平方差公式导学案(20200107201431)
平方差公式导学案
平方差公式导学案编写人：王丽卿审核人：王秋芬温馨寄语：成功总在风雨之后学习目标： 1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算；当遇到相同形式相乘时，可以直接运用公式写出结果。
3、运用平方差公式熟练计算学习重点：1、弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点； 2、会用平方差公式进行运算。
学习难点：灵活运用平方差公式进行运算使用说明：课本第151——153页内容。
从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以它们的差这一乘法公式，明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法的辩证思想；准备活动：提出问题，创设情境你能用简便方法计算下列各题吗？（1）2001×1999 （2）998×1002你能快速口算出上题的答案吗？通过今天的学习我们都能达到。
下面我们一起学习今天的内容《乘法公式——平方差公式》学习过程：学生预习课本第151——153页内容自主学习：1.见课本第151页探究，补充：（x+5y）（x-5y）2.观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．3、猜一猜：()()=aa－b+b-也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．补充：（-a+b）（-a-b）=（-a）〃（-a）+（-a）〃（-b）+b〃（-a）+b〃（-b）=（-a）2-b2=a2-b2合作交流：1.课本152页例题1，2. 及思考2、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算（1）()()cx+-y+baa-+（2）()()xy（3）()()ab x x ab ---33 （4）()()n m n m +--3、判断下列各式正确吗？为什么？（1）()()22422b a a b b a -=-+ （ ）（2）()()933-=-+xy y x （ ）（3）()()22933y x y x y x -=+-- （ ）（4）()()22422y x y x y x -=+--- （ ）（5）()()6322-=-+a a a （ ）4.课本第153页练习5、填空：（1）()()=-+y x y x 3232（2）()()116142-=-a a（3）()()229432y x y x -=-+ 6计算下列各式：（1）()()b a b a 7474+- （2）（3a+2b ）（3a-2b ）（3）（a 5-b 2）（a 5+b 2）（4）()()x x 2525-+-（5）()()233222-+a a （6）()()n m n m ---22（7）（0.5a+b ）（-b+0.5a ）（8）（-a-b ）（a-b ）课堂感悟：通过本节课的学习，你掌握了那些学习技巧？提高练习：1，计算 （1）（a+2b+2c ）（a+2b-2c ）（2）()()c b a c b a --+- （3）（a-b ）（a+b ）（a 2+b 2）2、求()()()22y x y x y x +-+的值，其中2,5==y x3、计算：()()()()()42212122224++---+-x x x x x x4、若的值。
平方差公式导学案
第十四章 整式的乘法与因式分解14.2.1 平方差公式学习目标：1、掌握平方差公式的结构特征。
2、会用平方差公式进行计算。
学习过程： 一、自学与指导：1、计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（小组合作）①（x ＋ 1)( x －1）=（ ） ②（m ＋ 2)( m －2）=（ ） ③（2m ＋ 1)(2m －1）=（ ） ④（5y ＋ z)(5y －z ）=（ ） 想一想：这些计算结果有什么特点？要点归纳：(a+b)(a −b)=（ ）两个数的（ ）与这两个数的（ ）的积,等于这两数的( )，这个公式叫做（乘法的）平方差公式。
2、试一试：你能根据下图中图形的面积说明平法差公式吗？（师友合作）二、展示与点拨：1、填一填：（师友合做，再展示）2、利用平方差公式计算：（学生先独做，再组内交流，展示） (1) (3x －5)(3x ＋5) (2) (－2a －b)(b －2a)ab(3) (－2a2＋b)(b＋2a2) (4) 51×49;三、训练与总结：（一）、当堂训练:（学生独立完成）1、在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式进行计算的是( )A (x＋1)(1＋x)B (12a＋b)(b－12a)C (－a＋b)(a－b)D (x2－y)(x＋y2)2、利用平方差公式计算（1）(14a－1)(14a＋1) （2） (－x－y)(x－y)（3）(a-2)(a+2)(a2 + 4) （4）20152－ 2014×20163、先化简，再求值：(1＋3x)(1－3x)＋x(9x＋2)－1，其中x＝1。
（二）课堂小结：本节课你有什么收获？还有哪些困惑？四、作业：课本：108页第2题、习题14.2.1第1题。
平方差公式导学案
《平方差公式》导学案课型：探究交流课[学习目标]1、理解掌握平方差公式及其结构特征；2、会运用平方差公式进行化简、计算。
3、培养学生的观察、分析和总结能力和敏捷的思维能力。
4、让学生在公式的运用中积累解题的经验、体会成功的喜悦。
[教学重难点]重点：1、理解掌握平方差公式及其结构特征；2、会运用此公式进行计算。
难点：辨析公式的特征和公式的灵活运用。
[学法指导]从“动态的数学观”出发，根据数形结合思想，积极主动参与探究学习，对同一个问题寻求不同的思路，依靠自己的活动去探索问题、解决问题，并注意独立探究与合作学习有机结合，在交流和讨论中培养实践能力和创新意识。
[教学过程设计]一、课前延伸。
1、根据多项式乘法法则化简：（a+b）（a-b）=______________=________2、你能借助图形的面积关系来验证这个关系吗？平方差公式：________________________；语言描述：___________________________________________。
二、课内探究。
[环节1：自主探究]自主探究例题1、2.【环节2：合作交流】1、 小组交流：把自主探究例题时的收获与疑惑在组内交流解决，然后仿照例题计算课后练习。
(1)(a+6)(a-6) (2) (1+x)(1-x)(3) (x+2y)(x-2y) (4) (-x+4y 2)(-x-4y 2)2、 组际交流（班内展示）。
每组选派代表板示计算结果，然后集体订正答案。
【环节3：精讲点拨】师生共同总结平方差公式的特点、规律，应用的注意事项，注意以下变式：1、（-a – b ) ( -a + b) = a 2- b 22、（b + a )( -b + a ) = a 2- b 2【环节4：巩固检测】 （有效训练）A 组：判断下列多项式乘法中,哪些可以用平方差公式来计算.1、（x －2y ）（x ＋2y ） ( )2、（a －2b ）（－a －2b ） ( )3、（－2m －n ）(n + 2m) ( )4、(2c －b)( －b －2c) ( )B 组：计算：（2x ＋21）（2x －21） （－x ＋2）（－x －2）（－2x ＋y ）（2x ＋y ） （y －x ）（－x －y ）C 组：简便计算：（1）498×502 （2）999×1001（课堂小结）1、本节你学到了什么？2、本节课用到了哪些数学思想或方法？3、你还有什么疑惑?（当堂检测）A、判断正误，如果错误，应怎样改正？( 1 ) (-a-b)(a-b)=-a2+b2 ( ) ( 2 ) (-a+b)(-a-b)=-a2- b2 ( )( 3 ) (2x+3)(2x-3)=2x2-9 ( ) ( 4 ) (3x-1)(-3x-1)=9x2-1 ( )( 5 ) (a+b)(-a-b)=a2-b2 ( ) ( 6 ) (2x+3)(3x-3)=6x-9 ( )B、计算：（1）、( ab + 8)( ab - 8) （2）、( 3a+2b)(-3a+ 2b)（3）、 103 × 97根据集体订正的答案，本节学习情况为：A、优秀 B、一般 C、较差三、课后延伸。
平方差公式(1)导学案
里辛一中初一数学导学案初一数学课题:平方差公式（1）备课时间:2020-08-20课堂寄语:学习有两种状态。
一种像快要饿死的人扑在面包上；一种是眼馋肚子饱，感觉饱了，又想再吃一口。
像快要饿死的人扑在面包上一样学习的人，往往是短时间内进步很快的学生。
只有进入这种状态，才能领略到攻坚大战前夕，那种波澜壮阔的盛况。
而眼馋肚子饱的往往学得不专心，玩得不痛快，其实是很可怜的。
二、【自主学习 探究新知】探究一：平方差公式的特征及几何意义（1）左边是两个 项式相乘，这两项中有一项 ，另一项互为 ；（2）右边是 的平方差（相同项的平方-相反项的平方）（3）公式中的a 、b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
公式的几何意义：先观察左图，再用等式表示下图中图形面积的运算：＝ －探究二：例题例1 利用平方差公式计算（1）（5+6x ）（5-6x ） (2)(x-2y)(x-2y)(3)(-m+n)(-m-n)例2 利用平方差公式计算（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛y x x 41y -41- （2）（ab+8）（ab-8）跟踪练习：随堂练习第2题规律总结：公式的几种常见变化：（1）位置变化：()()=+-+a b a b ；（2）符号变化：()()=---b a b a ；（3）系数变化：()=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a 35.0321 ； （4）指数变化：()()()()222222-=-+b a b a(5)项数变化：=a2-.(6)连用变化：==a4-b4.(7)逆用平方差公式：a2-b2=.三、【课堂达标】1.下列各式，能用平方差公式计算的是( )A.(x+2y)(2x-y)B.(x+y)(x-2y)C.(x+2y)(2y-x)D.(x-2y)(2y-x)2.下列计算中，错误的有( )①(3a+4)(3a-4)=9a2-4；②(2a2-b)(2a2+b)=4a4-b2；③(x+3)(3-x)=x2-9；④(-x+y)(x+y)=-(x-y)(x+y)=-x2-y2.A.1个B.2个C.3个D.4个3.若a，b，c为一个三角形的三边，则代数式(a-c)2-b2的值为( )A.一定为正数B.一定为负数C.可能为正数，也可能为负数D.可能为零4.(镇江中考)化简：(x+1)(x-1)+1= .5.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，那么(a+b)2的值为.6.当x=3，y=1时，代数式(x+y)(x-y)+y2的值是.7.计算：(1). (2).(3). (4)(2a-b)(2a+b)(4a2+b2).(4)(x+5)(x-5)-x(x-2).。
《平方差公式》导学案 2022年北师大版七下
平方差公式教材分析《平方差公式》是义务教育课程标准实验教科书《数学》〔北师大版〕七年级下册的教学内容。
教材在上册中安排了《有理数及运算》、《字母表示数》等内容。
在本节内容前面又安排了平方差公式产生的背景，使学生经历过实际问题“符号化〞的过程，有了一定的符号感，为探索“平方差公式〞奠定了根底。
学生分析学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感。
经过一个学期的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力。
本节课的教学能培养学生的推理能力，使学生通过大胆而又合情合理的推理，有条理地表达自己的思考过程。
教学目标1、经历探索平方差公式的过程，进一步开展符号感和推理能力。
2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。
3、认识平方差公式及其几何背景。
4、在合作、交流和讨论中开掘知识，并体验学习的乐趣。
教学重点：体会公式的发现的推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。
教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义。
课前准备1、为每位学生准备一张正方形纸片(边长为15cm)。
2、教师准备两张正方形(一大一小)纸板和三块矩形纸板。
3、多媒体课件。
教学流程一、创设问题情境，引导学生观察、设想。
教师发给每个学生一张正方形纸片(边长15cm)并用多媒体课件(或用正方形纸板)显示正方形。
师：在一块45的红色正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为15的正方形(如图)，请问剩下红色局部的面积有多少平方厘米？453015(刚开始小的正方形可以随意摆放在红色正方形的任何位置。
)小组讨论：1．可以用大正方形面积减去小正方形面积得到。
2．可以把剩下红色局部切割成几个矩形来计算。
师：从今天的问题来看，用哪一种方法比拟好？你们小组能列出算式吗？或许有学生能迅速列出算式，得出答案是1800平方厘米。
师：为了容易理解，我现在把小正方形放在大正方形的角落(如图)。
(同时也要求学生在他们手上的正方形纸的角落上画一个小正方形，可规定连长为3cm。
平方差公式一导学案
科目 课题 数学 年级 七 设计人 审核人 姓名
观察以上算式及其运算结果， 你有什么发现？用语言表述 出来。 2.验证猜想 自己再举一些类似的多项式相乘的情形， 并计算验证自己 的猜想.
合作学习，分组验证。
平方差公式（一）
导
学习目标：
案
学
案
第三环节 典例分析、巩固提高 1、判断 1 1 1 （1） ( x 1) ( x 1) = x 2 1 2 2 2 （2） （3x－y） （－3x+y）=9x2－y2 （3） （m+n） （－m－n）=m －n
体会平方差公式和多项 式乘法之间的关系， 可以 利用整式乘法解决， 也可 以利用平方差公式
第六环节
课堂小结
1. 平方差公式： 公式的结构特点： 左边： 右边： 2、方差公式的注意事项： 对课堂知识点的回顾，让 学生分 享自己在学习 过 程中，遇到的挫折以及积 累的经验，提出自己存在 的困惑，大家一起解决.
2、例 1 利用平方差公式计算：
2 2
阅读目标，明确“学什 1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能 么” 。 运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力. 2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公 式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培 养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力. 3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信 心。
字母 a、b 可以是数，也 可以是整式，加深对字母 含义广泛性的理解.
（3） （x+5y） （x－5y）（4） ； （2y+z） （2y－z）
平方差公式导学案
1、教学目标1、会推导平方差公式,理解平方差公式及其结构特征
2、能熟练运用公式进行简单的计算。
二、重点、难点重点:平方差公式的推导和应用。
难点:平方差公式的几何意义,数形结合数学思想。
三、教学活动
活动1.复习多项式乘法法则
(1)(a+b)(m-n) (2)(x+3)(x+5)
(x+3)(x-3)-x(x-2)，其中x=4
四、课堂小结
本节课你掌握了哪些知识？
五、作业
1、数学作业本108页练习2
2、课时练72.73页
2、利用平方差公式解答
(1)(3x+2)(3x-2) (2)(3x+2y)(2y-3x)
(3)(-x+2y)(-x-2y) (4)(-2x²-5)(2x²-5)
3、平方差公式的应用
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
4、先化简，再求值
活动2.探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1)(x+1)(x-1) (2)(m+2)(m-2) (3)(2x+1)(2x-1)
你能根据上面的规律猜测出(a+b)(a-b)=______________.小组讨论，验证猜测的正确性。
这个公式就叫做(乘法的)_______________：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
活动3.利用图形推导公式
活动4.练习跟进
1、口算(1)(x+4)(x-4)= (2)(1+2a)(1-2a)=
(3)(m+6n)(m-6n)= (4)(5y+z)(5y-z)=
平方差公式导学案
1.5 平方差公式（1） 一、学习目标会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算二、学习重点：掌握平方差公式的特点，能熟练运用公式三、学习难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差预习指导：1.先精读一遍教材P20~P21，用红笔进行勾画；再针对学案二次阅读教材，并回答问题；2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，随时记录在下面，准备课上讨论质疑。
四、教学过程（一）温故知新1、整式的乘法法则多项式乘以多项式：。
(二)新知探究1、计算下列各题：（1）()()22-+x x（2）)31)(31(a a -+（3）)5)(5(y x y x -+（4）)2)(2(z y z y -+观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？特点：公式的左边是（ ）的积，在这两个二项式中，它们的前项（ ），后项（ ），右边是这两个数的（ ）。
平方差公式的推导（a ＋b ）（a －b ）＝（多项式乘法法则）＝（合并同类项）即：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差平方差公式结构特征：① 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；② 右边是乘式中两项的平方差。
即用相同项的平方减去相反项的平方（二）平方差公式的应用 判断下面计算是否正确（1）)121(+x )121(-x =1212-x （ ）（2）（3x －y ）（－3x +y ）=9x 2－y 2 （ ）（3）（m+n ）（－m －n ）=m 2－n 2 （ ）2、例题1、利用平方差公式计算：（1）)65)(65(x x -+ （2）)2)(2(y x y x +- （3）))((n m n m --+-3、例题2：利用平方差公式计算：（1）)41)(41(y x y x +---（2）)8)(8(-+ab ab1、猜猜看（在括号划√或× ） 错误的改正在后面(1) (4x+3b)(4x – 3b)=4x 2 –3b 2 ( )(2) (4x+3b)(4x –3b)=16x 2 –9 ( )(3) (3a –bc)(–bc –3a)=9a 2 –b 2 c 2( )(4) (3a –bc)(–bc –3a)=b 2 c 2 – 9a 2( )2、利用平方差公式计算：（1）1()3x y -1()3x y +； （2）（－mn +3）（－mn －3）想一想（a−b ）（－a−b ）=？你是怎样做的？练一练计算 1、（5m －n ）（－5m －n ）2、（a+b ）（a －b ）（a 2+b 2）课堂小结：1.平方差公式：（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积； 右边是两数的平方差2．应用平方差公式的注意事项：1）注意平方差公式的适用范围2）字母a 、b 可以是数，也可以是整式3）注意计算过程中的符号和括号课堂检测（3分钟）利用平方差公式计算：（1）（－x －1）（1－x ） (2)（0.3x +2y ）（0.3x －2y ） (3) )21(-x )21(+x )41(2+x。
平方差公式 导学案
思考：下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？
(1)
(3)（-2a+3b）(-2a+3b)(4)(-2a-3b)(2a-3b)
（5）（x+y-z）(x+y+z) (6)(x-y+z)(x+y-z)
练习：下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）
（2）
（3）
（4）
例1：直接运用
14.2.1平方差公式 导学案
年级：八年级学科：数学主备：审核：初二数学组
内容：平方差公式课型：新授时间：
【学习目标】：
1.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．
2.培养学生观察、归纳、概括的能力．
3.在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．
4.在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美
【学习重点】：掌握平方差公式的推导和应用
【学习难点】：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
一、课前回顾：（2分钟）
多项式与多项式的乘法法则？
。
一、合作学习探究新知（约15分钟）
【1】计算下列多项式的积．
（1）（x+1）（x-1）=
（2）（m+2）（m-2）=
（3）（2x+1）（2x-1）=
（4）（x+5y）（x-5y）=
上面的几个运算都是形如的多项式与形如的多项式相乘，即：（a+b）(a-b）==。
◆从刚才的运算我发现：
等号的一边：。
等号的另一边：。
四、归纳总结巩固新知（约15分钟）
1、知识点的归纳总结：
★平方差公式：
两个数的与这两个数的的积，等于这两个数的差．
数学《平方差公式》导学案课件
数学《平方差公式》导学案课件(一)教学知识点1.经历探索平方差公式的过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.(二)能力训练要求1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美.平方差公式的推导和应用.用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.探究与讲练相结合.使学生在计算的过程中发现规律，并运用自己的语言进行表达，用符号证明这个规律，并探索出平方差公式的结构特点，在老师的讲解和学生的练习中学会应用.［师］你能用简便方法计算下列各题吗？(1)XX×1999；(2)992－1［生］可以.在(1)中XX×1999=(XX+1)(XX－1)=XX2－XX+XX－1×1=XX2－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的XX，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，XX和1999，一个比XX 大1，于是可写成XX与1的和，一个比XX小1，于是可写成XX与1的差，所以XX×1999就是XX与1这两个数的和与差的积，即(XX+1)(XX－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：XX2－12，恰为这两个数XX与1的平方差.即(XX+1)(XX－1)=XX2－12.那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？我们不妨看下面的做一做.［师］出示投影片(§ A)做一做：计算下列各题：(1)(x+2)(x－2);(2)(1+3a)(1－3a);(3)(x+5y)(x－5y);(4)(y+3z)(y－3z).观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.［生］上面四个算式每个因式都是两项.［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积.［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案.［生］解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4；(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2；(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2；(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想)［生］从刚才这位同学的运算，我发现：即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果.即［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？［生］可以.例如：(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.即上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差.［师］为什么会有这样的特点呢？［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？［生］可以.上述规律用符号表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2 ①其中a,b可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式.利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2［师］同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快.你能给我们发现的规律(a+b)(a－b)=a2－b2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的.［生］我们可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式.［师］大家同意吗？［生］同意.［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗？［生］可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.［例1］(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( )A.(x+1)(1+x)B.( a+b)(b－ a)C.(－a+b)(a－b)D.(x2－y)(x+y2)E.(－a－b)(a－b)F.(c2－d2)(d2+c2)(2)利用平方差公式计算：(5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y);(－m+n)(－m－n).［生］(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因为B.( a+b)(b － a)利用加法交换律可得( a+b)(b－ a)=(b+ a)(b－ a),表示b与 a这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(－a－b)(a－b),同样可利用加法交换律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a),表示－b与a这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c2－d2)(d2+c2)利用加法和乘法交换律得(c2－d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2－d2)，表示c2与d2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点.［师］为什么A、C、D不能用平方差公式呢？［生］A、C、D表示的不是两个数的和与差的积的形式.［师］下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.［生］(5+6x)(5－6x)是5与6x这两个数的和与差的形式；(x－2y)(x+2y)是x与2y这两个数的和与差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m与n这两个数的和与差的形式.［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式.［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2;(x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2;(－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2.［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题.出示投影片(记作§ C)［例2］利用平方差公式计算：(1)(－ x－y)(－ x+y);(2)(ab+8)(ab－8);(3)(m+n)(m－n)+3n2.［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.［生］解：(1)(－ x－y)(－ x+y)——(－ x)与y的和与差的积=(－ x)2－y2——利用平方差公式得(－ x)与y的平方差= x2－y2——运算至最后结果(2)(ab+8)(ab－8)——ab与8的和与差的积=(ab)2－82——利用平方差公式得ab与8的平方差=a2b2－64——运算至最后结果(3)(m+n)(m－n)+3n2——据运算顺序先计算m与n的和与差的积=(m2－n2)+3n2——利用平方差公式=m2－n2+3n2——去括号=m2+2n2——合并同类项至最简结果［生］刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：(1)公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.［生］还需注意最后的结果必须最简.［师］同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题.1.计算：(1)(a+2)(a－2);(2)(3a+2b)(3a－2b);(3)(－x+1)(－x－1);(4)(－4k+3)(－4k－3).2.把下图左框里的整式分别乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4;(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(a－b)(a+b)=a2－b2;(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2(教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指导)［师］同学们有何体会和收获呢？［生］今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］应用这个公式要明白公式的特征：(1)左边为两个数的和与差的积；(2)右边为两个数的平方差.［生］公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式.［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.［师］同学们总结的很好！还记得刚上课的一个问题吗？计算992－1，现在想一想，能使它运算更简便吗？［生］可以.992－1可以看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可得：992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.［师］我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特征，一定能使你的运算简捷明了.。
平方差公式导学案
（2） （）
2、运用平方差公式计算：
（1）（a＋3b）（a–3b）（2）（3＋2a）（－3＋2a）
（3）51×49（4）（3x+4）（3x– 4）－（2x+3）（3x– 2）
选做：计算
（x＋y＋1）（x＋y－1）
教学反思：
土城子中学____八_年级____数学__（学科）导学方案
课题
14.2.1平方差公式
课型
问题解决课
总课时数
授课日期
第周第课时
主备教师
张晓梅
课前准备
导学单教材
学习目标
1、知道平方差公式的结构特征。
2、能运用公式进行简单的运算。
3、会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法。
重点
平方差公式的推导和应用
3、预习交流
三、问题探究
（一）走进文本（阅读教材）
（二）新知导学：
1、计算下列多项式的积，把结果写在后面。
（1）（x+2）（x－2）=；
（2）（m+1）（m－1）=；
（3）（2x+y）（2x－y）=。
依照以上三道题的计算回答下列问题：
①式子的左边具有什么共同特征？
②它们的结果有什么特征？
③能不能表示你的发现？
用文字叙述：。
用字母表示：（a＋b）（a－b）=
2、思考：你能用下图中的面积说明平方差公式吗？
3、在平方差公式 中，其结构特征为：
A．左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与－b”是相反项，a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；
B．右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即 ；
平方差公式学案
平方差公式学案一、学案概述平方差公式是数学中的一条重要公式，常用于求解数列、函数等数学问题。
本学案旨在帮助学生全面理解平方差公式的概念与应用，并通过习题练习，提升学生的解题能力和应用能力。
二、学习目标1. 掌握平方差公式的定义和基本形式；2. 理解平方差公式的几何意义；3. 能够熟练运用平方差公式解决数学问题。
三、学习内容1. 平方差公式的定义和基本形式；平方差公式是指对于任意实数a和b，有以下等式成立：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2其中，a和b可以是常数、变量或表达式。
2. 平方差公式的几何意义；平方差公式可以理解为一个数的平方与两倍该数与另一个数的乘积之和。
从几何的角度来看，平方差公式可以描述出一个正方形的面积等于其边长的平方。
3. 平方差公式的应用。
平方差公式在数学中有广泛的应用，特别是在代数学、几何学和物理学中。
在代数学中，平方差公式可以用于简化多项式的乘法运算，展开和因式分解。
在几何学中，平方差公式可以用于计算图形的面积或边长。
在物理学中，平方差公式可以用于计算力的大小以及物体的加速度等。
四、学习方法1. 通过课本、参考书等学习材料，理解平方差公式的定义和基本形式；2. 利用几何图形，直观感受平方差公式的几何意义；3. 大量练习习题，巩固平方差公式的运用能力。
五、学习步骤1. 理解平方差公式的定义和基本形式；2. 探索平方差公式的几何意义；3. 阅读相关的应用例题，学习平方差公式的应用；4. 完成习题练习，检验平方差公式的掌握程度；5. 分组讨论，分享自己的学习心得与体会；6. 总结平方差公式的应用方法和注意事项。
六、学习评价1. 通过学生的课堂表现、练习习题和讨论等形式，评价学生对平方差公式的理解程度；2. 通过学生独立解决实际问题的能力，评价学生对平方差公式的应用能力。
七、学习延伸1. 进一步探究平方差公式与其他数学知识的联系，如二次方程、勾股定理等；2. 拓展应用，了解平方差公式在工程、经济等领域中的实际应用。
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《平方差公式》导学案
执教：灵台二中姚雅丽
课前：
【导入新课】
问题：多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn （100+2）×（100-2）=？(x+2)(x-2)=？课中：
【展示目标】
1、会推导平方差公式，理解掌握平方差公式的结构特征.
2、并能运用平方差公式进行简单的化简及计算。
教学重点：平方差公式的推导和应用；
教学难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
【自主学习】
要求：用5分钟自学课本P107、P108内容。
1、完成P107探究内容，用字母表示你发现的规律是，文字叙述规律是。
2、这一规律式子左右两边各有什么特征？
3、完成：课本P107思考
4、学习p108的例1和例2，体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的
方便。
5分钟后比谁能灵活运用平方差公式进行计算。
【自学检测】
计算：①（x ＋4)( x－4）②（1 ＋a)( 1－a）
③（m＋n)( m－n）④（y ＋z)（y —z)
2
1
【合作探究】
1.下列各式中,能用平方差公式运算的是(
) A.(-a+b)(-a-b) B.(a-b)(b-a) C.（100+8)(100-7)
2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
D.(-2b-5)(2b-5)
【展示交流】
课本P108 1、2题（2题四名学生板演）
【拓展提升】
1.化简：))()((22y x y x y x （x 4+y 4）
2.简便计算：2018×2016－20172
【总结归标】(a+b)(a-b)=a 2-b 2
1、公式中的a 和b ，既可以是具体的数，也可以是单项式或者多项式；
2、左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另一项互为相反数；
3、右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方。
【达标检测】
运用平方差公式计算：
1.（3a+b ）（3a-b ）
2.（x+2㎡）（x-2㎡）
3.（x-2y ）（x+2y ）
4. 9.8 × 10.2 课后：作业设置：（基础题）课本P112 14.2第1题
（提高题）1. 求方程（x+6）（x-6）-x （x-9）=0的解。
2.计算：
59.7×60.3 3.化简求值：（3a+1）（3a-1）-（2a-3）（3a+2）其中a=-预习任务：P109完全平方公式（理解概念及公式完成练习）D.(y-1)(y-1)。