且这个常数比两个定点的距离要大.通过椭圆上一个点的坐标和焦点的坐标，可以用两点间的距离公式求得的长.6．不等式的解集是A．，B．，C．D．【答案】B【解析】【分析】将原不等式右边变为零，然后通分后利用告辞不等式的解法求得结果.【详解】解：，，，解得：或，故选：B．【点睛】本题考查了解分式不等式问题，考查转化思想，是一道基础题．移项，求出分式不等式的解集即可．7．设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．②等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．8．已知点为椭圆上的动点，则A，B两点间的最大距离是A．B．C．7 D．【答案】D【解析】【分析】写出椭圆的参数方程，利用两点间的距离公式表示，然后利用三角函数和二次函数的知识求得最大值.【详解】解：椭圆，由椭圆的参数方程可得，，，，，令，则，的图象为开口向下的抛物线，对称轴为，在单调递增，在单调递减，当时，取最大值50，此时取最大值：．故选：D．【点睛】本题考查三角函数求最值，涉及椭圆的参数方程和二次函数区间的最值，属中档题．三角换元的思想，源自于，而椭圆方程是，类比这两个式子，可以认为，即，这也就是椭圆的参数方程.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．已知等比数列中，且，那么______．【答案】【解析】【分析】先利用基本元的思想，求出公比，再根据求和公式计算即可．【详解】解：设公比为q，，且且，，，，故答案为：31【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和等比数列的前n项和，属于基础题．10．已知，，，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】将所求的式子变形为，展开后可利用基本不等式求得最小值.【详解】解：，，，，当且仅当时取等号．故答案为：4．【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式，属于基础题．由于已知条件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用“乘1法”之后，就可以利用基本不等式来求得最小值了.11．曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据题意将化为标准形式，然后根据焦点在轴上建立关系式，可求出的取值范围．【详解】解：根据题意，化为标准形式为；根据题意，其表示焦点在x轴上的椭圆，则有解得；则实数k的取值范围是：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，解题时注意看焦点在轴还是在轴，属于基础题．12．关于x的不等式的解集是，则ab等于______．【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集的端点和对应一元二次方程根的对应关系，利用韦达定理求得的值，进而求得的值.【详解】解：的不等式的解集是，，是一元二次方程的解且．，解得，．．故答案为：24．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，属于基础题．三个二次的问题：一元二次方程，二次函数，一元二次不等式或者，是相互联系的.根与系数关系的关系是解这类题目常用的知识.13．椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于点A、B，当的周长最大时，的面积是______．【答案】3【解析】试题分析：易知：F（-1,0），m>0,，|AF|=,周长g(m)=2|AF|+|AB|=,得m=1.直线过右焦点F’，|AB|=3，|FF’|=2，故的面积=.考点：本题考查了椭圆的性质的运用点评：本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.14．已知数列中，，，记，若，则______，______．【答案】【解析】【分析】先求得的表达式，对分成和两种情况，每一种情况利用列举法找出数列的周期或规律，然后利用列方程可求得和的值.【详解】解：，，，（1）时，，，，．可得．，．．，，此时无解．（2）时，，，可得．，，．，．故答案为：2，1345．【点睛】本题考查了利用数列的前几项，归纳数列的规律，还考查了数列分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题15．在中，，．若，求的值；若的面积为，求b的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由已知及正弦定理即可计算求得的值．由已知利用三角形面积公式可求的值，根据余弦定理可得的值．【详解】解：在中，，，，由正弦定理，可得：；，，的面积为，解得：，由余弦定理可得：．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．求数列的通项公式；求数列的前n项和公式．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；运用等差数列的求和公式，可得，，再由裂项相消求和，可得所求和．【详解】解：公差d不为0的等差数列的前n项和为，，可得，且，，成等比数列，可得，即，解得，，则；，，则数列的前n项和为．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，以及数列的裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．17．北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高万元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为万元．若学生宿舍建筑为x层楼时，该楼房综合费用为y万元，综合费用是建筑费用与购地费用之和，写出的表达式；为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？【答案】（1）；（2）学校应把楼层建成层，此时平均综合费用为每平方米万元【解析】【分析】由已知求出第层楼房每平方米建筑费用为万元，得到第层楼房建筑费用，由楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高万元，然后利用等差数列前项和求建筑层楼时的综合费用；设楼房每平方米的平均综合费用为，则，然后利用基本不等式求最值．【详解】解：由建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为万元，且楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高万元，可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为：万元．建筑第1层楼房建筑费用为：万元．楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：万元．建筑第x层楼时，该楼房综合费用为：．；设该楼房每平方米的平均综合费用为，则：，当且仅当，即时，上式等号成立．学校应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米万元．【点睛】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了等差数列前n项和的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．18．已知集合，集合．当时，求；，不等式恒成立，求实数a的取值范围；若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】【分析】根据题意，当时，求出集合A、B，由交集的定义计算可得答案；根据题意，设，结合二次函数的性质分析可得，解可得的取值范围，即可得答案；根据题意，分种情况讨论：，当，即或2时，，，当，即或时，，，当，即时，，分别求出的取值范围，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，当时，；集合．则；根据题意，设，若，不等式，必有，解可得：，即实数a的取值范围是；根据题意，分3种情况讨论：，当，即或2时，，，“”是“”的必要条件，符合题意；，当，即或时，，若“”是“”的必要条件，则必有，解可得：或；，当，即时，，若“”是“”的必要条件，则必有，此时无解；综合可得：或；故a的取值范围为或【点睛】本题考查充分必要条件的定义以及其与集合之间的关系，涉及函数的恒成立问题，属于综合题．19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆：的离心率为，y轴于椭圆相交于A、B两点，，C、D是椭圆上异于A、B的任意两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N．求椭圆的方程；求直线MN的斜率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】运用离心率公式和，解方程可得；设，，，，同理可设直线AC方程为，直线方程为，则直线BC 方程为，直线BD方程为可得直线AC、BD相交点直线AD、BC相交点可得直线MN的斜率．【详解】解：椭圆：的离心率为，y轴于椭圆相交于A、B两点，，，，，．椭圆的方程为：；设，，，同理可设直线AC方程为，直线AD方程为则直线BC方程为，直线BD方程为由可得直线AC、BD相交点同理可得直线AD、BC相交点直线MN的斜率．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求出交点，考查分类讨论的思想方法，注意直线的斜率和直线方程的运用，考查运算能力，属于难题．20．已知集合且，设．若2，3，4，5，和2，3，4，5，，分别求S 的值；若集合A中所有元素之和为55，求S的最小值；若集合A中所有元素之和为103，求S的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】由的公式，计算可得所求和；集合A中的元素为正整数，且S的公式，可得A中元素为，计算可得所求最小值；集合A中的元素为正整数，且的公式，可得A中元素为，计算可得所求最小值．【详解】解：2，3，4，5，，可得；2，3，4，5，，可得；集合A中所有元素之和为55，由，，要使S取得最小值，不妨设，可使较小的前5个数，尽可能差距最小，即相邻，可得1，2，3，4，5，最大数为40，则，可得S的最小值为280；若集合A中所有元素之和为103，由，，要使S取得最小值，不妨设，可使较小的前5个数，尽可能差距最小，即相邻，可得1，2，3，4，5，最大数为88，则．可得S的最小值为568．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题．。

2018北京人大附中高二(上)期中数学

2018北京人大附中高二（上）期中数学2018年11月7制卷人：侯立伟李岩审卷人：梁丽平说明：本试卷分一卷和二卷，一卷17道题，共100分，作为模块成绩，二卷6道题，共50分；考试时间120分钟第一卷（共17题，满分100分）一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分,在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上）1.在等差数列中，已知，那么=（）A 4B 5C 6D 72.命题“”的否定是（）A 不存在B 存在C 对D 对3.已知为非零实数，且，则下列命题成立的是（）A B C D4.在下列函数中最小值是2的函数为（）A BC D5.《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积等比数列上面3节的容积共2升，下面3节的容积共128升，则第5节的容积为（）A 3升B 升C 4升D 升6.已知等比数列，则下面对任意非零自然数都成立的是（）A BC D7.双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A B C D8.已知椭圆，对于任意实数，下列直线被椭圆所截弦长与被椭圆所截得弦长不可能相等的是（）A BC D二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9.不等式的解为 .10.设等比数列的各项均为正数，其前项和为.若，则=11.已知双曲线，则双曲线的离心率为；点到其渐近线的距离是12.已知已知数列，.（1）的通向公式为；（2）数列的前项和为，则=13.过椭圆的焦点且垂直于轴的直线被椭圆解得的弦长是14.已知数列，满足（其中），.若，且.（1）则= ；（2）记，则数列的通向公式为 .三.解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答写出文字说明证明过程或演算步骤）15.（本小题满分10分）记关于的不等式的解集为，函数的值域为.（1）若，求；（2）若是的必要不充分条件，求正数的取值范围.16.（本小题满分10分）数列中，（是常数，）.且成公比不为1的等比数列.（1）求的值；（2）求的通向公式.17.（本小题满分10分）设分别为椭圆:的左，右焦点，过的直线与相交于两点，且成等差数列.（1）求；（2）若直线的斜率为1，求的值.二卷（共6道题，满分50分）（本卷所有答案直接写在答题纸上）一.选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上.）18.等差数列中，“”是“”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件19.若，且则（）A BC D20.点是以为焦点的双曲线上的一点，且，则（）A 2B 22C 2或22D 4或2221.某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一个宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶包珠，其轴截面（如图）有半椭圆与半椭圆（其中）组成是椭圆的右焦点，是椭圆的焦点，和是轴截面与轴交点，阴影部分是包珠轴截面，若球形绿色水晶包珠的半径为2，在包珠球面上，是等边三角形，给出以下四个命题：（1）椭圆的离心率为；（2）椭圆的离心率为；（3）；（4）椭圆的长、短轴之比大于椭圆的长、短轴比.其中是真命题的个数是（）A 1B 2C 3D 4二.解答题（本大题共2小题，满分26分.请把结果填在答题纸中.）22.（本小题满分13分）已知分别是椭圆的左、右焦点.设动点.（，且.（1）证明：；（2）求点到直线距离之和的最小值；（3）判断直线和椭圆的位置关系.（只要求写出结论，不要求证明）23.（本小题满分13分）已知含有个元素的正整数集具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于.（1）写出的值；（2）证明：“成等差数列”的充要条件“；（3）若，求当取最小值时，的最小值.。

北京市人大附中2018-2019学年高二数学上学期期中考试(解析版)

2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共64.0分）1.在等差数列{a n}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3=（）A. 4B. 5C. 6D. 72.命题“∃x0∈R，10≤0”的否定是（）A. 不存在∈，B. 存在∈，C. 对∈，D. 对∈，3.若a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A. B. C. D.4.在下列函数中最小值是2的函数为（）A. ∈B.C. ∈且D.5.《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积称等比数列，上面3节的容积共2升，下面3节的容积共128升，则第5节的容积为（）A. 3升B. 升C. 4升D.6.已知等比数列{a n}，则下面对任意非零自然数k都成立的是（）A. B. C. D.7.双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A. B. C. D.8.已知椭圆E：=1，对任意实数k，下列直线被椭圆E所截弦长与l：y=kx+1被椭圆E所截得的弦长不可能相等的是（）A. B. C. D.9.等差数列{a n}中，“a1＜a3”是“a n＜a n+1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.若a＞0，b＞0，且a≠b，则（）A. B.C. D.11.点P是以F1，F2为焦点的双曲线=1上的一点，且|PF1|=12，则|PF2|=（）A. 2B. 22C. 2或22D. 4或2212.某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆C1：=1（x≥0）与半椭圆C2：=1（x＜0）其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）组成，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是轴截面与x，y轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，若宝珠的体积是，F1，F2在宝珠珠面上，△F0F1F22等边三角形，给出以下四个命题：①椭圆C1的离心率是；②椭圆C2的离心率大于椭圆C1的离心率；③椭圆C2的焦点在y轴上；④椭圆C2的长、短轴之比大于椭圆C1的长、短轴之比．其中是真命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.不等式x2-x＜2的解集为______．14.设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，若a1=1，a3=4，则a n=______．15.已知双曲线C：=1，则双曲线C的离心率为______；点（2，0）到其渐近线的距离是______．16.已知数列{a n}，a n+1=a n+2，a1=1．（1）{a n}的通项公式为______；（2）数列{}的前n项和为，则n=______．17.过椭圆=1的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长是______．18.已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1-a n（其中n=1，2，3…），a1=1，若b n+1b n-1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．（1）则b2018=______；（2）记c n=a6n-1（n≥1），则数列{c n}的通项公式为______．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）19.记关于x的不等式＜0的解集为P，函数f（x）=（）x-1，x∈[-1，0]的值域为Q．（1）若a=3，求P；（2）若x∈P是x∈Q的必要不充分条件，求正数a的取值范围．20.数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+c•2n（c是常数，n=1，2，3…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．21.设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求实数b的值．22.已知F1，F2分别是椭C：=1的左、右焦点．设动点A（-2，m），B（2，n），（m＞0，m＞0），且AF1⊥BF1．（Ⅰ）证明：mn=3；（Ⅱ）求点F1，F2到直线AB距离之和的最小值；（ⅢI）判断直线AB与椭圆C的位置关系．（只要求写出结论）23.已知含有n个元素的正整数集A={a1，a2，…，a n}（a1＜a2＜…＜a n，n≥3）具有性质P：对任意不大于S（A）（其中S（A）=a1+a2+…+a n）的正整数k，存在数集A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k．（Ⅰ）写出a1，a2的值；（Ⅱ）证明：“a1，a2，…，a n成等差数列”的充要条件是“S（A）=”；（Ⅲ）若S（A）=2017，求当n取最小值时a n的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：法一：∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，∴a1+2d=4，即a3=4．故选A．法二在等差数列中，∵a1+a5=a2+a4=2a3，∴由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，∴a3=4．故选：A．法一：设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，所以a3=4．法二：因为a1+a5=a2+a4=2a3，所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，故a3=4．本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．2.【答案】D【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，10≤0”的否定是对x0∈R，10＞0．故选：D．利用特称命题的否定是全称命题，直接写出命题的否定即可．本题考查命题的否定的应用．全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用．3.【答案】C【解析】解：A．取a=-3，b=1，则a2＜b2不成立；B．ab＞0时，则ab（a-b）＞0，∴a2b＞ab2；C．∵a，b为非零实数，且a＜b，∴，化为．D．取a=-2，b=1，则．综上可得：只有C正确．故选：C．A．取a=-3，b=1，即可否定；B．ab＞0时，则ab（a-b）＞0，即可否定；C．a，b为非零实数，且a＜b，可得，化为．D．取a=-2，b=1，即可否定．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由y=5x+5-x≥2=2，当且仅当x=0时，取得最小值2；由1＜x＜10可得0＜lgx＜1，y=lgx+＞2，2取不到；由x＜0时，y=+≤-2，当且仅当x=-3取得最大值-2；当x＞0时，y取得最小值2；由0＜x＜，可得0＜sinx＜1，可得y=sinx+＞2，2取不到．故选：A．运用基本不等式和等号成立的条件，结合指数函数、对数函数和正弦函数的单调性，即可得到结论．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查指数函数、对数函数和正弦函数的值域，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：设每一节由上而下的容积为数列{a n}，公比为q＞0．则a1+a2+a3=2，a7+a8+a9=128，∴a7+a8+a9=（a1+a2+a3）q6=2q6=128，解得q=2．∴a1（1+2+4）=2，解得a1=．a5==．故选：D．设每一节由上而下的容积为数列{a n}，公比为q＞0．则a1+a2+a3=2，a7+a8+a9=128，解出即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，当q＜0时，a k与a k+1异号，则a k•a k+1＜0，A 错误；对于B，a k•a k+2=a k•a k•q2=（a k•q）2＞0，B正确；对于C，a k•a k+1•a k+2=（a k+1）3，则a k•a k+1•a k+2＞0不一定成立，C错误；对于D，a k•a k+2•a k+4=（a k+2）3，则a k•a k+2•a k+4＞0不一定成立，D错误；故选：B．根据题意，结合等比数列的性质依次分析选项，综合即可得答案．本题考查等比数列的性质，注意等比中项的性质，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：双曲线，说明m＞0，∴a=1，b=，可得c=，∵离心率e＞等价于⇔m＞1，∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是m＞1．故选：C．根据双曲线的标准形式，可以求出a=1，b=，c=．利用离心率e大于建立不等式，解之可得m＞1，最后利用充要条件的定义即可得出正确答案．本题虽然小巧，用到的知识却是丰富的，具有综合性特点，涉及了双曲线的标准方程、几何性质等几个方面的知识，是这些内容的有机融合，是一个极具考查力的小题．8.【答案】D【解析】解：对于A，k=-1时，直线l和直线kx+y+k=0关于x轴对称，则此时它们所截的弦长相等，则A选项错误；对于B，直线l和直线kx-y-1=0平行且它们所截得的弦长相等，则B选项错误；对于C，k=-1时，直线l和直线kx+y-k=0关于y轴对称，则此时它们所截的弦长相等，则C选项错误；对于D：直线l斜率为k，在y轴上的截距为1，直线kx+y-2=0的斜率为-k，在y轴上的截距为2，这两直线不关于x轴、y轴、原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等．故选：D．对于A，k=-1时，直线l和直线kx+y+k=0关于x轴对称，则此时它们所截的弦长相等；对于B，直线l和直线kx-y-1=0平行且它们所截得的弦长相等；对于C，k=-1时，直线l和直线kx+y-k=0关于y 轴对称，则此时它们所截的弦长相等；对于D：直线kx+y-2=0的斜率为-k，在y轴上的截距为2，这两直线不关于x轴、y轴、原点对称，被椭圆E所截得的弦长不可能相等．本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：则等差数列中由a1＜a3，得a1＜a1+2d，即d＞0，此时等差数列为递增数列，所以a n＜a n+1成立．若a n＜a n+1，则d＞0，数列为递增数列，所以a1＜a3成立．综上，“a1＜a3”是“a n＜a n+1”的充要条件．故选：C．结合等差数列的性质和定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等差数列的定义和性质是解决本题的关键，比较基础．10.【答案】B【解析】解：∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而=＞0，∴＜，故选：B．根据基本不等式的性质，进行判断即可．本题考查了基本不等式的性质，考查不等式的大小比较，是一道基础题．11.【答案】C【解析】解：由双曲线=1得a=5，b=3，c=，∵|PF1|=12＞a+c，由双曲线的定义得||PF2|-|PF1||=10，即|PF2|=|PF1|±10=12±10=22或2，故选：C．根据条件求出a，b，c的值，然后判断点P的位置，根据双曲线的定义进行求解即可．本题主要考查双曲线的方程和性质的应用，根据条件判断点的位置结合双曲线的定义是解决本题的关键．12.【答案】B【解析】解：由a＞b＞c＞0，可得半椭圆C1：=1（x≥0）的焦点在x轴上，即F0为右焦点，则半椭圆C2：=1（x＜0）的焦点在y轴上，且|d|=b，由宝珠的体积是，可得球的半径R满足πR3=，即有R=2，可得|F1F2|=4，即有d2-c2=4，△FF1F2等边三角形可得|OF0|=×4=2，由题意可得c=2，即有a2-b2=12，b2-12=4，即b=4，a=2，可得椭圆C1的离心率是=，故①正确；由椭圆C2的离心率为=＜，故②错误；椭圆C2的焦点在y轴上，故③正确；椭圆C2的长、短轴之比为2：，椭圆C1的长、短轴之比为：2，＜，故④错误．其中真命题的个数为2．故选：B．由题意可得半椭圆C1的焦点在x轴上，半椭圆C2的焦点在y轴上，由球的体积公式计算可得半径R，即半椭圆C2的半焦距，由等边三角形的性质可得c，运用椭圆的基本量的关系，解方程可得a，b，c，d，即可判断①③正确；②④错误．本题考查椭圆的方程和几何性质，球的体积公式等知识，仔细阅读题目，找出等量关系是解题关键．13.【答案】（-1，2）【解析】解：不等式x2-x＜2可化为x2-x-2＜0，即（x+1）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2，∴不等式的解集为（-1，2）．故答案为：（-1，2）．把不等式化为（x+1）（x-2）＜0，求出解集即可．本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．14.【答案】2n-1【解析】解：设正数等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=1，a3=4，∴q2=4，q＞0，解得q=2．则a n=2n-1．故答案为：2n-1利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：双曲线C：=1，a=2，b=1；可得c==，可得e=．双曲线的一条渐近线方程：x+2y=0，可得：d==．故答案为：；．利用双曲线方程，求解双曲线的离心率即可；利用点到直线的距离求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．16.【答案】a n=2n-1 18【解析】解：（1）：数列{a n}，a n+1=a n+2，a1=1．所以数列{a n}，是等差数列，首项为1，公差为2，{a n}的通项公式为：a n=1+（n-1）×2=2n-1．故答案为：a n=2n-1．（2）数列==，数列{}的前n项和为：=，数列{}的前n项和为，可得=，解得n=18．故答案为：18．（1）利用等差数列的通项公式求解即可．（2）利用裂项消项法转化求解数列的和，列出方程求解即可．本题考查等差数列的通项公式以及数列求和的方法的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】3【解析】解：过椭圆=1的焦点（±1，0），过椭圆=1的焦点且垂直于x轴的直线l，不妨经过右焦点（1，0）．可得x=1时，y=，过椭圆=1的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长是：3．故答案为：3．求出椭圆的焦点坐标，利用已知条件求解直线l被椭圆截得的弦长即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．18.【答案】2 c n=7n【解析】解：（1）∵b n+1b n-1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．∴b n+1=，可得：b3==2，同理可得：b4=1，b5=，b6=，b7=1，b8=2．可得：b n+6=b n．∴b2018=b336×6+2=b2=2．（2）∵b n=a n+1-a n（其中n=1，2，3…），a1=1．∴c n=a6n-1=（a6n-1-a6n-2）+（a6n-2-a2n-3）+……+（a2-a1）+a1=b6n-2+b6n-3+b6n-4+b6n-5+b6n-6……+b6+……+b1+1=1+2+2+1+7+……+7+1=7n．故答案为：（1）2，（2）7n．（1）∵b n+1b n-1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．b n+1=，可得：b3==2，同理可得：b4=1，b5=，b6=，b7=1，b8=2．可得：b n+6=b n．即可得出．（2）b n=a n+1-a n（其中n=1，2，3…），a1=1．可得c n=a6n-1=（a6n-1-a6n-2）+（a6n-2-a2n-3）+……+（a2-a1）+a1，根据周期性即可得出．本题考查了数列递推关系、周期性、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）x的不等式＜0的解集为P，a=3时，P={x|＜0}={x|-1＜x＜3}．（2）∵函数f（x）=（）x-1，x∈[-1，0]的值域为Q．Q={x|0≤x≤2}，p={x|＜0}，x∈P是x∈Q的必要不充分条件，∴正数a的取值范围是（2，+∞）．【解析】（1）a=3时，P={x|＜0}，由此能求出结果．（2）求出Q={x|0≤x≤2}，p={x|＜0}，由此利用x∈P是x∈Q的必要不充分条件，能求出正数a的取值范围．本题考查集合的求法，考查正数的取值范围的求法，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）a1=2，a2=2+2c，a3=2+6c，∵a1，a2，a3成等比数列，∴（2+2c）2=2（2+6c），解得c=0或c=1．当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=1．（2）∵a n+1=a n+2n，∴a2=a1+21，a3=a2+22，a4=a3+23，…，a n=a n-1+2n-1，累加可得a n=a1+2+21+22+…+2n-1=2+=2n，当n=1时，也满足，故{a n}的通项公式a n=2n，（n∈N*）【解析】（Ⅰ）由递推式表示出a2，a3，由a1，a2，a3成等比数列可得关于c的方程，解出即得c值，注意检验；（Ⅱ）利用累加法可求得a n，注意检验n=1时是否满足a n；本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识，属中档题．21.【答案】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得|AB|=．（2）l的方程式为y=x+c，其中c=设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+1-2b2=0．则x1+x2=-，x1x2=．∵直线AB的斜率为1，∴|AB|===．c2=1-b2．代入化简：b2=，解得b=．【解析】（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得|AB|=．即可得出．（2）L的方程式为y=x+c，其中c=，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线L的方程与椭圆方程联立化简得（1+b2）x2+2cx+1-2b2=0．利用根与系数的关系及其|AB|=，即可得出．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵F1，F2分别是椭C：=1的左、右焦点，∴F1（-1，0）F2（1，0）．=，，∵AF1⊥BF1，∴k，即mn=3（Ⅱ）设直线AB方程：y=kx+b，∵A（-2，m），B（2，n），（m＞0，m＞0）在y=kx+b上，∴m=b-2k，n=b+2k，mn=b2-4k2=3，即b2=4k2+3，由点到直线的距离公式可得点F1，F2到直线AB距离之和为d=+，∵点F1，F2在直线AB的同一侧，∴d=+===2，∴当k=0时d最小为2，点F1，F2到直线AB距离之和取得最小值2．（Ⅲ）联立可得（3+4k2）x2-8kbx+4b2-12=0．∵b2=4k2+3，∴（3+4k2）x2-8kbx+4b2-12=0．可化为b2x2-8kbx+16k2=0，⇒△=（8kb）2-4b2•16k2=0，∴直线AB与椭圆C的位置关系是：相切．【解析】（Ⅰ）由=，，AF1⊥BF1，可得k，即mn=3．（Ⅱ）设直线AB方程：y=kx+b，可得m=b-2k，n=b+2k，mn=b2-4k2=3，即b2=4k2+3．可得点F1，F2到直线AB距离之和为d=+===2，即可求得点F1，F2到直线AB距离之和的最小值．（Ⅲ）联立可得（3+4k2）x2-8kbx+4b2-12=0．结合b2=4k2+3⇒△=（8kb）2-4b2•16k2=0，即可判定直线AB与椭圆C的位置关系．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，点到直线的距离公式，不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）由集合A={a1，a2，…，a n}，}（a1＜a2＜…＜a n，n≥3），由a n为正整数，则a1=1，a2=2．（Ⅱ）先证必要性：因为a1=1，a2=2，又a1，a2，…，a n成等差数列，故a n=n，所以；再证充分性：因为a1＜a2＜…＜a n，a1，a2，…，a n为正整数数列，故有a1=1，a2=2，a3≥3，a4≥4，…，a n≥n，所以，又，故a m=m（m=1，2，…，n），故a1，a2，…，a n为等差数列．（Ⅲ）先证明（m=1，2，…，n）．假设存在＞，且p为最小的正整数．依题意p≥3，则a1+a2+…+a p-1≤1+2+…+2p-2=2p-1-1，又因为a1＜a2＜…＜a n，故当k∈（2p-1-1，a p）时，k不能等于集合A的任何一个子集所有元素的和．故假设不成立，即（m=1，2，…，n）成立．因此，即2n≥2018，所以n≥11．因为S=2017，则a1+a2+…+a n-1=2017-a n，若2017-a n＜a n-1时，则当k∈（2017-a n，a n）时，集合A中不可能存在若干不同元素的和为k，故2017-a n≥a n-1，即a n≤1009．此时可构造集合A={1，2，4，8，16，32，64，128，256，497，1009}．因为当k∈{2，2+1}时，k可以等于集合{1，2}中若干个元素的和；故当k∈{22，22+1，22+2，22+3}时，k可以等于集合{1，2，22}中若干不同元素的和；…故当k∈{28，28+1，28+2，…，28+255}时，k可以等于集合{1，2，…，28}中若干不同元素的和；故当k∈{497+3，497+4，…，497+511}时，k可以等于集合{1，2，…，28，497}中若干不同元素的和；故当k∈{1009，1009+1，1009+2，…，1009+1008}时，k可以等于集合{1，2，…，28，497，1009}中若干不同元素的和，所以集合A={1，2，4，8，16，32，64，128，256，497，1009}满足题设，所以当n取最小值11时，a n的最大值为1009．【解析】（Ⅰ）由由a n为正整数，则a1=1，a2=2．a1＜a2＜…＜a n，n≥3，即可求得a1=1，a2=2；（Ⅱ）先证明充分性，由a1，a2，…，a n成等差数列，则a n=n，由等差数列通项公式即可求得S（A）=”；再证明必要性，由，则a m=m（m=1，2，…，n），故a1，a2，…，a n为等差数列；（Ⅲ）由题意可知：（m=1，2，…，n）．因此，即2n≥2018，所以n≥11．分类，由集合的性质，分类，即可求得当n取最小值11时，a n的最大值为1009．本题考查数列的求和，等差数列的性质，突出考查反证法的应用，考查分类讨论思想与转化思想，考查构造函数的思想，属于难题．。

北京市人大附中2018-2019学年高二数学上学期期中考试(解析版)

2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共64.0分）1.在等差数列{a n}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3=（）A. 4B. 5C. 6D. 72.命题“∃x0∈R，10≤0”的否定是（）A. 不存在∈，B. 存在∈，C. 对∈，D. 对∈，3.若a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A. B. C. D.4.在下列函数中最小值是2的函数为（）A. ∈B.C. ∈且D.5.《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积称等比数列，上面3节的容积共2升，下面3节的容积共128升，则第5节的容积为（）A. 3升B. 升C. 4升D.6.已知等比数列{a n}，则下面对任意非零自然数k都成立的是（）A. B. C. D.7.双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A. B. C. D.8.已知椭圆E：=1，对任意实数k，下列直线被椭圆E所截弦长与l：y=kx+1被椭圆E所截得的弦长不可能相等的是（）A. B. C. D.9.等差数列{a n}中，“a1＜a3”是“a n＜a n+1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.若a＞0，b＞0，且a≠b，则（）A. B.C. D.11.点P是以F1，F2为焦点的双曲线=1上的一点，且|PF1|=12，则|PF2|=（）A. 2B. 22C. 2或22D. 4或2212.某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆C1：=1（x≥0）与半椭圆C2：=1（x＜0）其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）组成，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是轴截面与x，y轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，若宝珠的体积是，F1，F2在宝珠珠面上，△F0F1F22等边三角形，给出以下四个命题：①椭圆C1的离心率是；②椭圆C2的离心率大于椭圆C1的离心率；③椭圆C2的焦点在y轴上；④椭圆C2的长、短轴之比大于椭圆C1的长、短轴之比．其中是真命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.不等式x2-x＜2的解集为______．14.设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，若a1=1，a3=4，则a n=______．15.已知双曲线C：=1，则双曲线C的离心率为______；点（2，0）到其渐近线的距离是______．16.已知数列{a n}，a n+1=a n+2，a1=1．（1）{a n}的通项公式为______；（2）数列{}的前n项和为，则n=______．17.过椭圆=1的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长是______．18.已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1-a n（其中n=1，2，3…），a1=1，若b n+1b n-1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．（1）则b2018=______；（2）记c n=a6n-1（n≥1），则数列{c n}的通项公式为______．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）19.记关于x的不等式＜0的解集为P，函数f（x）=（）x-1，x∈[-1，0]的值域为Q．（1）若a=3，求P；（2）若x∈P是x∈Q的必要不充分条件，求正数a的取值范围．20.数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+c•2n（c是常数，n=1，2，3…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．21.设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求实数b的值．22.已知F1，F2分别是椭C：=1的左、右焦点．设动点A（-2，m），B（2，n），（m＞0，m＞0），且AF1⊥BF1．（Ⅰ）证明：mn=3；（Ⅱ）求点F1，F2到直线AB距离之和的最小值；（ⅢI）判断直线AB与椭圆C的位置关系．（只要求写出结论）23.已知含有n个元素的正整数集A={a1，a2，…，a n}（a1＜a2＜…＜a n，n≥3）具有性质P：对任意不大于S（A）（其中S（A）=a1+a2+…+a n）的正整数k，存在数集A 的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k．（Ⅰ）写出a1，a2的值；（Ⅱ）证明：“a1，a2，…，a n成等差数列”的充要条件是“S（A）=”；（Ⅲ）若S（A）=2017，求当n取最小值时a n的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：法一：∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，∴a1+2d=4，即a3=4．故选A．法二在等差数列中，∵a1+a5=a2+a4=2a3，∴由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，∴a3=4．故选：A．法一：设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，所以a3=4．法二：因为a1+a5=a2+a4=2a3，所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，故a3=4．本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．2.【答案】D【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，10≤0”的否定是对x0∈R，10＞0．故选：D．利用特称命题的否定是全称命题，直接写出命题的否定即可．本题考查命题的否定的应用．全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用．3.【答案】C【解析】解：A．取a=-3，b=1，则a2＜b2不成立；B．ab＞0时，则ab（a-b）＞0，∴a2b＞ab2；C．∵a，b为非零实数，且a＜b，∴，化为．D．取a=-2，b=1，则．综上可得：只有C正确．故选：C．A．取a=-3，b=1，即可否定；B．ab＞0时，则ab（a-b）＞0，即可否定；C．a，b为非零实数，且a＜b，可得，化为．D．取a=-2，b=1，即可否定．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由y=5x+5-x≥2=2，当且仅当x=0时，取得最小值2；由1＜x＜10可得0＜lgx＜1，y=lgx+＞2，2取不到；由x＜0时，y=+≤-2，当且仅当x=-3取得最大值-2；当x＞0时，y取得最小值2；由0＜x＜，可得0＜sinx＜1，可得y=sinx+＞2，2取不到．故选：A．运用基本不等式和等号成立的条件，结合指数函数、对数函数和正弦函数的单调性，即可得到结论．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查指数函数、对数函数和正弦函数的值域，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：设每一节由上而下的容积为数列{a n}，公比为q＞0．则a1+a2+a3=2，a7+a8+a9=128，∴a7+a8+a9=（a1+a2+a3）q6=2q6=128，解得q=2．∴a1（1+2+4）=2，解得a1=．a5==．故选：D．设每一节由上而下的容积为数列{a n}，公比为q＞0．则a1+a2+a3=2，a7+a8+a9=128，解出即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，当q＜0时，a k与a k+1异号，则a k•a k+1＜0，A 错误；对于B，a k•a k+2=a k•a k•q2=（a k•q）2＞0，B正确；对于C，a k•a k+1•a k+2=（a k+1）3，则a k•a k+1•a k+2＞0不一定成立，C错误；对于D，a k•a k+2•a k+4=（a k+2）3，则a k•a k+2•a k+4＞0不一定成立，D错误；故选：B．根据题意，结合等比数列的性质依次分析选项，综合即可得答案．本题考查等比数列的性质，注意等比中项的性质，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：双曲线，说明m＞0，∴a=1，b=，可得c=，∵离心率e＞等价于⇔m＞1，∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是m＞1．故选：C．根据双曲线的标准形式，可以求出a=1，b=，c=．利用离心率e大于建立不等式，解之可得m＞1，最后利用充要条件的定义即可得出正确答案．本题虽然小巧，用到的知识却是丰富的，具有综合性特点，涉及了双曲线的标准方程、几何性质等几个方面的知识，是这些内容的有机融合，是一个极具考查力的小题．8.【答案】D【解析】解：对于A，k=-1时，直线l和直线kx+y+k=0关于x轴对称，则此时它们所截的弦长相等，则A选项错误；对于B，直线l和直线kx-y-1=0平行且它们所截得的弦长相等，则B选项错误；对于C，k=-1时，直线l和直线kx+y-k=0关于y轴对称，则此时它们所截的弦长相等，则C选项错误；对于D：直线l斜率为k，在y轴上的截距为1，直线kx+y-2=0的斜率为-k，在y轴上的截距为2，这两直线不关于x轴、y轴、原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等．故选：D．对于A，k=-1时，直线l和直线kx+y+k=0关于x轴对称，则此时它们所截的弦长相等；对于B，直线l和直线kx-y-1=0平行且它们所截得的弦长相等；对于C，k=-1时，直线l和直线kx+y-k=0关于y轴对称，则此时它们所截的弦长相等；对于D：直线kx+y-2=0的斜率为-k，在y轴上的截距为2，这两直线不关于x 轴、y轴、原点对称，被椭圆E所截得的弦长不可能相等．本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：则等差数列中由a1＜a3，得a1＜a1+2d，即d＞0，此时等差数列为递增数列，所以a n＜a n+1成立．若a n＜a n+1，则d＞0，数列为递增数列，所以a1＜a3成立．综上，“a1＜a3”是“a n＜a n+1”的充要条件．故选：C．结合等差数列的性质和定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等差数列的定义和性质是解决本题的关键，比较基础．10.【答案】B【解析】解：∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而=＞0，∴＜，故选：B．根据基本不等式的性质，进行判断即可．本题考查了基本不等式的性质，考查不等式的大小比较，是一道基础题．11.【答案】C【解析】解：由双曲线=1得a=5，b=3，c=，∵|PF1|=12＞a+c，由双曲线的定义得||PF2|-|PF1||=10，即|PF2|=|PF1|±10=12±10=22或2，故选：C．根据条件求出a，b，c的值，然后判断点P的位置，根据双曲线的定义进行求解即可．本题主要考查双曲线的方程和性质的应用，根据条件判断点的位置结合双曲线的定义是解决本题的关键．12.【答案】B【解析】解：由a＞b＞c＞0，可得半椭圆C1：=1（x≥0）的焦点在x轴上，即F0为右焦点，则半椭圆C2：=1（x＜0）的焦点在y轴上，且|d|=b，由宝珠的体积是，可得球的半径R满足πR3=，即有R=2，可得|F1F2|=4，即有d2-c2=4，△FF1F2等边三角形可得|OF0|=×4=2，由题意可得c=2，即有a2-b2=12，b2-12=4，即b=4，a=2，可得椭圆C1的离心率是=，故①正确；由椭圆C2的离心率为=＜，故②错误；椭圆C2的焦点在y轴上，故③正确；椭圆C2的长、短轴之比为2：，椭圆C1的长、短轴之比为：2，＜，故④错误．其中真命题的个数为2．故选：B．由题意可得半椭圆C1的焦点在x轴上，半椭圆C2的焦点在y轴上，由球的体积公式计算可得半径R，即半椭圆C2的半焦距，由等边三角形的性质可得c，运用椭圆的基本量的关系，解方程可得a，b，c，d，即可判断①③正确；②④错误．本题考查椭圆的方程和几何性质，球的体积公式等知识，仔细阅读题目，找出等量关系是解题关键．13.【答案】（-1，2）【解析】解：不等式x2-x＜2可化为x2-x-2＜0，即（x+1）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2，∴不等式的解集为（-1，2）．故答案为：（-1，2）．把不等式化为（x+1）（x-2）＜0，求出解集即可．本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．14.【答案】2n-1【解析】解：设正数等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=1，a3=4，∴q2=4，q＞0，解得q=2．则a n=2n-1．故答案为：2n-1利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：双曲线C：=1，a=2，b=1；可得c==，可得e=．双曲线的一条渐近线方程：x+2y=0，可得：d==．故答案为：；．利用双曲线方程，求解双曲线的离心率即可；利用点到直线的距离求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．16.【答案】a n=2n-1 18【解析】解：（1）：数列{a n}，a n+1=a n+2，a1=1．所以数列{a n}，是等差数列，首项为1，公差为2，{a n}的通项公式为：a n=1+（n-1）×2=2n-1．故答案为：a n=2n-1．（2）数列==，数列{}的前n项和为：=，数列{}的前n项和为，可得=，解得n=18．故答案为：18．（1）利用等差数列的通项公式求解即可．（2）利用裂项消项法转化求解数列的和，列出方程求解即可．本题考查等差数列的通项公式以及数列求和的方法的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】3【解析】解：过椭圆=1的焦点（±1，0），过椭圆=1的焦点且垂直于x轴的直线l，不妨经过右焦点（1，0）．可得x=1时，y=，过椭圆=1的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长是：3．故答案为：3．求出椭圆的焦点坐标，利用已知条件求解直线l被椭圆截得的弦长即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．18.【答案】2 c n=7n【解析】解：（1）∵b n+1b n-1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．∴b n+1=，可得：b3==2，同理可得：b4=1，b5=，b6=，b7=1，b8=2．可得：b n+6=b n．∴b2018=b336×6+2=b2=2．（2）∵b n=a n+1-a n（其中n=1，2，3…），a1=1．∴c n=a6n-1=（a6n-1-a6n-2）+（a6n-2-a2n-3）+……+（a2-a1）+a1=b6n-2+b6n-3+b6n-4+b6n-5+b6n-6……+b6+……+b1+1=1+2+2+1+7+……+7+1=7n．故答案为：（1）2，（2）7n．（1）∵b n+1b n-1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．b n+1=，可得：b3==2，同理可得：b4=1，b5=，b6=，b7=1，b8=2．可得：b n+6=b n．即可得出．（2）b n=a n+1-a n（其中n=1，2，3…），a1=1．可得c n=a6n-1=（a6n-1-a6n-2）+（a6n-2-a2n-3）+……+（a2-a1）+a1，根据周期性即可得出．本题考查了数列递推关系、周期性、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）x的不等式＜0的解集为P，a=3时，P={x|＜0}={x|-1＜x＜3}．（2）∵函数f（x）=（）x-1，x∈[-1，0]的值域为Q．Q={x|0≤x≤2}，p={x|＜0}，x∈P是x∈Q的必要不充分条件，∴正数a的取值范围是（2，+∞）．【解析】（1）a=3时，P={x|＜0}，由此能求出结果．（2）求出Q={x|0≤x≤2}，p={x|＜0}，由此利用x∈P是x∈Q的必要不充分条件，能求出正数a的取值范围．本题考查集合的求法，考查正数的取值范围的求法，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）a1=2，a2=2+2c，a3=2+6c，∵a1，a2，a3成等比数列，∴（2+2c）2=2（2+6c），解得c=0或c=1．当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=1．（2）∵a n+1=a n+2n，∴a2=a1+21，a3=a2+22，a4=a3+23，…，a n=a n-1+2n-1，累加可得a n=a1+2+21+22+…+2n-1=2+=2n，当n=1时，也满足，故{a n}的通项公式a n=2n，（n∈N*）【解析】（Ⅰ）由递推式表示出a2，a3，由a1，a2，a3成等比数列可得关于c的方程，解出即得c值，注意检验；（Ⅱ）利用累加法可求得a n，注意检验n=1时是否满足a n；本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识，属中档题．21.【答案】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得|AB|=．（2）l的方程式为y=x+c，其中c=设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+1-2b2=0．则x1+x2=-，x1x2=．∵直线AB的斜率为1，∴|AB|===．c2=1-b2．代入化简：b2=，解得b=．【解析】（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得|AB|=．即可得出．（2）L的方程式为y=x+c，其中c=，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线L的方程与椭圆方程联立化简得（1+b2）x2+2cx+1-2b2=0．利用根与系数的关系及其|AB|=，即可得出．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵F1，F2分别是椭C：=1的左、右焦点，∴F1（-1，0）F2（1，0）．=，，∵AF1⊥BF1，∴k，即mn=3（Ⅱ）设直线AB方程：y=kx+b，∵A（-2，m），B（2，n），（m＞0，m＞0）在y=kx+b上，∴m=b-2k，n=b+2k，mn=b2-4k2=3，即b2=4k2+3，由点到直线的距离公式可得点F1，F2到直线AB距离之和为d=+，∵点F1，F2在直线AB的同一侧，∴d=+===2，∴当k=0时d最小为2，点F1，F2到直线AB距离之和取得最小值2．（Ⅲ）联立可得（3+4k2）x2-8kbx+4b2-12=0．∵b2=4k2+3，∴（3+4k2）x2-8kbx+4b2-12=0．可化为b2x2-8kbx+16k2=0，⇒△=（8kb）2-4b2•16k2=0，∴直线AB与椭圆C的位置关系是：相切．【解析】（Ⅰ）由=，，AF1⊥BF1，可得k，即mn=3．（Ⅱ）设直线AB方程：y=kx+b，可得m=b-2k，n=b+2k，mn=b2-4k2=3，即b2=4k2+3．可得点F1，F2到直线AB距离之和为d=+===2，即可求得点F1，F2到直线AB距离之和的最小值．（Ⅲ）联立可得（3+4k2）x2-8kbx+4b2-12=0．结合b2=4k2+3⇒△=（8kb）2-4b2•16k2=0，即可判定直线AB与椭圆C的位置关系．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，点到直线的距离公式，不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）由集合A={a1，a2，…，a n}，}（a1＜a2＜…＜a n，n≥3），由a n为正整数，则a1=1，a2=2．（Ⅱ）先证必要性：因为a1=1，a2=2，又a1，a2，…，a n成等差数列，故a n=n，所以；再证充分性：因为a1＜a2＜…＜a n，a1，a2，…，a n为正整数数列，故有a1=1，a2=2，a3≥3，a4≥4，…，a n≥n，所以，又，故a m=m（m=1，2，…，n），故a1，a2，…，a n为等差数列．（Ⅲ）先证明（m=1，2，…，n）．假设存在＞，且p为最小的正整数．依题意p≥3，则a1+a2+…+a p-1≤1+2+…+2p-2=2p-1-1，又因为a1＜a2＜…＜a n，故当k∈（2p-1-1，a p）时，k不能等于集合A的任何一个子集所有元素的和．故假设不成立，即（m=1，2，…，n）成立．因此，即2n≥2018，所以n≥11．因为S=2017，则a1+a2+…+a n-1=2017-a n，若2017-a n＜a n-1时，则当k∈（2017-a n，a n）时，集合A中不可能存在若干不同元素的和为k，故2017-a n≥a n-1，即a n≤1009．此时可构造集合A={1，2，4，8，16，32，64，128，256，497，1009}．因为当k∈{2，2+1}时，k可以等于集合{1，2}中若干个元素的和；故当k∈{22，22+1，22+2，22+3}时，k可以等于集合{1，2，22}中若干不同元素的和；…故当k∈{28，28+1，28+2，…，28+255}时，k可以等于集合{1，2，…，28}中若干不同元素的和；故当k∈{497+3，497+4，…，497+511}时，k可以等于集合{1，2，…，28，497}中若干不同元素的和；故当k∈{1009，1009+1，1009+2，...，1009+1008}时，k可以等于集合{1，2， (28)497，1009}中若干不同元素的和，所以集合A={1，2，4，8，16，32，64，128，256，497，1009}满足题设，所以当n取最小值11时，a n的最大值为1009．【解析】（Ⅰ）由由a n为正整数，则a1=1，a2=2．a1＜a2＜…＜a n，n≥3，即可求得a1=1，a2=2；（Ⅱ）先证明充分性，由a1，a2，…，a n成等差数列，则a n=n，由等差数列通项公式即可求得S（A）=”；再证明必要性，由，则a m=m（m=1，2，…，n），故a1，a2，…，a n为等差数列；（Ⅲ）由题意可知：（m=1，2，…，n）．因此，即2n≥2018，所以n≥11．分类，由集合的性质，分类，即可求得当n取最小值11时，a n的最大值为1009．本题考查数列的求和，等差数列的性质，突出考查反证法的应用，考查分类讨论思想与转化思想，考查构造函数的思想，属于难题．。

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