幂级数解法—本征值问题
幂函数的和函数的求解方法
幂函数的和函数的求解方法一、幂函数的求解方法幂函数是指形如y=x^n的函数，其中n为常数，x为自变量。
幂函数在数学中有着广泛的应用，如微积分、代数等领域。
下面将介绍几种常见的求解幂函数的方法。
1.1 求导法对于幂函数y=x^n，可以通过求导来求解其极值点和拐点。
首先对y 进行求导，得到y'=nx^(n-1)。
然后令y'=0，解得x=0或x=±(n/|n|)^(1/n)，其中|n|表示n的绝对值。
这些点即为幂函数的极值点和拐点。
1.2 积分法幂函数也可以通过积分来求解其面积和体积等问题。
例如，如果要求y=x^2在区间[0,1]上的面积，则可以使用定积分公式∫[0,1] x^2 dx = 1/3。
1.3 对数法当幂函数中出现指数e时，可以使用对数来简化计算。
例如，要计算y=e^x在x=2处的值，则可以使用自然对数ln来计算：y=e^x=e^(ln(e^x))=e^(xln(e))=e^2。
二、和函数的求解方法和函数是指形如y=f(x)+g(x)的函数，其中f(x)和g(x)分别为两个函数。
下面将介绍几种常见的求解和函数的方法。
2.1 分段法当f(x)和g(x)在不同的区间内有不同的表达式时，可以使用分段函数来表示y=f(x)+g(x)。
例如，当x<0时，y=2x；当x≥0时，y=x^2，则可以表示为y={2x (x<0); x^2 (x≥0)}。
2.2 相消法当f(x)和g(x)存在相反数时，可以使用相消法来化简计算。
例如，当f(x)=3x-5，g(x)=5-3x时，则有y=f(x)+g(x)=8-6x。
2.3 合并同类项法当f(x)和g(x)存在相同的项时，可以使用合并同类项法来化简计算。
例如，当f(x)=3x^2+4x+1，g(x)=5x^2-3x+7时，则有y=f(x)+g(x)=8x^2+x+8。
三、总结幂函数和和函数是数学中常见的函数类型，在各种问题中都有着广泛的应用。
幂级数运算
幂级数运算幂级数是一种非常重要的数学工具，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
幂级数的运算是幂级数理论的核心，下面我们来详细了解一下幂级数的运算。
我们需要了解什么是幂级数。
幂级数是指形如∑an(x-a)n的无穷级数，其中a和an是常数，x是变量。
幂级数的收敛半径R是一个非负实数，它表示幂级数在哪些点上收敛，而在哪些点上发散。
当x-a的绝对值小于R时，幂级数收敛；当x-a的绝对值大于R时，幂级数发散；当x-a的绝对值等于R时，幂级数可能收敛也可能发散。
接下来，我们来看看幂级数的加法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相加，即∑(an+bn)(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相加，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相加。
接下来，我们来看看幂级数的减法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相减，即∑(an-bn)(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相减，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相减。
接下来，我们来看看幂级数的乘法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
它们的乘积为∑cn(x-a)n，其中cn=∑an-kbk，k从0到n。
幂级数的乘法运算比较复杂，需要注意的是，幂级数的乘积的收敛半径不一定等于两个幂级数的收敛半径之积。
我们来看看幂级数的除法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相除，即∑an/bn(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相除，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相除。
需要注意的是，幂级数的除法运算只有在bn≠0时才有意义。
mathematical矩阵本征值解析
mathematical矩阵本征值解析矩阵的本征值解析是数学中的一个重要概念。
本征值指的是矩阵在某个向量上的作用后，结果与原向量仅相差一个常数倍数，这个常数倍数即为本征值。
解析本征值的过程可以帮助我们了解矩阵的性质和特征。
要求解析矩阵的本征值，我们需要解决以下的方程：(A-λI)x=0其中A是给定的n阶方阵，λ是本征值，I是单位矩阵，x是对应的本征向量。
这个方程被称为特征方程。
解决特征方程有多种方法，其中常用的是特征值分解法。
特征值分解法的基本思想是将矩阵A分解成PDP^(-1)的形式，其中P是由本征向量组成的矩阵，D是对角矩阵，对角线上的元素即为本征值。
通过求解方程(A-λI)x=0，我们可以得到特征向量，从而构建矩阵P。
然后，我们可以通过变换得到对角矩阵D，其中对角线上的元素即为特征值。
除了特征值分解法，还有其他方法可以用来解析矩阵的本征值，如幂法、QR方法和雅可比方法等。
每种方法都有其特点和适用范围。
选择合适的方法取决于矩阵的特性以及解析本征值的精度要求。
在实际应用中，解析矩阵的本征值对于很多问题都具有重要意义。
例如，在物理学中，本征值解析常常被用来分析量子力学问题，确定能量级别和粒子运动的稳定性。
在工程领域中，本征值解析可以帮助我们理解结构的固有振动模态，并优化设计。
在数据分析中，本征值解析可以用于主成分分析，帮助我们降维和提取重要特征。
总之，矩阵的本征值解析是一项重要的数学工具，在许多领域都有广泛的应用。
通过解析本征值，我们可以了解矩阵的性质，从而更好地理解和解决实际问题。
第十三章勒让德多项式 球函数
第十三章 勒让德多项式 球函数（13）一、内容摘要1．幂级数解法：就是在某个任意点0z 的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数。
不失一般性，我们讨论复变函数()w z 的线性二阶常微分方程的级数解：()()()()2200010, 'd w dw p z q z w dzdzw z C w z C ++===．如果函数()p z 和()q z 在点0z 的领域中解析，则称0z 为方程的常点，如果0z 是函数()p z 或()q z 的奇点，则称0z 为方程的奇点。
定理:如果函数()p z 和()q z 在点0z 的邻域0z z R -<中解析, 则常微分方程在圆0z z R -=内存在唯一的满足相应定解条件的解析解。
既然在常点的邻域内存在唯一的解析解，就可以把它在该邻域内表示为Taylor 级数形式：()()00kk k w z a z z ∞==-∑。
2．勒让德方程的级数解:（1）0m =时的连带Legendre 方程称为Legendre 方程()()2221210d ydy x xl l y dxdx--++=由幂级数解法可得()0kkk y x ax∞==∑的系数的递推公式：()()()()()()()()21112121k k k k k l l k l k l a a a k k k k ++-+-++==++++这样l 阶Legendre 方程的级数解是：()()()()()()()()00112031;11,2!12.3!y x a y x a y x l l y x x l l y x x x =+-+=++-+=++可以判断l 阶 Legendre 方程的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外发散且在1x =±处发散。
由递推公式易知，当0,1,2l = 时，()0y x 和()1y x 必定有一个成为l 次多项式。
这样我们就可以得到满足自然边界条件的幂级数解。
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
微分方程幂级数解法
P( x)与Q( x)可在− R < x < R内展为x 的幂级数,
那么在− R < x < R内原方程必有形如
的解.
∞
∑ y = an xn n=0
∞
作法 设解为 y = ∑ an x n , n=0
将 P( x),Q( x), f ( x) 展开为 x − x0 的幂级数，
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.
∑ ∞
∞
∑ (n + 2)(n + 1)an+2 x n− x ∑ nan x n−1−
∞
an xn
= 0,
n=0
n=0
n=0
∞
∑[(n + 2)(n + 1)an+2 − (n + 1)an ]x n ≡ 0,
n=0
an+2
=
an , n+2
n = 0,1,2,L
a2
=
a0 2
,
a3
=
a1 3
,
1、 y′ − xy − x = 1； 2、 xy′′ − ( x + m) y′ + my = 0.( m 为自然数 )
二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:
1、 y′
=
y2
+
x3
,
y x=0
=
1； 2
2、d 2 x dt 2
+
x cos t
=
0
,
x t=0
=
a
,
dx dt
t=0
=
0.
练习题答案
= =
3 2
y y
线性代数中的本征值问题
线性代数中的本征值问题是一类重要的数学问题，涉及到矩阵、向量、特征值等概念，是线性代数理论的核心之一。
本文将从基本概念入手，探讨本征值问题的一般性质、求解方法及应用等方面。
一、基本概念矩阵是线性代数中的重要概念，是一个按照一定排列方式排列的数表，常用大写字母表示。
对于一个矩阵A，若存在一个非零向量x满足下式：Ax = λx其中λ为常数，则称常数λ为矩阵A的一个特征值，称向量x 为矩阵A关于特征值λ的一个特征向量。
二、一般性质本征值问题是线性代数中重要的问题之一，有以下一般性质：1.特征值与特征向量是成对出现的，每个特征值对应一个或多个线性无关的特征向量。
2.矩阵的特征值和其转置矩阵的特征值是相同的。
3.若矩阵是实对称矩阵，则其特征值一定是实数。
4.若矩阵是正定矩阵，则其特征值一定是正数。
三、求解方法求解本征值问题的方法有很多，以下主要介绍两种：1.特征值分解法对于一个n阶矩阵A，若它有n个线性无关的特征向量，则可以通过它们组成的特征向量矩阵P和对角矩阵Λ，将矩阵A分解为以下形式：A = PΛP^-1其中Λ为以矩阵A的特征值为对角线元素的对角矩阵，即：Λ = [λ1 0 0 … 0][0 λ2 0 … 0][0 0 λ3 … 0]...[0 0 0 … λn]该方法的优点是求解简单，但必须存在n个线性无关的特征向量。
2.幂法幂法是一种迭代法，用于求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
其主要思想是：先任选一个初始向量x0，将其乘以矩阵A，并将结果归一化（即除以模），得到一个新的向量x1。
反复迭代，直到结果的变化趋于趋于稳定。
迭代公式如下：xi+1 = Axi / ||Axi||其中||·||表示向量的模。
该方法的优点是对于大型稀疏矩阵求解较为方便。
四、应用本征值问题具有广泛的应用，涵盖了各个领域，以下列举几个具体的应用：1.物理学中的量子力学，关于能量和动量的本征值问题。
2.工程学中的结构动力学，关于结构振动的本征值问题。
第九章第四节 施图姆刘维尔本征值问题
b a
ym
xyn
x x dx
N m2 mn......9.4.18
其中
mn
1,n m 0,n m......9.4.19
是克罗内克符号。对于正交归一化的本征函数族，
(9.4.18)简化为
b
a
ym
xyn
x
xdx
mn
......
9.4.20
(四) 复数的本征函数族
对于本征值问题
0,
自然周期条件
或满足自然边界条件 kb 0
都有 kyn ym kym yn xb 0
2、如果在端点 x b满足第三类齐次边界条件
ym hym xb 0, yn hyn xb 0
则， kyn ym
kym yn xb
1 h
k
yn
y
m
hym
kym yn hyn xb 0
总之右边第一项为零。同理在端点x=a若满足上面的边
0a
x
b9.4.1
d
d
dy
d
m2
y y
0,
P230式(9.1.22)
y0有限，y0
0.......9.4.5
贝塞尔方程本征 值问题
⑤ a ,b ;kx ex2 , qx 0, x ex2.
代入施图姆-刘维尔方程
d dx
k x
dy dx
qxy
xy
0a
x
b9.4.1
d dx
e
如果在端点 x a 满足第三类齐次边界条件
则，
yn hyn xa 0
kyn yn xa k yn hyn yn hkyn 2 xa h kyn 2 xa 0
幂级数和函数的几种常见解法
ｎ＝Ｏ
．
由例ｌ可知，薹等＝一ｌｎ（１一 ），接着把 ＝孚代入可 ＝ （１＋２ｚ ）
得 原 幂级 数 的和 函数 （ｚ）… ｌｎＯ ＿ｚ－＿５）
。
ｊ
例５：求幂级数∑（２ｎ＋３）ｚ 的和函数 （ｚ）。
解题 思 路 ：先利 用幂 级数 的 四则运算 法 则 ．如加 减法 ：
参 考 文献 ：
２０１８年第 ２期 （总第 １３４期 ）
８７
幂级 数 和 函数 的几种 常见解 法
解 ：
以上例 题 的解 法求 出和 函数 。
解 ：
ｚ）＝薹 甩∑＝Ｏ ｎ（ｎ＋１）ｚ ＝ｚ ｎ∑＝Ｏ 肿 ） ＝ｚ Ｉｎ∑＝Ｏ ｚ斛 Ｊｌ＝ｚ （ ＿＝） ＝ 砑Ｉ—２ｚ ∑（２ｎ＋３）ｚ ＝２∑（ 十１）ｚ ＋∑ｚ ＝２∑（ｚ ） ＋
解 ．· ．
喜 ｃｏ ｃ ｎ ＝圭
＝＝＞ （ ＝ 专 —ｌＩｌ（１ Ｉ 一ｌｎ（１
∑ ｚ一 ＝ｃｏ＋ｃ１（ｚ一口）＋…＋ （ｚ—ａ） ＋…
为幂级数。从定义可以看 出，幂级数 的和是关于 ｚ的函数 ， 表示为 （ｚ），若 Ｚ落在幂级数收敛域 Ｄ 内，则称 （ｚ）为该幂
· ． ．
（ｚ）＝ （０）＋
［１］王传荣，朱玉灿 ，徐荣聪．大学数学 （三 ）［Ｍ］．北京 ：科学 出版社 ，２００７
２４—５２
∑（ ± ）（ｚ一口） ＝∑ （ｚ ａ）ｎ± （ｚ—ｎ） ，然 后再 利用
ｎ＝Ｏ
ｎ＝Ｏ
ｎ＝Ｏ
（上 接 第 ７５页 ） 参 考文 献 ：
［１］杨 东 占．重构 知识 产 保 护制 度 破 解 科技 成果 转化 难题 —— 从 新修 改 的 《中华人民共和国促进科技成果转化法 》谈起【Ｊ】．中国高校科技，２０１ ５（１ １）
理工类专业课复习资料-数学物理方法总结(改)
数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y ∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法由上式可知dv=2ydx+2xdy贝易得dv=d(2xy)则显然v=2xy+C不定积分法上面已有—=2y;丝=2xdx dy则第一式对y积分,x视为参数，有v=J2xy+(p(x)=2xy+(p(x)......................dv...上式对x求导有一=2y+^\x),而由C-R条件可知(p\x)=0,dx从而(p(x)=C.故v=2xy+C.f(z)=x2-y2+i(2x y+C)=z2+iC第二章复变函数的积分单连通区域柯西定理如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任意一分段光滑闭合闭合曲线1(也可以是B的边界)，有血/⑵也=0.复连通区域柯西定理如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数，则山任)也+£由/(z)也=0.式中1为区域外边界线，诸l为区域内边界线，积分均沿边界线的正方向进行.即血力＞)也=力血/(z)d z.柯西公式f(a)=t^-也""dz2m z-an次求导后的柯西公式f(〃)(z)=£山声舄化2mi中(。
在正交曲线坐标系中对泛定方程分离变量会出现
y ''+ p ( x ) y '+ q ( x ) y = 0
通常这些方程还要满足相应的定解条件的要求， 这可以归结为求解以下定解问题：
线性二阶常微分方程
y ''+ p ( x ) y '+ q ( x ) y = 0 y ( x 0 ) = C 0 , y ' ( x 0 ) = C1
1
几点说明
1. 2. 这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但 可用幂级数解法解出． 所谓幂级数解法，就是在某个任意点 z0 的邻域上，把待求 的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数． 3. 幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借 助于解析函数的理论进行讨论． 4. 5. 求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题. 尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程问 题的求解中．
取m 方程：
我们已经讨论了 Legendre 方程在常点 x = 0 附近 的级数解。方程的有两个无穷级数形式的特解， 但是自然边界条件要求未知函数在 x
d Θ dΘ (1 − x ) dx 2 − 2 x dx + l (l + 1) = 0
2 2
= ±1 处有
界，从而要求 l 只能取非负整数；相应地，方程的 解也退化为 Legendre 多项式。从而球函数也退化 为一个 l 阶 Legendre 多项式。
∞ 1 1 l = = ∑ Al r Pl ( cos θ ) 2 d l =0 1 − 2r cos θ + r 再取 θ = 0 , 可得: ∞ ∞ 1 l l = ∑ Al r Pl (1) = ∑ Al r 1 − r l =0 l =0 因为 r < 1 , 上式左边可以在 r = 0 附近展开成唯一的 泰勒级数，从而 Al 就是相应的展开系数，因此有：
幂级数解方程(偏微分方程)
1 l (l 1)(1 ) 1 1 k 1 2 k k 4 2 l (l 1) 2 k k
…………….
a2 k (2k 2 l )(2k 4 l )(2 l )( l )(l 1)(l 3)(l 2k 1) a0 (2k )!
(1 l )(l 2) a3 a1 3!
(3 l )(l 4) (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) a5 a3 a1 5 4 5!
代入勒让德方程，可得：
(1 x ) k (k 1)ak x
2 k 2
k 2
2 x kak x
k 1
k 1
l (l 1) ak x 0
k k 0
合并整理后可得：
k (k 1)ak x k k (k 1)ak x k 2 2kak x k
为 m 贝塞尔方程，不可直接求解
(2) 若 μ<0 ，作变换
2 2
k 2 , x k
d R dR x x x 2 m2 R 0 2 dx dx
为虚宗量贝塞尔方程，不可直接求解
…………………………..
用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波 动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让 德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程
等特殊函数方程。用其他坐标系对其他数学物理偏
微分方程进行分离变量，还会出现各种各样的特殊 函数方程，它们大多是二阶线性常微分方程。这向 我们提出求解带初始条件的线性二阶常微分方程定 解问题。 不失一般性，我们讨论复变函数ω(z)的
幂函数及三类不等式的解法(绝对值、高次、无理)-高考复习课件
2 + 1 ≠ 0,
4.不等式(x-1)(x-2)(x-3)<0的解集为
.
答案 (-∞,1)∪(2,3)
解析 方程(x-1)(x-2)(x-3)=0的三个根分别为1,2,3,标根穿线如图所示.故解
集为(-∞,1)∪(2,3).
关键能力 学案突破
考点1
幂函数的概念
α
【例 1】 (1)已知幂函数 f(x)=k·x 的图像经过点
() ≥ 0,
(3) ()<g(x)⇔ () ≥ 0,
() < 2 ().
5.一元高次不等式的解法(标根穿线法)
(1)化x的最高次系数为正;
(2)在数轴上标出方程的根;
(3)从数轴上方穿针,奇穿偶回;
(4)写出解集.
常用结论
1.幂函数y=xα的图像在第一象限的两个重要结论
(1)恒过点(1,1);
综上,不等式的解集为(-3,2).
(3)由|2x-1|-|x-2|<0,得|2x-1|<|x-2|,∴(2x-1)2<(x-2)2,
∴3x2<3,解得-1<x<1.
∴不等式的解集为(-1,1).
解题心得1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点,选择更简便的方法.
2.零点分段法的好处在于,一段范围可将所有的绝对值一次性去掉,缺点在
0<α<1,下凸时α>1;最后由x>1时,在第一象限内α的值按逆时针方向依次增
大得出结论.
对点训练2(1)下面给出4个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应的是
(
)
1
3
1
2
A.①y= ;②y=x2;③y= ;④y=x-1
1
数学物理方法_第3章 二阶线性常微分方程的幂级数解法本征值问题
y ( x) 2 1a2 3 2a3 x (k 2)( k 1)ak 2 x k
把以上结果代入方程，比较系 数得 2 2
2 1a2 a0 0, 3 2a3 a1 0, 4 3a4 2 a2 0, 5 4a5 2 a3 0,
(2k 1)!
a1.
于是方程的级数解为
1 1 1 y( x) a0 1 ( x)2 ( x) 4 (1) k ( x) 2 k 4! (2k )! 2! 2 k 1 a1 1 1 3 5 k ( x) x ( x) ( x) (1) 3! 5! (2k 1)! a a0 cos x 1 sin x.
n 1
n 1
cn1 (n 1)( x x0 )n ,
n 0
可将式（3.1.4）写成
c
n 0 n n
n ( n 2)( n 1)( x x ) [ ( k 1) a c ]( x x ) n2 0 n k k 1 0 n n 0 k 0
y( x) an x n
n 0
(3.3.2)
于是
y( x) nan x
n 1 n 1
(k 1)ak 1 x k ,
k 0
y( x) n(n 1)an x
n2
2 k 0
n2
(k 2)(k 1)ak 2 x k ,
(1 l )(l 2) 3 (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) 5 y1 ( x) x x x 3! 5! (2k 1 l )(2k 3 l ) (1 l )(l 2)(l 4) (l 2k ) 2k 1 x (2k 1)!
幂级数的应用
降低感染率手段 引流的时间：1周内,最长≤2周。 引流管引出口：不能在原切口处直接引出,因在头皮下潜行约1～2cm后在原切口旁引出,防止细菌逆行感染。 引流瓶放置高度：适当,避免脑脊液倒流回脑内增加感染可能。 引流管冲洗：适时可用庆大霉素稀释液冲洗引流管, 不冲洗脑内段。操作要得当。 拔管时关闭引流管阀门,拔除后及时缝合拔管处头皮。
降低感染率手段 为减少切口脑脊液漏。术中应尽可能修补硬脑膜,关闭死腔,术中尽可能减少头皮止血。 为减少耳漏和鼻漏。术中发现打开额窦和乳突后立即用消毒液浸泡的棉球消毒窦璧黏膜并向内推开黏膜层,随后用骨蜡完全封闭窦口或乳突气房,更换与窦璧接触的手术器械。
是否污染手术？手术时间>4h？应用手术显微镜？二次手术？ 是则明显增加颅内感染率。
是否为后颅窝手术？ 手术体位复杂。 开颅时间长。 手术显微镜辅助。 术区蛛网膜易粘连,后颅窝手术一般不缝合硬脑膜。 肌肉和头皮间缝合不严,易形成储液囊腔,致脑脊液循环障碍,为细菌繁殖提供机会。 可能打开乳突气房。 故而术后颅内感染几率显著较高。
降低感染率手段 后颅窝关颅时肌层和头皮要求严格缝合,肌层紧贴硬膜,引流管保持通畅。 当切口脑脊液漏时,应在无菌条件下严密缝合。
降低感染率手段 开放性颅脑损伤需早期彻底清除坏死脑组织,清除脑组织内的碎骨片和异物,关闭硬脑膜和头皮伤口,将开放性的污染伤口变为清洁的闭合伤。 术中受污染部位的手术区域需彻底消毒;接触污染区域后的手术器械与清洁区域的器械需分开。关颅前常规用大量生理盐水冲洗。 尽量缩短手术时间。 严格按照规范使用显微镜。 二次手术打开硬脑膜前可用稀释的聚维酮碘冲洗术野。
是否存在脑脊液漏？ 可分为切口的脑脊液漏和脑脊液鼻漏、耳漏。
颅脑损伤常见的并发症, 据文献报道, 其发病率在2 %～9 % , 需手术治疗者占2.4 %。 颅脑损伤后, 颅底骨折伴有硬脑膜及蛛网膜同时破裂,脑脊液通过损伤的鼻窦或岩骨经鼻或耳流出, 即形成脑脊液鼻漏及耳漏。 漏的时间越长, 感染机会越大。
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结
常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。
中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。
这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。
而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。
同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。
到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。
中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。
而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。
它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。
幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。
但很多人往往对这一内容感到困难。
产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。
事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。
一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称12()()(),n u x u x u x x E ++++∈!为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞=∑ 。
2、具有下列形式的函数项级数200102000()()()()n nn n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑称为在点0x 处的幂级数。
幂函数不等式解法
幂函数不等式解法幂函数是指形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b为常数，x为变量。
幂函数在数学中具有重要的应用和研究价值，而解决幂函数的不等式问题则是其中的一个重要内容。
本文将以幂函数不等式解法为主题，介绍幂函数不等式的基本概念和解题方法。
一、幂函数不等式的基本概念在解决幂函数不等式问题之前，我们首先需要了解幂函数不等式的基本概念。
幂函数不等式即是指幂函数的不等式表达式，其中包含了幂函数的变量x的取值范围。
解决幂函数不等式的关键是找到x 的取值范围，使得不等式成立。
二、幂函数不等式的解题方法解决幂函数不等式问题的基本方法是将不等式转化为相等关系，然后通过求解相等关系得到变量x的取值范围。
下面将介绍三种常见的幂函数不等式解题方法。
1. 利用幂函数的单调性幂函数的单调性是指在定义域上，随着自变量的增大，函数值是递增还是递减的趋势。
对于幂函数f(x) = ax^b，当b>0时，如果a>0，则f(x)在定义域上是递增的；如果a<0，则f(x)在定义域上是递减的。
根据幂函数的单调性，我们可以通过判断幂函数的系数a 和指数b的正负关系，确定不等式的解集。
2. 利用幂函数的奇偶性幂函数的奇偶性是指在定义域上，函数的对称性质。
对于幂函数f(x) = ax^b，当b为偶数时，f(x)关于y轴对称；当b为奇数时，f(x)关于原点对称。
根据幂函数的奇偶性，我们可以通过判断幂函数的指数b的奇偶性，确定不等式的解集。
3. 利用幂函数的图像特点幂函数的图像特点是指幂函数的图像在坐标平面上的形状和走势。
根据幂函数的图像特点，我们可以通过观察幂函数的图像，确定不等式的解集。
三、幂函数不等式解题实例为了更好地理解幂函数不等式的解题方法，我们将通过实例来演示具体的解题步骤。
例1：解不等式f(x) = 2^x - 3 > 0解法：首先将不等式转化为相等关系，即2^x - 3 = 0。
然后求出相等关系的解集，即2^x = 3，解得x = log2(3)。
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(1 x2 ) d2 2x d l(l 1) 0
dx2
dx
为 l 阶勒让德方程，不可直接求解
2. 柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量
1
u
1
2
2u
2
2u z 2
0
u(,, z) R()()Z(z)
0
Z Z 0
d2R
d 2
1
dR
d
(
m2
2
)R
0
可直接求解 可直接求解 μ =0可直接求解
代入勒让德方程，可得：
(1 x2 ) k(k 1)ak xk2 2x kak xk1
k 2
k 1
l(l 1) ak xk 0 k 0
合并整理后可得：
k(k 1)ak xk k(k 1)ak xk2 2kak xk
k 2
k 2
k 1
l(l 1)ak xk 0 k 0
ak 2
(k l)(l k 1) (k 2)(k 1)
ak
(k 0,1, 2,L )
一般情况下，我们均取l是非负整数，且在一般 解y(x)中取常数a0=0(a1≠0)或a1=0(a0≠0)，使y(x)成为 一个只含偶次幂或奇次幂的l次多项式，作为特解， 称作l阶勒让德多项式，记Pl(x)。
二、方程的常点和奇点概念
定义 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)都 在点z0及其邻域内解析，则称点z0为方程(11.1.1)的 常点。
定义 11.1.2 只要系数p(z)和q(z)之一在点z0不解 析，则称点z0为方程(11.1.1)的奇点。
定义 11.1.3 若(z-z0)p(z)及(z-z0)2q(z)都在点z0解 析，则称点z0为方程(11.1.1)的正则奇点，否则称 为方程的非正则奇点。
(z) ak (z z0 )k a00(z) a11(z)
k 0
(11.1.2)
其中a0和a1为任意常数， ω0(z)和ω1(z)为在点z0解 析的两个线性独立的函数。
三、常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解）
在x0=0的邻域求解 l 阶勒让德方程：
(1 x2 ) d2 y 2x dy l(l 1) y 0
dx2
dx
d2 y 2x dy l(l 1) y 0 dx2 (1 x2 ) dx (1 x2 )
方程的系数：
p(x) 2x (1 x2 )
q(x) l(l 1) (1 x2 )
在 x0=0 ， 方 程 的 系 数 p(x0)=0 ， q(x0)=l(l+1) 单 值 且 为 有限值，因此它们必然在x0=0处解析，故x0=0为方 程的常点，根据常点邻域上解的定理11.1.2，解具有 泰勒级数形式：
如果级数解 pl(x) 和 ql(x) 退化为有限项，即多 项式，则它们在x=±1处取有限数值，那么发散问
题就根本不存在了。
考察 pl(x)：
pl
(x)
a0
1
(l)(l 2!
1)
x2
(2
l)(l)(l 1)(l 4!
3)
x4
L
(2k 2 l)(2k 4 l)L (2 l)(l)(l 1)(l 3)L (l 2k 1) x2k (2k )!
系数递推：
a2
(l)(l 1) 2!
a0
a4
(2
l)(l 43
3)
a2
(2
l)(l)(l 1)(l 4!
3)
a0
…………….
a2k
(2k
2 l)(2k
4 l)L
(2 l)(l)(l 1)(l (2k )!
3)L
(l
2k
1) a0
a3
(1
l)(l 3!
2)
a1
a5
(3
l)(l 54
6a3 l(l 1) 2a1 0
(k
2)(k
1)ak2
l(l
1)
k2
k ak
0
(k 2,3, 4,L )
解得系数间的递推关系：
ak 2
(k l)(l k 1) (k 2)(k 1)
ak
(k 0,1, 2,L )
因此，若知道级数系数a0、a1，则可由上述递推公 式计算出任一系数ak(k=2,3,…)。
第十一章 幂级数解法—本征值问题
11.1二阶常微分方程的幂级数解法
11.1.1幂级数解法理论概述
一、分离变量法求解偏微分方程： 1. 球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量
1 r2
r
2
r
u r
r
2
1
sin
s in
u
1
r 2 sin 2
2u
2
0
u(r, ,) R(r)Y ( ,)
Y ( ,) ( )()
定理 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)为
点z0的邻域 |z-z0|<R 中的解析函数，则方程在这个 圆中存在唯一的解析解ω(z)满足初始条件ω(z0)=C0 和ωʹ(z0)=C1 。
定理 11.1.2 若z0为方程(11.1.1)的常点，则在z0 点的邻域内，方程(11.1.1)的通解形式为
（1） 任选某个点z0，在其邻域上把待求的解 表为系数待定的幂级数；
（2） 将这个幂级数形式解代入方程和定解 条件，求出所有待定幂级数系数。
说明：
(1) 级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无 特殊的要求；
(2) 既然是级数，就存在是否收敛和收敛范围的问 题；
(3) 级数解法的计算较为繁琐，要求耐心和细心。
d 2( z )
dz 2
p(z)
d( z)
dz
q( z )( z )
0
(11.1.1)
(z0 ) C0 (z0 ) C1
这里 z 是复变量，p(z) 和 q(z) 是已知的复变函数， 称为方程的系数， ω(z)是待求的未知函数，z0为选 定的点，C0和C1为复常数。
这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的 解法解出，但可用幂级数解法解出。幂级数解法 求解二阶常微分方程的具体过程为：
uk ak
(2k 2)!
(2k 2)(2k 1)
uk1 ak2 (2k )!(2k l)(l 2k 1) (2k l)(l 2k 1)
1
1 k
1 k2
l(l
4
1)(1 1 ) k
2 k
l(l 1) k2
有界
根据高斯判别法，λ=1，级数pl(x)发散。
对于ql(x)：
可以看出 l 次勒让德多项式Pl(x)的系数繁琐， 为了使其有比较简单的形式，且使它在x=1处的值
恒为1(归一化)，选最高次幂的系数为：
al
(2l)! 2l (l!)2
勒让德多项式Pl(x)的系数递推关系改写为：
ak
(
(k 2)(k k l)(l
1) k 1)
ak
2
k
l
2,l
4,L
,
考察ql(x)，如果l是某个奇数，l=2n+1(n是非负 整数)，则 ql(x)只到x2n+1项为止，从x2n+3项起，系数 都含有因子(2n+1-l)从而都为0。这样ql(x) 是2n+1次 多项式，并且只含奇次幂。此时pl(x)因其系数不含 (2n+1-l)，仍是无穷级数，且在x=±1处发散。
其实，考察级数解的系数递推公式便知，只要l 是整数，如l=n(正负均可)，k从某个数k=n(n为正)或 k=-n-1(n为负)起，级数解的偶数或奇数系数全为0 ：ak+2=0、 ak+4=0……，级数的偶数或奇数部分变 成多项式。
4)
a3
(3
l)(1
l)(l 5!
2)(l
4)
a1
…………….
a2k 1
(2k
1 l)(2k
3 l)L (1 l)(l (2k 1)!
2)(l
4)L
(l 2k) a1
勒让德方程的解为：
y(x)
a0
1
(l)(l 2!
(l
3)
x4
L
(2k
2 l)(2k
k 0
k 2
因此合并x的同幂次项后有：
2a2 l(l 1)a0 6a3 2a1 l(l 1)a1 x
k(k 1)ak (k 2)(k 1)ak2 2kak l(l 1)ak xk 0
k 2
要使上述方程对任意的x都成立(=0)，则要求x各幂
次前的系数必须为0，即：
2a2 l(l 1)a0 0
(2k
l)(2k
2 l)L
(2 l)(l)(l (2k 2)!
1)(l
3)L
(l
2k
1)
x2k2
L
如果l是某个偶数，l=2n(n是正整数)，则 pl(x)只到 x2n项为止，从x2n+2项起（上式彩色项），系数都含 有因子(2n-l)从而都为0。这样pl(x)不再是无穷级数 ，而是2n次多项式，并且只含偶次幂。至于pl(x)因 其系数不含(2n-l)，仍是无穷级数，且在x=±1处发 散。
高斯判别法：
对于正项级数 uk ， 当 k 1 lim uk 1 u k k 1
时，若前后邻项之比可表示为：
uk uk 1
1
k
B(k) k2
其中B(k)是当k→∞时为k的有界函数，则当λ>1时级 数收敛，当λ≤ 1时级数发散。
对于足够大的k， pl(x)和ql(x) 均为正项级数。
对于pl(x)：
r2 d2R 2r dR l(l 1)R 0
dr 2
dr