《应用泛函分析》前四章重点复习大纲

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第1章预备知识
1.1集合的一般知识
1.1.1概念、集合的运算
上限集、上极限
下限集、下极限
1.1.2映射与逆映射
1.1.3可列集
可列集
集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构
1.2.1建立实数的原则及实数的序关系
阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理
上确界sup E（定义1.5）
下确界inf E
确界原理（定理1.7）
1.2.3实数集的度量结构
数列极限与函数极限
单调有界原理
区间套定理
Bolzano-Weierstrass定理
Heine-Bore定理
Cauchy收敛准则
1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续
函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛
逐点收敛（定义1.11）
一致收敛（定义1.12）
Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质
极限与积分可交换次序
1.4 Lebesgue积分
1.4.1一维点集的测度
开集、闭集
有界开集、闭集的测度m G m F
外测度内测度
可测集（定义1.16）
1.4.2可测函数
简单函数（定义1.18）
零测度集
按测度收敛
1.4.3 Lebesgue积分
有界可测集上的Lebesgue积分
Levi引理
Lebesgue控制收敛定理（性质1.9）
R可积、L可积
1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理
1.5 空间
Lp空间（定义1.28）
Holder不等式
Minkowski不等式（性质1.16）
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第2章度量空间与赋范线性空间
2.1度量空间的基本概念
2.1.1距离空间
度量函数
度量空间（X，ρ）
2.1.2距离空间中点列的收敛性
点列一致收敛 按度量收敛
2.2度量空间中的开、闭集与连续映射
2.2.1度量空间中的开集、闭集
开球、闭球
内点、外点、边界点、聚点
开集、闭集
2.2.2度量空间上的连续映射
度量空间中的连续映射（定义2.7）
同胚映射
2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性
2.3.1度量空间的可分性
稠密子集（定义2.9）
可分性
2.3.2度量空间的完备性
度量空间中Cauchy列（定义2.11）
完备性
完备子空间
距离空间中的闭球套定理（定理2.9）
闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性
列紧集、紧集（定义2.13）
全有界集
2.4 Banach压缩映射原理
压缩映像
不动点
Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用
隐函数存在性定理（例2.31）
2.5 线性空间
2.5.1线性空间的定义
线性空间（定义2.17）
维数与基、直和
2.5.2线性算子与线性泛函
线性算子
线性泛函（定义2.18）
零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间
2.6.1赋范线性空间的定义及例子
赋范线性空间
Banach空间（定义2.20）
2.6.2赋范线性空间的性质
收敛性——一致收敛
绝对收敛
连续性与有界性
2.6.3有限维赋范线性空间
N维实赋范线性空间
3
Riesz定理（引理2.2）
第3章连续线性算子与连续线性泛函3.1连续线性算子与有界线性算子
算子、线性算子、泛函、线性泛函
线性算子连续←→有界
有解线性算子的范数（定义3.3）
有界线性算子空间L(X, Y)
L(X, Y)的完备性
3.2共鸣定理及其应用
有界线性算子列的一致收敛、强收敛
稀疏集、第一纲
Baire纲定理
算子列的一致有界原理（定理3.8）
算子范数的有界→强收敛3.3 Hahn-Banach定理
次可加正齐次泛函
Hahn-Banach定理（定理3.12）
Banach保范延拓定理（定理3.14）3.4共轭空间与共轭算子
3.4.1共轭空间
共轭空间（注定理3.6 p.93）
嵌入子空间、等距同构（定义3.7）
自反空间（定义3.8）
嵌入算子（定理3.15）
弱收敛点列（定义3.9）
共轭空间上泛函的收敛（定义3.10）
线性算子列弱收敛
3.4.2共轭算子
共轭算子（定义3.12）
共轭算子的性质
3.5开映射、逆算子及闭图像定理
逆算子的有界性
开映射
Banach开映射定理
Banach逆算子定理
乘积赋范线性空间
闭图像
闭算子
闭图像定理→算子连续
3.6算子谱理论简介
复Banach 空间线性算子的正则点
谱点：特征值、连续谱、剩余谱
正则集——开集
谱——有界闭集
谱半径（定义3.17）
全连续算子（定义3.18）
Riesz-Schauder定理
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第4章内积空间
4.1基本概念
内积空间
Schwaraz不等式
内积空间 Hilbert空间
4.2内积空间中元素的直交与直交分解4.2.1直交及其性质
直交、直交补（定义4.2）
直交投影
最佳逼近元
极小化向量定理（定理4.2）
4.2.2投影定理
投影定理（定理4.3）
直交分解
4.3直交系
标准直交系
元素x 关于的Fourier级数（定义4.6）
Bessel不等式（定理4.5）
标准直交系是完全的（定义4.7）
Parseval等式（定理4.7）
Gram-Schmidt标准正交化法
4.4 Hilbert空间上的有界线性泛函4.4.1 Riesz定理
Riesz定理4.4.2Hilbert空间上的共轭算子
共轭算子（定义4.8）
共轭算子的性质
4.5自共轭算子
自共轭算子（定理4.13）
4.6投影算子、正算子和酉算子
投影算子（定义4.10）
投影算子<->自共轭算子<->幂等算子（定理4.19）
正算子（定义4.11）
平方根算子（定理4.21）
酉算子（定理4.22）。