复数的有关概念

复数的有关概念
教学目标
(1)掌握复数的有关概念,如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
(2)正确对复数进行分类,掌握数集之间的从属关系;
(3)理解复数的几何意义,初步掌握复数集c和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
(4)培养学生数形结合的数学思想,训练学生条理的逻辑思维能力.
复数的有关概念
教学目标
1.了解复数的实部,虚部;
2.掌握复数相等的意义;
3.了解并掌握共轭复数,及在复平面内表示复数.
教学重点
复数的概念,复数相等的充要条件.
教学难点
用复平面内的点表示复数m.
教学用具:直尺
课时安排:1课时
教学过程:
一、复习提问:
1.复数的定义。
2.虚数单位。
二、讲授新课
1.复数的实部和虚部:
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(一)教材分析
1、知识结构
本节首先介绍了复数的有关概念,然后指出复数相等的充要条件,接着介绍了有关复数的几何表示,最后指出了有关共轭复数的概念.
2、重点、难点分析
(1)正确复数的实部与虚部
对于复数,实部是,虚部是.注意在说复数时,一定有,否则,不能说实部是,虚部是,复数的实部和虚部都是实数。
4.复数的几何意义:
复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的.
5.共轭复数
(1)当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。(虚部不为零也叫做互为共轭复数)
(2)复数z的共轭复数用表示.若,则: ;
(3)实数a的共轭复数仍是a本身,纯虚数的共轭复数是它的相反数.
(4)复平面内表示两个共轭复数的点z与关于实轴对称.
……………………
2定义:例2 5共轭复数:
……………………
(2)复平面内的点z的坐标是(a,b),而不是(a,bi),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是i。
(3)表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。
(4)复数集c和复平面内所有的点组成的集合一一对应:
五、作业1,2,3,4,
六、板书设计:
§8,2复数的有关概念
1定义:例1 3定义: 4几何意义:
③当时,对任何,是纯虚数,所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数.但当时,是实数.所以,纵轴去掉原点后称为虚轴.
由此可见,复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点,而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.
④复数z=a+bi中的z,书写时小写,复平面内点z(a,b)中的z,书写时大写.要学生注意.
2.注意数形结合的数形思想:由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系,所以用“形”来解决“数”就成为可能,在本节要注意复数的几何意义的讲解,培养学生数形结合的数学思想.
3.注意分层次的教学:教材中最后对于“两个复数,如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明,如果有学生提出来了,在课堂上不要给全体学生证明,可以在课下给学有余力的学生进行解答.
①化为复数的标准形式
②实部、虚部中的字母为实数,即
(4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时,要注意:
①任何一个复数都可以由一个有序实数对( )唯一确定.这就是说,复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对( )叫做复数的.
②复数用复平面内的点z( )表示.复平面内的点z的坐标是( ),而不是( ),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是.由于=0+1·,所以用复平面内的点(0,1)表示时,这点与原点的距离是1,等于纵轴上的单位长度.这就是说,当我们把纵轴上的点(0,1)标上虚数时,不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位,或者就是纵轴的单位长度.
①根据两个复数相等地定义,可知在两式中,只要有一个不成立,那么.两个复数,如果不全是实数,只有相等与不等关系,而不能比较它们的大小.
②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指:“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘0,那么ac<bc.(不必向学生讲解)
(二)教法建议
1.要注意知识的连续性:复数是二维数,其几何意义是一个点,因而注意与平面解析几何的联系.
复数中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。
2.复数相等
如果两个复数与的实部与虚部分别相等,就说这两个复数相等。
即:的充要条件是且。
例如:的充要条件是且。
例1:已知其中,求x与y.
解:根据复数相等的意义,得方程组:
∴
例2:m是什么实数时,复数,
(1)是实数,(2)是虚数,(3)是纯虚数.
解:
(1)∵时,z是实数,
说明:对于复数的定义,特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念,这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
(2)正确地对复数进行分类,弄清数集之间的关系
分类要求不重复、不遗漏,同一级分类标准要统一。根据上述原则,复数集的分类如下:
注意分清复数分类中的界限:
①设,则为实数
②为虚数
③且。
④为纯虚数且
(3)不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注意:
(5)关于共轭复数的概念
设,则,即与的实部相等,虚部互为相反数(不能认为与或是共轭复数).
教师可以提一下当时的特殊情况,即实轴上的点关于实轴本身对称,例如:5和-5也是互为共轭复数.当时,与互为共轭虚数.可见,共轭虚数是共轭复数的特殊情行.共3页，当前第1页123
(6)复数能否比较大小
教材最后指出:“两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小”,要注意:
三、练习1,2,3,4.
四、小结:
1.在理解复数的有关概念时应注意:
(1)明确什么是复数的实部与虚部;
(2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求;
(3)弄清复平面与复数的几何意义;
(4)两个复数不全是实数就不能比较大小。
2.复数集与复平面上的点注意事项:
(1)复数中的z,书写时小写,复平面内点z(a,b)中的z,书写时大写。
∴,或.
(2)∵时,z是虚数,
∴,且
(3)∵且时,共3页，当前第2页123
z是纯虚数.∴
3.用复平面(高斯平面)内的点表示复数
复平面的定义
建立了直角坐标系表示复数的平面,叫做复平面.
复数可用点来表示.(如图)其中x轴叫实轴,y轴除去原点的部分叫虚轴,表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上,不在虚轴上.