322基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
322基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1
(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；
(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(3)y＝xx－ ＋11；
(4)y＝x·tan x.
解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ＝5x4－9x2－10x.
解：(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′
＝x2＋3－x2＋x＋332×2x ＝－xx2－ 2＋63x＋2 3.
谢谢
解：(4)y′＝(x·tan x)′＝(xcsoisnxx)′
＝xsin
x′cos
x－xsin cos2x
xcos
x′
＝sin
x＋xcos xcos cos2x
x＋xsin2x
＝sห้องสมุดไป่ตู้n
xcos x＋x cos2x .
练习：求下列函数的导数
(1)y＝x(x2＋1x＋x13)；
(2)y＝exsin x；
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 ＝18x2－8x＋9. 解：(2)法二：∵y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
∴y′＝18x2－8x＋9.
练习： 求下列函数的导数：
(3)y＝xx－ ＋11；
(4)y＝x·tan x.
解：(3)法一：y′＝(xx－＋11)′
＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
由法则2: C f(x ) C 'f(x ) C f(x ) C f(x )
例:求下列函数的导数:
(1 ) y x 3 2 x 3
答案: (1)y3x22;
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
332基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
我们知道中国象棋在这规律或规则下可以演绎出精彩绝伦的对 棋，让人感叹给人美感给人智力上的愉悦和快感。
导数就像中国象棋也它这些规律或规则的运作下求出许多复杂 函数的导数，像中国象棋演绎出精彩绝伦的对棋。
公式5.若f ( x) a x , 则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f ( x) ex , 则f '( x) ex ;
公式7.若f
( x) loga
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x, 则f '(x) 1 ; x
第三章 导数及其应用
基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c, 则f '(x) 0;
公式2.若f ( x) xn , 则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '( x) cos x;
公式4.若f (x) cos x, 则f '(x) sin x;
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度 上涨。
讲解经济学中的温水煮青蛙现象。虽然每年只有8分钱，但在 不知不觉中物价已经让你承担不起。
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为
c(x) 5284 (80 x 100) 100 x
答：绝对是不可 能的事
xx
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在给定点处的变化率。
在微积分中有许多基本的初等函数，它们都有对应的导数公式和导数的运算法则。
下面，我将介绍一些常见的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
1.常数函数导数公式：如果f(x)=C，其中C为常数，则其导数为f'(x)=0。
2.幂函数导数公式：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
例如：f(x)=x^3，则f'(x)=3x^23.指数函数导数公式：如果f(x)=e^x，则其导数为f'(x)=e^x。
例如：f(x)=e^2，则f'(x)=e^24.对数函数导数公式：如果f(x) = ln(x)，则其导数为f'(x) = 1/x。
例如：f(x) = ln(2)，则f'(x) = 1/25.三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = sin(x)，则其导数为f'(x) = cos(x)。
(2) 如果f(x) = cos(x)，则其导数为f'(x) = -sin(x)。
(3) 如果f(x) = tan(x)，则其导数为f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = arcsin(x)，则其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 如果f(x) = arccos(x)，则其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
(3) 如果f(x) = arctan(x)，则其导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数的运算法则：1.常数乘法法则：设c为常数，f(x)为可导函数，则(cf(x))' = c*f'(x)。
例如：如果f(x)=2x，则f'(x)=2*1=22.求和差法则：设f(x)，g(x)为可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
3.2.2基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则 课件
[解] (1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12， 所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12， 所以所求切线方程为 y＋4＝－12(x－1)， 即 y＝－12x＋8.
＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)解法一：y′＝(xx＋－11)′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212. 解法二：∵y＝xx－＋11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1，
∴y′＝(1－x＋2 1)′＝(－x＋2 1)′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
(8)若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝___x_____.
2．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′___x__±_g_′___x___________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝__f′___x__g__x_＋___f_x__g_′___x_ __. f (x)g(x)－f (x)g(x)
[点拨] (2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计 算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于 对式子的恒等变形．
练 3 在曲线 y＝x3＋3x2＋6x－10 的切线中，求斜率最 小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当 x＝－1 时， 切线的斜率最小，最小斜率为 3，此时，y＝(－1)3＋3×(－ 1)2＋6×(－1)－10＝－14，切点为(－1，－14)．∴切线方程 为 y＋14＝3(x＋1)，即 3x－y－11＝0.
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)导学案
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）【学习目标】1．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；2. 会求曲线的切线.【学习探究+课堂例题】探究1 已知切点，求曲线的切线方程例1 求曲线314y x =在点(2,2)A 的切线方程.探究2 已知过曲线上一点，求曲线的切线方程 例2 求曲线314y x =过点(2,2)A 的切线方程.探究3 已知过曲线外一点，求曲线的切线方程例3 求曲线314+33y x =过点4(2)3A ，的切线方程.【课堂练习】1. 下列求导数运算正确的是（ ）A 211()1x x x '+=+B 21(log )ln 2x x '=C 3(3)3log x x e '=⋅D 2(cos )2sin x x x x '=-2. 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为（ ）A 3B -3C 5D -5 3. 曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为（ ） A 6π B 34π C 4π D 3π 4.已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=_________.5.（选做题）已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则k 的最大值为_______________.6.求过曲线3()2f x x x =-+上一点(1,1)A --的切线方程.7. 求曲线()2ln f x x =上的点到直线230x y -+=的最短距离.【课后作业】1. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（ ）A2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =-D ()1f x x =- 2. 已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于（ ）A 193B 103C 163D 1333. 曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A 19B 29C 13D 234. 点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围 是（ ）A [0,]2πB 3[0,)[,)24πππC 3[,)4ππD 3(,]24ππ 5. 设函数sin cos y x x x =+的图象上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为（ ）6.（选做题）设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ⋅⋅⋅=___________________.7. 求下列函数的导数（1）1sin 1cos x y x -=+ (2) 1111x x y x x +-=+-+ (3) tan y x x =⋅8. 求曲线sin x y x =在点(,0)M π处的切线方程.9. 已知曲线3()3f x x x =-，过点(0,16)A 作曲线的切线，求切线方程.10.（选做题）设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为C A B D74120x y --=.（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值.。
3.2.2 导数公式及导数的运算法则 2
f ( x0 ) f ( x) x x0
3、求曲线 解：
9 y x
在点M(3,3)处的
切线的斜率及倾斜角．
9 y 2 x
代入x=3,得
y 1
斜率为-1,倾斜角为135°
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
例4:求曲线y=x3+3x－8在x=2 处的切线的方程.
解 : f ( x) ( x 3 x 8) 3 x 3
3 2
f (2) 3 2 3 15
2
又过点(2,6), 切线方程为: y 6 15( x 2),即 15x y 24 0
1 90% ;
298% .
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数
1 5284 c( x) ( ) 5284 ( ) 100 x x 100
1 ( x 100) 1 ( x 100) 5284 ( x 100) 2
基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则(一)-2022年学习资料
3.2,2基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式：-1、若fx=c,则f'x=0-常函数-2、-若∫x=x”,则f'x=nx”-一幂 数-3、若fx=sinx,则f'x=cosx-三角函数-4-若fx=cosx,则f'x=-sinx-5、若 x=a,则f'x=a.lna-指数函数-6、-若fx=e,则f'x=e-7、若fx=log。,则f'x=lna-对数函数-8、若fx=lnx,则f'x=二-X
练习：求下列函数的导数-1y=3x3-2x2+5-3y=x3x2-4-4y=2x-123x+2e-5y-1 2-2x+1-7y=2*Inx-6y=5*cosx-8y =tanx
作业-1、求下列函数的导数-1y=2x2+1-31nx-2-2y=e*.sinx-3y=-x+210gsx x2+3-x3-coS x-2.课本Ps5A组4,5,6,7
例用导数公式求下列函数的导数-1fx=x-2fx=-3fx=-sin x-4fx=Vx3-5fx=-cos -6fx=3x-7fx=21nx-8fx=1og3x-9fx=2e1-10fx=1gx-调
练习：求下列函数的导数-1fx=x3-5fx=9-2fx=x2-6i到-7fx=l0g1x-朝-1y=fx=3-求在点M2,3处切线的方程-2y=fx=x,-求在点M2,2处切线的方程-3y fx=x2,-求在点M2,4处切线的方程-4yfx=-X-求在点M1,1/2处切线的方程
2.求函数y=的图象上点2，处的切线方程-X-3曲线y=x2的一条切线方程为6x-y-9=0,-求切点的坐 -4.求曲线y=3上过点1,3的切线方程.-陶
导数的运法则-1、和（差）的导数：[fx±g]=f'x±g'x-2、积的导数：[fx:gx]=f'·8x+ x8'x-推论：[cfx=c·f'-C为常数-f'x8x-fx8'x-8x≠0-[8x]
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
3.2.2、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则xy x y xy xy y x y cos )6(log )5(ln )4(1)3(5)2()1(125======、求下列函数的导数例 （7）2y x =与2x y = （8）3x y =与3log y x =（三）基础训555)4(5)3(1)2()1(1e y y x y xy x ====、求下列函数的导数：处的切线方程。
在、求函数2cos 2π==x x y例3、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+ （2）y =； （3）1ln 1ln xy x-=+．（4）2(251)xy x x e =-+⋅； （5）sin cos cos sin x x xy x x x-=+36sin y x x =+（） 42(7)3y x x x =--+ 2(8)(23)(32)y x x =+-29sin sin 10cos x y x xy x==（）（） 1、已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程2、处的切线方程。
，在点求曲线)20(1P e y x+=2234(40)(24)______________1412______________________y x x A B P AB P P y x P y x P=-==-+、曲线上两点，、，，若曲线上一点处的切线恰好平行于，则的坐标为、是曲线上的点，若过点的切线与直线垂直，则过点处的切线方程为 5、曲线3()2f x x x =+-在0P 点处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为 ．6、已知抛物线2y x bx c =++上的点（1，2）处的切线与直线2y x =-平行，求b ，c 的值。
1、已知2()f x x =，则'(3)f =（ ） A 、0 B 、2x C 、6 D 、92、已知函数1()f x x =，则'(2)f =（ ） A 、4 B 、14 C 、4- D 、14-3、2y x =的斜率等于2的切线方程为（ ）A 、210x y -+=B 、210x y -+=或210x y --=C 、210x y --=D 、20x y -=4、过曲线1y x=上一点P 的切线的斜率为4-，则P 的坐标为（ ） A 、1(,2)2 B 、1(,2)2或1(,2)2-- C 、1(,2)2-- D 、1(,2)2-5、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点的坐标为 ；6、抛物线2y x =过点（1，1）的切线方程为 ； 7、某物体做直线运动，其运动规律是s =t 2+3t( t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为 .8、已知(1,1),(2,4)P Q -是曲线2y x =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线2y x =的切线方程。
几种常见函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
几种常见函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、常见函数的导数公式：1.常数函数的导数公式：若f(x)=C（C为常数），则f'(x)=0。
2. 幂函数的导数公式：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数公式：若f(x) = a^x（a为正常数且a≠1），则f'(x) = ln(a)・a^x。
4. 对数函数的导数公式：若f(x) = log_a(x)（a为正常数且a≠1），则f'(x) = 1 / (x • ln(a))。
5.三角函数的导数公式：a) 正弦函数的导数公式：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
b) 余弦函数的导数公式：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
c) 正切函数的导数公式：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
d) 余切函数的导数公式：f(x) = cot(x)，则f'(x) = -csc^2(x)。
二、基本初等函数的导数公式：1.(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)（求和法则）2.(a・f)'(x)=a・f'(x)（常数倍法则）3.(f・g)'(x)=f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)（乘积法则）4.(f/g)'(x)=(f'(x)・g(x)-f(x)・g'(x))/(g(x))^2（商法则）5.(fⁿ)'(x)=n・f'(x)・f^(n-1)(x)（幂法则）其中，f'表示f的导数，fⁿ表示f的n次幂，f^(n-1)表示f的n-1次导数。
三、导数的运算法则：1.和差法则：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)；(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二
3.
f g
x x
′
f′ x
g
x f x g x2
g′ x
g
x
0
.
如何求函数y=㏑（3x+2）的导数呢？
若设u=我3x们+无2，法则用y=现ln有u的.即方y=法㏑求（函3x数+2） 可以y=看㏑成（是x由+2y）=l的n 导u和数u.=下3x面+，2经我过们“先复合” 得到分的析，这即个y函可数以的通结过构中特间点变.量u表示为自 变量x的函数.
练习 1：指出下列函数的复合关系：
(1)y＝(a＋bxn)m； (2)y＝ln3 ex＋2；
(3)y＝3log2(x2－2x＋3)；(4)y＝sin3(x＋1x)．
解：函数的复合关系分别是：
(1)y＝um，u＝a＋bxn；
(2)y＝lnu，u＝3 v，v＝ex＋2； (3)y＝3 u，u＝log2v，v＝x2－2x＋3；
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x lna
8.
若 fx lnx,则f ' x
1 .
x
三角函数 指数函数 对数函数
2.导数的运算法则 1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′; 2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)+ f(x) g(x) ′;
类似的结论是：若奇函数f(x)是可导函数， 则f′(x)是偶函数．
练习 3：
若函数 f(x)是可导函数，求函数 y ＝f(1x)的导数．
[答案] y′＝－x12 f′(1x)
随堂练习
1.函数y＝(3x－4)2的导数是( )
A．4(3x－2)
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
= 2 ln x 2.
(3) 求函数y = (2 x 3)(3 x - 2)的导数.
2
解：y = ( 2 x 2 3)( 3 x - 2) ( 2 x 2 3)( 3 x - 2)
= 4 x ( 3 x - 2) ( 2 x 2 3) 3
x 2 x 解： (2) y = - sin (1 - 2cos ) 2 4 x x 1 = sin cos = sin x , 2 2 2
y' = ( 1 sinx )' = 1 cos x . 2 2
x3 2. 求 y = 2 在点x = 3处的导数. x 3 2 2 ( x 3)' ( x 3) - ( x 3) ( x 3)' 解： y ' = 2 2 ( x 3)
n
* '
n -1
式，除部分上 ' x x = = 5. 若f ( x ) a ，则 f ( x ) a ln a； 一节已经证明 ' x x 过，其他的只 = = 6. 若f ( x ) e ，则 f ( x ) e ； 需要熟记，会 1 ' 7. 若 f ( x ) = log a x，则 f ( x ) = ； 用即可.
1 ( x 2 3) - ( x 3) 2 x - x 2 - 6 x 3 = = 2 2 2 2 ( x 3) ( x 3)
当x = 3时,
1 -3 - 6 3 3 =- . f (3) = 2 2 6 (3 3)
2
例4:求曲线y=x3+3x－8在x=2处的切 线的方程. 解： f ( x) = ( x 3 3 x - 8) = 3 x 2 3
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
掌握基本初等函数的导数公式和导数的运算法则对于数学学习至关重要。本 节将深入讨论各种导数公式和运算法则，以及它们在不同领域中的应用。
常数函数的导数公式
1 公式：
常数函数的导数始终为零。
2 应用：
常数函数的导数公式可以用于求解速度恒定、变化缓慢的物理问题。
幂函数的导数公式
对数函数的导数公式
1
公式：
对数函数的导数公式是指数函数求导法则的逆运算。
2
应用：
对数函数的导数公式可以应用于解决指数增长和衰减的问题。
3
注意：
对数函数的导数公式只适用于正实数。
三角函数的导数公式
1
公式：
三角函数的导数公式是基于单位圆上的点的导数性质计算得出的。
2
应用：
三角函数的导数公式在物理学、工程学和波动学中有广泛的应用。
2 意义：
导数可以表示函数的变化率和速率。
导数与函数的单调性和凹凸性
1 单调性：
函数的导数可以判断函数 的单调性。
2 凹凸性：
函数的导数和二阶导数可 以判断函数的凹凸性。
3 应用：
导数与函数的单调性和凹 凸性在优化问题和最值问 题中具有重要作用。
1 公式：
幂函数的导数公式是基于指数函数求导法则推导而来。
2 应用：
幂函数的导数公式可以应用于描述变化速率不同的物理量之间的关系。
指数函数的导数公式
1
公式：
指数函数的导数公式与函数的底数和指数有关。
2
特殊情况：
当底数为常数<em>e</em>时，导数是函数自身。
3
应用：
指数函数的导数公式在经济学和生物学中具有广泛的应用。
基本初等函数的导数及导数的运算法则2
练习：指出下列函数是怎样复合而成的．
(1) y ( x2 1)3;
(2) y sin2(1 1 ); x
(3) y (1 cos 3x)3;
tan x (4) y (2x 1)3 .
新课讲解
复合函数的导数
一般地，设函数 u＝(x)在点 x 处有导数 u'x＝'(x)，函数 y＝f(u) 在点 x 的对应点 u 处 有导数 y'u＝f '(u) ，则复合函数 y＝f((x)) 在
点 x 处也有导数，且 y'x ＝y'u·u'x．
或写作 f 'x ((x))＝f '(u) '(x)．
复合函数对自变量的求导法则，即复合函 数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的函数，乘中间变量对自变量的导数．
新课讲解
1．求 y ＝(3x－2)2 的导数．
2.求 y＝(2x＋1)5 的导数．
新课讲解
复合函数
如 y＝(3x－2)2 由二次函数 y＝u2 和一次函 数 u＝3x－2“复合”而成的．y＝u2 ＝(3x－2)2 ． 像 y＝(3x－2)2 这样由几个函数复合而成的函数， 就是复合函数．
新课讲解
复合函数 如 y＝(3x－2)2 由二次函数 y＝u2 和一次函
数 u＝3x－2“复合”而成的．y＝u2 ＝(3x－2)2 ． 像 y＝(3x－2)2 这样由几个函数复合而成的函数， 就是复合函数．
1.2.2 基本初等函数的导数公 式及导数的运算法则(2)
法则1: 两个函数的和（或差）的 导数，等于这两个函数的导数的和 （或差），即：
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
法则2:
322基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.docx
§ 322基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课前预习学案一・预习目标1.熟练掌握某本初等函数的导数公式；2.掌握导数的四则运算法则；3.能利用给出的慕木初等畅数的导数公式和导数的四则运算法则求简单畅数的导数二.预习内容1.基本初等函数的导数公式表2 •导数的运算汚则导数运算法则函数导数y = cy = f(x) = x,l(neQ*)y = sin xy = cos xy = = a xy = fM = e x= lo 艮Xf(x) = lnx1. [ f(x)±g(x)]=2・[f(x) g(x)] J 3•卩叫=Lg(x)」（2）推论：［"（兀）］=（常数与函数的积的导数，等于：）三.提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点r 疑惑内容课内探究学案一.学习目标1. 熟练掌握基本初等函数的导数公式;2. 掌握导数的四则运算法则；3・能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二. 学习过程(一)。
【复习回顾】复习五种常见函数y = c. y = x. y = x 2.y = ~. y =的导数公式填写下表X(二)。
【提出问题，展示目标】 函数 我们知道，函数y = /(x) = x ,l (ne OJ 的导数 为y = nx ^ ,以后看见这种函数就可以直接按公 y = x 21尸一 X式去做，而不必用导数的定义了。
那么其它基本 初等函数的导数怎么呢？又如何解决两个函数 加。
减。
乘。
除的导数呢？这一节我们就來解决 这个问题。
(三)、【合作探究】1. (1)分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表函数导数y = c y=oy = f(x) = x f \ne Q")y = nx n ~l y = sinx•y =cosx y = cos x »y = -sinx y = fM = a x y = a x • In a (a > 0)y = /U) = /y = e x/(兀)=log “ XfM = log “ xf (x)=(a> 0且a 丰 1)xinafM = lnx/w=1Xy = f数的导数 下列函数 y = y[x(2)根据基 木初等函 公式，求 的导数.(1) y = x 2 y = 2A(2)y = 3A y-log3x2. (1)记忆聲数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点—导数运算法则—1.[f(x)±g(x)] =f (x)±g(x)2・[f(x)-g(x)] = f Xx)g(x)±f(x)g (x)3.[= /U)g(x)-/(x)g(x)L^wJ [gw]2推论:[cfM] =cf\x)(常数与函数的积的导数，等于：)提示：积法则，商法则，都是前导后不导，前不导后导，但积法则中间是加号，商法则中间是减号.(2)根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.(1)y = x3 -2x + 3(2)y = x・sinx；(3)y= (2%2—5x 4-1) • €x；(4)【点评】①求导数是在定义域内实行的.②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心.(四)•典例精讲例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p (单位：元)与时间f (单位：年)冇如下函数关系p(/) = Po(l + 5%)‘，其中为t = 0时的物价.假定某种商品的p°=l，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01) ?分析：商品的价格上涨的速度就是：解：变式训练1：如果上式屮某种商站的久=5,那么在第10个年头，这种商甜的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01) ?例2日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为兀％时所需费用(单位：元)为c(x)= 5284 (80<x<100)100-x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1) 90% (2) 98%分析：净化费用的瞬时变化率就是：解：比较上述运算结果，你有什么发现？三.反思总结：(1) 分四组写出慕木初等函数的导数公式表: (2) 导数的运算法则：当堂检测1求卞列函数的导数 (1) y = log 2 x(3) y = 2x 3-3x 2-4 2 •求下列函数的导数 (1) y = x\nx课后练习与提咼1. 己知函数/(x)在x = l 处的导数为3,则/(x)的解析式可能为：A/(X ) = 2(X -1)B/(X ) = 2(X -1)2C /(x) = (x-1)2 + 3(x-1) Df(x) = x-l2. 函数y = cuc 2 +1的图像与直线y = x 相切，则0 = 1 1 1 A - B - C - D 1 8 4 23. 设函数y = x n+\nE N")在点(1,1)处的切线与兀轴的交点横坐标为兀“，则^^x 2^-•^x n = nn + \ n + l4. 曲线y = xe x +2x^r 1在点(0,1)处的切线方程为 -----------------5. 在平面直角地标系屮，点P 在曲线y 二疋一 10x + 3上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2,则P 点的地标为 ----------6.已知函数/(x) = x 3+Z?x 2+tzx + d 的图像过点P (0,2),且在点M(-1J (一 1))处的切线方程 为6x —y + 7 = 0,求函数的解析式。
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练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5 y 0
(2) y= x 4 (3) y= x -2
y 4x3
y2x3 x32
(4) y= 2 x (5) y=log3x
y 2x ln2
y 1 x ln 3
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思考如何求下列函数的导数：
(1) y
1 x4
(2)yx x
(1)因为 c(90)(9501208)20452.8，4所以， (2) 纯净度为90%时，费用的瞬时变化率
(3) 为52.84元/吨。
(2)因为 c(98)(9582180)402 132，1所以， 纯净度为98%时，费用的瞬时变化率
为1321元/吨。
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例4:求下列函数的导数:
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p(t)p0(15%t)
解:根据基本初等函数导数公式表,有
p(t)1.05t ln1.05
所以 p (1) 0 1 .01l5 01 n .0 5 0 .0(元 8 /年 ) 因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
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导数的运算法则:
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
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我们再回顾一下 “导数的几何意义” 中的两个练习题。
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练习1、求曲线
y 9 x
在点M(3,3)处的
切线的斜率及倾斜角．
第二种解法：
y
9 x2
代入x=3,得 y 1
斜率为-1,倾斜角为135°
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练习2、判断曲线
y2x3
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解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数。
c(x)( 5284) 5284( 1 )
100x
x100
528 1 4 (x1 (x0 )1 0 1 0 )(2x0 10 ) 0
52 804(x10) 011 (x10)20
(x
5284 100)2
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法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f(x)g(x)f(x)g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f(x)•g (x)f(x)g (x)f(x)g (x)
如果上式中f(x)=c,则公式变为：[c(g x)]cg(x)
322基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
3.2.2基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
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我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0; 公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ; 公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ; 公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
解：因为 y(x32x3)
(x3)(2x)(3) 3x2 2
所以，函数y=x3-2x+3的导数是 y 3x2 2
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练习2、求下列函数的导数。
(1)yx3sinxcosx
y3x2cox ssixn
(1(2)) y 2sin x cos x 2x2 1 22
ycox s4x
(3)y(x1 )x (2)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即: g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
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例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
y
1 2
x 2在（1，-12）处
是否有切线，如果有，
求出切线的方程.
试自己动手解答.
有,切线的方程为
y
x
1 2
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(2)什么时刻它的速度为零?
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
(2) s ( t ) t 3 1 t 2 3 2 t ,令 s 2 ( t ) 0 ,即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
12 (1 ) y ;
x x2 (2) y x ;
1 x2 (3 ) y ta n x ;
答案: (1) yx12 x43;
(3)
y
c
1 o s2
; x
(2)
y
1 x2 (1 x2)2
;
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例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= 1 t 4
-4t3+16t2.
4
(1)此物体什么时刻在始点?
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 ); 公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x