离散数学第八章(第4讲)

(c)不存在汉密尔顿通路且不存在汉密尔顿回路, (c)不是汉密尔顿图。
练习：一只小蚂蚁可否从立方体的一个顶点出发，沿着棱爬行， 它爬过每一个顶点一次且仅一次，最后回到原出发点？
例：证明：若一个无向图G = (V，E)存在一个节点v, 使得deg(v)=1，则G不是汉密尔顿图。
证: 因为图G的汉密尔顿回路要经过节点v，这是显然 deg(v)≥2，故G不是汉密尔顿图。
定理1：若图G =<V，E>为汉密尔顿图，则对于结点集V 的每个非空子集S(真子集S )有：W(G-S)≤|S| 成立，其中 W(G-S)是G-S中的连通分支数。(必要条件)。
v1
v3
v5
v7
v8
v2
v4
v6
定理2：设图G是有n个结点的简单无向图，若G中任意 两个结点度数之和大于等于n，则 G 是 汉密尔顿图。 （这是充分条件，但不是必要条件）
陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个结 点，7座桥表示成7条连接这4个结点的边，如下图所示。
于是“七桥问题”就等价于上图能否一笔画成的问题 。 欧拉提出不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
定义1：给定无孤立结点图G，若存在一条路，经过图中每 边一次且仅一次，该条路称为欧拉路。
定理1 ：一个有限平面图，面的次数之和等于其边数 的两倍。 证明 ：对于G中的每一条边e，e或是两个面的公共边， 或是在一个面中为悬挂边被作为边界计算两次，故定 理成立。
Hale Waihona Puke Baidu
定理2： (欧拉定理)设图G是一个n个结点,m条边的连通 平面图，它的面数为r，则有欧拉公式： n－m＋r＝2。 证明 :用归纳法 m=0时，G为平凡图，n=1，r=1，公式成立。
8.5 特殊的图
欧拉图 汉密尔顿图 平面图 对偶图
欧拉图
哥尼斯堡七桥问题：
18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格 尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如下图所 示。 城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问 题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后 仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
4
5
6
定义1 ：设G=<V,E>是一个无向图，如果能够把G的所 有结点和边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外 没有其它的交点，就称G是一个平面图。
判断一个图是否为平面图的简单方法是观察法： 找出基本循环，将交叉的边分别放置在基本循环内或 外而避免交叉。如下图所示：
但并非所有的图经过处理之后都可变为平面图。
设m=k-1（k≥1）时公式成立，现在考虑m=k时的 情况。因为在连通图上增加一条边仍为连通图， 则有三种情况：
（1）所增边为悬挂边，此时G的面数不变，顶点 数增1，公式成立。 （2）在图的任意两个不相邻点间增加一条边，此 时G的面数增1，边数增1，但顶点数不变，公式 成立。
（3）所增边为一个环，此时G的面数增1，边数增 1
v2
v3 v1
v4
例：证明：n阶完全无向图Kn是欧拉图当且仅当n 为奇数。
证： n阶完全无向图Kn是连通图且每个节点的度数均为 n-1，于是Kn是欧拉图当且仅当n-1是偶数，即n为奇数。
例：
从图中找一条欧拉路。 解 ：有两个奇数度结点 : v1和v4，所以存在欧拉路。 L = v1,v2,v3,v4,v5,v2,v4 是一条欧拉路。
定义2：设G是一连通平面图，由图中的边所包围的 区域，且在该区域内既不包含图的结点，也不包含图 的边，这样的区域称为G的面。 包围一个面的诸边称为此面的边界。 面的面积为有限者称为有限面，面的面积为无限者称 为无限面。
例：
Ⅰ为有限面
Ⅱ为无限面
定义3：一个面的边界的回路长度称作是该面的次数， 记为：deg(r)
邮递员一般的邮递路线是需要遍历某些特定的街道, 理想地, 他应该走一条欧拉路, 即不重复地走遍图中的每一条边。
有的邮递任务是联系某些特定的收发点, 不要求走遍每一条 边, 只要求不重复地遍历图中的每一个顶点, 此时感兴趣的是 图中的顶点, 这就是下面研究的汉密尔顿图。
汉密尔顿图
1859年, 爱尔兰数学家汉密尔顿(Halmiton)提出一个“周游世界” 的游戏, 它把图(a)所示的正十二面体的二十个顶点当作是地球 上的二十个城市, 要求旅游者从某个城市出发, 沿棱走过每个城 市一次且仅一次, 最后回到出发点。(b)图中粗线所构成的回路 就是问题的答案。
定理3：有向图G为欧拉图，当且仅当G是连通的，且每个结点 入度等于出度。
定理4：一个有向图G中具有 欧拉路，当且仅当它是连通的， 而且除两个结点外，每个结点的入度等于出度，但这两个结点 中，一个结点的入度比出度小1，一个结点的入度比出度大1。
欧拉回路问题既是一个有趣的游戏问题, 又是一个有实用价 值的问题。
练习： 在由6个结点，12条边构成的连通简单平面图中，每个 面由几条边围成？
定义2：给定无孤立结点图G，若存在一条回路，经过图中
每边一次且仅一次，该回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的
图称为欧拉图。 v2
v1
（V1、V2、V3、V1、V4、V3）是
一条欧拉路 v3
v4
定理1：给定无向连通图G，G是欧拉图，当且仅当图 中每个结点都是偶数度结点。
定理2：无向图连通图G有一条欧拉路，当且仅当G有 零个或两个奇数度结点。
（a）
（b）
欧拉图和汉密尔顿图之间的区别：
(1)欧拉回路是简单回路, 而汉密尔顿图回路是基本回路。 简单回路：各边都不相同的回路。 基本回路：除终点与始点外，其它结点都不相同的回路。
(2) 欧拉图遍历边, 而汉密尔顿图遍历顶点。
平面图
例 ：K3,3图如下，试问：能否转变成与其等价的，且使得
任何两条边除了端点外没有其它的交点的平面上的图？
a
b
定义1：给定图G，若存在一条通路，经过图中的每 个结点恰好一次，这条通路称作汉密尔顿路。
定义2：给定图G，若存在一条回路，经过图中的每 个结点恰好一次，这条回路称作汉密尔顿回路。具有 汉密尔顿回路的图称作汉密尔顿图。
例：
（a）
（b）
（c）
(a)存在汉密尔顿回路, (a)是汉密尔顿图。
(b)存在汉密尔顿通路但不存在汉密尔顿回路, (b)不是汉密尔顿图。