高中数列知识点、常用方法及典型题型总结

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高三数列知识点与题型总结文科

数列考点总结第一部分求数列的通项公式一、数列的相关概念与表示方法见辅导书二、求数列的通项公式四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式;等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法;求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列;求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法; 一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一;若1()n n a a f n +-=(2)n ≥,则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式; 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式;练习1.已知数列{}n a 的首项为1,且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n练习2.已知数列}{n a 满足31=a ,)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式.答案：裂项求和n a n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+,其中fn 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项na .①若fn 是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若fn 是关于n 的二次函数,累加后可分组求和;③若fn 是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若fn 是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和;例3.已知数列}{n a 中,0>n a 且)(21n n n a n a S +=,求数列}{n a 的通项公式.练习3已知数列{}n a 满足112,12nn n a a a a +==+,求数列{}n a 的通项公式;二、累乘法 1、适用于：1()n na f n a +=累乘法是最基本的二个方法之二;若1()n n a f n a +=,则31212(1)(2)()n na aa f f f n a a a +===，，，两边分别相乘得,1111()nn k a a f k a +==⋅∏例4已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，,求数列{}n a 的通项公式;例5.设{}n a 是首项为1的正项数列,且()011221=+-+++n n n n a a na a n n=1,2,3,…,则它的通项公式是n a =________. 三、待定系数法适用于1()n n a qa f n +=+基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数; 1．形如(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1型1若c=1时,数列{n a }为等差数列; 2若d=0时,数列{na }为等比数列;3若01≠≠且d c 时,数列{na }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=c cd λ所以有：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n 因此数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c da 为首项,以c 为公比的等比数列,所以11)1(1-⋅-+=-+n n c c d a c d a 即：1)1(11--⋅-+=-c d c c d a a n n . 规律：将递推关系dca a n n +=+1化为)1(11-+=-++c da c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数列}1{-+c d a n 从而求得通项公式)1(1111-++-=-+c da c c d a n n逐项相减法阶差法：有时我们从递推关系dca a n n +=+1中把n 换成n-1有dca a n n +=-1,两式相减有)(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列}{1n n a a -+,进而求得通项公式.)(121a a c a a n n n -=-+,再利用类型1即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6、已知数列{}n a 中,111,21(2)n n a a a n -==+≥,求数列{}n a的通项公式;2．形如：nn n q a p a +⋅=+1其中q 是常数,且n ≠0,1①若p=1时,即：nn n q a a +=+1,累加即可.②若1≠p 时,即：n n n q a p a +⋅=+1,求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以1+n p .目的是把所求数列构造成等差数列即：nnn n n qp p q a p a )(111⋅+=++,令n n n p a b =,则n n n q p p b b )(11⋅=-+,然后类型1,累加求通项.ii.两边同除以1+n q .目的是把所求数列构造成等差数列;即：qq a q p q a n n n n 111+⋅=++,令n nn q a b =,则可化为q b q p b n n 11+⋅=+.然后转化为类型5来解,iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设)(11n n n n p a p q a ⋅+=⋅+++λλ.通过比较系数,求出λ,转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时,要求p ≠q,否则待定系数法会失效; 例7、已知数列{}n a 满足1112431n n n a a a -+=+⋅=，,求数列{}n a的通项公式;练习3.2009陕西卷文已知数列{}n a 满足,*11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝.()I 令1n n n b a a +=-,证明：{}n b 是等比数列；Ⅱ求{}n a 的通项公式;答案：1{}n b 是以1为首项,12-为公比的等比数列;21*521()()332n n a n N -=--∈;总结：四种基本数列 1．形如)(1n f a a n n =-+型等差数列的广义形式,见累加法;2.形如)(1n f a a n n =+型等比数列的广义形式,见累乘法;3.形如)(1n f a a n n =++型1若da a n n =++1d 为常数,则数列{na }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;2若fn 为n 的函数非常数时,可通过构造转化为)(1n f a a n n =-+型,通过累加来求出通项;或用逐差法两式相减得)1()(11--=--+n f n f a a n n ,,分奇偶项来分求通项.4.形如)(1n f a a n n =⋅+型1若pa a n n =⋅+1p 为常数,则数列{na }为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;2若fn 为n 的函数非常数时,可通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a a n n ,两式相除后,分奇偶项来分求通项. 例8.数列{na }满足01=a ,na a n n 21=++,求数列{an}的通项公式.例9.已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列的通项公式.第二部分数列求和一、公式法1．如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式,注意等比数列公比q 的取值情况要分q ＝1或q ≠1.2．一些常见数列的前n 项和公式： 11＋2＋3＋4＋…＋n ＝； 21＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2；32＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.二、非等差、等比数列求和的常用方法1．倒序相加法如果一个数列{a n},首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,等差数列的前n项和即是用此法推导的．2．分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和而后相加减．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,等比数列的前n项和就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和．小题能否全取1．2012·沈阳六校联考设数列{－1n}的前n项和为S n,则对任意正整数n,S n＝2．等差数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1,其前n项的和为S n,则数列的前10项的和为A．120 B．70C．75 D．1003．数列a1＋2,…,a k＋2k,…,a10＋20共有十项,且其和为240,则a1＋…＋a k＋…＋a10的值为A．31 B．120C．130 D．1854．若数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋2n－1,则数列{a n}的前n项和为________．5．数列,,,…,,…的前n项和为________．例1等比数列{a n}中,a123,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.1求数列{a n}2若数列{b n}满足：b n＝a n＋－1n ln a n,求数列{b n}的前2n项和S2n...例2 已知数列{a n}n2a6＝8a3.1求a n；2求数列{na n}的前n项和T n.2．已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n＝3n＋k.1求k的值及数列{a n}的通项公式；2若数列{b n}满足＝4＋ka n b n,求数列{b n}的前n项和T n.T n＝.例3 已知数列{a n}n1n n1求数列{a n}的通项公式；2设b n＝,求数列{b n}的前n项和T n.3．在等比数列{a n}中,a1>0,n∈N,且a3－a2＝8,又a1、a5的等比中项为16.1求数列{a n}的通项公式；2设b n＝log4a n,数列{b n}的前n项和为S n,是否存在正整数k,使得＋＋＋…＋<k对任意n∈N恒成立．若存在,求出正整数k的最小值；不存在,请说明理由．课后练习题1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－6n,则{|a n|}的前n项和T n＝A．6n－n2B．n2－6n＋182．若数列{a n}满足a1＝2且a n＋a n－1＝2n＋2n－1,S n为数列{a n}的前n项和,则log2S2012＋2＝________.3．已知递增的等比数列{a n}满足：a2＋a3＋a4＝28,且a3＋2是a2,a4的等差中项．1求数列{a n}的通项公式；2若b n＝a n log a n,S n＝b1＋b2＋…＋b n,求S n.4．已知{a n}是公差不为零的等差数列,a1＝1,且a1,a3,a9成等比数列．1求数列{a n}的通项；2求数列{2a n}的前n项和S n.S n＝2n＋1－2.2．设函数fx＝x3,在等差数列{a n}中,a3＝7,a1＋a2＋a3＝12,记S n＝f,令b n＝a n S n,数列的前n项和为T n.1求{a n}的通项公式和S n；2求证：T n<.3．已知二次函数fx＝x2－5x＋10,当x∈n,n＋1n∈N时,把fx在此区间内的整数值的个数表示为a n.1求a1和a2的值；2求n≥3时a n的表达式；3令b n＝,求数列{b n}的前n项和S n n≥3．5－.。

(完整版)高三总复习数列知识点及题型归纳总结

一、数列的概念(1) 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作a n ，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)记作 a n ；数列的一般形式：a 1, a 2, a 3,……,a n ,……，简记作a n 。

例：判断下列各组元素能否构成数列 (1) a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2) 2010年各省参加高考的考生人数。

(2) 通项公式的定义：如果数列叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 , 2 , 3 , 4, 511111 _ _ _ _ ， ? ? ?2 3 4 5a n = n ( n 7, n N ),1 a n =(n N)。

n说明:1 n 2k 1② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，a n = ( 1)n =(k Z);1,n 2k③ 不是每个数列都有通项公式。

例如， 1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,…… (3) 数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：456 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N (或它的有限子集)的函数 f(n)当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2), f(3),……,f(n),……•通常用a n 来代替f n ,其图象是一群孤立点。

例：画出数列a n 2n 1的图像•(4) 数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ (1) 1 , 2, 3, 4, 5, 6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …(3) 1,0, 1,0, 1,0, … (4)a, a, a, a, a,…例：已知数列｛a n ｝的前n 项和s n 2n 2 3，求数列｛a n ｝的通项公式高三总复习数列｛a n ｝的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就②:数列①的通项公式是数列②的通项公式是①a n 表示数列，a n 表示数列中的第n 项，a n = n 表示数列的通项公式;(5)数列｛ a n ｝的前n 项和S n 与通项a n 的关系：a nS 1(n 1)S n A n > 2)练习：1 •根据数列前4项，写出它的通项公式:(1) 1, 3, 5, 7……;22 132 1 42 1 52 1(2)234 5 (3)1 1 1 1---1*2*3*44*5(4) 9, 99, 999, 9999 …(5) 7, 77, 777, 7777,(6)8, 88, 888, 8888 2 •数列a n 中，已知a n(1)与出a i, , a 2, a 3, a n 1, a n 2 ；2（2） 79 2是否是数列中的项？若是，是第几项?33• （2003京春理14,文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____ ）内。

高中数学数列题型总结

高中数学数列题型总结高中数学数列题型总结数列是高中数学中重要的一个概念，涉及到的题型也非常多样化。

在高中数学的学习中，掌握数列的相关知识和解题方法是非常重要的。

下面将对高中数学中常见的数列题型进行总结。

一、数列的概念与性质1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一组数。

2. 数列的通项公式：数列中的每一项可以通过一个公式来表示。

3. 等差数列：数列中任意两项之差都是一个常数。

4. 等比数列：数列中任意两项之比都是一个常数，且这个常数不等于0。

5. 递推公式：数列中每一项都可以通过前一项来推得的公式。

6. 通项公式的求解：根据已知的数列性质，可以通过递推公式或其他方法求得数列的通项公式。

7. 数列的和：求一个数列的前n项和，可以通过直接相加或其他方法得到。

二、等差数列1. 等差数列的性质：等差数列的前n项和、通项公式等。

2. 等差数列的应用：通过等差数列可以解决一些实际问题，如等差数列求和、等差数列求项数等。

3. 等差数列的变形与推广：等差数列的变形包括错位相减法、差分法等。

三、等比数列1. 等比数列的性质：等比数列的前n项和、通项公式等。

2. 等比数列的应用：通过等比数列可以解决一些实际问题，如等比数列求和、等比数列求项数等。

3. 等比数列的变形与推广：等比数列的变形包括指数函数、对数函数等。

四、数列的求和与项数1. 数列的前n项和：数列前n项的和可以通过直接相加或其他方法求得。

2. 数列中某个数值：已知数列的前n项和，可以通过逆向求和的方法得到某个项的值。

3. 数列的项数：已知数列的前n项和，可以通过逆向求和的方法得到项数的范围。

五、数列的综合应用1. 数列的应用于数学问题：数列的概念和性质可以应用到其他数学问题中，如排列组合、概率等。

2. 数列的应用于实际问题：数列的概念和性质可以应用到实际问题中，如金融、物理等领域。

六、数列的证明与推广1. 数列的性质证明：对于已知的数列性质可以进行证明。

高中数列知识点归纳总结及例题

高中数列知识点归纳总结及例题数列是高中数学中的一个重要概念，它在许多数学问题中都起着至关重要的作用。

通过学习数列的定义、性质和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

本文将对高中数列知识点进行归纳总结，并附上相关例题供读者练习。

1. 数列的定义与性质数列是按照一定顺序排列的一组数。

其中，每一个数称为数列的项，位置称为项数，用字母a表示数列的通项。

数列的性质包括等差数列和等比数列两种常见情况：1.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

设数列为{an}，公差为d，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2（3）项数公式：n = (an - a1) / d + 1例题1：已知等差数列{an}的首项是3，公差是4，求第10项的值。

解析：根据等差数列的通项公式，代入a1 = 3，d = 4，n = 10，求得a10 = 3 + (10-1) * 4 = 39。

1.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

设数列为{an}，公比为q，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 * q^(n-1)（2）前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)（3）项数公式：n = logq(an / a1) + 1例题2：已知等比数列{an}的首项是2，公比是3，求第5项的值。

解析：根据等比数列的通项公式，代入a1 = 2，q = 3，n = 5，求得a5 = 2 * 3^(5-1) = 162。

2. 数列的求和数列的求和是数学中常见的问题之一，通过找到数列的规律和应用对应的公式，可以快速求解数列的和。

下面分别介绍等差数列和等比数列的求和公式。

2.1 等差数列的求和对于等差数列{an}，前n项和的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。

其中，a1为首项，an为末项，n为项数。

数列知识点总结及数列求和,通项公式的方法归纳(附例题)

⎩⎨⎧无穷数列有穷数列按项数 2221,21(1)2nn a a n a a n a n=⎧⎪=+=⎪⎨=-+⎪⎪=-⋅⎩n n n n n常数列:递增数列:按单调性递减数列:摆动数列:数列数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等.1.数列的有关概念：（1）数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. （2）从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数。

当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。

（3）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.如: 221n a n =-。

（4）递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，121n n a a -=+，其中121n n a a -=+是数列{}n a 的递推公式.再如: 121,2,a a ==12(2)n n n a a a n --=+>。

2．数列的表示方法：（1）列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a n ）孤立点表示。

（3）解析法：用通项公式表示。

（4）递推法：用递推公式表示。

3．数列的分类：按有界性M M M >Mn n n n +⎧≤∈⎪⎨⎪⎩有界数列:存在正数,总有项a 使得a ，n N 无界数列:对于任何正数，总有项a 使得a4．数列{a n }及前n 项和之间的关系:123n n S a a a a =++++ 11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.可变形为d m n a a m n )(-+= ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列. 5.常用性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd 。

高中数学数列知识点总结

高中数学数列知识点总结一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数构成的序列。

其中，数列中的每一个数称为该数列的项，而数列的顺序不同，项的值也可能不同。

二、数列的表示方法数列常用的表示方法有两种： 1. 列举法：将数列的各项按照一定顺序列举出来，使用逗号将它们分隔开。

例如：1, 2, 3, 4, 5, … 2. 通项公式法：通过一个固定的公式，可以计算数列中任意位置的项。

例如：an = 2n+1，其中an表示数列中的第n项。

三、等差数列等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。

常用的表示方法是an = a1 + (n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差，n表示项数。

等差数列的常用性质有： - 公差d的求法：d = a2 - a1 = a3 - a2 = … - 第n项的求法：an = a1 + (n-1)d - 前n项和的求法：Sn = n/2*(a1 + an) - 通项公式的推导：根据前两项之差和前两项之和的关系，可以推导出等差数列的通项公式。

四、等比数列等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。

常用的表示方法是an = a1 * r^(n-1)，其中a1表示首项，r表示公比，n表示项数。

等比数列的常用性质有： - 公比r的求法：r = a2 / a1 = a3 / a2 = … - 第n项的求法：an = a1 * r^(n-1) - 前n项和的求法：Sn = (a1 * (1-r^n)) / (1-r) - 通项公式的推导：根据前两项之比和前两项之积的关系，可以推导出等比数列的通项公式。

五、数列求和公式的推导数列求和公式是指在一定条件下，通过一定的数学推导可以得到数列前n项和的公式。

常见的数列求和公式有等差数列求和公式和等比数列求和公式。

1. 等差数列求和公式设有等差数列a1, a2, a3, …, an，且首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，则等差数列的前n项和为Sn = n/2*(a1 + an)。

高中数列题型总结

高中数列题型总结高中数学中，数列是一个重要的概念。

数列题型主要包括等差数列、等比数列、递推数列等。

下面将对这些常见的数列题型进行总结。

一、等差数列1. 等差数列的概念：等差数列是指一个数列，其中相邻两项之间的差值是一个常数d。

数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。

2. 等差数列的性质：- 若数列首项为a1，公差为d，则数列的第n项为an=a1+(n-1)d。

- 数列的前n项和Sn可以表示为Sn=(a1+an)n/2。

- 等差数列的性质还包括数列的前n项和与项数n的关系、等差数列的倒数第n项与第n项之和等。

3. 等差数列的题型：- 求等差数列的通项公式；- 求等差数列的前n项和；- 求等差数列中满足某些条件的项数；- 求等差数列中满足某些条件的项的和等。

二、等比数列1. 等比数列的概念：等比数列是指一个数列，其中相邻两项之间的比值是一个常数q。

数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。

2. 等比数列的性质：- 若数列首项为a1，公比为q，则数列的第n项为an=a1*q^(n-1)。

- 数列的前n项和Sn可以表示为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。

- 等比数列的性质还包括数列的前n项和与项数n的关系、等比数列的倒数第n项与第n项之积等。

3. 等比数列的题型：- 求等比数列的通项公式；- 求等比数列的前n项和；- 求等比数列中满足某些条件的项数；- 求等比数列中满足某些条件的项的和等。

三、递推数列1. 递推数列的概念：递推数列是指一个数列，其中每一项都通过前一项来递推得到。

数列的通项公式一般无法表示。

2. 递推数列的性质：- 若数列的第n项为an，第n-1项为an-1，则数列的通项公式无法表示为an=f(an-1)，其中f为一个函数。

- 递推数列的性质通常通过给定的递推规则来描述，如斐波那契数列等。

3. 递推数列的题型：- 求递推数列的前n项；- 求递推数列满足某些条件的项数；- 求递推数列满足某些条件的项等。

(完整版)数列题型及解题方法归纳总结

(完整版)数列题型及解题方法归纳总结数列是数学中一个重要的概念，也是数学中常见的题型之一。

数列题目通常会给出一定的条件和规律，要求我们找出数列的通项公式、前n项和等相关内容。

下面对数列题型及解题方法进行归纳总结。

一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一列数，用通项公式a_n表示。

2. 首项和公差：对于等差数列，首项是指数列的第一个数，公差是指相邻两项之间的差值。

通常用a1表示首项，d表示公差。

3. 首项和公比：对于等比数列，首项是指数列的第一个数，公比是指相邻两项之间的比值。

通常用a1表示首项，r表示公比。

二、等差数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公差，求第n项的值。

使用通项公式a_n = a1 + (n-1)d。

（2）已知相邻两项的值，求公差。

根据 a_(n+1) - a_n = d，解方程即可。

（3）已知首项和第n项的值，求公差。

根据 a_n = a1 + (n-1)d，解方程即可。

2. 找前n项和：（1）已知首项、公差和项数，求前n项和。

使用公式S_n= (n/2)(a1 + a_n)。

（2）已知首项、末项和项数，求公差。

由于S_n =(n/2)(a1 + a_n)，可以列方程求解。

（3）已知首项、公差和前n项和，求项数。

可以列方程并解出项数。

3. 找满足条件的项数：（1）已知首项、公差和条件，求满足条件的项数。

可以列方程，并解出项数。

三、等比数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公比，求第n项的值。

使用通项公式a_n = a1 * r^(n-1)。

（2）已知相邻两项的值，求公比。

根据 a_n / a_(n-1) = r，解方程即可。

（3）已知首项和第n项的值，求公比。

根据 a_n = a1 * r^(n-1)，解方程即可。

2. 找前n项和：（1）已知首项、公比和项数，求前n项和。

使用公式S_n = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。

高三数学数列知识点总结归纳

高三数学数列知识点总结归纳数列作为数学中的重要概念，在高中数学中占据着重要的地位。

掌握数列的相关知识点是高三学生成功应对数学考试的关键。

本文将对高三数学数列知识点进行总结归纳，帮助同学们更好地理解和应用数列知识。

一、等差数列等差数列是高中数学中最常见的数列类型之一。

等差数列的特点是，数列中每两个相邻的数之间的差都相等，这个差被称为公差。

1.通项公式等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n个数，a1表示首项，d表示公差。

2.前n项和公式等差数列的前n项和公式为：Sn = [n/2] * (a1 + an)，其中Sn表示前n项和，[]表示取整函数。

二、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型。

等比数列的特点是，数列中每两个相邻的数之间的比值都相等，这个比值被称为公比。

1.通项公式等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n个数，a1表示首项，r表示公比。

2.前n项和公式等比数列的前n项和公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。

三、数列的性质与判断除了上述常见的等差数列和等比数列，数列还有一些重要的性质，学生们需要掌握如下内容：1.递推公式数列的递推公式是指通过前一项或多项来求得下一项的公式。

对于等差数列和等比数列而言，递推公式分别为an = an-1 + d和an = an-1 * r。

2.数列的有界性数列的有界性是指数列中的数是否有上界或下界。

有界数列是指存在上界或下界的数列，无界数列是指没有上界或下界的数列。

3.数列的单调性数列的单调性是指数列中的数的排列顺序是否单调递增或单调递减。

如果数列中的数依次递增，则称该数列是递增数列；如果数列中的数依次递减，则称该数列是递减数列。

四、数列的应用数列在实际问题中有广泛的应用，以下是其中一些常见的应用场景：1.复利问题等比数列可应用于复利问题中，比如银行存款利息的计算等。

高二数列六大方法知识点

高二数列六大方法知识点数列是高中数学中的重要概念，也是很多数学问题的基础。

在高二数学中，数列的学习是相当重要的一部分。

在本文中，我们将介绍高二数列中的六大方法知识点，帮助同学们更好地掌握和应用数列的知识。

一、等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差恒定的数列。

等差数列常用的表示方法是：an = a1 + (n-1)d，其中an是数列的第n项，a1是数列的首项，d是等差。

等差数列的求和公式为：Sn = (a1 + an) × n ÷ 2。

二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比恒定的数列。

等比数列常用的表示方法是：an = a1 ×r^(n-1)，其中an是数列的第n项，a1是数列的首项，r是公比。

等比数列的求和公式为：Sn = a1 × (1 - r^n) ÷ (1 - r)。

三、递推数列递推数列是指数列中的每一项都通过前面的项进行计算得出的数列。

递推数列的表示方法较为灵活，常用的有递推式和初值两种形式。

递推数列的计算可以通过不断递推或者构建递推关系式来完成。

四、求通项公式通项公式是求数列中的第n项的公式，它可以通过观察数列的特点让我们找到规律，从而便于计算数列中任意一项的值。

常见的数列如等差数列和等比数列都有通项公式，利用这些通项公式可以简化数列计算的过程。

五、数列的性质和应用数列除了一些基本的概念和计算方法外，还有一些性质和应用，这些内容通常也是高二数列的重点和难点。

比如数列的单调性、极限、递归和数列在实际问题中的应用等等，这些内容需要同学们深入理解和掌握。

六、综合练习与解题技巧数列的应用十分广泛，相应地解题技巧也是多种多样的。

在学习数列的过程中，同学们需要通过大量的练习来提高对数列特点的把握和运用能力。

可以通过课后习题、模拟试卷等方式进行综合练习，并结合老师的指导进行解题技巧的学习和掌握。

综上所述，高二数列的六大方法知识点对于同学们掌握数列的概念和运用都非常重要。

高中数学数列题型及解题方法

高中数学数列题型及解题方法一、基本概念在高中数学中，数列是一个数的有序集合，按照一定的规律排列。

数列中的每一个数称为该数列的项，通常用字母表示。

数列中的项的位置或顺序称为项数。

数列一般通过通项公式或递推式来表示。

通项公式直接给出数列中第n个项与n之间的关系，递推式则通过前一项得出后一项，常见的数列有等差数列和等比数列。

二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项的差是一个常数的数列。

若一个等差数列的前n 项和可递推出通项公式，即第n项的表达式。

解题方法1.根据已知条件列出等差数列的性质2.利用通项公式或递推式解决问题3.注意区分公差和项数的不同，避免混淆三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比是一个常数的数列。

等比数列也有通项公式和前n项和的性质。

解题方法1.确定数列是等比数列2.利用通项公式或递推式解决问题，计算项之间的比3.注意等比数列的比值，及时列出通项公式或递推式四、常见题型及解题方法1. 求等差数列第n项或前n项和•要求：已知等差数列的公差和首项，求第n项或前n项和•解题方法：利用通项公式或递推式计算第n项或前n项和2. 求等比数列第n项或前n项和•要求：已知等比数列的比和首项，求第n项或前n项和•解题方法：利用通项公式或递推式计算第n项或前n项和3. 求等差数列或等比数列的一些特殊性质•要求：已知等差数列或等比数列的相关条件，求解一些特殊的性质•解题方法：根据数列的性质列出条件，运用相关知识推导出需要的结果以上是高中数学数列题型及解题方法的简要介绍，希望能对学习数列有所帮助。

如果想深入了解更多数列知识，可以继续深入学习相关内容。

《数列》知识点、题型、解法全方位解析

《数列》知识点、题型、解法全方位解析内蒙古赤锋阿旗天山一中：尹国玉数列的基础知识与一般性结论：(一)数列的概念：项，项数。

一般式：}{n a 或 ,,,,,4321n a a a a a注:①数列与函数的关系：数列可以看作是一个定义域为正自然数集N 或它的有限子集{1，2，3，……，n}的函数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式a n =f(n)就是该函数的解析表达式,数列的图象是一个点列.因此在学习数列时还应学会用函数的观点、方法研究数列.②数列分有穷数列与无穷数列。

(二)数列的有关公式：（注：并不是所有的数列都有各种公式，）1.递推公式：如)(1n n a f a =+或),(12n n n a a f a ++=等，即由数列的前若干项表示后一项的关系式，2.通项公式：a n =f(n)即由项数来表示项的关系式，即第n 项，3.前n 项和公式：①有穷数列和:即用n 表示前n 项和的式子，（有时也用售含有项和项数的混合式子表示，如2)(1n n a a n S +=）注:掌握数列的通项n a 与前n 项和n S （前项积n G ）之间的关系式n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n .n a =11(1)(2)n n G n G n G -=⎧⎪⎨≥⎪⎩②*无究数列和(前n 项和的极限): n n S lin S →+∞=(三)定义数列的方式方法:1.用递推公式定义:①简单一阶线性递归数列:等差等比数列等. ②简单一阶分式递归数列(倒数成等差数列) ③简单的周期数列; ④其它形式:2.用通项公式定义:3.用和或和与项的关系定义. (四)数列的图象(五)数列的单调性及最值 (六)数列的分类1.从项的个数上分:有穷数列,无穷数列.2.从”函数”类型及项与项的关系分:①简单数列:等差数列;等比数列;调和数列;幂级数.②复杂数列(数列的组合):复合数列;组合数列;分段数列;子数列. 3.从数列的性质分:单调数列;摆动数列;周期数列;不规则数列。

高三数列知识点归纳总结

高三数列知识点归纳总结数列在数学中是非常重要的一种概念和工具。

在高三数学学习过程中，数列是一个重要的知识点，也是数学建模和应用题目中经常遇到的内容。

本文将对高三数列知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握数列相关的知识。

一、数列及其表示法1. 数列的定义数列是一列按照一定规律排列的数的集合，其中每个数称为该数列的项。

2. 数列的表示法常见的数列表示法有：(1) 通项公式：用an表示第n个数列项的数的表达式；(2) 递推公式：表示每一项与前一项之间的关系，常用an+1 = an + d (等差数列)和 an+1 = an * q (等比数列)来表示。

二、等差数列1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中，从第二个数开始，每一项与它的前一项之差都是一个固定的常数d。

2. 等差数列的通项公式对于等差数列an，其通项公式可以表示为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。

3. 等差数列的性质和应用(1) 公差d的求解：已知等差数列前两项或者任意两项可以求出公差d；(2) 求等差数列的和：部分和Sn的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2；(3) 等差数列的应用：等差数列在数学建模和应用题目中经常出现，如等差数列作为一种数值规律，可用于解决实际问题。

三、等比数列1. 等比数列的定义等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每一项与它的前一项之比都是一个固定的常数q。

2. 等比数列的通项公式对于等比数列an，其通项公式可以表示为an = a1 * q^(n - 1)，其中a1为首项，q为公比。

3. 等比数列的性质和应用(1) 公比q的求解：已知等比数列前两项或者任意两项可以求出公比q；(2) 求等比数列的和：部分和Sn的计算公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)；(3) 等比数列的应用：等比数列在金融领域、自然科学等领域中有广泛的应用，如利润计算、天文学中的指数增长等。

高中数列题型及解题方法

高中数列题型及解题方法
在高中数学中，数列是一个常见的题型。

以下是一些常见的数列题型及解题方法：
1. 等差数列：等差数列是指一个数列中，每一项与它的前一项之差都相等。

解题方法包括：
- 判断是否为等差数列，计算公差；
- 求解通项公式；
- 求和公式。

2. 等比数列：等比数列是指一个数列中，每一项与它的前一项之比都相等。

解题方法包括：
- 判断是否为等比数列，计算公比；
- 求解通项公式；
- 求和公式。

3. 递推数列：递推数列是指一个数列中，每一项都是前几项的某种运算规律得到的。

解题方法包括：
- 观察数列的规律，找到递推关系式；
- 求解通项公式；
- 求和公式。

4. 斐波那契数列：斐波那契数列是指一个数列中，每一项都是前两项之和。

解题方法包括：
- 观察数列的规律，找到递推关系式；
- 求解通项公式；
- 求和公式。

5. 其他特殊数列：除了上述常见的数列类型外，还有一些特殊的数列，如等差数列的前n项和等于等差数列的后n项和，等差数列的平方和等等。

对于这些特殊的数列，需要特定的解题方法。

在解决数列题目时，一定要注意观察数列的规律，并运用适当的解题方法进行计算。

熟练掌握数列的性质和公式，可以帮助我们更好地解题。

高中数列知识点总结及练习题

高中数列知识点总结及练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数列知识点总结第一部分等差数列一定义式： 1n n a a d --=二通项公式：n a 1()(1)m a n m da n d =+-⎧⎨=+-⎩一个数列是等差数列的等价条件：b an a n +=(a ，b 为常数)，即n a 是关于n的一次函数，因为n Z ∈，所以n a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。

三前n 项和公式：1()2n n n a a S +=na =中间项 1(1)2n n na d -=+ 一个数列是等差数列的另一个充要条件：bn an S n +=2(a ，b 为常数，a ≠0)，即n S 是关于n 的二次函数，因为n Z ∈，所以n S 关于n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。

四性质结论1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，如：3个数a-d,a,a+d ； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d2.a 与b 的等差中项2a b A +=；在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；若2m n p +=，则2m n p a a a +=；3.若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则，奇偶nd S S =- 1+=n n a aS S 偶奇；若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇 4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。

设12,n A a a a =++⋯+，122n n n B a a a ++=++⋯+， 21223n n n C a a a ++=++⋯+，则有C A B +=2；5.10a >,m n S S =,则前2m n S +(m+n 为偶数)或12m n S +±(m+n 为奇数)最大第二部分等比数列一定义：1(2,0,0){}nn n n a q n a q a a -=≥≠≠⇔成等比数列。

高二数列解题方法归纳总结

高二数列解题方法归纳总结【高二数列解题方法归纳总结】数列是数学中常见且重要的概念，在高中数学学习的过程中，数列解题是必不可少的一环。

掌握数列解题方法对于高中数学学习和考试成绩的提升有着重要的作用。

本文将对高二数列解题方法进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握相关知识。

1. 等差数列：等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

求和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)。

常见求解等差数列问题的方法有以下几种：（1）已知首项和公差，求某一项的值：根据通项公式代入数值计算即可。

（2）已知首项和项数，求公差：根据通项公式和已知条件构建方程解得公差。

（3）已知首项和和，求项数：根据求和公式和已知条件构建方程解得项数。

2. 等比数列：等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

求和公式为：Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)。

常见求解等比数列问题的方法有以下几种：（1）已知首项和公比，求某一项的值：根据通项公式代入数值计算即可。

（2）已知首项和项数，求公比：根据通项公式和已知条件构建方程解得公比。

（3）已知首项和和，求项数：根据求和公式和已知条件构建方程解得项数。

3. 递推数列：递推数列是指数列的每一项都是由前一项通过某种规律递推而来的数列。

解递推数列问题的关键是找到递推规律。

常见的递推数列问题有以下几种：（1）斐波那契数列：第一项和第二项均为1，从第三项开始，每一项的值等于前两项之和。

（2）等差递推数列：首项固定，每一项与前一项的差值固定。

（3）等比递推数列：首项固定，每一项与前一项的比值固定。

4. 特殊数列：除了等差数列和等比数列外，还存在一些特殊的数列，如等差数列和等比数列的组合、等差数列和等比数列的交替等。

对于特殊数列的解题，需要运用数列的基本性质和相应的解题技巧。

数列知识点与常用解题方法归纳总结

数列知识点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质定义： a n 1 a n d ( d为常数 ) ， an a1n 1 d等差中项： x，A ， y成等差数列2A x ya1a n n n n1前 n项和 S n na12d2性质：a n是等差数列（1）若 m n p q，则 a m a n a p a q；（ 2）数列a2 n 1， a2 n， ka n b 仍为等差数列；S n，S2 n S n，S3n S2n⋯⋯仍为等差数列；（ 3）若三个数成等差数列，可设为 a d，a，a d；（ 4）若 a n， b n是等差数列 S n， T n为前 n项和，则amS2m1；b mT2 m1（ 5） a n为等差数列S n an2bn（ a， b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）S n的最值可求二次函数S n an2bn的最值；或者求出 a n中的正、负分界项，即：当a10， da n00，解不等式组可得 S n达到最大值时的 n值。

a n10当a10， d0，由a n0可得 S n达到最小值时的 n值。

a n10如：等差数列 a n， S n18，a n an 1an 23，S31，则 n（由 a n an 1an 2 3 3a n 13，∴ a n 11又 S a1a3 · 3 3a2，∴a21313 211 na 1a n n a 2an 1· n318n 27）∴ S n222二、等比数列的定义与性质定义： an1q （ q 为常数， q0）， a n a 1 q n 1a n等比中项： x 、G 、 y 成等比数列G 2 xy ，或 Gxyna 1 (q 1)前n 项和： S na 1 1q n 1)（要注意 ! ）1(qq性质： a n 是等比数列（1）若 m n p q ，则 a m · a na p ·a q（ 2）S n ，S 2n S n ， S 3 n S 2 n ⋯⋯仍为等比数列三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、由S n 求a n ；（n1时， a 1 S 1 ，n2时， a nS n S n 1）3、求差（商）法如： a n 满足 1a 112 a 2⋯⋯1n a n2n 512 221解： n1时， 2a12 1 5，∴ a 114n 2 时，11 a 2⋯⋯1an 12n 1 522a1222 n 112 得：1a n 2 ， ∴ a n2n 1， ∴ a n14 (n 1)2n 1(n2)2 n［练习］数列 a n 满足 S nS n 15a n 1 ， a 14，求 a n3（注意到 a n 1S n 1 S n 代入得：S n 14S n又 S 1 4，∴ S n 是等比数列， S n4 n24、叠乘法例如：数列 a n 中， a 1an 1n3，a nn ，求 a n1解： a 2 · a 3 ⋯⋯ a n1 ·2 ⋯⋯ n 1 ，∴ a n1a 1a 2an 123na 1 n又 a 13，∴ a n3 n5、等差型递推公式由a na n 1 f (n) ，a 1 a 0 ，求 a n ，用迭加法n 2时， a 2a 1 f (2)a 3 a 2f (3) 两边相加，得：⋯⋯⋯⋯a na n1f (n)a n a 1 f (2) f ( 3) ⋯⋯ f ( n)∴a na 0f (2) f (3) ⋯⋯f (n)［练习］数列 a n ， a 1 1， a n 3n 1a n 1 n 2 ，求 a n（ a n13n1 ）26、等比型递推公式a n ca n 1d c 、 d 为常数， c0， c 1， d 0可转化为等比数列，设 a n xc a n 1xa n ca n 1 c 1 x令 (c 1)xd ，∴ xdc 1∴ a ndd1是首项为 a 1， c 为公比的等比数列cc 1∴ a nd a 1c d · c n 1c 11∴ a na 1d c n 1d［练习］数列 a n 满足 a 19， 3a n 1a n 4，求 a n4n 1（a n81）37、倒数法例如： a 11， a n 12a n，求 a n1a n 2 1 1 a n，由已知得：2 a n2a n 12a n11 1 ，1为等差数列，1，公差为1a n2a na 12an 11 1 n 1 ·1 1n 1， ∴ a n2n1a n2 2 三、求数列前 n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

高中数列知识点、解题方法和题型大全

一高中数列知识点总结1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=（5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由10n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λnd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.二解题方法1 求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a解 1n =时，112152a =⨯+，∴114a = ①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ②①—②得：122n n a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S = 2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……·（2）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n n a na a n +==+，，求n a解3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n a a n=又13a =，∴3n a n =. （3）等差型递推公式由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++……（4）等比型递推公式1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-，为公比的等比数列∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭（5）倒数法如：11212nn n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·， ∴21n a n =+(附：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)2 求数列前n 项和的常用方法 (1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111111111111nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (121)n n a S n ===-+…………，（2）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nx S xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=……（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……［练习］已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111x x x f x f x x x xx ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦(附：a.用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

(完整版)高中数列的常见解法)

数列解题方法一、基础知识：数列的定义项项数通项数列数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前n 项等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前n 项等差数列数列：1．数列、项的概念：按一定次序排列的一列数，叫做数列，其中的每一个数叫做数列的项．2．数列的项的性质：①有序性；②确定性；③可重复性．3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，（…），简记作 {a n }．其中a n 是该数列的第n 项，列表法、图象法、符号法、列举法、解析法、公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法．4．数列的一般性质：①单调性；②周期性．5．数列的分类：①按项的数量分：有穷数列、无穷数列；②按相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、其他；③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；④按项的变化范围分：有界数列、无界数列．6．数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的函数关系可以用一个公式a n=f （n ）（n ∈N +或其有限子集{1，2，3，…，n}）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是散点图，点的横坐标是项的序号值，纵坐标是各项的值．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一．7．数列的递推公式：如果已知数列{a n }的第一项（或前几项），且任一项a n 与它的前一项a n -1（或前几项a n-1，a n -2，…）间关系可以用一个公式a n =f （a n -1）（n =2，3，…）（或a n =f （an -1,an -2）(n=3，4，5，…)，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．8．数列的求和公式：设S n 表示数列{a n }和前n 项和，即S n =∑a =a +a +…+a ，如果S 与i 12nn n i =1项数n 之间的函数关系可以用一个公式S n =f （n ）（n =1，2，3，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的求和公式．9．通项公式与求和公式的关系：通项公式a n 与求和公式S n 的关系可表示为：a n=⎨等差数列与等比数列：文字定义符号定义等差数列等比数列⎧S 1(n =1)⎩S n -S n -1(n ≥2)一般地，如果一个数列从第二项起，每一项一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与与它的前一项的比是同一个常数，那么这个它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。