离散数学测试(集合论)

《离散数学》单元测试（集合论）

3.1集合的基本概念

1.设Ａ、Ｂ、Ｃ是集合，确定下列命题是否正确，说明理由。

（1）Ф⊆Ф

（2）Ф∈Ф

（3）Ф⊆{Ф}

（4）Ф∈{Ф}

（5）如果A∈B与B⊆C,则A⊆C

（6）如果A∈B与B⊆C,则A∈C

（7）如果A⊆B与B∈C,则A∈C

（8）如果A⊆B与B∈C,则A⊆C

2.有n个元素的集合Ａ的幂集ρ(A)的元素个数为多少？求下列集合的幂集合。

（1）Ф

（2）{Ф}

（3）{Ф,{Ф}}

（4）{a,b}

（5）{a,b,{a,b}}

（6）{1，{1}，2，{2}}

3.2 集合的运算

1.设A，B是两个集合，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则B－A= ，ρ（B）－

ρ（A）= 。

2.全集E={a，b，c，d，e}，A={a，d}，B={a，b，e}，C={b，d}，求

，ρ（A）∩ρ（B）

A B C=

()

= 。

3.下列命题正确的是（）。

A．φ∩{φ}=φB．φ∪{φ}=φC．{a}∈{a，b，c} D．φ∈{a，b，c}

4.确定下列各式的值：

Ф∩{Ф}＝

{Ф,{Ф}}－Ф＝

{Ф,{Ф}}－{Ф}＝

6.证明下列各等式：

A∩(B－A)＝Ф

A∪(A∩B)＝A

3.3 有穷集合的计数问题

掌握文氏图和容斥原理求解有穷集合的计数问题的方法，并会简单应用。以教材的示例为基础。

第4章 二元关系

4.1二元关系的定义、表示方法与特性

1. A 和B 是任意两个集合，若序偶的第一个元素是A 的一个元素，第二个元素是B 的一个

元素，则所有这样的序偶集合称为集合A 和B 的 ， 记作A ⨯B ，即A ⨯B= 。A ⨯B 的子集R 称为A 到B 的一个 。若|A|=m ， B|=n ，则A 到B 共有 个不同的二元关系。

2. 设集合A ＝{a,b},B ＝{x,y},求笛卡尔乘积A ×B,B ×A,,A ×ρ(B)。

3. 证明：

(1) (A ∩B)×C=(A ×C)∩(B ×C)

(2) (A ∪B)×C=(A ×C)∪(B ×C)

4. 设A={a,b},B={x,y},则从A 到B 的二元关系共有多少个？请分别列出。

5. 设集合A={a,b,c,d},B={1,2,3},R 是A 到B 的二元关系，R={,,,,,},写出R 的关系矩阵和关系图。

6. 设集合 A={1，2，3}，A 上的关系R={<1，1>， <1，2>， <2，2>， <3，3>， <3，2>}，则R 不具备（ ）。

A 自反性 B. 反自反性 C. 对称性 D. 反对称性 E. 传递性

7.

设集合A={a,b,c},R 是A 上的二元关系，R={〈a,a 〉,〈a,b 〉,〈a,c 〉,〈c,a 〉}，那么R 具备（ ）。

A 自反性 B. 反自反性 C. 对称性 D. 反对称性 E. 传递性 4.2 关系的运算（合成、逆运算、闭包运算）

1． 集合A={a 1,a 2,a 3},B={b 1,b 2,b 3,b 4},C={c 1,c 2,c 3,c 4};

R 是A 到B 的二元关系，R={,,,,};

S 是B 到C 的二元关系，S={,,,,}。

求复合关系R оS 。

2． 设集合{1,2,,10}A = ，A 上的二元关系R={|x,y ∈A,x+3y=12}，试求R n 。

3． 设R ，S 是二元关系，证明：111)(---=R S S R 。

4． 集合},,,{d c b a R =，R 是集合A 上的关系，{,,,,,}R a b b a b c =<><><>，求

)(),(),(R t R s R r ，并分别画出它们的关系图。

4.3 等价关系及划分

1. R 是集合A 上的二元关系，如果关系R 同时具有 性、 性

和 性，则称R 是等价关系。

2. R 是集合A={a ，b ，c ，d ，e ，f }是上的二元关系， R={〈a ，d 〉，〈d ，a 〉，〈a ，e 〉，〈e ，a 〉，

，，，}∪I A

（1） 画出R 的关系图，判断R 是否为等价关系；

（2） 如果是等价关系，则求A 中各元素的等价类，并写出A/R ；否则说明原因。

3. 集合A={a,b,c,d,e,f,g}，划分л={{a,c,e},{b,d},{f,g}}，求划分л所对应的等价关系R 的关系图表

示。

4. 集合A={1,2,3,4,5}，求下列等价关系所对应的划分。

（1） R 是A 上的全域关系（即R=A ×A ）。

（2） R 是A 上的相等关系（即R={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉,〈4,4〉,〈5,5〉}）。

（3） R 是A 上模2同余关系。

4.4偏序关系

1. 设集合},,,,{e d c b a A =上的关系R 为

{,,,,,,,,,,,,,,R a a b b c c c d d d d e e c e e =<><><><><><><><>

，写出R 的关系矩阵,画出R 的关系图,说明R 是不是偏序关系?

2. 设集合}24,12,8,6,4,3,2{=A ，R 为A 上的整除关系，

（1） 画出偏序集的哈斯图；

（2） 写出集合A 中的最大元、最小元、极大元、极小元；

（3） 写出A 的子集}12,6,3,2{=B 的上界、下界、最小上界、最大下界。

4. 是偏序集，A={a,b,c,d,e},图示为其关系图，试将关系图改画成哈斯图。

5. （A,R ）是偏序集，图示为其哈斯图，试写出R 的关系矩阵。

4.5 函数的定义和特殊函数类

1. 集合A={x,y,z},B={1,2,3},试说明下列A 到B 的二元关系中，哪些能构成函数？

（1） {,,}