神奇的喇叭——积分在几何中的应用.pptx
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6定积分的几何应用省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
s1,
0
故原结论成立.
第23页
③极坐标情形
曲线弧为 r r( ) ( )
其中r( )在[ , ]上具有连续导数.
x y
r( r(
)cos )sin
( )
ds (dx)2 (dy)2 r 2( ) r2( )d ,
弧长 s r 2( ) r2( )d .
以下列图
第4页
但若将这一面积看作是分布在区间 [ -2，4] 上 以 y 为变量计算将会简单
在[-2,4] 上任取一小区间 [ y, y dy]
其上对应窄条左、右曲边分别为
x 1 y2, x y 4
2
A
4 ( y 4 1 y2 )dy 18
2
2
第5页
由此可见在面积计算中应依据平面区域详细特
四、 求位于曲线 y e x 下方，该曲线过原点的切线的左 方以及 x 轴上方之间的图形的面积 .
五、 求由抛物线 y2 4ax 与过焦点的弦所围成的图形 面积的最小值 .
第33页
练习题答案
一、1、1；
4、 y； 二、1、 3 ln 2；
2
4、 3a 2 ；
三、 9 . 4
2、32 ； 3
5、e 1 2； e
a b
S2 [ f ( x) f ( )]dx
第9页
令
t
F(t) [ f (t)
b
f ( x)]dx 3[ f ( x)
f (t)]dx
a
t
t
b
则F(t) f (t)(t a) f ( x)dx 3 f ( x)dx 3 f (t)(b t)
b
a
t
F (a) 3[ f ( x) f (a)]dx 0
人教A版选修2-2第一章1.7-积分的几何应用(共14张PPT)
分割
变式2、求直线yx4 与 y2 2x 抛物线所
围成的图像面积。
y
0
x
有其他 方法吗？
变式2、求直线yx4 与 y2 2x 抛物线所
围成的图像面积。
解题要点: 联立
得
或
S
4
y4dy
4
1y2dy
-2
22
S (1 y2 2
4x) |4 2
1
变式3、已知S1为直线 x 0
aa c
yf (x)
二、牛刀小试
根据积分的几何意义，2题
1
计算:
2 4 - x2dx 2
我们利用曲线围成的面积 来求积分，那么我们可以
解得
32 3
用积分求曲边形面积吗？
2 计算：2 4 - x2 dx 2
解：如图由几何意义
2 4x2dx 1 22
2
2
三、问题探究
y
A
0a
bX
大家思考，给我们这样一个 曲边形，我们怎么求它的面 积？
xa、xb与 x轴所围成的
曲边梯形的面积。
y
yf (x)
Oa
bc
a f ( x ) d x a f ( x ) d x c
bx
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成 的曲边梯形位于 x 轴的下方，
y
Oa
bx
b f ( x ) d x c S f ( x ) d x b f ( x ) d x 。
小值为2
六、课时小结
1．本节课我们探究曲边形的面积计算-积分 2．解题时应注意些什么呢？积分范围和符号 3．体会到什么样的数学研究思路及方法呢？分 割与反函数法
二年级【数学】1.7.1《定积分在几何中的简单应用》课件(人教A版选修2-2)---原生版
dx
S1=有S其2 他
方法吗？
4
4
思考
课本P60 习题B组2
定
如图, 一桥拱的形状为抛
积 物线, 已知该抛物线拱的高为 分 常数h, 宽为常数b.
h
的
简 求证: 抛物线拱的面积S 2 bh
b
单
3
应
用 建立平面直角坐标系 确定抛物线方程
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤
证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
Oa
yf (x) bx
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成 的曲边梯形位于 x 轴的下方，
不过，最近在上搜索&;线上教学如何规范孩子不自觉的行为&;的问题时，我发现了一个方案：用远程控制软件远程孩子的电脑，监督孩子线上上课，他表示，三亚学院的在校生规模、教师队伍、教学科 研能力均为全国前列，已发展成为全国民办大学中的翘楚，上课更考验了我的自律性，惠州别墅 /，(二)面试形式面试由福田区教育局具体组织实施，面试形式见《面试通知书》， 让孩子们感知到想象力何其重要，用一种更为生动的方式解锁孩子们被限制的想象力则显得更为迫切，特别是针对全国艺考和研考,通过搭建不同形式的远程考场,满足各类视频面试需求,助力院校顺利开 展招生工作
归纳
定 积
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：
分
的 （1）画草图，求出曲线的交点坐标
简 单
（2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积
应 用
（3）确定被积函数及积分区间
（4）计算定积分，求出面积
四、例题实践求曲边形面积
(vip免费)【数学】1.7.1《定积分在几何中的简单应用》课件(人教A版选修2-2)
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
Oa
yf (x) bx
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成 的曲边梯形位于 x 轴的下方，
一、复习回顾
2、牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学 院
北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。
谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
8
x
微积分课件第七节定积分的几何应用.
2. 截面面积已知的几何体的体积设有立体如图 A( x 表示过点x的截面面
积， , 求此立体的体积 . (1 任取区间 x, x dx]， [ 落在该区间几何体的体积为V，Δ 可近似扁圆视为以A(x为底面积、dx 为高的柱体的体积, 则体积微元为利用定积分的微元法 A(x a x x+dx b x A( x dx，就是所求几何体的体积 V 在区间 a, b]作定积分， [ (2 以A( x dx为被积表达式， b a A( x dx.
例设有底圆半径为R的圆柱，被一与圆柱底面交成α且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体的体积。
解取该平面与圆柱体底面的交线为 x轴, 底面上过圆中心且垂直于 x轴的直线为轴, y R 则底圆方程为 x 2 y 2 R 2 , x 在
x( R x R处垂直于x轴作立体的截面 , 截面为直角三角形, 两条直角边分别为 y y 及y tan α , 即 R 2 x 2 及 R 2 x 2 tan α , R x 1 2 A( x ( R x 2 tan α , 截面面积 2 R 则立体体积 V 1 (R 2 x 2 tan αdx 2 R3 tan α . 2 R 3
小结一、定积分应用的微元法二、用定积分求平面图形的面积三、用定积分求体积 (1旋转体的体积 Vx V a b a π[ f ( x ] dx Vy 2 d c π[ ( y ] dy 2 (2截面面积已知的几何体的体积 b A( xdx
作业： P266 1（2），2（2）。
最新-高中数学 171定积分在几何中应用课件 新人教A版选修2-2 精品
y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
S2
S1
y x4
4
8
8S S1 S2 02xd Nhomakorabea [ 4
2xdx (x 4)dx] 4
4
8
8
8
8
(0 2xdx 4 2xdx) 4 (x 4)dx 0 2xdx 4 (x 4)dx
2
2 3
3
x2
|80
( 1 2
x2
4x)
|84
b
a f2 ( x)dx
b
a f1( x)dx
b
a [ f2( x) f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线y2 x 和y x2 所围成的
图形的面积.
解
y y
x x2
x
0及x
1
两曲线的交点 (0,0) (1,1)
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
y
y y2 xx B
1.7.1 定积分在几何中的应用
2.微积分基本定理---------牛顿－莱布尼茨公式
b f (x)dx
a
b a
F
'
(
x)dx
F
(
x)
|ba
F
(b)
F
(a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系．
3.利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是
确定f (x)的原函数F(x)
1、平面图形的面积
A
0
( 2
x3
6x
x2
)dx
3(x2 0
x3
6 x )dx
253. 12
说明：
y x2
定积分在几何中的应用市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型三 定积分旳综合应用 【例3】 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等旳实根，且
f′(x)＝2x＋2. (1)求y＝f(x)旳体现式； (2)求y＝f(x)旳图象与两坐标轴所围成图形旳面积．
课前探究学习
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[规范解答] (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f′(x)＝2ax＋b. 又 f′(x)＝2x＋2，所以 a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程 f(x)＝0 有两个相等实根， 即 x2＋2x＋c＝0 有两个相等实根， 所以 Δ＝4－4c＝0，即 c＝1. 故 f(x)＝x2＋2x＋1.
1．7 定积分旳简朴应用
1．7.1 定积分在几何中旳应用
课前探究学习
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【课标要求】 1．会经过定积分求由两条或多条曲线围成旳图形旳面积． 2．在处理问题旳过程中，经过数形结合旳思想措施，加深对定积
分旳几何意义旳了解． 【关键扫描】
由多条曲线围成旳分割型图形旳面积旳求解是考察旳要点．
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方法点评 观察是解决问题的第一要素，在法一中观察到
25－x2dx 表示以 5 为半径的14圆的面积，使定积分值很快地
求出；与方法一不同，法二考虑到椭圆的参数方程，利用三角代
换求出了定积分
4 5
25－x2dx 的值．两种方法实际上都体现了
一般来说，利用定积分求曲边图形面积旳基本环节如下： 第一步：画出图形； 第二步：拟定图形范围，经过解方程组求出交点横坐标，拟定 积分上、下限； 第三步，拟定被积函数，尤其要注意分清被积函数旳上、下位 置； 第四步，写出平面图形面积旳积分体现式； 第五步，利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形旳面 积．
定积分在物理学中的应用市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
a
第9页
二、液体侧压力
由物理学知道，一水平放置在液体中薄板，其
面积为A，距液面深度为 h ，则该薄板一侧所受 压力P等于液体压强 p 与受力面积乘积，而压强
等于深度与比重乘积，于是
P pA hA
但在实际问题中，往往需要计算与液面垂直放 置薄板一侧所受压力，因为薄板在不一样深度处压 强不一样，因而不能直接应用上述公式进行计算， 需要采取微元法，利用定积分来计算。
克服地球引力外力F与 f 大小相等
第5页
F
(
x
)
mgR
2
1 x2
下面用微元法来求变力所作功。
取 x 为积分变量 x [R, R H ]
dW
F ( x)dx
mgR 2
1 x2
dx
WH
R H
mgR 2
R
1 x2
dx
mgR2( 1 1 ) R RH
为了使火箭脱离地球引力范围，也
就是说要把火箭发射到无穷远处 H
第19页
五、小结
利用“微元法”思想求变力作功、 水压力和引力等物理问题．
（注意熟悉相关物理知识）
思索题
一球完全浸没水中，问该球面所受总压 力与球浸没深度有没有关系？它所受总压力 与它在水中受到浮力有何关系？
第20页
思索题解答
该球面所受总压力方向向上（下半球面所 受压力大于上半球面），其值为该球排开 水重量，即球体积，也就是它在水中受到 浮力．所以该球面所受总压力与球浸没深 度无关．
x0
x
坐标为 x 处液体深度为 x+dx
b
x sin
dF x sin adx
x0 b a
第12页
x0 b
第9页
二、液体侧压力
由物理学知道，一水平放置在液体中薄板，其
面积为A，距液面深度为 h ，则该薄板一侧所受 压力P等于液体压强 p 与受力面积乘积，而压强
等于深度与比重乘积，于是
P pA hA
但在实际问题中，往往需要计算与液面垂直放 置薄板一侧所受压力，因为薄板在不一样深度处压 强不一样，因而不能直接应用上述公式进行计算， 需要采取微元法，利用定积分来计算。
克服地球引力外力F与 f 大小相等
第5页
F
(
x
)
mgR
2
1 x2
下面用微元法来求变力所作功。
取 x 为积分变量 x [R, R H ]
dW
F ( x)dx
mgR 2
1 x2
dx
WH
R H
mgR 2
R
1 x2
dx
mgR2( 1 1 ) R RH
为了使火箭脱离地球引力范围，也
就是说要把火箭发射到无穷远处 H
第19页
五、小结
利用“微元法”思想求变力作功、 水压力和引力等物理问题．
（注意熟悉相关物理知识）
思索题
一球完全浸没水中，问该球面所受总压 力与球浸没深度有没有关系？它所受总压力 与它在水中受到浮力有何关系？
第20页
思索题解答
该球面所受总压力方向向上（下半球面所 受压力大于上半球面），其值为该球排开 水重量，即球体积，也就是它在水中受到 浮力．所以该球面所受总压力与球浸没深 度无关．
x0
x
坐标为 x 处液体深度为 x+dx
b
x sin
dF x sin adx
x0 b a
第12页
x0 b
定积分的简单应用 公开课一等奖课件
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
y
1
的草图, 所求面积为图 1.7 1 中阴影部分的面积 .
解方程组
y x2 B
C
D A
1
y2 x
y x,
2
o
x
y x2
图1.7 1
得交点的横坐标为 x 0及x 1.
1
因此, 所求图形面积为 S S曲边梯形 OABC S曲边梯形 OABD
1 0
2 x dx x dx x 0 3
1 2
3 2
1 3 2 1 1 x . 3 0 3 3 3 0
1
例2
计算由直线y
x 4,曲线y 2x以及 x轴所围图形的面积 S.
y
4 2
y x4
S2 S1
y 2x
分析 首先画出草图 o 5 10 x 图1.7 2,并设 法 把 图1.7 2 所求图形面积问题转 化为求曲边梯形的面积 问题.与例1不同的是, 还需把所求图形的面积 分成两部分 S1和 S 2 . 为了确定出被积函数和 积分的上、下限 ,需 要求出直线 y x 4 与曲线 y 2x 的交点 的横坐标， 直线y x 4与x轴的交点 .
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
人教A版选修2-2第一章1.7-积分的几何应用(共14张PPT)
（1）画草图，求出曲线的交点坐标 （2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积 （3）确定被积函数及积分区间 （4）计算定积分，求出面积
归纳
变式1．计算由曲线y 1
x
y 2 x直线 x 0 以及 x 轴
所围图形的面积Ｓ
解、S
1
x dx
21 dx
0
1x
(
2 3
x
3 2
)
|10
(ln
y
yf (x)
Oa
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dxc
bx
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成 的曲边梯形位于 x 轴的下方，
y
Oa
bx
b
c
b
f (x)dx S f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
yf (x)
二、牛刀小试
曲边形面积的求解思路
y f (x)
A 1
0a
bX
a
b
g ( x)
A2
a
b
曲边形
曲边梯形（三条直边，一条曲边）
面积 A=A1-A2
面积
A=
b
a
f
( x)dx
b
a g(x)dx
四、例题实战
例．计算由曲线 y x2 与 y 2 x 所围图形的面积
解：作出草图，所求面积为阴影部分的面积
y
y x2
解、当 时t∈(0，2)
t
S1 4 x2 4 t2 dx
0 2
S2 4 t2 4 x2 dx
t
归纳
变式1．计算由曲线y 1
x
y 2 x直线 x 0 以及 x 轴
所围图形的面积Ｓ
解、S
1
x dx
21 dx
0
1x
(
2 3
x
3 2
)
|10
(ln
y
yf (x)
Oa
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dxc
bx
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成 的曲边梯形位于 x 轴的下方，
y
Oa
bx
b
c
b
f (x)dx S f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
yf (x)
二、牛刀小试
曲边形面积的求解思路
y f (x)
A 1
0a
bX
a
b
g ( x)
A2
a
b
曲边形
曲边梯形（三条直边，一条曲边）
面积 A=A1-A2
面积
A=
b
a
f
( x)dx
b
a g(x)dx
四、例题实战
例．计算由曲线 y x2 与 y 2 x 所围图形的面积
解：作出草图，所求面积为阴影部分的面积
y
y x2
解、当 时t∈(0，2)
t
S1 4 x2 4 t2 dx
0 2
S2 4 t2 4 x2 dx
t
几何形体上的积分.ppt
第三节 几何形体上的积分 及其应用
• 一、几何形体上的积分概念 • 二、几何形体上积分的性质 • 三、几何形体上的积分应用举例
一、几何形体上的积分概念
把区间 I ,平面区域 D ，空间区域 ，曲线弧 L ，
曲面 Σ 等统称为“几何形体”，记作G .并假设G
是有界的，可 “度量” 的. G的度量记作 m(G)。
解 由积分区域的对称性知 Fx Fy 0, z
Fz
aK
D
(x2
(x, y2
y
) a
2
)
3 2
d
F
aK
D
(x2
1 y2
a
2
)
3 2
d
x
o
y
aK
2
d
0
R1
0
(r 2
a
2
)
3 2
rdr
2 Ka
1
1
R2
a2
a
.
所求引力为
0,
0,
2 Ka
1 R2 a2
1 a
.
例7 求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量．
( x, y)d
D
D
当薄片是均匀的，质心称为形心.
x
1 A
D
xd
,
y
1 A
D
yd
.
其中
A d
D
一般地，对于几何形体 G 有如下质心计算公式：
x(M )dG y(M )dG z(M )dG
xG
,yG
,z G
.
(M )dG
(M )dG
(M )dG
G
G
G
• 一、几何形体上的积分概念 • 二、几何形体上积分的性质 • 三、几何形体上的积分应用举例
一、几何形体上的积分概念
把区间 I ,平面区域 D ，空间区域 ，曲线弧 L ，
曲面 Σ 等统称为“几何形体”，记作G .并假设G
是有界的，可 “度量” 的. G的度量记作 m(G)。
解 由积分区域的对称性知 Fx Fy 0, z
Fz
aK
D
(x2
(x, y2
y
) a
2
)
3 2
d
F
aK
D
(x2
1 y2
a
2
)
3 2
d
x
o
y
aK
2
d
0
R1
0
(r 2
a
2
)
3 2
rdr
2 Ka
1
1
R2
a2
a
.
所求引力为
0,
0,
2 Ka
1 R2 a2
1 a
.
例7 求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量．
( x, y)d
D
D
当薄片是均匀的，质心称为形心.
x
1 A
D
xd
,
y
1 A
D
yd
.
其中
A d
D
一般地，对于几何形体 G 有如下质心计算公式：
x(M )dG y(M )dG z(M )dG
xG
,yG
,z G
.
(M )dG
(M )dG
(M )dG
G
G
G
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1
由光滑曲线 y f x ，直线 x a, x b,
x轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周
而成的立体的体积
V
b
a
f
x2
dx
1
由光滑曲线 y f x ，直线 x a, x b,
x轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周
而成的立体的侧面积
S
2
b
a
f
x
1 f '(x)2 dx
V Leabharlann lim [a1 x
]
a
1
lim
a
[1
1] a
S 2 1 1x
1
1 x4
dx 2
1
dx
1x
2 lim a
a 1 dx 2
1x
limln xa
a
1
1
V
1
1 x
2
dx
lim
a
a
1 dx
1 x2
lim
[
a ]
a x 1
lim [1 1]
a
a
体积有限！
S 2 1 1 1 dx
艾萨克·牛顿（1643—1727）莱布尼茨(1646年—1716年）
英国著名物理学家
德国哲学家、数学家喇 叭悖论”》郜舒竹 刘莹
1
1
2
x
dx
lim a 1 dx
x a 1 2
lim [
a
1 x
]
a
1
lim
a
[1
1] a
V
1
1
2
x
dx
lim a 1 dx
x a 1 2
lim [
a
1 x
]
a
1
lim
a
[1
1] a
1
S 2 1 1x
1
1 x4
dx
V
1
1
2
x
dx
lim a 1 dx
x a 1 2
2.0
y 1 x
1.5
1.0
0.5
0
1
2
3
4
0
1
x
y
3.0
2.5
2.0
y 1 x
1.5
1.0
0.5
0
1
2
3
4
0
1
x
y
3.0
2.5
2.0
y 1 x
1.5
1.0
0.5
0
1
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3
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0
1
x
y
3.0
2.5
2.0
y 1 x
1.5
1.0
0.5
0
1
2
3
4
0
1
x
装得满油漆
油漆涂不满侧面
体积有限
侧面积无限
旋转体的体积 旋转体的侧面积
1x
x4
2 1 dx 2 lim a x1dx
1x
a 1
lim 2 ln a 侧面积无限！ a
小结
喇叭的体积
喇叭的侧面积
旋转体体积公式
V
b
a
f
x2
dx
旋转体侧面积公式
S 2 b f x 1 f '2(x)dx a
积分的应用
卡瓦列里（Cavalieri，1598～1647） 意大利数学家，积分学先驱者之一
神奇的喇叭
——积分在几何中的应用
加百利喇叭（Gabriel's Horn） 托里拆利小号（Torricelli's Trumpet）
埃万杰利斯塔·托里拆利 1608～1647
意大利著名物理学家、数学家
“一个装满π立方单位的油漆桶,其中 的油漆不能涂满这个油漆桶的表面。”
——喇叭悖论
y
3.0
2.5