多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
z = f (u, v, t), u = ϕ(t),
v =ψ (t)
z = f (u, x, y), u = ϕ(x, y)
解 (1)
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
+
∂z ∂z ∂u = ∂x ∂u ∂x ∂z = ∂u ∂z = ∂u ∂z ∂z = ∂y ∂u
2 2 x2 + y2 +x4 sin2 y
x2 + y2 +z2
∂f ∂u ∂f ∂f ∂z ∂f ∂f ∂z = = + ⋅1 + ⋅0 + ∂y ∂y ∂x ∂z ∂y ∂y ∂z ∂y
= 2ye
x2 + y2 +z2
4
x2 + y2 +z2 x2 cos y ⋅ + 2ze
x2 + y2 + x4 sin2 y
y
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z + = ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
注
设 u = ϕ( x, y)、 =ψ( x, y)及w = ω( x, y) 都在点 v
(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点 (u,v,w)有连续偏导数，则复合函数
z = f [ϕ(x, y),ψ (x, y),ω(x, y)]
= eu (sin v + y cos v) = ex+ y[sin( xy) + y cos(xy)]
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
= eu sin v ⋅1 + eu cos v ⋅ x
多元复合函数的求导法则
分线相加
同理可得
z z u z v y u y v y
返回
一、多元复合函数求导法则 —链锁规则
设下列各公式中所出现的函数均满足所需条件， 且有相应的导数或偏导数。 1、全导数 情形1 链锁规则公式
u z x
全导数
v
dz z du z dv dx u dx v dx
dh h dV w dr dt V dt r dt 3 6V r 2 4 3 e r r
返回
dh 6 V r 2 (2 e ) dt r r
设t0时刻沙丘体积为60立方米、底面半径为6米，则
dh 6 60 6 2 (2 e ) dt t t0 6 6
3
dz ,求 . dt
〖解〗由多元复合函数求导法则得全导数为：
x z y
2
t
dz z dx z dy dt x dt y dt 2 cos t f x 3t f y
部分抽象函数
□
设f具有二阶连续偏导数，如何求二阶导数？
d z d dz 2 dt dt dt d 2 (cos t f x 3t f y ) dt
返回
视y为常数
视u,v为常数
【例8】设 u f ( x, y, z ), z g ( x, y), y h( x, t ), t ( x),
du 求 . dx
〖解〗方法1(链锁规则公式)
x u y z
x y
x
x
du f dx x
f h h d y x t dx
情形5
x z u v
x y
z f f u f v x x u x v x z f u y u y
多元多重复合函数的求导法则
多元多重复合函数的求导法则多元多重复合函数是多元函数中重要的一类函数，常用来描述多元关系，其中常用求导法则如下： 1. 链式法则：链式法则是求导最基本的法则，其定义为：若函数y=f(x)是关于变量x的函数，而z=F(y)是关于y的函数，则关于x的F(y)的导数由z的导数乘以y的导数的乘积来决定，即：∂z/∂x = (∂z/∂y) *(∂y/∂x) 2. 偏导数法则：偏导数法则认为多元函数是关于各独立变量变化而变化，即每个变量是由与它独立变量组成的函数组合而成。
这时，只要将函数分解为每个独立变量的函数，分别求出偏导数后，组合即可得到多元函数的极限导数。
3. 偏导数链式法则：偏导数链式法则是将链式法则与偏导数法则相结合而推出的求多元复合函数极限的法则，其定义为：若函数u=f(x,y,z)是三元函数，而v=F(u,z)是关于u，z的多元函数，则u的偏导数即得到v的偏导数，即：∂v ∂x = (∂v/∂u)(∂u/∂x) + (∂v/∂z)(∂z/∂x) 4.Derivative of a composite function：This rule states that for a function y = f(x) composed of two functions u = g(x) and v = h(x), then the derivative of y with respect to x is equal to the product of the derivatives of u and v with respect to x. This can be written as y'(x) = u'(x)·v'(x) 以上是多元多重复合函数常用的求到法则，而求多元复合函数极限的步骤可由偏导数链式法则推导而得。
首先，求出函数中每个变量的偏导数，然后分别乘以各自的函数值，最后将结果进行相乘组合计算即可得到多元复合函数的极限值。
多元函数的求导法则-精选
z z u z v y u y v y
x yx y
eusinvx eucovs1
e x y [x six n y ) (co x y s )( ]
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主讲人： 苏本堂
例2. u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求nu , u x y
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
在点 t 可导, 且有链式法则 dzzduzdv dt u dt v dt
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 t t
有增量△u ,△v ,
zzuzvo() (( u)2( v)2)
u vΒιβλιοθήκη 山东农业大学高等数学
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zzuzv o ( ) (( u)2( v)2)
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 u (t),v (t)在 t可 点 ,z导 f(u,v) 在点 (u,v)处偏导连续, 则复合函数 zf((t) ,(t))
e xy[x six ny ) (co x y s )]d(y 所以 zexy[ysixn y()co x sy)(]
第四节 多元复合函数的求导法则
x
x
= sin 2 x − e .
3
2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理 设 z = f ( u , v ) 具 有连续偏导数 , u = ϕ ( x , y ) , 可偏导, v = ψ ( x , y ) 可偏导, 则复合函数 z = f [ϕ ( x , y ),ψ ( x , y )] 可偏导, 可偏导, 且有
dz ∂z duu dt ∂v dt ∂w dt
z
u v w
t
dz 称为全导数 全导数. 以上公式中的导数 称为全导数. dt
2
dz . 例1 设 z = u − v , u = sin x , v = e , 求 dx
2
x
dz ∂z du ∂z d v 解 = ⋅ + ⋅ dx ∂u dx ∂v d x
例10
xy
0
e
−t 3
d t ( x > 0, y > 0)
求
解
∂F ∂F . , ∂x ∂y
u −t 3
F
u
x y
令 u = xy , 则 F (u ) = ∫ e d t 0
∂F d F ∂u y 1 −( −u3 = = e =e ⋅ ∂x d u ∂x 2 xy 2
关于 u 的 一元函数
xy ) 3
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ = ⋅ + ⋅ , + ⋅ . ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
链式法则如图示
u
x
z
v
y
5
类似地, 类似地, 设 z = f ( u , v , w ) , u = ϕ ( x , y ) , v = ψ ( x, y) , w = ω( x, y) ,则复合函数 z = f [ϕ ( x, y ),ψ ( x, y ), ω ( x, y )] 的偏导数为
高数第四节-多元复合函数的求导法则
u
x
F (x , y)
z
v
y
定理 2 ：设 u = ( x , y ), v = ( x , y ) 在点 ( x , y ) 偏
导数存在，z = f ( u , v ) 在对应的点 ( u , v ) 处具有连续
偏导数，则复合函数 z = f [ ( x , y ) , ( x , y ) ] 在点
zx , zxx , z xy.
解：令 v = x y , 则 z u v , u (x , y) , v x y
u
y
z
v
x
z z u z v u y
x u x v x x
2z xy
{
u x
y
}
' y
1
2u , xy
2z x2
2u x2
例6：设 z y 2 ( x y) , 为可微函数，求证
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz , 则 w f (u,v),
2w xz
f1 z
( yf2
yz f2), z
u
x
f1 f1(u, v), f2 f2(u, v), w
v
y z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
第四节：多元复合函数的求导法则
设 y f (u) , u (x) , 则 y f [ ( x) ] ,
d y d y du dx du dx
dy
du
du
y
u dx
x
dy
dx
设 z f ( u, v ) , u (x , y) , v (x , y) ,
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则为了简化讲解，假设我们有一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个一元函数，f(y)是一个多元函数。
我们希望计算该函数的导数。
下面是多元复合函数求导的三种基本法则。
法则一：链式法则链式法则是求导复合函数最常用的法则。
它可以帮助我们计算f(g(x))的导数。
根据链式法则，导数可以通过链式相乘的方式进行计算。
链式法则的公式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)其中f'(y)是f(y)对变量y的导数，g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过链式法则，我们可以将f(g(x))的导数转化为f'(g(x))和g'(x)的乘积。
法则二：导数反函数法则导数反函数法则是求导复合函数的另一种常用法则。
它适用于求导符合函数的反函数的导数。
设y=g(x)是一个可逆函数，且g'(x)≠0，则它的反函数x=g⁻¹(y)的导数可以通过导数的反函数进行计算。
导数反函数法则的公式为：(g⁻¹(y))'=1/(g'(x))其中g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过导数反函数法则，我们可以计算得到反函数的导数。
法则三：隐函数法则隐函数法则适用于求导复合函数中的隐式函数。
隐式函数是一种表示函数关系的方程，它的导数可以通过隐函数法则进行计算。
假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，其中y=g(x)是一个表示x与y的关系的函数。
我们可以使用隐函数法则计算y的导数。
隐函数法则的公式为：(dy/dx) = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中(∂F/∂x)和(∂F/∂y)分别表示F(x,y)对变量x和y的偏导数。
通过隐函数法则，我们可以计算得到复合函数的导数。
综上所述，链式法则、导数反函数法则和隐函数法则是求导复合函数的三种基本法则。
这些法则能够帮助我们解决复杂的多元函数求导问题，提高计算效率。
多元复合函数的求导法则
上式两端同时除以△t ，得到
.
3
z f u f v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t 令 t 0, 则有u 0, v 0,
z
u du , v dv
uv
t dt t dt
o ( ) o( ) (u)2 ( v)2 0 t t
t
t
u xyz xt
u f f f
z
dt u dt v dt t
v e t u sin t cos t
uvt
e t (cost sin t) cos t
tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加.
在对应点（u, v）可微, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链法则（见右边的树图）
dz f du f dv dt u dt v dt 证: 设 △t 为t 的增量, 则相应中间变量
z
uv
有增量△u ,△v , 由于 f 可微，所以
tt
z f u f v o ( ) ( (u)2 (v)2 )
d t 2 u dt v dt
.
5
定理2. 设 z f (u,v) 在对应点可微
u(x,y)， v(x,y)偏导数都存在，
则
z z u z v
x u x v x
z
uv x yx y
z z u z v y u y v y 推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
注意防止记号的混淆.
.
（整理）多元复合函数的求导法.
（整理）多元复合函数的求导法.多元复合函数的求导法在⼀元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作⽤，对于多元函数来说也是如此。
下⾯我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。
我们先以⼆元函数为例：多元复合函数的求导公式链导公式：设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的⼀阶偏导数,那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：例题：求函数的⼀阶偏导数解答：令由于⽽由链导公式可得：其中上述公式可以推⼴到多元，在此不详述。
⼀个多元复合函数，其⼀阶偏导数的个数取决于此复合函数⾃变量的个数。
在⼀阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此⾃变量有关的中间变量的个数。
全导数由⼆元函数z=f(u,v)和两个⼀元函数复合起来的函数是x的⼀元函数.这时复合函数的导数就是⼀个⼀元函数的导数,称为全导数.此时的链导公式为:例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求解答：由全导数的链导公式得：将u=cosx，v=sinx代⼊上式，得：关于全导数的问题全导数实际上是⼀元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成⽽已。
多元函数的极值在⼀元函数中我们看到，利⽤函数的导数可以求得函数的极值，从⽽可以解决⼀些最⼤、最⼩值的应⽤问题。
多元函数也有类似的问题，这⾥我们只学习⼆元函数的极值问题。
⼆元函数极值的定义如果在(x0,y0)的某⼀去⼼邻域内的⼀切点(x,y)恒有等式：f(x,y)≤f(x0,y0) 成⽴，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极⼤值f(x0,y0)；如果恒有等式：f(x,y)≥f(x0,y0) 成⽴，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极⼩值f(x0,y0).极⼤值与极⼩值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.⼆元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是：.注意：此条件只是取得极值的必要条件。
凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不⼀定是极值点。
第四节多元复合函数的求导法则
第四节多元复合函数的求导法则多元函数是指含有多个自变量的函数，多元复合函数则是由多个函数相互组合而成的复合函数。
在求多元复合函数的导数时，我们需要运用多元复合函数的求导法则。
多元复合函数的求导法则有以下几种情况：1.复合函数的链式法则：设有两个变量x和y，其中y=f(u)是自变量u的函数，u=g(x)是自变量x的函数，则函数y=f(g(x))就是一个多元复合函数。
根据链式法则，该函数的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx2.高阶多元复合函数的求导：对于高阶多元复合函数，我们需要运用多次链式法则来求导。
例如，考虑一个三元复合函数z=f(y),y=g(x),x=h(t)，其中t是自变量。
根据链式法则，可以得到如下公式：dz/dt = dz/dy * dy/dx * dx/dt这里 dz/dy 表示 z 关于 y 的导数，dy/dx 表示 y 关于 x 的导数，dx/dt 表示 x 关于 t 的导数。
3.多元复合函数中的偏导数：对于多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用偏导数的链式法则。
偏导数的链式法则可以表示为：∂z/∂x=(∂z/∂y)*(∂y/∂x)其中∂z/∂y表示z关于y的偏导数，∂y/∂x表示y关于x的偏导数。
同样地，对于高阶多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用多次链式法则来求解。
总结起来，多元复合函数的求导法则主要有链式法则和偏导数的链式法则。
通过这些法则，我们可以方便地求解多元复合函数的导数。
在实际应用中，求多元复合函数的导数常常用于最优化问题、概率统计、机器学习等领域。
这些领域中的问题往往涉及多个变量，而多元复合函数的导数可以帮助我们了解函数随变量的变化趋势，从而得出一些有用的结论。
多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x
7(4)多元复合函数的求导法则
f u
u t
f v
v t
f w w t
kt k1
f
( x,
y, z)
tx
f u
t
y
f v
t
z
f w
tkt k1
f
(
x,
y,
z)
k tk f ( x, y, z) kf (u,v, w)
uxf ux
yv
f
vy
wz
f
wz
kf (xu,yv, wz )
(C ) x f y f z f kf ( x, y, z); x y z
求fxy (0, 0)和f yx (0, 0)
解 当( x, y) (0,0)时, 有
f x ( x,
y)
3x2 y( x2 (x2
y2) x3 y y2 )2
2x
3x2 y x2 y2
2x4 y ( x2 y2 )2
,
fy(x, y)
x3 x2 y2
(
2 x2
x3
y2 y2
)2
.
19
设多元f 复( x合,函y)数的求x导2x法3则yy2 0
当( x, y) (0,0),
当(
x,
y
)
求f (0,0).
xy
(0,0)和f
xy
(0,0).
当( x, y) (0,0)时, 按定义得
f x (0,0)
lim x0
f
(0
x,0) x
f
(0,0)
lim 0 x0 x
0
f
y
4
多元复合函数的求导法则
分量原则
问: 函数对某自变量的偏导数之结构
多元复合函数求导法则
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
2.上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况：
如果 u (x, y) 及 v ( x, y) 都在点( x, y) 具有对 x和y 的偏导数，且函数 z f (u,v) 在对应点 (u,v) 具有连续偏导数，
zv x x
dz 试问 dx 与
f x
是否相同？为什么？
z f (u,v, x), u (x), v ( x)
u
dz f du f dv f
zv x
dx u dx v dx x
不相同.
x
等式左端的z是作为一个自变量x的函数，
而等式右端最后一项 f 是作为u, v, x的三元函数，
一、链式法则
一元复合函数
定理
求导法则
如果函数u (t) 及v (t)都在点 t 可导，
函数 z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，
则复合函数z f [(t), (t)] 在对应点 t 可导，
且其导数可用下列公式计算
dz z du z dv z
dt u dt v dt
u vt
证 设 t 有增量 t，则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u,v) 在点
(u,v) 有连续偏导数，故可微，即
z z u z v o( ), ( (u)2 (v)2 )
复合结构如图示
u
x
z z u z v , z
8.4多元复合函数的求导法则
dz z du dx u d x
z dv v dx
z
u v
vu
v 1
du dv v u ln u dx dx
x
x
如z x sin x ,( x 0, x 1)
d z z du z d v dv v 1 du v vu u ln u d x u d x v dx dx dx
z 与 f 不同, x x
分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
数学教研室
z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
u
e sin v
z y
u
e x y [ y sin( x y ) cos( x y)]d x
所以 例1 .
z z z e sin v, u x y, v x y, 求 , . x y
u
数学教研室
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则 “分段用乘, 例如, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”
z
u v w
t t t
z f (u, v) , u ( x, y) , v ( x, y)
z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
z
u v
x
y x
u x
u
f x f v x ;
u y
x y v f y fv y x y
2. 全微分形式不变性
不论 u , v 是自变量还是中间变量,
7.4(1)_多元复合函数的求导法则
17
多元复合函数的求导法则
设z f (2 x y) g( x, xy),其中f (t )二阶可导 , 2z g( u, v )有连续二阶导数 , 求 . xy 解 设t 2 x y, u x , v xy z y f t 2 g u 1 gv x 2z 2 f t ( 1) [ g uu 0 g uv x ] gv xy x gvu 0] y[ gvv
解
令 u x y z, 记
f ( u , v ) f1 , u
v xyz;
2 f ( u, v ) f12 , uv
. f 22
同理有 f 2,
, f11
w f u f v f1 yzf 2; x u x v x
多元复合函数的求导法则
第 7章
多元函数微分法 及其应用
z
M
z f ( x, y )
y
O
y
P D
x
x
多元复合函数的求导法则
7.4 多元复合函数的求导法则
复合函数的求导法则
一阶全微分形式不变性
小结 思考题
多元函数微分法及其应用
2
多元复合函数的求导法则
一、复合函数求导法(链导法)
复合函数求导法的思路
u u( x x ) u( x ), v v ( x x ) v ( x )
由于已知u(x, y), v(x, y)对x, y的偏导数存在, 因此
当x 0时, 有u 0, v 0, 从而 0, 且
z f u f v lim lim lim , x 0 x u x 0 x v x 0 x
0804多元复合函数的求导法则
w x
f1 1
f2yz
f(x y z ,x y z ) y z f ( x y z ,x y z )
1
2
2w
xz
f1fxy
11
12
y
f 2
yz[f 1 21
f22xy]
为简便 起f 见1 ,1 y 引( x 入 记z ) 号f 1 f12 x y 2 z uff ,2 f12 y 2f 2 u2fv,
练习3 u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,n 求 u , u x y
解: u f f z x x z x
2xex2y2z2 2zex2y2z22xsiny
u
2 x (1 2 x 2 s2 iy ) n e x 2 y 2 x 4 s2 iy n x y z
( 3 ) s f [ u ( x , y , z ) v ( x , y , z ) w ( x , , y , z )],
s f u f v f w , x u x v x w x
s y
f u f v u y v y
f w , w y
s f u f v f w . z u z v z w z
二、全微分形式不变性*: 若 zf(u,v)关于自 u,v具 变有 量连续 , 偏导 则z的全微 dz分 f duf dv; u v 若又 u u (x 有 ,y)v , v(x ,y)关 x ,y 于 偏导 , 数 则 z 对 f[ u (x ,y )于 v ( ,x ,y )有 ]dzzdxzdy x y
t ut vt t
令t0, 则 u 有 0 , v 0 ,
udu, vdv t dt t dt
z
多元函数的求导法则
xy
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例3. 设 zuvsitn ,u et , vcot,s求全导数 d z . dt
解: d z z du z dv z
d t u dt v dt t
z
v e tusitncot s et(cto ssit)nco t s
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
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主讲人： 苏本堂
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”
例如, u f( x ,y ,v ) ,v ( x ,y ) ,
u
u x
f1 f31 ;
2. 全微分形式不变性
u y
f 2 f3 2
x yv xy
对 zf(u,v),不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u ( u , v ) d u f v ( u , v ) d v
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作业：p-167习题3
P171 习题 5 6 P174 习题1 （4） P178 习题 4 6（1），（3）7
2xex2y2z2 2zex2y2z22xsiny
u
2 x (1 2 x 2 s2 iy ) n e x 2 y 2 x 4 s2 iy n x y z
u y
f y
f z z y
2yex2y2z22zex2y2z2 x2 cosy
2 (y x 4 sy ic n y o )e x 2 s y 2 x 4 s2 iy n
高等数学：7-3 多元复合函数的求导法则
链式法则如下图所示
u
x
z
v
y
z z u x u x
z v
v x
fu ux fv vx
z z u z y u y v
v y
fu uy
fv vy
链式法则：“分段相乘，分叉相加”
注 1 上述公式可推广：中间变量及自变量的个数
可增加或减少。例如
ux zv
wy
x
z
uy vt
2 当复合函数中自变量与中间变量共存时
dz z du z dv ． dt u dt v dt 证 设 t 获得增量 t， 则 u (t t) (t), v (t t) (t);
由于函数 z f (u,v) 在点 (u,v) 有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当 u 0，v 0 时，1 0， 2 0
w
区
z y
f u
u y
f y
.
别 类 似
两者的区别
把 z f (u, x, y) 中
把复合函数 z f [( x, y), x, y] 中 的 u 及 y 看作不变
的 y 看作不变而对 x 的偏导数 而对 x 的偏导数
（3）当仅有一个中间变量时
z f (u), u ( x, y) 则复合函数z f [(x, y)]
z z u z v y u y v y
eu sinv x eu cosv 1 e u ( x sinv cos v).
例2 u f ( x, y, z) e x2 y2 z2 而 z=x2siny。求
u u x y 解 u f x f y f z f f z x x x y x z x x z x
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薛星美
链式规则 一阶全微分的形式不变性
dyf '(x)dx.
1. y f (x) 是一元函数 2. y f (x) 是多元函数
f(x)gradf dx 是列向量
3. y f (x) 是向量值函数
f (x) Jf (x) dx 是列向量
一元复合函数 y f(u )u ,(x )
x x2
x
f2(x,x2)1
链式法则的矩阵表示：
z zxzy u x u y u
z zxzy v x v y v
x
(z u
,
z) v
(z x
,
z
)
y
u y
u
x
v y
v
推广到一般多元复合函数
设 f:D f R m R , z f(y 1 ,y 2 , ,y m ),
g:Dg Rn Rm: (x 1 ,x 2 , ,x n )(y 1 ,y 2 , ,y m ),
r
xy xy
已知 u x u rcos usrin
u ux
(2)
2u x2
(( uu )) cos
rx xx
(
u x
)
在点(x(t),y(t)) 处可微, 则复合函数 zf(x(t),y(t))
在点 t 可导, 且有链式法则
dz zdxzdy dt x dt y dt
由此立即可得到定理12.2.1.
定理. 若函数 g在 点 (u,v)D g可 导 , z f (x,y)
在 点 ( x ,y )( x x ( u ,v ) ,y y ( u ,v ) )处可微, 则复合函数
在何条件下复合函数可偏导？ 偏导数如何计算？
讨论的是偏导数，先假设g是一元二维函数
设函数 x x (t),y y (t)在 点 t可 导 ,
z f (x, y)在点(x, y)处可微 (xx(t),yy(t))
讨论复合函数 zf(x(t),y(t))关于 t 可导性
定理. 若函数 x x (t),y y (t)在 点 t可 导 ,z f (x,y)
例. 设 z e u sv i ,u n x y ,v x y ,求 z , z . x y
解: z z u z v x u x v x
eusinv y eucovs1
z
e x y [ysix n y ) (co x y s )( ]u v
z z u z v y u y v y
zf(x(u ,v),y(u ,v))
在 点 (u,v)可 偏 导，且有链式法则
z zxzy u x u y u
z zxzy v x v y v
z f (x, y) 的可微性减弱为可偏导时，结论是否成立？
例如:
zf(x, y)
x2 y ,
x2 y2
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
xt, yt
多元复合函数导数链式法则的矩阵表示
( z , z ,L , z ) ( z ,L , z )
x1 x2
xn
y1
ym
y1
x1 y2
x1 M
y1 L x2 y2 L x2
MO
y1
xn y2
xn M
Байду номын сангаас
ym
x1
ym L x2
ym
xn
grad(fog)(x)gradf (y) J g ( x )
为区D域 g Rn上的 n元m维向量值 , 函
如果 g的值g(域 Gg)Df ,则可得复合函
z f g f( y 1 ( x 1 , x n ) ,y m ( x 1 , ,x n ))
设 g 可 导 ,f可 微 ,则 复 合 函 数 可 导 ,且
z x i z y 1 y 1 x i z y 2 y 2 x i L z y m y m x i,i 1 ,2 ,L ,n .
xv xy
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
x
x
例. 已知 f(x,y)yx2 1, f1(x,y) yx2 2x, 求
f2(x, y) yx2.
z
解: 设 z = f(x,x2 ) 则 z 1
对 zf(x,x2)1两边关于 x 求导, 得 f1 (x ,x 2 ) f2 (x ,x 2 )2 x 0 f1(x,x2)2x
x
x r x x
u
r
x yx y
(当在二、r 三 x象限co时s,,
x r
x ar1ctax(2ynxyxy )2 )
s
in r
urcosusirn
u u r u y r y y
rysin,
1 x
co s
y r
y 1(x y)2 r
ursinucros
u
( u x)2 ( u y)2 ( u r)2 r 1 2( u )2
x yx y
eusinvx eucovs1
e x y [xsix n y ) (co x y s )( ]
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又如, z f(x ,v ),其 中 v(x ,y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z x
f x
f v
v x
f1 f2 1
z y
f v
v y
f22
求导法则
dy dy du dx du dx
一阶微分形式不变性
d y f ( u ) d u f ( u ) ( x ) d x
对多元复合函数成立吗？
复合函数
设 zf(x,y),(x,y) D f R 2
Dg
设g:Dg R2
g
f og
可构造复合函数
f
Df
R
z fo g f[ x ( u ,v ) ,y ( u ,v ) ] ,( u ,v ) D g
易知:
z x
(0,0) fx(0,0)0,
z y
(0,0) fy(0,0)0
但复合函数 zf(t,t) t 2
dz1 dt 2
xz
dx dt
z y
dy dt
0 1 0 1 0
“分线加 ，沿线乘”或 “并联加 ，串联乘”
z
xy u vu v
z zxzy u x u y u z zxzy v x v y v
用导数记号表示：
(fog)'(x)f'(y)yg(x)g'(x).
例. 设 uf(x,y)二阶偏导数连续,求下列表达式在
极坐标系下的形式
(1)(u)2(u)2, (2) x y
x 2u 2 y 2u 2
解: 已知 x rco ,ys rsi, n 则
r x2y2,arcytan
(1) u u r u