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4 11 答案： 33
|n· a| ＝ |n||a|
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抓主干 知 识 回 扣
研考向 考 点 探 究 提素能 高 效 训 练
利用空间向量证明平行、垂直(师生共研) 例1 如图所示，在四棱锥P -ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，
在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上， PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角． 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
(1)求证：CM∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.
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解析 以 C 为坐标原点，CB 所在直线为 x 轴，CD 所在直线为 y 轴， CP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz. ∵PC⊥平面 ABCD， ∴∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，∴∠PBC＝30° . ∴PC＝2，∴BC＝2 3，PB＝4.∴D(0,1,0)，B(2 3，0,0)，A(2 3，
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研考向 考 点 探 究 提素能 高 效 训 练
(1)解法一 令 n＝(x，y，z)为平面 PAD 的一个法向量， 1 z ＝ →· 2y， －y＋2z＝0， n＝0， DP 则 即 ∴ → 2 3 x ＋ 3 y ＝ 0 ， n＝0， DA· x＝－ 3y， 2 令 y＝2，得 n＝(－ 3，2,1)． → ＝－ 3× 3＋2×0＋1×3＝0， ∵n· CM 2 2 → ，又 CM⊄平面 PAD，∴CM∥平面 PAD. ∴n⊥CM
3 3 4,0)，P(0,0,2)，M ，0， ， 2 2 3 3 → → → ∴DP＝(0，－1,2)，DA＝(2 3，3,0)，CM＝ ，0， ， 2 2
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(2)设n1，n2分别是二面角α -l -β的两个面α，β的法向量，则向量 二面角的平面角的大小 n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是 ______________________( 如图②
③)．
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二、空间向量求空间角
3．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( (2)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) )
(3)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(
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→ ＝(－ 3，2,1)． (2)取 AP 的中点 E，则 E( 3，2,1)，BE ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. →· → ＝(－ 3，2,1)· 又∵BE DA (2 3，3,0)＝0， → ⊥DA → ，∴BE⊥DA，又 PA∩DA＝A. ∴BE ∴BE⊥平面 PAD，又∵BE⊂平面 PAB， ∴平面 PAB⊥平面 PAD.
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规律方法
(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，
是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向 量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量 共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为 向量运算． (3)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直， 而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明． 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
(4)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
)
)
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4．已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面 所成的二面角为( A．45° C．45°或135° ) B．135 D．90° 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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答案：C
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5．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a
＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________．
解析： 设 l 与 α 所成角为 θ ，则 sin θ ＝ |cosn ， a| ＝ |－8－3＋3| 4 11 ＝ 33 . 16＋1＋1× 4＋9＋9
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证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC. 又∵EF∥AB，∴EF⊥BC. 又∵EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH， ∴AB⊥FH. 又∵BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面ABC. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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3. 能用向量方法证明立体几
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一、直线的方向向量和平面的法向量 1．直线的方向向量：如果表示非零向量 a的有向线段所在直线与 平行 或_______ 重合 ，则称此向量a为直线l的方向向量． 直线l_______ 2．平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫作 平面α的法向量． 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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→ ＝(0,1，－2)，PA → ＝(2 3，4，－2)， 解法二 ∵PD → ＝xPD → ＋yPA → ，则 令CM 3 2 ＝2 3y， 0＝x＋4y， 3 2＝－2x－2y，
)
A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1) B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1) C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1) D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2) 解析：直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量垂直， 经检验只有选项C中s·n＝0，故选C. 答案：C 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
x＝－1， 方程组有解为 1 y＝4.
→ ＝－PD → ＋1PA → ，由共面向量定理知CM → 与PD → 、PA → 共面， ∴CM 4 又∵CM⊄平面 PAD，∴CM∥平面 PAD.
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设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
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2.求直线与平面所成的角 设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所
四、利用空间向量求点面距离 如图，已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 →· |AB n| |n| → |＝__________. B 到平面 α 的距离为|BO
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1．通常取直线上两个特殊点构成直线的方向向量；当直线平行于 x轴、y轴或z轴时，直线的方向向量可分别取i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝ (0,0,1)． 2．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量． 3．若能找出平面的垂线，则垂线上取两个特殊点可构成平面的一 个法向量． 山 东 4．若通过解三元一次方程组(仅两个方程组成)求平面的法向量时， 金 太 不妨取z＝1. 阳 5．利用空间向量证明平行垂直关系的关键是确定直线的方向向量 书 业 及平面的法向量．同时要结合图形根据要证的平行式垂直关系转化为 有 限 直线方向向量与平面的法向量之间的关系． 公 司
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6．异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角都可以转化成 空间向量的夹角来求． 7．空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同，如两向量的夹角范
山 东 金 8．用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹 太 阳 书 角有相等和互补两种情况． 业 有 限 公 司
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2．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若 α⊥β，则t＝( A ．3 C．5 答案：C ) B．4 D．6 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
解析：∵α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.
π 围是[0，π]，两异面直线所成的角的范围是 0，2 .
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一、利用空间向量表示平行、垂直问题 1．若直线l∥平面α，直线l的方向向量为s、平面α的法向量为n，
则下列结论正确的是(
|a· n| |a||n| |cos<a，n>| ＝____________. 成的角为 θ，则 sin θ＝____________
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3．求二面角的大小 (1)若 AB，CD 分别是二面角 α lβ 的两个面内与棱 l 垂直的异面直 → 与CD → 向量AB 线，则二面角的大小就是______________ 的夹角．
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第七节
最新考纲展示
立体几何中的向量方法
2.能用向量语言表述
1．理解直线的方向向量及平面的法向量．
线线、线面、面面的平行和垂直关系．
山 东 何中有关线面位置关系的一些简单定理 (包括三垂线定理)． 4.能用向 金 量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题， 太 阳 书 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用． 业 有 限 公 司
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二、空间位置关系的向量表示
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三、利用空间向量求空间角 1．求两条异面直线所成的角
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1. 如 图 所 示 ， 在 多 面 体 ABCDEF 中 ， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H是BC的中 点． (1)求证：FH∥平面EDB； (2)求证：AC⊥平面EDB. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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利用空间向量证明平行、垂直(师生共研) 例1 如图所示，在四棱锥P -ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，
在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上， PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角． 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
(1)求证：CM∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.
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解析 以 C 为坐标原点，CB 所在直线为 x 轴，CD 所在直线为 y 轴， CP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz. ∵PC⊥平面 ABCD， ∴∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，∴∠PBC＝30° . ∴PC＝2，∴BC＝2 3，PB＝4.∴D(0,1,0)，B(2 3，0,0)，A(2 3，
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(1)解法一 令 n＝(x，y，z)为平面 PAD 的一个法向量， 1 z ＝ →· 2y， －y＋2z＝0， n＝0， DP 则 即 ∴ → 2 3 x ＋ 3 y ＝ 0 ， n＝0， DA· x＝－ 3y， 2 令 y＝2，得 n＝(－ 3，2,1)． → ＝－ 3× 3＋2×0＋1×3＝0， ∵n· CM 2 2 → ，又 CM⊄平面 PAD，∴CM∥平面 PAD. ∴n⊥CM
3 3 4,0)，P(0,0,2)，M ，0， ， 2 2 3 3 → → → ∴DP＝(0，－1,2)，DA＝(2 3，3,0)，CM＝ ，0， ， 2 2
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(2)设n1，n2分别是二面角α -l -β的两个面α，β的法向量，则向量 二面角的平面角的大小 n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是 ______________________( 如图②
③)．
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二、空间向量求空间角
3．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( (2)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) )
(3)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(
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→ ＝(－ 3，2,1)． (2)取 AP 的中点 E，则 E( 3，2,1)，BE ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. →· → ＝(－ 3，2,1)· 又∵BE DA (2 3，3,0)＝0， → ⊥DA → ，∴BE⊥DA，又 PA∩DA＝A. ∴BE ∴BE⊥平面 PAD，又∵BE⊂平面 PAB， ∴平面 PAB⊥平面 PAD.
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规律方法
(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，
是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向 量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量 共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为 向量运算． (3)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直， 而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明． 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
(4)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
)
)
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4．已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面 所成的二面角为( A．45° C．45°或135° ) B．135 D．90° 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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5．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a
＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________．
解析： 设 l 与 α 所成角为 θ ，则 sin θ ＝ |cosn ， a| ＝ |－8－3＋3| 4 11 ＝ 33 . 16＋1＋1× 4＋9＋9
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证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC. 又∵EF∥AB，∴EF⊥BC. 又∵EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH， ∴AB⊥FH. 又∵BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面ABC. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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3. 能用向量方法证明立体几
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一、直线的方向向量和平面的法向量 1．直线的方向向量：如果表示非零向量 a的有向线段所在直线与 平行 或_______ 重合 ，则称此向量a为直线l的方向向量． 直线l_______ 2．平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫作 平面α的法向量． 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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→ ＝(0,1，－2)，PA → ＝(2 3，4，－2)， 解法二 ∵PD → ＝xPD → ＋yPA → ，则 令CM 3 2 ＝2 3y， 0＝x＋4y， 3 2＝－2x－2y，
)
A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1) B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1) C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1) D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2) 解析：直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量垂直， 经检验只有选项C中s·n＝0，故选C. 答案：C 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
x＝－1， 方程组有解为 1 y＝4.
→ ＝－PD → ＋1PA → ，由共面向量定理知CM → 与PD → 、PA → 共面， ∴CM 4 又∵CM⊄平面 PAD，∴CM∥平面 PAD.
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设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
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2.求直线与平面所成的角 设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所
四、利用空间向量求点面距离 如图，已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 →· |AB n| |n| → |＝__________. B 到平面 α 的距离为|BO
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1．通常取直线上两个特殊点构成直线的方向向量；当直线平行于 x轴、y轴或z轴时，直线的方向向量可分别取i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝ (0,0,1)． 2．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量． 3．若能找出平面的垂线，则垂线上取两个特殊点可构成平面的一 个法向量． 山 东 4．若通过解三元一次方程组(仅两个方程组成)求平面的法向量时， 金 太 不妨取z＝1. 阳 5．利用空间向量证明平行垂直关系的关键是确定直线的方向向量 书 业 及平面的法向量．同时要结合图形根据要证的平行式垂直关系转化为 有 限 直线方向向量与平面的法向量之间的关系． 公 司
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6．异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角都可以转化成 空间向量的夹角来求． 7．空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同，如两向量的夹角范
山 东 金 8．用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹 太 阳 书 角有相等和互补两种情况． 业 有 限 公 司
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2．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若 α⊥β，则t＝( A ．3 C．5 答案：C ) B．4 D．6 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
解析：∵α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.
π 围是[0，π]，两异面直线所成的角的范围是 0，2 .
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一、利用空间向量表示平行、垂直问题 1．若直线l∥平面α，直线l的方向向量为s、平面α的法向量为n，
则下列结论正确的是(
|a· n| |a||n| |cos<a，n>| ＝____________. 成的角为 θ，则 sin θ＝____________
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3．求二面角的大小 (1)若 AB，CD 分别是二面角 α lβ 的两个面内与棱 l 垂直的异面直 → 与CD → 向量AB 线，则二面角的大小就是______________ 的夹角．
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2.能用向量语言表述
1．理解直线的方向向量及平面的法向量．
线线、线面、面面的平行和垂直关系．
山 东 何中有关线面位置关系的一些简单定理 (包括三垂线定理)． 4.能用向 金 量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题， 太 阳 书 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用． 业 有 限 公 司
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三、利用空间向量求空间角 1．求两条异面直线所成的角
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1. 如 图 所 示 ， 在 多 面 体 ABCDEF 中 ， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H是BC的中 点． (1)求证：FH∥平面EDB； (2)求证：AC⊥平面EDB. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司