系统分析师复习资料(数学基础知识)

系统分析员考试复习―数学《计算机数学基础(1)》第三单元辅导 (1)五种性质的定义 (1)欧拉图 (26)哈密顿图 (26)平面图 (27)《计算机数学基础(1)》第三单元辅导五种性质的定义我们已经看到，在一个很小的集合上就可以定义很多个不同的关系。

但是真正有实际意义的只是其中很少的一部分，它们一般都是有着某些性质的关系。

设R是集合A上的关系，R的性质主要有以下五种：自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。

(1)自反性集合A上的关系R，我们说它是自反的，就是为真。

也就是说，如果命题“对于A中的任意元素x，都在R中”为真，则R是自反的。

(2)反自反性集合A上的关系R，我们说它是反自反的，就是为真。

也就是说，如果命题“对于A中的任意元素x，都不在R中”为真，则R是反自反的。

(3)对称性集合A上的关系R，我们说它是对称的，就是为真。

也就是说，如果命题“对于A中的任意元素x和y，若则必有”为真，则R是对称的。

(4)反对称性集合A上的关系R，我们说它是反对称的，就是为真。

也就是说，如果命题“对于A中的任意元素x和y，若且则必有”为真，则R是反对称的。

因为等值于，所以，如果对于A中的任意两个不相同的元素x和y，和不同时在R中，则R是反对称的。

(5)传递性集合A上的关系R，我们说它是传递的，就是为真。

也就是说，如果命题“对于A中的任意元素x、y和z，若且，则必有”为真，则R是传递的。

它们的定义及其在关系矩阵、关系图中的特征如表4.1所示。

表4.1除有以上定义外，还可以通过集合间的关系来描述关系的五种性质。

1.任何集合A上的自反关系R一定包含了A上的恒等关系，即。

2.A上的反自反关系R一定与不交，即。

如果且，那么R既不是自反的，也不是反自反的。

3.A上的对称关系R一定满足等式。

4.反对称关系R则满足等式。

由此可以知道，如果R既是对称的，又是反对称的，则。

5.关于传递关系R ，它满足的条件是。

本单元重点：关系概念与其性质，等价关系和偏序关系，函数. 图的概念，握手定理，通路、回路以及图的矩阵表示. 一、重点内容1. 关系的概念 包括定义、关系的表示方法：集合表示、矩阵表示、图形表示.二元关系，是一个有序对集合，设集合A ,B ，},{B y A x y x R ∈∧∈><=，记作xRy 二元关系的定义域：Dom(R )A ⊆； 二元关系的值域：Ran(R )B ⊆ 关系的表示方法：集合表示法：关系是集合，有类似于集合的表示方法.列举法，如R ＝{<1,1>,<1,2>}；描述法：如},{B y A x y x R ∈∧∈><=关系矩阵： R ⊆A ×B ，R 的矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎩⎪⎨⎧/==⨯n j m i b R a Rb a r r M j i j i ij n m ij R ,...,2,1,...,2,101,)(关系图： R 是集合上的二元关系，若<a I ,b j >∈R ，由结点a I 画有向弧到b j 构成的图形. 2. 几个特殊的关系空关系∅；唯一是任何关系的子集的关系. 全关系A A A b a b a E A ⨯≡∈><=},,{恒等关系},{A a a a I A ∈><=，M I是单位矩阵.3. 关系的运算关系的集合运算，有并、交、补、差和对称差. 复合关系},,,{2121R c b R b a b c a R R R >∈<∧>∈<∃><=∙=使，有复合关系矩阵：21R R R M M M ⨯=(布尔运算)，有结合律：(R ∙S )∙T ＝R ∙(S ∙T )逆关系},,{1R y x x y R >∈<><=-，TRR M M =-1，(R ∙S )－1=S －1∙R －1.4. 关系的性质自反性 R x x A x >∈<∈∀,,；矩阵R M 的主对角线元素全为1；关系图的每个结点都有自回路.反自反性 R x x A x >∉<∈∀,,；矩阵R M 的主对角线元素全为0；关系图的每个结点都没有自回路.对称性 若R y x >∈<,，则R x y >∈<,；矩阵R M 是对称矩阵，即ji ijr r =；关系图中有向弧成对出现,方向相反.反对称性 若R y x >∈<,且R x y >∈<,，则x =y 或若y x R y x ≠>∈<,,，则R x y >∉<,；矩阵R M 不出现对称元素.传递性 若R b a >∈<,且R c b >∈<,，则R c a >∈<,；在关系图中，有从a 到b 的弧，有从b 到c 的弧，则有从a 到c 的弧. 判断传递性较为困难.可以证明：R 是集合A 上的二元关系，(1) (1)R 是自反的⇔I A ⊆R ; (2)R 是反自反的⇔I A ⋂R ＝∅; (3)R 是对称的 ⇔R ＝R －1； (4)R 是反对称的⇔R ⋂R －1⊆I A ； (5)R 是传递的⇔R ∙R ⊆R .关系的性质所具有的运算见表4－1.表4－1 二元运算的并、交、补、差、逆、复合具有的性质表由表可见，I A 具有自反性，对称性、反对称性和传递性.E A 具有自反性，对称性和传递性.故I A ，E A 是等价关系.∅具有反自反性、对称性、反对称性和传递性。

∅是偏序关系.关系性质的判定，可以用定义、关系矩阵或关系图.传递性的判定，难度稍大. 也常如下判定：不破坏传递性的定义，可认为具有传递性. 例如∅可认为具有传递性，同时具有对称性和反对称性，但是不具有自反性；5. 关系的闭包设R 是非空集合A 上的二元关系，在关系R 中，添加最少的有序对，新关系用R '表示，使得R '具有关系的自反(对称、传递)性质，R '就是R 的自反(对称、传递)闭包，记作r (R ) ，s (R )和t (R )。

闭包的求法：定理12：A I R R r =)(；定理13：1)(-=R R R s ；定理14的推论： ni iR R t 1)(==6. 等价关系和偏序关系 极大(小)元、最大(小)元问题等价关系和偏序关系是具有不同性质的两个关系.⎩⎨⎧==+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+偏序关系等价关系传递性反对称性对称性自反性 等价关系图的特点：每一个结点都有一个自回路；两个结点间如有有向弧线，则是双向弧线，如果从a 到b ，从b 到c 各有一条有向弧线，则从a 到c 一定有有向弧线。

等价类，若R 是等价关系，与R 中的某个元素等价的元素组成的集合，就是R 的一个等价类，[a ]R ={b ∣b ∈A ∧aRb }.偏序集的哈斯图 偏序集概念和偏序集的哈斯图。

哈斯图的画法：(1) 用空心点表示结点，自环不画；(2) 若a ≤b ，则结点b 画在上边，a 画在下边，并画a 到b 的无向弧；(3) 若<a ,b >,<b ,c >∈,则<a ,c >∈R ，此时，a 到c 的有向弧不画出.确定任一子集的最大(小)元，极大(小)元.极大(小)元、最大(小)元、界 一个子集的极大(小)元可以有多个，而最大(小)元若有，只能惟一. 且极元、最元只在该子集内；而上界与下界可在子集之外确定，最小上界是所有上界中最小者，最小上界再小也不会小于子集中的任一元素；可以与某一元素相等，最大下界也是同样.7. 函数函数, 设f 是集合A 到B 的二元关系，∀a ∈A ,∃b ∈B ,且<a ,b >∈f ，且Dom(f )=A ，f 是一个函数(映射). 函数是一种特殊的关系.集合A ×B 的任何子集都是关系，但不一定是函数. 函数要求对于定义域A 中每一个元素a ，B 中有且仅有一个元素与a 对应，而关系没有这个限制.二函数相等是指：定义域相同，对应关系相同，而且定义域内每个对应值都相同. 函数的类型单射 若)()(2121a f a f a a ≠⇒≠满射 f (A )=B . 即)(,,x f y A x B y =∈∃∈∀使得 双射 单射且满射.复合函数,:,:,:C A g f C B g B A f →∙→→则即))(()(x f g x g f =∙. 复合成立的条件是：)(Dom )(Ran g f ⊆一般f g g f ∙≠∙，但)()(h g f h g f ∙∙=∙∙ 复合函数的性质：如果f ,g 都是单射的，则f ∙g 是单射的； 如果f ,g 都是满射的，则f ∙g 是满射的； 如果f ,g 都是双射的，则f ∙g 是双射的； 如果f ,g 是单射的，则f 是单射的； 如果f ,g 是满射的，则g 是满射的；如果f ∙,g 是双射的，则f 是单射的，g 是满射的. 反函数 若f ：A →B 是双射，则有反函数f －1：B →A},)(,,{1A a b a f B b a b f ∈=∈><=-，f f f g g f =∙=∙-----11111)(,)(二、实例例4.1 设集合A ＝{a ,b },R 是P (A )上的包含关系，写出R 的表达式和关系矩阵. 解 用描述法表示；})(,,{y x A P y x y x R ⊆∧∈><=用列举法表示：因为}},{},{,{)(A b a A P ∅=，所以},,},{,}{},{,},{,}{},{,,,}{,,}{,,,{><><><><><>∅<>∅<>∅<>∅∅<=A A A b b b A a a a A b a R关系矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000110010101111R M ，关系图如图4－1例4.2 设A ＝{1,2,3},用列举法给出A 上的恒等关系I A ，全关系E A ，A 上的小于关系 },,{y x A y x y x L A <∧∈><= 及其逆关系和关系矩阵.解 }3,3,2,2,1,1{><><><=A IA A I E ⋃><><><><><><=},2,3,1,3,3,2,1,2,3,1,2,1{}3,2,3,1,2,1{><><><=A L , L A 的逆关系}2,3,1,3,1,2{1><><><=-A L⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000100110AL M ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0110010001AL M . 有 T L L A A M M 1-=例4.3 设集合A ＝{2,3,4},B ={4,6,7},C ={8,9,12,14}. R 1是由A 到B 的二元关系，R 2是由B到C 的二元关系，定义如下：},{1b a a b a R 整除是素数且><=,},{2c b c b R 整除><=求复合关系21R R ∙，并用关系矩阵表示.解 }6,3,6,2,4,2{1><><><=R ,}14,7,12,6,12,4,8,4{2><><><><=R因此 21R R ∙＝{<2,8>,<2,12>,<3,12>}⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100114327641R M ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010001017641412982R M}图4－121R R R M M M ⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010011⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000101(布尔运算)＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000001000101432141298例4.4 试判断图4－2中关系的性质：2 3 2 3 (a ) (b ) (c )图4－2 例4.4图解 图4－2中(a )的关系在集合{1,2,3}上是对称的，因为结点1与2，1与3之间的有向弧是成对出现且方向相反.图4－2中(b )是反自反的，因为每个结点都没有自回路. 它也是反对称的，因为两条边都是单向边，它又是传递的，容易求出R ＝{<2,1>,<3,1>}, 满足R ∙R =∅⊆R .图4－2中(c )的关系自反的，反对称的、但不是传递的. 因为2到1有边，1到3有边，但2到3没有边. 例4.5 设集合A ＝{1,2,3,4,5},R 是A 上的关系，定义为R ＝{<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<3,4>,<3,5>,<4,5>}⋃I A试判断R 是 (1) A 上的自反关系； (2) A 上的对称关系；(3) A 上的反对称关系； (4) A 上的传递关系.解 写出关系矩阵M R ，作关系图，如图4－3.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000011000111001111011111R M , (1) (1) 因为R x x A x ∈∈∀),(,(或M R 的主对角线元素皆为1，或关系图中每个结点都有自回路)，故R 是自反关系.(2) 因为R R ∉∈)1,2(,)2,1(而(或M R 不是对称矩阵，或关系图中每对结点都没有成对出图4－3现的方向相反的弧)，故R 不是对称关系.(3) 因为R R ∉≠∈)1,3(,31,)3,1(则且(或M R 中当i ≠j 时, m ij =0, 则m ji =1，或关系图中每对结点没有成对的有向弧)，故R 是反对称关系.(4) 因为不难验证R c a R c b R b a A c b a ∈∈∈∈∀),(,),(,),(,,,有(或关系图中就有有向弧到有有向弧到有有向弧到c a c b b a A c b a ,,,,,∈∀), 故R 是传递关系.例4.6 设集合A ＝{a ,b ,c ,d },定义R ＝{<a ,b >,<b ,a >,<b ,c >,<c ,d >},求r (R ),s (R ),t (R ). 解 求自反闭包，R 不具有自反性，由自反性的定义，只需在R 上添加I A ，于是r (R )=R ⋃I A ={<a ,a >,<a ,b >,<b ,a >,<b ,b >,<b ,c >,<c ,c >,<c ,d >，<d ,d >}其中下画线者为添加元素. s (R )=1-⋃R R =R ⋃{<c ,b >,<d ,c >}={ <a ,b >,<b ,a >,<b ,c >,<c ,b >,<c ,d >,<d ,c >}t (R )=432R R R R ⋃⋃⋃=R ⋃{<a ,a >,<b ,b >,<a ,c >,<b ,d >,<a ,d >}={<a ,a >, <a ,b >,<a ,c >,<a ,d >,<b ,a >,<b ,b >,<b ,c >,<b ,d >,<c ,d >}例4.7 设集合A ＝{a ,b ,c ,d ,e }，定义A 上的二元关系A I d e e d a b b a R ⋃><><><><=},,,,,,,{1},,,,,,,,,,,{2><><><><><><=e d d d c c b b a b b a R 判断R 1，R 2是否为等价关系？ 分析 判断等价关系，就是验证是否具有自反性、对称性和传递性.解 写出R 1的关系矩阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11000110000010000011000111R M图4－4由关系矩阵可知，R 1具有自反性和对称性. 由关系图(图4－4)可知它具有传递性，故R 1是等价关系.R 2不是等价关系，因为)),((),(22R e e R a a ∉∉或，故R 不具有自反性.注意：自反性，对称性和传递性之一不具备，就是破坏了等价关系的定义. 事实上22,,,R d e R e d >∉<>∈<但，故R 2不具有对称性；2,R a b >∈<，2,R a a >∉<但，R 2也不具有传递性.对例4.7的R 1进行分类：元素a ，因为><><><><b b a b b a a a ,,,,,,,均属于R 1，所以a生成的等价类},{][1b a a R =或记作1][R b .元素c ，因为1,R c c >∈<，所以c 生成的等价类}{][1c c R =;类似地， d 生成的等价类},{][1e d d R =＝1][R e .例4.8 设集合A ＝{18的正整数因子}，≤为整除关系，说明<A , ≤>是偏序关系.分析 偏序关系只需验证自反性、反对称性和传递性. 解 集合A ＝{1,2,3,6,9,18}，整除关系为≤＝I A ⋃{<1,2>,<1,3>,<1,6>,<1,9>,<1,18>,<2,6>,<2,18>,<3,6>,<3,9>,<3,18> ,<6,18> ,<9,18>}容易验证I A ⊂≤，故≤有自反性；∀(a ,b )∈≤, a ≠b , 则(b ,a )∉≤，≤有反对称性；∀x ,y ,z ∈A ,<x ,y >∈≤且<y ,z >∈≤,则<x ,z >∈≤， ≤具有传递性. 所以<A , ≤>是偏序关系. 画<A ,≤>的关系图和哈斯图如图4－5(a )和(b )：(关系图与哈斯图不是一回事)186 92 31 (a ) ≤的关系图 (b ) ≤的哈斯图图4－5<A ,≤>的最大元是18，极大元是18，最小元、极小元均为1.若子集B 1＝{2,3,6}，则B 1最大元和极大元都是6，无极小元. 上界为6，18; 下界为1，上确界为6，下确界为1.若子集B 2＝{3,6,9}, 则B 2无最大元，极大元为6,9，最小元和极小元都是3, 上界为18，下界为3,1，上确界为18，下确界为3.若子集B 3={1,2,3},则极大元2,3, 无最大元.极小元和最小元均为1. 上界18,6, 上确界是6，而不能是9. 下界和下确界为1.例4.9 确定以下各题的f 是否为从A 到B 的函数，并对其中的函数f ：A →B 指出它是单射，满射或双射？如果不是，请说明理由.(1)}9,5,6,2,10,4,9,3,8,1{},10,9,8,7,6{},5,4,3,2,1{><><><><><===f B A ; (2) A ,B 同(1), f ={<1,8>,<3,10>,<2,6>,<4,9>}; (3) A ,B 同(1), f ={<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>};(4) A ,B 为实数集，x x x f -=2)(; (5) A ,B 同(4)，3)(x x f =;(6) A ,B 同(4)，x x f =)(; (7) A ,B 同(4)，x x f 1)(=;(8) A ,B 为正整数集，1)(+=x x f ; (9) A ,B 同(8)，⎩⎨⎧>-==1111)(x x x x f ;(10) A ,B 为正实数集，1)(2+=x xx f .解 (1) f 是从A 到B 函数，但不是单射，因为f (3)=f (5)=9；也不是满射，因为7∉Ran(f ). (2) f 不是从A 到B 函数，因为Dom(f )={1,2,3,4}≠A. (3) f 不是从A 到B 函数，因为1∈Dom(f ), f(1)=7和9.(4) f 是从A 到B 函数，但不是单射，因为f (0)=f (1)=0；也不是满射，因为该函数的最小值是－1/4，所以Ran(f )是),4/1[+∞-，不是整个实数集.(5) f 是从A 到B 的双射函数，因为3x f =是严格单调，且R R f f =)(:.(6) (6) f 不是从A 到B 函数，因为因为负实数没有定义. (7) (7) f 不是从A 到B 函数，因为0没有对应值. (8) (8) f 是从A 到B 函数，且f 是单射，因为易验证 11,,212121+≠+⇒≠∈+n n n n N n n但f 不是满射，因为1∉Ran(f ).(9) f 是从A 到B 函数，且f 是满射，因为),0[)),1([),0[)(Ran ),,1[)(Dom +∞=+∞+∞+∞f f f ，且是是 但不是单射，因为f (1)=f (2)=1.(10)f 是从A 到B 函数，但f 不是单射，如x >0, f (x )=f (x 1). 当x =1时 ，f (1)=1/2是极大值，Ran(f )是(0,1/2)，不是整个正实数集，故f 不是满射. 例4.10 图4－6中，定义了函数f ,g ,hf g h图4－6求：(1) f ,g ,h 的像; (2) f ∙g , h ∙f , g ∙g ;(3) 指出f ,g ,h 中哪些是单射，满射和双射(4) f ,g ,h 中哪些函数存在反函数，给出其反函数的表达式. 解 (1) f (A )={1,2,4}, g (A )=A , h (A )={1,3}(2) f ∙g ={<1,4>,<2,2>,<3,2>,<4,3>} h ∙f ={<1,2>,<2,1>,<3,2>,<4,1>} g ∙g ={<1,4>,<2,3,>,<3,2>,<4,1>}(3) 只有g 是单射，又是满射，即为双射.(4) 只有g 有反函数g －1：A →A ，且满足, g －1＝{<1,3>,<2,1>,<3,4>,<4,2>}例4.11 单项选择题1.设集合A ＝{1,2}，B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ⋂C )＝( )(A){<c ,1>,<2,c >} (B) {<1,c >,<2,c >} (C){<c ,1>,<c ,2>} (D){<1,c >,<c ,2>} 答案：(B)解答：},2,,1{)(},{><><=⨯=c c C B A c C B ，故选择(B). 2. 设A ＝{0,a },B ={1,a ,3},则A ⋃B 的恒等关系是( )(A) {<0,0><1,1>,<3,3>,<a ,a >} (B) {<0,0>,<1,1>,<3,3>}(C) {<1,1>,<a ,a >,<3,3>} (D) {<0,1>,<1,a >,<a ,3>,<3,0>}答案：(A)解答：因为A ⋃B ＝{0,1,3,a },故A ⋃B 的恒等关系I A ⋃B ＝{<0,0>,<1,1>,<,a ,a >,<3,3>},应该选择(A).3. 设集合A ＝{a ,b ,c },A 上的二元关系R ＝{<a ,a >,<b ,b >}不具备关系( )性质. (A) 传递性 (B) 反对称性 (C) 对称性 (D) 自反性 答案：(D)解答：只有每个结点都有自回路，才具有自反性，R 缺少<c ,c >. 故应选(D).4. 设集合σ},,,{},,,,{3214321b b b B a a a a A ==是从A 到B 的函数， ,,{21><=b a σ},,,,,341322><><><b a b a b a ，则σ是( )(A) 双射 (B) 满射但不是单射 (C) 单射但不是满射 (D)非单射也非满射 答案：(B)解答：因为σ(A )=B ,故是满射，但是σ(a 1)=σ(a 2)=b 2,故不是单射. 所以应选(B). 例12 填空题1. 设R 1，R 2是集合A ＝{1,2,3,4}上的二元关系,其中R 1＝{<1,1>,<1,2>,<2,4>}, R 2={<1,4>,<2,3>,<2,4>,<3,2>}, 则R 1⋅R 2＝ 答案：{<1,4>,<1,3>}解答：由合成的定义：,3,1,321,4,1,4112121><−→−−→−><−→−−→−R R R R ⨯−→−−→−2142R R}4,1,3,1{21><><=⋅R R3. 设21,},,,,{R R d c b a A =是A 上的二元关系，},,,,,,,,,{},,,,,,,{21><><><><><=><><><><=d d b c c b b b a a R d d c b b b a a R则R 2是R 1的 闭包 答案：对称解答：在R 1的基础上添加<c ,b >,此时关系矩阵是对称矩阵，故R 2是R 1的对称闭包 三、练习题1. 设A ＝{1,2,3,4}, R 是A 上的二元关系，其关系矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100000011001R M试求 (1) R 的关系表达式； (2) Dom(R )和Ran(R )；(3) R ∙R 中有多少个有序对 (4) R －1的关系图中有多少条自回路?2. 设集合A ＝{1,2,3,4},A 上的二元关系 R 1＝{<1,1>,<1,3>,<1,4>,<2,4>,<3,3>,<4,4>} R 2＝{<1,2>,<1,3>,<2,3>,<4,4>}R 3＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}求213113221,,~;,R R R R R R R R R ∙-⋃⋂3. 设集合},,,,{d c b a A =判定下列关系，哪些是自反的，对称的，反对称的，传递的？},,,,{},,,,,,{},,{},,,,,,{},,,,{54321><><=><><><=><=><><><=><><=d b c a R c c b b a a R d c R a d c b a a R a b a a R4. 设A ＝{1,2,3,4,5,6},定义A 上的二元关系R ＝{<1,1>,<1,4>,<2,2>,<2,3>,<2,6>,<3,2>,<3,3>,<3,6>, <4,1>,<4,4>,<5,5>,<6,2>,<6,3>,<6,6>} (1) 判定R 是否为等价关系？ (2) 若是等价关系，写出A 的关于R 的等价类. 5. 设A ＝{1,2,3,4,5},R 是A 上的二元关系R ＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,4>,<4,4>,<5,3>,<5,4>,<5,5>}(1) 试写出R 的关系矩阵和关系图； (2) 证明R 是A 上的偏序关系，并画出哈斯图； (3) 若B ⊆A ，且B ＝{2,3,4,5},求B 的最大元，最小元，极大元极小元最小上界和最大下界.6. 设R ，Z ，N 分别表示实数、整数和自然数集，定义函数f 1,f 2,f 3,f 4, 试确定它们的性质.)()5()1,()(,:3),3(mod )(,:)(,:2)(,:44321=+=⨯→=→=→=→+f n n n f N N N f x x x f N N f xx f N Z f x f R R f x的余数除四、练习题答案1. 1. (1) {<1,1>,<1,4>,<2,1>,<4,1>,<3,4>} (2) {1,2,3,4}, {1,4} (3) 7个是<1,1>,<1,4>,<2,1>,<2,4>,<3,1>,<4,1><4,4>(4) 1个是<1,1>2. 21R R ⋂={{<1,3>,<4,4>}}32R R ⋃={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>,<4,4>}1~R ={<1,2>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,4>,<4,1>,<4,2>,<4,3>} 注意：～R 1是相对于全关系E A 而言的. 31R R -＝{<1,3>,<1,4>,<2,4>}21R R ∙＝{<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,4>,<4,4>}3. R 1反对称的、传递的；R 2反对称的、传递的；R 3反自反的、反对称的、传递的；R 4传递的；R 5反自反的、反对称的、传递的.4. (1) 是等价关系；(2) 等价类分别为{2,3,6}, (1,4), {5}5.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1110001000011000001000001R M ,关系图如图4－7(2) 不难验证R 具有自反性；由关系图看出R 具有传递性；由反对称性的等价定义， 易知R 具有反对称性，故R 是偏序关系. 作<A ,R >的哈斯图(图4－8).(3) 当B ＝{2,3,4,5}时，B 的极大元为2，4；极小元为2，5；B 无最大元和最小元； B 无上界和下界. 6. f 1双射； f 2满射不单射；f 3不单射也不满射；f 4单射不满射；f 4(5)=(5,6) 一、重点内容1. 图的基本概念图是一个有序对<V ，E >，V 是结点集，E 是边集，当∣V ∣,∣E ∣有限时，<V ,E >称为有限图；否则称无限图.无向边, 与无序结点(v ,u )相关联的边；有向边，与有序结点<v ,u >相关联的边. 无向图，每条边都是无向边的图，记作G ＝<V ,E >; 每条边都是有向边的图，记作D ＝<V ,E >.混合图，既有有向边，也有无向边的图.平凡图，仅有一个结点的图；零图，边集为空集的图<V , ∅>，即仅有结点的图. 自回路(环)，关联于同一个结点的边.无向平行边，联结相同两个结点的多于1条的无向边；有向平行边，联结两个结点之间的多于1条且方向相同的有向边.简单图，不含平行边和自回路的图.在无向图G ＝<V ,E >中，与结点v (∈V )关联的边数，即为结点度数deg(v )或d (v ).；在有向图中，结点v 的出度和入度之和为度数.在有向图D ＝<V ,E >中，以v (∈V )为起点的边之条数为出度deg ＋(v )；以v (∈V )为终点的边之条数为入度deg －(v )..最大度数，∆(G )＝max{d (v )∣v ∈V }；最小度数，δ(G )=min{d (v )∣v ∈V }有n 个结点的且每对结点都有边相连无向简单图，无向完全图K n . 此时有)1(21-=n n E ；有n 个结点的且每对结点之间都有两条方向相反的边相关连的有向简单图为有向完全图，.此时有)1(-=n n E设G ＝<V ,E >, V ，E 的子集V ',E '构成的图G '=<V ',E '>是图G 的子图；若G '⊆G 且G '≠G ，(V '⊂V 或E '⊂E )，G '是G 的真子图.生成子图，设图G ＝<V ,E >, 若E '⊆E , 则图<.V ,E '>是<V ,E >的生成子图. 即结点与原图G 相同的子图，为生成子图.补图⎺G =<V,E '>，设G ＝<V ,E >, 以V 为结点集，以使G 成为完全图所添加的边为边集E '的图，就是图G 的补图G ',.，即<V ,E ⋃E '>是完全图, 其中E ⋂E '＝∅.图的同构，设G 1=<V 1,E 1>和G 2=<V 2,E 2>, 存在双射f ：V 1→V 2，∀(v i ,v j )∈E 1, 当且仅当 (f (v i ),f (v j ))∈E 2，且(v i ,v j )与 (f (v i ),f (v j ))的重数相同. 则G 1≌G 2.同构充分条件：建立两个图的对应关系，这个关系是双射函数.同构必要条件：①结点数相同；②边数相同；③度数相同的结点个数相同.握手定理 设G =<V ，E >，有∑∈=V v E v 2)deg(,在图D ＝<V ,E >中，∑∑∈+∈-=Vv Vv v v )(deg)(deg握手定理推论：奇数度结点的个数为偶数个. 度数序列.2 通路、回路、图的连通性通路与通路的长度，设图G ＝<V ，E >，V ＝{v 0,v 1,…,v n },E ={e 1,e 2,…,e m },结点与边的交替序列v 0e 1v 1e 2…v i －1e i v i ,为结点v 0到结点v i 的通路. v 0,v i 是通路的起点和终点. 通路中边的数目就是通路的长度.回路，起点和终点重合的通路.边不重复的通路(回路)称简单通路(回路)；结点不重复的通路(回路)，称初级通路(回路)；边有重复的通路(回路)，称复杂通路(回路).连通与连通图，无向图G 中，结点u ,v 存在通路，则u ,v 是连通的，G 中任意结点u ,v 都是连通的，G 是连通图.连通分支P (G )，设G ＝<V ,E >，V 的连通等价类V 1，V 2，…,V m ,子图G (V 1),G (V 2),…,G (V m )称为连通分支.点割集与割点，设无向图G ＝<V ，E >，存在结点集V '⊂V ，使得P (G －V ')>P (G )，而任意V "⊂V '，有P （G －V "）＝P (G )，V [FT1]'称为图G 的点割集. 若V '是单元集{v }，v 叫做割点. 边割集与割边，设无向图G ＝<V ，E >，存在边集E '⊂E ，使得P (G －V ')>P (G )，而任意E "⊂E '，有P （G －E "）＝P (G )，E [FT2]'称为图G 的边割集. 若E '是单元集{e }，e 叫做割边(桥).注意：点割集和边割集的两个条件.有向图的连通，有向图中，任意一对结点之间至少有一个结点可达另一结点是单侧连通；任何一对结点都相互可达是强连通；略去有向图D 边的方向成为无向连通图是弱连通.由定义可知：强连通−−→−必是单侧连通−−→−必是弱连通. 3. 图的矩阵表示(无向图)关联矩阵 设G =<V ,E >, mE n V ==,，关联矩阵M (G )=()m n ij m ⨯,其中m ij =v i 与e j 的关联次数(行为结点，列为边). 具有性质：①21=∑=mi ijm(列元素之和为2)；②)deg(1i mj ij v m =∑=,若1=∑=mj ijm,表明v i 是孤立点;③mmni mj ij211=∑∑==,即所有元素之和等于边数的2倍;④平行边的列的元素完全对应相同.(无向图)相邻矩阵 设G ＝<V ，E >, mE n V ==,，相邻矩阵A (G )=()nij a ，其中a ij=v i与v j相关联的边的条数(行、列均为结点).具有性质:① A (G )是对称矩阵；②)deg()(11i ni ij mj ij v aa==∑∑==；1=∑=mj ija若，表明v i 是孤立点;(有向图)关联矩阵 设D ＝<V ,E >,mE n V ==,，关联矩阵M (D )=()m n ijm ⨯，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=为始点，为终点不关联与为终点为始点j i j i j i ij v v v v v v m 1,1(结点为行，边为列). 具有性质：①1=∑=ni ijm(列元素之和为 0〕； ② )deg(1i mj ijv m=∑=;③mm mni mj ij ni mj ij=-=-==∑∑∑∑====1111)1()1((有向图)邻接矩阵 设D =<V ,E >, mE n V ==,，邻接矩阵A (D )=()nij a ,其中a ij=邻接v i与v j的边的条数 (与A (G )类似)( 以行和列均为结点)具有性质：man i mj ij=∑∑==11(有向图)可达矩阵 设D =<V ,E >，mE n V ==,，可达矩阵P (D )=()n ijp ，其中⎩⎨⎧=否则可达01j i ij v v pE D A D A D A E D B D P n n ∨∨∨∨=∨=--)(..)()()()(121二、实例例5.1 设G ＝(V ,E )是一个无向图，},,...,,{821v v v V = )},(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(87434551133221v v v v v v v v v v v v v v E =(1) G ＝<V ,E >的∣V ∣，∣E ∣各是多少？ (2) 画出G 的图解； (3) 指出与v 3邻接的结点，以及与v 3关联的边； (4) 指出与e 1关联的结点； (5) 该图是否有孤立结点和孤立边？ (6) 求出各结点的度数； 解(1) G =<V ,E >中，有∣V ∣=8个结点，∣E ∣=7条边的图，故又称是8阶图. (2) 所给图G 的一个图解，如图5－1. (3) 结点v 1, v 2, v 4与v 3邻接，v 3关联的边为e 1, e 2, e 3.(4)与边e 1关联的结点为v 2, v 3. (5) 结点v 6是孤立点；e 5是孤立边.(6) deg(v 1)=3，deg(v 2)=2，deg(v 3)=3， deg(v 4)=2＝deg(v 5)，deg(v 6)=0， deg(v 7)=1=deg(v 8).例5.2 设图G 是具有3个结点的完全图，试问 (1) G 有多少个子图？ (2) G 有多少个生成子图？(3) 如果没有任何两个子图是同构的，则G 的子图个数是多少？将它们构造出来.解 (1) 因为只有1个结点的子图有313=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛个(平凡子图)；2个结点的子图有6223=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛个； 3个结点的子图有82338=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛个；所以，G 共有3＋6＋8＝17个子图.(2) G 的生成子图，含有G 的所有结点，G 有3条边，构成子图时，每条边有选中或不选中两种可能，所以G 的生成子图的个数是23＝8个.(3) G 的所有不同构的子图有7个，如图5－2所示.例5.3 给定图G =<V ,E >,如图5－3，(1) (1)在G 中找出一条长度为7的通路； (2) 在G 中找出一条长度为4的简单通路;(3)在G 中找出一条长度为5的初级通路;(4) 在G 中找出一条长度为8的复杂通路; (5)在G 中找出一条长度为7的回路； (6) 在G 中找出一条长度为4的简单回路; (7) 在G 中找出一条长度为5的初级回路 解 所选通(回)路都不一定是唯一的.● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 G 7图5－2v 1● v 4● ● v 5v 8 ●v 3● ● ● ● v 2v 7 v 6图5－3(1) 长度为7的通路：v1 v4 v3 v7 v8 v6v5v2(2) 长度为4的简单通路：(v1, v4),( v4, v3),( v3,v7),( v7, v4) (边不重复的通路)(3) 长度为5的初级通路：v1 v5 v2 v6 v8 v4(结点不重复的通路)(4) 长度为8的复杂通路：(v1, v5),( v5, v8),( v8, v7),( v7, v6),( v6, v8),( v8, v5),( v5, v4),( v4, v3)(边有重复的通路)(5) 长度为7的回路：v1 v4 v3 v7 v8 v6v5v1(6)长度为4的简单回路：( v1, v4),( v4, v8),( v8,v5),( v5, v1)(边不重复的通路)(7)长度为5的初级回路：v1 v5 v6 v7 v4 v1(除起点和终点外，结点不重复的通路)例5.4设图5－4，V={a,b,c,d,e}G1＝<V,E1>,E1={(a,b）,(b,c),(c,d),(a,e)}; G2＝<V,E2>,E2={(a,b),(b,e),(e,b),(a,e),(d,e)};G3＝<V,E3>,E3={(a,b),(b,e),(e,d),(c,c)};G4＝<V,E4>,E4={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,d>,<d,a>,<d,e>};G5＝<V,E5>,E5={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,e>,<e,a>};G6＝<V,E6>,E6={<a,a>,<a,b>,<b,c>,<e,c>,<e,d>}.试问：(1) 哪些图是有向图？哪些图是无向图？(2) 哪些是简单图？(3) 哪些是强连通图？哪些是单侧连通图？哪些是弱连通图？解(1) G1, G2, G3是无向图；G4, G5, G6是有向图.(2) G1, G4, G5中既无平行边，也无自回路，是简单图.(3) G5是强连通图(必是单侧连通图和弱连通图)；G4是单侧连通图(为什么？)(也是弱连通图)；G6只是弱连通图.例5.5求例5.4中图(1)G2的关联矩阵，(2)图G3的相邻矩阵，(3)图G5的关联矩阵、(4)图G5邻接矩阵以及从b到c,d长度为3的通路条数，从b到b长度为2的回路的条数以及长度为3的通路共有多少条，长度不超过3的通路条数和回路的条数；(5)图G5的可达矩阵.解(1)已知图G2的结点集V2={a,b,c,d,e},边集E2={(a,b),(b,e),(e,b),(a,e),(d,e)}},,,,{54321eeeee∆=，n=5,m=5.G2是无向图，由关联矩阵的定义，()mnijmGM⨯=)(2，其中m ij=v i与e j关联的次数.于是有a●a●a●a●a●b●●e b●●e b●● e b●●e b●● e b ec●●d c●●d c●● d c●●d c●●d(G1) (G2) (G3) (G4) (G5) (G6)图5－4⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1100011100000000001111001)(254321e d c b a G M e e e e e(2) 因为G 3为V 3={a ,b ,c ,d ,e }, E 3={(a ,b ),(b ,e ),(e ,d ),(c ,c )}，是无向图，由相邻矩阵的定义，()nija G A =)(3，其中a ij =v i 与v j 关联的边的次数. n =5,故相邻矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0101010000002001000100010)(3e d c b a G A edc b a(3) 有向图G 5，V 5={a ,b ,c ,d ,e }, E 5={<a ,b >,<b ,a >,<b ,c >,<c ,d >,<d ,e >,<e ,a >}，由关联矩阵的定义()nij m G M =)(5，其中当v i 为e j 的始点时，m ij =1；当v i 为e j 的终点时，m ij =－1；当v I与e j 不关联时，m ij =0. 于是所求关联矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=100011000011000011000011100011)(5654321e d c b a G M e e e e e e(4) 图G 5的邻接矩阵为A (G 5)=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000110000010000010100010. A 2(G 5)=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001000001100000101000101，A 3(G 5)=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0010100010000011010101010从A 3(G 5)可知，从结点b 到结点c ,d 各有1条、0条长度为3的通路. 从b 到b 长度为2的回路有1条；长度为3的通路共∑∑==5151)3(i j ija=9条；长度不超过3的通路共有22条，其中回路是2条.(5) A 4(G 5)=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101000101000100101100101, B 4= A (G 5)+ A 2(G 5)+ A 3(G 5)+ A 4(G 5)=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0112210112110111222301222,有向图G 5的可达矩阵.只需将B 4中当b ij ≠0时改为1，当b ij =0时，不变，b ii 均改为1，将得到可达矩阵，于是G 5的可达矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111*********1111101111)(5e d c b a G P edc b a例5.6 单项选择题1．在图G ＝<V ,E >中，结点总度数与边数的关系是( )(A) deg(v i )=2∣E ∣ (B) deg(v i )=∣E ∣ (C)∑∈=V v Ev 2)deg( (D)∑∈=Vv Ev )deg(答案：(C)解答：见握手定理.2. 设G 是n 个结点的无向完全图，则图G 的边数为( )；设D 是n 个结点的有向完全图，则图D 的边数为( ) (A) n (n －1) (B) n (n +1) (C) n (n －1)/2 (D) n (n +1)/2答案：(C) （A ）解答：G 有n 个结点，任意两点有一条边，共有2)1(2-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n 条边. 故选择(C);有向图D 中，任意两点有两条方向相反的边，才能互通，因此n 个结点要有2×⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n)1(2)1(2-=-⨯=n n n n 条，故选择(A).3. 仅有一个结点的图称为( )，当然也是( ) (A) 零图 (B) 平凡图 (C) 补图 (D) 子图 答案：(B)， (A)解答：见定义，只有一个结点的图称为平凡图；有孤立结点组成的图称为零图.4. 设G ＝<V ,E >为无向简单图，∣V ∣=n ，∆(G )为G 的最大度数，则有 (A) ∆(G )<n (B)∆(G )≤n (C) ∆(G )>n (D) ∆(G )≥n答案：(A)解答：因为G 中无平行边和环，任何结点最多有n －1条边与其相关联，最大度数小于或等于n －1. 故选择(A) 5. 图G 与G '的结点和边分别存在一一对应关系，是G ≌G '(同构)的( ) (A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 答案：(B)解答：见图的同构定义.6. 设},,,{d c b a V =，则与V 能构成强连通图的边集合是( ) (A) (A) },,,,,,,,,{><><><><><=c d b c d b a b d a E (B) (B) },,,,,,,,,{><><><><><=c d d b c b a b d a E (C) (C) },,,,,,,,,{><><><><><=c d a d c b a b c a E (D) (D) },,,,,,,,,{><><><><><=d c d b d a c a b a E 答案：(A)解答：有向图G 任何一对结点间都互相可达，称该图是强连通的. (A)所给的边的集合存在一个通过所有结点的通路. 故选择(A). 7.有向图的邻接矩阵中，行元素之和是对应结点的( )，列元素之和是对应结点的( ) (A)度数 (B) 出度 (C)最大度数 (D) 入度答案：(B)，(D)解答：见邻接矩阵的定义.8、给定无向图如图5－5所示，下面给出的顶点 集子集中，不是点割集的是（ ） (A) {b ,d } (B) {d } (C) {e } (D) {f ,h }答案：(A)解答：易知d ,e 是割点，{f ,h }满足点割集的定义，而{b,d}含有割点，它不可能是点割集. 选择(A).例5.7 填空题1. 设图G ＝<V ，E >和G '＝<V ',E '>,若 ，则G '是G 的真子图，若 ，则G '是G 的生成子图.a ∙ f ∙b ∙ ∙ ∙ ∙gc ∙ ∙h 图5－5d e。