离散数学第八章(第4讲)
离散数学第8章课件PPT,高等教育出版社,屈婉玲,耿素云,张立昂主编
证明
(2) 假设存在x1, x2∈A使得 由合成定理有 f g(x1)=f g(x2)
g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g:B→C是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:A→B是单射的, 所 以x1=x2. 从而证明f g:A→C是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双 射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的.
16
函数复合与函数性质
定理8.2 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的 (3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的 证 (1) 任取c∈C, 由g:B→C的满射性, b∈B使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:A→B的满射性，a∈A使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了fg:A→C是满射的
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实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}
离散数学教案
滁州学院计算机与信息工程学院课程教案课程名称：离散数学授课教师：赵欢欢授课对象：11级网络工程专业3、4班授课时间：2012年9月-2012年12月滁州学院计算机科学与信息工程学院2012年8月《离散数学》教学大纲（Discrete Mathematic）课程代码：学时：48 学分：3一、课程简介本大纲根据2009版应用型人才培养方案制订。
（一）教学对象：网络工程、计算机科学与技术专业本科学生（二）开课学期：第三学期（三）课程类别：专业基础课（四）考核方式：考试（五）参考教材：《离散数学》第2版邓辉文清华大学出版社2010.主要参考书目：[1]邵学才,叶秀明. 离散数学[M].北京电子工业出版社，2009.[2]邵志清,虞慧群. 离散数学[M].北京电子工业出版社，2003.[3]屈婉玲. 离散数学习题解析[M].北京大学出版社，2008.本课程的先修课程是高等数学、线性代数，后续课程包含数据结构、数据库原理及应用、操作系统、数字逻辑、人工智能、算法分析与设计等。
二、教学基本要求与内容安排（一）教学目的与要求离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的学科,它在各学科领域特别在计算机科学领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程必不可少的先行课程。
本课程的教学目的旨在通过对离散数学的教学，让学生不但可以掌握处理如集合、代数结构和图等离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且为学生今后提高专业理论水平，从事计算机行业的实际工作提供必备的抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
（教学要求：A—熟练掌握；B—掌握；C—了解）三、实验内容本课程无实验制订人（签字）：审核人（签字）：教学进度表系主任签名：院长签名：年月日年月日说明：1．本教学进度表由主讲教师负责填写，于每学期开学第一周内送交教师所在系，经领导审定、签字后备查。
2．此表一式三份，其中，任课教师一份，教师所在系一份，教务处一份。
离散数学
代数运算
定义： 是三个任意的非空集。 定义：设 A、B、D是三个任意的非空集。 、 、 是三个任意的非空集 一个A 一个 ×B到D 的函数 * ， 到 叫做一个A 叫做一个 ×B到D的代数运算。 到 的代数运算。 给了A中的任意一个元素 和B中任意一个元素 ，存 中任意一个元素b， 给了 中的任意一个元素a和 中任意一个元素 中的任意一个元素 在唯一的d∊D， 在唯一的 ∊ ，使得 * ((a，b))=d ， 由于代数运算是一种特殊的函数，描写它的符号， 由于代数运算是一种特殊的函数，描写它的符号，也 可以特殊一点。 可以特殊一点。我们记 *((a，b))=d 为 ， a*b =d
伽罗瓦
Galois, Evariste
法国数学家。 日生于巴黎附近的小镇。 法国数学家。1811年10月25日生于巴黎附近的小镇。 年 月 日生于巴黎附近的小镇 1827年开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西等人的 年开始自学勒让德、 年开始自学勒让德 拉格朗日、 论著。 论著。1828-1830年，得到许多后来称为「伽罗瓦理论」 年 得到许多后来称为「伽罗瓦理论」 的重要结果。 的重要结果。 1830年进入高等师范学校 年进入高等师范学校 (Ecole Normale)学习， 学习， 学习 1832年5月31日，死于一次 年 月 日 决斗中。 决斗中。 直到1846年，伽罗瓦的手稿 年 直到 才公开发表。 才公开发表。1870年，伽罗 年 瓦的工作才被完全理解。 瓦的工作才被完全理解。
例4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Z是整数集，* 是Z上一个二元运算， 是整数集， 上一个二元运算， 是整数集 上一个二元运算 对于任意的m， ∊ ， 对于任意的 ，n∊Z，m*n=m+n-5。 。 是可交换的吗？ 是可结合的吗？ 问：* 是可交换的吗？ * 是可结合的吗？ 对于任意的m， ∊ ， 解：对于任意的 ，n∊Z， ， ∵m*n=m+n-5， n*m=n+m-5, 是可交换的。 ∴m*n=n*m，故 * 是可交换的。 ， 对于任意的m， ， ∊ ， 对于任意的 ，n，k∊Z， ∵(m*n)*k =(m+n-5)*k=m+n+k-10, 又 m*(n*k)=m+n+k-10, 是可结合的。 ∴(m*n)*k=m*(n*k)，故 * 是可结合的。 ，
大学离散数学屈婉玲版课后习题第八章部分课后习题参考答案
第八章部分课后习题参考答案
1． 设f :N →N,且
f (x)=12x x x ⎧⎪⎨⎪⎩
，若为奇数
若为偶数， 求f (0), f ({0}), f (1), f ({1}), f ({0,2,4,6,…})，f ({4,6,8}), f -1({3,5,7}). 解：f (0)=0, f ({0})={0}, f (1)=1, f ({1})={1},
f ({0,2,4,6,…})=N ，f ({4,6,8})={2,3,4}, f -1 ({3,5,7})={6,10,14}.
4. 判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的?哪些是双射的?
(1) f:N →N, f(x)=x 2+2 不是满射，不是单射
(2) f:N →N,f(x)=(x)mod 3,x 除以3的余数 不是满射，不是单射
(3) f:N →N,f(x)=10x x ⎧⎨⎩
，若为奇数，若为偶数 不是满射，不是单射
(4) f:N →{0,1},f(x)=01x x ⎧⎨⎩
，若为奇数，若为偶数 是满射，不是单射
(5) f:N-{0}→R,f(x)=lgx 不是满射，是单射
(6) f:R →R,f(x)=x 2-2x-15 不是满射，不是单射
5. 设X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={<a,1>,<b,2>,<c,3>,}判断以下命题的真假:
(1)f 是从X 到Y 的二元关系,但不是从X 到Y 的函数; 对
(2)f 是从X 到Y 的函数,但不是满射,也不是单射的; 错
(3)f 是从X 到Y 的满射,但不是单射; 错
(4)f是从X到Y的双射. 错。
武汉大学《离散数学》课件-第8章
23T(n 3) 22 2 1
...
2n1T (1) 2n2 2n3 ... 2 1
2n1 2n2 2n3 ... 2 1 (代 入 初 值)
2n 1
（等比级数求和）
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递推方程的定义
定义10.5 设序列a0, a1, …, an, …, 简记为{an}, 一 个把an与某些个ai（i<n）联系起来的等式叫做关 于序列{an}的递推方程.
实例：
Fibonacci数列： fn=fn-1+fn-2, 初值 f0=1, f1=1 阶乘数列{an}，an=n!：an=nan-1, a1=1
T (n)
2
n1
T (i) O(n),
n i1
T (1) 0
n2
求解方法：迭代法
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二分归并排序算法
算法Mergesort(A,s,t) //*排序数组A[s..t] 1. m(t-s)/2 2. AMergesort(A,s,m) //*排序前半数组 3. BMergesort(A,s+1,t) //*排序后半数组 4. Merge(A,B) //*将排好序的A,B归并
nn1 n2 ...nk 1
N
C
n1 n
C n2 n n1
...C
nk n
n1
...nk
1
n! n1!n2! ... nk !
(2) 若 r ni 时，每个位置都有 k 种选法，得 kr.
14
多重集的组合
当r ni ， 多重集 S ={ n1a1, n2a2, …, nkak } 的组
合数为
28
归纳法验证解
n=1代入上述公式得 W(1)=1 log11+1=0，
离散数学8
再证R传递：任取 a,b,cA 设<a,b>R，
<b,c>R。(要证出<a,c>R ) 由R是对称的,得<b,a>R ，由 <b,a>R且<b,c>R，根据已知条件得 <a,c>R ， 所以R是传递的。
(4). R是A上关系， 设 S={<a,b>|c∈A∧<a,c>∈R∧<c,b>∈R} 求证若R是等价关系，则S也是等价关系。 证明：a)证S自反：任取a∈A，∵R是自反的，∴有 <a,a>∈R,由S定义得<a,a>∈S, (S定义中c就是a)∴ S自反. b)证S对称: 任取a,b∈A，且有<a,b>∈S,由S定义得 c∈A∧<a,c>∈R∧<c,b>∈R, 由R对称得 c∈A∧<b,c>∈R∧<c,a>∈R,由S定义得<b,a>∈S,S对称. c)证S传递:任取a,b,c∈A,有<a,b>∈S,<b,c>∈S,由S定义 得 (d∈A∧<a,d>∈R∧<d,b>∈R)∧(e∈A∧<b,e>∈R∧ <e,c>∈R) , 由于R传递,所以有<a,b>∈R,<b,c>∈R, 由S定义得<a,c>∈S, 所以S传递. 所以S是A上等价关系. (6). R是A上对称和传递的关系，证明如果a∈A,b∈A, 使得<a,b>∈R,则R是一个等价关系. 证明:任取a∈A,有已知得b∈A,使得<a,b>∈R,由R对称 得<b,a>∈R,又由R传递得, <a,a>∈R,R自反, ∴R是等价 关系.
离散数学第四版课后答案(第8章)
第8 章 习题解答8.1 图8.6 中,(1)所示的图为,3,1K (2) 所示的图为,3,2K (3)所示的图为,2,2K 它们分别各有不同的同构形式.8.2 若G 为零图,用一种颜色就够了,若G 是非零图的二部图,用两种颜色就够了.分析 根据二部图的定义可知,n 阶零图(无边的图)是三部图(含平凡图),对n 阶零图的每个顶点都用同一种颜色染色,因为无边,所以,不会出现相邻顶点染同色,因而一种颜色就够用了.8.3 完全二部图,,s r K 中的边数rs m =.分析 设完全二部图s r K ,的顶点集为V, 则∅==2121,V V V V V ,且,||,||21s V r V ==s r K ,是简单图,且1V 中每个顶点与2V 中所有顶点相邻,而且1V 中任何两个不同顶点关联的边互不相同,所以,边数rs m =.8.4 完全二部图s r K ,中匹配数},m in{1s r =β,即1β等于s r ,中的小者.分析 不妨设,s r ≤且二部图s r K ,中,,||,||21s V r V ==由Hall 定理可知,图中存在1V 到2V 的完备匹配,设M 为一个完备匹配,则1V 中顶点全为M 饱和点,所以,.1r =β8.5 能安排多种方案,使每个工人去完成一项他们各自能胜任的任务.分析 设},,{1丙乙甲=V ,则1V 为工人集合, },,{2c b a V =,则2V为任务集合.令}|),{(,21y x y x E V V V 能胜任== ,得无向图>=<E V G ,,则G 为二部图,见图8.7 所示.本题是求图中完美匹配问题. 给图中一个完美匹配就对应一个分配方案.图8.7 满足Hall 定理中的相异性条件,所以,存在完备匹配,又因为,3||||21==V V 所以,完备匹配也为完美匹配.其实,从图上,可以找到多个完美匹配. 取)},(),,(),,{(1c b a M 丙乙甲=此匹配对应的方案为甲完成a,乙完成b, 丙完成c,见图中粗边所示的匹配.)},(),,(),,{(2c a b M 丙乙甲=2M 对应的分配方案为甲完成b,乙完成a,丙完成c.请读者再找出其余的分配方案.8.6 本题的答案太多,如果不限定画出的图为简单图,非常容易地给出4族图分别满足要求.(1) n (n 为偶数,且2≥n )阶圈都是偶数个顶点,偶数条边的欧拉图.(2) n (n 为奇数,且1≥n )阶圈都是奇数个顶点,奇数条边的欧拉图.(3) 在(1) 中的圈上任选一个顶点,在此顶点处加一个环,所得图为偶数个顶点,奇数条边的欧拉图.（4）在(2) 中的圈上任选一个顶点,在此顶点处加一个环,所得图为奇数个顶点,偶数条边的欧拉图.分析 上面给出的4族图都是连通的,并且所有顶点的度数都是偶数,所以,都是欧拉图.并且(1),(2) 中的图都是简单图.而(3),(4)中的图都带环,因而都是非简单图. 于是,如果要求所给出的图必须是简单图,则(3),(4)中的图不满足要求.其实,欧拉图是若干个边不重的图的并,由这种性质,同样可以得到满足(3),(4)中要求的简单欧拉图.设k G G G ,,,21 是长度大于等于3的k 个奇圈(长度为奇数的圈称为奇圈),其中k 为偶数,将1G 中某个顶点与2G 中的某顶点重合,但边不重合, 2G 中某顶点与3G 中某顶点重合,但边不重合,继续地,最后将1-k G 中某顶点与k G 中某顶点重合,边不重合,设最后得连通图为G,则G 中有奇数个顶点,偶数条边,且所有顶点度数均为偶数,所以,这样的一族图满足(4)的要求,其中一个特例为图8.8中(1)所示.在以上各图中,若k G G G ,,,21 中有一个偶圈,其他条件不变,构造方法同上,则所得图G 为偶数个顶点,奇数条边的简单欧拉图,满足(3)的要求,图8.8中(2)所示为一个特殊的情况.8.7 本题的讨论类似于8.6题,只是将所有无向圈全变成有向圈即可,请读者自己画出满足要求的一些特殊有向欧拉图.8.8 本题的答案也是很多的,这里给出满足要求的最简单一些图案,而且全为简单图.(1) n (3≥n )阶圈,它们都是欧拉图,又都是哈密尔顿图.(2) 给定k (2≥k )个长度大于等于3的初级回路,即圈k G G G ,,,21 ,用8.6题方法构造的图G 均为欧拉图,但都不是哈密尔顿图,图8.8给出的两个图是这里的特例.(3)n (4≥n )阶圈中,找两个不相邻的顶点,在它们之间加一条边,所得图均为哈密尔顿图,但都不是欧拉图.(4) 在(2)中的图中,设存在长度大于等于4的圈,比如说1G ,在1G 中找两个不相邻的相邻顶点,在它们之间加一条新边,然后用8.6题方法构造图G,则G 既不是欧拉图,也不是哈密尔顿图,见图8.9所示的图.分析 (1) 中图满足要求是显然的.(2) 中构造的图G 是连通的,并且各顶点度数均为偶数,所以,都是欧拉图,但因为G 中存在割点,将割点从G 中删除,所得图至少有两个连通分支,这破坏了哈密尔顿图的必要条件,所以,G不是哈密尔顿图.(3) 中构造的图中,所有顶点都排在一个圈上,所以,图中存在哈密尔顿回路,因而为哈密尔顿图,但因图中有奇度顶点(度数为奇数的顶点),所以,不是欧拉图. 由以上讨论可知,(4) 中图既不是欧拉图,也不是哈密尔顿图.其实,读者可以找许多族图,分别满足题中的要求.8.9 请读者自己讨论.8.10 其逆命题不真.分析若D是强连通的有向图,则D中任何两个顶点都是相互可达的,但并没有要求D中每个顶点的入度都等于出度. 在图8.2 所示的3个强连通的有向图都不是欧拉图.8.11 除K不是哈密尔顿图之外, n K(3≥n)全是哈密尔2顿图.K(n为奇数)为欧拉图. 规定1K(平凡图)既是欧拉图, n又是哈密尔顿图.分析从哈密尔顿图的定义不难看出,n阶图G是否为哈密尔顿图,就看是否能将G中的所有顶点排在G中的一个长为n的初级回路,即圈上.K(3≥n)中存在多个这样的生成n圈(含所有顶点的图), 所以K(3≥n)都是哈密尔顿图.n在完全图K中,各顶点的度数均为n-1,若n K为欧拉图,n则必有1-n为偶数,即n为奇数,于是,当n为奇数时,K连通n且无度顶点,所以,K(n为奇数) 都是欧拉图.当n为偶数时,n各顶点的度数均为奇数,当然不是欧拉图.8.12 有割点的图也可以为欧拉图.分析 无向图G 为欧拉图当且仅当G 连通且没有奇度顶点.只要G 连通且无奇度顶点(割点的度数也为偶数),G 就是欧拉图.图8.8所示的两个图都有割点,但它们都是欧拉图.8.13 将7个人排座在圆桌周围,其排法为.abdfgeca 分析 做无向图>=<E V G ,,其中,},,,,,,{g f e d c b a V =},|),{(有共同语言与且v u V v u v u E ∈=图G 为图8.10所示.图G 是连通图,于是,能否将这7个人排座在圆桌周围,使得每个人能与两边的人交谈,就转化成了图G 中是否存在哈密尔顿回路(也就是G 是否为哈密尔顿图).通过观察发现G 中存在哈密尔顿回路, abdfgeca 就是其中的一条哈密尔顿回路.8.14 用i v 表示颜色.6,,2,1, =i i 做无向图>=<E V G ,,其中 },,,,,,{654321v v v v v v V =}.,,|),{(能搭配与并且且v u v u V v u v u E ≠∈=对于任意的)(,v d V v ∈表示顶点v 与别的能搭配的颜色个数,易知G 是简单图,且对于任意的V v u ∈,,均有633)()(=+≥+v d u d ,由定理8.9可知,G 为哈密尔顿图,因而G 中存在哈密尔顿回路,不妨设1654321i i i i i i i v v v v v v v 为其中的一条,在这种回路上,每个顶点工表的颜色都能与它相邻顶点代表的颜色相.于是,让1i v 与2i v ,3i v 与4i v ,5i v 与6i v 所代表的颜色相搭配就能织出3种双色布,包含了6种颜色.8.15∑=⨯======300321,10220)deg(.12)deg(,3)deg(,1)deg(,4)deg(i i R R R R R 而本图边数m=10.分析 平面图(平面嵌入)的面i R 的次数等于包围它的边界的回路的长度,这里所说回路,可能是初级的,可能是简单的,也可能是复杂的,还可能由若干个回路组成.图8.1所示图中,321,,R R R 的边界都是初级回路,而0R 的边界为复杂回路(有的边在回路中重复出现),即432110987654321e e e e e e e e e e e e e e ,长度为12,其中边65,e e 在其中各出现两次.8.16 图8.11中,实线边所示的图为图8.1中图G,虚线边,实心点图为它的对偶图的顶点数*n ,边数*m ,面数*r 分别为4,10和8,于是有分析 从图8.11还可以发现,G 的每个顶点位于的一个面中,且的每个面只含G 的一个顶点,所以,这是连通平面图G 是具有k 个连通分支的平面图2≥k ,则应有1*+-=k n r .读者自己给出一个非连通的平面图,求出它的对偶图来验证这个结论.另外,用图8.1还可以验证,对于任意的*v (*G 中的顶点),若它处于G 的面i R 中,则应有)deg()(*i R v d =.8.17 不能与G 同构.分析 任意平面图的对偶图都是连通的,因而与都是连通图,而G 是具有3个连通分支的非连通图,连通图与非连通图显然是不能同构的.图 8.12 中, 这线边图为图8.2中的图G,虚线边图为G 的对偶图,带小杠的边组成的图是*G 的对偶图,显然.~**G G ≠ 8.18 因为彼得森图中有长度为奇数的圈,根据定理8.1可知它不是二部图.图中每个顶点的度数均为3,由定8.5可知它不是欧拉图.又因为它可以收缩成5K ,由库拉图期基定理可知它也不是平面图.其实,彼得森图也不是哈密尔顿图图,这里就不给出证明了.8.19 将图8.4重画在图8.13中,并且将顶点标定.图中afbdcea 为图中哈密尔顿回路,见图中粗边所示,所以,该图为哈密尔顿图.将图中边),(),,(),,(d f f e e d 三条去掉,所得图为原来图的子图,它为3,3K ,可取},,{1c b a V =},,{2f e d V =,由库拉图期基定理可知,该图不是平面图.8.20 图8.14所示图为图8.25所示图的平面嵌入.分析 该图为极大平面图.此图G 中,顶点数9=n ,边数.12=m 若G 是不是极大平面图,则应该存在不相邻的顶点,,v u 在它们之间再加一条边所得'G 还应该是简单平面图, 'G 的顶点数131,6''=+===n m n n ,于是会有.126313''=->=n m这与定理8.16矛盾,所以,G 为极大平面图.其实,n ( 3≥n )阶简单平面图G 为极大平面图当且仅当G 的每个面的次数均为3.由图8.14可知,G 的每个面的次数均为3,所以,G 为极大平面图.8.21 答案 A,B,C,D 全为②分析 (1) 只有n 为奇数时命题为真,见8.11的解答与分析.(2) 2≠n 时,命题为真,见8.11的解答与分析.(3) 只有m n ,都是偶数时,m n K ,中才无奇度数顶点,因而m n K ,为欧拉图,其他情况下,即m n ,中至少有一个是奇数,这时m n K ,中必有奇度顶点,因而不是欧拉图.(4) 只有m n =时, m n K ,中存在哈密尔顿回路,因而为哈密尔顿图.当m n ≠时,不妨设m n <,并且在二部图m n K ,中,m V n V ==||,||21,则n V m V G p =>=-||)(11,这与定理8.8矛盾. 所以, m n ≠时, m n K ,不是哈密尔顿图.8.22 答案 A:②;B ②;C ②.分析图8.15中,两个实边图是同构的,但它们的对偶力(虚边图)是不同构的.(2) 任何平面图的对偶图都是连通图.设G 是非连通的平面图,显然有.**~G G ≠(3) 当G 是非连通的平面图时,,1*+-=k n r 其中k 为G 的连通分支数.8.23 答案 A:④;B ②;C ②.分析 根据库期基定理可知,所求的图必含有5K 或3,3K 同胚子图,或含可收缩成5K 或3,3K 的子图.由于顶点数和边数均已限定,因而由3,3K 加2条边的图可满足要求,由5K 增加一个顶点,一条边的图可满足要求,将所有的非同构的简单图画出来,共有4个,其中由K产生的有2个,由5K产生的有2个.3,3见图8.16所示.。
《离散数学讲义》课件
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
《离散数学》完整课件
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎
离散数学离散数学第8章 一些特殊的图 PPT课件
在23岁时，他发表了他还是一个17岁的孩子时作出的“奇怪的发 现”，…即《光线系统理论》第一部分，这是一篇伟大的杰作，它对于 光学，就象拉格朗日的《分析力学》之于力学。
哈密尔顿最深刻的悲剧既不是酒精，也不是他的婚姻，而是他顽固地
相信，四元数是解决物质宇宙的数学关键。…从来没有一个伟大的数学
家这样毫无希望地错误过。
2
1
3
4
(2) 有限面与无限面：面积有限的区域称为有 限面(或内部面)，否则为无限面(或外部面) 。 上图中，面4是无限面。
7/1/2020 9:05 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
24
(3) 面的次数等于面边界的边数(注意：悬挂边算2 次)，记为deg(R).
(4) 平面图中面的次数之和等于边数m的两倍，即
d(u)+d(v)≥n-1 则G是半哈密尔顿图。
注意:
此定理条件显然不是必要条件，如n≥6的n边形，对于 任意不相邻的顶点u, v, d(u)+d(v)=4，4<n-1，而n边形显 然有哈密尔顿通路。
7/1/2020 9:05 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
18
哈密尔顿图的充分条件
❖ 设G是n(n≥3)阶无向简单图，若G中 任意不相邻的顶点对u,v均满足： d(u)+d(v)≥n 则G是哈密尔顿图。
a
bc
d
e
f g
h
i j
k
l
ba
d
g
e j
f
l
b
a
c
d
g
j
i
e
h
f
k
7/1/2020 9:05 PM
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解： 令r： a能被4整除， s： a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称 为析取联结词。 运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才 为假，否则为真。 相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生 排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼 例如： （1）小王爱打球或爱跑步。 设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。 则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。 设p：江西人。 q：湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
（1）星期天天气好，带儿子去了动物园； （2）星期天天气好，却没带儿子去动物园； （3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园； （4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。
离散数学(第4讲PPT课件
•
（～Ｐ∧Ｐ）∨Q=Q
• 将命题变元P补进去，并利用分配律展开，然后合 并相同的子句，此时得到的子句将是标准的极大项。
• （8）利用幂等律将相同的极小项和极大项合并，
同时利用交换律进行顺序调整，由此可转换成标准
的主析取范式和主合取范式。
28
第28页/共33页
例1-5.4
利用公式的等价求G＝(P→Q)∧R的主合取范式和主析取范式。
解：G＝(P→Q)∧R＝(～P∨Q)∧R（蕴涵）
＝(～P∨Q∨(R∧～R))∧
((～P∧P)∨(～Q∧Q)∨R)（添加R、P、Q）
＝(～P∨Q∨R)∧(～P∨Q∨～R)∧ (～P∨～Q∨R)∧(～P∨Q∨R)∧
(P∨～Q∨R)∧(P∨Q∨R) （分配律）
＝(P∨Q∨R)∧(P∨～Q∨R)∧(～P∨Q∨R)∧
第24页/共33页
例1-5.3（续）
• 2)、求公式的主合取范式
P Q R (P→Q)
R
000 0 001 1 010 0 011 1 100 1 101 0 110 0 111 1
极大项
P∨Ｑ∨Ｒ
极大项
P∨～Ｑ∨Ｒ
极大项 极大项
～P∨Ｑ∨～Ｒ ～P∨～Ｑ∨Ｒ
2021/4/22
25
第25页/共33页
4种不同的组合极大项对于n个命题变元共有2个不同的极大项记为2020310计算机学院16极大项公式成假赋值名称2020310计算机学院17没有两个不同的极小项是等价的且每个极小项只有一组真值指派使该极小项的真值没有两个不同的极大项是等价的且每个极大项只有一组真值指派使该极大项的真值2020310计算机学院182020310计算机学院19极大项取值0当且仅当
要解决这个问题，我们引入范式(公式的标准型)的概念。
02-第4讲：二元关系
表示方法
1 集合表示法 （前已使用） 2 关系矩阵法（从有穷集A到有穷集B的关系） 3 关系图（有穷集A上的关系）源自基本概念定义4.4
设两个有穷集A={x1, x2, …, xm}，
B={y1, y2, …, yn}，R A×B。
则对应于二元关系R有一个关系矩阵:
MR=(rij)m×n，其中
rij
离散数 学罗 元 勋 博 士
厦门大学数学科学学院
第4讲 二元关系
基本概念
定义4.1
二元关系 如果一个集合为空集或者它的每个元素都是有 序对，则称这个集合是一个二元关系，一般记 作R。二元关系也可简称关系。
对于二元关系R， 如果<x,y>∈R，则记作xRy；
如果<x,y>R，则记作xRy。
基本概念
基本概念
定义4.3
对任何集合A： EA＝{<x,y>｜x∈A∧y∈A}＝A×A， IA＝{<x,x>｜x∈A}。
例子
例4.1 设A＝{a,b}，请写出P(A)上的包含关系R 。 解：P(A)＝{,{a},{b},A}。 R ＝{<,>,<,{a}>,<,{b}>, <,A>,<{a},{a}>,<{a},A>, <{b},{b}>,<{b},A>,<A,A>}。
定义4.2
设A,B为集合，A×B的任何子集所定义的 二元关系称作从A到B的二元关系。特别 当A＝B时，则叫做A上的二元关系。
基本性质
思考
有穷集A上有多少个不同的二元关系?
若|A|=n
则|A×A|=n2 |P(A×A)|=2n2
离散数学 第8章 图的基本概念 课件
素数目等于结点vj的引入次数。即
deg(vi)=
和deg(vj)=
。
5.由给定简单图G的邻接矩阵A可计算出矩阵A的l次幂，
即Al。则第i行第j列上的元素alij便是G中从
结点vi到结点vj长度为l的通路的数目。
给出下面Байду номын сангаас理
定理 设A为简单图G的邻接矩阵，则Al中的i行j列元 素alij等于G中联结vi到vj的长度为l的通路的数目。
0 0 0 1 1 0 C 0 0 1 0 0 0 1 1 0 BC 1 1 0
例2
v5
v1 v2
v3
v4
0 0 A 1 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 P 1 0 0 0 0 0 1 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
多重图、无向图及权图
则该有向图的邻接距阵为：
则该无向图的邻接距阵为：
已知加权的简单图G=<V,E>，定义一个矩阵
A=(aij)，其中：
aij=
{
ω, ω是边（vi,vj） 的权
0， vi与vj没有边相连
则称A为图G的权矩阵
例: 权图
a
5
b
4
w(ab)=5 w(aa)=0 w(ac)=12 w(bd)= ∞ w(ad)=8
8
12
20
d
c
0 5 12 8 5 0 4 A 12 4 0 20 8 20 0
离散数学 第4讲 半群和独异点
一、半群与独异点
定理5 每个循环独异点都是可交换的。 证明： 设<S, *, e>是循环独异点, 其生成元是g, 对任意a、 b∈S, 存在m、n∈N, 使gm=a和gn=b, 因此
a b g m g n g m n g n m g n g m b a
一、半群与独异点
子半群的定义： 定义3 <S, *>是半群,若 (1) T⊆S (2) T关于运算*封闭, 则<T, *>是<S, *>的子代数, 称<T, *>为<S, *>的子半群。 定理1 子半群是半群。 证明 子半群是子代数, 关于运算*封闭, 结合律是继承的,所 以是半群。 证毕。
一、半群与独异点
离散数学（二）
1
半群和独异点
主要内容:
11
2
半群
独异点
重点和难点:
重点: 半群和独异点 难点: 半群和独异点的性质
一、半群与独异点
半群的定义：
定义1 设A=<S，>为代数，若 (1) 集合S关于运算 是封闭的，
(2) S上运算 满足结合律，
则称代数<S，>为半群(semigroups)。 独异点的定义: 定义2 设代数<S,>为半群，若<S,>含有关于 运算的 么元e,则称代数<S,>为独异点(monoid)，或含么半群。 !独异点一定是半群，但半群不一定是独异点。
一、半群与独异点
定义7 在独异点<S, *, e>中, 如果存在一个元素g∈S,使每一元素 a∈S, 都有一个相应的h∈N能把a写成gh,即a=gh，则称此独异点为 循环独异点。并称元素g是此循环独异点的生成元, 又可说此循环 独异点是由g生成的。 例3 (1) <N,+,0>是循环独异点，生成元是1，因为任取i ∈N，当i=0 时，0= 10； i≠0时，有 i= 1+1+…+1=1i。 (2) 右图是循环独异点，生成元为b, c 1=b0,a=b2, b=b1,c=b3; 1=c0,a=c2, b=c3,c=c1。
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陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个结 点，7座桥表示成7条连接这4个结点的边，如下图所示。
于是“七桥问题”就等价于上图能否一笔画成的问题 。 欧拉提出不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
定义1：给定无孤立结点图G，若存在一条路，经过图中每 边一次且仅一次，该条路称为欧拉路。
v2
v3 v1
v4
例：证明：n阶完全无向图Kn是欧拉图当且仅当n 为奇数。
证： n阶完全无向图Kn是连通图且每个节点的度数均为 n-1，于是Kn是欧拉图当且仅当n-1是偶数，即n为奇数。
例：
从图中找一条欧拉路。 解 ：有两个奇数度结点 : v1和v4，所以存在欧拉路。 L = v1,v2,v3,v4,v5,v2,v4 是一条欧拉路。
定理3：有向图G为欧拉图，当且仅当G是连通的，且每个结点 入度等于出度。
定理4：一个有向图G中具有 欧拉路，当且仅当它是连通的， 而且除两个结点外，每个结点的入度等于出度，但这两个结点 中，一个结点的入度比出度小1，一个结点的入度比出度大1。
欧拉回路问题既是一个有趣的游戏问题, 又是一个有实用价 值的问题。
定理1 ：一个有限平面图，面的次数之和等于其边数 的两倍。 证明 ：对于G中的每一条边e，e或是两个面的公共边， 或是在一个面中为悬挂边被作为边界计算两次，故定 理成立。
定理2： (欧拉定理)设图G是一个n个结点,m条边的连通 平面图，它的面数为r，则有欧拉公式： n－m＋r＝2。 证明 :用归纳法 m=0时，G为平凡图，n=1，r=1，公式成立。
邮递员一般的邮递路线是需要遍历某些特定的街道, 理想地, 他应该走一条欧拉路, 即不重复地走遍图中的每一条边。
有的邮递任务是联系某些特定的收发点, 不要求走遍每一条 边, 只要求不重复地遍历图中的每一个顶点, 此时感兴趣的是 图中的顶点, 这就是下面研究的汉密尔顿图。
汉密尔顿图
1859年, 爱尔兰数学家汉密尔顿(Halmiton)提出一个“周游世界” 的游戏, 它把图(a)所示的正十二面体的二十个顶点当作是地球 上的二十个城市, 要求旅游者从某个城市出发, 沿棱走过每个城 市一次且仅一次, 最后回到出发点。(b)图中粗线所构成的回路 就是问题的答案。
设m=k-1（k≥1）时公式成立，现在考虑m=k时的 情况。因为在连通图上增加一条边仍为连通图， 则有三种情况：
（1）所增边为悬挂边，此时G的面数不变，顶点 数增1，公式成立。 （2）在图的任意两个不相邻点间增加一条边，此 时G的面数增1，边数增1，但顶点数不变，公式 成立。
（3）所增边为一个环，此时G的面数增1，边数增 1
定理1：若图G =<V，E>为汉密尔顿图，则对于结点集V 的每个非空子集S(真子集S )有：W(G-S)≤|S| 成立，其中 W(G-S)是G-S中的连通分支数。(必要条件)。
v1
v3
v5
v7
v8
v2
v4
v6
定理2：设图G是有n个结点的简单无向图，若G中任意 两个结点度数之和大于等于n，则 G 是 汉密尔顿图。 （这是充分条件，但不是必要条件）
8.5 特殊的图
欧拉图 汉密尔顿图 平面图 对偶图
欧拉图
哥尼斯堡七桥问题：
18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格 尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如下图所 示。 城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问 题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后 仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
定义2：给定无孤立结点图G，若存在一条回路，经过图中
每边一次且仅一次，该回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的
图称为欧拉图。 v2
v1
（V1、V2、V3、V1、V4、V3）是
一条欧拉路 v3
v4
定理1：给定无向连通图G，G是欧拉图，当且仅当图 中每个结点都是偶数度结点。
定理2：无向图连通图G有一条欧拉路，当且仅当G有 零个或两个奇数度结点。
a
b
定义1：给定图G，若存在一条通路，经过图中的每 个结点恰好一次，这条通路称作汉密尔顿路。
定义2：给定图G，若存在一条回路，经过图中的每 个结点恰好一次，这条回路称作汉密尔顿回路。具有 汉密尔顿回路的图称作汉密尔顿图a)存在汉密尔顿回路, (a)是汉密尔顿图。
(b)存在汉密尔顿通路但不存在汉密尔顿回路, (b)不是汉密尔顿图。
定义2：设G是一连通平面图，由图中的边所包围的 区域，且在该区域内既不包含图的结点，也不包含图 的边，这样的区域称为G的面。 包围一个面的诸边称为此面的边界。 面的面积为有限者称为有限面，面的面积为无限者称 为无限面。
例：
Ⅰ为有限面
Ⅱ为无限面
定义3：一个面的边界的回路长度称作是该面的次数， 记为：deg(r)
(c)不存在汉密尔顿通路且不存在汉密尔顿回路, (c)不是汉密尔顿图。
练习：一只小蚂蚁可否从立方体的一个顶点出发，沿着棱爬行， 它爬过每一个顶点一次且仅一次，最后回到原出发点？
例：证明：若一个无向图G = (V，E)存在一个节点v, 使得deg(v)=1，则G不是汉密尔顿图。
证: 因为图G的汉密尔顿回路要经过节点v，这是显然 deg(v)≥2，故G不是汉密尔顿图。
4
5
6
定义1 ：设G=<V,E>是一个无向图，如果能够把G的所 有结点和边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外 没有其它的交点，就称G是一个平面图。
判断一个图是否为平面图的简单方法是观察法： 找出基本循环，将交叉的边分别放置在基本循环内或 外而避免交叉。如下图所示：
但并非所有的图经过处理之后都可变为平面图。
练习： 在由6个结点，12条边构成的连通简单平面图中，每个 面由几条边围成？
（a）
（b）
欧拉图和汉密尔顿图之间的区别：
(1)欧拉回路是简单回路, 而汉密尔顿图回路是基本回路。 简单回路：各边都不相同的回路。 基本回路：除终点与始点外，其它结点都不相同的回路。
(2) 欧拉图遍历边, 而汉密尔顿图遍历顶点。
平面图
例 ：K3,3图如下，试问：能否转变成与其等价的，且使得
任何两条边除了端点外没有其它的交点的平面上的图？